Produit scalaire (corrigé des classiques).

Prou scalare (corrgé es classques) Exercces gééraux sur le prou scalare 3 Il es clar que ϕ es ue be ue applcao e [] as car es polyômes so e classe e l égrale se calcule sur u segme D aure par ϕ es symérque e léare par rappor à Q (la varable e roe) oc bléare = Esue : P [] ϕ ( P P) P'( ) + P() P() Or l égalé e auchy-schwarz pour le prou scalare caoque e ([]) more que : P ( ) P() = P' ( ) P'( ) oc : 3 ϕ( P P) ( P() P()) + P() P() = P() + P() P() + P() = ( P() + P()) + P() 4 Sous cee erère forme l es clar que : ϕ ( P P) e ϕ es posve Ef s e plus : ϕ ( P P) = alors : P ( ) = P() = e : l y a égalé as l égalé e auchy-schwarz que l o a ulsée oc : λ P ' = λ O e éu alors que P es affe mas s aula e e c es le polyôme ul e ϕ es éfe ocluso : ϕ éf u prou scalare sur [] 33 Noos : B = (e e ) ue base e E orhoormale pour ϕ Alors : ϕ(e e ) = oc : ψ(e e ) = e la base es orhogoale pour ψ De plus : ϕ(e e e + e ) = ϕ(e e ) ϕ(e e ) = = Doc : = ψ(e e e + e ) = ψ(e e ) ψ(e e ) pusque la base es orhogoale pour ψ e oc : ψ(e e ) = ψ(e e ) Noos alors cee erère quaé α α es as + * car c es la orme au carré (aachée au prou scalare ψ) u veceur o ul (pusque ormé) e E De plus : (xy) E avec : x = x e y = y e o a : ψ ( x y) = x y ψ ( e e ) = x y ψ ( e e ) = α x y = α ϕ( x y) = e oc : ψ = αϕ 34 a O va essayer ulser ue égalé e auchy-schwarz e pour cela o ulse le prou scalare caoque as pour les veceurs ( x x ) e ( ) x Alors : x = x = oc : ² x x x = x b Il y a égalé (cas égalé as l égalé e auchy-schwarz) s e seuleme s les eux veceurs e forme ue famlle lée ce qu éa o uls es équvale à : λ x = λ ou : x = λ x omme ef o a mposé : x = cela eraîe : λ = = O vérfe mméaeme que le -uple ( ) cou be à ue égalé e c es oc la seule soluo x hapre : Prou scalare orrgé es classques - -

35 O va ulser le prou scalare caoque e M () oé par : (AB) M () (A B) = r( AB) S maea A e B so symérques alors : (A B) = r( AB) = r(ab) = (B A) = r( BA) = r(ba) Doc : ( r ( A B + B A)) = ( A B) L égalé e auchy-schwarz oe alors : r( A B + B A) = ( A B) r( A ) r( B ) où le résula cherché e passa au carré 36 a Pour : l applcao : P a P() es ue forme léare sur [] De plus l applcao : ( P Q) a P( ) Q( ) es u prou scalare sur [] Doc :! Q [] el que la forme léare précéee coïce avec le prou scalare par Q so : P [] P( ) P( ) Q ( ) = b Supposos que : eg(q ) e oc : eg(q ) < Alors coséros le polyôme : P = Q O aura : = Q ( ) Q ( ) = = P() Q ( ) Or la foco : a Q () es coue sur [] e posve oc elle es ulle sur [] pusque égrale ulle Doc Q ame ue fé e races (oues les valeurs e ]]) oc Q es ul O aura oc : P [] P() = P( ) Q ( ) = ce qu es pas le cas pour : P = Doc : eg(q ) = c S u el polyôme exsa l aura u egré N oé e sera oc soluo u problème précée as N [] alors qu o a moré que c éa mpossble Il y a oc pas e soluo as [] Espaces vecorels eucles e sous-espaces vecorels 37 Famlle obusagle So E u espace vecorel eucle e meso e soe x x + es veceurs e E O veu morer qu l es pas possble avor : + (x x ) < a Pour : = o peu cofore E avec e le prou scalare es alors le prou as Das ce cas s o a ros ombres réels x x e x 3 alors les ros prous x x x x 3 e x x 3 e peuve êre ous ros srceme égafs car so le prou e ces ros quaés sera égaleme srceme égaf alors que : (x x )(x x 3 )(x x 3 ) = x x x 3 b O suppose maea le résula éabl pour ou espace e meso ( ) pour oé el que : So alors ue famlle e + veceurs (x x + ) e E espace vecorel e meso elle que : + (x x ) < Alors ces veceurs so o uls (prous scalares o uls) e x + éa o ul o oe : F = Vec(x + ) qu es u espace e meso ( ) So alors p la proeco orhogoale e E sur F e : + p(x ) = x avec : x = x + x Alors : + x = λ x + car : x F = Vec(x + ) Or : (x x + ) = (x x + ) + (λ x + x + ) = λ + x car : x F = Vec(x + ) E comme ce prou scalare es égaf par hypohèse o e éu que : λ < De plus : + (x x ) = (x + x x + x ) = (x x ) + (x x ) pusque les aures veceurs so orhogoaux eux à eux Doc : (x x ) = (x x ) λ λ x < e la famlle (x x + ) es obusagle as u espace F e + meso ( ) ce qu es mpossble Doc l es pas possble e rouver as E ue famlle obusagle à (+) veceurs ce qu erme la récurrece c Le maxmum e veceurs es oc (+) as u espace e meso Remarque : o a pas effecveme obeu c u maxmum mas u maora u ombre e veceurs forma ue famlle obusagle hapre : Prou scalare orrgé es classques - -

38 a Supposos oc que la famlle (x x ) es lée e oc que l u es veceurs (x ) es combaso léare es aures veceurs par exemple : Alors : hapre : Prou scalare orrgé es classques - 3 - x = λ x = ( x x ) = λ ( x x ) so : = = λ ou plus globaleme : = = = g g λ où ésge la coloe e la marce G Pusqu alors l ue es coloes e G es combaso léare es aures G es pas versble e : e(g) = b S o oe : x = p x alors les p so les coeffces e P De plus : ( x x ) = p p e oc : G = PP = P éa versble (comme marce e passage) o e éu que : e(g) = e(p) > c O e éu que la famlle es lbre s e seuleme s : e(g) e as ce cas : e(g) > S la famlle compore mos e veceurs que la meso alors e(g) es ul s la famlle es lée car la même émosrao que la précéee rese valable E s la famlle es lbre o la complèe avec ue base orhoormale e Vec(x x p ) par exemple (u p+ u ) e o peu oer la marce e Gram e (x x p u p+ u ) qu vau : G p p G' = p p I p O e éu que : e(g ) = e(g) pusque la famlle es veceurs es ue base e E e même : e(g ) > 39 Supposos veceur propre e A assocé à la valeur propre λ e so : Y H Alors : (AY) = AY = ( A)Y = λ Y = car : Y H e H es be sable par A Supposos H sable par A Alors : Y H AY H e : (AY) = = ( A)Y Le veceur A es oc orhogoal à l hyperpla H e appare oc à so orhogoal Mas es o e as H oc l e cosue ue base e : λ A = λ (relao e coléaré) Mas cee relao peu auss se lre e sa que es veceur propre e A Procéé e Gram-Schm sace à u sous-espace vecorel 4 Moros abor qu ue elle écomposo s elle exse es uque e pour cela supposos que : A = QR = Q R où Q e Q so orhogoales e R e R ragulares supéreures à élémes agoaux srceme posfs Alors Q e R so versbles (pusque : e(r ) prou e ses élémes agoaux) Doc : Q - Q = R R - ee marce es oc orhogoale (prou e eux marces orhogoales) mas auss ragulare supéreure (R - es ragulare supéreure e le prou e eux marces ragulares supéreures l es auss) à élémes agoaux srceme posfs (ceux e R - so les verses e ceux e R oc so posfs e ceux u prou so les prous es élémes agoaux Or o a moré as l exercce 8 que e elles marces so agoales avec es élémes agoaux égaux à ± Doc avec le fa que les élémes agoaux so posfs o e éu qu elle vau I e oc : Q - Q = I oc : Q = Q R R - = I oc : R = R oséros maea A comme la marce représeave ue famlle : F = (x x ) e veceurs e (oés par les coloes e A) Alors cee famlle es lbre e c es ue base e pusque A es versble Noos : B = (ε ε ) la base orhoormale foure par le procéé e Gram-Schm à parr e la famlle F avec la coo : (ε x ) > où ( ) ésge le prou scalare caoque e Noos ef P la marce e passage e la base F à la base B e Q la marce e passage e la base caoque B c e à B

La marce Q es orhogoale comme marce e passage ere eux bases orhoormales e Par cosruco e la famlle B la marce P es ragulare supéreure car : ε Vec(x x ) So verse : R = P - es oc auss ragulare supéreure e : x Vec(ε ε ) Ef l éléme agoal r correspo à la cooroée e x selo ε e la base (ε ε ) éa orhoormale o a : r = (ε x ) > Ef : A = ma(b c F) = ma(b c B)ma(B F) = QP - = QR so be ce que l o voula (Q orhogoale R ragulare supéreure à élémes agoaux srceme posfs) Proeceurs orhogoaux 4 O peu écrre : x = λy + avec : Vec(y) so : (y ) = ( x y) Doc : ( x y) = λ y e la proeco orhogoale e x sur Vec(y) vau : y y De même la proeco orhogoale e y sur Vec(x) vau : Doc ces eux veceurs so égaux s e seuleme s : ( y x) x x hapre : Prou scalare orrgé es classques - 4 - ( y x) ( x y) ( x y) x x y x = = x y Dsguos alors eux cas : x e y so orhogoaux e les eux proecos so alors be égales x e y e so par orhogoaux e ls so alors coléares pusque : S maea o recalcule la orme e ces veceurs o obes : o uls o e éu que : x = y pus : x = y y x = x y y x = x y e comme x e y so Das ce erer cas les eux proecos so ecore égales Faleme les eux proecos proposées so égales s e seuleme s x e y so égaux ou orhogoaux 4 S H exse alors : o o avor : x = p H (x) + x où : x H Doc : x y H e comme : x y le veceur : = x y rge la roe D Aureme H e peu valor que : H = Vec(x y) Récproqueme : ( y) = ( x y y) = ( x y) y = e : y Vec() = H E comme : x = (x y) + y avec : (x y) H e : y H o a be : y = p H (x) 43 a La marce U es clareme orhogoale (ses veceurs coloes forme la base caoque e as u orre permué e l orre caoque) Doc : U = U - De plus pusqu o peu erpréer U comme la marce e l eomorphsme u as la base caoque e éf par : u(e ) = e e : u(e ) = e - l es clar que pour : la agoale e U es formée e Alors : p < q (U p U q ) = r( U p U q ) = r(u -p U q ) = r(u q-p ) Mas pour u el couple (pq) eers o a : q p e : r(u q-p ) = La famlle es be orhogoale e ous ses veceurs éa o uls elle es lbre Mas comme elle es géérarce e F elle e cosue oc ue base orhogoale b O peu e éure ue base orhoormale e F e orma ces veceurs e : U = r( U U ) = r( I ) = car U (e oc les U ) es orhogoale O peu as e éure la proeco orhogoale e A sur F qu vau : U U A ' = ( A) = ( U A) U = = Il rese à calculer : (U A) = (A U ) = r(a U ) = car oues les lges e la marce AU so ulles sauf la premère e comme la marce U a sa premère coloe cosuée e e u seul le premer éléme agoal e la marce AU es le seul o ul e vau

Ef la escrpo e u more avec ue récurrece que la marce U a la même forme que U e L écala la agoale e vers le co supéreur ro e faleme : p F ( A) = A' = M M L Marces symérques réelles marces symérques réelles posves 44 a alculos le prou : S = D - AD pour ue marce agoale D E oa : A = AD o obe successveme : a ' = a = a pus : s = a ' = = a = D répora au problème posé s e seuleme s : s + = s + c'es-à-re : + + + + c + + a + = c = a ++ = b so : = + ++ + ++ b S maea o mpose à e valor D répora au problème s e seuleme s : + + = ε c b avec : ε = ± Ue soluo es alors éfe par : c l l = = b Aureme o ve e proposer ue marce D répoa au problème posé b La marce S éa agoalsable pusque symérque réelle elle es agoalsable e l exse oc P orhogoale e agoale elle que : = PSP = P - SP Doc : = P - D - ADP = (DP) - A(DP) e A es agoalsable 45 a O sa éà pusque AA es symérque réelle que oues les valeurs propres e AA so réelles So esue µ ue es valeurs propres e u veceur propre assocé Alors : M () AA = µ e oc : AA = µ ce qu s écr ecore : A A = µ ou : µ = où es la orme euclee caoque e M () e où o a ulsé le fa que es o ul Doc µ es be posve b Il suff e re que µ es la somme es valeurs propres e AA oc égale à sa race Or s o oe : S = AA alors : = hapre : Prou scalare orrgé es classques - 5 - s = a a e : µ = r( A A) = s = a = a = 46 La marce ( AA A A) es symérque e réelle oc agoalsable De plus par hypohèse oues ses valeurs propres so posves Ef r( AA A A) es la somme es valeurs propres e cee marce e : elle es posve car les valeurs propres so posves elle es ulle car : r( AA) = r(a A) Doc oues les valeurs propres e ( AA A A) so ulles e éa agoalsable cee marce es semblable à la marce ulle oc es ulle Faleme : AA = A A e A e A commue 47 a Pour : M () (A)(B) représee le prou scalare (as M () caoque) e A e B O a oc : (A B) = (A)B = AB = AB e : (A B) = (B A) = (B)A = BA = BA = AB pusque A e B commue es eux quaés éa à la fos égales e opposées elles so ulles b M ()

( A + B) = (( A + B) ( A + B) ) = A A + A B + B A + B B = A + B vu les égalés qu o a cosaées as la queso a ( A B) = A A A B B A + B B = A + B où faleme l égalé voulue c Supposos oc B versble e so : M () el que : (A + B) = Alors la orme e ce veceur es ulle e : hapre : Prou scalare orrgé es classques - 6 - = A + B oc comme somme e carrés o e éu que : B = pus : = pusque B es versble Doc : er(b) = {} (e cofoa B e l eomorphsme u caoqueme assocé) e B es versble (pusque u es ecf as oc becf) O peu auss ulser l argume que B es alors régulère oc versble De faço eque o more que (A B) es versble Ef : M () Y M () = (A B)Y e : ( A + B)( A B) = ( A + B) Y = ( A B) Y = (o a ulsé l égalé e la queso b) La marce (A + B)(A B) - coserve oc la orme as M () e es oc orhogoale O peu auss re que l eomorphsme v caoqueme assocé à cee marce coserve la orme as eucle caoque oc sa marce représeave as ue base orhoormale e es orhogoale 48 a Noos ou abor que AA es symérque réelle oc oues ses valeurs propres so réelles Pus pour u veceur propre e A assocé à la valeur propre λ o a : A A = ( A ) A = A e : A Doc éa o ul o e éu que : λ = A A = ( A A ) = ( λ ) = λ = λ Doc oues les valeurs propres e AA so posves b S A es versble alors pour u veceur o ul A es amas ul Doc oue valeur propre e A es srceme posve c O va s aacher à la posvé e la éfo e cee forme sur M () S : A = B alors r( AA) es la somme es valeurs propres e AA qu es évemme réelle mas auss posve pusque oues les valeurs propres e cee marce so posve : c es ue forme posve De plus s cee race es ulle alors comme somme e ombres posfs ous ces ombres (e oc oues les valeurs propres e AA) so ul(le)s Mas AA éa e plus agoalsable car symérque réelle AA es semblable à la marce ulle (la marce agoale rassembla ses valeurs propres) Doc : AA = Ef : M () ( AA = ) ( A = ) (avec la queso a) (A = ) e A es be la marce ulle (l eomorphsme caoqueme assocé à A es ul) : la forme es éfe Faleme l applcao : (AB) a r( AB) éf be u prou scalare sur M () 49 a O a mméaeme : (AB) (S + ()) (A + B) es symérque réelle e : M () (A + B) = A + B e : (A + B) S + () b S e plus o suppose que : B S ++ () alors : M () (A + B) = A + B > comme somme u éléme posf e u éléme srceme posf Doc : (A + B) S ++ () c Tou abor : A M () AA es symérque réelle pusque : ( AA) = A ( A) = AA Pus : M () A A = A où es la orme euclee caoque e M () Doc : A S + () S e plus A es versble alors : M () (A = ) (A - A = = ) e oc :

M () A A = A > car : A Doc : AA S ++ () e Tou abor la marce ASA es be symérque pusque : ( ASA) = A S ( A) = ASA Pus : M () el que : alors : Y = A car A es versble e oc : ASA = YSY > e : ASA S ++ () Eomorphsmes orhogoaux Marces orhogoales 5 a Pour : x E o a : f ( x) f () = x oc : f ( x) = x b Pour : (xy) E o a : x + y + x y = x + y Pour : x E e applqua l égalé précéee aux veceurs f(x) e f(-x) o obe : f ( x) + f ( x) + f ( x) f ( x) = f ( x) + f ( x) = x + x = 4 x Pus : hapre : Prou scalare orrgé es classques - 7 - f ( x) f ( x) = x ( x) = x e avec le carré o e éu que : f ( x) + f ( x) = Doc : x E f(-x) + f(x) = e : f(-x) = f(x) c O calcule alors : (xy) E f ( x) f ( y) = f ( x) + f ( y) ( f ( x) f ( y) ) x y = x + y ( x y) e comme ces quaés so égales la queso a perme e coclure que : (f(x) f(y)) = (x y) Pusque f coserve la orme e le prou scalare la famlle (f(e ) f(e )) es ue base orhoormale e E e oc as cee base orhoormale e E o peu écrre : x E = f ( x) = ( f ( e ) f ( x)) f ( e ) = ( e x) f ( e ) e Il rese à morer que f es léare mas c es maea mméa : (xy) E (λµ) = f ( λ x + µ y) = ( e λ x + µ y) f ( e ) = λ ( e x) f ( e ) + µ ( e y) f ( e ) = λ f ( x) + µ f ( y) = = E pusque f coserve la orme (ou le prou scalare) f es be u auomorphsme orhogoal e E 5 So A ue marce apparea à (O() M ()) Toues les coloes e A ove êre e orme pour le prou scalare caoque e oc l y a u e u seul erme o ul par coloe pusque e plus cee valeur o êre eère e ce erme vau ± De plus eux coloes sces ove êre orhogoales oc les eux ermes o uls e peuve se rouver sur la même lge Plus précséme s o oe pour: σ() le uméro e lge elle que : a σ() alors : σ() σ( ) aureme l applcao σ e as es ecve oc becve e c es ue permuao e Récproqueme coséros maea ue marce A cosrue à l ae ue permuao e e elle sore que ous ses ermes soe uls sauf : a σ() = ± Alors les coloes e A forme be ue base orhoormale e e A répo au problème ocluso : l y a! soluos au problème éué e : car(o() M ()) =! 5 Nous allos c cofore marces e eomorphsmes ces erers éa rapporés à la base caoque e e sera efé as à M () Ue base e es formée par e ue famlle ( - ) e ( ) veceurs orhogoaux à O a alors : S = ( I ) = ( ) = = car : + * S = ( I ) = ( ) = = Aureme S lasse ous les veceurs e la base orhogoaux à varas e rasforme e : c es oc be la symére orhogoale e par rappor à : H = Vec( - ) = Vec() ce qu o =

appelle ecore la réflexo par rappor à H Exercce gééral 53 Polyômes e Legere a Pour as Q es la érvée ème u polyôme e egré oc es e egré O va maea ulser le héorème e Rolle e oer : R = ( ) R a eux races orre e - oc R s aule sur ]-+[ e ue valeur : a ]-+[ R s aule oc e e - (races orre e R ) e e a : le héorème e Rolle à ouveau more que R s aule e eux valeurs : a < a e ]-+[ s o suppose que pour : R () s aule e valeurs : a < < a e ]-+[ alors ce polyôme s aule ecore e e - (ce so es races orre : ) e le héorème e Rolle more que : R () = R (+) s aule sur les + ervalles ]-a [ ]a a [ ]a [ oc e (+) valeurs : a + < < a ++ e l ervalle ]-+[ faleme R () ( ) s aule e valeurs e ]-+[ oc : Q = R auss e pusque ce erer! polyôme es e egré les races as rouvées so les races e Q e elles so smples Pour : e : A - [] o a alors : + + + ( ) ( ) = = [ ] ( ) ( AQ ) A( ) Q ( ) A( ) R ( ) A' ( ) R ( ) = A' ( ) R ( )!! car e - éa races e R (-) le croche es ul A l ae égraos par pares successves ue récurrece mméae oe : ( ) + ( ) ( ) + ( ) + ( AQ ) = ( ) '( ) = '( ) = [ ( )] =! A R α! R α R! car A (-) es ue cosae e R ame e - comme races (car o suppose c : ) Doc : Q - [] b S o repre le calcul précée e remplaça A par Q o obe : ( ) + + = = [ + ( ) ( ) ( ) ( ) ( Q ] Q ) R ( ) R '( ) R ( ) ( ) R R ( ) R ( ) (!) (!) Le croche es ecore ul e R () es cosa égal à ()! oc : π ( ) + ( )! + ( )! + = = = ( Q Q ) ( )! R ( ) ( ) cos ( θ ) θ (!) (!) (!) (où o a ulsé la paré u polyôme e le chageme e varable : = s(θ)) e o recoaî ue égrale e Walls ( )!! Doc : ( Q Q ) = = (!) ( + )! + Esue o peu remarquer que : R + = ( )R e avec la formule e Lebz : ( + ) ( + ) ( ) + ( ) R + = ( ) R + ( + ) R + R Mas le premer e le erer erme s aule e ± (pour le erer parce que e - so races ( + ) ( ) orre e R ) e oc e oa : ε = ± o a : R + ( ε ) = ( + ) ε R ( ε ) où o éu : Q ( ε ) = ε Q ( ) + ε omme e plus : Q () = Q (-) = o obe faleme : Q () = e : Q (-) = (-) c O commece par remarquer que : eg( Q ( ) Q ) = E effe o cosae que ce polyôme a les coeffces suvas : pour ( )! ( )! ( )! : ( ) ( ) = =!! ( )! ( )! ( )!( )! pour - : car Q e compore que es ermes e même paré que ou comme Q - pour - : ( )! ( 4)! ( 4)! ( ) ( ) ( ) =! ( )! + ( )! ( 4)! ( )! ( )! so le coeffce oma e Q - mulplé par ( ) hapre : Prou scalare orrgé es classques - 8 -

+ omme e plus : 3 ( Q ( ) Q ) = ( Q ) ( )( Q ) = pusque Q e Q - so orhogoaux à - [] e à - [] le polyôme Q ( ) Q ) es oc ( as - [] orhogoal à l hyperpla Vec( -3 ) oc sur la même roe que Q - e oc proporoel à ce erer polyôme La valeur e ce coeffce e proporoalé se fa avec les coeffces omas e : Q ( ) Q = ( ) Q Le procéé e Gram-Schm gara ce résula pusque la famlle ( ) es lbre pour ou e O sa que : * Q - [] = Vec( - ) = Vec(P P - ) De plus Q e P so e egré ous eux oc ls so ous eux sur ue même roe as [] orhogoale à l hyperpla e [] egeré par ( - ) Doc : λ Q = λ P pusque P es o ul Pus : (Q Q ) = λ (P P ) = λ où : λ = ± Q = ± + ( ) + + Ef : λ ( P ) = ( Q ) =! ( ) = ( ) >! R oc : λ > e faleme : λ = + f Noos : S = (( )P ) qu es u polyôme e egré au plus O calcule alors : + + + ( S ) = [( ²) P '( )] = [( ²) P '( ) ] ( ²) P '( ) e : + + + ( S ) = ( ²) P '( ) = [( ²) P ( ) ] + [( ) ( + ) ] P ( ) + [( ) ( + ) ] P ( ) = (( ) ( + ) P ) = Ef o a : pusque P es orhogoal à - [] Doc : S - [] e : α S = P car ls so ous eux as [] (comme as la queso e) Il suff alors e comparer les coeffce oma pour cosaer que celu e S (coeffce e ) vau : où p es le coeffce oma e P ( +) p ocluso : α = ( +) e o e éu l égalé voulue Pour le erer po pour : o peu écrre : P '() a = P ( ) = [( ²) '( )] = [( ²) '( )] = ( + ) P P ( + ) ( + ) Or P es proporoel à Q e le polyôme R e la queso a éa par Q es e même paré que oc Q es e même paré que + oc : s es par Q es mpar Q () = e : a = s es mpar alors : R = ( ) oc Q () correspo à la érvée (+) e e = R aureme elle es oée par le erme e où : = + + + Doc : ( ) '() = ( + )!( ) + = ( ) Q +! + ( + ) + So : + = '() = ( ) = ( ) a + Q ( + ) ( + ) λ + Isoméres e 3 54 La marce A es orhogoale e e éerma + : c es oc la marce ue roao r as 3 caoque L axe e la roao correspo aux veceurs varas e vau : = Vec(()) hapre : Prou scalare orrgé es classques - 9 -

π L agle θ es oé par la race e vau : θ = 3 Le ses e la roao se éerme e chosssa u veceur orhogoal à par exemple : e = () so mage vala : r(e) = ( 6 6 6 6 ) e : e r(e) = ( ) 4 4 4 4 La roao se fa oc as le ses posf u pla s o chos le veceur () pour oreer La marce B es orhogoale e e éerma + : c es oc ecore la marce ue roao r as 3 caoque L axe e la roao vau : = Vec((-3)) 7 L agle es oé par la race e vau : θ = arccos( ) 8 4 5 O chos esue par exemple : e = () o calcule : r(e) = ( ) e : e r(e) = ( 5 5 5 ) 9 9 9 9 9 9 La roao se fa oc as le ses posf s o oree avec (-3) 55 Rappel : u reoureme es ue roao agle π a S f e g so eux roaos e même axe alors as ue base aapée à les marces e f e e g vale : ma ( f ) = cos( a) s( a) e : ma ( g) = cos( b) s( b) s( a) cos( a) s( b) cos( b) Doc : ma ( fog) = ma( gof ) = cos( a + b) s( a + b) e f e g commue s( a + b) cos( a + b) S f es g so eux reouremes auour e Vec(e ) e Vec(e ) avec e e e orhogoaux (e ormés) alors e posa : e 3 = e e o a : fog(e ) = f(- e ) = - e e : gof(e ) = g(e ) = - e fog(e ) = f(e ) = - e e : gof(e ) = g(- e ) = - e fog(e 3 ) = f(- e 3 ) = +e 3 e : gof(e 3 ) = g(- e 3 ) = +e 3 e f e g commue (c es le reoureme axe Vec(e 3 )) b Pusque u es sur l axe e f alors : f(u) = u e : gof(u) = g(u) = fog(u) = f(g(u)) Doc g(u) es u veceur uare (pusque g es ue somére) vara par f oc sur e oc l u es eux veceurs u ou u seuls veceurs e orme sur c S : g(u) = u alors u es vara par g qu ame comme seuls veceurs varas les veceurs e so axe (car : g E ) e oc u es sur l axe e g : f e g o oc même axe S : g(u) = -u alors - es valeur propre e g ce qu e peu se proure e exama la marce e g précéee que s : l agle e la roao g es π u es orhogoal à l axe u reoureme g Mas o a auss e oa v u veceur e que : f(g(v)) = f(v) = g(f(v)) e oc f(v) es sur l axe Doc : f(v) = v ou : f(v) = -v mas o e peu êre as le premer cas car alors f amera eux veceurs propres épeas pour la valeur propre (à savor u e v) ce qu e peu se proure que s : f = E ce qu es pas le cas c Doc : f(v) = -v e la même remarque que celle fae pour g au ébu e la queso more que f es u reoureme égaleme o l axe es be orhogoal à celu e g hapre : Prou scalare orrgé es classques - -