U.F.R. S.P.S.E. Licece de psychologie L3 PLPSTA0 Bases de la statistique iféretielle UNIVERSITE PARIS X NANTERRE CORRIGE DES EXERCICES : Distributios d'échatilloage - Itervalles de variatio Exercice 1 P{élèves du secodaire} X résultat de fluidité au test de pesée Créative de Torrace, variable quatitative de moyee coue µ 0, et d'écarttype cou 6,5 das P. Echatillos de taille de X issu de P pour lesquels x, s et s* e sot pas calculés. 1) O peut prévoir le résultat moye observé x pour chaque échatillo par la moyee de la moyee empirique X qui est égale à µ puisque vaut µ 0. X est u estimateur sas biais de µ : cette prévisio est costate pour tous les échatillos et ) O peut calculer la variace (écart-type) du résultat moye par la variace (écart-type) de la moyee empirique X qui est égale à (égal à ) qui varie avec la taille de l'échatillo : plus la taille de l'échatillo est grade plus la variace (écart-type) est faible d'où ue plus grade précisio das l'estimatio (cf tableau ci-dessous coloes 3 et 4). taille distributio de la moyee empirique X distributio de la variace empirique sas biais S * biaisée moyee ( 1 ) distributio de l'écart-type empirique S sas biais S * biaisé S moyee variace écart-type moyee moyee moyee µ 1 1 0 4,5 6,5 4,5 6,5 0 0,115 1,4534 4,5 40,1375 6,5 6,3354 50 0 0,845 0,919 4,5 41,4050 6,5 6,4347 100 0 0,45 0,65 4,5 41,875 6,5 6,4674 remarque : o pourra affier la prévisio du résultat moye observé e calculat u itervalle de variatio au risque α (par exemple α5%) de la moyee empirique X e utilisat l'approximatio ormale sur X pour les deux échatillos de taille 50 et 100 ( 30), qui prédira le résultat moye observé avec u risque d'erreur de α (α5%) e faisat iterveir sa moyee µ et so écart-type : I ( ) 95% X µ ± z 0, 975 I X 0 ± 1,96 0,919 0 ± 1,8 18, ; 1,8 pour 50 95 % ( ) [ ] [ ] [ ] pour 100 I ( X ) [ 0 ± 1,96 0,65] [ 0 ± 1,74] [ 0 ± 1,3] [ 18,7 ; 1,3] 95 % 3) O peut prévoir la variace observée du résultat, biaisée s ou sas biais s* pour chaque échatillo, par la moyee de la variace empirique biaisée S ou sas biais S *. - la moyee de S est égale à ( 1 ) : S est u estimateur biaisé de qui sous estime toujours. Cette prévisio varie avec la taille de l'échatillo : plus la taille de l'échatillo est grade plus le biais est faible, d'où ue prévisio qui se rapproche de (cf tableau ci-dessus coloe 6). - la moyee de S * est égale à puisque S * est u estimateur sas biais de : cette prévisio est costate pour tous les échatillos et vaut 6,5 4,5 (cf tableau ci-dessus coloe 5). O peut prévoir l'écart-type observé du résultat, biaisé s ou sas biais s* pour chaque échatillo, par la moyee de l'écart-type empirique biaisé S ou sas biais S *. - la moyee de S est égale à 1 : S est u estimateur biaisé de qui sous estime toujours. Cette prévisio varie avec la taille de l'échatillo : plus la taille de l'échatillo est grade plus le biais est faible, d'où ue prévisio qui se rapproche de 6,5 (cf tableau ci-dessus coloe 8). - la moyee de S * est égale à puisque S * est u estimateur sas biais de : cette prévisio est costate pour tous les échatillos et vaut 6,5 (cf tableau ci-dessus coloe 7).
Exercice P{fraçais recesés e 1999} X âge, variable quatitative X~N(µ 39, 3) das P. Echatillos de taille 5 de X issu de P 1) La moyee empirique de l'âge, X 5 a ue distributio ormale de moyee µ39, de variace 3 1, 16 et 5 d'écart-type 3 4, 6 puisque X a ue distributio ormale de moyee µ39 et d'écart-type 3 das P. 5 0 39 4,6 où F est la foctio de répartitio de la loi N(0,1). quasimet aucu des échatillos de taille 5 de X issus de P ot u âge moye observé iférieur à 0 as. ) P( X 5 0) P Z F( 4,13) 1 F( 4,13) 1 F( 4,1) 1 0,999979 0, 00001 3) ( 0 X 60) P( X 60) P( X 0) avec P( X 5 0) 0, 00001 P 5 5 5 et ( X 60) P Z 60 39 F( 4,565) F( 4,6) 0, 999998 d'où ( 0 X 60) P 5 P 5 0,999998 0,000010,999977 4,6 où F est la foctio de répartitio de la loi N(0,1). quasimet tous les échatillos de taille 5 de X issus de P ot u âge moye observé compris etre 0 et 60 as. 4) Itervalle de variatio à 90% (au risque α10%) de l'âge moye sur les échatillos de taille 5 de X issus de P : ( ) [ Q ; Q ] [ 39 ± 4,6 z ] [ 39 ± 4,6 1,645] [ 39 ± 7,567] [ 39 ± 7,6] [ 31,4; 46,6] I % 0,05 0,95 0, 95 90 X car z 1 (α/) z 0,95 1,645 est le quatile d'ordre 0,95 de la loi N(0,1). 90% des échatillos de taille 5 de X issus de P ot u âge moye compris etre 31,4 et 46,6 as. Itervalle de variatio à 95% (au risque α5%) de l'âge moye sur les échatillos de taille 5 de X issus de P : ( ) [ Q ; Q ] [ 39 ± 4,6 z ] [ 39 ± 4,6 1,96] [ 39 ± 9,016] [ 39 ± 9] [ 30; 48] I % 0,05 0,975 0, 975 95 X car z 1 (α/) z 0,975 1,96 est le quatile d'ordre 0,975 de la loi N(0,1). 95% des échatillos de taille 5 de X issus de P ot u âge moye compris etre 30 et 48 as. la valeur de la bore iférieure de cet itervalle de variatio à 95% e peut plus remettre e cause l'hypothèse de ormalité faite sur la variable moyee empirique de l'âge sur les échatillos de taille 5. 5) O observe u âge moye de 35 as, alors qu'o s'attedait "raisoablemet" (das 95% des cas) à observer u âge moye compris etre 30 et 48 as, ce qui 'est pas surpreat : o e peut doc pas mettre e cause la représetativité de l'échatillo pour la variable âge das la populatio des femmes fraçaises du recesemet de 1990. 6) La demi-logueur de l'itervalle de variatio à 95% de l'âge moye ( ) I est d eviro 9 as (cf questio 4) ; pour obteir ue demi-logueur plus faible, de as maximum, il faudrait doc plus de 5 femmes. Pour icou, 3 et α5% cous, la demi-logueur de l'itervalle I 95% ( X ) s'écrit : z 1,96 3 0, 975. 95% X O cherche tel que : 3 1,96 3 1,96 3 1,96 c'est à dire d'où,54 508, 05 o choisirait doc ue taille d'échatillo au mois égale à 509 pour que la demi-logueur de l'itervalle de pari à 95% soit iférieure à as. O aurait doc ue marge d'erreur à 95% d au plus as das l estimatio de la moyee d'âge das P, c est à dire das l itervalle [39 ± ] soit etre 37 et 41 as, pour 95% des échatillos de taille 509.
Exercice 3 P{efats de 1 as} X résultat au test de richesse et de précisio du vocabulaire, variable quatitative de moyee coue µ 60, et d'écarttype cou 10 das P. Echatillos de taille de X issu de P pour lesquels x, s et s* e sot pas calculés. 1) La moyee empirique X a pour moyee µ 60 (puisque X est u estimateur sas biais de µ) : cette moyee est costate quelle que soit la taille des échatillos (cf tableau ci-dessous coloe ). La moyee empirique X a pour variace et pour écart-type qui variet avec la taille des échatillos : plus la taille de l'échatillo est grade plus variace et écart-type sot faibles, d'où ue plus grade précisio das l'estimatio (cf tableau ci-dessous coloes 3 et 4). La forme de la distributio de la moyee empirique X est icoue (quelcoque) tat que la taille de l'échatillo est faible (<30) puisque la distributio de X est icoue (quelcoque). Lorsque la taille de l'échatillo est suffisammet grade ( 30), o peut cosidérer, d'après le théorème cetral-limite, que la distributio de X est approximativemet ormale N µ, (cf tableau ci-dessous coloe 5). taille distributio de la moyee empirique X moyee variace écart-type forme P( X > 63) 1 60 100 10 icoue icoue 4 60 5 10/5 icoue icoue 8 60 1,5 10/ 3,54 icoue icoue 16 60 6, 10/4,5 icoue icoue 3 60 3,15 10/4 1,77 approx. ormale 0,04460 64 60 1,565 10/81,5 approx. ormale 0,0080 100 60 1 10/101 approx. ormale 0,00135 ) Pour u échatillo de taille 16 la forme de la distributio de la moyee empirique X est icoue (quelcoque) puisque <30. Il est doc impossible de calculer cette probabilité. 3) Pour u échatillo de taille 3 la forme de la distributio de la moyee empirique X est approximativemet ormale puisque 30. Il est doc possible de calculer cette probabilité de maière approchée : P( X ) ( ) 63 60 3 > 63 1 P X3 63 1 P Z 1 F( 1,7 ) 1 0,9554 0, 0446 1,768 où F est la foctio de répartitio de la loi N(0,1). eviro 4,46% des échatillos de taille 3 de X issus de P ot u résultat moye supérieur à 63. 4) Cette probabilité dimiue avec la taille de l'échatillo puisque l'écart-type de la moyee empirique X dimiue (cf tableau ci-dessus coloe 4) : la distributio de X état doc plus cocetrée autour de sa moyee µ 60, la probabilité P( X > 63) représetée par la surface à droite de la valeur 63 sous la desité de la loi de X (approximativemet ormale pour 30), sera plus petite. Pour 30 X est approximativemet ormale, il est doc possible de calculer cette probabilité de maière approchée : pour 64 P( X ) ( ) 63 60 64 > 63 1 P X64 63 1 P Z 1 F(,4) 1 0,9918 0, 008 1,5 où F est la foctio de répartitio de la loi N(0,1). eviro 0,8% des échatillos de taille 64 de X issus de P ot u résultat moye supérieur à 63. pour 100 P( X ) ( ) ( 63 60 100 > 63 1 P X100 63 1 P Z ) 1 F() 3 1 0,99865 0, 00135 1 où F est la foctio de répartitio de la loi N(0,1). eviro 0,135% des échatillos de taille 100 de X issus de P ot u résultat moye supérieur à 63. quad la taille de l'échatillo augmete, il est de mois e mois probable d'observer u résultat moye supérieur à 63 lorsque la vraie moyee est égale à 60 (cf tableau ci-dessus coloe 6). 3
Exercice 4 P{efats âgés de 7 as} X quotiet itellectuel QI, variable quatitative X~N(µ 100, 10) das P. Echatillo de taille 16 de X issu de P pour lequel x 106 et s 13. 1) populatio échatillo taille N? 16 moyee µ 100 x 106 variace 10 100 s 13 169 ) La moyee empirique du score sur les échatillos de taille 16, X 16 a ue distributio ormale de moyee µ100, de variace 100 6, 5 et d'écart-type 10, 5 puisque X a ue distributio ormale de moyee µ100 et 16 16 d'écart-type 10 das P. > x 106 100,5 où F est la foctio de répartitio de la loi N(0,1). 0,8% des échatillos de taille 16 de X issus de P ot u QI moye supérieur à 106, QI moye observé. 3) ( X ) P( X > 106) 1 P( X 106) 1 P Z 1 F(,4) 1 0,9918 0, 008 P 16 16 16 4),5% des échatillos de taille 16 ot u QI moye supérieur au QI cherché, doc 97,5% des échatillos de taille 16 ot u QI moye iférieur au QI cherché, qui est doc par défiitio le quatile d'ordre 0,975 de X 16 : 100 +,5 z 100 +,5 1,96 100 + 4,9 104, ( ) ( ) 9 Q0,975 0, 975 car z 0,975 1,96 est le quatile d'ordre 0,975 de la loi N(0,1).,5% des échatillos de taille 16 de X issus de P ot u QI moye supérieur à 104,9. 5) Itervalle de variatio à 95% (au risque α5%) du QI moye sur les échatillos de taille 16 de X issus de P : ( X ) [ Q ;Q ] [ 100 ± 4,9] [ 95,1; 104,9] I95 % 0,05 0, 975 car Q 0,05 est symétrique de Q 0,975 par rapport à µ 100. X Q ;Q 100 ±,5 z 100 ±,5 1,96 ( ) [ ] [ ] [ ] [ 100 ± 4,9] [ 95,1 ; 104,9] I95 % 0,05 0,975 0, 975 car z 1 (α/) z 0,975 1,96 est le quatile d'ordre 0,975 de la loi N(0,1). 95% des échatillos de taille 16 de X issus de P ot u QI moye compris etre 95,1 et 104,9. 6) La moyee empirique du score sur les échatillos de taille 100, X 100 a ue distributio ormale de moyee µ100, de variace 100 1 et d'écart-type 10 1 puisque X a ue distributio ormale de moyee µ100 et 100 100 d'écart-type 10 das P. ( X > x) P( X > 106) 1 P( X 106) 1 P Z 106 100 1 F( 6) 1 1 0 P 100 100 100 1 où F est la foctio de répartitio de la loi N(0,1). quasimet aucu échatillo de taille 100 de X issus de P 'a u QI moye supérieur à 106, QI moye observé. Le QI cherché, est par défiitio le quatile d'ordre 0,975 de X 100 : 100 + 1 z 100 + 1 1,96 100 + 1,96 101, ( ) ( ) 96 Q 0,975 0, 975 car z 0,975 1,96 est le quatile d'ordre 0,975 de la loi N(0,1).,5% des échatillos de taille 100 de X issus de P ot u QI moye supérieur à 101,96. Itervalle de variatio à 95% (au risque α5%) du QI moye sur les échatillos de taille 100 de X issus de P : ( X ) [ Q ; Q ] [ 100 ± 1,96] [ 98,04; 101,96] I95 % 0,05 0, 975 car Q 0,05 est symétrique de Q 0,975 par rapport à µ 100. X Q ; Q 100 ± 1 z 100 ± 1,96 ( ) [ ] [ ] [ ] [ 98,04 ; 101,96] I95 % 0,05 0,975 0, 975 car z 1 (α/) z 0,975 1,96 est le quatile d'ordre 0,975 de la loi N(0,1). 95% des échatillos de taille 100 de X issus de P ot u QI moye compris etre 98,04 et 101,96. 4
7) La demi-logueur de l'itervalle de variatio à 95% du QI moye ( ) I est d eviro 4,9 poits pour les 95% X échatillos de taille 16 et est d eviro 1,96 poit pour les échatillos de taille 100 ; pour obteir ue demilogueur plus faible, de 1 poit maximum, il faudrait doc plus de 100 efats. La demi-logueur de l'itervalle ( ) I s'écrit : z, 975 avec icou, 10 et α5% cous et pour qu'elle 'excède pas 1 poit, il faut que : z 10 0, 975 1 doc que 1,96 10 c'est à dire que 19,6 384,16 doc que 385 95% X 0 o choisirait doc ue taille d'échatillo au mois égale à 385 pour que la demi-logueur de l'itervalle de pari à 95% 'excède pas 1 poit. O aurait doc ue marge d'erreur à 95% maximum de 1 poit das l estimatio du QI moye das P, c est à dire das l itervalle [100 ± 1] soit etre 99 et 101 poits de QI, pour 95% des échatillos de taille 385. Exercice 5 P{efats âgés de 4 à 1 as} X score au questioaire CBCL, variable quatitative de moyee µ0 et d'écart-type 14 das P. Echatillo de taille 36 de X issu de P pour lequel x 0, 5. 1) populatio échatillo taille N? 36 moyee µ 0 x 0, 5 variace 14 196 s *? ) Puisque 36 30, la moyee empirique du score X 36 a ue distributio approximativemet ormale de moyee µ0, de variace 196 5, 44 et d'écart-type 14 36 36 5,44, 33 car X a ue distributio de moyee µ0 et d'écart-type 14. 0,5 0 < x où F est la foctio de répartitio de la loi,33 3) ( X ) P( X < 0,5) P Z F( 0,14) F( 0,1) 0, 583 P 36 36 N(0,1). eviro 58,3% des échatillos de taille 36 de X issus de P ot u score moye iférieur à 0,5, score moye observé. P 5 0 36 36,33 eviro 1,6% (peu) des échatillos de taille 36 de X issu de P ot u score moye supérieur à 5. 4) ( X > 5) 1 P( X 5) 1 P Z 1 F(,149) 1 F(,14) 1 0,9838 0, 016 5) 99% des échatillos de taille 36 ot u score moye iférieur au score cherché, qui est doc par défiitio le quatile d'ordre 0,99 de X 36 : 0 +,33 z 0 +,33,35 0 + 5,45 5,45 5, ( ) ( ) 4 Q 0,99 0, 99 car z 0,99,35 est le quatile d'ordre 0,99 de la loi N(0,1). 99% des échatillos de taille 36 de P ot u score moye iférieur à 5,4 eviro. 6) Itervalle de variatio à 98% (au risque α%) du score moye sur les échatillos de taille 36 de X issus de P : X Q ; Q 0 ± 5,45 0 ± 5,4 14,6; 5,4 ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] I98 % 0,01 0, 99 car Q 0,01 est symétrique de Q 0,99 par rapport à µ0. ( X ) [ Q ; Q ] [ 0 ±,33 z ] [ 0 ±,33,35] [ 0 ± 5,4] [ 14,6; 5,4] I98 % 0,01 0,99 0, 99 car z 1 (α/) z 0,99,35 est le quatile d'ordre 0,99 de la loi N(0,1). 98% des échatillos de taille 36 de X issus de P ot u score moye compris etre 14,6 et 5,4 eviro. 7) La demi-logueur de l'itervalle de variatio à 98% du score moye ( ) I est d eviro 5,4 poits pour les échatillos de taille 36 ; pour obteir ue demi-logueur plus faible, de 4 poits maximum, il faudrait doc plus de 36 efats. La demi-logueur de l'itervalle I 98% ( X ) s'écrit : z 0, 99 avec icou, 14 et α1% cous et 98% X 5
pour qu'elle 'excède pas 4 poits, il faut que : z 14 0, 99 4 doc que,35 14 c'est à dire que 4 (,35 14 ) 66, 5 doc que 67 4 o choisirait doc ue taille d'échatillo au mois égale à 67 pour que la demi-logueur de l'itervalle de pari à 98% 'excède pas 4 poits. O aurait doc ue marge d'erreur à 98% d au plus 4 poits das l estimatio du score moye das P, c est à dire das l itervalle [0 ± 4] soit etre 16 et 4 poits de QI, pour 98% des échatillos de taille 67. Exercice 6 P{sujets} X score de résistace au stress (test de Stroop), variable quatitative de moyee µ50 et d'écart-type 5 das P. Echatillo de taille 30 de X issu de P pour lequel x 41. populatio échatillo taille N? 30 moyee µ 50 x 41 écart-type 5 s*? 1) Puisque 30 30, la moyee empirique du score X 30 a ue distributio approximativemet ormale de moyee µ50, de variace 5 0, 83 et d'écart-type 5 4, 564 30 30 car X a ue distributio de moyee µ50 et d'écart-type 5. ) ( ) ( ) 41 50 P X30 < x P X30 < 41 P Z F( 1,9718) F( 1,97) 1 F( 1,97) 1 0,9756 0, 044 où F est la 4,564 foctio de répartitio de la loi N(0,1). eviro,5% (peu) des échatillos de taille 30 de X issus de P ot u score moye iférieur à 41, score moye observé. 3) ( X ) P( X > 41) 1 P( X < 41) 1 0,044 0, 9756 P 30 30 30 > x avec F foctio de répartitio de la loi N(0,1). eviro 97,5% des échatillos de taille 30 de X issu de P 'a u score moye supérieur à 41, score moye observé. 4) 5% des échatillos de taille 30 ot u score moye supérieur au score cherché doc 95% des échatillos de taille 30 ot u score moye iférieur au score cherché, qui est doc par défiitio le quatile d'ordre 0,95 de X 30 : 50 + 4,564 z 50 + 4,564 1,645 50 + 7,5 57, ( ) ( ) 5 Q 0,95 0, 95 car z 0,95 1,645 est le quatile d'ordre 0,95 de la loi N(0,1). 95% des échatillos de taille 30 de X issus de P ot u score moye iférieur à 57,5 eviro. 5) Itervalle de variatio à 90% (au risque α10%) du score moye sur les échatillos de taille 30 de X issus de P : X Q ; Q 50 ± 7,5 50 ± 7,5 4,5; 57,5 ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] I90 % 0,05 0, 95 car Q 0,05 est symétrique de Q 0,95 par rapport à µ50. X Q ; Q 50 ± 4,564 z 50 ± 4,564 1,645 ( ) [ ] [ ] [ ] [ 50 ± 7,5] [ 4,5; 57,5] I90 % 0,05 0,95 0, 95 car z 1 (α/) z 0,95 1,645 est le quatile d'ordre 0,95 de la loi N(0,1). 90% des échatillos de taille 30 de X issus de P ot u score moye compris etre 4,5 et 57,5 eviro. Exercice 7 P{fumeurs} X score au test de dépedace tabagique de Fagerström, variable quatitative de moyee µ5 et d'écarttype 4,5 das P. Echatillo de taille 45 de X issu de P. populatio échatillo taille N? 45 moyee µ 5 x? écart-type 4,5 s*? 6
1) Puisque 45 30, la moyee empirique du score X 45 a ue distributio approximativemet ormale de moyee µ5, de variace 4,5 0, 45 et d'écart-type 4,5 0, 67 car X a ue distributio de moyee µ5 et 45 45 d'écart-type 4,5. < 6 5 où F est la foctio de répartitio de la loi N(0,1). 0,67 eviro 93% des échatillos de taille 45 de X issus de P ot u score moye iférieur à 6. ) P( X 45 6) P Z F( 1,49) 0, 9319 3 5 0,67 3) P( X 45 < 3) P Z F(,9851) 1 F(,99) 1 0,9986 0, 0014 eviro 0,14% des échatillos de taille 45 de X issus de P ot u score moye iférieur à 3. 4) ( 3 < X < 6) P( X 6) P( X 3) 0,9319 0,0014 0, 9305 P 45 45 45 eviro 93% des échatillos de taille 45 de X issus de P ot u score moye compris etre 3 et 6. 9 5 0,67 5) ( X > 9) 1 P( X 9) 1 P Z 1 F( 4,97) 1 F( 5) 1 1 0 P 45 45 quasimet aucu échatillo de taille 45 de X issu de P 'a u score moye supérieur à 9. 6) 90% des échatillos de taille 45 ot u score moye iférieur au score cherché, qui est doc par défiitio le quatile d'ordre 0,9 de X 45 : 5 + 0,67 z 5 + 0,67 1,8 5 + 0,8576 5,8576 5, ( ) ( ) 86 Q0,9 0, 9 car z 0,9 1,8 est le quatile d'ordre 0,9 de la loi N(0,1). 90% des échatillos de taille 45 de X issus de P ot u score moye iférieur à 5,86 eviro. 7) Itervalle de variatio à 80% (au risque α0%) du score moye sur les échatillos de taille 45 de X issus de P : X Q ;Q 5 ± 0,8576 5 ± 0,86 4,14; 5,86 ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] I80 % 0,1 0, 9 car Q 0,1 est symétrique de Q 0,9 par rapport à µ5. X Q ;Q 5 ± 0,67 z 5 ± 0,67 1,8 ( ) [ ] [ ] [ ] [ 5 ± 0,86] [ 4,14; 5,86] I80 % 0,1 0,9 0, 9 car z 1 (α/) z 0,9 1,8 est le quatile d'ordre 0,9 de la loi N(0,1). 80% des échatillos de taille 45 de X issus de P ot u score moye compris etre 4,14 et 5,86 eviro. Exercice 8 P{cosommateurs} X ifluece de la marque de commerce lors de l'achat d'u produit, variable qualitative dichotomique : oui, o p proportio de cosommateurs ifluecés par la marque de commerce das P, p 5% 0,5 Echatillo de taille 100 de X issu de P sur lequel lesquels i le ombre observé de cosommateurs ifluecés, i la fréquece (proportio) observée de cosommateurs ifluecés f e sot doés. 1) populatio échatillo taille N? 100 proportio p 0,5 f? ) Puisque 100 30, p 100 0,5 5 5 d'où (1 p) 100 0,75 5, la fréquece empirique F 100 a ue distributio approximativemet ormale de moyee p 0,5 p(1 p) 0,5 0,75 p(1 p) 0,5 0,75 de variace 0, 001875, et d'écart-type 0,001875 0, 0433 car la 100 100 proportio de cosommateurs ifluecés par la marque de commerce p 0,5 das P. 3) Observer au mois 35 cosommateurs ifluecés sur 100 c'est observer ue fréquece f de plus de 0,35. 0,35 0,5 P( F ) P( F 0,35) 1 P( F 0,35) 1 P 100 > f 100 > 100 Z 1 F(,31) 1 0,9896 0, 0104 où F est la 0,0433 foctio de répartitio de la loi N(0,1). 7
la probabilité d'observer ue fréquece de cosommateurs ifluecés par la marque de commerce supérieure à 35% sur u échatillo de taille 100 de X issus de P (c'est à dire plus de 35 cosommateurs ifluecés par la marque de commerce), est d'eviro 1%. eviro 1% des échatillos de taille 100 de X issus de P ot ue fréquece observée de cosommateurs ifluecés par la marque de commerce supérieure à 35%. 4) Observer mois de 0 cosommateurs ifluecés sur 100 c'est observer ue fréquece f de mois de 0,. 0, 0,5 P( F ) P( F 0,) 1 P 100 f 100 Z F( 1,15) 1 F( 1,15) 1 0,8749 0, 151 où F est la foctio de 0,0433 répartitio de la loi N(0,1). la probabilité d'observer ue fréquece de cosommateurs ifluecés par la marque de commerce iférieure à 0% sur u échatillo de taille 100 de X issus de P (c'est à dire mois de 0 cosommateurs ifluecés par la marque de commerce), est d'eviro 1,5%. eviro 1,5% des échatillos de taille 100 de X issus de P ot ue fréquece observée de cosommateurs ifluecés par la marque de commerce iférieure à 0%. 5) Itervalle de variatio à 90% (au risque α10%) de la fréquece observée sur les échatillos de taille 100 de X issus de 0,5 0,75 P : I ( F ) [ Q ;Q ] [ 0,5 ± z ] [ 0,5 ± 1,645 0,0433] [ 0,5 0,07] 90 % 0,05 0,95 0,95 ± 100 I 90% (F ) [0,18 ; 0,3] [18% ; 3%] car z 1 (α/) z 0,95 1,645 est le quatile d'ordre 0,95 de la loi N(0,1). 90% des échatillos de taille 100 de X issus de P ot ue fréquece observée de cosommateurs ifluecés par la marque de commerce comprise etre eviro 18% et 3% (soit eviro etre 18 et 3 cosommateurs ifluecés par la marque de commerce). O peut doc s'attedre à ce que, sur les 100 cosommateurs de l'échatillo observé, 18 à 3 d'etre-eux eviro soiet ifluecés par la marque de commerce. 6) O observe 31 cosommateurs ifluecés par la marque de commerce sur 100 cosommateurs, soit ue fréquece observée de 31%, alors qu'o s'attedait "raisoablemet" (das 90% des cas) à e observer etre 18% et 3%, ce qui 'est pas surpreat : sur cette observatio, o e peut pas mettre e doute la représetativité de l'échatillo. Exercice 9 P{lacers d'ue pièce de moaie équilibrée} X tomber sur le côté face, variable qualitative dichotomique : oui, o p proportio de lacers tombat sur le côté face das P, p 50% 0,5 Echatillos de taille de X issu de P sur lesquels i le ombre de faces observé, i la fréquece (proportio) observée de faces f e sot doés. 1) La fréquece empirique F a pour moyee p 0,5 (puisque F est u estimateur sas biais de p) : cette moyee est costate quelle que soit la taille des échatillos (cf tableau ci-après coloe ). p(1 p) p(1 p) La fréquece empirique F a pour variace et pour écart-type qui variet avec la taille des échatillos : plus la taille de l'échatillo est grade plus la variace et l'écart-type sot faibles d'où ue plus grade précisio das l'estimatio (cf tableau ci-après coloes 3 et 4). Puisque la distributio de X 'est pas ormale ("icoue"), la forme de la distributio de la fréquece empirique F 'est pas ormale ("icoue") tat que la taille de l'échatillo est faible (<30). Lorsque la taille de l'échatillo est suffisammet grade ( 30) et que la proportio p 'est pas trop proche de 0 ou de p(1 p) 1 (p 5 et (1 p) 5), o peut cosidérer que la distributio de F est approximativemet ormale N p, (cf tableau ci-après coloes 5 et 6). taille distributio de la fréquece empirique F moyee variace écart-type coditio forme P(F > 0,6) 5 0,5 0,05 0,36 "icoue" "icoue" 10 0,5 0,05 0,1581 "icoue" "icoue" 30 0,5 0,0083 0,0913 /15 approx. ormale 0,1367 50 0,5 0,005 0,0707 /5 approx. ormale 0,0786 100 0,5 0,005 0,05 /50 approx. ormale 0,08 8
) Pour u échatillo de taille 30 la forme de la distributio de la fréquece empirique F est approximativemet ormale puisque 30 (p (1 p) 30/15 5). Il est possible de calculer cette probabilité de maière approchée, e remarquat préalablemet qu'observer 18 faces sur 30 lacers correspod à observer ue fréquece de 18/300,6 : 0,6 0,5 P( F 0,6) 1 P( F 0,6) 1 P 30 > 30 Z 1 F( 1,1 ) 1 0,8643 0, 1357 0,0913 où F est la foctio de répartitio de la loi N(0,1). eviro 13,6% des échatillos de taille 30 de X issus de P ot u ombre de faces supérieur à 18 (ou ue fréquece de faces supérieure à 0,6). 3) Pour u échatillo de taille 50 la forme de la distributio de la fréquece empirique F est approximativemet ormale puisque 30 et p (1 p) 50/5 5. Il est doc possible de calculer cette probabilité de maière approchée : 0,6 0,5 P( F 0,6) 1 P( F 0,6) 1 P 50 > 50 Z 1 F( 1,41) 1 0,907 0, 0793 0,0707 où F est la foctio de répartitio de la loi N(0,1). eviro 7,9% des échatillos de taille 50 de X issus de P ot ue fréquece de faces supérieure à 0,6 (ombre de faces supérieur à 50 0,630). 4) Cette probabilité dimiue avec la taille de l'échatillo puisque l'écart-type de la fréquece empirique F dimiue (cf tableau ci-dessus coloe 4) : la distributio de F état doc plus cocetrée autour de sa moyee p 0,5, la probabilité P(F >0,6) représetée par la surface à droite de la valeur 0,6 sous la desité de la loi de F (approximativemet ormale pour 30) sera plus petite. Pour 30, F est approximativemet ormale, il est doc possible de calculer cette probabilité de maière approchée : 0,6 0,5 pour 100 P( F 0,6) 1 P( F 0,6) 1 P 100 > 100 Z 1 F( ) 1 0,977 0, 08 0,05 où F est la foctio de répartitio de la loi N(0,1). eviro,3% des échatillos de taille 100 de X issus de P ot ue fréquece de faces supérieure à 0,6 (ombre de faces supérieur à 100 0,660). quad la taille de l'échatillo augmete, il est de mois e mois probable d'observer ue fréquece de faces supérieure à 0,6 lorsque la vraie proportio est égale à 0,5 (cf tableau ci-dessus coloe 6). 5) O s'atted à observer e moyee ue fréquece de faces égale à p0,6 c'est à dire 60 faces sur u échatillo de 100 lacers. O peut raffier cette prévisio e doat l'itervalle de variatio, par exemple à 95% (au risque α5%), de la fréquece empirique de faces sur les échatillos de taille 100 de X issus de P, déduit à partir de l'approximatio ormale de F puisque 100 30 (p (1 p) 100/50 5) : I 0,5 0,5 ( F ) [ Q ;Q ] [ 0,5 ± z ] [ 0,5 ± 1,96 0,05] [ 0,5 0,098] 95 % 0,05 0,975 0,975 ± 100 9 [0,5 ± 0,1] [0,4 ; 0,6] I 95% (F ) [40% ; 60%] car z 1 (α/) z 0,975 1,96 est le quatile d'ordre 0,975 de la loi N(0,1). pour 95% des échatillos de taille 100 de X issus de P la fréquece observée de faces sera comprise etre eviro 40% et 60% (soit eviro etre 40 et 60 faces sur 100 lacers), ce que l'o s'atted doc "raisoablemet" à observer. 6) O observe 35 faces sur 100 lacers soit ue fréquece observée de faces de 35%, alors qu'o s'attedait "raisoablemet" (das 95% des cas) à e observer etre 40% et 60%, ce qui est surpreat : soit l'échatillo observé fait partie des 5% qui ot, par costructio de l'itervalle, ue fréquece de faces e dehors de l'itervalle de pari à 95%, soit l'échatillo observé 'est pas représetatif de la variable (par ex, la pièce 'est pas réellemet équilibrée doc la proportio de faces das P est différete de (iférieure à) 50%). O peut doc douter de la représetativité de l'échatillo. 7) Sur u échatillo de taille 100, la demi-logueur de l'itervalle de variatio à 95% est d eviro 10% (cf questio 5) ; pour obteir ue demi-logueur plus faible, de 5%, il faudrait doc plus de 100 lacers. Pour icou, p0,50 et p(1 p) 0,5( 1 0,5) α5% cous, la demi-logueur de l'itervalle I 95% (F ) s'écrit : z 0, 975 1,96. 0,5 1,96 O cherche tel que : 1,96 5% 0, 05 c'est à dire 0,5 0,05 1,96 0,05 d'où 0,5 ( 1,96 10) 384, 16 o choisirait doc ue taille d'échatillo au mois égale à 385 pour que la demi-logueur de l'itervalle de pari à 95% soit iférieure à 5%. O aurait doc ue marge d'erreur à 95% d au plus 5% das l estimatio de la proportio de faces das P, c est à dire das l itervalle [0,5 ± 0,05] [0,45 ; 0,55] soit etre 45% et 55%, pour 95% des échatillos de taille 385.
Exercice 10 P{étudiats d'ue uiversité} X pratique d'au mois ue activité physique par semaie, variable qualitative dichotomique : oui, o p proportio d'étudiats pratiquat au mois ue activité physique par semaie das P, p 45% 0,45 Echatillo de taille 400 de X issu de P sur lequel o observe 05 étudiats pratiquat au mois ue activité physique par semaie c'est à dire ue fréquece (proportio) observée f 05/400 0,515. 1) populatio échatillo taille N? 400 proportio p 0,45 f 0,515 ) Puisque 400 30, p 400 0,45 180 5 d'où (1 p) 400 0,55 5, la fréquece empirique F 400 a ue p(1 p) 0,45 0,55 distributio approximativemet ormale de moyee p 0,45, de variace 0, 00061875, et 400 p(1 p) 0,45 0,55 d'écart-type 0,00061875 0,049 0, 05 car la proportio d'étudiats pratiquat au 400 mois ue activité physique par semaie p 0,45 das P. 0,515 0,45 3) P( F ) P( F 0,515) 1 P( F 0,515) 1 P 400 > f 400 > 400 Z 1 F(,51) 1 0,994 0, 006 0,049 où F est la foctio de répartitio de la loi N(0,1). eviro 0,6% des échatillos de taille 400 de X issus de P ot ue fréquece d'étudiats pratiquat au mois ue activité physique par semaie supérieure à 51,5%. L'échatillo observé fait partie de ces 0,6% d'échatillos : o avait très peu de chace d'observer autat d'étudiats (05 ou plus) pratiquat au mois ue activité physique par semaie sur u échatillo de taille 400, ce résultat est doc surpreat. 4) Itervalle de variatio à 95% (au risque α5%) de la fréquece observée sur les échatillos de taille 400 de X issus de 0,45 0,55 P : I95 % ( F ) [ Q 0,05;Q 0,975 ] [ 0,45 ± z 0,975 ] [ 0,45 ± 1,96 0,049] [ 0,45 ± 0,0488] 400 I 95% (F ) [0,45 ± 0,05] [0,4 ; 0,5] [40% ; 50%] car z 1 (α/) z 0,975 1,96 est le quatile d'ordre 0,975 de la loi N(0,1). 95% des échatillos de taille 400 de X issus de P ot ue fréquece observée d'étudiats pratiquat au mois ue activité physique par semaie comprise etre eviro 40% et 50% (soit eviro etre 160 et 00 étudiats pratiquat au mois ue activité physique par semaie). 5) La demi-logueur de l'itervalle précédet I 95% (F ) est d eviro 5% ; pour obteir ue demi-logueur plus faible, de %, il faudrait doc plus de 400 étudiats. Pour icou, p0,45 et α5% cous, la demi-logueur de l'itervalle p( 1 p) 0,45( 1 0,55) 0,45 0,55 I 95% (F ) s'écrit : z 0, 975 1,96. O cherche tel que : 1,96 % 0, 0 c'est à 1,96 1,96 dire 0,45 0,55 d'où 0,45 0,55 376, 99 0,0 0,0 o choisirait doc ue taille d'échatillo au mois égale à 377 pour que la demi-logueur de l'itervalle de pari à 95% soit iférieure à %. O aurait doc ue marge d'erreur d au plus ± % das l estimatio de la proportio d étudiats pratiquat au mois ue activité physique das P, c est à dire das l itervalle [0,45 ± 0,0] [0,43 ; 0,47] soit etre 43% et 47%, pour 95% des échatillos de taille 377. 10
Exercice 11 P {fraçais} X cosommer des atidépresseurs, variable qualitative dichotomique : oui, o p proportio de fraçais cosommateurs d'atidépresseurs das P, p coue das P : p 10% 0,1 1) Pour u échatillo de taille 30 de X issu de P 30 30, mais p 30 0,1 3 > 5, il 'est doc pas possible de cosidérer que la fréquece empirique F 30 a ue distributio approximativemet ormale. E revache F 30 a pour p(1 p) 0,1 0,9 moyee p 0,1 et pour écart-type 0,003 0,05477 0, 055 car la proportio de fraçais 30 cosommateurs d'atidépresseurs das P est p 0,1. ) Pour u échatillo de taille 80 de X issu de P, puisque 80 30, p 80 0,1 8 5 d'où (1 p) 80 0,9 5, la fréquece empirique F 80 a ue distributio approximativemet ormale de moyee p 0,1 et d'écart-type p(1 p) 0,1 0,9 80 0,00115 0,03354 0,034 car la proportio de fraçais cosommateurs d'atidépresseurs das P est p 0,1. 3) Observer 1 cosommateurs d'atidépresseurs, ou plus sur 80 correspod à observer ue fréquece (proportio) d'au mois f 1/80 0,15. La probabilité correspodate s'écrit : 0,15 0,1 P( F80 > f ) P( F80 > 0,15) 1 P( F80 0,15) 1 P Z 1 F( 1,4706) 1 F(1,47) 1 0,99 0, 0708 0,034 où F est la foctio de répartitio de la loi N(0,1) (calcul exact : 1 F(1,4907) 1 F(1,49)1 0,93190,0681). eviro 7% des échatillos de taille 80 de X issus de P ot ue fréquece de cosommateurs d'atidépresseurs supérieure à 15%, soit plus de 1 cosommateurs sur 80 fraçais. 4) Observer cosommateurs d'atidépresseurs ou mois sur 80 correspod à observer ue fréquece (proportio) d'au plus f /80 0,05. La probabilité correspodate s'écrit : 0,05 0,1 P( F80 f ) P( F80 0,05) P Z F(,059) 1 F(,1) 1 0,9864 0, 0136 où F est la foctio 0,034 de répartitio de la loi N(0,1) (calcul exact : F(,361) 1 F(,4) 1 0,98750,015). eviro 1% des échatillos de taille 80 de X issus de P ot ue fréquece de cosommateurs d'atidépresseurs iférieure à,5%, soit mois de cosommateurs sur 80 fraçais. 5) Itervalle de variatio au iveau 95% (au risque α5%) de la fréquece empirique sur les échatillos de taille 80 de X 0,1 0,9 issus de P : I ( F ) [ Q ; Q ] [ 0,1 ± z ] [ 0,1 ± 1,96 0,034] [ 0,1 ± 0,066] [ 0,034; 0,166] 95 % 80 0,05 0,975 0,975 80 I 95% (F 80 ) [10% ± 6,6%] [3,4% ; 16,6%] car z 1 (α/) z 0,975 1,96 est le quatile d'ordre 0,975 de la loi N(0,1) 95% des échatillos de taille 80 de X issus de P ot ue fréquece observée de fraçais cosommateurs d'atidépresseurs etre 3,4% et 16,6% eviro (soit etre 3 et 13 cosommateurs eviro sur 80 fraçais). 6) Observer 10 cosommateurs sur 80 persoes iterrogées c'est observer ue fréquece de f 10/800,151,5% plus élevée que la proportio p10% mais qui appartiet à l'itervalle de variatio à 95% trouvé précédemmet, c'est à dire que la probabilité d'observer cette proportio de 1,5% ou plus est supérieure à,5%, elle 'est doc pas très faible. (Elle est égale à : 0,15 0,1 P( F f ) P( F 0,15) 1 P 80 > 80 > Z 1 F( 0,7353) 1 F( 0,74) 1 0,7704 0, 96 0,034 doc eviro 3% des échatillos de taille 80 de X issus de P ot ue proportio de fraçais cosommateurs d'atidépresseurs supérieure à 1,5%) ue proportio o égligeable d'échatillos (plus de,5%) de taille 80 de X issus de P ot ue proportio de fraçais cosommateurs d'atidépresseurs supérieure à 1,5%, soit plus de 10 cosommateurs sur 80. O peut doc e déduire que ce 'est pas surpreat d'observer ue telle fréquece de cosommateurs et que l'o e peut pas mettre e doute la représetativité de l'échatillo pour la variable étudiée das la populatio étudiée, la cosommatio d'atidépresseurs chez les fraçais. 11