Économétre 5 e édton Annexes : exercces et corrgés Wllam Greene New York Unversty Édton françase drgée par Dder Schlacther, IEP Pars, unversté Pars II Traducton : Stéphane Monjon, unversté Pars I Panthéon-Sorbonne
Le présent texte est la traducton de Solutons Manual to Econometrc Analyss, 5th edton, de Wllam Greene, publé par Prentce Hall, Upper Saddle Rver, New Jersey, États-Uns. Copyrght 003 Pearson Educaton Inc. Authorzed translaton from the Englsh language edton, enttled Solutons Manual to Econometrc Analyss, 5 th edton publshed by Pearson Educaton Inc., publshng as Prentce Hall PTR, Copyrght 003 by Pearson Educaton Inc., Upper Saddle Rver, New Jersey, 07458. All rghts reserved. No part of ths book maybe reproduced or transmtted n any form or by any means, electronc or mechancal, ncludng photocopyng, recordng or by any nformaton storage retreval system, wthout permsson from Pearson Educaton Inc., French language edton publshed by PEARSON EDUCATION France, Copyrght 006. Pearson Educaton France 47 bs, rue des Vnagrers 75010 PARIS Tél. : 01 7 74 90 00 Structuraton des documents et mse en pages : edto.bz 006 Pearson Educaton France Tous drots réservés Tous les noms de produts ou marques ctés c sont des marques déposées par leurs proprétares respectfs. Toute reproducton, même partelle, par quelque procédé que ce sot, est nterdte sans autorsaton préalable. Une cope par xérographe, photographe, flm, support magnétque ou autre, consttue une contrefaçon passble des penes prévues par la lo, du 11 mars 1957 et du 3 jullet 1995, sur la protecton des drots d auteur.
Annexe A Exercce 1 Pour les matrces A = 1 3 3 4 1 et B = 4 1 5, calculer AB, A B, et BA. 6 10 10 3 5 AB = 14 30, BA = 11 3 8 10 6 0 10 11 10 A B = (BA) = 3 6. 10 8 0 Exercce Prouver que tr(ab) = tr(ba) avec A et B deux matrces quelconques, non nécessarement carrées, pouvant être multplées. Le -ème élément de la dagonale de AB est j a j b j. En sommant sur, on obtent tr(ab) = a b j j. Le j-ème élément de la dagonale de BA est b a j j j. En sommant sur, on obtent tr(ba) = jb j a j. Exercce 3 Prouver que tr(a A) = ja j. Le j-ème élément de la dagonale de A A est le produt de la j-ème colonne de A, a j. En sommant sur j, on obtent tr(a A) = = j a j ja j.
4 Économétre Exercce 4 Développer le produt de la matrce X = {[AB + (CD) ][(EF) 1 + GH]}. On suppose que toutes les matrces sont carrées et que E et F sont non sngulères. On développe d abord (CD) = D C et (EF) 1 = F 1 E 1. Le produt est alors : {[AB + (CD) ][(EF) 1 + GH]} = (ABF 1 E 1 + ABGH + D C F 1 E 1 + D C GH) = (E 1 ) (F 1 ) B A + H G B A + (E 1 ) (F 1 ) CD + H G CD Exercce 5 Prouver que, pour des vecteurs colonnes K 1, x = 1,..., n, et un vecteur non nul, a, 0 ( x a)( x a) X' M X ( x a)( x a) n = 1 ' = + ' n On écrt x a comme [( x x ) + ( x a)]. La somme est alors : n =1 [(x x ) + ( x a)] [(x x ) + ( x a)] = = 1 n (x x )(x x ) + = 1 ( x a) ( x a) + n = 1 (x x )( x a) + n = 1 ( x a) (x x ) Pusque ( x a) est un vecteur de constantes, l peut être extrat des sommes. Ans, le quatrème terme est ( x a) n = 1 (x x ) = 0. Le trosème terme est smlare. Le premer terme est X M 0 X par défnton alors que le deuxème est n( x a) ( x a). n Exercce 6 On note A une matrce carrée dont les colonnes sont [a 1, a,..., a M ] et B tout réarrangement des colonnes de la matrce dentté M M. Quelle opératon est exécutée par la multplcaton AB? Que dre de BA? B est appelée une matrce de permutaton. Chaque colonne de B, notée b, est une colonne d une matrce dentté. La j-ème colonne du produt des matrces AB est A b qu est la j-ème colonne de A. Par conséquent, la multplcaton de A par B réarrange smplement (permute) les colonnes de A (d où le nom). Chaque lgne du produt BA est l une des lgnes de A, de sorte que BA est un réarrangement des lgnes de A. Ben sûr, A n a pas beson d être carrée pour permuter ses lgnes ou ses colonnes. Snon, la matrce de permutaton applcable est d ordre dfférent pour les lgnes et les colonnes. 006 Pearson Educaton France
Annexe A 5 Exercce 7 0 0 1 On consdère le cas 3 3 de la matrce B de l exercce 6. Par exemple, B = 0 1 0 1 0 0 On calcule B et B 3. On répète cela pour une matrce 4 4. Peut-on généralser le résultat trouvé? 0 0 1 B = 1 0 0 B 3 = 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Comme chaque pussance de B est un réarrangement de I, certanes pussances de B sont égales à I. S n est cette pussance, on trouve donc B n 1 = B 1. Ce résultat est valable de façon générale. Exercce 8 1 4 7 Calculer A, tr(a) et A 1 pour A = 3 5 5 8 A = 1()(8) + 4(5)(5) + 3()(7) 5()(7) 1(5)() 3(4)(8) = 18 tr(a) = 1 + + 8 = 11 A 1 = 5 4 7 4 7 det det 8 8 det 5 1 3 5 1 7 1 7 det det det 18 5 8 5 8 3 5 = 3 1 4 1 4 det det det 5 5 3 6/18 18/18 6/18 1/18 7 /18 16 /18 4/18 18/18 10/18 006 Pearson Educaton France
6 Économétre Exercce 9 5 7 Détermner la décomposton de Cholesky de la matrce A = 7 13. La décomposton de Cholesky d une matrce A est le produt de matrces LU = A avec L une matrce trangulare nféreure et U = L. On écrt la décomposton comme 5 7 7 13 = λ11 0 λ. 11 λ1 λ1 λ. 0 λ Par multplcaton drecte, 5 = λ 11 de sorte que λ 11 = 5. Alors, λ 11 λ 1 = 7, de sorte que λ 1 = 7 / 5 = 1,4. Fnalement, λ1 + λ = 13, donc λ = 3,3. Exercce 10 Une matrce symétrque défne postve, A, peut auss être écrte comme A = UL, avec U une matrce trangulare supéreure et L = U. Ce n est néanmons pas la décomposton de Cholesky. On obtent cette décomposton de la matrce dans l exercce 9. En utlsant la même logque que dans le problème précédent, 5 7 7 13 = µ 11 µ 1 µ 11 0 0 µ. µ 1 µ En travallant du bas vers la haut, µ = 13 = 3,606. Alors, 7 = µ 1 µ de sorte que µ 1 = 7 / 13 = 1,941. Fnalement, 5 = µ +µ de sorte que µ 11 = 5 49 / 13 = 1,3, ou µ 11 1 11 = 4,61. Exercce 11 Quelle opératon est réalsée en postmultplant une matrce par une matrce dagonale? Que dre de la prémultplcaton? Les colonnes sont multplées par l élément de la dagonale correspondant. La prémultplcaton multple les lgnes par l élément de la dagonale correspondant. 006 Pearson Educaton France
Annexe A 7 Exercce 1 Est-ce que les formes quadratques qu suvent sont postves pour toutes les valeurs de x? y = x 8 xx + (11 x ) 1 1 y = 5x + x + 7x + 4x x + 6x x + 8x x 1 3 1 1 3 3 1 14 x La premère expresson peut être écrte 1 [ x1 x ] 14 11. Le détermnant de x la matrce est 11 196 = 75. Elle n est alors pas défne postve. Ans, la premère forme quadratque n est pas nécessarement postve. La seconde forme repose sur la 5 3 matrce 1 4. Il y a pluseurs façons de vérfer ce qu est demandé. Il est possble 3 4 7 d examner les sgnes des mnorants prncpaux, qu dovent être postfs. Les deux premers termes sont 5 et 5(1) ()=1, mas le trosème, le détermnant, est 34. Par conséquent, la matrce n est pas défne postve. Ses tros racnes caractérstques sont 11,1,,9 et 1. Ans, l exste des valeurs de x 1, x et x 3 pour lesquelles la forme quadratque est négatve. Exercce 13 Prouver que tr(a B) = tr(a)tr(b). Le j-ème bloc de la dagonale du produt est a jj B. Le -ème élément de la dagonale est a jj b. S on somme dans le j-ème bloc, on obtent ab jj = a jj b. La sommaton vers le bas des blocs de la dagonale donne la trace, j a b = tr(a)tr(b). jj 006 Pearson Educaton France
8 Économétre Exercce 14 k Une matrce, A, est nlpotente s lm A = 0. Prouver qu une condton nécessare et k suffsante pour qu une matrce symétrque sot nlpotente est que toutes ses racnes caractérstques soent nféreures, en valeur absolue, à 1. On utlse la décomposton spectrale pour écrre A comme CΛC avec Λ la matrce dagonale des racnes caractérstques. Alors la pussance K-ème de A est CΛ K C. La condton suffsante est évdente. Auss, pusque λ est plus grand que 1, Λ K dot croître fortement ; la condton est également nécessare. Exercce 15 4 3 Calculer les racnes caractérstques de A = 4 8 6. 3 6 5 Les racnes sont détermnées par A λ I = 0. Pour la matrce consdérée, cela donne : A λi = ( λ)(8 λ)(5 λ) + 7 + 7 9(8 λ) 36( λ) 16(5 λ) = λ 3 + 15λ 5λ = λ (λ 15λ + 5) = 0 Une soluton est zéro. (On aurat pu le devner). La deuxème colonne de la matrce correspond à deux fos la premère, ans son rang n est pas supéreur à. La matrce n a donc pas plus de deux racnes non nulles. Les deux autres racnes sont ( 15 ± 05 )/ = 0,341 et 4,659. Exercce 16 Supposer que A = A(z) avec z un scalare. Qu est-ce que x Ax / z? On suppose mantenant que chaque élément de x est auss une foncton de z. De nouveau, qu est-ce que x Ax / z? La forme quadratque est j xxa j j, de sorte que x A(z)x / z = j xx j ( a j / z ) = x ( A(z) / z)x où A(z) / z est une matrce des dérvées partelles. Mantenant, s chaque élément de x est auss une foncton de z, alors : 006 Pearson Educaton France
Annexe A 9 x Ax / z = xx ( a / z ) + ( x / z) x a + x ( x / z) a j j j j j j j j j = x ( A(z) / z)x + ( x(z) / z) A(z)x(z) + x(z) A(z)( x(z) / z) S A est symétrque, l expresson se smplfe un peu en ( A(z) / z)x + ( x(z) / z) A(z)x(z). Exercce 17 Montrer que les solutons des équatons du détermnant B λa = 0 et A 1 B λi = 0 sont les mêmes. Comment les solutons de cette équaton sont-elles lées à celles de l équaton B 1 A µi = 0? Pusque A est supposée être non sngulère, on peut écrre : B λa = A(A 1 B λi). Alors, B λa = A A 1 B λi Le détermnant de A n est pas zéro s A est non sngulère, de sorte que les solutons des deux équatons dovent être les mêmes. B 1 A étant l nverse de A 1 B, ses racnes caractérstques dovent être les récproques de celles de A 1 B. Cela pourrat poser problème c pusque ces deux matrces ne sont pas nécessarement symétrques, de sorte que les racnes pourraent être complexes. Mas, pour l applcaton donnée, les deux matrces A et B sont symétrques et défnes postves. On peut alors montrer que la soluton est la même que la trosème équaton du détermnant mplquant une matrce symétrque. Exercce 18 En utlsant la matrce A donnée dans l exercce 9, trouver le vecteur x qu mnmse y = x Ax + x 1 + 3x 10. Quelle est la valeur de y au mnmum? Mantenant, mnmser y sous la contrante x 1 + x = 1. Comparer les deux solutons. La soluton qu mnmse y = x Ax + b x + d satsfat y x = Ax + b = 0. Pour ce 5 7 problème, A = 7 13, b = 3 et A 1 13/ 76 7 / 76 = 7 / 76 5/ 76, de sorte que la soluton est x 1 = 5 / 55 = 0,0090597 et x = 61 / 55 = 0,110507. Le problème de maxmsaton sous contrante peut être traté sous la forme d un lagrangen : L* = x Ax + b x + d + λ (c x 1) où c = [1,1]. Les condtons nécessares pour la soluton sont : L* / x = Ax + b + λc = 0 L* / λ = c x 1 = 0 006 Pearson Educaton France
10 Économétre ou A c x -b = ' 0 λ 1 c 50 14 1 x1 En nsérant A, b et c, on a la soluton 14 6 1 = 3 x. La soluton aux tros 1 1 0 λ 1 équatons est obtenue en multplant le vecteur de drote par l nverse de la matrce de gauche. Les résultats sont 0,7083, 0,7917 et 5,75. La valeur de la foncton à la soluton contrante est 4,40, qu est plus grande que la valeur non contrante 10,00787. Exercce 19 Quel est le jacoben des transformatons suvantes? (Une remarque, pour les lecteurs ntéressés par la technque, concernant une erreur courante dans la lttérature : un jacoben est un détermnant. Le terme «détermnant jacoben» est une redondance nutle.) y 1 = x 1 / x lny = ln x 1 lnx + lnx 3 y 3 = x 1 x x 3 Les lettres captales représentent des logarthmes. Alors, les tros transformatons peuvent être écrtes comme : Y 1 = X 1 X Y = X 1 X + X 3 Y 3 = X 1 + X +X 3 Cette transformaton lnéare est : La transformaton nverse est : X = Y = 1 1 0 1 1 1 X = JX 1 1 1 1 1/ 1/ 0 1/ 1/ Y = 1 1 0 1 J Y 006 Pearson Educaton France
Annexe A 11 En foncton des varables orgnales, on a alors x 1 = y 1 (y / y 3 ) 1/, x = (y 3 / y ) 1/, et x 3 = y 1 y. La matrce des dérvées partelles peut être obtenue drectement, mas un raccourc algébrque se révèle utle pour obtenr le jacoben. On remarque tout d abord que x / y j = (x / y j )( logx / logy j ). Par conséquent, les éléments des dérvées partelles des transformatons nverses sont obtenus en multplant la -ème lgne par x, dans laquelle on substtue l expresson pour x en termes de y, on multple alors la j-ème colonne par (1 / y j ). Ans, le résultat de l exercce 11 est utle c. La matrce des dérvées partelles est : x1/ y1 x1/ y x1/ y3 / 1 / / x y x y x y3 = x3/ y1 x3/ y x3/ y 3 x1 0 0 1 1/ 1/ 1/ y1 0 0 0 0 x 0 1/ 1/ 0 1/ 0 y 0 0 x 3 1 1 0 0 0 1/ y 3 Le détermnant de la matrce produt est le produt des tros détermnants. Le détermnant de la matrce du centre est 1 /. Les détermnants des matrces dagonales sont les produts des éléments de la dagonale. Par conséquent, le jacoben est J = abs( x / y )= ½(x 1 x x 3 ) / (y 1 y y 3 ) = (y 1 / y ) (après avor fat les substtutons pour x ). Exercce 0 Prouver que l échange des deux colonnes d une matrce carrée nverse le sgne de son détermnant. (Indce : utlser une matrce permutaton. Vor l exercce 6.) Échanger les deux premères colonnes d une matrce équvaut à la multpler par une matrce permutaton B = [e, e 1, e 3, e 4,...] où e est la -ème colonne d une matrce dentté. Ans, le détermnant de la matrce est AB = A B. La queston porte sur le détermnant de B. On suppose que A et B ont n colonnes. Pour obtenr le détermnant de B, on le développe smplement le long de la premère lgne. Le seul terme non nul dans le détermnant est ( 1) I n 1 = 1, où I n 1 est la matrce dentté (n 1) (n 1). Cela complète la preuve. 006 Pearson Educaton France
1 Économétre Exercce 1 Supposer que x = x(z) avec z un scalare. Qu est-ce que [(x Ax) / (x Bx)] / z? Les dérvées requses sont données dans l exercce 16. On pose g = x / z ; et on note le numérateur et le dénomnateur respectvement a et b. Alors : (a / b) / z = [b( a / z) a( b / z)] / b = [x Bx(x Ag) x Ax(x Bg)] / (x Bx) = [x Ax / x Bx][x Ag / x Ax x Bg / x Bx] Exercce On suppose que y est un vecteur n 1 et X une matrce n K. La projecton de y dans l espace des colonnes de X est défne dans le manuel après l équaton (-55), y = Xb. On consdère mantenant la projecton de y * = cy dans l espace des colonnes de X * = XP, où c est un scalare et P une matrce K K non sngulère. Trouver la projecton de y * dans l espace des colonnes de X *. Prouver que le cosnus de l angle entre y * et sa projecton dans l espace des colonnes de X * est le même que celu entre y et sa projecton dans l espace des colonnes de X. Comment nterpréter ce résultat? La projecton de y * dans l espace des colonnes de X * est X * b * où b * est la soluton à l ensemble des équatons X * y * = X * X * b * ou P X (cy) = P X XPb *. Comme P est non sngulère, P a un nverse. En multplant l équaton par (P ) 1, on a cx y = X X(Pb * ) ou X y = X X[(1 / c)pb * ]. Donc, en termes du y orgnal et X, on vot que b = (1 / c)pb *, ce qu mplque b * = cp 1 b. La projecton est X * b * = (XP)(cP 1 b) = cxb. On conclut donc que la projecton de y * dans l espace des colonnes de X * est un multple c de la projecton de y dans l espace de X. Cela se comprend pusque, s P est une matrce non sngulère, l espace des colonnes de X * est exactement le même que celu de X. Le cosnus de l angle entre y * et sa projecton est le même qu entre cy et cxb. Ben sûr, c est auss le même qu entre y et Xb pusque la longueur des deux vecteurs n est pas lée au cosnus de l angle entre eux. Ans, cosθ = (cy) (cxb)) / ( cy cxb ) = (y Xb)) / ( y Xb ). 006 Pearson Educaton France
Annexe A 13 Exercce 3 1 1 1 1 Pour la matrce X = 4 3 5, calculer P = X(X X) 1 X et M = (I P). Vérfer 1 3 que MP = 0. On pose Q = 8. (Indce : montrer que M et P sont dempotentes.) a. Calculer le P et le M fondés sur XQ au leu de X. b. Quelles sont les racnes caractérstques de M et P? En premer leu : 4 0 X X = 0 54 (X X) 1 = 1/4 0 0 1/54 X(X X) 1 X = 1 4 1 1 3 1 5 1/4 0 0 1/54 1 1 1 1 4 3 5 59 11 51 13 1 11 35 15 47 = 108 51 15 45 3 13 47 3 77 = P 49 11 51 13 11 73 15 47 1 M = I P = 108 51 15 63 3 13 47 3 31 a. Il n est pas nécessare de recalculer les matrces M et P pour XQ, car ce sont les mêmes. La preuve est que la contreparte de P est (XQ)[(XQ) (XQ)] 1 (XQ) = XQ[Q X XQ] 1 Q X = XQQ 1 (X X) 1 (Q ) 1 Q X = X(X X) 1 X. La M matrce est auss la même. C est une applcaton du résultat trouvé dans l exercce précédent. La P matrce est la matrce projecton et, comme on l a vu, la projecton dans l espace de X est la même que la projecton dans l espace de XQ. b. Pusque M et P sont dempotentes, leurs racnes caractérstques dovent toutes être 0 ou 1. La trace de la matrce est égale à la somme des racnes, ce qu révèle la proporton de 1 et 0. Pour les matrces c-dessus, les traces de M et P sont égales à, de sorte que chacune a deux racnes untares et deux racnes nulles. 006 Pearson Educaton France
14 Économétre Exercce 4 On suppose que A est une matrce n n de la forme A = (1 ρi) + ρ, où est une colonne de 1 et 0 < ρ < 1. Écrre le format de A explctement pour n = 4. Trouver toutes les racnes et tous les vecteurs caractérstques de A. (Indce : l y a seulement deux racnes caractérstques dstnctes, qu se produsent respectvement 1 et n 1 fos. Chaque c d un certan type est un vecteur caractérstque de A.) 1 ρ ρ ρ ρ 1 ρ ρ Pour n = 4, A =. Il y a pluseurs façons d analyser cette matrce. On ρ ρ 1 ρ ρ ρ ρ 1 peut utlser un raccourc smple. Les racnes et vecteurs caractérstques satsfont [(1 ρ)i + ρ ]c = λc. On multple cela pour obtenr (1 ρ)c + ρ c = λc ou ρ c = [λ (1 ρ)]c. On pose µ= λ (1 ρ), de sorte que ρ c = µc. On a seulement beson de trouver les racnes caractérstques de ρ, µ. Les racnes caractérstques de la matrce orgnale sont juste λ = µ + (1 ρ). Mantenant, ρ est une matrce de rang 1, pusque chaque colonne est dentque. Par conséquent, n 1 des µ sont nuls. Ans, la matrce orgnale a n 1 racnes égales à 0 + (1 ρ) = (1 ρ). On peut trouver la dernère racne en remarquant que la somme des racnes de ρ est égale à la trace de ρ. Comme ρ a seulement une racne non nulle, cette dernère est la trace, nρ. Ans, la racne restante de la matrce orgnale est (1 ρ+ nρ). Les vecteurs caractérstques satsfont l équaton ρ c = µc. Pour la racne non nulle, on a ρ c = nρc. On dvse par nρ pour obtenr (1 / n) c = c. Cette équaton ndque que, pour chaque élément dans le vecteur, c = (1 / n) c. Cela mplque que chaque élément dans le vecteur caractérstque correspondant à la racne (1 ρ + nρ) sot le même ; en d autres termes, c est un multple d une colonne de «1». Ans, comme l a une longueur untare, le vecteur est (1/ n). Pour les racnes zéro restantes, les vecteurs caractérstques dovent satsfare ρ( c) = 0c = 0. S le vecteur caractérstque n est pas une colonne de «0», la seule façon d obtenr une négalté est d égalser c à zéro. Par conséquent, pour les n 1 vecteurs caractérstques restants, on peut utlser des vecteurs orthogonaux dont les éléments ont une somme nulle et dont les produts sont égaux à un. Il y a un nombre nfn de tels vecteurs. Par exemple, on pose D un ensemble arbtrare de n 1 vecteurs contenant n éléments. On transforme les colonnes de D en dévatons aux moyennes de leur propre colonne. Ans, on pose F = M 0 D où M 0 est défn dans la secton.3.6. Mantenant, on pose C = F(F F) -. C une combnason lnéare de colonnes de F : ses colonnes se somment à zéro. Les colonnes sont orthogonales et ont une longueur untare. 006 Pearson Educaton France
Annexe A 15 Exercce 5 Trouver l nverse de la matrce de l exercce 4. En utlsant l ndce, l nverse est : 1 1 1 [(1 ρ) I] [ ρ'][(1 ρ) I] 1 [(1 ρ) I] = { I [ ρ/(1 ρ + nρ)] '} 1 ( ρ) ρ I ( ρ) 1 + '[(1 ) ] 1 ρ Exercce 6 Prouver que chaque matrce dans la séquence de matrces H +1 = H + d d, où H 0 = I, est défne postve. Pour une applcaton, vor la secton 5.5. Pour une extenson, prouver que chaque matrce dans la séquence de matrces défne dans (5-) est défne postve s H 0 = I. Par substtutons répétées, on trouve H +1 = I + j= 1 dd j j '. Une forme quadratque de H +1 est donc : x H +1 x = x x + 1 (x' d )(d ' x) = x x + 1 (x' d ) j= j j j= C est postf pour tout x. Une façon smple d établr cela pour la matrce dans (5-) est de remarquer que, malgré sa complexté, elle est de forme H +1 = H + d d + f f. S cela commence avec une matrce défne postve, telle que I, alors un argument smlare permet d établr le fat qu elle est défne postve. j Exercce 7 cos( x) sn( x) Quelle est la matrce nverse de P = sn( ) cos( )? Quelles sont les racnes x x caractérstques de P? Le détermnant de P est cos (x) + sn (x) = 1, de sorte que l nverse «nverse» juste les sgnes des éléments hors de la dagonale. Les deux racnes sont les solutons de P λi = 0, qu est cos (x) + sn (x) λcos(x) + λ = 0. Cela se smplfe car cos (x) + sn (x) = 1. En utlsant la formule quadratque, alors :λ= cos(x) ± (cos (x) 1) 1/. Mas, cos (x) 1 = sn (x). Par conséquent, les solutons magnares de la forme quadratque résultante sont λ 1,λ = cos(x) ± sn(x). 006 Pearson Educaton France
Annexe B Exercce 1 Comben de mans dfférentes de 5 cartes peuvent être trées au poker avec un jeu de 5 cartes? Il y a 5 = (5 51 51... 1) / [(5 4 3 1)(47 46... 1)] = 598 5 960 mans possbles. Exercce Calculer la probablté d avor un «4» dans une man au poker. Il y a 48(13) mans possbles contenant un «4» et une autre carte quelconque parm les 48 restantes. Ans, étant donné la réponse au problème précédent, la probablté d avor une de ces mans est de 48(13) / 598 960 = 0,0004, ou mons d une chance sur 4 000. Exercce 3 On suppose qu un tcket de lotere coûte 1 euro par jeu. Un jeu correspond à un trage de 6 nombres, entre 1 et 48, sans remse. S vous devnez les sx nombres, vous gagnez le prx. On suppose mantenant que N = nombre de tckets vendus et P = nveau du prx. N et P sont lés par les relatons : N = 5 + 1,P P = 1 + 0,4N N et P sont en mllons. Quelle est la valeur espérée d un tcket dans ce jeu? (Ne pas oubler que le prx est partagé avec les autres gagnants.)
Annexe B 17 Le nveau du prx et le nombre de tckets vendus sont détermnés conjontement. Les solutons des deux équatons sont N = 11,9 mllons de tckets et P = 5,77 mllons d euros. Le nombre de combnasons possbles des 48 nombres sans remse est : 48 = (48 47 46... 1) / [(6 5 4 3 1)(4 41... 1)] = 1 71 51. 6 La probablté de fare le bon chox est donc de 1 / 17151 = 0,000000081. Le nombre espéré de gagnants est la valeur espérée d une varable bnomale avec N essas et une probablté de succès égale à 11,9 / 1,7 = 0,97, sot envron 1. Ans, on ne s attend pas à devor partager le prx. La valeur espérée du tcket est Prob[gagne](5,77 mllons 1) + Prob[perd]( 1). 53 centmes. Exercce 4 S x a une dstrbuton normale de moyenne 1 et d écart-type 3, explcter : a. Prob[ x > ]. b. Prob[x > 1 x < 1,5]. En utlsant la table normale : a. Prob[ x > ] = 1 Prob[ x < ] = 1 Prob[ < x < ] = 1 Prob[( 1) / 3 < z < ( 1) / 3] = 1 [F(1 / 3) F( 1)] = 1 0,6306 + 0,1587 = 0,581 b. Prob[x > 1 x < 1.5] = Prob[ 1 < x < 1.5] / Prob[x < 1,5] Prob[ 1 < x < 1,5] = Prob[( 1 1) / 3 < z < (1,5 1) / 3)] = Prob[z < 1 / 6] Prob[z < / 3] = 0,566 0,55 = 0,3137 La probablté condtonnelle est 0,3137 / 0,566 = 0,5540. 006 Pearson Educaton France
18 Économétre Exercce 5 Donner approxmatvement la probablté qu une varable aléatore suvant une dstrbuton ch-deux à 64 degrés de lberté sot nféreure à 97. z = [(97)] [(64) 1] = 1,4155. La probablté est donc approxmatvement 0,915. Avec sx chffres après la vrgule, l approxmaton est 0,91539 alors que la valeur correcte est 0,91559. Exercce 6 Inégalté de Chebychev. Pour les dstrbutons de probablté suvantes, trouver la borne nféreure de la probablté de l évènement ndqué en utlsant l négalté de Chebychev (3 18). Trouver également la probablté exacte en utlsant la table approprée : a. x ~ normale[0,3 ] et 4 < x < 4. b. x ~ ch-deux, 8 degrés de lberté, 0 < x < 16. L négalté donnée en (3 18) ndque que Prob[ x µ < kσ] > 1 1 / k. On remarque que le résultat ne donne pas d nformatons s k est nféreur ou égal à 1. a. Le rang est 4 / 3 des écarts-types, de sorte que la borne nféreure est 1 (3 / 4) ou 7 / 16 = 0,4375. De la table normale standard, la probablté réelle est 1 Prob[z < 4 / 3] = 0,8175. b. La moyenne de la dstrbuton est 8 et l écart-type est 4. Le rang est donc µ ± σ. Selon l négalté, la borne nféreure est 1 (1 / ) = 0,75. La probablté réelle est le ch-deux cumulatf (8) à 16, ce qu est un peu plus grand que 0,95. (La valeur réelle est 0,9576.) Exercce 7 Étant donné la dstrbuton de probablté jonte suvante : X 0 1 --+------------------ 0 0,05 0,1 0,03 Y 1 0,1 0,11 0,19 0,08 0,15 0,08 006 Pearson Educaton France
Annexe B 19 a. Calculer les probabltés suvantes : Prob[Y < ], Prob[Y <, X > 0], Prob[Y = 1, X > 1]. b. Trouver les dstrbutons margnales de X et Y. c. Calculer E[X], E[Y], Var[X], Var[Y], Cov[X, Y], et E[X Y 3 ]. d. Calculer Cov[Y, X ]. e. Quelles sont les dstrbutons condtonnelles de Y, étant donné que X =, et celles de X étant donné que Y > 0? f. Trouver E[Y X] et Var[Y X]. Obtenr les deux partes de la décomposton de la varance Var[Y] = E x [Var[Y X]] + Var x [E[Y X]]. On obtent tout d abord les probabltés margnales. Pour la dstrbuton jonte, on a : X: P(0) = 0,34, P(1) = 0,36, P() = 0,30 Y: P(0) = 0,18, P(1) = 0,51, P() = 0,31 Ensute : a. Prob[Y < ] = 0,18 + 0,51 = 0,69 Prob[Y <, X > 0] = 0,1 + 0,03 + 0,11 + 0,19 = 0,43 Prob[Y = 1, X 1] = 0,11 + 0,19 = 0,30 b. Elles sont données c-dessus. c. E[X] = 0(0,34) + 1(0,36) + (0,30) = 0,96 E[Y] = 0(0,18) + 1(0,51) + (0,31) = 1,13 E[X ] = 0 (0,34) + 1 (0,36) + (0,30) = 1,56 E[Y ] = 0 (0,18) + 1 (0,51) + (0,31) = 1,75 Var[X] = 1,56 0,96 = 0,6384 Var[Y] = 1,75 1,13 = 0,4731 E[XY] = 1(1)(0,11)+1()(0,15)+(1)(0,19)+()(0,08) = 1,11 Cov[X, Y] = 1,11 0,96(1,13) = 0,05 E[X Y 3 ] = 0,11 + 8(0,15) + 4(0,19) + 3(0,08) = 4,63 d. E[YX ] = 1(1)0,11+1()0,19+(1)0,15+()0,08 = 1,81 Cov[Y, X ] = 1,81 1,13(1,56) = 0,047 006 Pearson Educaton France
0 Économétre e. f. Prob[Y = 0 * X = ] = 0,03 / 0,3 = 0,1 Prob[Y = 1 * X = ] = 0,19 / 0,3 = 0,633 Prob[Y = 1 * X = ] = 0,08 / 0,3 = 0,67 Prob[X = 0 * Y > 0] = (0,1 + 0,08) / (0,51 + 0,31) = 0,3537 Prob[X = 1 * Y > 0] = (0,11 + 0,15) / (0,51 + 0,31) = 0,3171 Prob[X = * Y > 0] = (0,19 + 0,08) / (0,51 + 0,31) = 0,39 E[Y * X=0] = 0(0,05 / 0,34)+1(0,1 / 0,34)+(0,08 / 0,34) = 1,088 E[Y * X=0] = 1 (0,1 / 0,34)+ (0,08 / 0,34) = 1,559 Var[Y* X=0] = 1,559 1,088 = 0,3751 E[Y*X=1] = 0(0,1 / 0,36)+1(0,11 / 0,36)+(0,15 / 0,36) = 1,139 E[Y *X=1] = 1 (0,11 / 0,36)+ (0,15 / 0,36) = 1,97 Var[Y*X=1] = 1,97 1,139 = 0,6749 E[Y*X=] = 0(0,03 / 0,30)+1(0,19 / 0,30)+(0,08 / 0,30) = 1,167 E[Y *X=] = 1 (0,19 / 0,30)+ (0,08 / 0,30) = 1,700 Var[Y*X=] = 1,700 1,167 = 0,6749 = 0,3381 E[Var[Y*X]] = 0,34(0,3751)+0,36(0,6749)+0,30(0,3381) = 0,4719 Var[E[Y*X]] = 0,34(1,088 )+0,36(1,139 )+0,30(1,167 ) 1,13 = 1,781 1,769 = 0,001 E[Var[Y*X]] + Var[E[Y*X]] = 0,4719 + 0,001 = 0,4731 = Var[Y] Exercce 8 Prédcteur du mnmum du carré des erreurs à la moyenne. Pour la dstrbuton jonte de l exercce 7, calculer E[y E[y x]]. Trouver ensute le a et le b qu mnmsent la foncton E[y a bx]. Étant donné les solutons, vérfer que E[y E[y x]] < E[y a bx]. Le résultat est fondamental dans la théore des mondres carrés. 006 Pearson Educaton France
Annexe B 1 (x = 0) (x = 1) (x = ) E[y E[y x]] = (y=0) 0,05(0 1,088) + 0,10(0 1,139) + 0,03(0 1,167) (y=1) + 0,1(1 1,088) + 0,11(1 1,139) + 0,19(1 1,167) (y=) + 0,08( 1,088) + 0,15( 1,139) + 0,08( 1,167) = 0,4719 = E[Var[y x]]. Les condtons nécessares pour mnmser la foncton par rapport à a et b sont : E[y a bx] / a = E{[y a bx]( 1)} = 0 E[y a bx] / b = E{[y a bx]( x)} = 0 En dvsant d abord par et en prenant ensute les espérances, on obtent : E[y] a be[x] = 0 E[xy] ae[x] be[x ] = 0. On résout la premère égalté, a = E[y] be[x], et on ntègre l expresson trouvée dans la seconde pour obtenr : E[xy] E[x](E[y] be[x]) be[x ] = 0 ou (E[xy] E[x]E[y]) = b(e[x ] (E[x]) ) ou b = Cov[x, y] / Var[x] = 0,0708 / 0,4731 = 0,150 et a = E[y] be[x] = 1,13 ( 0,1497)(0,96) = 1,74 La foncton lnéare comparée à la moyenne condtonnelle donne : X = 0 x = 1 x = E[y x] 1,088 1,139 1,167 a + bx 1,74 1,14 0,974 006 Pearson Educaton France
Économétre On répète le calcul c-dessus en utlsant a + bx au leu de E[y x] : (x = 0) (x = 1) (x = ) E[y a bx] = (y = 0) 0,05(0 1,74) + 0,10(0 1,14) + 0,03(0 0,974) (y = 1) + 0,1(1 1,74) + 0,11(1 1,14) + 0,19(1 0,974) (y = ) + 0,08( 1,74) + 0,15( 1,14) + 0,08( 0,974) = 0,4950 > 0,4719 Exercce 9 On suppose que x a une dstrbuton exponentelle, f (x) = θe -θx, x > 0. Trouver la moyenne, la varance, l asymétre et l aplatssement de x. (Indce : les deux derners sont défns dans la secton 3.3.) Afn de trouver les moments centrés, on utlse les moments bruts : E[x r] r θ x = 0 θ xe dx Ils peuvent être obtenus en utlsant l ntégrale gamma. En fasant les substtutons approprées, on a : E[x r ] = [θγ(r + 1)] / θ r+1 = r! / θ r Les quatre premers moments sont : E[x] = 1 / θ, E[x ] = / θ, E[x 3 ] = 6 / θ 3 et E[x 4 ] = 4 / θ 4. La moyenne est donc 1 / θ et la varance est / θ (1 / θ) = 1 / θ. Pour les coeffcents d asymétre et d aplatssement, on a : E[x 1 / θ] 3 = E[x 3 ] 3E[x ] / θ + 3E[x] / θ 1 / θ 3 = / θ 3 Le coeffcent d asymétre normalsé est. Le coeffcent d aplatssement est : E[x 1 / θ] 4 = E[x 4 ] 4E[x 3 ] / θ + 6E[x ] / θ 4E[x] / θ 3 + 1 / θ 4 = 9 / θ 4 Le coeffcent d aplatssement est donc 6. Exercce 10 On suppose que x a la dstrbuton de probablté dscrète suvante : X 1 3 4 Prob[X = x] 0,1 0, 0,4 0,3 006 Pearson Educaton France
Annexe B 3 Trouver les moyenne et varance exactes de X. On suppose mantenant que Y = 1 / X. Trouver les moyenne et varance exactes de Y. Trouver les moyenne et varance exactes des approxmatons lnéare et quadratque de Y = f (X). Est-ce que la moyenne et la varance de l approxmaton quadratque sont plus proches de la vrae moyenne que celles de l approxmaton lnéare? On développe en premer leu un certan nombre de moments dont on a beson : E[x] = 0,1(1) + 0,() + 0,4(3) + 0,3(4) =,9 = µ E[x ] = 0,1(1) + 0,(4) + 0,4(9) + 0,3(16) = 9,3 Var[x] = 9,3,9 = 0,89 = σ Pour une utlsaton ultéreure, on obtent auss : E[x µ] 3 = 0,1(1,9) 3 +... 0,43 E[x µ] 4 = 0,1(1,9) 4 +... = 1,8737. L approxmaton est y = 1 / x. Les moyenne et varance exactes sont : E[y] = 0,1(1) + 0,(1 / ) + 0,4(1 / 3) + 0,3(1 / 4) = 0,40833 Var[y] = 0,1(1) + 0,(1 / 4) + 0,4(1 / 9) + 0,3(1 / 16) 0,40833 = 0,04645 L approxmaton lnéare de Taylor en séres autour de µ est y 1 / µ + ( 1 / µ )(x µ). La moyenne de l approxmaton lnéare est 1 / µ = 0,3448 alors que sa varance est (1 / µ 4 )Var[x-µ] = σ / µ 4 = 0,0158. L approxmaton quadratque est : y 1 / µ + ( 1 / µ )(x µ) + (1 / )( / µ 3 )(x µ) = 1 / µ (1 / µ )(x µ) + (1 / µ 3 )(x µ) La moyenne de cette approxmaton est E[y] 1 / µ + σ / µ 3 = 0,3813, et la varance est approxmée par la varance du terme de drote, (1 / µ 4 )Var[x µ] + (1 / µ 6 )Var[x µ] ( / µ 5 )Cov[(x µ), (x µ) ] = (1 / µ 4 )σ + (1 / µ 6 )(E[x µ] 4 σ 4 ] ( / µ 5 )E[x µ] 3 = 0,01498 Aucune approxmaton ne donne une estmaton proche de la varance. On remarque que dans les deux cas, l serat possble d évaluer smplement les approxmatons aux quatre valeurs de x, et de calculer drectement les moyennes et les varances. L avantage de cette approche est qu elle peut être applquée quand l y a beaucoup de valeurs de x. Elle est nécessare quand la dstrbuton de x est contnue. 006 Pearson Educaton France
4 Économétre Exercce 11 Extrapolaton de la table du ch-deux. Afn d obtenr un pont de pourcentage, entre deux valeurs, dans la table du ch-deux, on extrapole lnéarement entre les récproques des degrés de lberté. La dstrbuton du ch-deux est défne pour des valeurs non entères des paramètres des degrés de lberté, mas la table ne content pas de valeurs crtques pour les valeurs non entères. En utlsant une extrapolaton lnéare, trouver la valeur crtque à 99 % pour une varable du ch-deux avec un paramètre de degré de lberté égal à 11,3. Les valeurs crtques à 99 % pour les degrés de lberté 11 et 1 sont 4,75 et 6,17. Pour extrapoler lnéarement entre ces deux valeurs afn d obtenr la valeur correspondant à 11,3 degrés de lberté, on utlse : (111,3 1/1) c = 6,17 + (4,75 6,17) = 5,009 (1/11 1/1) Exercce 1 On suppose que x a une dstrbuton normale standard. Quelle est la foncton de densté de la varable aléatore suvante? x 1 1 y = e,0< y < π π [Indce : vous connassez la dstrbuton de z = x en (3-30). Résoudre le problème en termes de y = g(z).] On sat que z = x est dstrbuée selon un ch-deux à 1 degré de lberté. On cherche la densté de y = ke z/ où k = (π) -. La transformaton nverse est z = lnk lny, de sorte que le jacoben est / y = / y. La densté de z est celle d une gamma de paramètres 1 / et 1 /. Ans : On remarque que Γ(1 / ) = le jacoben, on obtent : f (y ) = f (z) = (1/ ) Γ(1/ ) 1/ z / 1/ e z z, > 0 π. En fasant les substtutons pour z et en multplant par 1/ (1/ ) e (ln k ln y) Γ(1/ ) y ( 1/)(lnk ln y) 1/ 006 Pearson Educaton France
Annexe B 5 Le terme exponentel se rédut à y / k. Le facteur d échelle est égal à k / y. Donc, la densté est smplement : f (y ) = (lnk lny ) 1/ = (lnk lny ) 1/ = { / [ln(1 / (y(π) 1/ ))]}, 0 < y < (π) 1/ Exercce 13 La transformaton de probablté fondamentale. On suppose que la varable aléatore contnue x a une dstrbuton cumulatve F (x). Quelle est la dstrbuton de probablté de la varable aléatore y = F (x)? (Remarque : ce résultat forme la base de la smulaton de trages à partr de nombreuses dstrbutons contnues.) La transformaton nverse est x(y ) = F 1 (y), de sorte que le jacoben est dx / dy = F 1 (y) = 1 / f (x(y)) où f (.) est la densté de x. La densté de y est f (y) = f [F 1 (y)] 1 / f (x(y)) = 1, 0 < y < 1. Ans, y a une dstrbuton contnue unforme. On remarque alors que pour obtenr un échantllon aléatore de la dstrbuton, on peut trer un échantllon y 1,..., y n de la dstrbuton de y, et ensute obtenr x 1 = x 1 (y 1 ),... x n = x n (y n ). Exercce 14 Générateurs de nombres aléatores. On suppose que x est dstrbuée unformément entre 0 et1, de sorte que f (x) = 1, 0 < x < 1. On pose θ une constante postve. Quelle est la densté de y = (1 / θ)lnx? (Indce : vor la secton 3.5.) Est-ce que cela suggère un moyen de smuler des trages de cette dstrbuton s l on a un générateur de nombres aléatores qu donne les trages de la dstrbuton unforme? Pour contnuer, suggérer un moyen de smuler des trages d une dstrbuton logstque, f (x) = e -x / (1+e -x ). La transformaton nverse est x = e -θy, de sorte que le jacoben est dx / dy = θe -θy. Comme f (x) = 1, ce jacoben est auss la densté de y. On peut smuler des trages y de toute dstrbuton exponentelle de paramètre θ en trant des observatons x de la dstrbuton unforme et en calculant y = (1 / θ)lnx. De la même façon, pour la dstrbuton logstque, la foncton cumulatve est F (x) = 1 / (1 + e -x ). Ans, des trages de y d une dstrbuton unforme peuvent être vus comme des trages de F (x). On peut alors obtenr x comme x = ln[f (x) / (1 F (x)] = ln[y / (1 y )]. 006 Pearson Educaton France
6 Économétre Exercce 15 On suppose que x 1 et x sont dstrbuées selon des los normales standard ndépendantes. Quelle est la dstrbuton jonte de y 1 = + 3x 1 + x et y = 4 + 5x 1? On suppose que vous êtes capables d obtenr deux échantllons d observatons de dstrbutons normales standard. Comment obtenr un échantllon d observatons d une dstrbuton normale bvarée de moyennes 1 et, de varances 4 et 9 et de covarance 3? On peut écrre la pare de transformatons comme : y1 3 x1 y = = + y 4 5 0 = b + Ax x Comme x ~ N[0, I], on a donc y ~ N[b + A0, AIAN] où : 13 15 E[y] = b + A0 = b = 4, Var[y] = AA = 15 5 Pour la seconde parte du problème, en utlsant les résultats c-dessus, on a beson de A et b tels que 4 3 b + A0 = (1,) et AA = 3 9. Le vecteur est smplement b = (1,). Afn de trouver les éléments de A, pluseurs étapes sont à réalser. La factorsaton de Cholesky utlsée dans l exercce 9 est probablement la plus smple. On pose y 1 = 1 + x 1. Ans, y 1 a une moyenne 1 et une varance 4, comme demandé. On pose mantenant y = + w 1 x 1 + w x. La covarance entre y 1 et y est w 1, pusque x 1 et x ne sont pas corrélées. Ans, w 1 = 3, ou w 1 = 1,5. On obtent également Var[y ] = w1 + w = 9, de sorte que w = 9 1,5 = 6,75. La matrce de transformaton est donc 0 A = 1,5,598. C est la factorsaton de Cholesky de AA que l on désre. Cela donne une méthode smple pour trouver la matrce A requse pour un certan nombre de varables. Une méthode alternatve serat d utlser les racnes et les vecteurs caractérstques de AA. Exercce 16 La densté de la dstrbuton normale standard, notée φ(x), est donnée en (3-8). La foncton fondée sur la -ème dérvée de la densté, désgnée par H = [( 1) d φ (x) / dx ] / φ(x), = 0, 1,,... est appelée le polynôme de Hermte. Par défnton, H 0 = 1. 006 Pearson Educaton France
Annexe B 7 a. Trouver les tros polynômes de Hermte suvants. b. Une équaton utle dans ce contexte est l équaton dfférentelle suvante : d r φ(x) / dx r + xd r 1 φ(x) / dx r 1 + (r 1)d r- φ(x) / dx r- = 0 Utlser ce résultat et celu de la premère queston pour trouver H 4 et H 5. Le résultat mportant à utlser dans les dérvatons est dφ(x) / dx = xφ(x). Donc, d φ(x) / dx = (x 1)φ(x) et d 3 φ(x) / dx 3 = (3x x 3 )φ(x) Les polynômes sont H 1 = x, H = x 1, et H 3 = x 3 3x. Pour la queston (b), on résout : d r φ(x) / dx r = xd r 1 φ(x) / dx r 1 (r 1)d r- φ(x) / dx r-. Par conséquent, d 4 φ(x) / dx 4 = x(3x x 3 )φ(x) 3(x 1)φ(x) = (x 4 6x + 3)φ(x) et d 5 φ(x) / dx 5 = ( x 5 + 10x 3 15x)φ(x) Ans, H 4 = x 4 6x + 3 et H 5 = x 5 10x 3 + 15x Exercce 17 Polynômes orthogonaux. Les polynômes de Hermte sont orthogonaux s x a une dstrbuton normale standard. C est-à-dre E[H H j ] = 0 s j. Le prouver pour les H 1, H, et H 3 obtenus c-dessus. E[H 1 (x)h (x)] = E[x(x 1)] = E[x 3 x] = 0 Pusque la dstrbuton normale est symétrque, alors : E[H 1 (x)h 3 (x)] = E[x(x 3 3x)] = E[x 4 3x ] = 0 Le quatrème moment de la dstrbuton normale standard est 3 fos la varance. Fnalement, E[H (x)h 3 (x)] = E[(x 1)(x 3 3x)] = E[x 5 4x 3 + 3x] = 0 parce que tous les moments d ordre mpar de la dstrbuton normale sont nuls. (Le résultat général permettant d étendre ce qu vent d être trouvé est que dans un produt de 006 Pearson Educaton France
8 Économétre polynômes de Hermte, s la somme des ndces est mpare (respectvement pare), le produt est une somme de pussances mpares (respectvement pares) de x. Cela donne une méthode permettant détermner les moments plus hauts de la dstrbuton normale s ls sont nécessares. (Par exemple, E[H 1 H 3 ] = 0 mplque que E[x 4 ] = 3E[x ].) Exercce 18 S x et y ont pour moyennes µ x et µ y, pour varancesσ x et σ y et pour covarance σ xy, quelle est l approxmaton de la matrce de covarance des deux varables aléatores f 1 = x / y et f = xy? Les éléments de JΣJN sont : x σ σ µ σ µ x y xy x 1,1 = + 4 3 µ µ µ (,) = (1,) = y y y σ x σ y µ x / 4 µ y 4 σ x µ y + σ y µ x + σ xy µ x µ y Exercce 19 Moments factorels. Pour trouver les moments d une dstrbuton de Posson par exemple, le moment factorel est un dspostf utle. (La dstrbuton de Posson est donnée dans l exemple 1 du chaptre 3) La densté est : f (x) = e -λ λ x / x!, x = 0, 1,,... Pour trouver la moyenne, on peut utlser : λ x E[x] = x = 0 xf ( x ) = x= 0 xe λ / x! = λ x 1 x= 1 e λ /( x 1)! λ y = λ y= 0 e λ / y! = λ car la somme des probabltés est égale à 1. Pour trouver la varance, on étend cette méthode en trouvant E[x(x 1)], et on procède de la même façon pour les autres moments. Utlser cette méthode pour trouver la varance et le trosème moment centré 006 Pearson Educaton France
Annexe B 9 de la dstrbuton de Posson. (Remarque : cette procédure est utlsée pour transformer le factorel dans le dénomnateur de la probablté.) En utlsant la même technque, Ans, λ x E[x(x 1)] = x = 0 xx ( 1) f( x ) = x= 0 xx ( 1) e λ / x! = λ x x= e λ /( x )! = λ λ y y 0 e λ / y! = = λ = E[x ] E[x] E[x ] = λ + λ Comme E[x] = λ, l s ensut que Var[x] = (λ + λ) λ = λ. Suvant la même méthode, ce qu précède donne : E[x(x 1)(x )] = E[x 3 ] 3E[x ] + E[x] = λ 3 Donc, E[x 3 ] = λ 3 + 3(λ + λ ) λ = λ 3 + 3λ + λ Pus, E[x E[x]] 3 = E[x 3 ] 3λE[x ] + 3λ E[x] λ 3 = λ Exercce 0 S x a une dstrbuton normale de moyenne µ et d écart-type σ, quelle est la dstrbuton de probablté de y = e x? S y = e x, alors x = lny et le jacoben est dx / dy = 1 / y. En fasant la substtuton, 1 f (y) = e σ y π C est la densté de la dstrbuton log-normale. 1 (ln µ ) / σ [ y ] 006 Pearson Educaton France
30 Économétre Exercce 1 S y a une dstrbuton log-normale, quelle est la dstrbuton de probablté de y? On pose z = y. Alors, y = z et dy / dz = 1 / ( z ). En les nsérant dans la densté c-dessus, on trouve : 1 1 1 f (z) = e σ π z z 1 = e ( σ) z π 1 1 ln / z µ σ z > 1 (ln µ)/(σ ) [ z ], z > 0, 0 Ans, z a une dstrbuton log-normale de paramètres µ et σ. En généralsant, s y a une dstrbuton log-normale de paramètres µ et σ, y r a une dstrbuton log-normale de paramètres rµ et rσ. Exercce On suppose que y, x 1, et x ont une dstrbuton jonte normale de paramètre µn = [1,, 4] 3 1 et de matrce de covarance Σ = 3 5. 1 6 a. Calculer l ordonnée à l orgne et la pente de la foncton E[y*x 1 ], Var[y*x 1 ], et le coeffcent de détermnaton dans la régresson. b. Calculer l ordonnée à l orgne et la pente de la foncton de la moyenne condtonnelle, E[y*x 1, x ]. Qu est-ce que E[y*x 1 =,5, x = 3,3]? Qu est-ce que Var[y*x 1 =,5, x = 3,3]? En premer leu, pour les varables dstrbuées normalement, on a : et et E[y*x] = µ y + Cov[y, x]{var[x]} 1 (x : x ) Var[y*x] = Var[y] Cov[y, x]{var[x]} 1 Cov[x, y] COD = Var[E[y*x]] / Var[y] = Cov[y, x]{var[x]} 1 Cov[x, y] / Var[y] 006 Pearson Educaton France
Annexe B 31 On nsère juste les chffres c-dessus pour obtenr les résultats. E[y*x 1 ] = 1 + (3 / 5)(x 1 ) = 0, + 0,6x 1 Var[y*x 1 ] = 3(1 / 5)3 = 1 / 5 = 0, COD = 0,6 (5) / = 0,9 E[y*x 1, x ] = 1 + [ 3 1] 1 5 3 6 1 = 0,4615 + 0,6154x 1 0,03846x Var[y*x 1, x ] = (0,6154, 0,03846)(3, 1)N = 0,193 E[y*x 1 =,5, x =3,3] = 1,3017 La varance condtonnelle n est pas une foncton de x 1 ou x. Exercce 3 Quelle est la densté de y = 1 / x s x a une dstrbuton ch-deux? La densté d une varable ch-deux est une varable gamma de paramètres 1 / et n / avec n les degrés de lberté de la varable ch-deux. Ans, n / 1 n (1/ ) x 1 f( x) = e x, x> 0 Γ( n /) S y = 1 / x alors x = 1 / y et dx / dy = 1 / y. Donc, après avor multplé par le jacoben, n n / 1 + 1 y (1/ ) 1 f( y) = e, y > 0 Γ( n/) y Exercce 4 Foncton génératrce des probabltés. Pour une varable aléatore dscrète, x, la foncton E[t x x ] = x= 0t Prob[ X = x ] est appelée la foncton génératrce des probabltés parce que, dans la foncton, le coeffcent de t est Prob[X=]. Supposer que x sot le nombre de répéttons d une expérence jusqu à ce que le premer succès at leu avec une probablté de succès égale à π. La densté de x est la dstrbuton géométrque : Prob[X = x] = (1 π) x 1 π 006 Pearson Educaton France
3 Économétre Quelle est la foncton génératrce des probabltés? E[t x ] = x 0 (1 π) x= t x 1 π = x= 0[ t (1 π )] (1 π ) π x = π 1 (1 π) 1 t(1 π) Exercce 5 Foncton génératrce des moments. Pour la varable aléatore X, avec une foncton de densté f (x), s la foncton M(t) = E[e tx ] exste, l s agt de la foncton génératrce des moments. En supposant qu elle exste, on peut montrer que d r M(t) / dt r t=0 = E[x r ]. Trouver la foncton génératrce des moments pour : a. La dstrbuton exponentelle de l exercce 9. b. La dstrbuton de Posson de l exercce 19. Pour la varable contnue de la queston (a), f (x) = θexp( θx), tx θ x ( θ - tx ) M(t) = 0 e θe dx = θe dx. 0 C est θ fos une ntégrale gamma avec p = 1, c = 1, et a = (θ t). Donc, M(t) = θ / (θ t) Pour la dstrbuton de Posson : tx λ x λ t x M(t) = = 0ee λ / x! = = 0e ( λe) / x! x t λ λe λe t x = x= 0 e e e ( λe ) / x! t λ+ λe λe t x = e 0 e ( λe ) / x! x= La somme est la somme de probabltés d une dstrbuton de Posson, de paramètre λe t, qu est égale à 1, de sorte que le terme avant le sgne de la somme est la foncton génératrce des moments, M(t) = exp[λ(e t 1)]. t t x 006 Pearson Educaton France
Annexe C Exercce 1 L échantllon qu sut a été tré d une dstrbuton normale de moyenne µ et d écart-type σ : x = 1,3,,1, 0,4, 1,3, 0,5,,, 1,8,,5, 1,9, 3, Calculer la moyenne, la médane, la varance et l écart-type de l échantllon. x = x n =1 n 1( x ) x = 1,5 n s = = = 0,9418 n 1 s = 0,97 Médane = 1,55, à m-chemn entre 1,3 et 1,8. Exercce En utlsant les données de l exercce précédent, tester les hypothèses suvantes : a. µ > b. µ < 0,7 c. σ = 0,5 d. En utlsant un test du rato de vrasemblance, tester l hypothèse suvante : µ = 1,8, σ = 0,8. a. On rejette l hypothèse s 1,5 est trop pett relatvement à la valeur supposée de. Pusque les données sont trées d une dstrbuton normale, on peut utlser un t test pour tester l hypothèse. Le t-rato est : t[9] = (1,5 ) / [0,97 / 10 ]= 1,47 La valeur crtque à 95 % de la t dstrbuton pour un test unlatéral est 1,833. Donc, on ne rejette pas l hypothèse au seul de 95 %. b. On rejette l hypothèse s 1,5 est excessvement large relatvement à la moyenne supposée de 0,7. Le t-rato est t[9] = (1,5 0,7) / [0,97 / 10 ]=,673. En
34 Économétre utlsant la même valeur crtque que dans le problème précédent, on rejette cette hypothèse. c. La statstque (n 1)s / σ est dstrbuée selon un ch-deux à 9 degrés de lberté. Elle est égale à 9(0,94) / 0,5 = 16,90. Les valeurs crtques au seul de 95 % de la table du ch-deux pour un test blatéral sont,70 et 19,0. Ans, on ne rejette pas l hypothèse. d. La log-vrasemblance pour un échantllon d une dstrbuton normale est : lnl = (n / )ln(π) (n / )lnσ 1 n = 1( x µ ) σ Les valeurs de l échantllon sont : µ = x =1, 5, σ = 1( x ) x n = n = 0,8476 La log-vrasemblance maxmsée pour l échantllon est 13,363. Un raccourc utle pour calculer la log-vrasemblance aux valeurs supposées est n x = n = x x + n( x µ ) = 1( µ ) n = x = 9,6. 1( ). Pour la valeur supposée µ = 1,8, on a 1( 1,8) La log-vrasemblance est 5(ln(π) 5(ln0,8) (1 / 1,6)9,6 = 13,861. La statstque du rato de vrasemblance est (lnl r lnl u ) = 0,996. La valeur crtque pour un ch-deux à degrés de lberté est 5,99. On ne rejette pas l hypothèse. Exercce 3 Supposer que l échantllon suvant est tré d une dstrbuton normale de moyenne µ et d écart-type σ : y = 3,1, 0,1, 0,3, 1,4,,9, 0,3,,, 1,5, 4,, 0,4. Tester l hypothèse selon laquelle la moyenne de la dstrbuton qu a généré ces données est la même que celle qu a produt les données de l exercce 1. Tester l hypothèse en supposant que les varances sont les mêmes. Tester l hypothèse selon laquelle les varances sont les mêmes en utlsant un F test et un test du rato de vrasemblance. (Ne pas fare l hypothèse que les moyennes sont les mêmes.) S les varances sont les mêmes, x ~ N[ µ, σ / n ] et 1 1 1 1 x ~ N[ µ, σ / n ] x x ~ N[ µ µ, σ {(1/ n ) + (1/ n )}], 1 1 1 006 Pearson Educaton France
Annexe C 35 (n 1 1)s 1 / σ ~ χ [n 1 1] et (n 1)s / σ ~ χ [n 1] (n 1 1)s 1 / σ + (n 1)s / σ ~ χ [n 1 + n ] Ans, la statstque t = {( x x ) ( µ µ )} / σ [(1/ n ) + (1/ n )] 1 1 1 { n1 s1 σ + n s σ } n1 + n ( 1) / ( 1) / /( ) est le rato d une varable normale standard et de la racne carrée d une varable ch-deux dvsée par ses degrés de lberté. Cette statstque sut une dstrbuton t avec n 1 + n degrés de lberté. Sous l hypothèse selon laquelle les moyennes sont égales, la statstque est : t = Les statstques d échantllon sont : ( ) { } x x / (1/ n ) + (1/ n ) 1 1 ( n 1) s + ( n 1) s /( n + n ) 1 1 1 n 1 = 10, x 1 = 1,5, n = 10, x = 1,6, s 1 = 0,9418 s =,0907 de sorte que t[18] = 0,1816. Cette valeur est très fable, de sorte qu on ne rejette pas l hypothèse de moyennes égales. Pour un échantllon aléatore tré de deux dstrbutons normales, sous l hypothèse de 1 1 1 varances égales, la statstque F[n 1 1, n 1] = ( n 1) s / σ /( n 1) est le rato de ( n 1) s / σ /( n 1) deux varables ch-deux ndépendantes, chacune étant dvsée par leurs degrés de lberté. Il s agt d une F dstrbuton avec n 1 1 et n 1 degrés de lberté. S n 1 = n, la statstque se rédut à F[n 1 1, n 1] = s1 / s. Étant donné l objectf assgné, l est plus pratque de placer la varance la plus grande dans le dénomnateur. Ans, pour les données d échantllon, F[9, 9] =,0907 / 0,9418 =,199. La valeur crtque au seul de 95 % d une F table est 3,18. Ans, on ne rejette pas l hypothèse de varances égales. Le test du rato de vrasemblance est fondé sur la statstque de test λ = (lnl r lnl u ). La log-vrasemblance pour l échantllon, jont de 0 observatons, est la somme de deux log-vrasemblances séparées s les échantllons sont supposés ndépendants. L nserton des estmatons de la vrasemblance maxmum est un raccourc utle pour calculer la log-vrasemblance. À l estmaton de la vrasemblance maxmum, lnl = ( n / )[1 + ln(π) + ln ]. Ans, la log-vrasemblance pour l échantllon est lnl =( 5 / )[1 + ln(π) + ln((9 / 10),0907)]= 17,35007. (On rappelle qu on ne corrge pas les degrés de lberté pour l estmateur de la varance.). La foncton de log- σ 006 Pearson Educaton France
36 Économétre vrasemblance non contrante est donc 13,363 + ( 17,35001) = 30,713077. Pour calculer la foncton de log-vrasemblance contrante, on a beson de l estmateur groupé qu ne suppose pas que les moyennes sont dentques. Il s agt de : σ = [(n 1 1) s 1 + (n 1) s ] / [n 1 + n ] = [9(0,9418) + 9(,0907)] / 0 = 1,36463 Ans, la log-vrasemblance contrante est : lnl r = ( 0 / )[1 + ln(π) + ln(1,36463)] = 31,4876. L opposé du double de la dfférence est λ = [ 31,4876 ( 30,713077)] = 1,541 qu est dstrbué comme un ch-deux à 1 degré de lberté. La valeur crtque est 3,84 On ne rejette donc pas l hypothèse. Exercce 4 Une méthode courante pour smuler des trages aléatores d une dstrbuton normale standard est de calculer la somme de 1 trages d une dstrbuton unforme [0,1] et de soustrare 6. Peut-on justfer cette procédure? La dstrbuton unforme a pour moyenne et pour varance 1 / 1. Par conséquent, la 1 statstque 1( x 1 / ) = =1 x 6 est équvalente à z = n ( x µ) / σ. Lorsque n, elle converge vers une varable normale standard. L expérence suggère qu un échantllon de 1 est suffsamment mportant pour approxmer ce résultat. Néanmons, les générateurs de nombres aléatores, développés plus récemment, utlsent généralement des procédures dfférentes fondées sur l erreur de troncature qu se produt dans la représentaton des nombres réels dans un calculateur numérque. Exercce 5 En s appuyant sur un échantllon de 65 observatons d une dstrbuton normale, on obtent une médane de 34 et un écart-type de 13,3. Établr un ntervalle de confance pour la moyenne. (Indce : utlser la dstrbuton asymptotque.) Comparer l ntervalle de confance trouvé à celu qu aurat été obtenu s 34 avat été la moyenne de l échantllon et pas la médane. La varance de la médane est πσ / (n). En utlsant la dstrbuton normale asymptotque à la place de la t dstrbuton, l ntervalle de confance est 34 1,96(13,3 π / 130) < µ < 34 + 1,96(13,3 π / 130) ou 9,95 < µ < 38,05. S l estmateur avat été la moyenne au leu de la médane, la varance asymptotque approprée aurat été σ / n, qu on estmerat avec 13,3 / 65 =,7 comparé à 4,74 pour la médane. L ntervalle de confance serat (30,77, 37,4), ce qu est un peu plus étrot. 006 Pearson Educaton France
Annexe C 37 Exercce 6 La varable aléatore x a une dstrbuton contnue f (x) et une foncton de répartton F (x). Quelle est la dstrbuton de probablté du maxmum de l échantllon? (Indce : dans un échantllon aléatore de n observatons, x 1, x,..., x n, s z est le maxmum, alors chaque observaton dans l échantllon est nféreure ou égale à z. Utlser une foncton de densté. S z est le maxmum, alors chaque observaton de l échantllon est nféreure ou égale à z. La probablté de cet évènement est Prob[x 1 # z, x # z,..., x n # z] = F (z)f(z)...f(z) = [F(z)] n. La densté est la dérvée, n[f (z)] n 1 f (z). Exercce 7 On suppose que la dstrbuton de x est f (x) = 1 / θ, 0 < x < θ. Dans un échantllon aléatore tré de cette dstrbuton, prouver que le maxmum de l échantllon est un estmateur convergent de θ. Remarque : on peut prouver que le maxmum est l estmateur de θ de la vrasemblance maxmum. Mas, les proprétés habtuelles ne s applquent pas. Pourquo? (Indce : essayer de vérfer que la dérvée premère espérée de la logvrasemblance par rapport à θ est zéro.) En utlsant le résultat du problème précèdent, la densté du maxmum est : n[z / θ] n 1 (1 / θ), 0 < z < θ θ Donc, la valeur espérée est E[z] = 0 z n dz = [θ n+1 / (n+1)][n / θ n ] = nθ / (n + 1). On trouve la varance de façon smlare, E[z θ ] = 0 z n(z / n) n 1 (1 / θ)dz = nθ / (n+) de sorte que Var[z] = E[z ] (E[z]) = nθ / [(n + 1) (n + )]. En utlsant la convergence en moyenne quadratque, on vot que lm n E[z] = θ et lm n Var[z] = 0, ans plm z = θ. Exercce 8 Dans un échantllon aléatore tré d une dstrbuton exponentelle, f (x) = 1 x θ e, x > 0, θ > 0, θ trouver l estmateur de la vrasemblance maxmum de θ et établr la dstrbuton asymptotque de cet estmateur. La log-vrasemblance est lnl = nlnθ (1 / θ) n = 1 x. L estmateur de la vrasemblance maxmum est obtenu comme la soluton de lnl / θ = n / θ + (1 / θ ) n = 1 x = 0, ou 006 Pearson Educaton France
38 Économétre θ = (1 / n) ML n = 1 x = x. La varance asymptotque de l EMV est { E[ lnl / θ ]} 1 = { E[n / θ ( / θ 3 ) n = 1 x ]} 1. Pour trouver la valeur espérée de cette varable aléatore, on a beson de E[x ] = θ. Par conséquent, la varance asymptotque est θ / n. La dstrbuton asymptotque est normale avec une moyenne θ et cette varance. Exercce 9 On consdère un échantllon de 500 observatons trées d une dstrbuton normale de moyenne µ et d écart-type σ dans lequel 35 % des observatons sont nféreures à,1 et que 55 % des observatons sont nféreures à 3,6. Estmer µet σ. S 35 % des observatons sont nféreures à,1, on en dédut que : Φ[(,1 µ) / σ] = 0,35, ou (,1 µ) / σ = 0,385,1 µ = 0,385σ De la même façon : Φ[(3,6 µ) / σ] = 0,55, ou (3,6 µ) / σ = 0,16 3,6 µ = 0,16σ La soluton jonte est µ = 3,301 etσ =,9354. Cela peut ne pas sembler évdent, mas on peut dérver auss les écarts-types asymptotques de ces estmatons en les construsant comme des estmateurs de la méthode des moments. On observe tout d abord que les deux estmatons sont fondées sur les estmateurs des moments des probabltés. On note x une des 500 observatons trées de la dstrbuton normale. Ensute, les deux proportons sont obtenues de la façon suvante : on pose z (,1) = 1[x <,1] et z (3,6) = 1[x < 3,6] des fonctons ndcatrces. Alors, la proporton 35 % est obtenue comme z (,1) et 0,55 est z (3,6). Ans, les deux proportons sont smplement les moyennes des fonctons des observatons de l échantllon. Chaque z est un trage d une dstrbuton de Bernoull avec une probablté de succès π(,1) = Φ((,1 µ) / σ) pour z (,1), et π(3,6) = Φ((3 6 µ) / σ) pour z (3,6). Par conséquent, E[ z (,1)] = π(,1) et E[ z (3,6)] = π(3,6). Les varances, dans chaque cas, sont Var[ z (.)] = 1 / n[π(.)(1 π(.))]. La covarance des deux moyennes des échantllons pose quelques dffcultés, mas on peut la dédure des résultats de l échantllon aléatore. Cov[ z (,1), z (3,6)]] = 1 / n Cov[z (,1), z (3,6)], et, comme dans un échantllonnage aléatore, les moments de l échantllon convergent vers leurs contrepartes de la populaton, Cov[z (,1), z (3,6)] = plm [{(1 / n) n = 1 z (,1)z (3,6)} π(,1)π(3,6)]. Mas, z (,1)z (3,6) dot égalser [z (,1)] qu, à son tour, dot être égal à z (,1). Il s ensut alors que Cov[z (,1), z (3,6)] = π(,1)[1 π(3,6)]. Par conséquent, la matrce de covarance asymptotque des deux proportons d échantllons est : 006 Pearson Educaton France
Annexe C 39 1 π(,1)(1 π(,1)) π(,1)(1 π(3,6)) Asy. Var[ p(,1), p(3,6)] = = n π(,1)(1 π(3,6)) π(3,6)(1 π(3,6)) S on nsère les estmatons des échantllons, on obtent : 0,000455 0,000315 Est. AsyVar. [ p(,1), p(3,6)] = S = 0,000315 0,000495 Enfn, les estmatons de µ et de σ sont obtenues comme fonctons de p(,1) et p(3,6), en utlsant la méthode des moments. Les équatons du moment sont : m m,1 3,6 1 n,1 µ = = 1 z (,1) - Φ = 0 σ n 1 n 3,6 µ = = 1 z (3,6) - Φ = 0 σ n m,1 / µ m,1 / σ On pose mantenant Γ = 3,6 / µ 3,61 / σ et on note G l estmaton de m m l échantllon de Γ. Alors, l estmateur de la matrce de covarance asymptotque de ( µ,σ ) est [GS 1 G ] 1. Il reste à établr les dérvées, qu sont juste m,1 / µ = (1 / σ)φ((,1 µ) / σ) et m,1 / σ = (,1 µ) / σ[mm,1 / Mσ] et de la même façon pour m 3,6. En ntégrant les estmatons de l échantllon, on obtent 0,37046 0,1459 G = 0,39579 0,04987. Enfn, en multplant les matrces et en calculant les nverses nécessares, on a [GS 1 G ] 1 0,10178 0,149 = 0,149 0,16973. La dstrbuton asymptotque est normale, comme d habtude. Fondé sur les résultats, un ntervalle de confance à 95 % pour µ est 3,301 ± 1,96(0,10178) =,6048 à 3,8554. Exercce 10 La varable aléatore x a la dstrbuton suvante : f (x) = e -λ λ x / x!, x = 0, 1,,... L échantllon aléatore suvant est tré : 1, 1, 4,, 0, 0, 3,, 3, 5, 1,, 1, 0, 0. Mettre en œuvre un test de Wald de l hypothèse «λ=». Pour un échantllon aléatore tré d une dstrbuton de Posson, l estmateur du maxmum de vrasemblance de λ est x = 5 / 15. La dérvée seconde de la log- 006 Pearson Educaton France
40 Économétre vrasemblance est n = 1 x / λ, de sorte que la varance asymptotque est λ / n. La statstque de Wald est : ( x W = ) = [(5 / 15 ) ] / [(5 / 15) / 15] = 1,0 λ/ n La valeur crtque à 95 % d une dstrbuton ch-deux à 1 degré de lberté est 3,84. L hypothèse n est pas rejetée. Alternatvement, on pourrat estmer la varance avec s / n =,38 / 15 = 0,159. Alors, la statstque de Wald est (1,6 ) / 0,159 = 1,01. La concluson est la même. Exercce 11 Test de la normalté. Une méthode suggérée pour tester s la dstrbuton fondant un échantllon est normale, consste à comparer la statstque L = n{asymétre / 6 + (aplatssement 3) / 4}) à la dstrbuton ch-deux à degrés de lberté. En utlsant les données de l exercce 1, mettre en œuvre ce test. Le coeffcent d asymétre est 0,1419 et l aplatssement est 1,8447. (Il s agt des trosème et quatrème moments dvsés par la trosème et la quatrème pussances de l écart-type de l échantllon.) En les ntégrant dans la formule donnée c-dessus, on obtent L = 10{0,1419 / 6 + (1,8447 3) / 4} = 0,59. La valeur crtque de la dstrbuton ch-deux à degrés de lberté (95 %) est 5,99. Ans, l hypothèse de normalté ne peut pas être rejetée. Exercce 1 On suppose que la dstrbuton jonte de deux varables aléatores x et y est : f (x, y ) = ( ) θ β+θ y x e ( βy) / x! β, θ 0, y $ 0, x = 0, 1,,... a. Trouver les estmateurs du maxmum de vrasemblance de β et θ ans que leur dstrbuton asymptotque jonte. b. Trouver l estmateur du maxmum de vrasemblance de θ / (β+θ) et sa dstrbuton asymptotque. c. Prouver que f (x) est de forme f (x) = γ(1 γ) x, x = 0, 1,,... Trouver alors l estmateur du maxmum de vrasemblance de γ et sa dstrbuton asymptotque. 006 Pearson Educaton France
Annexe C 41 d. Prouver que f(y*x) est de forme λe -λy (λy) x / x!. Prouver que f (y x) s ntègre à 1. Trouver l estmateur du maxmum de vrasemblance de λ et sa dstrbuton asymptotque. (Indce : dans la dstrbuton condtonnelle, consdérer les x comme des constantes.) e. Prouver que f (y) = θe -θy. Trouver alors l estmateur du maxmum de vrasemblance de θ et sa varance asymptotque. f. Prouver que f (x y) = e -βy (βy) x / x!. À partr de cette dstrbuton, quel est l estmateur du maxmum de vrasemblance de β? La log-vrasemblance est : lnl = nlnθ (β+θ) n = 1 Les dérvées premères et secondes sont : y + lnβ = 1 x + = 1 x log y = 1log( x!) n lnl / θ = n / θ n = 1 lnl / β = n = 1 n y y + = 1 x / β n lnl / θ = n / θ lnl / β = n = 1 lnl / β θ = 0 x / β n Par conséquent, les estmateurs du maxmum de vrasemblance sont θ = 1 / y et β = x/ y et la matrce de covarance asymptotque est l nverse de n / θ 0 E. Afn de compléter la dérvaton, on a beson de la valeur espérée n 0 = 1 x / β de n = 1 x = ne[x ]. Pour obtenr E[x ], l est nécessare d avor la dstrbuton margnale ( β+ θ) y x x ( β+ θ) y x de x, qu est f(x) = θe ( βy) / x! dy= β ( θ / x!). 0 e y dy C est β x (θ / x!) 0 fos une ntégrale gamma : f (x) = β x (θ / x!)[γ(x+1)] / (β+θ) x+1. Comme Γ(x + 1) = x!, l expresson se smplfe : f (x) = [θ / (β + θ)][β / (β + θ)] x Ans, x a une dstrbuton géométrque de paramètre π = θ / (β + θ). (C est la dstrbuton du nombre de tentatves ndépendantes jusqu au premer succès, la probablté de succès étant égale à 1 π.) Enfn, on a beson de la valeur espérée de x, qu est 006 Pearson Educaton France
4 Économétre E[x] = [θ / (β + θ)] x = 0 x[β / (β + θ)] x = β / θ. La matrce de covarance asymptotque 1 n/ θ 0 θ / n 0 demandée est alors = 0 n( β / θ)/ β 0 βθ / n. L estmateur du maxmum de vrasemblance de θ / (β + θ) est : θ /( β + θ) = (1 / y ) / [ x / y + 1 / y ] = 1 / (1 + x ) Sa varance asymptotque est obtenue en utlsant la varance d une foncton non lnéare : V = [β / (β + θ)] (θ / n) + [ θ / (β + θ)] (βθ / n) = βθ / [n(β + θ) 3 ] La varance asymptotque aurat pu être auss obtenue comme [ 1 / (1 + E[x]) ] Asy. Var[ x ].) Pour la queston (c), on remarque juste que γ = θ / (β + θ). Pour un échantllon d observatons de x, la log-vrasemblance est : lnl = nlnγ + ln(1 γ) n = 1 lnl / dγ = n / γ n = 1 x x / (1 γ) Une soluton est obtenue en remarquant tout d abord qu elle est telle que : (1 γ) / γ = x = 1 / γ 1. La soluton pour γ est donc γ = 1 / (1 + x ). Ben entendu, c est ce qu a été trouvé à la queston (b). ( β+ θ) f ( xy, ) θe y ( βy) x ( β + θ) x ( β + θ) Pour la queston (d), f (y x) = =. En élmnant f ( x) x! θ βx x ( β+ θ) y les termes et en regroupant ceux qu restent, on a f (y x) = ( β + θ)[( β + θ) y] e / x! de sorte que la densté a la forme requse avec λ = (β + θ). L ntégrale x+ est{ [ 1 λ y x λ ]/ x! } 0 e y dy. Il s agt d une ntégrale gamma égale à Γ(x + 1) / λ x+1, qu est la récproque du premer scalare, de sorte que le produt est égal à 1. La logvrasemblance est : lnl = nlnλ λ n = 1 lnl / λ = ( n = 1 lnl / λ = ( n = 1 y + lnλ n = 1 x n = 1ln x! x + n) / λ n = 1 y. x + n) / λ Donc, l estmateur du maxmum de vrasemblance de λ est (1 + x ) / y et la varance asymptotque, condtonnellement à x, est Asy. Var. λ = (λ / n) / (1 + x ). 006 Pearson Educaton France
Annexe C 43 Pour la queston (e), on peut obtenr f (y) en sommant sur x dans la densté jonte. Tout θy βy x d abord, on écrt la densté jonte comme f ( xy, ) = θe e ( βy) / x.! La somme est θ β donc f ( y) = θe y y = 0 ( β ) x x e y / x!. La somme est celle des probabltés d une dstrbuton de Posson, de sorte qu elle est égale à 1. On obtent le résultat voulu. L estmateur du maxmum de vrasemblance de θ et sa varance asymptotque sont dérvés de : lnl = nlnθ θ n = 1 lnl / θ = n / θ n = 1 y lnl / θ = n / θ Par conséquent, l estmateur du maxmum de vrasemblance est 1 / y et sa varance asymptotque est θ / n. Comme on a trouvé f (y) en factorsant f (x, y ) en f (y)f(x y) (évdent, étant donné nos résultats), la réponse sut mmédatement. Dvser juste l expresson utlsée dans la queston (e) par f (y). C est une dstrbuton de Posson de paramètre βy. La foncton de log-vrasemblance et sa dérvée premère sont : lnl = β n = 1 y + ln n = 1 x + = 1 x ln y n = 1ln x! y n d où : lnl / β = n = 1 y + n = 1 x / β β = x/ y Exercce 13 On suppose que x a une dstrbuton de Webull, f (x) = αβx β 1 exp( αx β ), x, α, β > 0. a. Écrre la foncton de log-vrasemblance pour un échantllon aléatore de n observatons. b. Trouver les équatons de vrasemblance pour l estmaton du maxmum de vrasemblance de α et β. On remarque que la premère donne une soluton explcte pour α en foncton des données et de β. Mas, après l avor ntégrée dans la seconde, on obtent seulement une soluton mplcte pour β. Comment obtenr les estmateurs du maxmum de vrasemblance? c. Établr la matrce des dérvées secondes de la log-vrasemblance par rapport à α et β. Les espérances exactes des éléments mplquant β reposent sur les dérvées de la foncton gamma et sont complexes analytquement. Ben entendu, votre 006 Pearson Educaton France
44 Économétre résultat exact donne un estmateur emprque. Comment estmer la matrce de covarance asymptotque des estmateurs de la queston (b)? d. Prouver que αβcov[lnx, x β ] = 1. (Indce : utlser le fat que les dérvées premères espérées de la foncton de log-vrasemblance sont nulles.) La log-vrasemblance et ses dérvées premères sont logl = nlogα + nlogβ + (β 1) n = 1log logl / α = n / α n = 1 x logl / β = n / β + n = 1log x α n = 1 x β x - α 1(log x ) x β n = Comme la premère équaton de vrasemblance mplque qu au maxmum, α = β n / n = 1 x, une approche serat de balayer les valeurs possbles de β et de calculer les valeurs de α correspondantes. Deux complcatons pratques vennent de l ntervalle large de β et des valeurs de départ à utlser pour la recherche. Les dérvées secondes sont : lnl / α = n / α lnl / β = n / β α 1(log x ) x β n = lnl / α β = 1(log x ) x β n = S l on dsposat des estmatons, la façon la plus smple d estmer les valeurs espérées du hessen serat d évaluer les expressons c-dessus avec les estmatons du maxmum de vrasemblance, et de calculer ensute l nverse négatf. En premer leu, comme la valeur espérée de lnl / α est zéro, l s ensut que E[x β ] = 1 / α. Mantenant, E[ lnl / β] = n / β + E[ n = 1log x ] αe[ n 1(log ) β = x x ]= 0 également. On dvse par n, et on utlse le fat que chaque terme dans une somme a la même espérance pour obtenr : 1 / β + E[lnx ] E[(lnx )x β ] / E[x β ] = 0 Mantenant, on multple par E[x β ] pour obtenr E[x β ] = E[(lnx )x β ] E[lnx ]E[x β ] ou 1 / (αβ) = Cov[lnx, x β ] β 006 Pearson Educaton France
Annexe C 45 Exercce 14 Les données suvantes ont été générées par une dstrbuton de Webull à l exercce 13 : 1,3043 0,4954 1,74 1,4019 0,35560,99650,643 1,0878 1,9461 0,476153,6454 0,15344 1,357 0,96381 0,334531,17,096 1,797 0,96080,0070 a. Trouver les estmatons du maxmum de vrasemblance de α et β et estmer leur matrce de covarance asymptotque. b. Mettre en œuvre un test de Wald de l hypothèse «β = 1». c. Trouver l estmaton du maxmum de vrasemblance de α sous l hypothèse «β = 1». d. En utlsant les résultats des questons (a) et (c) mettre en œuvre un test du rato de vrasemblance de l hypothèse «β = 1». e. Mettre en œuvre un test du multplcateur de Lagrange de l hypothèse «β = 1». Comme l a été suggéré dans le problème précédent, on peut tout d abord se concentrer β sur α. De logl / α = 0, on trouve qu au maxmum, α = 1 / [(1 / n) n = 1 x ]. On examne ensute les dfférentes valeurs de β pour chercher la valeur qu maxmse logl, où on substtue cette expresson à chaque occurrence de α. Des valeurs de β et la logvrasemblance correspondante sont données et représentées sur la fgure c-dessous. 006 Pearson Educaton France
46 Économétre β logl 0,1 6,386 0, 49,175 0,3 41,381 0,4 36,051 0,5 3,1 0,6 9,17 0,7 6,89 0,8 5,098 0,9 3,101 1,05,891 1,06,863 1,07,841 1,08,83 1,09,809 1,10,800 1,11,796 1,1,797 1,,984 1,3 3,693 006 Pearson Educaton France
Annexe C 47 Le maxmum se produt en β = 1,11. La valeur de α correspondante est 1,179. L opposé de la matrce des dérvées secondes, à ces valeurs, et son nverse sont 5.55 9.6506, -1.04506.673 I αβ = 9.6506 7.755 et I αβ, =.673.04148. La statstque de Wald de l hypothèse «β = 1» est W = (1,11 1) / 0,041477 = 0,76. La valeur crtque pour le test de talle 0,05 est 3,84, de sorte que l on ne rejette pas l hypothèse. S β = 1, alors α = n/ n = 1 x = 0,88496. La dstrbuton est géométrque s β = 1, de sorte que la log-vrasemblance contrante est logl r = nlogα α n = 1 x = n(logα 1) à l EMV. logl r en α = 0,88496 est,44435. La statstque du rato de vrasemblance est : logλ = (3,10068,44435) = 1,316. De nouveau, c est une valeur fable. Pour obtenr la statstque du multplcateur de Lagrange, on calcule : [ log L/ α log L/ β] log L/ α log L/ α β log L / α log / α β log / β log / β L L L aux estmatons contrantes de α = 0,88496 et β = 1. En fasant les substtutons adéquates dans l expresson c-dessus, on a à ces valeurs : logl / α = 0 logl / β = n + n = 1log logl / α = logl / β = n 1 1 x n = 1 x log x = 9,40034 x 1 x nx = 5,54955 x (log x ) n = 1 = 30,79486 logl / α β = 1 x log x = 8,65 n = L élément en bas à drote dans la matrce nverse est 0,041477. La statstque LM est donc (9,4003) 0,041477 =,9095. C est ben nféreur à la valeur crtque de la dstrbuton du ch-deux, de sorte que l hypothèse n est pas rejetée sur la base de ces tros tests. 006 Pearson Educaton France
48 Économétre Exercce 15 On cherche à établr un ntervalle de confance pour la varance d une dstrbuton normale. L ntervalle est formé en trouvant c bas et c haut tels que : Prob[c bas < χ [n 1] < c haut ] = 1 α Les ponts lmtes de l ntervalle de confance sont alors (n 1)s / c haut et (n 1)s / c bas. Comment trouver l ntervalle le plus étrot? On cherche smplement à mnmser la largeur de l ntervalle, c haut c bas sous contrante que la probablté contenue dans l ntervalle est (1 α). Prouver que pour la dstrbuton symétrque comme pour la dstrbuton asymétrque, l ntervalle le plus étrot est tel que la densté est la même aux deux lmtes. Le problème général est de mnmser Haut Bas sous contrante F (Haut) F (Bas) = 1 α, où F (.) est la dstrbuton ch-deux approprée. On peut trater ce problème sous la forme d un lagrangen : Mn H,B L * = H B + λ{(f (H) F (B)) (1 α)} Les condtons nécessares sont : L * / H = 1 + λf (H) = 0 L * / B = 1 λf (B) = 0 L * / λ = (F(H) F (B)) (1 α) = 0 Des deux premères équatons, l est évdent, qu au mnmum, f (H) dot être égale à f (B). 006 Pearson Educaton France
Annexe E Exercce 1 1 β c ( ) Montrer comment maxmser la foncton f (β) = / e par rapport à β pour une π constante, c, en utlsant la méthode de Newton. Montrer que maxmser logf (β) condut à la même soluton. Représenter graphquement f (β) et logf (β). La condton nécessare pour maxmser f (β) est : df (β) / dβ = 1 e π β c ( ) / [ (β c)] = 0 = (β c)f(β) La foncton exponentelle n est jamas nulle, la seule soluton ayant la condton nécessare est alors β = c. La dérvée seconde est d f (β) / dβ = (β c)df (β) / dβ f(β) = [(β c) 1]f (β). À la valeur statonnare b = c, la dérvée seconde est négatve, de sorte que c est un maxmum. On consdère à la place la foncton g(β) = logf (β) = (1 / )ln(π) (1 / )(β c). Le premer terme constant n est, ben entendu, pas pertnent pour la soluton, et la parte quadratque est toujours négatve sauf au pont β = c. Donc, l est évdent que cette foncton a la même valeur maxmsatrce que f (β). Formellement, dg(β) / dβ = (β c) = 0 en β = c, et d g(β) / dβ = 1, de sorte que c est en fat le maxmum. Un graphque des deux fonctons est donné c-après.
50 Économétre On remarque que la foncton transformée est toujours concave, alors que la foncton orgnale présente deux ponts d nflexon, et qu elle est d abord convexe, pus concave, pus convexe. Exercce Prouver que la méthode de Newton pour mnmser la somme des carrés des résdus dans le modèle de régresson lnéare converge vers le mnmum en une tératon. La foncton à maxmser est f (β) = (y Xβ) (y Xβ). Les dérvées requses sont f (β) / β = X (y Xβ) et f (β) / β β = X X. On commence mantenant l tératon de Newton en un pont arbtrare, β 0. L tératon est défne en (1-17) : β 1 = β 0 (X X) 1 { X (y Xβ 0 )} = β 0 + (X X) 1 X y (X X) 1 X Xβ 0 = (X X) 1 X y = b Donc, quelle que sot la valeur de départ chose, la valeur suvante est le vecteur de coeffcents des mondres carrés. Exercce 3 e Pour le modèle de régresson de Posson, Prob[Y = y x ] = y! foncton de log-vrasemblance est lnl = n = 1 logprob[y = y x ]. λ y λ avec λ = a. Insérer l expresson de λ pour obtenr la foncton de log-vrasemblance en foncton des données observées. b. Dérver les condtons du premer ordre pour maxmser cette foncton par rapport à β. c. Dérver la matrce des dérvées secondes de cette foncton-crtère par rapport à β. Est-ce que cette matrce est défne négatve? d. Défnr les calculs pour utlser la méthode de Newton afn d obtenr les estmatons des paramètres nconnus. e. Écrre l ensemble complet des étapes dans un algorthme afn d obtenr les estmatons des paramètres de ce modèle. Inclure dans votre algorthme un test de convergence des estmatons fondé sur le crtère suggéré de Belsley. f. Comment obtenez-vous les valeurs de départ pour les tératons? g. Les données suvantes sont générées par un modèle de régresson de Posson avec logλ = α + βx. ' e β x. La 006 Pearson Educaton France
Annexe E 51 y 6 7 4 10 10 6 4 7 3 6 5 3 3 4 x 1,5 1,8 1,8,0 1,3 1,6 1, 1,9 1,8 1,0 1,4 0,5 0,8 1,1 0,7 Utlser les résultats des questons (a) à (f) pour calculer les estmatons du maxmum de vrasemblance de α et β. Obtenr auss les estmatons de la matrce de covarance asymptotque de vos estmatons. La log-vrasemblance est : logl = n = 1 [-λ + y lnλ lny!] = La condton nécessare est : = MlnL / Mβ = n ' =1e x n ' =1e x β + =1 y ( ' x ) n β + β = 1x y - n = 1log y! n e ' x =1 n β 1log y! x β + = 1x y = 0 ou XNy = = 1x λ n n Il est utle de remarquer que, comme E[y *x ] = λ = e βnx, la condton du premer ordre est équvalente à n = 1x y = n = 1 x E[y *x ] ou XNy = XNE[y], ce qu est logque. Il est possble d écrre la condton du premer ordre comme MlnL / Mβ = n = 1 x (y λ ) = 0 qu est smlare à la contreparte de la régresson classque, s l on écrt (y λ ) = (y E[y *x ]) comme un résdu. La matrce des dérvées secondes est n β' MlnL / MβMβN = =1 ( e x ) xx ' = n = 1 λxx '. C est une matrce défne négatve. Pour le prouver, on remarque tout d abord que λ dot toujours être postf. Alors, on note Ω une matrce dagonale dont le -ème élément de la dagonale est λ, et on note Z = ΩX. Alors, MlnL / MβMβN = ZNZ qu est clarement défne négatve. Cela mplque que la foncton de log-vrasembance est globalement concave et qu l on trouve son maxmum, de façon smple et fable, en utlsant la méthode de Newton. L tératon de la méthode de Newton est défne dans (5-17). Il est possble de l applquer drectement dans ce problème. Les calculs à mener afn de mettre en œuvre la méthode de Newton pour maxmser lnl se déroulent de la façon suvante : 1. Obtenr les valeurs de départ pour les paramètres. Comme la foncton de logvrasemblance est globalement concave, les valeurs utlsées mportent généralement peu. La plupart des applcatons utlsent smplement zéro. Une suggeston qu apparaît dans la lttérature est β 0 n 1 n = = 1 qxx ' = 1qx y avec q = log(max(1, y )).. L tératon est calculée comme β t+ 1 = β t + 1 n = 1 λ ' n = n xx 1 ( = λ ) x y. 006 Pearson Educaton France
5 Économétre 3. À chaque fos qu on calcule β t+ 1, on dot vérfer la convergence. Il y a pluseurs façons de le fare : a. Gradent : est-ce que les éléments de MlnL / Mβ sont petts? b. Changement : est-ce que β t+ 1 β t est pett? c. Foncton taux de change : vérfer la talle de : n δ t = 1 ( = x y λ ) 1 n = 1 λ ' n xx 1 ( = λ ) x y avant de calculer β t+ 1. Cette mesure décrt ce qu arrve à la foncton à la valeur suvante de β. C est le crtère de Belsley. 4. Quand la convergence a été attente, la matrce de covarance asymptotque des estmatons est estmée avec la matrce nverse utlsée dans les tératons. En utlsant les données du problème, les résultats des calculs décrts sont : Iter. α β lnl MlnL/Mα MlnL/Mβ Change 0 0 0 10,387 65 95,1 96,61 1 1,37105,17816 1 44,38 1 636,5 788,5 1 56,36 0,619874,05865 461,989 581,966 996,711 516,9 3 0,10347 1,77914 141,0 195,953 399,751 197,65 4 0,351893 1,691 51,989 57,994 10,847 30,616 5 0,84956 0,698768 33,5530 1,870 3,193,75855 6 1,0588 0,45335 3,084 1,8785,989 0,03399 7 1,07777 0,4539 3,0660 0,016067 0,08454 0,0000051 8 1,07808 0,44890 3,0660 0 0 0 Aux valeurs fnales, l nverse opposé de la matrce des dérvées secondes est : 1 n = 1 λ ' xx = 0,151044 0,095961 0,095961 0,0664665 Exercce 4 Utlser l ntégraton de Monte-Carlo pour représenter la foncton g(r) = E[x r *x > 0] pour la dstrbuton normale standard. La valeur espérée de la dstrbuton normale tronquée est : 006 Pearson Educaton France
Annexe E 53 r x 0 φ( ) r r x x dx r > = 0 > = = 0 φ( xdx ) 0 π E[ x x 0] x f( x x 0) dx x e dx Pour évaluer cette espérance, on tre tout d abord un échantllon de 1 000 observatons de la dstrbuton normale standard tronquée en utlsant (5-1). Pour celle-c, µ = 0, σ = 1, P L = Φ((0 0) / 1) =, et P U = Φ((+4 0) / 1) = 1. Donc, les trages sont obtenus en transformant les trages de U(0, 1) (notée F ) en x = Φ[(1 + F )]. Comme 0 < F < 1, l argument entre crochets dot être plus grand que, de sorte que x > 0, ce qu état attendu. En utlsant les mêmes 1 000 trages à chaque fos (de façon à lsser la courbe sur 1 1000 r la fgure), on représente ensute les valeurs de xr = = 1 x, r = 0, 0,,.,4, 0,6,..., 1000 5,0. Comme expérence supplémentare, on génère un second échantllon de 1 000 observatons en les trant d une dstrbuton normale standard et en écartant, et en les retrant les valeurs qu ne sont pas postves. Les moyennes et écarts-types des deux échantllons sont (0,8097, 0,6170) pour le premer et (0,8059, 0,6170) pour le second. Le trage du second échantllon prend approxmatvement deux fos plus de temps. Pourquo? 006 Pearson Educaton France