Élémets de probabilité.. Gééralités Les probabilités s'occupet de phéomèes aléatoires, c'est à dire qui sot liés au hasard. Défiitio : O appelle expériece aléatoire, ue expériece dot les résultats, o tous idetiques, sot prévisibles, mais dot o e sait pas à l'avace lequel va se produire. Les résultats possibles d'ue épreuve de l'expériece aléatoire sot appelés les issues. Mathématiquemet, pour modéliser ue expériece aléatoire, o représete la globalité des issues par u esemble appelé uivers et oté ; chacu des élémets de cet esemble représetat ue issue possible, ces issues état toutes possibles et icompatibles etre elles deux à deux. Le choix d'u tel esemble 'est pas uique. Exemples: Jet d'u dé à six faces: ={ ;2 ; ;;5;} Jet d'ue pièce : ={pile, face} Défiitio : O appelle évéemet la réalisatio d'ue propriété lors d'ue expériece aléatoire. Pour u uivers détermié, o appelle aussi évéemet l'esemble des issues qui réaliset cette propriété. Lors d'ue épreuve, e foctio de l'issue la propriété sera réalisée ou o. Exemple: Lorsque l'o jette u dé à six faces umérotées de à, la propriété «être u ombre impair» correspod à l'évéemet A «le jet de dé a doé u ombre impair» ; il est réalisé pour les issues ; et 5 Fialemet o peut doer la défiitio suivat d'u évéemet : Défiitio : O appelle évéemet tout sous esemble A de l'uivers. Exemple: E choisissat comme uivers : ={;2 ; ;;5;} lors du lacer d'u dé à faces, l'évéemet A correspodat à la propriété «le ombre sorti est impair» sera le sous esemble A={;;5}. Défiitio : O dit qu'u évéemet A est élémetaire, si ue seule issue le réalise. Défiitio : est l'évéemet certai et l'évéemet impossible. L'évéemet A est l'évéemet qui a lieu quad l'évéemet A 'a pas lieu. L'évéemet A B est l'évéemet qui a lieu quad l'évéemet A ou (o exclusif) l'évéemet B a lieu L'évéemet A B est l'évéemet qui a lieu quad l'évéemet A et l'évéemet B ot lieu simultaémet. Si A B=, alors les évéemets A et B sot dits icompatibles: cela veut dire qu'ils e peuvet pas avoir lieu simultaémet. Exemples: Toujours, e laçat u dé, l'évéemet A correspodat à la propriété «le chiffre sorti est pair» est l'évèemet cotraire de l'évèemet A associé à la propriété «le chiffre sorti est impair». Das le tirage au sort d'ue carte d'u jeu de 2 cartes, l'évéemet A B, costitué de l'évèemet A associé à la propriété «u roi est sorti» et de l'évèemet B associé à «la couleur sortie est rouge», est le sous esemble A B= {RCa ; RCo,RTr, RPi,DCa, DCo, VCa,VCo,0Ca,0Co,9Ca,9Co,8 Ca,8 Co,7Ca,7Co, ACa, ACo} par cotre l'évéemet A B= {RCa, RCo } Page de 5 X. Ouvrard Bruet 200
Les évèemets C : «la carte sortie est u trèfle» et l'évèemet D : «la carte sortie est u cœur» sot icompatibles. 2. Échatilloage et fréqueces O effectue ue expériece aléatoire fois et l'o regarde si l'évèemet A est réalisé. O ote A le ombre de fois où c'est le cas. Défiitio : O appelle fréquece d'apparitio de A pour répétitios de l'expériece aléatoire le ombre f A = A. Les variatios de fréquece d'apparitio obteues lors de la répétitio de deux expérieces avec le même ombre d'essais, sot appelées les fluctuatios d'échatilloage. Ces fluctuatios d'échatilloage dimiuet lorsque la taille des échatillos gradit. Propriété des fréqueces. f = 2. Pour tout évéemet A, o a : 0 f A. Soit A et B deux évéemets icompatibles, alors : f A B = f A f B. Approche fréquetiste des probabilités : Lorsque deviet grad la fréquece d'apparitio de A, f A, ted vers u ombre oté p A appelé probabilité de A. Remarque : O motre que la probabilité que f A soit comprise etre p A et p A est : de 90 % pour tout ; de 9% pour supérieur à 25 ; de 95% pour supérieur à 500. Ce critère permet de fourir u moye de cotrôler la validité d'ue modélisatio. Par exemple, u dé à six faces est lacé 000 fois. La fréquece d'apparitio du est de 220. Si le dé est o truqué, la probabilité d'apparitio du serait de /. L'itervalle de dispersio serait [ 000 ; 000], soit approximativemet [0,5;0,98]. La fréquece d'apparitio du état de 0,22 il est peu plausible que le dé soit o truqué. U modèle où la probabilité d'apparitio du serait de 0,22 sera certaiemet plus approprié. Défiitio : O cosidère ue expériece aléatoire, d'issues {x ; x 2 ;... ; x }. Lorsqu'à chaque modalité x i o associe u ombre positif pour i variat de à, telles que i= =, o dit que l'o a ue loi de probabilité sur {x ; x 2 ;... ; x }. O réalise ue modélisatio de l'expériece aléatoire lorsque l'o a choisit sur u tel esemble ue loi de probabilité. Lacé d'u dé à six faces : O peut choisir comme loi de probabilité : Modalité 2 5 Probabilité Page 2 de 5 X. Ouvrard Bruet 200
Ou ecore celle-ci : Modalité 2 5 Probabilité 2 Ou 'importe laquelle qui collera à la réalité. Das le derier cas, o tiet compte du fait que le dé est truqué! Défiitio : O dit qu'ue loi de probabilité défiit pour ue expériece aléatoire de modalités {x ; x 2 ;... ; x } est équirépartie si chaque modalité a la même probabilité. O parle alors d'équiprobabilité. 2 2 Propriété : Das ce cas, =. Probabilité La démarche précédete ous permet d'aboutir à ue première approche d'ue probabilité. Nous doos maiteat ue défiitio plus formelle, qui s'affrachit de l'aspect expérimetal. Défiitio d'ue probabilité : Soit u uivers fii. O appelle probabilité, ue applicatio P qui associe à chaque évéemet A de u ombre réel P(A) de [0;], et qui soit telle que: P = Pour tout évéemet A tel que : A, P A 0. Si A, A 2,..., A sot des évéemets deux à deux icompatibles, alors: P A A 2... A =P A P A 2... P A. Propriété : Soit u uivers fii, sur lequel o défiit ue probabilité P La probabilité d'u évéemet A est la somme des probabilités des évéemets élémetaires i qui le costituet. Reveos au lacer de dé, dot la loi de probabilité est : Modalité 2 5 Probabilité Alors la probabilité de l'évéemet A : «le ombre sorti est impair» est : p(a)=p()+p()+p(5)= = 2 Si maiteat le dé est truqué et suit la loi de probabilité : Modalité 2 5 Probabilité 2 Alors la probabilité de l'évéemet A : «le ombre sorti est impair» est : p(a)=p()+p()+p(5)= 2 2 = 5 2 Propriétés : O a alors: / P =0 2/ P A = P A / P A B =P A P B P A B / Si A B, alors P A P B. Preuve :. et sot deux évéemets icompatibles, d'où : 2 2 Page de 5 X. Ouvrard Bruet 200
P P = P =P =P = et P =0. 2. A et A sot deux évéemets cotraires et A A=, d'où : P A P A =P = d'où le résultat.. Si A B=, alors A et B sot deux évéemets icompatibles et P A B =P A P B et comme P A B =P =0, la formule est prouvée. Si A B, soit A l'évéemet qui a lieu lorsque A a lieu mais quad B 'est pas réalisé. Alors A et B sot deux évéemets icompatibles et A B=A B, d'où : P A B =P A B =P A P B () O a : A=A A B, avec A et A B icompatibles, d'où : P A =P A P A B ou ecore : P A =P A P A B (2). De () et (2), o déduit : P A B =P A P B P A B.. Si A B, soit B l'évéemet qui a lieu lorsque B a lieu mais quad A 'est pas réalisé. Alors B=A B, avec A B =, d'où : P B =P A P B et doc P A P B. Propriété : O cosidère ue expériece aléatoire dot les issues sot équiprobables. ombre d'élémets de A Alors la probabilité d'u évéemet A est : p A = ombre d'élémets de. Preuve : La probabilité de A est la probabilité des évéemets élémetaires qui le costituet, qui ot tous la même probabilité. Avec le dé à faces o truqué et l'évéemet A de l'exemple précédet : p(a) = = 2 Attetio!!! Cette formule deviet fausse dès que l'o 'a pas équiprobabilité Cotre-exemple : Avec le dé à faces truqué et l'évéemet A de l'exemple précédet, o aurait avec cette formule : =, ce qui e correspod à la probabilité trouvée ci-dessus. 2. Variables aléatoires Défiitio : Soit u uivers fii. Ue variable aléatoire X sur est ue applicatio de das R telle qu'à toute issue de o associe u réel x telle que pour tout x R l'esemble des tels que X =x soit u évéemet de, que l'o ote X=x. Remarque : Cette coditio imposée à la variable aléatoire est toujours vérifiée lorsque l'uivers est fii. O peut reteir qu'ue variable aléatoire X sur est ue foctio qui associe à chaque issue de u réel. Das le lacé de deux dés, o peut défiir la variable aléatoire S qui à chaque issue associe la somme des deux dés. Das le lacé d 'ue pièce o truquée, dot les issues sot pile/face o peut défiir ue variable aléatoire X preat la valeur 0 lorsque l'issue est pile et quad l'issue est face. Défiitio : Soit u uivers fii, sur lequel o a défii ue loi de probabilité P. O ote x,x 2,...,x les valeurs prises par ue variable aléatoire X sur. O défiit ue loi de probabilité pour la variable X, e défiissat pour chaque x i la probabilité de l'évéemet X=x i comme la probabilité de l'esemble des issues ayat pour image x i par X. Page de 5 X. Ouvrard Bruet 200
Sur ue pièce o truquée et équilibrée, sas trache, qu'o lace deux fois x i 0 2 P X=x i Défiitio : Soit u uivers fii, sur lequel o a défii ue loi de probabilité P. Soit X ue variable aléatoire sur, admettat pour valeurs x,x 2,...,x, de loi de probabilité défiie par P X=x i = pour i. L'espérace de X est le réel E X défii par : E X = i= 2 x i. La variace de X est le réel V X défii par : V X = x i E X 2. i= L'écart-type de X est le réel X défii par : X = V X. Propriété : O a : V X = i= x i 2 E X 2. Preuve : V X = i= V X = i= x i E X 2 = i= x i 2 2 E X E X E X 2 = i= x i 2 2 x i E X E X = x i 2 E X 2 i= x 2 i 2 E X i= x i E X 2 i= Page 5 de 5 X. Ouvrard Bruet 200