A not qu la numéotation ds paagaphs adopté ici st calqué su cll du cous oal afin d facilit l suivi du cous magistal, mais n épond pas au noms d pésntation usulls d'un documnt écit CURS DE MECANIQUE - VIBRATINS è anné Cathin PTEL, Philipp GATIGNL Chapit UTILS MATHEMATIQUES : VECTEURS ET REPERES DE L'ESPACE Univsité du Main - UFR Scincs t Tchniqus Cathin Potl, Philipp Gatignol Univsité du Main, L Mans Cathin Potl, Philipp Gatignol Univsité du Main, L Mans
Chapit : utils mathématiqus : vctus t pès d l'spac Chapit : utils mathématiqus : vctus t pès d l'spac I VECTEURS LIBRES, RIENTATIN DE L'ESPACE 3 Vctus glissants ou glissus L'usag ds vctus n mécaniqu st fondamntal Il pmt d pésnt ls vitsss t ls accéléations ds points, ls otations ds solids, ls focs cés ainsi qu lus momnts, tc Plusius tps d vctus sont intoduits pami lsquls ls vctus liés t ls vctus lis Nous intoduions à popos ds focs l concpt d vctu glissant Enfin, ctains vctus tls qu ls vctus otation ont un définition qui dépnd du choi d l'ointation d l'spac Il st donc ssntil avant tout d in distingu cs divss notions Vctus liés - Vctus lis Sans nt dans ds considéations mathématiqus, la distinction nt vctus liés t vctus lis put s ésum apidmnt pa : on put di qu l'on n'ffctu d'opéations qu su ds vctus lis tandis qu'on n put dssin qu ds vctus liés La pésntation géométiqu ds focs, tll qu'll sa décit au chapit 3, fait appl au concpt d vctu glissant défini ci-dssous (figu ) Définition : on appll vctu glissant, ou glissu, l'nsml ds vctus liés équipollnts à un vctu lié AA, ' AA g t situés su la doit ( ') Il s'agit donc d'un notion intmédiai nt l vctu lié t l vctu li B' B A' A A A' B figu B' La pésntation géométiqu d'un vctu lié st tès simpl : on dssin l sgmnt AA' muni d'un flèch indiquant son témité (voi figu ) Pa cont, il n'st pas possil d pésnt dictmnt un vctu li n utilis toujous pou cla l'un d ss pésntants, dont on choisit souvnt l'oigin n un point paticuli d l'spac Figu 4 intation d l'spac Pou pé la position d points ou d'ojts dans l'spac, il st nécssai d'intodui ds gandus algéiqus, tlls qu ls ascisss ou ls angls D mêm qu l sign d l'asciss d'un point lativmnt à un point oigin dépnd du choi qui st fait pou l'ointation d la doit, un plan donné st suscptil d cvoi du ointations Elémnts caactéistiqus d'un vctu li Un vctu li V, défini à pati d'un vctu lié AA, ' g, put êt caactéisé pa la donné : d'un diction d doit ointé qui pécis - la diction du vctu, cll d la doit AA' g - l sns du vctu, clui d A vs A' d'un longuu (nom aithmétiqu) qui pécis - l modul du vctu, égal à la longuu AA' Notation : V ou V intation d l'spac à du dimnsions En géométi plan, on tavaill su la "fuill d papi" ou su l "talau" Du sns d otation sont possils : l sns "ds aiguills d'un mont" t l sns opposé (sns tigonométiqu) int l plan consist à choisi l'un d cs du sns afin d'évalu algéiqumnt ls angls La convntion haitull consist à choisi l sns tigonométiqu intation d'un plan dans l'spac à tois dimnsions La convntion pécédnt n'a cpndant plus d sns losqu l plan considéé st situé dans l'spac Il put alos êt gadé d'un côté ou d l'aut, t c qui cospond au sns ds aiguills d'un mont pou un osvatu sa l sns opposé pou un osvatu situé d l'aut côté Cathin Potl - - Univsité du Main - L Mans Cathin Potl - - Univsité du Main - L Mans
Chapit : utils mathématiqus : vctus t pès d l'spac Chapit : utils mathématiqus : vctus t pès d l'spac n ointa donc un plan d l'spac n pécisant d'aod qul st l dmi-spac d'où il faut gad c plan Pou c fai, on choisit su un doit nomal au plan un ointation L dmi-spac d'osvation st alos clui vs lqul "point" la doit ointé (figu 3) tll qu L'ointation du plan, vu d c dmi-spac, st alos défini usullmnt pa la convntion du sns tigonométiqu n maqu c choi pa la considéation ds du as odonnés t tls qu l'angl algéiqu (, ) soit égal à + π pou l'ointation ainsi choisi II BASES ET CMPSANTES D'UN VECTEUR Bas othonomé dict d i st un as othonomé si t sulmnt si : B =,, = = (vctus othogonau du à du) = (vctus unitais) Avc cs convntions, on dia l tiplt odonné ds dictions ointés (,, ) st positif au sns d l'ointation d l'spac Si, d plus, du ds vctus d la as définissnt l sns positif du toisièm slon la "ègl du ti-ouchon" ou slon la "ègl ds tois doigts", B = d,, i st un as othonomé dict Sinon, ll st indict Figu 4-a Règl du ti ouchon : otation d vs : pogssion slon (figu 4-a) Figu 3 Rpésntation plan : où désign un vctu "ntant" dans l plan d la fuill désign un vctu "pointant" vs l lctu (figu 4-) Figu 4- Rpè othonomé dict Un pè R d l'spac st défini pa la donné - d'un point d l'spac applé oigin, soit - soit d tois dictions ointés,, ppndiculais du à du - soit d tois vctus lis unitais, othogonau du à du, soit B = d,, i, la as othonomé associé au pè R Tminologi t notations : on pal alos du pè (, ) t d as = (,, ) R, (, ), ( ;,, ) B, noté slon ls cas : ou (,B) ou du pè d'oigin Cathin Potl - 3 - Univsité du Main - L Mans Cathin Potl - 4 - Univsité du Main - L Mans
Chapit : utils mathématiqus : vctus t pès d l'spac Chapit : utils mathématiqus : vctus t pès d l'spac 3 Coodonnés d'un point - composants d'un vctu Un vctu a ds composants su un as B = d,, i Ainsi, M M = + +, égalmnt noté : M () B Rmaqu fondamntal Un mêm vctu a ds H composants diffénts suivant la as su laqull il st pojté Il faut donc toujous Figu 5 signal dans qull as on a pojté l vctu Un point M a pou coodonnés dans l pè R =, Bg : M,, g III CALCUL VECTRIEL Soint V t V du vctus lis d l'spac, d moduls l t l spctivmnt Poduit scalai d du vctus V Figu 6 V Soit l'angl aithmétiqu (compis nt 0 t π) d V t V L poduit scalai ds vctus V t V st l nom algéiqu défini comm l poduit l l cos V V = V V = l l cos= V V cos () a) Popiétés du poduit scalai VV = V (3) V V = 0 l'un (au moins) ds du vctus st nul (4-a) ou in ls du vctus sont othogonau nt u (4-) Rlation avc ls opéations algéiqus : F I - α V V αv V (5) HG F HG = KJ F H G I - V V+ V = V V+ V V (6) KJ V u Si v t donc : ) Utilisation ds composants V u t v alos V V = u u + v v + w w (7) Poduit vctoil d du vctus W Figu 7 V V V = u + v + w I K J (8) L poduit vctoil ds du vctus lis V t V st l vctu li W aant pou modul l poduit suivant (toujous positif) : Notation : W= V V a) Popiétés du poduit vctoil W = V V sin (9) W= V V st ppndiculai à V t à V (0) La diction d W= V V st donné pa la "ègl du ti-ouchon" ou pa la "ègl ds tois doigts" () V V = 0 V = 0 ou (t) V = 0 ou = 0ou π () Si l poduit vctoil d du vctus st nul, ou in l'un (au moins) d cs vctus st nul, ou in ls vctus ont mêm diction V V V V = (3) Cathin Potl - 5 - Univsité du Main - L Mans Cathin Potl - 6 - Univsité du Main - L Mans
Chapit : utils mathématiqus : vctus t pès d l'spac F I HG K J F I = HG K J F I + HG K J = + αv V α V V (4) 3 3 (5) V V V V V V V V u Si v IV ) Utilisation ds composants t V u v alos V V V u V u V V v w w v v v = wu uw B uv vu REPERES DANS L'ESPACE PHYSIQUE Rpè catésin Coodonnés catésinns Soit R = d ;,, i un pè othonomé positif donné A tout point M d l'spac, on associ l vctu li M (6) Ls composants d M su la as d,, i sont applés "coodonnés catésinns du point M dans l pè R " Nous ls notons,, Cla vint à di qu M = + + Coodonnés clindiqus (7) n considè un plan Π ointé confomémnt au sns d sa nomal, soit, t un pè R = d ;,, i L pè d;, i st donc un pè positif du plan a) Coodonnés polais dans l plan H étant un point qulconqu d ;, d i, on considè la doit Hg su laqull on choisit un ointation qui n'st pas nécssaimnt cll du vctu H n définit ainsi un a n désign pa : Chapit : utils mathématiqus : vctus t pès d l'spac = H : la msu algéiqu H su Η : l'angl algéiqu, g, défini modulo π t constitunt un coupl d "coodonnés polais" associé au point H Figu 8 Rmaqus : A un point H cospond un infinité d coupls d coodonnés polais : - il a déjà l'infinité, + kπ k a f - si l'on chang l choi d l'ointation d la doit Hg, l'a st changé n son opposé, donc n - t n + π (modulo π) - on a donc la doul infinité d points : ) Coodonnés clindiqus RST + +, + kπ, π kπ ak f (8) L pè R = d ;,, i étant donné, on put pé un point M qulconqu d l'spac d la maniè suivant : on considè ls pojctions H su l plan d ;, i t K su l'a La position d H st péé dans l plan pa ss coodonnés polais H, g t clls d K su pa la msu algéiqu K = K = K M H = H Figu 9 L point M st donc péé pa l tiplt,,g applé "coodonnés clindiqus" d M dans R = ;,, i, avc l'indétmination d su t déjà signalé n définit la as othonomé local ds coodonnés clindiqus B c = d,, i où,, sont définis dans l sns ds,, coissants Cathin Potl - 7 - Univsité du Main - L Mans Cathin Potl - 8 - Univsité du Main - L Mans
Chapit : utils mathématiqus : vctus t pès d l'spac Chapit : utils mathématiqus : vctus t pès d l'spac c) Rlations avc ls coodonnés catésinns Mach à suiv : Il faut d'aod détmin ls lations nt ls vctus d la as ds coodonnés catésinns B = d,, i t ls vctus d la as othonomé local ds coodonnés clindiqus B c = d,, i Sachant nsuit qu M = + + alos ls lations nt,, gt,, tntion ds lations chchés : Figu 0 g t aussi qu M = +, on n déduia La pojction ds vctus d la as B c = d,, i su cu d la as B = d,, i donn (figu 0) : = cos + sin = sin + cos (9) = Invsmnt, la pojction ds vctus d la as B = d,, i su cu d la as B c = d,, i donn : R = cos sin = sin + cos, (0) = c qui put êt ésumé dans l talau suivant : D plus, M = + = cos + sin + = + + d i d'où cos sin 0 () sin cos 0 0 0 R = cos = sin () = 3 Coodonnés sphéiqus g étant donné, c qui vint à défini R = d L pè, ;,, i, t M désignant un point qulconqu non situé su, on considè l plan défini pa t c point M C plan coup l plan ; d, i slon un doit qu l'on oint d tll sot qu l'a ainsi défini "point" dans l dmi plan contnant M Comm pécédmmnt, on appll l vctu unitai poté pa ctt doit ointé n désign pa : : l'angl algéiqu, g, défini modulo π, : l'a ppndiculai, dans l plan d ;, i tl qu, g=, : l vctu unitai poté pa l'a, : la doit Mg ointé dans l sns du vctu M, : la msu algéiqu M, toujous positiv, : l vctu unitai poté pa l'a, : l'angl ointé, g, compté positivmnt dans l plan, g, c'stà-di l plan d;, i, confomémnt à l'ointation d sa nomal t compis nt 0 t π, : l'a ppndiculai, dans l plan ; d, i tl qu, g=, : l vctu unitai poté pa l'a, g ou R c = d ;,, i st donc un nouvau pè othonomé positif, déduit d, g pa otation d autou d, commun au du K pès M, g ou R s = d ;,, i st donc un nouvau pè othonomé positif, déduit d, g pa otation d autou d, commun H au du pès L point M st donc péé pa l tiplt,, g applé "coodonnés sphéiqus" d M dans R > 0 Figu R = d ;,, i, avc 0, π (3) 0π π, g Cathin Potl - 9 - Univsité du Main - L Mans Cathin Potl - 0 - Univsité du Main - L Mans
Chapit : utils mathématiqus : vctus t pès d l'spac Rmaqu : Cs coodonnés n sont pas définis losqu M st su s'appll l'aimut t la colatitud Chchons maintnant ls lations avc ls coodonnés catésinns Mach à suiv : * Il faut d'aod détmin ls lations nt ls vctus d la as ds coodonnés catésinns B = d,, i avc ls vctus d la as local ds coodonnés clindiqus =,, i, c qui a fait l'ojt du IV/-c) B c d * Il faut nsuit détmin ls lations nt ls vctus d la as local ds coodonnés clindiqus B c = d,, i avc ls vctus d la as local ds coodonnés sphéiqus B s = d,, i * Sachant nsuit qu M = + + t aussi qu M =, on n déduia alos ls lations nt,, gt,, g tntion ds lations chchés : Ls du figus suivants a) t ) sont tout à fait équivalnts La pmiè s appoch plus du dssin n pspctiv d la figu, alos qu la duièm pmt d s amn à un configuation classiqu pou pojt ls vctus d as où figu a) figu ) désign un vctu "ntant" dans l plan d la fuill désign un vctu "pointant" vs l lctu Chapit : utils mathématiqus : vctus t pès d l'spac La pojction ds vctus d la as B s =,, donn : R = cos = sin = d i su cu d la as B c = d,, i + sin + cos (4) Invsmnt, la pojction ds vctus d la as B c = d,, i su cu d la as B s = d,, i donn : R = cos sin = sin + cos (5) = Il st nsuit à mplac ls vctus d la as B c = d,, i pa lu pssion n fonction ds vctus d la as B = d,, i dans l'équation pécédnt, c qui put êt ésumé dans l talau suivant : D plus, M = = dsin cos + sin sin + cos = + + d'où sin cos sin sin cos coscos cossin sin sin cos 0 4 En ésumé - Coodonnés catésinns :,, ; M = + + R - Coodonnés clindiqus :,, - Coodonnés sphéiqus :,, i (6) = sin cos = sin sin (7) = cos g ; M = + g ; M = M = M 0= M 0 B B B 0 c s Cathin Potl - - Univsité du Main - L Mans Cathin Potl - - Univsité du Main - L Mans