Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag sur 67 Qulqus mots d'itroductio Durat ctt aé difficil t très péibl, j'ai rcé mo pu d compétcs das u scod t u trmial S L prést documt rprd l'itégralité d tous ls dvoirs survillés accompagés d lurs corrigés qui ot été doés das ctt drièr class Nous avrtissos otr aimabl lctur qu'il trprd la lctur d c rcuil à ss proprs risqus t périls Ls propos tus t ls rcics proposés das l prést documt sot pédagogiqumt très icorrcts t 'gagt qu lur autur Ls dvoirs doés puvt paraîtr trop logs vu l tmps doé Il doit êtr précisé qu l barêm a souvt compté plus ds poits ormau Plus il y a d qustios, plus ls élèvs puvt motrr lurs compétcs Durat ctt aé d trmial, j'ai doé trois formats d dvoir : ds dvoirs dits prss d'u duré d'u hur, ds dvoirs survillés d du hurs t du bac blacs d quatr hurs L format court d'u hur m'a paru idéal pour imposr à ctt désspérat TS u rythm d travail qu'll rchigait à adoptr Tout au log d l'aé, mo ittio a été d préparr ls élèvs au rcics qu'ils pourrait avoir l jour fatidiqu Car malgré c qu baucoup dist, c qui motiv ls élèvs d trmial st lur bac fi d'aé Baucoup ds rcics doés sot ds adaptatios plus ou mois fidèls d'rcics doés au bac D'autrs sot ds créatios A chacu d' fair l'usag qui lui plaira Jérôm ONILLON Au sommair : Dvoir Eprss No Dvoir Eprss No6 Dvoir Survillé No Dvoir Eprss No6 Dvoir Eprss No9 Dvoir Survillé No Dvoir Eprss No58 L prmir bac blac Dvoir Eprss No6 Dvoir Survillé No Dvoir Eprss No79 Dvoir Eprss No79 L duièm bac blac5 Dvoir Survillé No 6 Dvoir Survillé No 6 Not : l prést documt put pas êtr fouri qu'à titr gratuit L'autur roc à aucu d ss droits L prést documt st clusivmt mis lig par l sit La tavr d l'irladais (http://wwwtaopahcom) So cotu 'a aucu valur officill t 'gag qu so autur Il st fouri tl qul, sas aucu garati L prést documt a été mis lig pour la prmièr fois l dimach 8 jui 6 Das la collctio Iquiétats cofssios, la Tavr d l'irladais vous prést Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu L'itégralité ds dvoirs d maths d'u saiso 5-6 6 Tous ls rcics d c rcuil sot soit ds adaptatios d'rcics du bac S, soit ds créatios purs coçus t imagiés par Jérôm ONILLON, profssur d maths d plus plus désagrégé La tavr d l'irladais http://wwwtaopahcom Editio du mrcrdi jui 6 L pir 'st jamais sûr Et pourtat l voilà!
Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag sur 67 Dvoir Eprss No L cott U dvoir prss st u format court, u évaluatio d'u hur dot l but st d tstr ls élèvs sur ds poits précis du cours ou crtais compétcs dircts C'st u format itrmédiair tr ls gros DS d du hurs t ls itrros d vigt miuts U d lurs objctifs était d dor u rythm d travail à u class qui ' avait plus Mais ça, faut pas l dir! C DE- fut fait sas calculatric t portait sur tout c qu l'o put attdr début d'aé d TS : dérivatio, limits t asymptots, cotiuité Il ut liu à la mi-sptmbr 5 Il costitua l prmir cotact ds élèvs avc ls QCM qu l'o rtrouv régulièrmt das ls sujts d bac Différc avc ls mis, ils sot baucoup mois difficils L'éocé Prmièr parti : ds qustios à la dériv (7,5 poits) Das l prést rcic, chaqu bo répos rapport,5 poits t chaqu mauvais lèv,75 U qustio sas répos rapport i 'lèv aucu poit Si l total ds poits obtus à ct rcic st égatif, il st ramé à Pour chaqu qustio, o tourra la répos choisi Aucu justificatio 'st dmadé d) Parmi ls foctios suivats, laqull st la dérivé d la foctio f () =? ) Parmi ls foctios suivats, laqull st la dérivé d f () =? 5 5 ( ) ( ) ( ) ( ) Scod parti : ds qustios à la limit (,5 poits) Das l prést rcic, chaqu bo répos rapport,5 poits t chaqu mauvais lèv,75 U qustio sas répos rapport i 'lèv aucu poit Si l total ds poits obtus à ct rcic st égatif, il st ramé à Pour chaqu qustio, o tourra la répos choisi Aucu justificatio 'st dmadé a) Qull st la limit d la foctio f () = lorsqu td vrs? a) Parmi ls foctios suivats, laqull st la dérivé d f () =? b) Qull st la limit d la foctio 7 f () = lorsqu td vrs par la gauch? b) Parmi ls itrvalls suivats, lqul st l'smbl d dérivabilité d la foctio f () =? ] ;[ ] ;] ] ; [ [ ; [ c) Parmi ls foctios suivats, laqull st la dérivé d la foctio f () =? 6 c) Qull st la limit d la foctio f () = lorsqu td vrs?
Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag sur 67 Drièr parti : u ptit problèm (9 poits) La foctio h st défii sur par : Das l prést rcic, chaqu bo répos rapport,5 poits t chaqu mauvais lèv,75 U qustio sas répos rapport i 'lèv aucu poit Si l total Si alors h() = f () ds poits obtus à ct rcic st égatif, il st ramé à Pour chaqu qustio, o tourra la répos ou ls réposs choisis A l'cptio d h() = la qustio f, aucu justificatio 'st dmadé d) Qull la limit d la foctio h lorsqu td vrs? La foctio f st défii t dérivabl sur l'smbl ] ;[ ] ; [ O appll (C) la courb rpréstat ctt foctio f L tablau d variatio d la foctio f st l suivat : f a) Combi l'équatio f () = admt-ll d solutios das ] ;[ ] ; [? Aucu U Du Trois b) Parmi ls égalités suivats, la ou lsqulls sot assurémt fausss? f '( 7) = f '( ) = f ' = ) Qull la limit d la foctio h lorsqu td vrs? f) La foctio h st-ll cotiu? O justifira sa répos U bo répos o justifié sra cosidéré comm ull No Oui c) Parmi ls équatios d droits suivats, u sul st cll d'u asymptot à la courb (C) Laqull st-c? = y = y = y = L corrigé Prmièr parti : ds qustios à la dériv a) La foctio f () = st u somm d foctios dérivabls sur ' ' ' ' f '() = = = =
Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag sur 67 b) Pour qu la raci d'u foctio u soit dérivabl, il faut t il suffit qu u soit dérivabl t égalmt qu'll soit strictmt positiv Coclusio : la limit d la foctio f st Doc l'a ds abscisss (qui a pour équatio y = ) st u asymptot horizotal à la courb d f au voisiag d La foctio u() = état dérivabl sur, sul sa positivité pos qustio u() st positif > > > ] ; [ c) La foctio f () = st l produit ds foctios u() = t v() = dérivabls sur ] ; [ Lurs dérivés rspctivs sot u '() = t v'() = Doc : f '() = u 'v v'u = = = = d) Comm la foctio u() = st dérivabl t strictmt positiv sur l'itrvall ],5; [ alors il va d mêm pour sa raci f () = u() D plus : u ' f '() = = = u ) Ls foctios u() = t v() = sot dérivabls sur \{,5 } Lurs dérivés rspctivs sot u '() = t v '() = u Comm l déomiatur v s'aul pas sur ct smbl alors lur quotit f = y v st aussi dérivabl Par suit : u 'v v'u ( ) ( ) 6 6 5 f '() = = = = v Scod parti : ds qustios à la limit a) L quotit f () = st u form idétrmié du typ sous l'écritur qui ous st proposé Pour lvr ctt idétrmiatio, ous allos factorisr ls umératur t déomiatur du quotit f par lurs trms ls plus forts Pour tout rél o ul, ous pouvos écrir : f () = = = = b) Lorsqu td vrs par la gauch : L umératur 7 td vrs 7 = L déomiatur td vrs car il st égatif à gauch d E fft, l tablau d sig d ( )( ) Doc l quotit f() td vrs = st : = Coséquc : la droit vrtical d'équatio = st u asymptot à la courb d f 6 c) A prmièr vu, la foctio ratioll f () = st u form idétrmié du typ Pour lvr ctt icrtitud, factorisos ls umératur t déomiatur d f par lurs trms ls plus forts Pour tout rél o ul, ous avos : 6 6 6 6 f () = = = = Coclusio : la limit d la foctio f st Doc la droit d'équatio y = st u asymptot horizotal à la courb d f au voisiag d
Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag 5 sur 67 Drièr parti : u ptit problèm La droit obliqu d'équatio y = put êtr u asymptot à la courb (C) a) La foctio f st dérivabl doc cotiu sur l'smbl ] ;[ ] ; [ qu'au voisiag d l'u ds du ifiis Si ll l'st au voisiag d, cla sigifi qu la limit d f st C qui Sur ] ; [, ll croît strictmt d à Doc l'équatio f () = a u uiqu solutio das ct itrvall D mêm, sur l'itrvall [ ;[, f décroît strictmt d à Par coséqut, l'équatio f () = a u duièm solutio das ct itrvall Sur l'itrvall ] [, f décroît strictmt d à Mais ctt drièr limit 'st jamais attit car la décroissac st strict! L'équatio f () = 'a doc aucu solutio das ct itrvall Coclusio : l'équatio f () = a actmt du solutios das ] ;[ ] ; [ b) L sig d la dérivé do ls variatios d la foctio Et réciproqumt! ;, la foctio f état croissat, sa dérivé f ' st positiv ou Sur l'itrvall ] [ ull Il st assurémt fau d dir qu f '( 7) puiss êtr égal à Comm la foctio f admt u maimum = alors la tagt à sa courb c poit st horizotal Doc l cofficit dirctur d cll-ci qui st aussi l ombr f ' f ' = st assurémt fau dérivé ( ) écssairmt ul Doc affirmr qu Efi, la foctio f état décroissat sur l'itrvall ] ;[ ou ull Doc f '( ) put êtr égal à, sa dérivé st égativ 'st pas possibl car d'après so tablau d variatio : lim f () = Si ll l'st au voisiag d, cla sigifi qu la limit d f st Là cor, ça coll pas avc so tablau d variatio car lim f () = Rst la droit obliqu d'équatio y = qui put êtr u asymptot à la courb (C) au voisiag d C'st d'll dot parl l'éocé d la qustio d) Lorsqu td vrs, f() td vrs Doc so ivrs f () td vrs Doc h() td vrs = Coséquc : la droit horizotal d'équatio y = st u asymptot à la courb rpréstativ d h au voisiag d ) Lorsqu s' va vrs, f() td vrs mais état positif Doc so ivrs f () td vrs = Doc h() td vrs ( ) = c) Eamios ls cas ds quatr cadidats asymptotiqus! Si la droit vrtical d'équatio = était u asymptot à (C), cla sigifirait y = 6 y = qu'u limit d f à gauch ou à droit y = d srait u ifii C qui 'st pas l cas! -8-6 - - 6 8 Si la droit horizotal d'équatio y = était u asymptot - = - à (C), cla pourrait êtr qu'au voisiag d'u ds du ifiis Cla sigifirait qu' ct ifii, la limit d la foctio f srait Or ls limits d f au ifiis sot t f) Savoir si l foctio h st cotiu, c'st chrchr si ls limits à gauch t à droit d d la foctio h sot égals à h() Itérssos-ous d'abord à la limit à gauch d : Quad td vrs par la gauch, f() td vrs Doc so ivrs f () td vrs = Doc h() td vrs qui st différt d h() Coclusio : la limit à gauch d d la foctio h état différt d la valur d h(), la foctio h 'st pas cotiu Pour l plaisir, o put s'itérssr à la limit d h à droit d Nous avos : lim h() = lim = = = = h() f () Coclusio : la foctio h 'st pas o plus cotiu à droit d
Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag 6 sur 67 Dvoir Eprss No L cott C scod dvoir prss ut liu u smai après l prmir Il abordait la cotiuité, la dérivatio aisi qu la détrmiatio d primitivs Là cor, il s'appuyait pricipalmt sur du rcics d QCM L but était d'habitur ls élèvs à c gr d'rcic ouvau pour u t qu'ils risquait d rcotrr l jour d l'épruv Répodr à u QCM rquirt d savoir évalur ss crtituds Il faut évitr d prdr bêtmt ds poits sûrmt acquis U ouvll fois, ls calculatrics était itrdits L'éocé Prmièr parti : qustios prss d cours (6 poits) Das l prést rcic, chaqu bo répos rapport poit t chaqu mauvais lèv,5 U qustio sas répos rapport i 'lèv aucu poit Si l total ds poits obtus à ct rcic st égatif, il st ramé à Pour chaqu qustio, o tourra la répos choisi Aucu justificatio 'st dmadé La foctio f () = a pour dérivé f ' = f st u foctio défii sur l'itrvall [ ;5] tll qu : f ( ) = t f ( 5) = 7 Si la foctio f st strictmt croissat sur [ ;5] alors l'équatio f () = admt actmt u solutio das ct itrvall Vrai Fau Vrai Fau Scod parti : l'offsiv ds primitivs (,5 poits) Das l prést rcic, chaqu bo répos rapport,5 poits t chaqu mauvais lèv,75 U qustio sas répos rapport i 'lèv aucu poit Si l total ds poits obtus à ct rcic st égatif, il st ramé à Pour chaqu qustio, o tourra la répos choisi Aucu justificatio 'st dmadé a) Parmi ls foctios suivats, laqull st u primitiv d f = sur? F() = F = F = F() = U foctio cotiu sur u itrvall y st écssairmt dérivabl Si la droit d'équatio y = st u asymptot à la courb d'u foctio f au voisiag d alors lim f () La foctio f st défii t cotiu sur Si lim f () = alors la courb (C) rpréstat la foctio f admt u asymptot horizotal au voisiag d La foctio Vrai Fau = Vrai Fau Vrai Fau f () = st dérivabl sur Vrai Fau b) La foctio f = 9 st dérivabl sur O appll F la primitiv d f sur tll qu F = Parmi ls foctios suivats, laqull st la dérivé d la foctio F? g() = 8 g() 8 = g = 9 g() = c) Parmi ls foctios suivats, laqull st u primitiv d f = cos() si() sur? F() = cos() si() F() = cos() si() F() = cos() si() F() = cos() si()
Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag 7 sur 67 d) Parmi ls foctios suivats, laqull st u primitiv sur d la foctio La foctio F st égativ f =? ; sur l'itrvall ] [ La foctio F st positiv sur l'itrvall ] ; [ = ( ) F() = ( ) F() 8 La foctio F st décroissat sur La foctio F st croissat sur = ( ) F() = ( ) F() f ) Parmi ls foctios suivats, laqull st u primitiv d l'itrvall ;? F = F = F = f) Parmi ls foctios suivats, laqull st u primitiv d f F() = F() = F() = g) La foctio F st u primitiv d la foctio f sur L tablau d variatio d la foctio f st l suivat : f = sur = F = sur? F() = Parmi ls affirmatios suivats, laqull st assurémt vrai? Drièr parti : cotiuité primitiv (,5 poits) F st u foctio cotiu sur Ell st défii par morcau sur ct smbl par : Sur l'itrvall ] ;], o a : F() = 5 Sur l'itrvall ] ; [, F st u primitiv d la foctio f () = 6 Détrmir l'prssio d la foctio F sur l'itrvall ] ; [ Idicatio : pour qu'u foctio soit cotiu sur, il faut qu'll l soit particulir U grad atttio sra porté à la rédactio d la répos L corrigé Prmièr parti : qustios prss d cours a) U foctio dérivabl sur u itrvall y st cotiu Mais la réciproqu st fauss La foctio valur absolu st cotiu mais ll 'y st pas dérivabl La foctio raci carré f () ; mais ll st sulmt dérivabl sur ] ; [ E fft : = st défii t cotiu sur [ [ f () f lim = lim = lim = lim = = Doc la foctio raci 'st pas dérivabl alors qu'll y st cotiu b) Dir qu la droit d'équatio y = st u asymptot à la courb rpréstat f au voisiag d sigifi qu'au voisiag d, la foctio f put s'écrir : f () = U truc qui td vrs Asymptot Souvt oté ε( ) La foctio f t la foctio affi g() = ot la mêm limit Doc lim f () = lim =
Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag 8 sur 67 c) U asymptot horizotal au voisiag d'u ifii st la coséquc graphiqu d'u limit fii Comm la limit d la foctio f st ifii, la courb d cll-ci put pas admttr d'asymptot horizotal Scod parti : l'offsiv ds primitivs a) Touts ls primitivs d la foctio f = sur sot d la form : d t ) Pour qu la raci d la foctio suffit qu: la foctio u() = soit dérivabl sur, il faut t il u() = soit ll-mêm dérivabl sur C qui st l cas Sa dérivé st u ' = la foctio u() = soit strictmt positiv C qui st cor l cas car c'st la somm d'u carré multiplié par t du ombr positif Doc la foctio f () = = u() st dérivabl sur Calculos sa dérivé : u ' f '() = = = u f) Mêm si la foctio f st strictmt croissat sur l'itrvall [ ;5] passat d à 7, ri 'idiqu qu'll pr pour valur Il 'st pas dit si ll st cotiu ou pas La sul chos qu l'o puiss affirmr st qu l'équatio f () = a au plus u solutio das l'itrvall [ ;5] C'st-à-dir aucu ou u sul 6 (C) - 6 (C) (C) - F = Costat = Costat Parmi ls quatr propositios, sul la foctio F = st u primitiv d f b) Si F st u primitiv d la foctio f = 9 sur alors f st la dérivé d F sur Parmi ls quatr propositios, la dérivé d F st la foctio g = 9 c) U primitiv d cosius sur st sius U primitiv d sius st cosius Par coséqut, u primitiv d la foctio f = cos() si() sur st : d) La dérivé d la foctio F() = si() ( cos() ) = si() cos() = cos() si() u ' = Pour tout rél, ous avos : u() = qui st dérivabl sur, st f = = = u 'u Doc touts ls primitivs F d f sur sot d la form : F() = u Costat = ( ) Costat 8 Parmi ls quatr propositios, sul la foctio F() = ( ) st u 8 primitiv d f = sur Si la foctio f st cotiu sur l'itrvall ;5 alors l'équatio f () = admt [ ] u uiqu solutio das ct itrvall Mais si ll 'st pas cotiu, l'équatio f () = put pas avoir d solutio ) Sous la form qui ous st proposé, il st difficil d détrmir u primitiv d la foctio f Or st la form dévloppé d l'idtité rmarquabl Par coséqut, posat u =, ous pouvos écrir : f u ' = = = = u ( ) ( )
Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag 9 sur 67 Doc touts ls primitivs F d f sur l'itrvall ; sot d la form : F() = Costat Costat Costat u = = F = st u primitiv d f Parmi ls quatr propositios, sul la foctio f) La dérivé d la foctio u = qui st dérivabl t strictmt positiv sur ] ; [, st u ' = 8 Pour tout rél, ous pouvos écrir : 8 u ' f = = = 8 8 u Doc touts ls primitivs F d f sur sot d la form : F() = u Costat = Costat 8 Parmi ls quatr propositios, sul la foctio F() = st u primitiv d f sur g) La foctio F état u primitiv d la foctio f sur, ctt drièr st la dérivé d ctt prmièr Or l sig d la dérivé f do l ss d variatio d la foctio F D'après so tablau d variatio, la foctio f st égativ sur Ell dépass jamais Doc sa primitiv F st décroissat sur La limit d F à droit d doit êtr égal à F( ) Comm appartit à l'itrvall ] ;], so imag par F st doé par : F() = 5 = 5 = Doc la limit d F à droit d doit êtr égal à Or quad td vrs, td vrs = = Pour qu F() td vrs, il faut t il suffit qu la costat soit égal à E fft ous avos alors : lim F() = lim = = = F Coclusio : sur l'itrvall ] ; [, F() = Drièr parti : cotiuité primitiv Ds primitivs ds foctios ; t sot rspctivmt ; t Doc la primitiv F d la foctio f () = 6 sur l'itrvall ] ; [ st d la form : F() = 6 Costat = Costat Rst à détrmir la valur d ctt costat La foctio F st cotiu sur Il l'st doc particulir
Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag sur 67 Scod parti : u potill parmi ls ratiolls La foctio j st défii par : Dvoir Survillé No j() = O appll (C) la courb d la foctio j L'objt d ct rcic st l'étud d la foctio j sur so smbl d défiitio Pour cla, ous utilisros la foctio f défii pour tout rél par : L cott C prmir dvoir d du hurs où la calculatric était autorisé, ut liu au début du mois d'octobr 5 Il abordait tous ls poits classiqus d la dérivatio t ds limits Nous rvios à u format classiqu avc u ptit rcic t u autr qui tait assz d'u problèm comm il y avait avat la réform ds sujts d bac itroduit Il traitait aussi d la foctio potill au travrs d'u foctio psudo-ratioll L'éocé Prmièr parti : au racis du problèm La foctio H st défii sur l'itrvall [ ; [ par : H() = f () = Das tout l'rcic, u grad atttio sra porté à la qualité d la rédactio aisi qu'au justificatios apportés a) Détrmir ls limits d la foctio f t ; Etudir ls variatios d la foctio f sur ] [ Démotrr qu l'équatio f () = admt das l'itrvall ] ; [ u uiqu solutio qu l'o otra α A l'aid d la calculatric, détrmir u valur approché au ctièm près d α E déduir l sig d f() foctio d a) Détrmir la limit d H() lorsqu td vrs b) Détrmir l'smbl d défiitio D j d la foctio j b) Démotrr qu la différc st égativ sur l'itrvall ] ; [ c) Etudir l sig d la foctio j sur so smbl d défiitio D j c) Pourquoi la foctio H st-ll sulmt dérivabl sur l'itrvall ] ; [? E utilisat la qustio b, étudir ls variatios d la foctio H sur l'itrvall ] ; [ d) O décid d prologr la foctio H sur tout tir Sur l'itrvall ] ;[, la foctio H st u primitiv d la foctio h défii par : h() = ( ) Détrmir l'prssio d la foctio H sur l'itrvall ] ;[ pour qu la foctio H soit cotiu sur d) Détrmir trois réls a, b t c tls qu pour tout D j, o ait : c j() = a b Not : o pourra chrchr à décomposr j sas tir compt d l'potill, comm s'il s'agissait d'u foctio ratioll ) Détrmir ls limits d la foctio j à gauch, puis à droit d Qull coséquc cla a-t-il pour la courb (C)? f) Détrmir la limit d j() lorsqu td vrs g) Démotrr qu la courb (C) admt au voisiag d u asymptot obliqu dot o dora l'équatio réduit E déduir la limit d j Etudir la positio rlativ d la courb (C) par rapport à so asymptot
Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag sur 67 h) Détrmir l'smbl d dérivabilité d la foctio j < E dérivat la foctio j, démotrr qu pour tout rél D j o a : < < < La foctio raci st Comm st positif, croissat sur [ ; [ il st sa propr ( )( ) Ell y cosrv l'ordr valur abolsu j'() = st égativ E utilisat l résultat d la qustio a, drssr l tablau d variatio d la foctio j i) Das l rpèr s trouvat au vrso, tracr u squiss d la courb (C) aisi qu ls divrs asymptots rcotrés au cours d l'rcic L corrigé Prmièr parti : au racis du problèm a) Lorsqu td vrs, t sa raci Sous l'écritur qui ous st proposé, la foctio form idétrmié du typ tdt aussi vrs H() = st u Pour lvr cll-ci, ous allos modifir H() multipliat la différc par sa quatité cojugué Pour tout rél [ ; [, ous avos : ( ) H() = = ( ) = = Voyos si ctt drièr écritur ous prmt d coclur : lim H() = = = Doc l'a ds abscisss st u asymptot à la courb d H au voisiag d b) Pour tout rél, il st clair qu t Sur l'itrvall ] ; [, < sot du quatités positivs Doc lls ot ds racis t clls-ci sot ragés das l mêm ordr qu'lls Pour tout rél ] ; [ : Coclusio : sur l'itrvall ] ; [, la différc O put aussi multiplir Pour tout ] ; [, il vit alors : Ls trms par sa quatité cojugué = = = Doc la différc t état strictmt positifs, lur somm st d facto égativ l'st aussi c) La foctio st dérivabl sur La dérivabilité d H dépd d cll d Comm la foctio u() = st dérivabl sur t st strictmt positiv sur l'itrvall ] ; [ alors sa raci u() = st dérivabl sur ct itrvall Pour savoir si ctt foctio st dérivabl, étudios la limit du quotit : u h u h h h h = = = = h h h h h h h u dérivabl à droit d? Comm h>, h = h = h Or quad h td vrs, h t par coséqut tdt vrs h ( ) u h u Coclusio : comm lim = alors la foctio u 'st pas h h dérivabl à droit d t doc Il va d mêm pour la foctio H Pour détrmir ls variatios d la foctio H sur ] ; [, calculos sa dérivé : ' ' H '() = = = =
Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag sur 67 Scod parti : u potill parmi ls ratiolls D'après la qustio b, l umératur st égatif sur ] ; [ L déomiatur qui st u raci o ull st positif Par suit, l tablau d variatio d la foctio H st : H '() H c) Pour tout rél, ous avos : u ' = = u ( ) ( ) Doc u primitiv d la foctio sur st u() = où u '() = Par coséqut sur l'itrvall ] ;[, la foctio H st d la form : = u H() = Costat Or la foctio H st cotiu sur Ell l'st doc particulir où H() = Aisi la limit à gauch d d la foctio H() = Costat doit êtr égal à Comm lim = =, alors la costat soit égal à pour qu H soit cotiu Coclusio : sur l'itrvall ] ;[, ous avos : H() = a) La foctio f () = st défii sur comm ls foctios potills t Détrmios ss limits au ifiis = ( ) = lim lim f () = = Pour étudir ls variatios d la foctio f, étudios l sig d sa dérivé Ls foctios potill t idtité état dérivabls sur, il va d mêm pour lur somm f Calculos sa dérivé Pour tout rél, ous avos : ' ' f () f '() = = L'potill st toujours positiv Par coséqut, il va d mêm pour sa somm avc qu'st f '() Comm la dérivé f '() st positiv sur alors la foctio f st strictmt croissat sur ] ; [ Pour établir ls variatios d la foctio f sur, o put aussi dir qu'll st la somm ds foctios potill t idtité qui sot strictmt croissats sur Il va alors d mêm pour f Comm : la foctio f st dérivabl sur l'itrvall ] ; [ f st strictmt croissat sur ] ; [ passat d à alors l'équatio f () = admt u uiqu solutio α das alors ll y st cotiu A l'aid du tablau d valurs d la calculatric, o détrmi qu α st compris tr,57 t, 56 Comm la foctio f st strictmt croissat sur t qu'll s'aul sulmt α alors so tablau d sig st : α f() b) Ls trois foctios, t sot défiis t dérivabls sur La sul chos qui puiss fair qu j() 'ist pas st l fait qu c soit u quotit
Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag sur 67 L quotit j() 'ist pas So déomiatur = = Coclusio : l'smbl d défiitio d la foctio j st \{ } = ] ;[ ] ; [ c) U potill st toujours positiv U carré st toujours positif ou ul Doc lur somm st toujours positiv Par coséqut, l tablau d sig d j st : j() d) Décomposos la psudo foctio ratioll j \, ous pouvos écrir : Pour tout rél { } ( ) ( ) j() = = = = Coclusio : Pour tout rél, ous avos j() = = Form iitial Form décomposé ) Pour détrmir ls limits d la foctio j à gauch t à droit d, utilisos so écritur iitial Positif Positif lim = = lim = = j() j() Car d'après l tablau d sig d j() drssé à la qustio précédt, l déomiatur st égatif à gauch d t il st positif à droit D plus, lorsqu td vrs, td vrs = qui st u ombr positif Coséquc : la droit d'équatio = st u asymptot vrtical à la courb (C) ( ) ( ) lim = = = Form idétrmié Pour lvr l'idétrmiatio psat sur j, factorisos ss umératur t déomiatur par lurs trms ls plus forts à savoir t Pour tout rél >, ous pouvos écrir : Or lorsqu td vrs, ls quotits j() = = t c drir td vrs = Par coséqut, ous pouvos écrir : lim = = = j() tdt vrs Doc l'ivrs d La limit d j put aussi êtr obtu à partir d sa form décomposé L problèm vit alors du quotit qui st u form idétrmié du typ O lèv cll-ci factorisat umératur t déomiatur par lurs trms domiats Pour tout rél >, o a : = ( ) = O déduit alors : lim = = j() f) Détrmios la limit d j utilisat so écritur iitial j() = D prim abord :
Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag sur 67 g) Pour résoudr ctt qustio, ous allos utilisr la form décomposé d la foctio j qui 'st pas ratioll à caus d la présc d l'potill h) La foctio j() = st u quotit d la form u v où : Quad td vrs, l umératur td vrs = La foctio u() = st défii t dérivabl sur comm ls foctios Doc la fractio td vrs = potill t carré Sa dérivé st u '() = Fort d ctt découvrt, ous pouvos affirmr qu la droit d'équatio y = st La foctio v() = st dérivabl sur t sa dérivé v'() = u asymptot à la courb (C) au voisiag d Comm d plus v s'aul pas sur \{ } alors la foctio j st dérivabl sur ct E fft, car pour tout ] ;[ ] ; [, ous avos : smbl Pour tout ] ;[ ] ; [, ous pouvos écrir : (C) = j() y = [ ] = u 'v v'u ( ) ( ) ( ) j'() = = Doc lim f () y = lim = v ( ) (C) = = Comm la droit d'équatio y = st u asymptot à la courb (C) au ( ) ( ) voisiag d alors la foctio j s comport comm la foctio affi g() = au voisiag d Ells ot la mêm limit Par suit : lim j() = lim = ( ) ( ) ( )( ) = = Pour étudir la positio rlativ d la courb (C) par rapport à so asymptot, ( ) ( ) détrmios l sig d la différc d'ordoés (C) = j() y = L sig du factur f () = a été détrmié à la qustio a Nous pouvos drssr l tablau d sig d la dérivé j'() qui ous dora ls L umératur st la somm d la positiv potill t d : il st doc positif variatios d la foctio j Par coséqut, l tablau d sig d la différc d'ordoés (C) = st : α (C) Positio rlativ La courb (C) st au-dssous d La courb (C) st au-dssus d - ( ) j'() j j( α )
Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag 5 sur 67 i) Ci-dssous, sot tracés la courb (C) t ss du asymptots 8 6 8 6-8 -7-6 -5 - - - - - 5 6 7 8 - -6-8 (C) (C) = : y =
Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag 6 sur 67 Scod parti : problèm d primitiv potil(l) Dvoir Eprss No L cott C troisièm dvoir prss d'u hur ut liu à la mi-octobr 5 Il portait sstillmt sur la foctio potill ss limits t ss propriétés, t dérapait u ptit pu sur ls limits d la foctio l U fois cor, la calculatric était itrdit car il smblrait qu crtais l'utilisrait pour stockr touts lurs formuls Il paraîtmais ça faut pas l dir! L'éocé Prmièr parti : u foctio affi t potill La foctio f st défii sur par : f () = ( ) L'objt d ct rcic st l'étud d la foctio f a) Détrmir la limit d la foctio f lorsqu td vrs b) Complétr l'égalité suivat : pour tout rél, = E utilisat la rlatio précédt, détrmir la limit d la foctio f Not : u grad atttio sra porté au justificatios fouris c) Pourquoi la foctio f st-ll dérivabl sur? Démotrr qu pour tout rél, o a : f '() = 6 E déduir ls variatios d la foctio f Calculr la ou ls valurs particulièrs d f apparaissat das so tablau d variatio La foctio g st défii sur par : g() = 6 Après avoir simplifié l'écritur d la foctio g, détrmir la primitiv G défii sur d la foctio g tll qu G ( ) = Troisièm parti : l'potill, sul cotr touts La foctio h st défii sur l'itrvall [ ; [ par : h() = l() Détrmir la limit d la foctio h Drièr parti : apparcs ivrss O sait qu la foctio u() = st défii t positiv sur La foctio j st défii par : j() = Détrmir la primitiv J défii sur d la foctio j tll qu L corrigé Prmièr parti : affi t potill J = a) Lorsqu td vrs, td vrs Doc so potill Par coséqut : lim ( ) = ( ) ( ) = f () b) Pour tout rél, ous pouvos écrir : = = aussi
Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag 7 sur 67 Lorsqu td vrs, td aussi vrs Doc so potill td vrs Comm s' va alors vrs, f () st u form idétrmié du typ Modifios l'écritur d la foctio f pour lvr cll-ci Pour tout rél, ous pouvos écrir : f () = = = Distribuos! Voyos si ous pouvos ous proocr : Quad td vrs, ls potills t tdt vrs L produit td aussi vrs d'après u résultat du cours Par coséqut : lim = = = f () 6 6 f '() f c) Comm ls foctios u() = t v() = sot dérivabls sur alors il va d mêm pour lur produit f Lurs dérivés rspctivs sot : u '() Pour tout rél, ous pouvos écrir : f '() = u 'v v'u L'potill v'() = = = ' = = 6 Factur commu = 6 = 6 st toujours positiv car c'st u potill L sig du factur affi 6 ous st cou Il s'aul 6 Par coséqut, ls tablau d sig d la dérivé f ' t d variatio d f sot : Pour qu l tablau soit complt, calculos l'imag d 6 par la foctio f f p 6 = 6 6 = p p p = = = Scod parti : primitiv story Avat tout chos, rapplos ls propriétés opératoirs d l'potill : a b a b L produit ds potills st l'potill d la somm : = L quotit ds potills st l'potill d la différc : L'ivrs d l'potill st l'potill d l'opposé : a = La raci d l'potill st l'potill d la moitié : = a La puissac d l'potill st l'potill du produit : ( ) = a b a a a a b = a
Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag 8 sur 67 Appliquos cs propriétés à la foctio g Pour tout rél, ous pouvos écrir : Lvos ls icrtituds psat sur h factorisat ss umératur t déomiatur par lurs trms à priori ls plus forts : t Pour tout, ous pouvos écrir : g() = = = 6 6 h() = = l() l() = = = Or : Or lorsqu td vrs, td vrs Doc so ivrs td vrs U primitiv d sur st l() u Pour tout rél, ous avos : = ( ) = u ' Quat au quotit, il td vrs Par suit, il vit : où la foctio u = st dérivabl sur t a pour dérivé u '() = lim h() = ( ) = ( ) = Doc u primitiv d u sur st = Ls umératur t déomiatur d h() puvt aussi êtr factorisés par u Pour tout rél, ous avos : = ( ) = u ' où la foctio u = st dérivabl sur t a pour dérivé u '() = ( ) lim h() = lim = lim = = = l() l() Doc u primitiv d u sur st = h() Par coséqut, la primitiv G d la foctio g sur st d la form : G() = Costat = Costat Drièr parti : primitiv d'ivrs Pour tout rél, ous pouvos écrir : Rst à détrmir la costat Nous savos qu G ( ) = Eploitos ctt doé u ' j() = = = 5 Costat = Costat = Costat = u 6 où u() = st u foctio positiv t dérivabl sur d dérivé u '() = G() / 6 Doc la primitiv J d la foctio j st d la form : 5 Coclusio : pour tout rél, G() = 6 J() = l ( u) Costat = l ( ) Costat Détrmios la costat Comm J ( ) = alors ous pouvos écrir : Troisièm parti : l'potill, sul cotr touts l ( ) Costat = l Costat = Costat = Quad td vrs, ls foctios l(), t tdt touts trois vrs = J L umératur st u form idétrmié du typ alors qu l ( ) déomiatur l() td vrs Coclusio : pour tout rél, J() = l ( )
Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag 9 sur 67 a) Détrmir la limit d la foctio h lorsqu td vrs Dvoir Eprss No b) Détrmir la limit d la foctio h lorsqu td vrs Not : u grad atttio sra porté au justificatios fouris L cott C quatrièm dvoir prss d'u hur ut liu à la fi octobr 5 Il abordait das la profodur la foctio logarithm au travrs d du rcics U fois cor ls calculatrics était itrdits L'éocé Prmièr parti : l, ll s'appll lau carré La foctio f st défii sur l'itrvall ] ; [ par : f () = ( l ) L'objt d ct rcic st l'étud d la foctio f a) Détrmir la limit d la foctio f lorsqu td vrs b) Détrmir la limit d la foctio f lorsqu td vrs Not : u grad atttio sra porté au justificatios fouris c) Pourquoi la foctio f st-ll dérivabl sur ] ; [? Démotrr qu pour tout rél strictmt positif, o a : f '() = l E déduir ls variatios d la foctio f Calculr la ou ls valurs particulièrs d f apparaissat das so tablau d variatio d) Démotrr qu l'équatio f () = admt das l'itrvall ] ; [ u uiqu solutio qu l'o otra α E déduir l tablau d sig d f Scod parti : différd d logarithms La foctio h st défii sur l'itrvall ] ; [ par : h() = l l L'objt d ct rcic st l'étud d la foctio h c) Complétr l'égalité suivat : l ( ) = Eprimr h ( ) foctio d l ( ) d) Pourquoi la foctio h st-ll dérivabl sur ] ; [? Démotrr qu pour tout rél strictmt positif, o a : E déduir ls variatios d la foctio h L corrigé h '() = ( ) Prmièr parti : l, ll s'appll lau carré a) Lorsqu s' va vrs, ls foctios t l tdt touts ls du vrs l td vrs Par coséqut : Doc la différc ( ) lim l = = = f () b) Lorsqu td vrs (par la droit), td vrs alors qu l() td vrs l s' va vrs Il vit alors : Doc la différc lim l = = Form idétrmié f () Sous la form proposé, la foctio f st u form idétrmié du typ Pour lvr ctt icrtitud, ous allos dévloppr l'prssio d f() t chrchr à ous appuyr sur ds limits particulièrs vus das l cours Pour tout rél strictmt positif, ous pouvos écrir : f () = l = l = l ( ) Or lorsqu td vrs, l produit l ( ) td vrs Par coséqut : lim l = = = f ()
Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag sur 67 L'avir d la foctio f f = La foctio f put êtr prologé par cotiuité posat Cpdat, il 'st alors pas sûr qu la foctio f soit pour autat dérivabl Pour l savoir, détrmios la limit lorsqu td vrs f f du quotit Pour tout rél strictmt positif, ous pouvos écrir : f f ( ) ( l ) ( l ) = = = l Coclusio : Comm dérivabl t so ombr dérivé c) La foctio u f f lim = = alors la foctio prologé f st f ' st égal à = st dérivabl sur t sa dérivé st u '() = La foctio l st sulmt dérivabl sur ] ; [ t sa dérivé st ( l ) ' = Doc la foctio v() = l d dérivé v '() = st dérivabl sur ] ; [ Par coséqut, l produit u v 'st dérivabl qu sur l'itrvall ] ; [ tout comm la foctio f u v = Calculos sa dérivé Pour tout ] ; [ ' f '() = u ' v v' u Sur l'itrvall ] [, ous avos : = l = l() = l ;, l factur affi st strictmt égatif ( ) Par cotr l s'aul, st égativ avat t st positiv après Nous allos pouvoir détrmir l sig d lur produit f '() qui ous dora ls variatios d la foctio f l ( ) f '( ) f Pour qu l tablau soit complt, calculos l'imag d par la foctio f f = l = = = = d) Comm la foctio f était dérivabl sur l'itrvall ] ; [ alors ll y st cotiu Cocrat ls variatios d f, il y a c qui s pass avat t c qui arriv après ; D'après so tablau d variatio, la foctio f st strictmt supériur à sur ] [ Doc l'équatio f = 'a aucu solutio das ct itrvall Par cotr, la foctio f st cotiu t strictmt décroissat sur l'itrvall [ ; [, passat d à Par coséqut, f st u bijctio d [ ; [ das ] ;] Doc ] ;] a u uiqu atécédt α das [ ; [ par la foctio f Coclusio : l'équatio f = a u uiqu solutio α das l'itrvall ] [ ; La foctio f st strictmt positiv sur l'itrvall ] ; [ Esuit, après, ll décroît strictmt, s'aulat α Ell st doc positiv avat t égativ après α f ( )
Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag sur 67 Scod parti : différd d logarithms a) Lorsqu td vrs par la droit, l ( ) td vrs Comm td alors vrs, so logarithm l ( ) h() td vrs lim l l = l = l Aisi : Coséquc : l'a ds ordoés st u asymptot à la courb rpréstat h b) Quad td vrs, l(), t so logarithm épéri l ( ) tdt tous trois vrs Par coséqut : lim l l ( ) = ( ) ( ) = Form idétrmié h() Pour lvr cll-ci, utilisos u propriété d l : la différc ds logarithms st l logarithm du quotit Pour tout rél strictmt positif, ous pouvos écrir : h() = l l ( ) = l l l = = Quad td vrs, t tdt vrs Doc td vrs = Par coséqut, so logarithm épéri h() td vrs h() = l l = l l l = U autr voi : c) L logarithm d la puissac st l produit d l'posat par l logarithm Par suit : h = l l = l l 8 = l l = l l = l ' u ' l = = u Par coséqut, la différc h d cs du foctios logarithms st dérivabl sur l'itrvall ] ; [ t pour tout rél strictmt positif, ous avos : h ' = = = = = Coaissat ls sigs ds quatr facturs, ous pouvos détrmir clui d la dérivé h '( ) qui ous dora ls variatios d la foctio h h '( ) h l d) La foctio l st dérivabl sur l'itrvall ] ; [ t sa dérivé st La foctio u = st dérivabl sur, sa dérivé st u ' = t surtout ll y st toujours strictmt positiv Doc so logarithm l ( u ) st aussi dérivabl sur t sa dérivé st :
Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag sur 67 Dvoir Survillé No L cott C scod dvoir d du hurs d l'aé ut liu à la fi ovmbr 5 Il s costituait d'u problèm portat sur l'étud d'u foctio potill t d quatr ptits rcics sur ls compls où dvait êtr miss ouvr ds compétcs dircts Ls calculatrics était autorisés,5 L'éocé Prmièr parti : la rvach d l'potill La foctio f st défii sur par : = f O appll (C) sa courb rpréstativ La foctio auiliair g st défii sur par : g = a) Etudir ls variatios d la foctio g sur E déduir l sig d g() Démotrr qu pour tout rél, la différc st strictmt positiv,5-5 - - - - 5 6 -,5 b) Détrmir ls limits d la foctio f lorsqu td vrs, puis vrs Itrprétr graphiqumt ls résultats précédts c) Calculr la dérivé f '( ) d la foctio f Etudir ls variatios d la foctio f d) Détrmir u équatio d la tagt ( T ) à la courb (C) au poit d'absciss E utilisat la qustio a, étudir la positio rlativ d la courb (C) par rapport à la T droit ) Das l rpèr ci-cotr, tracr la droit ( T ), ls asymptots rcotrés t la courb (C) - -,5
Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag sur 67 Scod parti : du équatios compls Résoudr das ls équatios suivats d'icou z : ( i) z 6 i = 5 i z i z 6 i = i z Not : u grad atttio sra porté à la rédactio t au détail ds calculs Troisièm parti : la puissac d l'argumt Détrmir (par l calcul) l modul t u argumt du ombr compl : Z = 6 i 6 Démotrr qu Z st u rél strictmt égatif Not : u grad atttio sra porté à la rédactio t au détail ds calculs Quatrièm parti : l'agl d l'argumt L pla compl st mui d'u rpèr orthoormé dirct ( O;u, v) Das clui-ci, ls poits A, B t C ot pour affis rspctivs i ; i t i Détrmir par l calcul u msur d l'agl orité ( AB,AC) Not : u grad atttio sra porté à la rédactio t au détail ds calculs Drièr parti : o va tout cassr! L polyôm P st défii par : P( z) = z z 8z z 6 a) Démotrr qu ls ombrs i t i sot du racis du polyôm P b) Pourquoi l polyôm P st-il factorisabl par z? Détrmir trois réls a, b t c tls qu pour tout ombr compl z, o ait : P z = z az bz c c) Résoudr das l'équatio P( z) = L corrigé Prmièr parti : la rvach d l'potill a) Comm la foctio potill t la foctio affi u = sot dérivabls sur alors il va d mêm pour lur somm g Pour tout rél, ous pouvos écrir : ' g ' = = Comm la foctio potill st strictmt croissat sur t qu Si < alors Si = alors < = doc = < = alors : Si > alors > = doc > Coaissat l sig d sa dérivé g '(), ous pouvos déduir ls variatios d g L tablau d clls-ci st l suivat : g '() = g Pour qu l tablau ci-dssus soit complt, calculos l'imag d par g : g ( ) = = =
Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag sur 67 Quid ds limits d g au ifiis? Ls limits d g sot pas écssairs à la résolutio d l'rcic t sot d'aillurs pas dmadés C'st pourquoi ous allos ls détrmir lim = = g() Sous l'écritur proposé, g st u form idétrmié du typ U modificatio s'impos doc das l'prssio d g() lim lim ( ) = = = = g() D'après l tablau d variatio précédt, ous pouvos affirmr qu l miimum d la foctio g sur st Il st attit = Doc l tablau d sig d g( ) st l suivat : g() Par coséqut, pour tout rél, ous pouvos écrir : g() doc > doc doc st positif Coclusio : pour tout rél, la différc b) Quad td vrs, st strictmt positiv td vrs ( ) = Doc g st u form idétrmié du typ Pour lvr ctt drièr, factorisos ls umératur t déomiatur d g() par lurs trms ls plus forts Pour tout rél o ul, ous pouvos écrir : f = = = Quad td vrs, td vrs = = = Par suit : lim f = lim = = = Coclusio : la droit horizotal d'équatio y = st u asymptot à la courb (C) au voisiag d D'après u résultat du cours, ous savos qu : lim = Par coséqut : lim f = lim = = = ( ) Coclusio : l'a ds abscisss, c'st-à-dir la droit d'équatio y =, st u asymptot à la courb (C) au voisiag d c) La foctio f st l quotit ds foctios dérivabls sur suivats : u() u ' = = d dérivé v() = qui s'aul jamais sur t d dérivé v'() = Doc la foctio f st dérivabl sur t pour tout rél, ous avos : f ' u 'v v'u ( ) = = = = = v L sig d la dérivé do ls variatios d la foctio L tablau d variatio d f st l suivat : ( ) f '( ) f
Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag 5 sur 67 d) A part la courb (C), il y a trois droits à tracr : ls du asymptots t la tagt Pour qu l tablau soit complt, calculos l'imag d par la foctio f : f = =, 58 d) L'équatio réduit d la tagt Calculos l ombr dérivé d f t l'imag d par f f ' = = = ( ) ( ) T st d la form : y f '( ) ( ) f ( ) = f ( ) = = = = Coclusio : l'équatio réduit d la tagt ( T ) st : y = = ( T ) (C) - - y = Pour coaîtr la positio rlativ d la courb (C) par rapport à sa tagt ( T ), étudios la différc d'ordoés tr cs du objts Pour tout rél, ous avos : ( ) ( )g() f () y = = = = = ( C) ( T ) Coaissat ls sigs ds trois facturs, ous pouvos coaîtr clui du quotit : g() ( C) ( T ) Coclusio : la courb (C) au-dssus d sa tagt ( T ) sur l'itrvall ] ;[ crois, puis st au-dssous sur l'itrvall ] ; [, la - y = Scod parti : du équatios compls Résolvos das l'équatio ( i) z 6 i = 5 i z i ( 6 i) ( i) i i z = = = i ( i )( i) ( ) i z 6 i = 5 iz i z 5 iz = 6 i i z = 6 i 6 8 U ombr so cojugué= modul 8 i 8 7 z = = i = i 5 5 Coclusio : la solutio d l'équatio st l ombr compl,, i Résolvos das l'équatio i z 6 i = i z O appll t y ls partis réll t imagiair d l'icou compl z Nous avos : z = i y z = i y L'équatio dvit : i z 6 i = iz i iy 6 i = i iy iy i y 6 i = i y ( y ) i ( y 6) ( y ) i = Du ombrs compls égau
Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag 6 sur 67 Du ombrs compls sot égau lorsqu t sulmt lorsqu lurs partis rélls t 6 Itérssos-ous à l'argumt d Z Nous pouvos écrir : imagiairs sot rspctivmt égals 6 π ( i) z 6 i = iz y = y t y 6 = Arg ( Z ) = 6 Arg ( Z) = 6 = π = π modulo π 6 Mêms partis rélls Mêms partis imagiairs Or ls suls compls ayat u argumt égal à π sot ls réls égatifs comm Par coséqut, ls réls t y sot ls solutios du systèm liéair : 6 Coclusio : Z st u rél égatif y = y = () y = 6 y = () Quatrièm parti : l'agl d l'argumt Pour résoudr c drir, ous allos procédr par substitutio A partir d l'équatio (), o prim y foctio d zc za U msur d l'agl orité ( AB,AC) st u argumt du compl y = y = y = zb za Das l'équatio (), o rmplac y par c qu'il vaut Par suit : Calculos c drir 8 z ( ) = = = 8 = = C za i ( i) i ( i) ( i ) i 6 i = = = = z y B za i i i i i ( i) O multipl par la quatité cojugué Il vit alors pour y : y = = 6 = 5 5 i = = i 5 Coclusio : la solutio d l'équatio ( i) z 6 i = i z st l compl i D faço à obtir u argumt d i, calculos l modul d c drir i = = = Troisièm parti : la puissac d l'argumt Calculos l modul du ombr compl Z = 6 i Z = 6 i = 6 = 6 = 8 = = Coclusio : l modul du ombr compl Z = 6 i st Détrmios u argumt d Z Z 6 i 6 = = i = i = i Z π Ls cosius t sius d sot rspctivmt égau à 6 t Par suit : π Z π π i = i = cos si 6 i = Z 6 6 Coclusio : u argumt d Z = 6 i st π 6 Par suit, il vit qu : i i = = i = i i Or ls cosius t sius d π sot rspctivmt égau à t i π π = i = cos isi = i Coclusio : u argumt du ombr compl msur d l'agl orité ( AB,AC) z z C B z z A A π i Par suit : st π C'st aussi u
Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag 7 sur 67 Drièr parti : o va tout cassr! P( z) = ( z i) ( z i) z z = ( z i) ( z i) ( z ) a) Avat touts choss, rapplos ls puissacs du, trois t quatr d i z z z st l début d i = i = i i = ( ) = i = i i = ( i ) = ( ) = D'après 5b l'idtité z Et aussi clls d so opposé i = i : ( i) = ( ) i = ( ) = i = i = = i = i = i = i A prést, ous pouvos calculr ls imags d i t i par l polyôm P : P i = i i 8 i i 6 = i 8 i 6 = P i = i i 8 i i 6 = i 8 i 6 = Coclusio : lurs imags par l polyôm P état ulls, ls ombrs i t i sot du racis du polyôm P b) Comm i t i sot du racis du polyôm P alors o rtrouv das la form z i = z i factorisé d P ls facturs z i t Autrmt dit, pour tout ombr compl z, ous avos : ( i) ( i) ( i ) ( ) P z = z z = z = z = z Dévloppos Coclusio : l polyôm P st factorisabl par z Factorisos l polyôm P par la form du scod dgré Pour tout ombr compl z, ous pouvos écrir : z P z = z z 8z z 6 = z z z z 8z z 6 Combi d fois z? z = z z z 6z z 6 Combi d z? = z z z z z 6z z 6 z = z z z z 6z 6 = z z z z 6 z Par 6 Voilà l factur commu = z z z 5 Voilà l résultat rchrché mais cotiuos = ( z i) ( z i) ( z ) = ( z i) ( z i) ( z ) ( ) = z z z i a b ( i) ( i) ( i) ( i) = z z z i z i P st tièrmt factorisé ( a b) ( a b) c) Pour résoudr das l'équatio P( z) =, utilisos sa form totalmt factorisé ( i) ( i ) P z = z z z i z i = Or das comm das, u produit st ul lorsqu t sulmt lorsqu l'u d ss facturs l'st Par suit : P z = z i = ou z i = ou z i = ou z i = z = i ou z = i ou z = i ou z = i Coclusio : l'équatio P ( z ) a quatr solutios das : i ; i ; i t i Par cotr, ll ' a aucu das
Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag 8 sur 67 Dvoir Eprss No5 L cott C ciquièm dvoir prss d'u duré d'u hur abordait ls ombrs compls sous lur applicatio géométriqu Nous étios alors au début du mois d décmbr 5 t l bac blac approchait à grads pas Ls calculatrics était autorisés L'éocé Prmièr parti : l'itrprétatio du quotit L pla compl st mui d'u rpèr orthoormé ( O;u, v) Ls poits A, B t C ot pour affis rspctivs z A ; z B t z C c) O sait qu zc za zb za = 5 Parmi ls quatr affirmatios, laqull st vrai? Ls poits A, B t C sot aligés L triagl ABC st rctagl A L triagl ABC st isocèl A mais pas équilatéral d) O sait qu L triagl ABC st équilatéral zc za i = Parmi ls quatr affirmatios, laqull st vrai? zb za Ls poits A, B t C sot aligés L triagl ABC st rctagl A L triagl ABC st isocèl A mais pas équilatéral L triagl ABC st équilatéral a) Eprimr foctio ds trois affis z A ; z B t z C : AC AB = ( AB, AC ) = Agl orité Das la suit d l'rcic, chaqu bo répos rapport,5 poits t chaqu mauvais lèv U qustio sas répos rapport i 'lèv aucu poit Si l total ds poits obtus à ctt parti d l'rcic st égatif, il st ramé à Pour chaqu qustio, o tourra la répos choisi Aucu justificatio 'st dmadé b) O sait qu zc za zb za = i Parmi ls quatr affirmatios, laqull st vrai? Scod parti : smbls avc ls compls L pla compl st mui d'u rpèr orthoormé ( O;u, v) a) Détrmir la atur t ls attributs d l'smbl E ds poits M d'affi z tls qu : z 6 i = b) Détrmir la atur t ls attributs d l'smbl F ds poits M d'affi z tls qu : iz i = z 5 i c) Détrmir la atur t ls attributs d l'smbl G ds poits M d'affi z d la form : it z = 6i où t st u rél qulcoqu Ls poits A, B t C sot aligés L triagl ABC st rctagl A L triagl ABC st isocèl A mais pas équilatéral L triagl ABC st équilatéral
Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag 9 sur 67 Drièr parti : silc, ça tour! zc z A c) Comm l rapport st u rél alors ls vcturs AB t AC sot coliéairs L pla compl st mui d'u rpèr orthoormé ( O;u, v) zb za O appll A l poit d'affi i D'aillurs, comm zc za = 5 ( zb za ) alors o a : AC = 5AB Coclusio : π O ot r la rotatio d ctr A t d'agl ls poits A, B t C sot aligés a) Soit M u poit qulcoqu d'affi z O appll M' so imag par la rotatio r L'affi d M' st oté z' Détrmir l'écritur compl d la rotatio r b) O ot B l poit d'affi b = 7 5 i O appll B' l'imag d B par la rotatio r Calculr l'affi b' du poit B' c) L poit C' d'affi c' = 5 i st l'imag du poit C par la rotatio r Détrmir l'affi c du poit C d) M st u poit du pla d'affi z O appll M' so imag par la trasformatio T O ot z' l'affi du poit M' L'écritur compl d la trasformatio T st : z ' = 7 i i z T( z) Détrmir la atur t ls attributs d la trasformatio T L corrigé Prmièr parti : l'itrprétatio du quotit a) D'après c qui a été vu cours, ous pouvos écrir : AC zc za zc z A zc za = = ( AB,AC) = Arg AB zb za zb za z B z A Agl orité b) Das l prést cas t applicatio c qui vit d'êtr écrit, ous avos : AC AB = i = π ( AB,AC) = Arg ( i) = modulo π état droit, l triagl ABC st rctagl A Coclusio : l'agl orité ( AB,AC) Par cotr, comm AC = AB alors il 'st pas isocèl A d) Das l prést cas, ous pouvos écrir : AC i = = i = = = = = AB Doc AC = AB Par coséqut, l triagl ABC st au mois isocèl A Voyos s'il srait pas équilatéral avc détrmiat la msur d l'agl au sommt ( AB,AC) C ( AB, AC) = Arg i π π \ = Arg cos si i π / π i Arg π A \ B = = modulo π π Coclusio : comm l'agl au sommt A msur = 6 alors l triagl ABC isocèl A st aussi équilatéral Scod parti : smbls avc ls compls a) Pour pouvoir ous proocr sur l'smbl E, modifios l'égalité l caractérisat i ( i) ( i) ( i) M d'affi z appartit à E z 6 = z = z = z = 7 z z A AM = 7 où l poit A a pour affi i Coclusio : l'smbl E st l crcl d ctr A d'affi i t d rayo 7
Vstigs mathématiqus d'u trmial scitifiqu : l'itégralité ds dvoirs d'u saiso 5-6 Pag sur 67 b) Pour coaîtr la atur d l'smbl F, modifios l'égalité l caractérisat M d'affi z appartit à F iz i = z 5 i i z i = z 5 i i z i = z 5 i ( i) ( i) z = z 5 où ls poits A t B ot pour affis AM = BM rspctivs i t 5 i Coclusio : F st l'smbl ds poits M équidistats d A t B : c'st la médiatric du sgmt [AB] L poit surls propriétés du modul C'st u rél positif ou ul L modul d'u ombr rél st sa valur absolu A l'istar d cll-ci, il laiss passr qu ls opératios d la famill multiplicatio L modul du ombr compl z st défii par : z = R( z) Im ( z) z z ' = z z ' z z ' = z z ' z = z Par cotr, l modul 'st compatibl i avc l'additio, i avc la soustractio z z ' = z z ' z z ' = z z ' mais c) Pour c qui cocr l'smbl G, ous pouvos écrir : z z ' z z ' Iégalité triagulair it ( i) M d'affi z appartit à Il ist u rél t tl qu z = 6 G Rayo Ctr Coclusio : l'smbl G st l crcl d ctr l poit d'affi 6 i t d rayo G ( i) it it Egalmt : si M z alors z 6 = = = = Drièr parti : silc, ça tour! a) Nous pouvos écrir : π i M ' z ' st l'imag M z par la rotatio z ' z r ( i) = ( i) z ' = i [ z i] i z ' = iz i i z ' = iz 5 i Coclusio : la rotatio r a pour prssio compl r z = z ' = iz 5 i L poit surls valurs particulièrs d l'potill imagiair π π π π i i i iπ = = i = = i = π = i π i i i = = b) Comm l poit B' st l'imag d B par la rotatio r alors ous pouvos écrir : b ' = r b = ib 5 i = i 7 5 i 5 i = 7 i 5 5 i = 8 i Coclusio : l poit B' a pour affi 8i c) Comm l poit C' st l'imag d C par la rotatio r alors ous avos : C a pour imag C' par la rotatio r r c = c' ic 5 i = 5 i ic = i i c = = ( i) ( i) = i i Coclusio : l poit C a pour affi i d) Vu so écritur compl T z = z ' = iz 7 i, T smbl êtr u rotatio Commços par détrmir ls affis ω ds poits Ω ivariats par T L poit Ω d'affi ω st ivariat par T T Ω = Ω 7 i i ω = ω 7 i i ( 7 i) ( i) ( i) ( i) 7 i = ω i ω 7 i = ω i ω = = 7 i i 7 7 i i ω = = i i ω = = 5 i Doc la trasformatio T a u sul poit ivariat : Ω d'affi ω = 5 i C ombr compl ω vérifi l'égalité ω = 7 i i ω Désormais, ous pouvos mttr évidc qu l'écritur compl d T st cll d'u rotatio