PHYSIQUE DES SEMI-CONDUCTEURS

Dépatement Mico-électonique et télécommunications Pemièe année 004/005 PHYSIQUE DES SEMI-CONDUCTEURS Rouge Violet Infa-Rouge Visible Ulta-Violet Cd x Hg 1-x Te InSb Ge Si GaAs CdSe AlAs CdS GaP SiC GaN ZnS E G 0 1 3 4 λ (ev) (µm) 10 3 1,5 1 0,65 0,5 0,35 A. Chovet P. Masson ECOLE POLYTECHNIQUE UNIVERSITAIRE DE MARSEILLE Dépatement Mico-électonique et Télécommunications

Avetissement Le pésent document est une vesion modifiée (et adapté à l Ecole Polytechnique Univesitaie de Maseille) du polycopie de cous de physique des semi-conducteus de l Ecole Nationale Supéieue d Electonique et de Radio Electicité de Genoble (ENSERG ) dispensé pa A. Chovet et co-écit pa A. Chovet et P. Masson. Les auteus tiennent à emecie pa avance les lecteus qui voudont bien faie pat de leus emaques et coections éventuelles concenant le fond et la fome du document. Comment nous joinde? Alain CHOVET Pofesseu IMEP/LPCS, ENSERG 3 ue des Matys, BP 57 38016 Genoble Cedex 1 Tél : 04 76 85 60 41 Fax : 04 76 85 60 70 Email : chovet@enseg.f Pascal MASSON Maîte de Conféences LMP/Ecole Polytechnique Univesitaie de Maseille (MT) IMT, Technopôle de Château Gombet 13451 Maseille Cedex 0 Tél : 04 91 05 47 79 Fax : 04 91 05 45 9 Email : pascal.masson@polytech.univ-ms.f Copyight 001 A. Chovet et P. Masson. Tous doits ésevés 1 èe mise à jou : août 004 3

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Table des matièes Chapite I. Généalités... 11 I.1. Conducteu - Isolant - Semi-conducteu... 11 I.. Stuctue de l état solide... 11 I.3. Système cistallin et éseau cistallin... 1 Chapite II. Quelques popiétés... 13 II.1. Cistal cubique... 13 II.1.1. Semi-conducteus de la colonne IV (Ge, Si) - Réseau diamant 13 II.1.. Semi-conducteus composés (III-V ou II-VI) - Réseau Zinc-blende 14 II.. Bandes d énegie... 15 II.3. Gap diect ou indiect... 16 II.4. Conduction pa électon ou pa tou. Masse effective. Densité d états... 16 Chapite III. Semi-conducteu non dopé ou dopé... 19 III.1. Semi-conducteu intinsèque... 19 III.. Semi-conducteu extinsèque : dopage... 0 III..1. Semi-conducteu de type n 0 III... Semi-conducteu de type p 1 III.3. Semi-conducteu compensé... Chapite IV. Semi-conducteu à l équilibe... 3 IV.1. Concentation des poteus libes à l équilibe... 3 IV.1.1. Distibution de Femi-Diac. Niveau de Femi 3 IV.1.. Concentations à l équilibe, loi d action de masse 4 IV.1.3. Equation de la neutalité électique 6 IV.. Le niveau de Femi dans une stuctue à l'équilibe... 7 IV..1. Popiété fondamentale 7 IV... Illustations 8 IV..3. Application : ddp intene d'une jonction pn à l'équilibe 8 Chapite V. Equation de Poisson - Conséquences... 31 Chapite VI. Petubations faibles de l équilibe : tanspot de chages35 VI.1. Mobilité des poteus libes... 35 VI.. Conduction et conductivité... 38 VI.3. Diffusion des poteus... 39 VI.4. Couant de déplacement... 41 VI.5. Tanspot de chages en pésence de champs électique et magnétique. Effet Hall - Magnétoésistance... 41 5

Chapite VII. Petubations fotes de l équilibe : céation et dispaition de poteus... 45 VII.1. Céation de poteus... 45 VII.1.1. Céation pa énegie lumineuse (pa photons) 45 VII.1.. Céation pa des paticules (ou adiations) ionisantes 46 VII.1.3 Céation pa poteus chauds (champ électique intense) 47 VII.1.4. Céation pa injection de poteus 47 VII.. Quasi-niveaux de Femi... 47 VII.3. Recombinaison (dispaition) et duée de vie des poteus libes... 49 VII.3.1. Expession de la duée de vie (cas de ecombinaison diecte) 50 VII.3.. Duée de vie dans le cas d'une ecombinaison indiecte 51 VII.3.3. Recombinaison en suface 5 VII.4. Photoconductivité... 5 VII.5. La luminescence... 53 VII.5.1. Photoluminescence 53 VII.5.. Cathodoluminescence 53 VII.5.3. Electoluminescence 53 Chapite VIII. Equations d évolution (espace et temps)... 55 VIII.1. Equations de continuité (ou équations de consevation de chaque type de poteus)... 55 VIII.. Equation de consevation de la chage... 55 VIII.3. Equation de continuité ambipolaie (ou généalisée)... 56 VIII.4. Exemples d application... 57 VIII.4.1. Duée de vie et longueu de diffusion 57 VIII.4.. Temps de elaxation diélectique et longueu de Debye 59 Chapite IX. Fluctuations et buit électique... 61 IX.1. Buit de genaille ( shot noise )... 61 IX.. Buit themique (de Nyquist ou de Johnson)... 6 IX.3. Buit de généation - ecombinaison (GR)... 63 IX.4. Buit en 1/f (ou de scintillement ou Flicke noise )... 63 Chapite X. Contact ente deux matéiaux difféents - Hétéostuctues... 65 X.1. Intoduction... 65 X.. Tavail de sotie - Affinité électonique - Baièe de potentiel... 65 X.3. Contact Métal - semi-conducteu éel... 66 X.3.1. L'oxyde natif 66 X.3.. Les états d'inteface (ou états de suface) 67 X.4. Desciption qualitative de la elation I(V) d'un contact M - SC... 68 X.4.1. Contact edesseu ( diode SCHOTTKY ) 68 X.4.. Contact ohmique 69 X.5. Hétéojonction... 70 X.5.1. Diagamme des bandes d'énegie 70 6

X.5.. Applications : localisation et tanspot des poteus 7 7

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Table des symboles, notations et abéviations Symboles unité signification BC - Bande de Conduction BV - Bande de Valence Cox Fm - Capacité d oxyde Dn,p m s -1 Coefficient de diffusion des électons (indice n) ou des tous (indice p) E J (ou ev) Enegie EA J (ou ev) Niveau d énegie des états accepteus EC J (ou ev) Enegie du bas de la bande de conduction ED J (ou ev) Niveau d énegie des états donneus EF J (ou ev) Niveau de Femi EFi J (ou ev) Niveau de Femi du matéiau intinsèque EFM J (ou ev) Niveau de Femi d un métal EFSC J (ou ev) Niveau de Femi du semi-conducteu EG J (ou ev) Gap ou lageu de la Bande Intedite Ei J (ou ev) Enegie du milieu de la bande intedite (EC+EV)/ EV J (ou ev) Enegie du haut de la bande de valence E Vm -1 Champ électique fn(e) - Pobabilité d occupation d un niveau d énegie E pa un électon fp(e) - Pobabilité d occupation d un niveau d énegie E pa un tou Gn,p m -3 s -1 Taux de généation d électons (indice n) ou de tous (indice p) h Js Constante de Planck (6,6 10-34 J.s) h Js Constante de Planck éduite (h/π) j Am - Densité de couant flux m - s -1 Flux (de poteus) k JK -1 Constante de Boltzmann (1,38 10-3 J.K -1 ) Ln,p m Longueu de diffusion des électons (indice n) ou des tous (indice p) mn kg Masse effective des électons mp kg Masse effective des tous NA m -3 (ou cm -3 ) Concentation en impuetés (dopant) de type accepteu NA m -3 (ou cm -3 ) Concentation en impuetés ionisées de type accepteu NC m -3 (ou cm -3 ) Densité d états équivalente dans la BC, amenée en EC ND m -3 (ou cm -3 ) Concentation en impuetés (dopant) de type donneu ND + m -3 (ou cm -3 ) Concentation en impuetés ionisées de type donneu NV m -3 (ou cm -3 ) Densité d états équivalente dans la BV, amenée en EV n0 m -3 (ou cm -3 ) Concentation en électons libes à l équilibe themodynamique n(e) m -3 J -1 Densité énegétique des électons dans la BC nc(e) m -3 J -1 Densité d états dans la BC ni m -3 (ou cm -3 ) Concentation intinsèque de poteus libes nv(e) m -3 J -1 Densité d états dans la BV p0 m -3 (ou cm -3 ) Concentation en tous libes à l équilibe themodynamique p(e) m -3 J -1 Densité énegétique des tous dans la BV QD Cm - Chage de la zone de désetion QM Cm - Chage dans le métal Qinv (Qn, Qp) Cm - Chage de la zone d invesion Qox Cm - Chage dans l isolant (oxyde) QSS = Qit Cm - Chage due aux états de suface = d inteface 9

q C Valeu absolue de la chage de l électon (1,6 10-19 C) RH m 3 C -1 Coefficient de Hall Rn,p m -3 s -1 Taux de ecombinaison des électons (indice n) et des tous (indice p) T K Tempéatue absolue tox m épaisseu d oxyde v dn,p ms -1 (cms -1 ) Vitesse de déive des électons (indice n) ou des tous (indice p) v th ms -1 (cms -1 ) Vitesse themique des poteus V V Tension (ddp : difféence de potentiel) électique VG V Tension ente gille et substat ( bulk ) Vox V Chute de potentiel aux bones de l oxyde Vs V Potentiel de suface du semi-conducteu xd m Etendue de la zone de désetion xdm m Longueu maximale de la zone de désetion ε0 Fm -1 Pemittivité du vide (8,85 10-1 F.m -1 ) εox Fm -1 Pemittivité d un oxyde (εsio = 3,8ε0 4ε0) εsc Fm -1 Pemittivité d un semi-conducteu (11,9ε0 pou le Silicium) ϕf V Potentiel de Femi dans le volume du semi-conducteu Φb J (ou ev) Baièe (de potentiel) dite de Schottky ΦM J (ou ev) Tavail de sotie du métal χ J (ou ev) Affinité électonique du semi-conducteu µn,p m V -1 s -1 Mobilité des électons (indice n) ou des tous (indice p) µh m V -1 s -1 Mobilité de Hall (µnh, µph) ρ, ρ( ) Cm -3 Densité de chage (au point ) σ Sm -1 (Scm -1 ) Conductivité = 1/Résistivité (Ω -1 m -1 ) τ s Duée de vie des poteus libes τdiel s Temps de elaxation diélectique dans un matéiau = εsc/σ τ s Temps de elaxation su le éseau (temps ente deux collisions successives subies pa un poteu libe, ou temps de libe pacous ) 10

Chapite I. Généalités I.1. Conducteus - Isolants - Semi-conducteus Les matéiaux ayant la plus faible ésistivité à tempéatue ambiante, typiquement inféieue à 10-5 Ωcm, sont les métaux (cuive, o, agent, aluminium...). La conduction électique s effectue essentiellement pa les électons libes dont la concentation diffèe peu d un métal à l aute (de 10 à 10 3 cm -3 ) quelle que soit sa pueté. Une augmentation de la tempéatue povoque une légèe augmentation de la ésistivité, pouvant s explique pa le fait que les électons libes sont gênés dans leu déplacement pa les vibations (coissantes avec la tempéatue) des atomes du métal. Les matéiaux dont la ésistivité est typiquement supéieue à 10 8 Ωcm sont considéés comme isolants ; c est le cas pou le vee, le mica, la silice (SiO), le cabone (diamant). Cette fois l augmentation de la tempéatue peut povoque la libéation d électons (ainsi que de tous ) qui peuvent paticipe à la conduction électique, ce qui povoque une baisse de la ésistivité avec la tempéatue. Ente les métaux et les isolants se touvent les semi-conducteus (SC) dont la ésistivité vaie de 10-3 à 10 4 Ωcm (ou plus). La conduction électique se fait pa les électons et les tous, ou de façon péféentielle pa l un ou l aute type de poteus. Un semi-conducteu peut ête soit pu auquel cas il est dit intinsèque, soit dopé pa des impuetés (qui pemettent de contôle sa ésistivité) auquel cas il est dit extinsèque. Si on pend, pa exemple, du Silicium assez pu et qu on lui ajoute un atome de Boe ou de Phosphoe pou 10 5 atomes de Silicium, sa ésistivité passe de 10 3 à envion 10 - Ωcm. Le tableau (I.1) donne des exemples de matéiaux ou de composés semi-conducteus en fonction des éléments qui les constituent et de la position de ces éléments dans le tableau de Mendeléev. Colonne Semi-conducteu IV Ge, Si binaie GaAs, GaP, GaSb, InAs, InP, InSb III-V tenaie AlxGa1-xAs, GaAsyP1-y II-VI quatenaie binaie tenaie AlxGa1-xAsyP1-y CdS, HgTe, CdTe, ZnTe, ZnS CdxHg1-xTe Tableau I.1. Exemples de semi-conducteus. I.. Stuctue de l état solide Les matéiaux solides se classent en deux gandes catégoies qui sont : Les matéiaux cistallins où les atomes sont angés égulièement aux noeuds d un éseau péiodique ; la maille (ou motif) élémentaie se épète égulièement 11

Les matéiaux amophes où l ode n est que local et non épété à longue distance. On distingue essentiellement quate familles de solides cistallins : Les cistaux ioniques, pa exemple le Na + Cl - où les ions sont liés pa attaction coulombienne. Aucun électon n est libe ce qui end ces cistaux isolants et tès du (la liaison est tès solide). Les cistaux covalents (colonne IV : C, Si, Ge, Sn). Les quate électons péiphéiques sont mis en commun avec quate voisins et établissent des liaisons de valence. Ces liaisons sont moins fotes que les liaisons ioniques et les popiétés des cistaux vont dépende de la foce de ces liaisons (C diamant est isolant, Sn est conducteu). Les métaux (Li, Na, K, Cu, Ag, Au) conducteus électiques qui ont un électon libe pa atome. Leu tempéatue de fusion est moins élevée que celle des cistaux covalents. Les cistaux moléculaies. I.3. Système cistallin et éseau cistallin Un cistal peut ête epésenté à pati d une cellule de base qui est épétée péiodiquement, fomant ainsi le éseau cistallin. Selon la natue des opéations de symétie qui laissent la stuctue cistalline invaiante, on est amené à défini sept systèmes cistallins, pami lesquels le système cubique. 1

Chapite II. Quelques popiétés II.1. Cistal cubique La plupat des semi-conducteus cistallisent selon un système cubique. Le système cubique compend tois éseaux difféents possibles, selon la disposition des atomes comme l indique la figue (II.1) Cubique simple : les atomes sont aux sommets du cube (figue (II.1.a)). Cubique centé : identique au cubique simple mais avec un atome au cente du cube (figue (II.1.b)). Cubique face centée : identique au cubique simple mais avec un atome au cente de chaque face (figue (II.1.c)). a b c Figue II.1.a. Cubique simple. b. Cubique centé. c. Cubique face centée. z z z z (001) (010) (111) (110) (110) x (100) y x y x y x y Figue II.. Plans cistallogaphiques. La figue (II.) epésente cetains plans cistallogaphiques epéés pa leu indices de Mille. La diection pependiculaie au plan (h,k,l) se note [h,k,l]. II.1.1. Semi-conducteus de la colonne IV (Ge, Si) - Réseau diamant Les électons d un atome isolé pennent des valeus d énegie discètes et chaque niveau d énegie peut accueilli un nombe limité d électons. Ce nombe est égale à n où n coespond au numéo du niveau (couche) en patant du noyau. Les électons se épatissent en occupant d abod les niveaux les plus poches du noyau (ce qui coespond à l énegie minimale). Dans le cas du Silicium, qui a un numéo atomique Z égal à 14, il y aua électons su la pemièe couche (complète), 8 su la seconde (complète aussi) et 4 su la denièe qui n est donc pas pleine puisqu elle peut conteni jusqu'à 18 électons. La figue (II.3.a) donne une epésentation des niveaux d énegie et des électons qui les occupent. Cette epésentation est simplifiée à la figue (II.3.b) en considéant seulement les quate électons péiphéiques de la couche extene (qui paticipeont aux liaisons ente atomes). 13

14 + 4 + a b c Figue II.3. Repésentations de l atome de Silicium faisant appaaîte. a. Les niveaux d énegie et électons les occupant. b. Le denie niveau d énegie. c. Les quate liaisons covalentes possibles. On constate qu un élément pésente une gande stabilité quand il a huit électons su sa couche extene (stuctue des gaz aes), ce qui n est pas le cas de l atome de Silicium isolé. Los de la fomation du cistal cet atome va gagne quate électons en fomant des liaisons covalentes qui coespondent à la mise en commun de ses électons péiphéiques avec les atomes voisins. Ainsi un atome de Silicium qui s associe avec quate autes atomes de Silicium vea huit électons su sa denièe couche. Une telle association est illustée aux figues (II.4). On constate que si aucune liaison n est bisée (pa exemple à 0 K), il n y a pas d électons libes, et donc le cistal est isolant. Le système cubique dans lequel va ainsi cistallise le Silicium, le Gemanium (ainsi que C, Sn) est le éseau diamant constitué de deux éseaux cubiques faces centées imbiqués (décalés du quat de la diagonale pincipale du cube). a Figue II.4. Repésentation de l association d un atome de Silicium avec ses quate voisins. a. En pojection plane. b. En tois dimensions. II.1.. Semi-conducteus composés (III-V ou II-VI) - Réseau Zinc-blende Un type de liaisons tès poche de celui qui vient d ête décit peut aussi se faie ente atomes de natue difféente pa exemple ente le Gallium (Z = 31) et l Asenic (Z = 33). La figue (II.5) donne la epésentation en deux dimensions du semi-conducteu GaAs dans lequel un atome de Ga pend quate atomes de As comme voisins et l As quate atomes de Ga. En éalité, le cistal se constuit à pati des ions Ga - et As + qui ont tous quate électons péiphéiques. b Gallium Ga - As + Ga - Figue II.5. Semi-conducteu composé : GaAs. Asenic As + Ga - As + Le éseau coespondant est celui de la blende (mineai de sulfue de zinc : ZnS) qui peut ête considéé comme une vaiante du éseau diamant : pou GaAs, il est constitué de deux éseaux cubiques faces centées (l un de Ga et l aute de As) imbiqués et décalés du quat de la diagonale pincipale. 14

II.. Bandes d énegie Les électons d un atome isolé pennent des niveaux discets d énegie (figue (II.3)), qui sont en fait constitués de sous-niveaux (ou sous-couches) ; mais losqu on appoche deux atomes ces niveaux (ou sous-niveaux) vont se dédouble. En étendant ce aisonnement à N atomes, cette dégénéescence fait appaaîte des bandes d énegie pemises, qui peuvent s intepénéte et se sépae à nouveau losque la distance inte-atomique diminue (cf. Fig. (II.6)), donnant des bandes d'énegie intedite, de lageu EG ( Gap ). Le tableau (II.1) donne quelques exemples de lageu de bande intedite ainsi que de distances inte-atomique. atome EG (ev) type de matéiau d (Å) C (Cabone) 5.5 isolant 3.567 Si (Silicium) 1.1 semi-conducteu 5.431 Ge (Gemanium) 0.7 semi-conducteu 5.646 Sn(Etain) 0 conducteu 6.489 Tableau II.1. Exemple de valeus du gap et de la distance inte-atomique ( constante du éseau = aête du cube du éseau = ( 4 / 3 ) distance au plus poche voisin). E Enegie des électons d 0 E G E V d 0 E C 4N états 0 électons (BC) N états/n électons (sous niveau «s») 4N états 4N électons (BV) d i (>>d 0 ) 6N états/n électons (sous niveau «p») d i Distance inteatomique Figue II.6. Appaition de bandes de valence, de conduction et intedite avec la diminution de la distance inte-atomique pou un matéiau de la colonne IV, quand on appoche N atomes identiques. La figue (II.6) illuste le cas des semi-conducteus du goupe IV (cas du Silicium) : la bande supéieue est appelée Bande de Conduction et, à 0 K, ne contient pas d électons contaiement à la bande inféieue, appelée Bande de Valence, qui contient 4N électons (donc qui est la denièe bande pleine). Ente ces deux bandes se touve une zone de lageu EG (en J ou en ev) intedite aux électons et appelée Bande Intedite ou Gap. Le fait que ces deux bandes (BC ou BV) soient entièement pleines ou vides implique que la conduction électique ne peut existe. Pou une tempéatue difféente de 0 K un électon de la BV peut ecevoi suffisamment d énegie pou passe dans la BC (un tou appaaît alos dans la BV) et ende possible la conduction électique. Le matéiau n est plus isolant ; mais plus EG sea gand plus le nombe de poteus libes (électons dans la BC ou tous dans la BV) sea faible, et plus le matéiau sea isolant. 15

II.3. Gap diect ou indiect Les coubes EC,V( k) dites aussi elations de dispesion où EC est le bas de la bande de conduction, EV le haut de la bande de valence et k le vecteu d onde associé à un électon (quantité de mouvement p = mv = hk ) font appaaîte deux types de semi-conducteu : ceux pou lesquels minimum de EC et maximum de EV se poduisent pou la même valeu de k, que l on appellea SC à gap diect, et les autes appelés SC à gap indiecte. BC E C (k) E G k E = E G k k Figue II.7.a. SC à gap diect. b. SC à gap indiecte. a BV E V (k) b La natue du gap joue un ôle fondamental dans l inteaction du semi-conducteu avec un ayonnement électomagnétique (en paticulie lumineux), et donc dans le fonctionnement des composants utilisés en optoélectonique. On peut emaque, pou l instant, que dans un SC à gap diect un électon du haut de la BV qui acquièe une énegie EG passe dans la BC sans change de quantité de mouvement ( p = h k = 0) ce qui n est pas le cas dans un SC à gap indiect. On appelle aussi que los de toute tansition ente niveaux d énegie, les lois de consevation de l énegie et de la quantité de mouvement doivent s applique et que la quantité de mouvement associée à un photon : p ph mc Eph hν h = mc = = = = = h k ph (II.1) c c c λ est typiquement 10 3 fois plus petite que celle coespondant aux vaiations k nécessaies dans un SC à gap indiect. Ainsi les photons ne peuvent pas y assue seul le tansfet de quantité de mouvement los des tansitions BC BV. II.4. Conduction pa électon ou pa tou. Masse effective. Densité d états E C E G E V la BC. Figue II.8. Tansition d un électon de la BV ves On peut bise une liaison de valence si on appote une énegie (themique ou lumineuse) suffisante : on aache ainsi un ou plusieus électons (pécédemment engagés dans ces liaisons). Ceci evient, dans le modèle de bandes d énegie utilisé, à faie passe ce ou ces électons de la bande de valence à un état situé dans la bande de conduction (à un niveau dépendant de l appot d énegie) : l électon est libe (il ne paticipe plus à une liaison cistalline) et peut, pa conte, paticipe à la conduction électique, voi figue (II.8). Il se compote comme une paticule quasi-libe dans le semi-conducteu ca il y subit l influence du éseau. On epésente cette paticule (électon) quasi-libe pa une quasi-paticule libe en lui affectant une masse effective mn difféente de la masse m0 (0,91 10-30 kg) de l électon libe dans le vide. 16

Electon libe Liaison bisée Tou libe Figue II.9. Appaition d un électon et d un tou libe los d une uptue de liaison covalente. Dans le même temps qu appaaît un électon libe dans la bande de conduction (devenu libe en bisant une liaison), appaaît une case (place) vide dans la bande de valence (coespondant à une liaison non assuée) qui peut ête occupée pa un aute électon de la BV (paticipant aupaavant à une aute liaison covalente). Ce phénomène est illusté à la figue (II.9). A cette place vide (qu on appelle tou) est affectée une chage positive +q (son déplacement sea opposé à celui des électons los de l application d un champ électique). La bande de valence étant toujous quasi-pleine (de N-1 électons de valence), l étude du mouvement des paticules dans cette bande sea simplifiée en ne considéant que le mouvement du tou auquel on affectea une masse effective mp. Au voisinage d un extemum des bandes (BV ou BC), on peut appoche les elations de dispesion E(k) pa un développement limité : pa exemple au voisinage d un minimum de la BC (appelé vallée ) on poua écie : E( k) d E EC + 0 + 1 k +... (II.) dk ou, ce qui est équivalent (avec la quantité de mouvement p = hk ) : 1 E p E ( p) EC p = (II.3) p mn (appoximation paabolique de la bande de conduction) ; o p m n est l énegie cinétique d un électon libe. Ainsi l énegie supplémentaie (pa appot à EC) des électons est une énegie cinétique et on déduit pa identification que la masse effective des électons dans la vallée considéée est donnée pa : E mn = p 1 (II.4) qui est l invese de la coubue de E(p). Densité d états : On peut calcule ensuite le nombe de places disponibles (occupées ou non) pa les électons (dans la BC) et les tous (dans la BV). Cette densité d états s obtient pa exemple pou les électons (dans la BC) en écivant : nc(e)de = nombe d états (m -3 ) dans la tanche d énegie E, E + de 17

(donc nc(e) en m -3 J -1 ou cm -3 ev -1 ), soit : ( ) ( ) n E de g k d k C = 3 (II.5) où pa définition, g(k) est la densité d états électoniques dans l espace écipoque ( espace des k ). Dans un espace à tois dimensions cette densité est égale à /(π) 3. On en déduit l expession de la densité d états dans l appoximation des bandes paaboliques en utilisant le fait que les sufaces isoénegétiques (E = constante), si mn est isotope, sont des sphèes dans 3 l espace des k (alos d k = 4πk dk et, d apès l éq.(ii.3), de = ( h / m ) n kdk ) : nc 3 1 m 1 π h ( E) = n ( E EC) (II.6) De même pou les tous dans la bande de valence, on obtient comme densité d états : nv 3 1 m 1 π h p ( E) = ( EV E) (II.7) 18

Chapite III. Semi-conducteu non dopé ou dopé III.1. Semi-conducteu intinsèque Un semi-conducteu est dit intinsèque losque le cistal n est pas pollué (volontaiement ou non) pa des impuetés pouvant change la concentation en poteus libes. Pou une tempéatue difféente de 0 K, des électons peuvent deveni libes c est à die passe de la bande de valence à la bande de conduction, où leu concentation est notée n. Ces électons laissent des tous dans la BV (avec une concentation notée p) eux-aussi libes de se déplace avec, de plus, une égalité ente les concentations n et p. Pou ce cas paticulie, on définit une concentation intinsèque ni (égale aux concentations n et p) pou laquelle on montea plus loin qu elle est donnée pa la elation : 3 E n = p = ni ( T) = AT G exp (III.1) kt où A est une constante spécifique du matéiau. L équation (III.1), illustée aux figues (III.1.a et b) pou le silicium, le gemanium et le GaAs, taduit le fait que plus la tempéatue est élevée, plus il est féquent qu un électon obtienne l énegie nécessaie pou fanchi la bande intedite. Mais plus le gap (EG) est gand et plus l énegie qu un électon doit acquéi devient impotante. Cette emaque implique qu un matéiau à gand gap a une meilleue stabilité en tempéatue ce qui le end intéessant pou l électonique de puissance. La figue (III.1.a ou b) monte qu en pemièe appoximation ln(ni) en fonction de 1/T est une doite de pente EG k ce qui donne la possibilité de déduie expéimentalement EG. Tempéatue (K) 1000 500 400 300 00 n i (cm -3 ) 10 17 10 14 10 11 10 8 10 5 a Ge : E G = 0,7 ev Si : E G = 1,1 ev GaAs : E G = 1,4 ev 00 400 600 800 1000 Tempéatue (K) n i (cm -3 ) 10 17 10 14 10 11 10 8 10 5 b Ge Si GaAs 0,001 0,00 0,003 0,004 0,005 1/Tempéatue (K -1 ) Figue III.1. Evolution de la concentation intinsèque en epésentation semi-log pou le silicium, le gemanium et le GaAs. a. En fonction de la tempéatue. b. En fonction de l invese de la tempéatue. 19

Remaque su la généation et la ecombinaison des poteus : Si, à une tempéatue donnée difféente de 0 K, il y a céation (ou généation ) themique pemanente de paies électon - tou conduisant à une concentation intinsèque ni(t), c est pace que, en égime stationnaie, il existe un phénomène invese de dispaition de poteus (pa paie) appelé ecombinaison : il coespond au passage d un électon de la bande de conduction à la bande de valence, où l électon va occupe une case vide (l électon libe va ête bloqué dans une liaison de valence). Il y a donc dispaition d une paie électon - tou. En égime pemanents les taux de généation gi(t) et de ecombinaison i(t) (en m -3 s -1 ) doivent ête égaux, et pou un semi-conducteu intinsèque : EG gi( T) = i ( T) ni exp (III.) kt III.. Semi-conducteu extinsèque : dopage L intoduction de cetaines impuetés dans un matéiau semi-conducteu pemet d y modifie le nombe de poteus libes, de choisi le type de conduction (pa électons ou pa tous) et de contôle la conductivité. électon libe Si Si Si Si Si Si Si Silicium Si P Si Si P + Si P Phosphoe Si Si Si Si Si Si a b chage fixe Figue III.. Silicium dopé au phosphoe. a. T = 0 K. b. T 0 K. E C E D E C E D Etat occupé Etat libe E V a b c d E V Electon libe Tou libe Figue III.3. Diagammes de bandes faisant appaaîte le niveau d énegie des états de type donneu et leu occupation. a. T0 = 0 K, n0 = p0 = 0. b. 0 < T1 < 50 K, les impuetés s ionisent (se dégèlent). c. 50 K < T < 500 K, n0 ND >> ni(t) >> p0. d. T3 > 500 K, n0 p0 ni(t3). III..1. Semi-conducteu de type n Pou un tel matéiau, des atomes (ou impuetés) de type donneu (d électons) ont été intoduits (en généal en faible quantité) afin de pivilégie la conduction pa électons plutôt que pa tous. Les atomes peuvent ête de la colonne V si le cistal initial est constitué d atomes de la colonne IV. La figue (III..a) donne l exemple de silicium dopé au phosphoe qui possède cinq électons su la couche extene. 0

Les quate atomes voisins de silicium pêtent un électon chacun à l atome de phosphoe qui lui-même met en commun quate de ses cinq électons péiphéiques. Un faible appot d énegie (0,04 ev), pa exemple dû à une tempéatue difféente de 0 K, peut libée le cinquième électon de l atome de phosphoe (figue (III..b)) qui se etouve alos ionisé positivement (chage fixe). Ce phénomène coespond à l appaition d un niveau d énegie ED dans la bande intedite (avec EC - ED = 0,04 ev), epésenté à la figue (III.3). Les atomes d impueté s ionisent pogessivement avec l augmentation de la tempéatue et à pati d envion 50 K toutes les impuetés sont dégelées. La concentation n0 en électons (appelée concentation en poteus majoitaies ) sea alos égale à la concentation en dopant ND (n0 = ND >> ni >> p0 concentation en tous, minoitaies) tant que le compotement intinsèque du matéiau ne epend pas le dessus (équation (III.1)) ce qui se poduit pou une tempéatue supéieue à 500 K (ode de gandeu usuel) et end à nouveau la concentation en électons dépendante de la tempéatue. III... Semi-conducteu de type p tou libe Si Si Si Si Si Si Si Silicium Si B Si Si B - Si B Boe Si Si Si Si Si Si a b chage fixe Figue III.4. Silicium dopé au Boe. a. T = 0K. b. T 0K. E C E A E V E C E A E V Etat occupé Etat libe Electon libe Tou libe a b c d Figue III.5. Diagammes de bandes faisant appaaîte le niveau d énegie des états de type accepteu et leu occupation. a. T0 = 0K, n0 = p0 = 0. b. 0 < T1 < 50 K, les impuetés s ionisent. c. 50 K < T < 500 K, p0 NA >> ni(t) >> n0. d. T3 > 500 K, n0 p0 ni(t3). Cette fois les impuetés sont de type accepteu d électons ce qui coespond aux atomes de la colonne III pou un cistal constitué d atomes de la colonne IV. La figue (III.4) donne un apeçu de ce qui se passe pou un cistal de silicium dans lequel on a intoduit des atomes de boe. L association avec ses quate voisins confèe à l atome de boe sept électons su la couche extene ce qui est insuffisant pou le ende stable et il est alos tenté d en subtilise un à un poche voisin qui lui même peut en pende un à un de ses voisins et ainsi de suite. Pou cela il faut un appot minimum d énegie qui peut ête founi pa les vibations themiques du cistal ; le boe se etouve ionisé négativement (chage fixe) et on assiste au déplacement d un tou (libe) d atome en atome. La concentation p0 en tous (poteus majoitaies) est égale à la concentation en dopant NA (p0 = NA >> ni >> n0) à pati d une tempéatue de l ode de 50 K; le caactèe intinsèque edevient dominant au-delà de 500 K envion (équation (III.1)). 1

Remaques : Le dopage minimum dépend du affinage du matéiau ; pa exemple pou le silicium on obseve des concentations ésiduelles de boe d envion 10 13 atomes pa cm 3, si bien que le silicium intinsèque à tempéatue ambiante (où ni 10 10 cm -3 ) est tès difficile à obteni. D aute pat, cetaines impuetés (métalliques) ou des défauts du éseau cistallin donnent des niveaux d énegies plus poches du milieu de la bande intedite ce qui a peu d intéêt au niveau dopage mais est susceptible de modifie les popiétés de ecombinaison ; on dit que ces niveaux pofonds constituent des centes de ecombinaison. III.3. Semi-conducteu compensé Les impuetés dopantes (ou même pofondes) de type difféent peuvent se compense, patiellement ou totalement. Le semi-conducteu aua le type de l impueté dominante. Si on aive à compense pafaitement (NA = ND), on obtient alos un semi-conducteu intinsèque pa compensation (...bien qu il contienne des impuetés dopantes). E C E D E C E D E A E A E V a E V b Figue III.6. Diagamme de bandes d un semi-conducteu de type n en patie compensé (NA < ND). a. T0 = 0K. b. T1 > 50 K : le dopage équivalent (à tempéatue ambiante ) est (ND NA) n0.

Chapite IV. Semi-conducteu à l équilibe IV.1. Concentation des poteus libes à l équilibe On appelle qu à l'équilibe themodynamique, un phénomène et son phénomène invese (pa exemple : un mouvement de paticules de la doite ves la gauche ou de la gauche ves la doite) se poduisent avec la même pobabilité. Les électons, paticules à spin demi-entie, obéissent à la statistique de Femi - Diac. IV.1.1. Distibution de Femi-Diac. Niveau de Femi La fonction fn(e) est la pobabilité d occupation (à l équilibe) d un niveau d énegie E pa un électon et elle est donnée pa (statistique de Femi-Diac) : f f n n ( E) ( E) ( ) ( ) nombe de cases occupées pa les électons ente E et E + de = = nombe de cases disponibles ente E et E + de 1 = E E 1+ exp kt F n ( ) ( ) n E de C E de (IV.1) (IV.) EF étant le niveau de Femi, qui coespond à une pobabilité d occupation égale à 1/, quelle que soit la tempéatue T. La figue (IV.1) donne l évolution de fn(e) en fonction de la difféence E EF et de la tempéatue. Elle pemet de constate que sa valeu vaie plus ou moins apidement de 1 à 0 en passant toujous pa 0,5 pou E EF = 0. f n (E) 1.0 0.8 0.6 0.4 0. 0 K 50 K 150 K 300 K 500 K Figue IV.1. Evolution de la pobabilité fn(e) en fonction de E E F et de la tempéatue. 0.0-0. -0.1 0.0 0.1 0. E-E F (ev) La pobabilité fp(e) qu un niveau E soit occupé pa un tou est complémentaie de la pobabilité fn(e) : 1 f p ( E) = 1 f n ( E) = E F E 1+ exp kt (IV.3) 3

Dans le cas où la difféence E EF est supéieue à quelques kt, l équation (IV.) se simplifie en constatant que le teme en exponentiel est fotement supéieu à 1 d où : fn ( E) 1 E EF exp kt E EF = exp (IV.4) kt ce qui coespond à la statistique de Boltzmann. Dans le cas où E EF est inféieu à quelques kt ( EF E supéieu à quelques kt) on a l appoximation suivante : fp ( E) 1 EF E = exp (IV.5) EF E kt exp kt Pou un semi-conducteu intinsèque le niveau de Femi est appelé niveau de Femi intinsèque EFi et se situe pès du milieu de la bande intedite Ei = (EC + EV)/. Mais dans le cas généal, le niveau de Femi va dépende du type de dopant et de sa concentation (et, bien sû, de la tempéatue). Ce que l on peut die avec cetitude, c est que pou un semi-conducteu de type n : EF > EFi (qui taduit le fait que les électons sont plus nombeux que les poteus intinsèques : n0 >> ni) et pou un semi-conducteu de type p : EF < EFi. IV.1.. Concentations à l équilibe, loi d action de masse La concentation en électons libes à l équilibe n0 est donc obtenue en sommant, pou tous les niveaux d énegie de la bande de conduction, le poduit de la densité d états nc(e) (nombe de places disponibles dans la BC) pa la pobabilité d occupation de ces places fn(e) : E max n0 = n( E) de = nc ( E) fn ( E) de nc ( E) fn ( E) de BC EC EC (IV.6) où n(e) epésente la distibution en énegie (ou densité énegétique) des électons dans la bande de conduction. Pou pouvoi effectue l intégation, on considèe que le semi-conducteu n est pas dégénéé, c est-à-die que le niveau de Femi este dans la bande intedite en espectant les inégalités EC EF > qqs kt et EF EV > qqs kt. En utilisant alos l expession coespondante de fn(e) (équation (IV.4), dite appoximation de Boltzmann ) et celle de nc(e) (équation (II.6)) on intège l équation (IV.6) pou obteni : EC EF n0 = NC exp = NCfn ( EC ) (IV.7) kt où NC (cm -3 ) est la densité équivalente d états dans la bande de conduction amenée en EC et vaut : N C mnkt = π h 3 (IV.8) Pou touve la densité de tous dans la bande de valence il faut pocéde de la même façon que pou les électons mais en utilisant la densité d états nv(e) et la pobabilité d occupation fp(e). 4

E V EV BV E min p0 = p( E) de = nv ( E) fp ( E) de nv ( E) fp ( E) de (IV.9) où p(e) est la densité énegétique des tous dans la bande de valence. Les expessions de nv(e) (équation (II.7)) et de fp(e) pou le cas d un semi-conducteu non dégénéé (équation (IV.5)) pemettent d intége l équation (IV.9). E p N F EV 0 = V exp = NVfp( EV ) (IV.10) kt où NV (cm -3 ) est la densité équivalente d états dans la bande de valence amenée en EV. N V mpkt = π h 3 (IV.11) La figue (IV.) monte la épatition qualitative des électons et des tous libes dans la BC et la BV. E n(e) n C (E) E C E F 1 f n (E) Figue IV.. Diagamme faisant appaaîte la fonction de Femi et la densité énegétique des poteus libes. E V p(e) n V (E) En multipliant la densité d électons pa la densité de tous (équations (IV.7) et (IV.10)) on obtient un ésultat indépendant de la position du niveau de Femi (et donc du dopage). Cette loi est appelée loi d action de masse. EC EV EG n0p0 = NC NV = NC N exp V exp (IV.1) kt kt Dans un matéiau intinsèque les concentations en poteus libes sont égales à la concentation intinsèque de poteus ni ce qui pemet d écie E C E Fi n i = p0 = n 0 = N C exp (IV.13) kt et avec l équation (IV.1) : E G n 0 p0 = N CN V exp = n i ( T) (IV.14) kt 5

Ce ésultat pemet d expime la concentation intinsèque de poteus sous la fome (déjà indiquée : équation (III.1)) : E 3 = G E G n i N CN V exp T exp (IV.15) kt kt N m T. ca ( ) C,V n,p 3 On expime aussi le niveau de Femi intinsèque en fonction de NC et NV en égalant ni et n0 ou p0. N C E exp C E kt Fi = N N C V E exp E kt C V (IV.16) E Fi EC + EV kt NC kt NC = ln = Ei ln Ei (IV.17) N N V V où E ( E E ) i = C + V est le milieu de la bande intedite. On expime la densité n0 en fonction de ni en écivant dans l équation (IV.7) : ( ) ( ) E E = E E + E E (IV.18) C F C Fi Fi F et en utilisant l équation (IV.13) : EC EFi EFi EF EF EFi n0 = NC exp exp = ni ( T) exp (IV.19) kt kt kt Cette équation (IV.19) confime que si n0 > ni alos EF > EFi. L expession de p0 en fonction de ni est : ( ) E E n T p n ( T F Fi i 0 = i ) exp = (IV.0) kt n0 IV.1.3. Equation de la neutalité électique Dans un semi-conducteu homogène la somme de toutes les chages est nulle en tout point ce qui signifie que le nombe de tous libes et de chages fixes positives est égal au nombe d électons libes et de chages fixes négatives. + 0 D 0 A p + N = n + N (IV.1) ND + et NA epésentent les impuetés ionisées. Les atomes de type donneu sont neutes losqu'ils sont occupés pa leu électon et sont ionisés positivement quand ils ont donné leu électon c'est-à-die losqu'ils sont occupés pa un tou. Pou en touve le nombe il faut multiplie le nombe de places possibles (ND) pa la pobabilité d occupation du niveau d énegie ED pa un tou (fp(ed)), c'est-à-die (si on supposait qu'il n'y a pas de dégénéescence du niveau d'impueté) : 6

N + = N f ( E ) = N D D p D D 1 E 1+ exp F E kt D (IV.) Pou les atomes de type accepteu, chagés négativement quand ils ont capté un électon, il faut utilise la pobabilité d occupation du niveau EA pa un électon (fn(ea)) multipliée pa le nombe de places disponibles (NA). 1 N A = NAfn ( EA ) = N A EA EF 1 + exp kt (IV.3) A tempéatue ambiante, dans le cas d un semi-conducteu de type n, l équation de la neutalité se simplifie en considéant que NA est négligeable et que toutes les impuetés (donatices) sont ionisées ND + = ND. D'où : n n p N i 0 = 0 + D = + ND (IV.4) n0 équation d'où on peut expime la concentation en poteus libes en fonction de ni(t) et du dopage. Comme en généal dans ce type de semi-conducteu n0 >> p0 alos l équation (IV.4) se ésume à : n 0 N D (IV.5) L expession du niveau de Femi s obtient en utilisant les équations (IV.5) et (IV.7) ou (IV.19). NC ND EF = EC ktln = EFi + ktln (IV.6) ND ni Pou un semi-conducteu de type p on a à tempéatue ambiante p 0 N A ce qui donne : N E E kt V N F V EFi kt A = + ln = ln (IV.7) NA ni IV.. Le niveau de Femi dans une stuctue à l'équilibe IV..1. Popiété fondamentale Quelle que soit la stuctue du matéiau (homogène ou non), le niveau de Femi est le même patout à l équilibe themodynamique. Pou véifie ce fait on imagine deux égions de la stuctue notées 1 et véifiant l égalité E1 EF1 = E EF (cf. Fig. (IV.3)) ce qui signifie que la concentation en électons est la même su E1 et su E. Si on suppose que EF1 < EF, alos E1 < E, ce qui implique un mouvement d électons de la égion ves la égion 1 soit un flux d électons et qui dit flux dit non équilibe themodynamique. Donc à l'équilibe, on doit avoi EF1 = EF = EF = constante. 7

E 1 E E F Figue IV.3. Stuctue compenant deux égions véifiant l'égalité E1 - EF1 = E - EF. E F1 IV... Illustations La figue (IV.4.a) donne un exemple de diagamme de bandes impliquant un équilibe themodynamique puisque le niveau de Femi ne vaie pas selon l axe x. Le fait que EG este constant peut signifie que le matéiau est le même, mais que son dopage n'est pas unifome. La plus fote concentation d électons à gauche et de tous à doite vient de la statistique de Femi (fn(e) et fp(e)). Dans la patie gauche le semi-conducteu est de type n (EF plus poche de EC que de EV) alos que dans la patie doite il est de type p. On peut monte que la vaiation linéaie de EC EF coespond à un dopage vaiant de façon exponentielle. Enegie Enegie flux d électons E C E C E F E G E F E V E G E V x flux de tous x a b Figue IV.4.a. Semi-conducteu à l équilibe themodynamique. b. Semi-conducteu hos équilibe themodynamique. La vaiation de EF en fonction de x à la figue (IV.4.b) indique que le semi-conducteu n est pas à l équilibe themodynamique ce qui se taduit pa un flux d électons et de tous. On peut véifie que cette figue coespond à un échantillon SC homogène soumis à une difféence de potentiel ente ses deux extémités. IV..3. Application : ddp intene d'une jonction pn à l'équilibe La figue (IV.5) illuste le cas d un semi-conducteu non homogène constitué de deux paties A et B homogènes. A l équilibe themodynamique (pas de difféence de potentiel extéieue) le niveau de Femi doit ête le même tout au long de la stuctue. Ente les deux égions homogènes existe toutefois une baièe de potentiel intene Vint = VAB, associée à un champ électique intene dans la zone de tansition : Vint 1 1 1 = VAB = VA VB = ( ECA ECB ) = ( EVA EVB ) = ( EFiA EFiB ) (IV.8) q q q En utilisant l équation (IV.19) on a l expession du niveau de Femi intinsèque en fonction du niveau de Femi et de la densité en électons pou les deux paties du semi-conducteu. n 0A E FiA = EF ktln (IV.9) ni 8

n 0B E FiB = EF ktln (IV.30) ni En epotant ces deux ésultats dans l équation (IV.8) on obtient l expession de la difféence de potentiel intene (qui peut aussi ête expimée à l aide de la densité en tous (éq. (IV.0))) : kt n = 0A kt p 0B kt n = 0Ap0B kt ni V int = ln ln = ln ln (IV.31) q n 0B q p0a q q p ni 0An0B Cette difféence de potentiel intene ( built-in potential ) est aussi appelée difféence de potentiel de contact ou de diffusion. Elle coespond à la baièe de potentiel que doivent fanchi les électons pou passe de A ves B (et les tous de B ves A). Elle n est pas mesuable puisqu elle coespond à une situation d équilibe (EFA = EFB = EF aucune ddp. n appaaît ente les extémités). E int n 0B E CB E CA n 0A E FiB E F E FiA E VA p 0A V AB p 0B E F E VB x Figue IV.5. Stuctue (ex. : jonction pn ) à l équilibe themodynamique constituée de deux paties homogènes (même semi-conducteu dopé difféemment). 9

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Chapite V. Equation de Poisson - Conséquences On commence pa appele les deux points suivants : Un matéiau SC homogène est neute en tout point (neutalité électique locale) Losqu un matéiau est non homogène il y a une possibilité d'existence d'un champ électique intene E associé à celle d une densité de chage ρ( ) dans une zone de chage d espace (ZCE). Théoème de Gauss et équation de Poisson Soit un volume V délimité pa une suface femée S contenant une chage Q, le flux du champ électique sotant s écit : Q ξnds = ε S SC = ρ( ) dv V = εsc div V ( ξ) dv n est le vecteu unitaie nomal à la suface, εsc la pemittivité du matéiau (SC), ds un élément de suface et dv un élément de volume. Dans ce volume dv du matéiau la densité de chage ρ s écit en fonction des densités en poteus libes et des chages fixes : + ( ) = [ D + A ] ρ q N p N n (V.1) (V.) Les équations (V.1) et (V.) pemettent d écie : ξ = div ρ ( ) ( ) ξ = εsc q = N + + p N n ε D A SC (V.3) Le champ électique et la tension électique V étant eliés pa : ξ = gad ( V) = ( V) (V.4) l équation de Poisson s expime de la façon suivante : V V V q V = V = + + = + ND + p NA n x y z εsc (V.5) Pou une analyse à une seule dimension, x pa exemple, cette équation devient : V x ξ = x x q = N + ε D SC ( x) + p( x) N ( x) n( x) A (V.6) 31

L'équation de Poisson monte que dans une égion neute (ρ = 0), l'évolution du potentiel V(x) ne poua ête, au plus, qu'une fonction linéaie de x. Invesement dans une zone de chage d'espace (ρ 0), l'évolution du potentiel pésente une coubue (d V/dx 0), et donc l'évolution des bandes d'énegie EC(x), EV(x),... (Fig. (V.1)), diectement liée à celle du potentiel V(x), va epoduie cette coubue ca : qdv(x) = dec(x) = dev(x) = dei(x). Enegie = -qv E C (x) E C0 E i (x) E i0 V E V (x) Z.C.E. E V0 Figue V.1. Coubues des bandes d'énegies dans une zone de chage d'espace (Z.C.E). x De plus, si la stuctue étudiée este à l'équilibe (au moins selon la diection étudiée x), la statistique de Femi-Diac est applicable et EF = constante. En tout point x de la ZCE, on peut alos écie : EC( x) EF EC( x) EC0 + EC0 EF n( x) = NC exp = NC exp kt kt ( ) EC( x) EC qv x 0 = n0 exp = n0 exp kt kt (V.7) où n0 est la concentation en électons dans la égion (où EC = EC0) choisie comme éféence (en généal le volume neute ). De même, on peut écie pou les tous : ( ) qv x p( x) = p exp 0 kt (V.8) On emaquea que le poduit n(x)p(x) = n0p0 = ni, ce qui est nomal puisqu'on a supposé que la stuctue considéée est à l'équilibe. On peut donc théoiquement connaîte l évolution du potentiel le long de l axe x : V(x) pa ésolution de l'équation de Poisson (équation (V.6)). Ceci n'est analytiquement simple que dans cetains cas, tels : La égion neute ou quasi-neute : à l équilibe (n0, p0) ou hos équilibe (n = n0 + δn, p = p0 + δp) la densité de chage s écit (chage nulle) : + ( ) [ D A ] ρ = q N + p N n 0 (V.9) sans oublie qu à l équilibe p0 n0 = NA ND +, ce qui impliquea δn δp. 3

La égion (ou zone) de chage d espace (ZCE) désetée : en généal le champ intene y est élevé et il va éjecte les poteus hos de la égion de chage d espace, pemettant de faie l hypothèse de désetion totale. Les densités en électons et en tous sont donc considéées comme nulles ( n 0, p 0 ) et la densité de chage se simplifie : ρ( ) = q + ( N ) N ( D A ) (V.10) E C (0) E(x) = -qv(x) E C (x) Un exemple de semi-conducteu pésentant une ZCE (zone de chage d espace) est donné à la figue (V.) où la difféence de potentiel ente le point x et le point x = est notée V(x). -qv(x) E V (0) 0 V(x) xd = E x qn Ax E d x max = εsc E i E F E V (x) x εsc qn V 0 A qn = A εsc V0 Une concentation NA, supposée constante, d impuetés acceptices a été intoduite dans le matéiau, d où l expession de la densité de chage dans la ZCE : ρ( x) V x x = qn A (V.11) ( ) ξ ( x) ρ( x) = x x q = = NA εsc εsc (V.1) 0 ρ(x) x d x x En intégant une pemièe fois l équation (V.1), on obtient : ( ) V x x = ξx qn ( x) = A ( x x ) εsc d (V.13) -qn A ZCE égion quasi neute avec en x = x d la condition de champ électique nul (ξ = 0 dans la égion neute : x xd). Zone de Debye L intégation de l équation (V.13) mène à : Figue V.. Exemple de semi-conducteu contenant une zone de chage d espace et une zone quasi neute. A ( ) = ( ) V x qn x x ε SC d (V.14) avec en x = xd une difféence de potentiel nulle (pas de chute de potentiel ente x = xd et x ). La distance xd s expime donc facilement en fonction de la difféence de potentiel en x = 0 qui sea notée V0 (et qui coespond à la ddp. aux bones de la ZCE). soit : qn V A 1 0 = x d = E x max x d (V.15) εsc x d SC = ε qn V 0 A (V.16) 33

Ode de gandeu de l'étendue d'une zone désetée : dans le silicium (εsc 1 ε0), pou NA,D 10 15 cm -3 (dopage elativement faible), et VD 1 V, on a xd 1 µm. N.B. : la tansition ente la ZCE et la égion quasi-neute n'est en éalité, pas butale ; elle s'effectue su une zone dite couche de Debye qui sea plus pécisément définie au paagaphe VIII.4. 34

Chapite VI. Petubations faibles de l équilibe : tanspot de chages Hos champ électique, les poteus libes ont un mouvement essemblant à des sauts de puce (caactéisé pa des changements de diection que l on appelle mouvement Bownien ), et leu déplacement moyen est nul. Les atomes, les impuetés et les défauts du éseau sont autant d obstacles pou les poteus, qui effectuent des collisions avec eux. Le temps moyen ente collisions, τ (ou temps de elaxation su le éseau), est de l ode de 10-13 s (0,1 ps). Notons que le pocessus de collisions peut ête décit comme un pocessus poissonnien de densité (1/τ), c'est-à-die que la pobabilité d'obseve une collision pendant un intevalle de temps dt (tès petit) est (1/τ) dt ; 1/τ coespond donc au nombe moyen de collisions pa unité de temps, et τ est la valeu moyenne de la vaiable aléatoie temps ente collisions successives. Remaquons que τ n a absolument ien à voi avec le temps de vie des poteus (temps ente céation et ecombinaison de poteus) qui est en généal beaucoup plus long. La vitesse themique des poteus, vth, s expime en fonction de l énegie cinétique et de leu masse effective, m *, qui este de l ode de celle de l électon dans le vide (9,1 10 31 kg). 1 * 3 Ecin = m vth = kt (VI.1) A 300 K la vitesse themique est de l ode de 10 5 ms -1. La distance que pacout un poteu ente deux chocs s appelle le libe pacous moyen, λ, et vaut simplement : λ = v th τ (VI.) qui à 300 K est d envion 100 Å = 10 nm. VI.1. Mobilité des poteus libes Losqu un champ électique ξ est appliqué à un semi-conducteu, chaque poteu subit une foce électostatique F = ± qξ (+ pou le tous et - pou les électons) et une foce de fottement de type visqueux ( fv d ) qui décit l'effet des collisions. Son accéléation γ s écit (foce = masse accéléation) : dv γ = d dt = ± q m * f ξ vd m * = ± q m * v ξ d τ 35 (VI.3) où m* est la masse du poteu, v d sa vitesse d'entaînement (ou de déive ) et f = m*/τ taduit les fottements de type visqueux. En égime pemanent γ = 0 d'où : qτ v = ± d ξ = µξ (VI.4) m * ce qui pemet d expime la vitesse d entaînement des électons : qτ v = dn ξ = µ nξ (VI.5) mn

et celle des tous : qτ v = dp ξ = µ pξ (VI.6) mp La mobilité µ des poteus est définie comme le coefficient de popotionnalité ente la vitesse et le champ électique, ce qui donne pou les électons et les tous : qτ µ n = < 0 (VI.7) m n qτ µ p = > 0 (VI.8) m p On obtient une mobilité négative pou les électons. De nombeux ouvages péfèent considée la mobilité en valeu absolue et écivent donc v dn = µ n ξ. En généal tois mécanismes influencent la mobilité : Les collisions coulombiennes : les impuetés ionisées et d une manièe généale tous les centes chagés gênent le pacous des poteus. Les collisions avec le éseau : les atomes du éseau cistallin qui vibent autou de leu position moyenne (phonons) sont des obstacles pou les poteus Les collisions su la ugosité de suface : Les dimensions d'un composant à semiconducteu n étant pas infinies, les poteus heutent pafois la suface et sont d autant plus gênés dans leu mouvement que cette suface est de mauvaise qualité. L'étude du pocessus ésultant de l'existence simultanée de pocessus poissonniens indépendants conduit à la ègle de Matthiessen qui stipule que les phénomènes influençant la mobilité doivent ête sommés pa l'invese de leus temps de elaxation, c'est-à-die l'invese des mobilités : 1 1 1 1 = + + +... (VI.9) µ µ µ µ tot éseau impuetés suface log(µ) [théoique] a T 3/ T -3/ impuetés éseau (phonons) ~100 K log(t) µ (cm V -1 s -1 ) 1400 1000 600 µ p µ n Si 300 K 00 0 10 15 10 17 10 19 b N A,D (cm -3 ) v d (cms -1 ) 10 7 10 6 c GaAs v dn v dn Si 300 K vdp 10 3 10 4 E (Vcm -1 ) Figue VI.1. Evolution de la mobilité a. en fonction de la tempéatue b. en fonction de la densité en impuetés. c. Evolution de la vitesse des poteus avec le champ électique appliqué. La tempéatue influence la mobilité au taves de τ, à commence pa les chocs avec le éseau du semi-conducteu (phonons). Quand la tempéatue augmente la mobilité 36

coespondante diminue ce qui implique, a pioi, une dépendance en T -α (α > 0) avec théoiquement α = 3/. Les chocs su les impuetés sont tels qu une augmentation de tempéatue entaîne une augmentation de mobilité. Cette dépendance est de la fome T β /Nimp (β > 0) où Nimp (= NA - + ND + ) epésente la densité en impuetés. Théoiquement β est touvé égal à 3. La figue (VI.1.a) illuste ces influences de la tempéatue su la mobilité. Comme l indique la figue (VI.1.b), une augmentation du dopage amène à une diminution de la mobilité. La mobilité des poteus est constante tant que le champ électique est faible, ce qui signifie que la vitesse des électons et des tous este popotionnelle au champ électique, mais cette popotionnalité dispaaît losque le champ électique devient top impotant. Les poteus acquièent une cetaine énegie cinétique qui augmente avec le champ électique et qu ils cèdent au éseau los des chocs. Pou les fots champs électiques l énegie à céde devient top impotante et les poteus en consevent une patie apès les chocs ; c est ce que l on appelle phénomène de poteus chauds ca alos les poteus ne sont plus en équilibe themique avec le éseau. Ainsi la vitesse ne este pas popotionnelle au champ électique et la mobilité devient une fonction de la tempéatue du éseau (Téseau) et de celle des poteus (Tn ou Tp). On obtient pou les électons : µ = µ n Téseau n0 (VI.10) Tn les indices n se changeant en p pou les tous ; cette elation monte que la mobilité diminue losque la tempéatue des poteus augmente. µn0 (espectivement µp0) epésente la mobilité des électons (espectivement tous) à faible champ électique. Plutôt que l équation (VI.10), on péfèe utilise les elations empiiques de la fome : µ µ = n0 n (VI.11) 1 + f ( ξ) comme pa exemple µn =µn0/[1+(e/ec) α ] 1/α avec α =1 ou, EC epésentant un champ citique. La vitesse de satuation des poteus est voisine de la vitesse themique vth. Pou le GaAs (et d'aute composés III-V) on obseve une suvitesse. En effet, comme monté à la figue (VI.), l augmentation du champ électique peut faie passe les électons de la vallée 1 à la vallée où la masse effective mn associée à la elation de dispesion est plus gande (liée à la coubue) donc la mobilité est plus faible. Cette popiété est aussi à l'oigine de l'effet Gunn (mobilité difféentielle négative) utilisée pou éalise des oscillateus en hautes féquences. Enegie E augmente vallée 1 m n plus faible µ n plus gande vallée m n plus gande µ n plus faible [111] k Figue VI.. Sous fot champ électique, les électons du GaAs vont passe dans la deuxième vallée où leu masse est plus gande donc leu mobilité plus faible. 37

Le tableau (VI.1) donne des valeus de mobilités des électons et des tous pou plusieus semi-conducteus SC EG µn µp ε SC EG µn µp ε Si 1.1 1400 500 11.9 InAs 0.36 33000 460 14.6 Ge 0.7 3900 1900 16 InSb 0.18 78000 750 17.7 GaAs 1.4 8500 400 13 GaSb 0.7 5000 850 15.7 InP 1.35 5000 150 1.4 CdS.4 340 50 5.4 AlAs.16 100 400 10.1 CdTe 1.56 1050 100 10. GaP.6 300 100 11 SiO 9 isolant 3.9 Tableau VI.1. Mobilité des électons, des tous et pemittivité pou quelques semiconducteus. EG (ev), µn et µp (cm V -1 s -1 ). VI.. Conduction et conductivité La densité de couant j (Am - ) est définie comme le flux de chages qui passe pa unité de suface. Elle est donc égale à la vitesse des chages multipliées pa la concentation de chages (Cm -3 ). Pou les électons cela donne : jn = qnv dn (VI.1) la chage d un électon étant q et celle d un tou + q. En emplaçant la vitesse de l électon pa son expession en fonction de la mobilité et du champ on touve l expession de la densité de couant des électons. En suivant le même aisonnement on obtient aussi la densité de couant des tous : jn = qnµ nξ = qn µ n ξ = σnξ jp = qnµ pξ = σpξ (VI.13) La conductivité (σn pou les électons) est définie comme le coefficient de popotionnalité ente la densité de couant et le champ électique : σn q nτ = qn µ n = > 0 (VI.14) mn De même pou les tous : σp q pτ = qpµ p = > 0 (VI.15) mp Dans le cas d une conduction pa les électons et les tous la densité de couant totale s écit : j tot = jn + jp = ( σn + σp ) ξ = σtotξ (VI.16) 38

En considéant un champ électique selon une seule diection et en appelant que le champ électique déive d'un potentiel ( ξx = V/ x = V/L si l'échantillon considéé est homogène), l équation (VI.16) devient, en valeu absolue : jtot V = σtot (VI.17) L et le couant I s écit (il est égal à la densité de couant multipliée pa la section S dans laquelle elle passe) : V I = Sσtot = L 1 R V (VI.18) La loi d Ohm pemet d identifie la ésistance R de l'échantillon : L R = 1 tot S = 1 σ qn n qp p ( µ + µ ) L S (VI.19) L V E C E F E i E = -qv Figue VI.3. Application d une difféence de potentiel aux bones d un semi-conducteu homogène et diagamme de bandes coespondant. Le champ électique, en tout point x, vaut : ξx = dv/dx = constante = -V/L E V La figue (VI.3) illuste le cas d un semi-conducteu aux bones duquel est appliquée une tension V. Le matéiau est hos équilibe themodynamique ce qui se taduit pa un flux de poteus. Si on admet que la petubation de l'équilibe n'est pas top impotante ( quasiéquilibe ), on peut utilise la statistique de Femi-Diac et donc l'équation (IV.13) ; on expime donc la densité d électons losqu'on applique un champ électique pas top intense : ( ) E ( ) E ( ) C F n = N C exp = cons tan te = kt n 0 (VI.0) EC ( ) EC = qv( ) epésente la difféence d énegie potentielle dans le semi-conducteu ente la masse et un point. VI.3. Diffusion des poteus L appaition d un gadient de poteus dans un matéiau (dans le cas d un semi-conducteu non homogène ou los d une excitation locale...) engende un flux de ces poteus dans le sens invese du gadient. En effet, dans un endoit où la concentation en poteus est tès fote, l inteaction ente les poteus est tès gande et la densité d énegie est plus gande dans cet endoit que là où la concentation en poteus est plus faible. Pou établi l'équilibe, les poteus vont diffuse. Si l on pend le cas des électons (figue (VI.4) à une dimension), le flux de poteus (m - s -1 )est donné pa la loi de Fick : 39

fluxn fluxp = Dn gad = Dp gad ( n) ( p) (VI.1) où Dn,p (m s -1 ) est le coefficient de diffusion des électons (des tous). Le signe des équations (VI.1) vient du sens du flux qui est opposé à celui du gadient de concentation. gad ( n) sens du flux de diffusion n+ n x n x+ x Figue VI.4. Le gadient de concentation en électons engende une diffusion de ces électons ves la zone la moins concentée. Le couant de diffusion s écit à pati des équations (VI.1) : jn = nn n jp = qfluxnp = qdp gad ( q) flux = qd gad( n) ( p) (VI.) Si un champ électique est aussi appliqué au semi-conducteu, on peut écie la densité de couant des électons en penant en compte la diffusion (équation (VI.)) et la conduction électique (équation (VI.13)). Puis avec le même aisonnement, on peut écie la densité de couant des tous : jn jp = j + = nconduction jndiffusion q n µ ξ + D gad n n = j + = pconduction jpdiffusion q pµ ξ D gad p p ( n) ( p) (VI.3) Les flux de poteus ont pou expession : fluxn fluxp = fluxnconduction + fluxndiffusion = fluxpconduction + fluxpdiffusion = n µ n ξ Dn gad = pµ pξ Dp gad ( p) n ( n) = nµ ξ D gad( n) n (VI.4) Pou un semi-conducteu non dégénéé, et en l'absence de poteus chauds, le coefficient de diffusion des électons est donné pa la elation d Einstein, D = µkt/q, qui peut ête démontée, pa exemple, en considéant un semi-conducteu non homogène et à l équilibe themodynamique (ce qui implique un niveau de Femi EF constant dans le matéiau et donc un couant nul) : ainsi, dans le cas des électons, l équation (VI.3) se éécit : 40

jn = 0 = q n n ( ) µ ξ + D gad( n( ) ) n (VI.5) L équation (V.7) pemet d écie gad n( ) ( ) champ électique pa ( ) ( ) = ( q kt) n( ) gad( V( ) ) gad V, on touve pou l équation (VI.5) : n( ) gad V( ) D q kt n n gad V µ = ( ) n ( ) ( ( )) et, en emplaçant le (VI.6) qui pemet d expime Dn : Dn kt = µ n > 0 (VI.7) q De la même façon, on obtient l expession du coefficient de diffusion des tous : Dp kt = µ p > 0 (VI.8) q VI.4. Couant de déplacement En égime vaiable, il existe un couant de déplacement donné pa : D j depl = t (VI.9) où D = εscξ = ε0εξ est le vecteu déplacement électique. En égime altenatif, si on écit ξ = ξ 0 exp iωt, le couant de déplacement sea : ( ) j dépl = iωεscξ (VI.30) Un calcul apide d'ode de gandeu monte que ce couant n'aua une amplitude appéciable que pou des féquences de l'ode du GHz. Ainsi, le couant de déplacement sea en généal considéé comme négligeable, sauf los de l'étude des égimes vaiables de dispositifs en hautes féquences. VI.5. Tanspot de chages en pésence de champs électique et magnétique. Effet Hall - Magnétoésistance La figue (VI.5) pésente un semi-conducteu auquel est appliqué un champ électique selon l axe x. Les poteus majoitaies se déplacent alos avec une vitesse de déive v dans le même sens que ξ x si l on considèe un semi-conducteu de type p et dans le sens contaie de ξ x si le SC est de type n. Le champ magnétique B z cée une foce de Laplace (Loentz) F L dans la diection des y négatifs pou les électons et les tous. L'équilibe sea atteint gâce à l'appaition d'un champ électique tansvesal Ey (champ Hall). 41

i E x F L = qv B z i B z z x v n v p électon tou Figue VI.5. Semi-conducteu subissant des champs électique et magnétique mettant en évidence l effet Hall. La masse multipliée pa l accéléation étant égale à la somme des foces, on écit pou les électons (indice n, chage q) et les tous (indice p, chage +q) : dvdn,p mn,p Foces = fn,pvdn,p m qξm qvdn, p B (VI.31) dt = dvdn,p τ mn,p + mn,pvdn,p = mτq( ξ + vdn, p B) (VI.3) dt le signe coespond aux électons et le signe + aux tous avec f = m/τ. L équation (VI.3) devient : dvdn,p qτ v τ + dn,p = m ( ξ + vdn,p B) = µ n,p ( ξ + vdn,p B) (VI.33) dt mn,p Pou un ensemble de poteus donnant un couant de conduction pemet d écie, pou les poteus majoitaies (électons ou tous) : y i = σξ, l équation (VI.1) dj τ + j = σξ + µ j B (VI.34) dt En égime pemanent (la déivée du couant pa appot au temps étant nulle), la loi d Ohm généalisée s'écit alos : j = σξ + µ j B (VI.35) A pati de l équation (VI.35), on expime le champ électique : j µ j ξ = j B = RH j B (VI.36) σ σ σ RH est appelé coefficient de Hall ; il est de signe positif (1/qp) pou un semi-conducteu de type p, et négatif ( 1/qn) pou un SC de type n. Une analyse plus complète monteait qu'on doit également teni compte, pou chaque type de poteus, de la dispesion des vitesses (distibution de Maxwell) en fonction de l'énegie des poteus ; le temps de elaxation τ dépend alos de cette énegie et la mobilité doit ête définie comme une moyenne pa appot à l'énegie. Il en ésulte que, dans les équations (VI.34) et (VI.35), la mobilité µ doit ête emplacée pa une mobilité de Hall µh = µ, où est un coefficient qui dépend du type de collisions que subissent les poteus ( = 3π/8 pou les collisions su le éseau), et que RH = µh/σ = /qp (SC type p) et /qn (SC type n). 4

Si on considèe que le couant selon les axes y et z est nul (jy = 0, jz = 0) il este selon les tois diections, en égime pemanent : j ξ = x x (loi d'ohm classique) σ ξy = RHjxBz = µ HBzξx = ξh ξz = 0 (champ Hall, céant la tension de Hall) (VI.37) Le champ Hall ξy s oppose au mouvement tansvesal des poteus et sa mesue ou plutôt son signe pemet de détemine le type n ou p du semi-conducteu (ξy < 0 pou un type n, ξy > 0 pou un type p). L'effet de magnétoésistance est un effet du second ode en µb (donc en µ B ) qui coespond à une augmentation de ésistance [= diminution de conductivité σb = σ0/(1+gµ B )] en pésence d'une induction magnétique. Il peut ête intepété comme un second effet Hall su des flux tansvesaux de poteus (le champ Hall n'équilibe que le mouvement moyen des poteus majoitaies), et sea donc enfocé losque l'on cout-cicuite l'effet Hall. Des effets géométiques peuvent, en paticulie, éalise un cout-cicuit plus ou moins complet de l'effet Hall, comme c'est le cas dans la configuation appelée disque de Cobino (les contacts d'amenée et de sotie du couant sont su la péiphéie et au cente d'un disque) qui pésente aussi une magnétoésistance maximale. Pou l'utilisation comme capteu de champ magnétique, il est clai qu'aussi bien l'effet Hall que l'effet magnétoésistance seont d'autant plus impotant que l'on utilise un matéiau où la mobilité des poteus majoitaies est élevée (ex. : InSb type n). 43

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Chapite VII. Petubations fotes de l équilibe : céation et dispaition de poteus VII.1. Céation de poteus La céation d un poteu libe coespond à une tansition soit ente bandes (BV - BC) de ce poteu soit ente un niveau d'énegie et une bande : Tansition d un électon de la bande de valence ves la bande de conduction qui coespond à la céation d une paie électon-tou. Tansition d un électon d un niveau ED (situé dans la bande intedite) ves la bande de conduction. Il este une chage fixe positive (atome ionisé) et un électon dans BC. Tansition d un électon de la bande de valence ves un niveau EA du gap. Il este une chage négative fixe et un tou (dans BV). L énegie nécessaie pou ende possible de telles tansitions est founie soit pa des photons (lumièe) soit pa des paticules énegétiques (ayonnements ou poteus). On intoduit un taux de généation (ou de céations) de poteus Gn (m 3 s -1 ) pou les électons et Gp pou les tous. Quand les tansitions se font bande à bande ces deux taux sont égaux (céation pa paies, qui seules seont considéées dans la suite). VII.1.1. Céation pa énegie lumineuse (pa photons) Un photon de féquence ν ayant une énegie hν au minimum égale à EG, figue (VII.1), peut en cédant cette énegie faie passe un électon de la bande de valence ves la bande de conduction : c hν = h E G (VII.1) λ où λ est la longueu d onde du photon et c la vitesse de la lumièe. La longueu d onde maximale susceptible de contibue à la céation de poteus s obtient avec l équation (VII.1) : hc 1,4 λ (VII.) EG E G où λ est donné en µm et EG en ev. E C E V hν E G = E C - E V Figue VII.1. Céation d une paie électontou pa photon 45

Ainsi pou détecte les infaouges il fauda utilise des semi-conducteus à faible gap (faible EG) tels que InSb ou CdHgTe. La figue (VII.) indique une patie des semi-conducteus pouvant ête utilisés selon la longueu d onde à détecte. Rouge Violet Infa-Rouge Visible Ulta-Violet Cd x Hg 1-x Te CdSe InSb Ge Si GaAs AlAs CdS GaP SiC GaN ZnS E G 0 1 3 4 λ (ev) (µm) 10 3 1,5 1 0,65 0,5 0,35 Figue VII.. Diagamme des longueus d onde absobées pa les semi-conducteus. L absoption de l onde incidente dans le semi-conducteu se fait selon la loi de BEER- LAMBERT : ( ) = 0 exp( α ) ( ) = 0 exp( α ) I x I x Φ x Φ x (VII.3) où I(x) est l intensité lumineuse (et Φ(x) le flux de photons) à la distance x de la suface du matéiau, I0 et Φ0 sont l'intensité et le flux incidents (en x = 0) et α le coefficient d absoption (m - 1 ). 1/α est la longueu moyenne de pénétation et, si l énegie des photons est supéieue à EG, α est de l ode de 10 5 à 10 8 m -1 (1/α de 10 à 0.01 µm). Remaque : α peut ête défini pa : Pobabilité (absoption d'un photon su la distance dx) = αdx = ( dφ)/φ Le nombe de poteus céés su une distance dx s écit (en supposant que chaque photon absobé cée une paie ; on dit endement quantique supposé égal à 1) : Gn,p ( x) dx = Φ( x) Φ( x + dx) = Φ0 [ exp( αx) exp( α( x + dx) )] = Φ0 [ exp( αx) ( 1 αdx) exp( αx) ] = Φ αexp( αx) = αφ( x)dx 0 d où l expession du taux de céation de poteus : ( ) = ( ) = ( ) (VII.4) Gn, p x Φ 0 αexp αx αφ x (VII.5) VII.1.. Céation pa des paticules (ou adiations) ionisantes Le ayonnement ici considéé (ayons X ou γ) est tès énegétique : de quelques kev à 10 MeV. Une patie de l'énegie cédée en pénétant dans le semi-conducteu contibue à la céation de poteus (qui peuvent avoi une cetaine énegie cinétique). Ainsi l énegie nécessaie à la céation d'une paie électon-tou notée Epaie, est supéieue à EG. Pa exemple pou le Silicium, dont le gap vaut 1,1 ev, il faut un énegie Epaie égale à 3,7 ev. Le nombe de poteus cées su une distance dx est : de 1 de Gn, pdx = Φ Gn, p = Φ Epaie Epaie dx (VII.6) 46

où Φ est le flux du ayonnement et de l énegie qu'il ped su dx dans le semi-conducteu considéé (de/dx est ainsi une caactéistique du matéiau). En mesuant le nombe de paies céées, on emonte au flux du ayonnement incident. VII.1.3 Céation pa poteus chauds (champ électique intense) Sous un champ électique suffisamment fot (supéieu à 10 5 V/cm), les poteus ainsi accéléés peuvent céde leu énegie à d autes chages (qui deviennent libes) los d une collision : c est le phénomène d ionisation pa impact qui est à l oigine des effets d avalanche. Pou cela les poteus doivent avoi une énegie minimale ( énegie de seuil supéieue à l énegie du gap), qui dans le cas du Silicium est de 1,8 ev pou les électons et de,4 ev pou les tous. Ce phénomène est caactéisé pa un coefficient d ionisation, noté αn (m -1 ) pou les électons et αp pou les tous, qui est le nombe de paies céées pa un poteu su un mète. αn et αp sont fonctions de l'intensité du champ électique. VII.1.4. Céation pa injection de poteus Dans cetains composants semi-conducteus (diode n + p, p + n, contact métal-sc,... ), nous veons qu'une patie de la stuctue est susceptible d'injecte des électons (ou des tous) dans l'aute. Les concentations de poteus obtenues dans la égion où se poduit l'injection peuvent pafois ête tès supéieues à celles existant à l'équilibe. VII.. Quasi-niveaux de Femi Les quasi-niveaux de Femi (ou pseudo-niveaux de Femi) pemettent d écie les densités de poteus hos équilibe avec le fomalisme utilisé à l équilibe themodynamique. EF de l équilibe doit ête emplacé, hos équilibe, pa EFn pou les électons et EFp pou les tous. La pobabilité d occupation d un niveau d énegie E pa un électon poua donc s'écie, même en dehos de l'équilibe themodynamique : fn ( E) 1 = E E + Fn 1 exp kt (VII.7) et la pobabilité d occupation d un niveau d énegie E pa un tou s écia : ( ) fp E 1 = EFp E 1 + exp kt (VII.8) Paallèlement aux elations donnant les concentations en électons (équation (IV.19)) et en tous (équation (IV.0)) à l équilibe themodynamique, on expime ces concentations hos équilibe pa : E E n n Fn = Fi i exp (VII.9) kt EFp EFi p = ni exp (VII.10) kt 47

Le poduit de ces deux concentations n est plus égal à ni (comme à l équilibe), mais à : EFn EFp np = ni exp (VII.11) kt Exemple d'application : soit un baeau de Silicium (ni = 1,5 10 10 cm -3 à 300 K) dopé avec des impuetés donatices afin d obteni n0 = 10 14 cm -3 (p0 = ni /n0 =,5 10 6 cm -3 ). On cée des poteus pa paies avec une concentation δn = δp = 10 13 cm -3. L équation (IV.19) pemet de détemine la position du niveau de Femi à l équilibe pa appot au niveau de Femi intinsèque (qui est à peu pès au milieu du gap). n 14 0 3 10 EF EFi = ktln =, ln ni = -0 138 10 300 4, 6 10 J = 0, 8 ev 10 15, 10 Les concentations en poteus hos équilibe sont : ( ) (VII.1) 14 3 n = n0 + δ n = 1, 10 cm n0 (VII.13) 14 3 p = p0 + δp δ p = 0, 10 cm (VII.14) Avec les équations (VII.9) et (VII.10), on peut calcule l écat ente les quasi-niveaux de Femi et le niveau de Femi intinsèque : n EFn EFi = kt ln = ni, ln, 14 3 1 10 138 10 300 = 0, 33 ev 15, 10 10 p EFp EFi = kt ln = ni, ln, 14 3 0 10 138 10 300 = 0186, ev 15, 10 10 (VII.15) (VII.16) E G 11, ev E C E Fn E F E Fi E Fp Figue VII.3. Diagamme de bandes du Silicium hos équilibe faisant appaaîte les quasi-niveaux de Femi. E V L'utilisation des quasi-niveaux de Femi pemet d'écie assez simplement l'expession du couant total (conduction + diffusion). En effet, le couant total d'électons ou de tous vaut : ( ) i q n E D gad( n) qn E kt gad n n = µ n + n n = µ q n ( ) i qp E kt gad p p = µ p q p (VII.17) 48

Avec les équations (VII.9) et (VII.10), on obtient les expessions des gadients de concentation en fonction des quasi-niveaux de Femi : E E n gad( n) gad n Fn Fi kt kt gade gad E = i exp = Fn Fi EFp EFi p gad( p) gad ni kt kt gad E Fp gad = E Fi = exp (VII.18) O gad( EFi ) = gad( EC ) = gad( EV ) = gad( qv) = qgad( V) = qξ. Le couant total d'électons (ou de tous) s'écit alos : jn jp = n µ n gad EFn ( ) = pµ p gad EFp ( ) (VII.19) VII.3. Recombinaison (dispaition) et duée de vie des poteus libes Le pocessus de généation de poteus est équilibé pa un pocessus de dispaition appelé ecombinaison. La ecombinaison peut ête qualifiée de : Pa appot au mécanisme de dispaition : Diecte (bande à bande) : l électon passe diectement de la BC à la BV Indiecte : l électon passe de la BC à un niveau d'énegie d'une impueté agissant comme cente de ecombinaison et situé dans la bande intedite, puis il sea éémis ves la BV. Cette étape peut aussi ête décit, de façon équivalente, comme la captue pa le cente ecombinant d'un tou de la BV Pa appot aux échanges d'énegie : Radiative : l énegie (de ecombinaison) est cédée sous fome lumineuse (photon) Non adiative : l énegie est cédée sous fome de phonons (vibations du éseau) ou à un aute électon libe ( ecombinaison Auge ). Comme pou la généation, on caactéise le pocessus de ecombinaison pa un taux de ecombinaison Rn (m -3 s -1 ) pou les électons et Rp pou les tous. Si la vaiation de la concentation de poteus est due uniquement à de la ecombinaison, on aua : R n, p ( ) dn, p t = (VII.0) dt Si la vaiation de la concentation de poteus pa appot à l'équilibe est δn = n n0, on peut die au pemie ode que le taux de ecombinaison est popotionnel au déséquilibe. Le coefficient de popotionnalité a comme dimension l'invese d'un temps ; le taux de ecombinaison s écia donc : Rn n = δ τ n (VII.1) où τn est appelé duée de vie des poteus de type n. 49

D'un point de vue pobabiliste, cette duée de vie τ peut ête définie pa appot à la densité λ du pocessus poissonnien décivant la ecombinaison : Pobabilité de ecombinaison d'un électon pendant une duée dt = λdt = dt/τ λ = 1/τ coespond donc au nombe moyen de ecombinaisons pa unité de temps, et la duée de vie τ appaaît alos comme le temps moyen qu'un électon passe dans la bande de conduction avant de se ecombine. La ecombinaison dans le Silicium est indiecte et non adiative. Si le cistal est pu la duée de vie est de l ode de 1 ms mais elle peut descende à 10 9 s (1 ns) s'il y a des centes de ecombinaison tels que l o (Au) ou le platine (Pt). Dans le GaAs, la ecombinaison est diecte et adiative avec une longueu d onde de 0,9 µm. Pou le GaP la ecombinaison est indiecte et non adiative mais la pésence d impuetés peut la ende adiative. Les longueus d ondes émises peuvent ête dans la gamme du visible ; ce semiconducteu est utilisé pou la éalisation d'afficheus (LED ouge ou vete). Dans le composé GaAs1-xPx, la ecombinaison est diecte et adiative tant que x < 0,45 ; l'émission a lieu dans le ouge mais peut ête décalée en intoduisant des impuetés ; ce matéiau est aussi utilisé pou éalise des diodes électoluminescentes et des diodes lase. VII.3.1. Expession de la duée de vie (cas de ecombinaison diecte) Il y a dispaition simultanée de paies électon-tou et à tout instant, l'intensité de la ecombinaison est popotionnelle au nombe n d'électons dans la BC et au nombe p de tous dans la BV, donc au poduit n p. En tenant compte du taux de généation Gth de poteus d'oigine themique, on peut écie : δn τn, p ( ) dn t = Rn, p = = crn( t) p( t) Gth (VII.) dt (où cr peut ête considéé comme un coefficient popotionnel à la pobabilité de ecombinaison bande à bande). A l'équilibe themodynamique, n(t) = n0, p(t) = p0 et δn = δp = 0, donc R = 0. On a donc Gth = crn0p0 = crni, et donc : ( np ni ) δn R = = cr τ On emaque donc que : (VII.3) Si np > ni (poteus en excès) : R > 0, et il y a ecombinaison des poteus en excès. Si np < ni (défaut de poteus : voi pa exemple le d'une cas zone désetée) on a une ecombinaison négative, c'est-à-die une céation (pa généation themique) de poteus. Dans les deux cas, le semi-conducteu éagit pou povoque un etou à l'équilibe. Les poteus étant ecombinés (et céés) pa paie, on a δn(t) = δp(t). En emplaçant dans l'équation (VII.3) n pa n0 + δn et p pa p0 + δp, on obtient : δn R = = cr ( n0 + p0 + δn) δn (VII.4) τ 50

d'où, pa identification, la valeu de τ. On constate qu'a pioi τ dépend de δn et que la loi de ecombinaison ne sea linéaie (c.à.d. τ indépendant de l'excès de poteus) que sous la condition dite de faible injection où δn << n0 + p0 n0 (SC type n) ou p0 (SC type p). VII.3.. Duée de vie dans le cas d'une ecombinaison indiecte Dans ce cas une impueté (ou un défaut du éseau), situé à une énegie ER dans la bande intedite agit comme cente de ecombinaison, c'est-à-die comme mache intemédiaie ( elais ) pou le passage d'un électon de BC ves BV. Evidemment un tel cente n'est efficace vis à vis du pocessus de ecombinaison que dans la mesue où, juste apès avoi capté un électon de BC, il va capte un tou de BV ( éémette l'électon ves BV). Si l'électon est éémis ves BC, le cente sea dit de piégeage (ou piège, tap en anglais) et son ôle ne evient qu'à soustaie pendant un cetain temps un électon à la bande de conduction (c.à.d. le piége ). Le calcul du taux de ecombinaison (et donc de la duée de vie τ) associé à des centes de ecombinaison est donné pa le modèle de Shockley et Read, et tient compte, pa exemple pou un cente ecombinant à états de chage possible (0 = neute, et, cas d'un cente accepteu), des 4 mécanismes possibles (cf. Fig. (VII.4)) E R (0 ou -) E V E C c n e n (1) () (3) (4) c p e p Figue VII.4. Mécanismes de captue et d'émission de poteus : (1) = captue d'un électon (de BC), () = émission d'un électon (ves BC), (3) = captue d'un tou, (4) = émission d'un tou, (1) + (3) = ecombinaison (indiecte), (1) + () = piégeage d'électons, (3) + (4) = piégeage de tous. En égime pemanent, on aua toujous (voi plus loin, équation (VIII.7)) Rn = δn/τn = Rp = δp/τp = R et, si δnr << δn, δp, on aua δn δp, donc τn = τp = τ. Le calcul complet monte alos que : R (np - ni ) et que la loi de ecombinaison sea linéaie (c.à d. τ indépendant de δn) que pou les faibles injections, comme pou une ecombinaison diecte. En patique, les centes qui jouent un ôle pépondéant dans une ecombinaison indiecte sont situés à un niveau d'énegie ER voisin de EFi ( milieu de la bande intedite) et tels que les coefficients de captue cn et cp sont tès poches. Alos l'expession du taux de ecombinaison R se simplifie et se met sous la fome : R = 1 τ0 np ni ni + n + p (VII.5) avec τ0 = 1/NRcp 1/NRcn, NR étant la concentation de centes de ecombinaison. Cette expession sea paticulièement utile pou étudie l'influence des ecombinaisons dans les jonctions pn et les tansistos bipolaies. Elle se simplifie encoe davantage dans deux cas spécifiques : Dans un zone désetée (où n, p << ni, np << ni ), alos R ni/τ0 (R < 0 : sa valeu absolue est donc le taux de généation themique). 51

Pou un semi-conducteu dopé (pa ex. type n), on a n0 >> ni >> p0 ; sous la condition de faible injection : n = n0 + δn n0, et puisque p = p0 + δp, on a : R = δp/τ0 : ainsi τ0 =1/NRcp appaaît comme la duée de vie τp des minoitaies. VII.3.3. Recombinaison en suface La suface d'un semi-conducteu, où on peut touve de nombeux niveaux électoniques ( états de suface ), constitue souvent un site pivilégié pou la ecombinaison. Le taux de ecombinaison en suface RS (m - s -1 ) est pa définition supposé popotionnel à la concentation volumique de poteus en excès δn (m -3 ) juste sous la suface. Le coefficient de popotionnalité s, défini pa RS = sδn, s'expime donc en m/s. Pou cela, on l'appelle vitesse de ecombinaison en suface (ode de gandeu dans le silicium : s ente 10 et qqs 100 m/s). Ce paamète s (et le taux de ecombinaison RS) peut ête tès utile pou défini cetaines conditions aux limites dans la ésolution des équations elatives au mouvement des poteus dans un milieu de dimensions finies. VII.4. Photoconductivité La céation de poteus povoquée pa un flux de photons va entaîne une vaiation de la conductivité : ( n p ) ( t) q n( t) p( t) δσ = µ δ + µ δ (VII.6) L'évolution du nombe de poteus va dépende des taux de généation et de ecombinaison selon l équation : dn( t) dt = Gn Rn (VII.7) En égime pemanent, il n y a pas de vaiations du nombe de poteus (dn/dt = 0) et, à l'aide de l équation (VII.1), on écit : Rn n = Gn = δ τ n (VII.8) Si on suppose que la ecombinaison se fait pa paies (les duées de vie des électons et des tous sont égales : τn = τp =τ) et que la généation aussi se fait pa paies, l'augmentation de conductivité s écit alos (en utilisant les équations (VII.6) et (VII.8)) : δσ = qgτ( µ n + µ p ) (VII.9) L étude du égime tansitoie pemet de détemine la duée de vie des poteus. Si à l instant t = 0 la généation de poteus est aêtée (G = 0), la densité en électons et en tous va tende ves n0 et p0. L équation (VII.7) devient : dn t ( ) d( n + n) dt = 0 δ dδn δn = = dt dt τ (VII.30) En faisant l hypothèse que la duée de vie des poteus est indépendante de leu nombe (loi de ecombinaison linéaie), la solution de l équation (VII.30) est : ( ) δn t t = δn 0 exp (VII.31) τ 5

ce qui pemet d écie la vaiation de conductivité : δσ t = µ + µ 0 exp (VII.3) τ ( t) qδn ( n p ) Cette évolution (dite décoissance exponentielle de photoconductivité ) peut pemette de détemine expéimentalement la duée de vie τ des poteus. VII.5. La luminescence La luminescence est une émission de lumièe pa un pocessus qui ésulte du etou à l équilibe d un matéiau au péalable excité. L excitation cée des électons dans BC qui los de leu ecombinaison donneont naissance à des photons (ecombinaison adiative). Selon l excitation, on distingue plusieus types de luminescence. VII.5.1. Photoluminescence Une excitation pa photons povoque pou cetains matéiaux une émission de photons à une aute féquence pendant un temps plus ou moins long apès l aêt de l excitation. Si ce temps est cout, le matéiau est dit fluoescent ; s'il est long, le matéiau est phosphoescent. L émission de photons peut ainsi se faie pendant quelques millisecondes, secondes ou minutes : cetaines impuetés intoduites dans un matéiau piègent des électons qui seont endus avec une cetaine constante de temps. Des couleus difféentes sont obtenues selon le type d impuetés intoduites pa exemple dans le ZnS (EG 3,7 ev). VII.5.. Cathodoluminescence Les électons émis pa une cathode et accéléés pa un champ électique (tube à vide d une télévision ou d un oscilloscope) viennent fappe un matéiau et excite ses électons. En etounant à leu état d équilibe, les électons émettent des photons. VII.5.3. Electoluminescence La céation d électons et de tous en excès pa injection de poteus suite à l application d une difféence de potentiel povoquea une émission de photons los de la ecombinaison de ces électons et tous. L exemple le plus couant est la diode électoluminescente (DEL ou LED en Anglais). 53

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Chapite VIII. Equations d évolution (espace et temps) Pou analyse complètement tous les phénomènes cités (tanspot, céation, ecombinaison,..) il faut dispose d'un ensemble d'équations décivant l'évolution des concentations de poteus et de la chage électique. VIII.1. Equations de continuité (ou équations de consevation de chaque type de poteus) L équation de continuité est une équation locale valable en chaque point du semi-conducteu et à chaque instant ; elle s écit pou les électons et pou les tous : dn t dt dp t dt ( ) dδn( t) = dt = Gn Rn div jn = = Gp Rp div( jp ) dt ( ) dδp( t) ( ) (VIII.1) VIII.. Equation de consevation de la chage L'une des équations de Maxwell ( RotH = i + D / t) pemet de elie le couant à la vaiation de la densité de chage : div i + ρ t = 0 (VIII.) ( ) Application : En considéant que les centes impuetés peuvent subi une vaiation du nombe d'électons pésents δnim p, la densité de chage (éq. (V.)) s écia : ( ) q [ p p n n N + N = + + D A n p] = q [ p n n p] ρ 0 δ 0 δ 0 0 δ Im δ δ δ Im (VIII.3) La simplification se fait en utilisant l équation (IV.1) valable à l équilibe themodynamique. L expession du couant en fonction des flux en électons et tous s écit : i = in + ip = qjn + qjp (VIII.4) En utilisant les équations de continuité (VIII.1), on obtient : div ( ρ dδn ) ( t) dδp( t) d p( t) d n( t) dδnim p ( t) i i q G R q G R q δ δ + + = + + + + n p t n n dt dδnim p = q Gn + Rn + Gp Rp dt p p ( t) dt = 0 Si les taux de généation des électons et des tous sont égaux, on aive à : dt dt dt (VIII.5) 55

( t) dδn Im p = Rn Rp (VIII.6) dt En égime stationnaie d n p( ) δ Im t dt est nul, ce qui impliquea : Rn δn = = Rp = τn δp τp (VIII.7) VIII.3. Equation de continuité ambipolaie (ou généalisée) Dans le cas où le flux d électons et de tous a pou oigine la conduction et la diffusion, on peut développe les temes contenant les flux de poteus (équations (VI.4)) des équations (VIII.1) ; en appelant que : div ab div gad( a) a a = = ( ) = gad( a) b + adiv( b) (VIII.8) on obtient alos : ( ) dn t dt dp t dt ( ) = Gn Rn div jn = Gn Rn + n µ n div E + µ n Egad n + Dn n ( ) ( ) ( ) = Gp Rp div jp = Gp Rp pµ pdiv E µ pegad p + Dp p ( ) ( ) ( ) (VIII.9) En faisant l hypothèse de quasi-neutalité, c est-à-die δn δp (si δnimp << δn, δp), on a : gad n dn t dt n p ( ) gad( p) ( ) dp( t) dt (VIII.10) Mais l'utilisation de l'équation de Poisson (qui conduit alos à dive 0) est poblématique dans le système d'équations (VIII.9). Sous l hypothèse que les taux de généation et de ecombinaison des électons et des tous sont identiques, on élimine le teme en dive ente les deux équations (VIII.9) en multipliant l équation dn(t)/dt pa pµp et l équation dp(t)/dt pa n µn. En additionnant, on obtient l équation de continuité ambipolaie : dn t ( ) dp( t) dt * * = = G R µ Egad( n ou p) + D n ou p (VIII.11) dt µ * et D * sont espectivement la mobilité ambipolaie et le coefficient de diffusion ambipolaie : ( n p) * µ = µ n µ p n µ n + pµ p (VIII.1) 56

( n ) * + p DnDp D = ndn + pdp (VIII.13) Dans un semi-conducteu extinsèque (et pou une injection faible), µ * est égal à la mobilité des minoitaies et D * est égal au coefficient de diffusion des minoitaies. Cette équation monte donc que dans un semi-conducteu extinsèque, il suffia de ésoude l'équation de continuité elative aux poteus minoitaies (et d'utilise la quasi-neutalité). VIII.4. Exemples d application VIII.4.1. Duée de vie et longueu de diffusion Pou touve l expession de la longueu de diffusion des poteus, on peut pende l exemple d un semi-conducteu de type p soumis à une illumination. On fait l hypothèse que la céation de poteus ne se fait qu à la suface (ayonnement tès absobé) et qu aucun champ électique n est appliqué au matéiau. L équation (VIII.11) (ou (VIII.1) pou les minoitaies) donne (en ne considéant que la diection x) : dn dt δn n = R div( jn ) = + D n τ n x (VIII.14) En égime pemanent, le nombe de poteus ne vaie pas avec le temps et on aive à l équation difféentielle du deuxième ode pou les poteus minoitaies (les électons ici) : ( n + δn) 0 x δn δn δn = = 0 (VIII.15) τ D n n x τndn La solution de cette équation est : x x δn = A A τnd + 1 exp exp (VIII.16) n τnd n où A1 et A sont des constantes à détemine d'apès les conditions aux limites. τ n D n appaaît comme une longueu. Elle est appelée longueu de diffusion ; c'est la distance moyenne de pénétation pa diffusion, et avant ecombinaison, des électons céés en suface. Ln = τ ndn (VIII.17) Si on suppose que le semi-conducteu est tès long ( >> L n ), cela end nulle la constante A ( δn( x ) = 0) et on obtient : x δn = δn 0 exp (VIII.18) L n où δn 0 est la valeu de δn en x = 0. Cette équation est illustée figue (VIII.1.a). La longueu de diffusion peut vaie selon le cistal et sa pueté de quelques 10 µm à quelques mm. 57

δn δn photons δn 0 δn 0 W 0 Suface L n Semi-conducteu a x 0 1 x/w b Figue VIII.1. Vaiation de la densité de l'excès de poteus minoitaies (électons pou un semi-conducteu de type p) losqu'il y a céation de poteus en suface a. pou une longueu de matéiau tès gande devant la longueu de diffusion. b. pou des longueus W de matéiau diveses. Si tous les poteus en excès sont extaits à une distance W, les deux conditions aux limites deviennent : ( 0) ( W) δn x = = δn0 δn x = = 0 (VIII.19) L équation (VIII.16) amène au système de deux équations et deux inconnues : δn 0 = A1 + A W W 0 = A 1 exp + A exp Ln Ln (VIII.0) qui donne comme solution (sh(a) = [exp(a) exp( a)]/) : δn A 0 W 1 = sh W exp Ln Ln δn W A 0 = sh W exp Ln Ln (VIII.1) On aive finalement à l expession de la vaiation de la densité de poteus qui est aussi illustée à la figue (VIII.1.b) : ( ) δn x δn0 sh W sh W x = Ln Ln (VIII.) Pou W >> Ln les équations (VIII.18) et (VIII.) sont égales et pou W << Ln l équation (VIII.) tend ves l équation d une doite (δn(x) = δn0[(w x)/w] = δn0(1 x/w)). Cette paticulaité est utilisée dans cetains composants comme la diode coute ou la base d un tansisto bipolaie. 58

Couant de diffusion : Puisqu'on a supposé le champ électique négligeable, les seuls flux de poteus existants sont liés à la diffusion et aux pofils de distibution des poteus en excès. Pou les poteus minoitaies (les électons dans note cas), on vient de calcule quelques pofils possibles ; pou les poteus majoitaies, l'équation de quasi-neutalité nous donne δp(x) δn(x). On peut donc calcule les couants de diffusion coespondants. Pou les électons, pa exemple, on a : i x q j x qd d δ n ( x ) ndiff ( ) = ( ) ndiff ( ) = n dx (VIII.3) d'où : Pou un échantillon semi-infini (W >> Ln, éq. (VIII.18) : i x q D ndiff ( ) = n δ n(x) (VIII.4) Ln (ce ésultat sea utile dans le cas d'une diode dite longue ) ; Pou un échantillon de dimension W abitaie ou coute (éq. (VIII.)), en suface : Dn 1 D i n ndiff (0) = q δn0 q δn0 ( si W << Ln ) (VIII.5) Ln th( W / Ln ) Ln à l'extémité W : D 1 D i (W) q n n q n ndiff = δ 0 δn0 ( si W << Ln ) = indiff (0) (VIII.6) Ln sh( W / Ln ) W Remaque : ces ésultats seont utilisés dans le cas d'une diode coute et pou le tansisto bipolaie. VIII.4.. Temps de elaxation diélectique et longueu de Debye Soit, pa exemple, un semi-conducteu de type p ayant un excès de tous (c'est-à-die de poteus majoitaies) tel que δp << p0. A pioi, il n'y a pas suffisamment d électons (minoitaies) pou les neutalise et les ecombine. La densité de chage est donc égale à qδ p et l équation de Poisson pemet d écie : ρ E = = εsc q δ p (VIII.7) εsc En considéant que le couant n est dû qu aux tous, la consevation de la chage mène à : ( ) ρ δp q ip = = q = σp E qdp δp = σp E qdp δp = σp δp qdp δp 0 0 0 t t εsc (VIII.8) qui est une équation difféentielle du pemie ode en t et du deuxième ode en x (pou un système à une dimension) : 59

δ σ p p0 δp = δp + Dp t ε SC x (VIII.9) La ésolution tempoelle de cette équation donne : t δp( x, t) = δp( x, ) exp 0 (VIII.30) τdiel où τ diel = εsc σp 0 est le temps de elaxation diélectique. Pou une conductivité σ p de 10 Ω 1 m 1 et une pemittivité du semi-conducteu (εsc) égale pou le silicium à 1 fois celle du vide, on obtient un temps de elaxation diélectique de l ode de 10-1 s. On en déduit donc que dans le silicium (homogène), la neutalité électique se établit en un temps égal à quelques picosecondes. La ésolution spatiale de l équation (VIII.9) donne : x δp( x, t) = δp(, t) exp 0 (VIII.31) L D où LD est la longueu de Debye (ici pou un semi-conducteu de type p) : LD kt ε = Dpτ SC diel = = q p0 kt εsc q NA (VIII.3) LD appaaît donc comme la distance su laquelle s'effectue la neutalisation d'une chage d'espace (on dit pafois longueu d'écan), c. à d. la tansition ente une ZCE et une zone neute. Pou une densité des poteus à l équilibe themodynamique de 10 15 cm -3, on obtient une longueu de Debye de l ode de 0,1 µm. Dans le cas d un semi-conducteu poche de l'intinsèque la longueu de Debye s écit : LD = kt εsc q n0 + p0 (VIII.33) 60

Chapite IX. Fluctuations et buit électique Jusqu'à pésent les gandeus physiques considéées, telles que la vitesse des poteus vn,p, leu mobilité µn,p, la conductivité σn,p, le couant I et la tension V doivent ête pises comme des valeus moyennes ( statiques ). Elle peuvent en effet pésente des fluctuations. De telles fluctuations coespondent à du buit, qui sea expimé et mesué en valeu efficace. Pa exemple, la valeu (efficace) du buit d une gandeu b(t) sea : ( ) beff = b t (IX.1) où b ( t) est la valeu quadatique moyenne et a pou expession : 1 b ( t) ( ) T b = lim t dt (IX.) T ( T) Une analyse des caactéistiques tempoelles du buit est souvent assez difficile et on péfèe étudie ses popiétés dans le domaine féquentiel en utilisant la densité spectale de puissance (analogie avec l étude du filtage). En faisant passe la gandeu b dans des filtes passe-bande de lageu f autou de f, il est possible de econstitue le specte en féquence de b. On aua alos : ( ) = = ( ) beff f Sb( f) f gb f (IX.3) où Sb( f) est la densité spectale de puissance de b(t), qui est aussi la tansfomée de Fouie de l'autocoélation de b(t). On indique ci-dessous les pincipaux types de buit intevenant dans les composants à semiconducteu. IX.1. Buit de genaille ( shot noise ) Le buit de genaille a pou oigine l aspect ganulaie de l électicité. En effet, l instant d émission des électons allant d une électode à une aute est aléatoie. Ainsi, l aivée des électons au niveau de l'anode ne sea pas continue mais pésentea les mêmes fluctuations que l'émission. Pou avoi une coélation totale ente émission et collection, il ne doit pas y avoi de ecombinaison (nombe d électons émis égal à celui écolté) ni de collisions (électons etadés) duant le tansit inte-électodes, ce qui signifie que le temps de tansit, τt, est tès inféieu au temps ente collisions, τ (la duée de vie τ des électons dans un semi-conducteu étant tès supéieue au temps ente collisions). Notons que : τ t L = (IX.4) vmoy où L est la distance inte-électode et vmoy la vitesse moyenne des électons. 61

Le couant d électons peut s écie comme la somme d impulsions de Diac epésentant l émission de chaque électon aux instants (aléatoies) ti : i( t) = q δ ( t t i ) (IX.5) A pati de cette équation (IX.5) et en supposant que la suite des instants d'émission ti est poissonnienne, on touve (c.f. cous de taitement du signal) l expession de la densité spectale du couant (A Hz -1 ) appelée dans ce cas pécis elation de Schottky : ( ) SI f = qi 0 (IX.6) où I0 est la valeu moyenne du couant. L expession de cette densité spectale est indépendante de la féquence, ce qui fait de ce buit un buit blanc. Dans une bande de féquence B, les fluctuations de couant auont une valeu efficace ieff telle que : ieff = qi0b (IX.7) Ce type de buit s obseve dans les tubes à vide et dans tous les dispositifs compotant des égions où les poteus ne font pas de collisions, telles que les zones de chage d espace des dispositifs à jonctions : p-n, M-SC, tansistos bipolaies IX.. Buit themique (de Nyquist ou de Johnson) Ce buit appaaît losque le temps ente collisions ne peut plus ête négligé pa appot au temps de tansit. Les instants de collision sont aléatoies ce qui implique nécessaiement une elation ente le buit et la ésistance puisque celle-ci dépend de τ (voi paagaphe VI.. Conductivité) ; de plus ce buit sea indépendant du champ électique appliqué (sauf à tès fot champ en aison de l effet de poteus chauds). En se plaçant dans le cas paticulie où τ << τt, on expime la densité spectale des fluctuations de tension ou de couant aux bones d un dispositif de ésistance R (ou de conductance G) pa : SV ( f ) = 4 ktr (IX.8) 1 SI f = 4kT = 4 ktg (IX.9) R ( ) On constate que le buit aux bones d un tel dispositif est blanc (indépendant de la féquence). La figue (IX.1) donne les deux epésentations possibles pou ende compte du buit dans une ésistance. Ridéale est la ésistance sans buit et les souces de buit ont pou valeu quadatique moyenne : ebuit ( t) = SV ( f) f ibuit ( t) = SI ( f) f (IX.10) R idéale R éelle V(t) V(t) R éelle i(t) i buit R idéale i(t) e buit a b 6

Figue IX.1. Repésentation du buit dans une ésistance a. en fonction de sa tension de buit. b. en fonction de son couant de buit. Dans le cas où l impédance du dispositif est complexe, Z( f ) Y( f ) tension et de couant ont pou expession : ( ) ( ) ( ) = 4 Re ( ) ( ) = 4 Re ( ) SV f kt Z f SI f kt Y f La elation ente les deux densités spectales est donnée pa : = 1, les densités spectales de (IX.11) SV f Z f SI f ( ) = ( ) ( ) (IX.1) IX.3. Buit de généation - ecombinaison (GR) Le nombe instantané de poteus est susceptible de vaie en aison des phénomènes de généation et ecombinaison. Pou que de telles fluctuations soient obsevables, il faut que la duée de vie des poteus, τ, soit tès inféieue au temps de tansit. L expession de la densité spectale de couant est popotionnelle à I0 τ/[1+(πfτ) ] qui est typique d un specte Loentzien illusté à la figue (IX.). I 0 τ log(s I (f)) f - Figue IX.. Densité spectale de couant de type Loentzien. 1 πτ f (éch. log.) IX.4. Buit en 1/f (ou de scintillement ou Flicke noise ) Le buit en 1 f (dont la densité spectale vaie en 1/f) ou 1 f γ elations (typiques de fluctuations de ésistance) : ( f) S ( f) S ( f) avec 0,8 < γ < 1, véifie les SV I R V0 = I0 = R0 (IX.13) On considèe qu'il a deux oigines possibles dans un semi-conducteu : SV V0 Les fluctuations de mobilité des poteus dans le volume. ( f ) S ( f ) S ( f ) I R αh = = = (IX.14) I R N0f 0 0 où αh est le paamète de Hooge et N0 le nombe total de poteus dans le volume considéé. 63

SI ( f ) Les effets de suface sutout obsevés dans les tansistos MOS. Les états situés à l inteface et à l intéieu de l isolant captuent et elâchent les poteus, avec diveses constantes de temps τi. Le buit 1/f est donc la somme d une multitude de spectes Loentziens de féquences de coupue difféentes comme l indique la figue (IX.3), si la distibution g(τ) des constantes de temps de piégeage τi est en 1/τ. En effet si g(τ) 1/τ et pou 1/πτmax < f < 1/πτmin : I0 i Ai 1 + τi I0 ( πfτ ) 1 + ( πfτ ) i τmax τ min τ g ( τ) dτ I [ Actg ( πfτ ) Actg ( πfτ )] 0 I0 1 πf 1 4f max (IX.15) min log(s I (f)) f -1 f - Figue IX.3. Buit en 1/f ésultant de la somme de spectes Loentziens. 1/τ 1 1/τ 1/τ 3 ω = πf (éch. log.) 64

Chapite X. Contact ente deux matéiaux difféents - Hétéostuctues X.1. Intoduction Il existe diveses catégoies de contact ente deux matéiaux : Homo-jonction : c est le contact ente deux paties difféentes d'un même semiconducteu pa exemple les diodes à semi-conducteu qui sont constituées de deux paties dopées difféemment (jonctions pn). Hétéo-jonction : c est l association ente deux semi-conducteus de natue difféente. Jonction Métal - SC : pa exemple les diodes Schottky ou les contacts ohmiques. Stuctue MIS (Métal Isolant Semi-conducteu). Losque l isolant est de type oxyde la stuctue est dite MOS (capacité et tansisto). Ces stuctues seont étudiées ultéieuement. On définia tout d'abod les gandeus qui déteminent le tansfet de chages ente deux matéiaux, afin d'étudie la façon dont on peut commande le passage ou contôle les concentations de ces chages. X.. Tavail de sotie - Affinité électonique - Baièe de potentiel Dans un métal (fig. (X.1.a)), le niveau EFM epésente l énegie maximale que peut avoi un électon à l équilibe. Pou extaie un électon il faut qu il atteigne le niveau énegie E0 (niveau du vide ). Le tavail de sotie ΦM est défini comme l énegie minimale qu il faut founi à un électon pou l aache au métal (électon sans vitesse à la sotie du métal). Les valeus usuelles de ΦM sont compises ente et 5,5 ev. Φ M = E0 E FM (X.1) Pou un semi-conducteu, on peut aussi défini un tavail de sotie ΦSC comme la difféence ente le niveau du vide et le niveau de Femi dans le semi-conducteu : Φ SC = E0 E FSC (X.) Mais comme dans un SC non dégénéé il n'y a pas d'électon à l'énegie EFSC (EFSC est dans la bande intedite), on définit aussi l affinité électonique χ comme l énegie à appote à un électon libe (bas de la bande de conduction) pou l aache du semi-conducteu. Elle est voisine de 4 ev pou le Silicium, GaAs et Ge, et de à 1,1 ev pou l oxyde de Silicium (SiO). L ensemble de ces paamètes sont indiqués su la figue (X.1.a) qui epésente la mise en contact d un métal et d un SC. On intoduit aussi la baièe de potentiel (ou baièe de Schottky) Φb donnée pa la elation de Schottky : Φ b = EC EFM = ΦM χ (X.3) A l équilibe themodynamique le niveau de Femi est constant dans toute la stuctue, c'està-die qu'il n y a pas de difféence ente EFM et EFSC. Il y a donc un échange de chages (tel que QM + QSC = 0 où QM et QSC sont les chages appaues espectivement coté métal et coté SC) qui 65

povoque l'appaition d'une coubue des bandes et d une zone de chage d espace à l inteface métal SC ; cette ZCE qui s'étend essentiellement côté SC, ca la concentation d'électons libes est bien plus gande dans le métal. La figue (X.1.b) illuste ce contact à l équilibe et met en évidence le potentiel de suface VS qui est la baièe que doit fanchi un électon libe du semi-conducteu pou passe dans le métal. ( EC EFSC ) = ΦM ΦSC qvs = EC EC = Φb (X.4) Φb epésente la baièe que doit fanchi un électon pou passe du métal au SC ; la elation (X.3) monte qu'elle devait dépende de la natue du métal déposé (pa ΦM). O cette popiété n'est souvent pas obsevée avec les semi-conducteus usuels ZCE E 0 E 0 (vide) E 0 -qv S E FM Φ M Φ b χ Φ SC E C E FSC E FM Φ M χ Φ b E CS -qv S Φ SC E C E FSC Metal Semi-conducteu E V Metal -qv S Semi-conducteu E V a b Figue X.1.a. Contact Métal - Semi-conducteu avant équilibe. b. Contact Métal - Semiconducteu à l équilibe themodynamique. X.3. Contact Métal - semi-conducteu éel X.3.1. L'oxyde natif Los de la fabication des contacts, un oxyde natif (< 0 Å) peut sépae le métal du SC. Cet oxyde mince sea fanchi pa les poteus pa effet tunnel. Mais la chute de potentiel Vox qui appaaît aux bones de l oxyde influence les hauteus des baièes vues pa les électons (Φb et potentiel de suface VS). On a : qvs = ΦM Φ SC + qvox (X.5) ainsi que : Φ b = E CS EFM = ΦM χ + qvox (X.6) L oxyde natif se compote comme une capacité ayant du coté métal une chage QM = QSC (Cm - ), ce qui pemet d expime Vox : Vox Q = M (X.7) Cox où Cox est la capacité de l oxyde pa unité de suface (Fm - ) qui dépend de son épaisseu tox et de sa pemittivité εox. Cox = ε ox tox (X.8) 66

Cet appoche pemet de décie coectement le contact métal - SC dans le cas de semiconducteus ioniques (ZnS, GaS, ZnO, AlN) ayant une suface de bonne qualité. Mais les elations (X.5) et (X.6) montent qu'on devait, là encoe, obseve une dépendance des hauteus de baièe avec la natue du métal. E 0 -qv ox -qv ox χ -qv S Φ M E 0 E FM Φb Métal Oxyde natif ECS -qv S Semi-conducteu Φ SC E C E FSC Figue X.. Contact Métal - semiconducteu sépaé pa une couche d oxyde natif de quelques Å (contact éel). X.3.. Les états d'inteface (ou états de suface) Losque la suface du semi-conducteu n'est pas pafaite, ce qui est facilement le cas des SC covalents (Si, Ge, GaAs, GaP, InP, SiC, AlAs, InSb,...), elle pésente des états à l'inteface qui agissent comme des pièges en captuant des électons ou des tous du semi-conducteu. Ces pièges sont appelés états d inteface et il en existe deux types : Les donneus qui sont neutes s'ils sont occupés (pa un électon) et chagés positivement s'ils sont inoccupés (occupés pa un tou). Les accepteus qui sont neutes si inoccupés (occupés pa un tou) et chagés négativement si occupés (pa un électon). La limite d occupation des états pa les électons est donnée pa la position du niveau de Femi à l inteface comme l indique la figue (X.3). D'apès la statistique de Femi-Diac, on peut die que les états situés sous EFSC sont occupés pa les électons (ou vides de tous) et ceux situés au dessus de EFSC sont vides d électons. { Etats de suface Etat inoccupé -qv S E C E FSC E V Etat occupé Figue X.3. Diagamme de bandes montant les états d inteface et leu occupation. Les états en dessous de EFSC sont occupés pa les électons (inoccupés pa les tous) et ceux au dessus de EFSC sont inoccupés pa les électons (occupés pa les tous). La pobabilité d occupation pa un électon d un état d inteface situé au niveau d énegie Et dans le gap du semi-conducteu a pou expession : ( ) ft Et 1 = Et E + FSC 1 exp kt (X.9) 67

Ces états piègent une chage QSS (chage d inteface, notée aussi pafois Qit) qui dépend de la densité des états de suface et du potentiel de suface. La neutalité électique globale devant ête consevée, on a : ( ) QM = QSS + QSC (X.10) Los d un contact Métal - Semi-conducteu pou lequel la densité des états de suface est élevée, le métal va échange des électons essentiellement avec les états d inteface, ce qui end VS à peu pès indépendant du métal ; on a alos une baièe de Badeen où les états d'inteface écantent le SC pa appot au métal. Expéimentalement on constate alos que Φb est de l ode de /3 de la bande intedite du semi-conducteu. X.4. Desciption qualitative de la elation I(V) d'un contact M - SC X.4.1. Contact edesseu ( diode SCHOTTKY ) Ce sea le cas pou un contact ente un métal et un SC faisant appaaîte une égion désetée dans la ZCE du SC (pa exp. SC type n et coubue de bandes ves le haut, c.à d. ΦM > ΦSC). métal I I (µa ma) semiconducteu a V ext = V M/SC b -I sat (na) V ext Figue X.4.a. Schéma epésentant un contact Métal - Semi-conducteu. b. Caactéistique I(V) obtenue avec un contact M - SC de type edesseu. L application d une tension Vext aux bones d un contact Métal - Semi-conducteu (figue (X.4.a)) donne naissance à un couant I (figue (X.4.b)) qui peut s explique de façon qualitative en considéant les figues (X.5). A l équilibe themodynamique (figue (X.5.a), c est-à-die losqu aucun potentiel extéieu n est appliqué aux bones de la stuctue, le flux d électons qui peuvent fanchi la baièe M SC (Φb) est équilibé pa le flux d électons pouvant fanchi la baièe SC M (-qvs) donc I = 0. Pou simplifie, on suppose la couche d'oxyde (natif) négligeable. La égion la plus ésistive de la stuctue M - SC étant la ZCE (ca elle est désetée dans note cas), la tension Vext se etouve essentiellement su cette ZCE. L application d une tension Vext positive abaisse la baièe de potentiel VS que voient les électons du semi-conducteu alos que la baièe que voient les électons du métal ne change pas. Il y a donc un déséquilibe ente les deux flux en faveu du passage d'électons du SC ves le métal. Le couant I (positif) induit augmente avec l'augmentation de V ext, comme augmente pou un électon du SC la pobabilité de passe ves le métal, c. à d. comme exp(qvext/kt). 68

électons -qv S -qv S E FM Φ b E C E FM Φ b -qv ext E C E FSC a V ext = 0 E V b V ext > 0 E V électons Φ b -qv S Figue X.5. Stuctue Métal - Semiconducteu type n, avec ΦM > ΦSC. E FM -qv ext E C E FSC a. Pou Vext = 0, c. à d. à l équilibe themodynamique. b. Pou Vext > 0, il y a appaition d un flux d électons du SC ves le métal. c V ext < 0 E V c. Pou Vext < 0, il y a appaition d un flux d électons du métal ves le SC. L application d une tension négative augmente la baièe vue pa les électons du SC et il y a un déséquilibe ente les flux en faveu du passage d'électons du métal ves le SC. Le couant I ésultant (négatif) satue tès vite ca la pobabilité pou un électon du SC de fanchi VS décoît exponentiellement avec Vext alos que la pobabilité de fanchi Φb pou un électon du métal ne dépend pas de Vext. Ainsi pou Vext > 0, on a I IM SC I1 exp(qvext/kt) et pou Vext < 0, I ISC M = Isat. O I = IM SC ISC M = I1 exp(qvext/kt) Isat et on doit avoi I = 0 pou Vext = 0, d'où : qvext I = Isat exp 1 kt (X.11) Remaques : On constate donc, d'apès l'analyse qualitative, que le couant dans une jonction M - SC (diode Schottky) est tanspoté pa les poteus majoitaies du semi-conducteu. Cette popiété est à l'oigine des caactéistiques dynamiques de apidité des diodes Schottky, qui sont patiquement exemptes d'effets de chage stockée popes aux jonctions pn. Le couant de satuation en invese Isat d'une jonction M - SC est beaucoup plus impotant ( 10 6 ) que celui d'une jonction pn. Il en ésulte que pou faie cicule un couant fixé (pa exp. 1 ma) en polaisation diecte, la polaisation nécessaie pou une jonction M - SC ( coude de diode ) est nettement plus faible que pou une jonction pn (d'où l'utilisation de diodes M - SC, en paallèle su la jonction base-collecteu des tansistos dans la filièe TTL - Schottky). X.4.. Contact ohmique Le contact M - SC va se compote comme un contact ohmique losque, dans le SC, la ZCE sea une égion d'accumulation de poteus majoitaies, pa exemple si le SC est de type p 69

losque ΦM > ΦSC. Alos la égion la plus ésistive dans une telle stuctue M - SC est la zone neute du SC, et on obtient un contact dont la ésistance est celle de cette zone (et aux bones de laquelle se etouve l'essentielle de la tension appliquée Vext (c.f. Fig. (X.6)). ZCE zone ``neute`` E C E FSC E FM -qv ext Figue X.6. Contact M - SC type p, avec ΦM > ΦSC, polaisé sous Vext = VM/SC > 0. Le contact est ohmique (ZCE accumulée). Pou minimise la ésistance du contact, le SC sea tès dopé (p + ou n + ) voie dégénéé (ce qui pemet aussi de éduie l'action des états d'inteface qui seont satués pa les poteus majoitaies). X.5. Hétéojonction Une jonction ente deux matéiaux SC difféents est appelée hétéojonction ; si les deux SC constituant l'hétéojonction sont de même type (p ou n), on dit que l'hétéojonction est isotype ; sinon elle est dite anisotype. En généal, on éalise une hétéojonction en faisant coîte une couche épitaxiée d'un SC su un aute SC. Il faut pou cela que les deux SC aient les mêmes syméties cistallines (dans le plan de l'inteface), des paamètes cistallins (telle que la constante du éseau) voisins, et des coefficients de dilatation poches puisque l'épitaxie se éalise à tempéatue élevée. On appelle que les hétéojonctions sont à la base de éalisations de dispositifs à hautes pefomances, en paticulie dans les domaines des hautes féquences et de l'optoélectonique (tansistos à effet de champ HEMT, ou bipolaie à hétéojonction HBT, diodes électoluminescentes ou diodes lase). Pou pouvoi envisage les dives champs d'application des hétéojonctions, il faut envisage les popiétés spécifiques qu'elles pocuent (baièes de potentiel) vis-à-vis du flux des poteus qui les tavesent, comme dans un contact M-SC, mais aussi vis-à-vis des puits de potentiel céés et du tanspot de poteus dans ces puits, paallèlement à l'inteface (comme dans une stuctue MOS). Nous définions les paamètes clés pemettant une analyse qualitative simple mettant en évidence les pincipales popiétés des hétéojonctions. X.5.1. Diagamme des bandes d'énegie Sans contact ente les deux SC : On sait positionne les bandes d'énegie à pati du niveau du vide et des gandeus déjà définies dans l'étude du contact M-SC (en paticulie les tavaux de sotie ΦSC1, et les affinités χ 1, ) comme cela est indiqué à la figue (X.7). On notea l'appaition de deux paamètes impotants : les décalages EC0 = EC EC1 et EV0 = EV EV1 des bandes de conduction et de valence. On emaque que EC0 = χ 1 χ. 70

Niveau du vide E C1 E G1 E V1 Φ SC1 χ 1 χ Φ SC E C E C0 E F E G E F1 E V0 E V Figue X.7. Bandes d'énegie des SC 1 et losqu'ils ne sont pas en contact. Notons que : EG = EG EG1 = EC0 EV0. Hétéojonction à l'équilibe : Les deux SC sont en contact, et la stuctue ainsi éalisée est à l'équilibe (EF1 =EF = EF). La figue (X.8.a) monte les niveaux d'énegie obsevés loin de l'inteface. On constate que la condition d'équilibe EF1 = EF implique l'appaition d'une ddp intene Vint = Vd povenant de l'échange de chages qui a lieu (avec appaition d'une ZCE) losque l'équilibe s'est établi. On a : -qvint = ΦSC - ΦSC1. On emaque que les décalages des BC et BV ente les deux zones neutes ( loin ) de l'inteface) EC(n) et EV(n) sont difféents de EC0 et EV0 ; ils peuvent d'ailleus ête expimés en fonction des densités de poteus libes n1, et des densités d'états équivalentes NC1, (pou EC(n)), et symétiquement pou EV(n). La figue (X.8.b) monte le diagamme des bandes d'énegie au voisinage de l'inteface. Suite à l'échange de chages qui se poduit losque l'équilibe s'établit, les ZCE appaaissent dans chacun des SC, de pat et d'aute de l'inteface et se taduisent pa des coubues des bandes d'énegie. On peut calcule théoiquement les étendues x1 et x des ZCE ainsi que les ddp. intenes Vd1 et Vd (Vint = Vd = Vd1 +Vd) pa ésolution de l'équation de Poisson. A l'inteface (en x = 0), on constate que les niveaux EC et EV pésentent des discontinuités : EC ( x = 0) EC1 ( x = 0) ( E -χ ) ( E -χ ) EC(discontinuité de EC en x = 0) = = 0 0 1 = χ1 - χ = EC0 (X.1) -x 1 x -qv d E C1 Φ SC1 χ 1 χ Φ SC -qv d1 -qv d -qv d χ χ 1 E 0 E C(n) E C -qv d1 -qv d E C0 E F E F E V1 -qv d1 E V(n) E V0 a E V b x = 0 -qv d Figue X.8. Bandes d'énegie dans l'hétéojonction à l'équilibe a. loin de l'inteface. b. Au voisinage de l'inteface - On emaquea en paticulie les discontinuités de BC et BV en x = 0, égales à EC0 et EV0 de la figue (X.7). 71

Les discontinuités de EC et EV sont donc égales aux décalages des bandes EC0 et EV0 emaqués pécédemment. Ce ésultat est valable si la densité d'états d'inteface peut ête négligée, ce qui n'est pas toujous le cas, mais qu'on s'effoce d'obteni! X.5.. Applications : localisation et tanspot des poteus La popiété la plus intéessante est qu'une hétéojonction peut ête utilisée pou contôle la position (spatiale) des poteus libes (ou d'un seul type de poteus) en les obligeant à se situe et/ou à se place dans une égion bien définie (égion dite de confinement ). Ceci tient aux baièes de potentiel que veont les poteus (et donc essentiellement aux décalages offset de bande EC,V0), qui sont, de plus, généalement difféentes pou les électons et pou les tous. Type I d + + + + + + + + + ZCE E V < 0 E C > 0 1 E C E V ZCE d Type II E C > 0 E C ZCE _ d + + + + + + + + + ZCE E V < 0 E V d Type III _ d E C 0 E C + + + + + + + + + ZCE E V < 0 E V Dopage p Dopage n Figue X.9. Les tois types d'hétéojonctions (à l'équilibe) d'apès S.M. SZE High Speed Electonic Devices, Wiley, New-Yok, 1990. Pou compende les schémas elatifs aux stuctues dopées, on doit considée que les SC1 et ont des dopages de même type (hétéojonction isotype) et que, comme c'est souvent le cas dans les matéiaux III-V, les dopages éalisés amènent le niveau de Femi tès pés des bandes (ainsi la condition d'équilibe EF = constante evient appoximativement à aligne les bandes des poteus majoitaies, loin de l'inteface). 7

Configuation des bandes et confinement de poteus On distingue en généal tois types de accodements de bandes pou les hétéojonctions, schématisés en figue (X.9) : Dans le type I, le gap le plus faible se positionne à l'intéieu du gap le plus lage (c. à d. : EC1 < EC et EV1 > EV, si EG1 < EG). Dans ce cas, on peut pévoi que les électons (ou les tous) qui existent dans le SC auont tendance à passe dans SC1 (ves des énegies plus basses). Avec ce type d'hétéojonction, on peut pévoi qu'il sea facile d'injecte au moins un type de poteus dans le SC à faible gap. Notons que si on pavient à y injecte les deux types de poteus, on aua pobablement des ecombinaisons intenses (avec émission de lumièe si les ecombinaisons sont adiatives : c'est ce qui se passe dans des diodes électoluminescentes ou lases à hétéojonction). Invesement il sea difficile, voie impossible, d'injecte des poteus du SC1 (à faible gap) ves le SC, à cause des baièes de potentiel à l'hétéojonction (c'est cette popiété qui est utilisée dans les Tansistos Bipolaies à Hétéojonction : HBT). Dans le type II, les deux bandes intedites sont décalées (ou étagées : EC1 < EC, et EV1 < EV) : les électons auont tendance à s'accumule (ou à este) dans le SC1 et les tous dans le SC. Dans une hétéojonction de type III, où la bande de conduction (ou de valence) este constante et l'écat de bande intedite EG se etouve entièement su l'aute bande, le flux d'un des types de poteus ne sea pas affecté tandis que l'aute sea fotement modifié. Cette configuation est aussi utilisée pou éalise cetains tansistos bipolaies à hétéojonction. La figue (X.9) monte aussi (comme indiqué au paagaphe pécédent et su la figue (X.8.b)), qu'au voisinage de l'inteface, pou des stuctues dopées, existent des ZCE et des coubues de bandes (en plus des discontinuités EC et EV). Ainsi appaaissent des zones désetées (pa les poteus majoitaies, notées d su la figue (X.9), et associées à des baièes de potentiel pou ces poteus) et des zones d'accumulation, coespondant à des puits de potentiel. La lageu de tels puits peut ête elativement faible (quelques nm à 10 nm) et povoque une quantification des niveaux d'énegie disponibles dans ce puits, avec une sépaation des deux pemies niveaux de l'ode de 10 à 30 mev. Cette quantification se etouve dans la éalisation d'hétéostuctues à puits quantiques, utilisées pou décale la aie lase de GaAs de l'infa-ouge ves le ouge (puits GaAs ente deux couches AlGaAs), ou pou fabique des détecteus infa-ouges. D'autes hétéostuctues à couches tès minces (et pafois multiples) sevent à éalise des stuctues à effet tunnel (et à effet tunnel ésonnant ). Couant (ou contôle de couant) dans une hétéojonction Selon la façon dont on souhaite pofite de l'existence des baièes et des puits de potentiel, on utilise une hétéojonction : Soit pou contôle la concentation et le flux de poteus (électons) ciculant paallèlement à l'inteface (dans un puits de potentiel). L'hétéostuctue est donc utilisée comme un tansisto à effet de champ dont le contact de gille est pis su le SC (dopé n) à gand gap (AlGaAs), alos que les électons povenant de ce dopage vont cicule dans le puits de potentiel qui appaaît, à l'inteface, dans le SC à faible gap (GaAs ou GaInAs), peu dopé ce qui pemet aux électons d'avoi une bonne mobilité (HEMT : High Electon Mobility Tansisto, aussi appelé TEGFET : Two-dimensional 73

Electon Gas Field Effect Tansisto puisque les électons se déplacent dans le plan de l'inteface). Soit pou maîtise le flux (ou obteni cetaines popiétés spécifiques liées au flux) de poteus tavesant la stuctue (pependiculaiement à l'inteface). Losque les couches semi-conductices de l'hétéojonction ne sont pas top fines, l'expession du couant tavesant la stuctue s'obtienda alos pa une démache voisine de celle du contact M-SC. Mais dans l'évaluation des diveses contibutions au couant total, on tienda compte des spécificités de l'hétéojonction (baièe de potentiel/décalage de bandes) : ainsi, pou la stuctue de la figue (X.8.b), on peut die que : Dans le SC1 (type p), les électons qui seont injectés pa le SC (type n) pouont se ecombine avec les tous et on aua ici un couant composé à la fois des flux de tous et d'électons. Dans le SC, le couant sea exclusivement un couant d'électons ca ce SC est de type n, et les tous susceptibles de poveni de SC1 (type p) ne pouont pas ête injectés dans le SC pa suite de la fote baièe (pou les tous) associée à EV. Comme nous l'avons déjà signalé, c'est ce gene de popiété (empêche l'injection d'un type de poteus, ou favoise cette injection) qui est utilisé dans les diodes ou tansistos bipolaies à hétéojonction : citons pa exemple pou les diodes les hétéojonctions AlGaAs/GaAs, et pou les tansistos les hétéostuctues (Emetteu/Base/Collecteu) : AlGaAs/GaAs/GaAs et Si/SiGe/Si. Une hétéojonction peut également ête utilisée pou effectue une injection de poteus (électons) chauds : en effet, los du passage de l'hétéojonction (d'un SC à lage gap ves un SC à faible gap), un électon va acquéi un supplément d'énegie cinétique égal à EC (le décalage des bandes de conduction). Dans une stuctue n-alxga1-xas/n-gaas, on a (pou x < 0,45) : EC (1,05 x) ev, c. à d. pou x 0,3, un supplément initial d'énegie supéieu à 0,3 ev (coespondant à l'énegie d'agitation themique de l'électon à envion 3000 K = 10 Tamb!). Ce pincipe est mis en oeuve pou la éalisation de dispositifs à électons chauds et à fote vitesse (souces micoondes : dispositifs à effet Gunn à hétéojonction pésentant d'excellents endements). Comme on le vea los de l étude des composants de l'optoélectonique, des diodes électoluminescentes et des diodes lase à SC sont éalisées à pati de double hétéostuctues (pa exemple du type p-algaas/n (ou p) GaAs/n-AlGaAs), dont la couche centale, dite active (celle du SC à faible gap) d'épaisseu 0,1 à 0, µm est considéée comme elativement épaisse pa appot à celles utilisées dans les lase à puits quantiques (ou dans les supe-éseaux). Ces lases (figue (X.10)) compotent plusieus puits quantiques (couches GaAs de 5 à 10 nm d'épaisseu, et baièes de 10 à 0 nm de AlGaAs où la popotion x = 0, d'al lui confèe une bande intedite intemédiaie ente GaAs et AlGaAs constituant la double hétéojonction des extémités). La quantification des niveaux d'énegie dans les puits pemet d'ajuste la longueu d'onde de l'effet lase, mais aussi de diminue le couant de seuil de déclenchement et de éduie la sensibilité à la tempéatue. 74

x = 0,4 x = 0, x = 0 hν Al x Ga 1-x As Figue X.10. Lase à puits quantique constitué d'un système multicouches minces (GaAs/Al0,Ga0,8As fomant les puits quantiques où électons et tous peuvent ête confinés) et de la double hétéojonction avec Al0,4Ga0,6As (pemettant également un confinement optique lié à la difféence des indices de éfaction). La lageu de la bande intedite de AlxGa1-xAs évolue pou x < 0,45 (le SC este à gap diect) selon : EG (ev) 1,4 + 1,5x. 75