oies, plans, 10 veces de l espace o epende conac 1 vec des posiions elaives 1 a sécanes d paallèles b paallèles e sécanes c non coplanaies f paallèles a paallèles b sécans c paallèles d sécans e sécans f sécans a sécans suivan b paallèles c sécans suivan OO avec O cene de e O cene de d sécans suivan e sécans suivan ( avec cene de e cene de f paallèles vec le cube a faux b faux c vai d faux vec les veces du plan u 1 a MN M N - 1 1 N N - u b MN - N donc M, N e son alignés a 0 ; 0 ; 1; 0 ; 0 ; 1; M 0 ; ˆ ; N ; 0 ˆ e 1 1ˆ 1 1 1 ; ca - u ˆ 1 1ˆ b MN ; - e N - ; 1 1 c - ˆ - 0 ˆ - donc M, N e son alignés civié 1 1 1 donc es un paallélogamme donc a es paallèle à donc paallèle à e donc e son coplanaies On en dédui que e son dans le plan e plus, e son les doies d inesecion des plans paallèles e avec le plan donc elles son paallèles hapie 10 oies, plans, veces de l espace 1
b () e () son paallèles e () e () son paallèles donc dans le plan (), le quadilaèe non coisé es un paallélogamme e donc a es paallèle à d apès 1 e es paallèle à d apès donc es paallèle à b e son les doies d inesecion des plans paallèles e avec le plan donc elles son paallèles omme de plus () e () son paallèles, es un paallélogamme e u ; e M N M donc X civié a es doies e son incluses dans le plan e es paallèle à ce plan ca es sicemen paallèle à e œ donc, e ne son pas coplanaies b c M, N, e,,, son dans le plan e,, e son coplanaies donc, e son coplanaies u Oui pa exemple, e Non ca ois poins son oujos coplanaies civié 1 a es un ecangle b 6 u u 6 1 R R 1 uuu 6 1 u 0
1 a,,, ne son pas coplanaies donc la doie coupe le plan e donc la paallèle à passan pa M coupe aussi le plan en un poin M u b M Œ donc il exise des éels x e y els que M x y u u u MM es paallèle à donc les veces M M e son colinéaies e il exise un éel z el que M M z u u c M M M M x y z a S il exise deux iples x ; y ; z e x ; y ; z els que M x y z e M x y z alos x y z x y z soi - x y - y z - z y b Si x x alos - y z - z e donc appaiendai au plan ce qui en conadicion avec,, x - x x - x, non coplanaies d où x x e même y y e z z l exise donc un unique iple ; y ; z el que M x y z civié 1 haque sysème possède équaions e deux inconnues 1-5 Ì - Ì Ì 1- - - - - - 1 5 : la denièe équaion de S es véifiée donc le sysème S adme un seul couple soluion - ; 5 1 - - 1 5: la denièe équaion de S n es pas véifiée donc le sysème S n adme pas de soluion T1 Secions planes d un cube Voi s le sie Mah x 1 a e son des poins communs aux plans non confondus e donc ces deux plans se coupen suivan la doie a ace du plan s la face es donc le segmen [] b a inesecion des plans e es la doie b es plans e son paallèles coupe suivan la doie donc coupe aussi le plan suivan une doie paallèle à es un poin commun à ces deux plans, donc l inesecion des plans e es la paallèle à passan pa c N hapie 10 oies, plans, veces de l espace
a paallèle à passan pa coupe [] en N e plan coupe suivan la doie e suivan la doie N O les plans e son paallèles donc e N son paallèles // N e // N donc le quadilaèe N secion du cube pa le plan es un paallélogamme a inesecion de e es e son sécanes en N dans On en dédui que l inesecion de e es N b // donc l inesecion de e es la paallèle à N passan pa opiéé page 08 c N a b c d T Un lieu géoméique dans l espace 1 Voi s le sie Mah x a ensemble des poins M els que M losque déci es la doie e l ensemble des poins N els que N losque déci es la doie b onjece : il semble que le lieu de, losque déci, soi la doie 1 a M N M N, ca 0 puisque es le milieu de [] u b M N M N ca M N 0 puisque es le milieu de [MN] ca 0 e 0 puisque e son les milieux especifs de [] e [] On a donc M N e M N d où soi donc le lieu déci pa losque déci es la doie
T Éudie des posiions de doies e de plans 1 igne 1 : le poin ; 1 ; 1,5 appaien-il à la doie d 1 de epésenaion paaméique Ìy -, Œ? Réponse : Œ d 1 1, en penan 1 1 igne : le poin - 5 ; 9 ;- 5appaien-il à la doie d de epésenaion paaméique Ìy -, Œ? Réponse : œ d 1 1 - u igne : les doies d e d d équaions paaméiques especives Ìy -, Œ e Ìy --5u, u Œ son-elles sécanes? - 5 u 1 - u Réponse : le sysème Ì- - - 5u es équivalen à Ì u - - 5 u 1 donc d e d son sécanes en ; ; - 5 u igne : les doies d 5 e d 6 d équaions paaméiques especives Ì y 1, Œ e Ìy - u, u Œ son-elles sécanes? - 5 10 Réponse : d 5 e d 6 ne son pas sécanes -u igne 5 : les doies d 7 e d 8 d équaions paaméiques especives Ìy, Œ e Ìy -1-6u, u Œ son-elles sécanes? 1-6 7 9u - u 1 Réponse : le sysème Ì 1-6u es équivalen à u - - : il a donc une infinié de soluions e on peu en 1-6 7 9u déduie que les doies son confondues u 1 a es poins,, e ne son pas coplanaies donc ;,, es un epèe de l espace 1 0 ; 0 ; 0; 1; 0 ; 0; 1; 1; 0 ; 0 ; 1; 0; 0 ; 0 ; 1 ; 1; 0 ; 1; 1; 1; 1; 0 ; 1; 1 ; ; 0 ; 0 ˆ ; 1; 1; 1 ˆ es poins, e son dans le plan qui conien e n es pas dans ce plan donc les poins,, e ne son pas coplanaies e les doies e ne son pas coplanaies donc pas sécanes u es veces non colinéaies e diigen le plan e es un poin de donc il exise deux éels h e k els que h k 1 h b x -1 - h 1 ˆ x 1-1ˆ -1; y ; z -1 ; - - ; 0 ; 1 e 0 ; 1 ;- on en dédui que Ìy k soi Ìy k 1 k z -1 -h- k z 1- h- c 1- -1; 1; 1donc : Ìy, Œ h 1-1- es coodonnées de doiven véifie les deux denies sysèmes donc Ìk À l aide du logiciel de calcul fomel Xcasf, on obien : k 1 - h - hapie 10 oies, plans, veces de l espace 5
h 7 soi Ìk 7 7 donc 5 ˆ ; ; 7 7 7 a e son dans le plan e ne son pas paallèles donc elles son sécanes 1 1-5ˆ - - ; ; donc : Ìy, Œ 1 7 7 7 1 1 x ˆ ; ; donc : Ì, Œ y 1-5 1 1- es coodonnées du poin doiven véifie les deux sysèmes donc Ì À l aide du logiciel Xcasf on obien : 1-5 soi 1 6 donc 1 1ˆ ; ; 6 b 1 1 1ˆ ; ; 6 6 e 1 ; 1 ; 1 ˆ donc 1 xecices SNS RYON, SNS UTR 1 a paallèles b non coplanaies c sécanes d sécanes a b c la paallèle à passan pa d 1 a 1; 0 ; 0 b ; 1; 0 ˆ c -1; 0 ; 1 d 111 ; ; a 0 ; 0 ; 0 ; 1 1 ; ; 0 ˆ ; 0 ; 1; 1 ; 1; -1; 1 b 1; 0 ; 1 ; 1 ˆ - ; 1 ; 0 ; -1 ; 0 ; -1 ; 0 ; 1;- u 5 a b 1 NTRÎNMNT 10 1 a non b non c non a b sécanes c : poin d inesecion de e e son sécanes en M donc e son sécans en M e e son sécanes en N donc e son sécans en N inesecion de e es la doie M qui conien N 11 ans le plan les doies e son sécanes en qui es le poin d inesecion de e 6 a b c 1 5 ˆ 7-5 ; ; ; - - ; ; 1 8 Oui, ca elles on des veces dieces colinéaies 9 a Oui po 0 b Non, ca on obien -1 e 1 6
1 1 appaien à e a e son coplanaies dans e non paallèles b e son sécanes en : Œ donc Œ e Œ donc Œ c e ne son pas confondus ca Œ e œ e ils on deux poins communs e donc e son sécans suivan la doie 1 Œ e Œ e son sécanes en M ca coplanaies e non paallèles MŒ donc MŒ e MŒ donc M Œ es plans e ne son pas confondus donc ils son sécans suivan M 15 1 a e son non coplanaies b e son sécanes es un poin commun à e Soi M le poin d inesecion de e M es un deuxième poin commun à e omme ces plans ne son pas confondus le inesecion es la doie M e coniennen deux doies paallèles e omme ils ne son ni confondus ni paallèles ca ils on en commun, d apès le héoème du oi, le inesecion es la paallèle à passan pa 16 Œ[ ] donc Œ donc es un poin commun à e Œ[ ] donc Œ donc es un poin commun à e omme e ne son pas confondus, ils son sécans suivan la doie M 17 a e apèze 1 1 b Soi le milieu de [] ; la secion es le apèze Q Q N M M 18 a Soi le milieu de [] a secion es l hexagone égulie QM hapie 10 oies, plans, veces de l espace 7
Q M N // e // : la secion es le paallélogamme b Soi Q le milieu de [] a secion es l hexagone égulie MNQ M 19 Q N M S 1 Soi le plan passan pa R e paallèle au plan R es un poin commun aux plans e omme e son sécans suivan la doie, e son sécans suivan la doie paallèle à passan pa R ee doie coupe en S : S Œ[ ] e S appaien à e même, R es un poin commun aux plans e omme e son sécans suivan la doie, e son sécans suivan la doie paallèle à passan pa R ee doie coupe en T : T Œ[ ] e T appaien à a secion es le iangle RST R R MS e se coupen en ; MS // R ; e se coupen en ; M // a secion es l hexagone MSR S T 0 es le milieu de [] Soi le milieu de [] e le milieu de [], alos es paallèle à e es paallèle à es le plan passan pa e paallèle aux doies e es un poin commun aux plans non confondus e doie de e doie de son paallèles donc, d apès le héoème du oi, coupe suivan la doie passan pa e paallèle à e omme es le milieu de [], coupe [] en milieu de [] e = e son des poins communs aux deux plans non confondus e donc es la doie d inesecion de ces deux plans omme es le milieu de [] e le milieu de [], es paallèle à e donc à a u u b u u c N Q d MN Q e O O b - d - u a 1 c u a b u u c d Q 5 a e b Voi en fin de manuel c Q u d u e O u f Q 8
6 1 milieu de [] e milieu de [] donc 1 e même 1 donc On en dédui que es un paallélogamme 1 7 - ; - donc donc, e son alignés 8 a oui b non c oui d non 9 0 1 a e b Voi en fin de manuel c u - v d w - v u a e b Voi en fin de manuel c v e u w d u w e u - v 1 1 a,, e son coplanaies 1 1 1 b - donc, e son alignés,, e son coplanaies b es poins, e semblen alignés a - ˆ c - 1 1 1 a a 1 u 1 1 u - donc, e son alignés a a a Voi coigé en fin de manuel 1 a S T donc T S O les poins S,, e son coplanaies dans S donc T, S e S son coplanaies u b S e S diigen le plan S omme n appaien pas à S e T, S e S son coplanaies, T es sicemen paallèle au plan S //S donc //S e plan T conien deux doies sécanes, e T paallèles à S donc S e T son paallèles a Soi le milieu de [] 1 1 ˆ donc 1 1 1-6 1 - b On en dédui e donc les poins, e son alignés 5 1 a - u b - u c N - 1 1 a u 1 b Q u c N 1 6 u 1 uu, u,, ne son pas coplanaies donc ;,, es un epèe de l espace Q 1 ; 0 ; 1 ˆ ; N 0 ; 0 ; 1 ˆ u ; -1; 10 ; ; -1; 11 ; ; 0 1 ; ; 1 ˆ ; 11 ; ;- 1 7 a 1 ; 1 ; 0 b Ω1 ; 1 ; 1 c O1 ; 1 ; 1 8 k O i j 9 Voi coigé en fin de manuel 0-17 ; ;- 1 u v-; 6; ; u - v 16; 7; - 7 ; 7 ; ; ; 1 ; ; 1 ; 0 ; 1 -u v ; 6 ; 9 -u v w donc u, v e w son coplanaies 1 u -; ; e -1; 11 ; son colinéaies donc // u 1 ; ;- 1 e -; 0; ne son pas colinéaies donc e ne son pas paallèles omme elles son coplanaies d apès 1 elles son sécanes 5-6; 1; -1 e -1 ; ;- son colinéaies donc, e son alignés 6 Voi coigé en fin de manuel 7 1 ; - ; e 0; - ; 1 ne son pas colinéaies donc, e définissen un plan hapie 10 oies, plans, veces de l espace 9
- - - ; 6; - 6 e -; ; - donc 1 - - onc es paallèle à 8 1-1; 0; 5 ; -; - ; - ; - ;- ; 8 -x - y - a x y Ì-y - Ìy 1 5x - y 8 d où 10-8 b e plus e ne son pas colinéaies donc, e définissen un plan On en dédui que es paallèle à 9 Méhode 1 u u 1 u 1 ˆ 1-1 1 u 1 e - donc donc, e son alignés u 1 e même, e 1 donc donc, e son alignés a e son donc sécanes en b onc les poins,, e son coplanaies Méhode 1 a u u,, u, ne son pas coplanaies donc ;,, es un epèe de l espace b 0 ; 0 ; 1 ; 0 ; 0 ; 0 ; 1 ; 0 ; 0 ; 0 ; 1 ; 0 ; 0 ; 0 ; 1 ; 0 ; 1 ; 0 ; 1 ; 1 ; 0 ; 1 ˆ 0 ; ;- 1 donc 0 ; 1 ; 1 ; ; 0 ; 0 c 1 1 1ˆ ; ;- ; 0 1ˆ ; ;- e 0 1 1ˆ ; ;- 6 1 a a 1 1 a b Ì b Ìb 1 1 1 1 1 - a- b - - - - 6 8 8 a b 50 onc,, e son coplanaies 1 Ìy -5, Œ - 51 - Ìy 5 -, Œ - 5 1 u ; 1;- 5 1 d : Ìy 1, Œ 1- d : Ìy, Œ 6 1- Ì- 8 Ì - 5 5 donc M Œ d 5 d e d ne son pas paallèles ca u e v ne son pas colinéaies On emaque que Œd ou on ésou le sysème : 1-1 Ì1 Ì donc les doies d e d son 0 sécanes en 1 ; ; 1 5 1 a d 1 : Ìy -, Œ -1 ; 1 ; 1 e 5 ; 0 ; 1-1 -1 Ì- 1 - Ì -1donc œ d 1- - 5 6 6 Ì- 8 1 Ì -9 donc M œ d - - - - - d : Ìy -, Œ 5 b 1 ; ; 1 po 0 e ; 1 ; 1 po 1 d 1 e d ne son pas paallèles ca u 1; - 1; vece diece de d 1 e v 1; - ; 5vece diece de d ne son pas colinéaies 0 signifie «non» igne : d 1 e d son coplanaies igne 5 : d 1 e d son sécanes en M1 ; ; 1 1 igne 6 : d : Ìy 7, Œ 1 ; 7 ; e ; 8 ; son des poins de d igne 7 : d 1 e d ne son pas paallèles igne 8 : d 1 e d ne son pas coplanaies igne 9 : d : Ìy 1-, Œ 1 ; 1 ; 1 e 5 ; 1 ; son des poins de d igne 10 : d 1 e d son paallèles igne 11 :, e ne son pas alignés e donc d 1 e d son sicemen paallèles 10
55 osiion elaive de d 1 e d : voi en fin de manuel osiion elaive de d 1 e d : u - u1, donc u 1 e u son colinéaies e les doies d 1 e d son paallèles - 1-6 1 ; 1 ; 0 Œ d 1 Ì1 6 1 Ì 6 0-0 e sysème n a pas de soluion donc œ d es doies d 1 e d son donc sicemen paallèles osiion elaive de d e d : u e u ne son pas colinéaies donc les doies d e d ne son pas paallèles 7-6 - - 6 Ì6 9- Ì 1 (impossible) - - 5 8 - - 6 donc les doies d e d ne son pas sécanes es doies d e d son donc non coplanaies 56 1 lm l 0 Ìl m Ìm -1 donc les doies ne son pas - l 0 m 1 coplanaies 58 1 Vai aux aux 59 On dédui uniquemen que les deux doies ne son pas paallèles : elles peuven êe sécanes ou non coplanaies 5- : Ìy 1, Œ e : Ìy 1, Œ 5 - -6 5-0 Ì1 1 1 : ce sysème es impossible Ì 5- - 6 11 donc les doies e ne son pas coplanaies e donc non sécanes ROONSSMNT 80 S R N M 57 u 1 1; 1;- 1 e u 1; ; 0 veces dieces especifs de e s ne son pas colinéaies donc e s ne son pas paallèles ans S, coupe en M e M Œ ans, M coupe en N e N Œ ans S, coupe S en e Œ ans S, N coupe S en R e R Œ e plus, S,, e ne son pas coplanaies donc S n es pas incluse dans On en dédui que R es le poin d inesecion de e S hapie 10 oies, plans, veces de l espace 11
81 S es plans e S son sécans e coniennen deux doies paallèles e d donc, d apès le héoème du oi, le inesecion es une doie paallèle à e d omme es un poin commun à ces deux plans, l inesecion de S e es la doie passan pa e paallèle à : elle coupe S en ans le plan, e d son sécanes en e e d son sécanes en ans le plan S, e S se coupen en e dans le plan S, e S se coupen en a secion de la pyamide pa le plan es le qua dilaèe es un apèze ca e S coniennen deux doies paallèles d e donc le inesecion es paallèle à d donc à 8 1 es plans e son paallèles donc le plan QR coupe le plan suivan la paallèle à QR passan pa ee doie coupe en S ans le plan, Q e son sécanes en M MS coupe en T a secion du cube pa le plan QR es le penagone QRTS l semble que S e T son les milieux especifs de [] e [] Q R T 1 a RQ R Q 1 1 b a consucion, S e QR son paallèles donc S e son paallèles c ans le iangle, S// e es le milieu de [] donc S es le milieu de [] 1 1 a e même, Q b Q e RT son paallèles ca ce son les inesecions du plan QR avec les deux plans paallèles e donc RT// ans le iangle, //RT e R es le milieu de [] donc T es le milieu de [] 1 1 1 a S 8 5 e même, RT 5 1 ST b Q QR 8 5 R R onc R 8 onsucion Q QR donc QR es isocèle en Q S RT e Q//ST donc STR es un apèze isocèle de bases R e ST e plus ST 1 R donc Q R es isocèle de somme Q e Q S Q On consui donc un caé de côé 8 don la diagonale nous donne la longue 8 puis on place les poins coespondans à Q e po obeni la longue 5 On consui le segmen R de longue 8 puis les deux iangles isocèles QR e Q R avec Q Q 5 nfin on place S milieu de [Q ] e T milieu de [RQ ] 5 8 Q R 8 5 S 5 S T M Q 1
8 1 u a ca es le milieu de [] 1 b 1 1 u 1 On en dédui que Œ e donc,,, son coplanaies es doies e son donc sécanes dans le plan en un poin qui es le poin d inesecion de e 18 8 1 Q Q - 5 5 R R - - 5 5 S S - 5 9 On cheche deux éels a e b els que R aq b S c es-à-die 18 ˆ 5 R - a b - a b ce qui evien à 5 5 9 18 a- b - 5 5 5 ésoude : Ì- a - 5 5 b 9 ce qui donne a e b donc R Q S e, 9 9 Q, R, S son coplanaies 85 1 es un paallélépipède u donc es un paallélogamme e apès la uuu ègle du u paallélogamme,, d où a u u a b b 1 u donc e u u 0 a suie - - a a consucion, appaien à la doie e donc, e ne son pas alignés e définissen un plan omme - -, on en dédui que le poin appaien au plan e donc les poins,, e son coplanaies b omme Œ, cela evien à faie la secion du paallélépipède pa le plan On obien le iangle 86 1 a u xi yj zk b ku ki yj zk kxi kyj k zk donc ku kx ; ky ; kz Si v ; y ; z u v xi yj zk x i y j z k x i y y j z z k donc u v x ; y y ; z z u O - O e O x ; y ; z donc u u -O - x ; - y ; - z e comme O x ; y ; z on a - x ; y - y ; z - z u u a O O O O O donc 1 O O O u b O O x ; y y ; z z donc O x x y y z z ˆ ; ; 87 ; 5 ; 0 ; 5 ; 7-1; 0 ; -1; - ; 88 1 Quand on demande de consuie le poin d inesecion de la doie MN e du plan, le logiciel eoplan-eospace épond que la doie e le plan ne son pas sécans On peu donc conjece que la doie es paallèle au plan ou conenue dans le plan M1- ; 0 ; 1; N111 ; ; - ; 0 ; 0 ; 1 ; 0 ; 1; 1 ; 110 ; ; u MN ; 1 ;- ; 0 ; 1; 0e 1; 0 ;- 1 u u MN donc les veces MN, e son coplanaies On en dédui MN// e plus, le poin d inesecion de la doie e du plan es donc MN es incluse dans si e seulemen si M, c es-à-die 1 e dans ce cas N 89 1 u 1-11 ; ;- vece diece de d 1 e u ; - ; - vece diece de d ne son pas colinéaies donc d 1 e d ne son pas paallèles lles son sécanes si e seulemen si il exise des éels 1-1 e els que Ì - - -1-1 - e sysème équivau à Ì 8 - soi Ì 1 - hapie 10 oies, plans, veces de l espace 1
onc d 1 e d son sécanes en 0 ; ; 1 appaien à 0 - d ca le sysème Ì 1 a po soluion = 1 1 1 u ; ; 0 vece diece de d n es pas colinéaie ni à u 1, ni à u donc d 1 e d ne son pas paallèles ainsi que d e d d 1, d e d son donc concoanes en 0 ; ; 1 On echeche s il exise des éels a e b els que u au bu 1 a b e sysème Ìa- b n a pas de soluion ca a b -a- b 0 ne peu êe à la fois égal à e à onc d 1, d e d ne son pas coplanaies 90 d : Ìy 1-, Œ 1 9 1 a d1 : Ìy -1, Œ z -- b d : Ìy 0, Œ c d y : Ì -1, Œ z -1 u e v d une pa, u e w d ae pa e v e w enfin ne son pas colinéaies donc les doies ne son pas paallèles deux à deux 1 M ; y ; zœ d 1 «d evien à ésoude Ì- 1 0 ce - - qui es impossible donc d 1 e d ne son pas coplanaies donc les ois doies ne son pas concoanes On peu aussi mone que d 1 e d ne son pas coplanaies e que d e d ne son pas coplanaies 9 1 u 1; y1; z1 e v ; y ; z son colinéaies 1; y1; z1 e x ; y ; z son popoionnels 1; y1 e ; y Ìy1; z1 e y ; z son popoionnels 1; z1 e ; z x1y- xy1 0 e y1z- yz1 0 e x1z- xz1 0 NTRÉS Saisi x1; y1; z1 ; ; y ; z TRTMNT x1y- xy1; y1z- yz1; x1z- xz1 Si =0 e =0 e =0 los affiche «les veces son colinéaies» Sinon affiche «les veces ne son pas colinéaies» insi 91 1 u 1 1; - 1; e u ; ;- 1 ne son pas colinéaies donc d 1 e d ne son pas paallèles M ; y ; zœ d 1 «d il exise e els que 1 Ì- 1 ; les deux pemièes équaions donnen - 1 e 5 qui ne véifien pas la oisième équaion 5 donc d 1 e d ne son pas coplanaies d //d 1 donc u 1 es un vece diece de d Tou poin de d peu êe choisi comme poin de d, pa exemple 0 ; 1 ; NTRÉS Saisi x; y; z ; y; z ; ; y ; z ; ; y ; z ; TRTMNT x1 x - x ; y 1 y - y ; z 1 z - z x x - x ; y y - y ; z z - z x1y- xy1 ; y1z- yz1; x1z- xz1 Si =0 e =0 e =0 los affiche «les doies son paallèles» Sinon affiche «les doies ne son pas paallèles» insi 1
1 9 1 a d : Ìy --, Œ - b Œ d avec - e Œ d avec -1 1-5 a : Ìy -1, Œ 6 b MŒ[ ] il exise Œ [0,1] el que M ce qui 1-5 donne [ ]: Ìy -1, Œ[ 0; 1 ] 6 1-5 o [ : Ìy -1, Œ[ 0 ; [ 6 u MŒ[ il exise el que M, avec Œ[ 0 ; [ -5 ce qui donne [ : Ìy 11-1, Œ[ 0 ; [ 6-6 95 1 0; 1; 1 e ; 0; 6ne son pas colinéaies donc,, ne son pas alignés e définissen un plan M ; y ; zœ si e u seulemen si il exise des éels e els que M c es-à-die els que -1 1 Ìy -1 soi Ìy 1 6-6 ; 1; Œ si e seulemen si il exise des éels e 1 els que Ì1 1 On obien = 1, = 0 e la - 6 de nièe équaion es véifiée ca = + 6, donc Œ - 1 ; ;- 5Œ si e seulemen si il exise des éels - 1 1 e els que que Ì 1-5 - 6 On obien -1, 1 mais la denièe équaion n es pas véifiée ca - 1-6 - 7 e non 5, donc œ 96 1 ; 1;- e ; - 1; 1 ne son pas colinéaies donc,, ne son pas alignés e fomen un plan : Ìy -, e éels - : Ìy -, e éels - - 97 1 : Ìy -, e éels 1-0 0; 0; z Œ Ì- 0 1 z Ì z onc 0 ; 0 ; 15 M0 ;- 15 ; 0 N- ; 0 ; 0 5 M 1 15 z O x y 98 u; ; e v 10 ; ; diigen e w 1 ; ;- 5 es un vece diece de d On cheche s il exise deux éels a e b els que w au bv ce qui evien à ésoude le sysème : a b 1 a 1 Ìa ce qui donne Ìb - ; on en dédui a b - 5-8 - 5 que les veces u, v, w son coplanaies e plus, le poin 5 ; 0 ; 1 de d n appaien pas à ca le sysème 5 Ì1 0 n a pas de soluion 1 On en dédui que d es sicemen paallèle à On peu aussi mone que d e on une inesecion 5 k vide, c es-à-die que le sysème Ì1 k 1-5k n a pas de soluion u u 1 1 99 1 MM M M 1 1 u 1 omme e donc deux veces diigean, MM // e même, NN donc NN // 1 1 = donc // 1 1 1 1 ˆ Q M MQ 1 1 1 1 1 1 1 R R N hapie 10 oies, plans, veces de l espace 15
e même, S e T donc T S R Q donc, Q, R, S, T son alignés u 1 1 ˆ a UV U M MV k k 1 k e UY UY k k u uu k k k onc UY UV donc U, V, Y son alignés b e même, on mone que UW UV e UX UV donc U, V, W, X, Y son alignés Remaque : on peu aussi ésoude ce execice analyiquemen en se plaçan dans le epèe ;,, pa exemple ROÈMS 100 1 a es le milieu de [] donc 1 es le milieu de [] donc 1 O ca es un cube donc e es un paallélogamme 1 1 1 b O es un u paallélogamme donc e donc 1 c es veces e son donc colinéaies e pa suie les doies e son paallèles lles son donc coplanaies e les poins,, e l égalemen On en dédui que les doies e son coplanaies lles ne son pas paallèles puisque n es pas un paallélogamme ca lles son sécanes en un poin R a e son des poins communs aux plans disincs e, ces deux plans son donc sécans suivan la doie b R Œ e à donc R Œ ; R Œ e à donc R Œ R es un poin commun aux plans e donc R appaien à doie d inesecion de ces deux plans 1 a œ donc les poins,, u e ne son pas coplanaies e donc les veces,, non plus ; d où ;,, es un epèe de l espace b ans le epèe ;,,, 0 ; 0 ; 0, 1 ; 0 ; 0, 0 ; 1 ; 0, 0 ; 0 ; 1, 1 ; 0 ; 1 ca, 0 ; 1 ; 1 ca es le milieu de [] donc 10 ; ; 1 ˆ ; es le milieu de [] donc 0; 1; 1 ˆ ; 1 donc 1 ; 0; 0 ˆ ; 1 donc 0 1 ; ; 0 ˆ a ˆ - - 0 1 ; ; es un vece diece de la doie donc - 1 ; 0; aussi y 0, Œ es une Ì 1 z epésenaion paaméique de la doie 1ˆ 0 ; ; es un vece diece de la doie 0 donc 0 ; ; aussi y 1, Œ es une Ì 1 z epésenaion paaméique de la doie es doies e son sécanes en un poin R ; y ; z si e seulemen si il exise des éels e els 1 0 que y 0 e y 1 Ì Ì 1 z 1 z 1 1 0-0 1 On ésou le sysème Ì soi Ì 1 1 1 - es doies e son donc sécanes en un poin 1ˆ R 0; 0;- 6 b R 1ˆ 0; 0;- 6 e 0; 0; 1 R - 1 donc les 6 veces R e son colinéaies e les poins, R e son alignés 101 1 Voi s le sie e son sécanes dans le plan en qui es donc le poin d inesecion de e du plan inesecion de e es donc la doie a paallèle à S passan pa coupe en Q e la paallèle à passan pa coupe en R S N O Q R 16
a secion du cube pa le plan es l hexagone QRS ans le plan, // e, poin d inesecion de e, es le milieu de [] donc es le milieu de [] e es un paallélogamme ce qui peme de die que 1 1 1 omme, on en dédui que e plus // donc es un paallélogamme e donc le poin d inesecion de ses diagonales S es le milieu de [] S milieu de [] e milieu de [] donc S// omme // e pa consucion Q//S, on en dédui que Q// omme es le milieu de [], Q es le milieu de [] e même, //, // e pa consucion R// donc R// omme es le milieu de [], R es le milieu de [] Q QR R S S a ca chacune de ces longues es égale à la moiié d une diagonale des faces du cube a ans le plan, es le milieu de [] e O es le milieu de [] donc O// e O 1 e même OR// e OR 1 omme // e, on en dédui que, O e R son alignés e O OR a donc O es le milieu de [R] b e même, dans le plan, on mone que O es le milieu de [SQ] e SO OQ a e dans le plan, O es le milieu de [] e O O a c O OR OS OQ O O a donc les poins,,, Q, R, S son s le cecle de cene O e de ayon a 10 1 u 1 1 ; ; 0 vece diece de 1 e u ; 1;- 1 a S ; ; 0,1 ; il n exise pas de éel a el que a Ì 9 a donc S œ 1 01, 0, 5 b l n exise pas de éel b el que Ì b donc S œ 01, - b b Soi 1 le plan conenan S e 1 e le plan conenan S e 1 e on un poin commun S e ils ne son pas confondus s ils l éaien, 1 e seaien coplanaies, o elles ne le son pas d apès 1, donc 1 e son sécans suivan une doie passan pa S c 1 e son des doies coplanaies puisque conenues dans le plan 1, elles son donc soi paallèles, soi sécanes Supposons qu elles soien paallèles, alos u 1 1 ; ; 0 vece diece de 1 es aussi un vece diece de omme S ; ; 0,1 Œ, Ìy, Œ es 01, une epésenaion paaméique de Δ es doies e son coplanaies ca dans donc elles son soi sécanes soi paallèles lles son sécanes s il exise des éels b e els que 05, b 5, Ì b e sysème équivau à Ì 1, ; il n a - b 0, 1 b 9, pas de soluion donc e ne son pas sécanes omme elles son coplanaies, on a paallèle à O on a supposé que es paallèle à 1, on obien alos paallèle à 1 ce qui es en conadicion avec 1 e non coplanaies onc 1 e son sécanes On démone de même que e son sécanes d l es possible de ouve une doie R passan pa S qui coupe 1 e : il suffi de pende po R la doie pécédene, inesecion des plans 1 e o alle plus loin : à l aide du logiciel Xcasf, on obien 19 57 16 ; 16 ; ˆ e 11 17 1ˆ - ; ; Voi ci-dessous : 6 6 6 vece diece de ne son pas colinéaies donc 1 e ne son pas paallèles lles son sécanes s il exise des éels a e b els que a 0, 5 b a Ì9 a b c es-à-die els que Ì a - - b 1 b e sysème n a pas de soluion donc 1 e ne son pas sécanes omme elles ne son pas paallèles, elles son non coplanaies hapie 10 oies, plans, veces de l espace 17
10 es poins,,, son coplanaies ca les doies O e O son sécanes donc les doies e son sécanes en un poin M qui es le poin d inesecion de e 10 omme,, e son non coplanaies, ;,, es un epèe de l espace ans ce epèe, 0 ; 0 ; 0, 1; 0 ; 0, 0 ; 0 ; 1 e 0 ; 0 ; 1 1 oodonnées des poins 1, Q 1, R e S dans le epèe pécéden : u 1 1 d où 1 0; 0; 1 ˆ u 1 1 Q1 Q1 1 1 d où Q1 ; ; 0 ˆ uuuu 1 1 S d où S ; 0 ; 0 ˆ u u 1 R R 1 u 1 1 d où R 0 1 1ˆ ; ; u 1 1ˆ Q 1 1 ; ;- es un vece diece de Q 1 1 donc u 1 ; 1;- 1 aussi e y, Œ es une epésenaion paaméique de 1 Q 1 R S ;- ;- Ì 1 z - u 1 1 1ˆ es un vece diece de R S donc v - 111 ; ; aussi e 1 x - Ì, Œ es une epésenaion paaméique y z de R S Q 1 1 e R S son sécanes si e seulemen si il exise 1 - des éels e els que Ì 1 - e sysème équivau à Ì 1 8 1 8 onc Q 1 1 e R S son sécanes en 1 1ˆ ; ; 8 8 8 oodonnées des poins n, Q n, R p e S p dans le epèe uuu n nˆ ;,, : n d où n 0; 0; u u n u n Qn Qn nˆ n n n ˆ - 1 d où Q n 1-0 ; ; u p p Sp d où S 6 p 6 ; 0 ; 0 ˆ u u p p R p R p 6 6 u p u pˆ p pˆ - 1 d où R 6 6 p 0 ; ; 1-6 6 nˆ Q n n passe pa n 0; 0; e a po vece diece n x 1 - u n n n Q uuuu ˆ n 1 n n - - ; ; donc Ìy, Œ n n z - es une epésenaion paaméique de Q n n p S p R p passe pa S p 6 ; 0 ; 0 ˆ e a po vece diece p p x - 6 6 uu p p pˆ S p R p - - ; ; 6 6 1 p donc Ìy, Œ 6 6 pˆ z - 1 6 es une epésenaion paaméique de S p R p Q n n e S p R p son sécanes si e seulemen si il exise des 1 ˆ - - n p p 6 6 n p éels e els que Ì e sysème 6 n n pˆ - 1-6 p 6 p n p 6 équivau à Ì soi Ì puisque l égalié 6 n n n p p n es véifiée losque e onc les 6 6 doies Q n n e R p S p son oujos sécanes en un uuuu p uu u n uuuuuu poin M el que nm 6 nq n e SnM SpM p omme 1 p 5 e 1 n, on a p Œ[ 0 ; 1] e n Œ[ 0 ; 1], 6 donc M es un poin des segmens [ n Q n ] e [ S p R p ] es poes [ n Q n ] e [S p R p ] son donc oujos sécanes 18
105 1 coupe le plan en omme e son paallèles, coupe aussi le plan en un poin On sai que es paallèle à, donc les doies e son coplanaies e Œ coupe suivan la doie omme e son paallèles, coupe aussi le plan suivan une doie paallèle à e son deux poins communs aux plans e donc = es donc le poin d inesecion de e de la paallèle à passan pa es doies e son coplanaies puisque dans le plan e non paallèles, elles son donc sécanes en un poin Œ, o à donc Œ // e // donc // e même que pécédemmen, les doies e son coplanaies e sécanes en un poin e Œ appaien à donc à appaien à donc à e son donc deux poins communs aux plans e coupe suivan e comme e son paallèles, coupe suivan la doie qui es paallèle à apès la fige, il semble que soi dans le caé où es le milieu de [], es le cene de la face, es le cene du cube e es le cene de la face uu On se place dans le epèe ;,, M0 ; ; 1 avec Œ[ 0 ; 1 ] e N ; 0 ; 0 avec Œ[ 0 ; 1 ] donc 1ˆ ; ; 0; 0; 1 ˆ ; 0 1 1ˆ ; ; ; 1 ; 0 ; 1 ˆ donc 0 ; 1 ; 0 ˆ ; 1 ; 00 ; ˆ omme ˆ ; ; 0, on a avec Œ[ 0 ; 1 ] e Œ[ 0 ; 1 ] ce qui pouve la conjece 107 On place e on nomme les poins nécessaies à la ésoluion du poblème s une fige ne especan pas les coes : 10 10 M 0 U V 0 T 50 Q 0 R On démone de même que les doies e son coplanaies e sécanes en un poin qui appaien à, que les doies e son coplanaies e sécanes en un poin M qui appaien à e que e son paallèles, M e son paallèles e M e son paallèles ombe du cube es donc fomée de quae apèzes :, M, M e e plus, comme la face du cube es un caé, M es un ecangle M U es le poin d inesecion de T avec le plan Q es le poin d inesecion de MR e Q a doie U es donc la doie d inesecion des plans MT e Q U es paallèle à RT ca les doies U e RT son les doies d inesecion especives du plan MT avec deux plans paallèles : Q e la face du cube conenan T es doies U e Q son sécanes en V uis, on effecue les calculs pemean de éponde à la quesion M 0 106 Voi la fige s le sie 10 0 Q 0 R hapie 10 oies, plans, veces de l espace 19
Q Q Q Q M 0 70 0 V 7 ; M MR 0 70 V Q 0 Q 7 voi deuxième fige d où 160 V ª, 86 7 U - 10 U M voi deuxième fige d où 0 ST MR 7 10 7U -70 60, soi U ª 18, 57 7 M 10 R S 0 U T onclusion : U V donc l épée es deièe l épée 108 1 e sysème evien à cheche les poins d inesecion évenuels des doies d e d de epésenaions paaméiques especives Ìy b e, Œ a d a d c f e Ì y b e, Œ z c f e sysème peu donc admee exacemen un unique couple soluion dans le cas où les deux doies son sécanes ou une infinié de soluions si les deux doies son confondues, mais pas exacemen deux couples soluions ou ois couples soluions o que le sysème admee un unique couple soluion il fau que les deux doies ne soien pas paallèles c es-à-die que les couples d ; e ; f e d ; e ; f ne soien pas popoionnels ee condiion n es pas suffisane ca dans ce cas les doies peuven êe non coplanaies e donc ne pas avoi de poin d inesecion e alos le sysème n a pas de soluion 7 ccompagnemen pesonnalisé 1 Éudie des posiions elaives de doies e de plans 1 a Éape 1 : Œ e Œ donc à 1 donc «= Éape : Œ e Œ donc à 1 donc «= Éape : // donc coupe suivan la doie passan pa e paallèle à qui coupe en N e Éape : N Œ e Œ donc N à 1 donc «= N b a secion du cube es le quadilaèe N On mone facilemen que N es un paallélogamme : à l éape, on a consui N el que N// ; de même, N// À l éape, on aai pu consuie la paallèle à passan pa en uilisan la popiéé Éape 1 : M e M son incluses especivemen dans les plans e 1 donc «M = M e «M = M Éape : M e son sécanes en N dans le plan Éape : N es incluse dans 1 e coupe en donc «M = Éape : // donc M coupe suivan la doie passan pa e paallèle à M qui coupe en Q e Éape 5 : Q e son dans donc Q à 1 e donc «M = Q a secion chechée es le penagone MQ o alle plus loin : à l éape, on peu consuie le poin d inesecion de M e puis elie ce poin à, ou à l éape, on aai pu consuie la paallèle à passan pa nepée des elaions vecoielles 1 M es un paallélogamme ; es poins,, M son alignés ; es poins, e M son alignés e M es le milieu de [] ; N es un paallélogamme ; M appaien au plan u ; égalié peu s écie : M -, donc la doie M es paallèle au plan ; les doies M e son paallèles ; la doie M es paallèle au plan ; la doiem es paallèle au plan 0 ou 1 u l exise un éel k el que M k 0
l exise des éels a e b els que M a u b u l u exise des éels c e d els que M c d l exise de éels e e f els que M e f émone que des poins son coplanaies u 1 1 1 a u 1 uu - 6 u 1 - u 1 1 1 -, ca es le milieu 1 de [] donc d apès la ègle du paallélogamme b -, 6 - e u 6 - d où 6 6-8 On a donc c On en dédui que,, e son coplanaies a es un éaède donc,,, ne son pas coplanaies e ;,, es un epèe de l espace ans ce epèe 0 ; 0 ; 0, 1 ; 0 ; 0, 0 ; 1 ; 0, 0 ; 0 ; 1, 0; 0; 1 ˆ, 1 1 ; ; 0 ˆ, ; 0; 0 ˆ 0 donc y d où 0 1ˆ ; ; Ì z -1 - b 1 1 1ˆ 0 1ˆ 1ˆ ; ;-, ; ;, 0 ; - ;- 6 On cheche s il exise deux éels a e b els que 1 a 1 a b c es-à-die els que Ì b 1 1 1 - - a- b 6 On ouve a e b e la e égalié es véifiée 1 1 1 - - - - 6 8 onc c On en dédui que Œ e donc que,, e son coplanaies a Voi s le sie b l semble que les doies e soien sécanes en un poin de qui es le syméique de pa appo à émonons-le On désigne pa Q le syméique de pa appo à es doies e son coplanaies ca elles son dans le plan émonons qu elles son sécanes en Q Q Q Q O es le milieu de [Q] donc d apès la ègle du paallélogamme Q 1 1 1 e donc Q Q Q Q u Q es veces Q e Q son colinéaies e donc les poins, e Q son alignés a suie les doies e son bien sécanes en Q e méhode uilisan le ésula suivan : es médianes d un iangle son concoanes en un poin appelé cene de gavié du iangle e siué aux / de chaque médiane en paan du somme ans le iangle Q, es le milieu de [Q] donc es une médiane omme, es le cene de gavié du iangle Q O es le milieu de [] donc Q es aussi une médiane e ŒQ es doies e Q son donc confondues e e son donc bien sécanes en Q es doies e son coplanaies ca elles son dans le plan Monons qu elles son sécanes en Q S Q u Q Q Q 1 O es le milieu de [] donc, d apès la ègle du u 1 paallélogamme, Q d où u 1 1 1 Q Q Q Q Q Q Q 1 u u u On a donc Q Q a suie, e Q son alignés e donc les doies e son sécanes en Q e méhode en inoduisan le poin S milieu de [] On se place dans le plan Q hapie 10 oies, plans, veces de l espace 1
ans le iangle S, es le milieu de [S] e es le milieu de [], donc es paallèle à S ans le iangle Q, es le milieu de [] e S es le milieu de [], donc S es paallèle à Q On en dédui que les doies e Q son paallèles omme elles on un poin commun, elles son confondues e donc les poins, e Q son alignés e les doies e son bien sécanes en Q c es doies, e son concoanes en Q n paiculie, les doies e son sécanes en Q, elles son donc coplanaies e les poins,, e égalemen