Chapitre 3 Hétéroscédasticité

Chaptre 3 Hétéroscédastcté Lcence Econométre Econométre II 007-008 Martn Fourner Fourner@gatecnrsfr L3 Econométre - Econométre II Présentaton du problème L3 Econométre - Econométre II Défnton du problème L hypothèse d homoscédastcté mpose que la varance des termes d erreur sot constante pour chaque observaton, e pour toutes valeurs des varables explcatves Reprenons le modèle lnéare général Il y a hétéroscédastcté lorsque l hypothèse H4 (cf ch Introductf) n est plus vérfée, sot : L3 Econométre - Econométre II 3

Hétéroscédastcté versus autocorrélaton Hétéroscédastcté Autocorrélaton L3 Econométre - Econométre II 4 3 Exemple Exemple : Lors de l estmaton du rendement de l éducaton, on peut penser que la varance en productvté propre nobservable dffère selon les nveaux d éducaton attents : ln( salare ) = α educaton + X β + u avec Var( u ) = foncton( educaton ) L3 Econométre - Econométre II 5 4 Représentaton graphque f(y x) y E(y x) = β0 + β x x x x 3 x L3 Econométre - Econométre II 6

Les sources usuelles du problème L3 Econométre - Econométre II 7 Les sources usuelles du problème Varables explcatves nobservées de varance dfférentes pour certans groupes (défns par des varables observées) ex : - productvté nobservée par nveaux d éducaton - qualté nobservée d un ben par nveau de prx - détermnants socologques du taux d épargne par nveau de revenu L3 Econométre - Econométre II 8 Exemple Modèle de la part du revenu dsponble dépensé en losrs Les famlles à fables revenus dépensent relatvement peu en losrs Les varatons de ces dépenses entre ces famlles sont donc fables Pour les famlles avec des revenus mportants, le montant moyen relatf dépensé en losrs sera plus élevé, mas l y aura une plus grande varablté entre de telles famlles Hétéroscédastcté L3 Econométre - Econométre II 9 3

3 Les sources usuelles du problème () Modèle à «coeffcents aléatores» S le modèle sous-jacent est : Alors Y = X ( β + ε ) + u Y = X β + ( X ε + u ) 443 Et, avec des termes d erreurs ndépendants : η L3 Econométre - Econométre II 0 4 Les sources usuelles du problème (3) Observatons représentant des moyennes sur des sous-groupes d ndvdus Répétton d une même valeur de la varable à explquer pour des valeurs dfférentes d une varable explcatve (ex: regroupement en tranches pour le revenu, etc) L3 Econométre - Econométre II 3 Les conséquences L3 Econométre - Econométre II 4

3 Pourquo se soucer de l hétéroscédastcté? Les MCO restent sans bas et convergents, même en présence d hétéroscédastcté La matrce de varance covarance des coeffcents estmés est basée en présence d hétéroscédastcté On ne peut plus applquer les tests d hypothèse usuels post-estmaton (t statstcs, F statstcs ou LM statstcs) NB : La nature du problème et ses solutons sont proches de celles déjà analysées pour l autocorrélaton des termes d erreur L3 Econométre - Econométre II 3 3 Pourquo se soucer de l hétéroscédastcté? () L estmateur des MCO est sans bas : (cf chaptre ) La varance de l estmateur des MCO est basée L3 Econométre - Econométre II 4 4 Corrger la matrce de varancecovarance a Régressons «robustes» L3 Econométre - Econométre II 5 5

4 L approche de Whte (980) On vent de vor que : Sauf cas partculer, la forme de l hétéroscédastcté est nconnue et la matrce n est donc pas accessble Approche de Whte : pour obtenr un estmateur de la varance de l estmateur, l sufft d avor un estmateur de : X 'Ω X u Ω u L3 Econométre - Econométre II 6 4 L approche de Whte () Whte (980) montre que, sous des condtons très générales, la matrce : n S = e X X ' n = Est un estmateur sans bas de Σ = X ' Ω u X n avec e le -ème terme résduel ssu de l estmaton du modèle par MCO On peut donc corrger la varance de l estmateur de β par la «matrce de Whte» pour obtenr : W Ω = n( X ' X ) Sˆ( X ' X ˆ ) β L3 Econométre - Econométre II 7 43 Matrce de varance-covarance «robuste» La correcton par la matrce de Whte fournt une estmaton convergente de la matrce de varancecovarance des paramètres estmés Cette estmateur peut-être utlsé pour mettre en œuvre les tests usuels post-estmaton Les écart-types corrgés par la matrce de Whte sont appelés «robustes» Certans travaux suggèrent de corrger la matrce de Whte par le rapport n/(n k ) NB : Lorsque n les deux approches sont équvalente et la démarche en deux étapes n est valde qu asymptotquement L3 Econométre - Econométre II 8 6

43 Matrce de varance-covarance «robuste» () Il est mportant de garder à l esprt que les régressons «robustes» n ont de justfcaton qu asymptotquement Sur des échantllons de pette talle, les t de Student dérvés des estmatons «robustes» n ont pas une dstrbuton proche du t et les tests sont nvaldés La correcton par la matrce de Whte est préprogrammée sur tous les logcels d économétre Sous Stata, les estmatons «robustes» sont obtenues par l nstructon reg y x x, robust L3 Econométre - Econométre II 9 5 Corrger la matrce de varancecovarance b Les Mondres Carrés Pondérés (Weghted Least Squares) L3 Econométre - Econométre II 0 5 Les Mondres Carrés Pondérés Dsposer d nformatons supplémentares sur la forme de l hétéroscédastcté rencontrée permet toujours de dérver un estmateur plus effcace que celu donné par l estmaton «robuste» L dée générale est de transformer le modèle en un modèle à erreurs homoscédastques NB : cf nformaton sur la forme de l autocorrélaton dans le ch L3 Econométre - Econométre II 7

8 L3 Econométre - Econométre II 5 Forme de l hétéroscédastcté connue à une constante près Supposons que l hétéroscédastcté pusse être modélsée sous la forme : Var(u x) = σ h(x) avec h = h(x ) connu On peut alors écrre et applquer des MCG (cf chaptre ) Ψ = = Ω 0 0 0 0 0 0 σ σ n n u h h h h L3 Econométre - Econométre II 3 53 Mondres Carrés Généralsés L estmateur des MCG, donné par : est alors BLUE (cf démonstraton du chaptre ) ˆ ) ' ( ) ' ( ) ' ( ) ' ( ˆ Ψ = Ω = Ω Ω Ω = X X X X avec Y X X X u u u MCG MCG σ β β L3 Econométre - Econométre II 4 54 Mondres Carrés Généralsés L estmateur des MCG est alors l estmateur des MCO sur le modèle transformé : Preuve : k k x h b x h b x h b h b h y + + + + = 0

55 MCG et MCP (GLS & WLS) Les MCG sont dans ce cas équvalents à des Mondres Carrés Pondérés (Weghted Least Squares - WLS) car la procédure revent à pondérer chaque observaton par l nverse de Var(u x ) Idée : Mathématquement, les MCG dans ce cas mnmsent la somme des carrés des résdus du modèle transformé, sot : SSR * = n = ( y b b x 0 b x b x ) Le pods accordé au carré du résdu de chaque observaton est donc nversement proportonnel à la varance de son terme d erreur L3 Econométre - Econométre II 5 k k / h 56 Les Mondres Carrés Pondérés () Au leu de transformer le modèle pour applquer les MCO sur un modèle transformé homoscédastque, l est donc équvalent d applquer les MCO sur des observatons pondérées par l nverse de la varance de leurs résdus L dée est alors smplement de mnmser la somme pondérée (par /h ) des carrés des résdus L3 Econométre - Econométre II 6 57 Les Mondres Carrés Pondérés (3) Les MCP (WLS), comme les MCG (GLS) nécesstent de connaître la forme de Var(u x ) Dans la plupart des cas, on ne sat ren sur la matrce de varance-covarance des résdus L3 Econométre - Econométre II 7 9

6 Corrger la matrce de varancecovarance c Les Mondres Carrés Quas Généralsés (Feasble Generalzed Least Squares) L3 Econométre - Econométre II 8 6 Les Mondres Carrés Quas Généralsés (FGLS) Dans le cas général, on ne connaît pas la forme de l hétéroscédastcté On a donc beson d en trouver un estmateur de h(x ) Par exemple, on peut partr d une forme d hétéroscédastcté assez flexble du genre : Var(u x) = σ exp(δ 0 + δ x + + δ k x k ) Il faudra alors trouver un estmateur des paramètres δ ι ΝΒ : la foncton h dot être postve L3 Econométre - Econométre II 9 6 Les Mondres Carrés Quas Généralsés () Notre hypothèse Var(u X)=E(u u X)= σ exp(δ 0 + δ x + + δ k x k ) peut s écrre sous la forme : u = σ exp(δ 0 + δ x + + δ k x k )v avec E(v x) = Or E(v) = g =ln(u ) = α 0 + δ x + + δ k x k + e avec E(e) = et e ndépendant de X Comme û est un estmateur de u (les MCO restent sans bas), cette relaton peut être estmée par les MCO L3 Econométre - Econométre II 30 0

63 Les Mondres Carrés Quas Généralsés (3) On dspose donc désormas d un estmateur de h par ĥ = exp(ĝ ), / exp(ĝ ) fournt un système de pondératon adéquat L3 Econométre - Econométre II 3 64 Les Mondres Carrés Quas Généralsés (4) Résumé de la procédure : ) Estmaton des MCO sur le modèle orgnal sans tenr compte de l hétéroscédastcté ) Sauvegarde des résdus emprques û et computaton de ln(û ) 3) Régresson de ln(û ) sur toutes les varables explcatves 4) Sauvegarde des valeurs prédtes ĝ(û ) 5) Estmaton par Mondres Carrés Pondérés avec comme pondératon : /exp(ĝ) L3 Econométre - Econométre II 3 65 Mses en garde par rapport aux MCQG Dans le doute sur la présence et la forme de l hétéroscédastcté, l peut être tentant de prendre une forme usuelle et d applquer les MCQG (d autant plus tentant s le logcel utlsé propose une procédure smple ) Attenton! S les termes d erreurs sont homoscédastques, l estmateur des MCQG sera basé et relatvement peu effcace par rapport aux MCO L3 Econométre - Econométre II 33

66 Mses en garde par rapport aux MCQG () La procédure repose sur une hypothèse sur la forme de l hétéroscédastcté, dans notre exemple : Var(u x) = σ exp(δ 0 + δ x + + δ k x k ) Dans le cas général, on n a aucune nformaton sur la forme de l hétéroscédastcté L3 Econométre - Econométre II 34 7 Tester la présence d hétéroscédastcté L3 Econométre - Econométre II 35 7 Tester la présence d hétéroscédastcté L dée générale est de tester l hypothèse nulle : H 0 : Var(u x, x,, x k ) = σ ce qu est équvalent à tester l hypothèse nulle : H 0 : E(u x, x,, x k ) = E(u ) = σ S l on suppose que la relaton entre u et x j est lnéare : u = δ 0 + δ x + + δ k x k + v tester H o revent à tester : H 0 : δ = δ = = δ k = 0 L3 Econométre - Econométre II 36

7 Le test de Breusch-Pagan On n observe pas les vras termes d erreur On peut en revanche les estmer à partr des termes d erreurs de la régresson par MCO (NB : les MCO restent sans bas) Après avor régressé le carré des résdus sur toutes les varables explcatves X, le R peut être utlsé pour former un F-test ou un LM-test L3 Econométre - Econométre II 37 73 Le test de Breusch-Pagan () Une statstque de test de la sgnfcatvté globale de la régresson est donnée par : F = [R /k]/[( R )/(n k )] qu sut une dstrbuton F k, n k Une autre statstque de test consste à effectuer un test du Multplcateur de Lagrange (LM-test) donné par : LM = nr qu sut une dstrbuton χ k L3 Econométre - Econométre II 38 74 Le test de Whte Le test de Breusch-Pagan permet de détecter les formes lnéares d hétéroscédastcté Le test de Whte permet de prendre en compte les non-lnéartés en utlsant les carrés et les produts crosés de toutes les varables explcatves Il s agt donc de la même procédure en ntrodusant juste tous les x j, x j, et x j x j et en testant que les paramètres assocés sont conjontement sgnfcatfs (F-test ou LM-test) NB : On arrve rapdement à un nombre de paramètres à estmer mpratcable L3 Econométre - Econométre II 39 3

75 Une forme alternatve du test de Whte Les valeurs smulées par la régresson MCO y ˆ = X βˆ sont foncton de toutes les varables explcatves X En conséquence, ŷ est une foncton des carrés et des produts crosés des explcatves et ŷ et ŷ peuvent être utlsés pour représenter les non lnéartés x j, x j, x j x j L3 Econométre - Econométre II 40 76 Une forme alternatve du test de Whte () Une approche consste donc à : ) Régresser le carré des résdus des MCO sur les valeurs smulées ŷ et ŷ ) Construre un F-test ou un LM-test à partr du R de cette estmaton pour tester la sgnfcatvté jonte des coeffcents NB : - On ne teste plus que restrctons - Ce test repose sur une hypothèse forte concernant la forme de l hétéroscédastcté mas n mpose pas la lnéarté de cette forme L3 Econométre - Econométre II 4 77 Le test de Goldfeld-Quandt Procédure applcable dans le cas où la théore permet d envsager une hétéroscédastcté causée par une seule explcatve (x ) : ) Trer les observatons par les valeurs de la varable explcatve soupçonnée source d hétéroscédastcté (corrélée avec u ) ) Supprmer la parte des données trées qu se trouve au mleu de l échantllon (~/5ème des données) 3) Estmatons séparées (MCO) sur les deux sous échantllons (hautes et basses valeurs de x ) L3 Econométre - Econométre II 4 4

78 Le test de Goldfeld-Quandt () Les rapport des varances des termes d erreur des deux régressons sut une dstrbuton de Fsher : σ GQ = = F σ [( N K ),( N K )] N -K est le nombre de degrés de lberté de la premère régresson et N -K celu de la seconde L3 Econométre - Econométre II 43 8 Quelques exemples Sources : - Verbeek M, 000, A gude to modern Econometrcs, Wley - Cécle Dessendre et Vrgne Pguet, Problèmes d hétéroscédastcté : le recours aux mondres carrés généralsés, Note INRA-ESR, 994 - Florence Goffette-Nagot, Estmaton d une foncton de demande de traval ndvduelle : Exemple de tratement de l hétéroscédastcté, Note Unversté Lyon, 005 L3 Econométre - Econométre II 44 8 Un exemple d estmaton robuste reg y x x Source SS df MS Number of obs = 0000 -------------+------------------------------ F(, 9997) = 769 Model 8077698 903858489 Prob > F = 00005 Resdual 7574477 9997 7609759 R-squared = 0005 -------------+------------------------------ Adj R-squared = 0003 Total 775548 9999 776705 Root MSE = 0845 y Coef Std Err t P> t [95% Conf Interval] x 366834 08386 338 000 54366 57965 x 6955 090385 99 0047 0376 430693 _cons -040984 08448-88 0060-466787 08488 Sous-estmaton de la varance sans prse en compte de l hétéroscédastcté reg y x x, robust Lnear regresson Number of obs = 0000 F(, 9997) = 435 Prob > F = 009 R-squared = 0005 Root MSE = 0845 Robust y Coef Std Err t P> t [95% Conf Interval] x 366834 35506 7 0007 094 63438 x 6955 693353 8 000-4976 548886 _cons -040984 084378-88 0060-466584 08465 L estmaton «robuste» ne corrge que la matrce de varance-covarance L3 Econométre - Econométre II 45 5

8 Épargne et revenu Modèle : Épargne = αrevenu + β Régresson par les MCO : Source SS df MS Number of obs = 9 -------------+----------------------------- F(, 7) = 585 Model 45443843 45443843 Prob > F = 00000 Resdual 5383743 7 46438434 R-squared = 0669 -------------+----------------------------- Adj R-squared = 06494 Total 37087586 8 343844 Root MSE = 55 épargne Coef Std Err t P> t [95% Conf Interval] -------------+--------------------------------------------------------------- revenu 0646433 008897 77 0000 046399 088876 _cons 5866935 338975 5 008 067754 0666 L3 Econométre - Econométre II 46 +-------------------+ 8 Épargne et revenu () revenu resd ------------------- 990 69055 000 04409 3 080-3737 4 00 5579764 On soupçonne de l hétéroscédatcté / revenu : 5 00-44036 ------------------- Test de Goldfeld et Quandt : 6 0-573 7 50 73476 8 50 73476 9 00 9544 On estme la varance pour deux sous-groupes 0 00-5884564 ------------------- 50 8837 Obs à : SCR=098 300 65 3 350 94894 4 350-05806 5 500-407755 Obs 9 à 9 : SCR= 4378 ------------------- 550-35097 6 7 750-5643837 ce qu donne : 8 800 03947 9 3000-35999 Fcalculé=398 0 3000 74008 ------------------- Statstque théorque lue dans la table à 9 (=-) 3000-759987 300 07947 degrés de lberté : 38 3 3050 96865 4 300-390635 5 30 46436 On rejette H0 : homoscédastcté ------------------- 330 899787 6 7 300 34476 8 350 3999 L3 Econométre - Econométre II 4775665 47 9 3350 +-------------------+ 8 Épargne et revenu (3) Correcton de la matrce de varance par la matrce de Whte Source SS df MS Number of obs = 9 -------------+----------------------------- F(, 7) = 585 Model 45443843 45443843 Prob > F = 00000 Resdual 5383743 7 46438434 R-squared = 0669 -------------+----------------------------- Adj R-squared = 06494 Total 37087586 8 343844 Root MSE = 55 épargne Coef Std Err t P> t [95% Conf Interval] -------------+--------------------------------------------------------------- revenu 0646433 008897 77 0000 046399 088876 _cons 5866935 338975 5 008 067754 0666 Regresson wth robust standard errors Number of obs = 9 F(, 7) = 7338 NB : valeurs des coeffcents nchangés mas Prob > F = 00000 modfcaton de la varance R-squared Root MSE = 0669 = 55 Robust épargne Coef Std Err t P> t [95% Conf Interval] -------------+--------------------------------------------------------------- revenu 0646433 007546 857 0000 049599 08067 _cons 5866935 867 33 0003 4055 959339 L3 Econométre - Econométre II 48 6

83 Estmaton d une foncton de demande de traval Objectf : Analyser les détermnants de la demande de traval à l échelle de la frme Rôles respectfs de la quantté produte et du coût des facteurs de producton : traval et captal Modèle économque : Foncton de producton : Q = f (K, L) Coût de producton : c = rk + wl Mnmsaton de la foncton de coût Foncton de demande de traval (testable) L = g (Q, r, w) L3 Econométre - Econométre II 49 83 Estmaton d une foncton de demande de traval () Modèle économétrque : r n est pas connu, utlsaton d une proxy : stock de captal K Chox d une forme lnéare et ajout du terme d erreur L = a 0 + a Q + a K + a 3 w + u L3 Econométre - Econométre II 50 83 Estmaton d une foncton de demande de traval (3) Données : Echantllon de 596 entreprses belges captal: mmoblsatons, fn 995 trav : nombre d employés prod : valeur ajoutée (mllons de FB) salare : coût salaral par employé reg traval salare prod captal L = a 0 + a Q + a K + a 3 w + u Source SS df MS Number of obs = 569 -------------+------------------------------ F( 3, 565) = 760 Model 989434 3 66343746 Prob > F = 00000 Resdual 3795085 565 4459797 R-squared = 0935 -------------+------------------------------ Adj R-squared = 09348 Total 7385 568 374539 Root MSE = 566 traval Coef Std Err t P> t [95% Conf Interval] salare -675 4934-345 0000-95384 -477 prod 3876 008858 4330 0000 3644465 3990779 captal -37937 0066675-707 0000-68898 -006976 _cons 87786 96476 465 0000 49388 36984 L3 Econométre - Econométre II 5 7

84 Test de Breusch-Pagan Prncpe : Test H 0 : E(u t ) = σ contre H : E(u t ) = g (Z t θ) Méthode : Estmer la varance de l erreur en régressant les résdus d une étape en MCO sur les explcatves /* reg auxlare des carres des resdus */ reg res_ salare prod captal Source SS df MS Number of obs = 569 -------------+------------------------------ F( 3, 565) = 605 Model 69733e+ 3 344e+ Prob > F = 00000 Resdual 507e+ 565 8870e+09 R-squared = 0588 -------------+------------------------------ Adj R-squared = 05796 Total 985e+3 568 00e+0 Root MSE = 948 res_ Coef Std Err t P> t [95% Conf Interval] salare 56733 749663 076 0449-90478 038804 prod 3938 533634 50 0000 4869 433607 captal -8784008 408759-86 0000-957336 -7994655 _cons -795 83888-9 0055-45973 5340698 L3 Econométre - Econométre II 5 84 Test de Breusch-Pagan () La statstque de Breusch-Pagan est donnée par : BP = N * R À partr de la régresson des carrés des résdus sur les varables explcatves : BP = 569 x 0588 = 3304 à comparer à un χ à 3 degrés de lberté (3 varables explcatves) Valeur seul à 5% : 7,8 L3 Econométre - Econométre II 53 85 Estmaton du modèle en logarthme /* ols sur modele en log qu découlerat d une Cobb-Douglas */ reg ln_trav ln_sala ln_prod ln_capt Source SS df MS Number of obs = 569 ----------+------------------------------ F( 3, 565) = 00 Model 65674703 3 895677 Prob > F = 00000 Resdual 33885 565 658876 R-squared = 08430 ----------+------------------------------ Adj R-squared = 084 Total 779085847 568 376300 Root MSE = 46533 --------------------------------------------------------------------------- ln_trav Coef Std Err t P> t [95% Conf Interval] ----------+---------------------------------------------------------------- ln_sala -97764 074046-99 0000-06805 -78753 ln_prod 9900474 06403 3749 0000 93873 049 ln_capt -0036975 087697-00 0844-0405644 033695 _cons -4480909 093397-48 0000-6396 -6495 --------------------------------------------------------------------------- L3 Econométre - Econométre II 54 8

86 Test de Breusch-Pagan sur le modèle en logarthme reg res_ln ln_sala ln_prod ln_capt Source SS df MS Number of obs = 569 -------------+------------------------------ F( 3, 565) = 59 Model 635076 3 046905 Prob > F = 0059 Resdual 44480546 565 78765745 R-squared = 0036 -------------+------------------------------ Adj R-squared = 00083 Total 45098653 568 793888473 Root MSE = 8878 res_ln Coef Std Err t P> t [95% Conf Interval] ln_sala 453633 36536 80 007-00658 5794 ln_prod 00035 0503589 00 0995-0985885 099386 ln_capt -069584 0357899-76 0079-33558 007339 _cons 403345 777885 7 004 054344 755485 L3 Econométre - Econométre II 55 87 Test de Breusch-Pagan sur le modèle en logarthme () La statstque de Breusch-Pagan est donnée par : BP = N * R À partr de la régresson des carrés des résdus sur les varables explcatves : BP = 569 x 0036 = 774 à comparer à un χ à 3 degrés de lberté (3 varables explcatves) Valeur seul à 5% : 7,8 Zone d ncerttude Valeur seul à 0% : 6,5 L3 Econométre - Econométre II 56 88 Test de Whte sur le modèle en logarthme reg res_ln ln_sala ln_prod ln_capt ln_prod_ ln_sala_ ln_capt_ ln_sal_prod ln_sal_capt ln_capt_prod Source SS df MS Number of obs = 569 -------------+------------------------------ F( 9, 559) = 7 Model 46396004 9 55555 Prob > F = 00000 Resdual 40453649 559 736700 R-squared = 009 -------------+------------------------------ Adj R-squared = 00884 Total 45098653 568 793888473 Root MSE = 85069 res_ln Coef Std Err t P> t [95% Conf Interval] ln_sala 3590893 55579 065 058-734634 45064 ln_prod -774068 43757-39 000-5047 -979899 ln_capt 3800697 457767 6 0009 093737 6664068 ln_prod_ 38978 0356469 388 0000 068795 086 ln_sala_ 974 589535 074 0457-358996 7038 ln_capt_ 0895374 039874 640 0000 06063 708 ln_sal_prod 38038 6567 085 0396-8704 4573464 ln_sal_capt -57788 04967-40 007-4579568 -0456007 ln_capt_p~d -96049 0368665-50 0000-64087 -99 _cons 33639 457853 89 0004 4436 96 L3 Econométre - Econométre II 57 9

89 Test de Whte sur le modèle en logarthme () La statstque de Breusch-Pagan est donnée par : BP = N * R À partr de la régresson des carrés des résdus sur les varables explcatves : BP = 569 x 009 = 5855 à comparer à un χ à 3 degrés de lberté (3 varables explcatves) Valeur seul à 5% : 7,8 Valeur seul à % :,67 L3 Econométre - Econométre II 58 80 MCO avec correcton par la matrce de Whte /* ols sur modele lneare avec correcton de Whte */ reg ln_trav ln_sala ln_prod ln_capt, robust Regresson wth robust standard errors Number of obs = 569 F( 3, 565) = 54473 Prob > F = 00000 R-squared = 08430 Root MSE = 46533 Robust ln_trav Coef Std Err t P> t [95% Conf Interval] ln_sala -97764 0866604-07 0000-09798 -7575483 ln_prod 9900474 046790 6 0000 898434 0895 ln_capt -0036975 037877-00 09-0780944 0706995 _cons -4480909 3388-336 000-709898 -869 /* rappel : ols sur modele en log */ --------------------------------------------------------------------------- ln_trav Coef Std Err t P> t [95% Conf Interval] ----------+---------------------------------------------------------------- ln_sala -97764 074046-99 0000-06805 -78753 ln_prod 9900474 06403 3749 0000 93873 049 ln_capt -0036975 087697-00 0844-0405644 033695 _cons -4480909 093397-48 0000-6396 -6495 --------------------------------------------------------------------------- L3 Econométre - Econométre II 59 8 Les MCQG Mse en œuvre des MCQG Hypothèse : hétéroscédastcté multplcatve, E(u t ) = σ exp (Z t θ ) Méthode : Estmer la foncton qu le la varance aux explcatves /* calcul des log des carrés des résdus estmés va ols */ /* et régresson sur les explcatves et leurs carrés */ reg ln_res_ln ln_sala ln_prod ln_capt ln_prod_ ln_sala_ ln_capt_ Source SS df MS Number of obs = 569 -------------+------------------------------ F( 6, 56) = 330 Model 989567905 6 6497984 Prob > F = 00034 Resdual 8083368 56 499703946 R-squared = 00340 -------------+------------------------------ Adj R-squared = 0037 Total 907997 568 5847354 Root MSE = 354 ln_res_ln Coef Std Err t P> t [95% Conf Interval] ln_sala -7467749 5474364-36 073-8046 384964 ln_prod 774906 50358 035 074-808806 63783 ln_capt -5585974 957-55 00-988983 -87 ln_prod_ 003735 04736 003 0977-094006 094475 ln_sala_ 653485 486335 34 080-30879 608685 ln_capt_ 0306933 067996 5 053-09463 083333 _cons -34707 77843-99 0047-4655 -08943 test ln_prod_ ln_sala_ ln_capt_ Modèle lnéare ( ) ln_prod_ = 0 ( ) ln_sala_ = 0 F( 3, 56) = 85 retenu ( 3) ln_capt_ = 0 L3 Econométre Prob - Econométre > F = II 0367 60 0

8 Les MCQG () étape : Utlser la varance prédte pour transformer le modèle estmé E( u t ) = σ exp( Z tθ) Donc on dvse toutes les varables, y comprs la constante, par exp( θˆ) /* MCQG : reg du modèle transforme */ reg tr_ln_trav tr_ln_sala tr_ln_prod tr_ln_capt Z t Source SS df MS Number of obs = 569 -------------+------------------------------ F( 3, 565) = 8055 Model 339363864 3 388 Prob > F = 00000 Resdual 35399583 565 66533776 R-squared = 09055 -------------+------------------------------ Adj R-squared = 09050 Total 3747630 568 659794053 Root MSE = 503 tr_ln_trav Coef Std Err t P> t [95% Conf Interval] tr_ln_sala -86588 07959-03 0000-007 -74544 tr_ln_prod 099634 0356783 308 0000 09556 6973 tr_ln_capt -333068 065309-50 0000-8548 -08957 _cons -400305 443749-54 0000-370973 -59637 L3 Econométre - Econométre II 6 83 Synthèse OLS : Ecarts-types basés --------------------------------------------------------------------------- ln_trav Coef Std Err t P> t [95% Conf Interval] ----------+---------------------------------------------------------------- ln_sala -97764 074046-99 0000-06805 -78753 ln_prod 9900474 06403 3749 0000 93873 049 ln_capt -0036975 087697-00 0844-0405644 033695 _cons -4480909 093397-48 0000-6396 -6495 --------------------------------------------------------------------------- OLS avec correcton de Whte Robust ln_trav Coef Std Err t P> t [95% Conf Interval] ln_sala -97764 0866604-07 0000-09798 -7575483 ln_prod 9900474 046790 6 0000 898434 0895 ln_capt -0036975 037877-00 09-0780944 0706995 _cons -4480909 3388-336 000-709898 -869 MCQG avec hétéroscédastcté multplcatve tr_ln_trav Coef Std Err t P> t [95% Conf Interval] tr_ln_sala -86588 07959-03 0000-007 -74544 tr_ln_prod 099634 0356783 308 0000 09556 6973 tr_ln_capt -333068 065309-50 0000-8548 -08957 _cons -400305 443749 L3 Econométre --54 Econométre 0000 II -370973-59637 6