Déprtement e mthémtiques Cégep e Sint-Lurent Algère linéire et géométrie vectorielle 201-NYC Automne 2014 Ynnick Delecque Propriétés es vecteurs et géométrie ffine Résumé es propriétés Axiomes espce vectoriel : V1 u + v = v + u (commuttivité) V2 ( u + v) + w = u + (v + w) (ssocitivité) V3 Pour tout u 0 ns V il existe un unique vecteur u tel que u + ( u) = 0 (existence un inverse) V4 u + 0 = u (élément neutre) V5 1 u = u V6 ( u) = () u V7 ( + ) u = u + u V8 ( u + v) = u + v Théorèmes générux espces vectoriels : T1 0 est le seul vecteur v tel que u + v = u pour tout vecteur u T2 u est le seul vecteur v tel que u + v = 0 T3 0 u = 0 pour tout vecteur u T4 0 = 0 pour tout sclire T5 ( 1) u = u Définition : u v ( u est prllèle à v s il existe un sclire k tel que u = k v. Définition : u v = u + ( v) Axiomes espces ffines : A1 Si v est un vecteur quelconque et A un point, lors il y un unique B tel que v = AB A2 Si AB = AC, lors B = C A3 Si AC = BC, lors A = B A4 AB + BC = AC (reltion e Chsles) Théorèmes espces ffines : TA1 AA = 0 TA2 AB = BA TA3 si AB = CD, lors AC = BD Aition ffine : A + u = B ssi u = AB. Propriétés vec cette nottion : Si u est un vecteur quelconque et A un point, lors il y un unique B tel que A + u = B (A + u) + v = A + ( u + v) (reltion e Chsles) 1 Espces vectoriels Définition 1. Un espce vectoriel est un ensemle V vec un élément spécil 0 et eux opértions (l ition vectorielle + et le prouit pr un sclire, noté pr juxtposition), qui stisfont les xiomes suivnts : V1 u + v = v + u (commuttivité) V2 ( u + v) + w = u + (v + w) (ssocitivité) V3 u + 0 = u (élément neutre) V4 Pour tout u 0 ns V il existe un unique vecteur u tel que u + ( u) = 0 (existence un inverse) V5 1 u = u V6 ( u) = () u V7 ( + ) u = u + u V8 ( u + v) = u + v Theorème 1 (Unicité u vecteur zéro). Si v est tel que pour n importe quel vecteur u lors v = 0. u + v = u Démonstrtion. On suppose que pour tout vecteur u on u + v = u. Si on pren le cs prticulier u = 0, on Pr V1, et pr V4 On onc que c est à ire que v = 0. 0 + v = 0. 0 + v = v + 0 v + 0 = v. 0 = 0 + v = v + 0 = v, Theorème 2. L inverse u un vecteur u est unique. Autrement it, le vecteur u qui existe selon l xiome V3 est le seul ynt l propriété u + ( u) = 0. Démonstrtion. Supposons qu il y eux vecteurs u et u tels que u + ( u) = 0 et u + ( u ) = 0.
p. 2 Propriétés es vecteurs et géométrie ffine Dns ce cs, u + ( u) = 0 ( u ) + ( u + ( u) ) = ( u ) + 0 ition e ( u ) (( u ) + u) + ( u) = ( u) + 0 ( u + ( u ) + ( u) = ( u) + 0 0 + ( u) = ( u ) + 0 ( u) + 0 = ( u ) + 0 pr V2 pr V1 pr hypothèse pr V1 ( u) = ( u ) pr V4 Notons que comme l inverse est unique, l opértion est une opértion ien éfinie (elle onne une seule vleur u pour chque vecteur u). Theorème 3. Pour tout vecteur u, Démonstrtion. 0 u = (0 + 0) u 0 u = 0 u + 0 u 0 u = 0. 0 u + ( 0 u) = (0 u + 0 u) + ( 0 u) Theorème 4. 0 = (0 u + 0 u) + ( 0 u) 0 = 0 u + (0 u + ( 0 u)) 0 = 0 u + 0 pr V7 ition e 0 u pr V4 pr ssocitivité (V2) pr V4 0 = 0 u pr V3 0 = 0. Démonstrtion. On utilise le théorème 1. 0 = 0 0 = ( 0 + 0) 0 = 0 + 0 0 + ( 0) = ( 0 + 0) 0 0 = ( 0 + 0) 0 0 = 0 + ( 0 0) 0 = 0 + 0 toujours vri pr V4 pr V8 jout e 0 pr V3 pr V2 pr V3 0 = 0 pr V4 Theorème 5. Pour tout vecteur u, ( 1) u = u. Démonstrtion. Comme l inverse est unique, il suffit e montrer que ( 1) u l propriété qui éfinit l inverse ns V4. u + ( 1) u = (1 1) u = 0 u pr V6 = 0 pr 3 Définition 2. (ifférence e vecteurs) L ifférence entre u et v est le vecteur u v ef = u + ( v). 2 Espce ffine Définition 3. Un espce ffine est un ensemle X e «points» vec une opértion qui ssocie à chque pire e points A et B un unique vecteur AB pris ns un espce vectoriel. Cette opértion oit stisfire les xiomes suivnts : A1 Si v est un vecteur quelconque et A un point, lors il y un unique B tel que v = AB A2 Si AB = AC, lors B = C A3 Si AC = BC, lors A = B A4 AB + BC = AC (reltion e Chsles) Aition ffine : on note A + u l trnsltion u point A pr le vecteur u. Reltion e Chsles, version ition ffine (A+ u)+ v = A+( u+ v) Theorème 6.?? Dns un espce ffine, AA = 0. Démonstrtion. Soit u un vecteur quelconque. Pr l xiome A1, il existe un unique point B tel que v = AB. u + AA = AA + u = AA + AB pr V1 pr V1 = AB pr A4 = u Comme o est l unique vecteur ynt cette propriété (théorème 1), on oit voir que AA = 0. Theorème 7. Dns un espce ffine, AB = BA. Démonstrtion. AB + BA = AA pr A4 = 0 pr?? Algère linéire et géométrie vectorielle 201-NYC Automne 2014
Propriétés es vecteurs et géométrie ffine p. 3 Comme pr le théorème 5 l inverse AB est unique vecteur ynt cette propriété, on conclue que BA = AB. Theorème 8. Si AB = CD, lors AC = BD. Démonstrtion. AC = AB + BD + DC = AB + DC + BD V1 = AB CD + BD thm. 7 = AB AB + BD = 0 + BD pr A4 eux fois cr AB = CD pr hypothèse pr V4 = BD pr V3 3 Cominisons linéires et ses Définition 4. Un vecteur u est une cominison linéire es vecteurs v 1,..., v n s il existe es sclires 1,..., n tels que u = 1 v 1 + + n v n = n k v k. k=1 3.2 Bses Définition 6. Les vecteurs v 1,, v n forment une se si et seulement si B1 tout vecteur u est une cominison linéire e v 1,, v n (fmille génértrice) et B2 v 1,, v n sont linéirement inépennt. Theorème 10 (Dimension). Tout espce vectoriel u moins une se. Toutes les ses un espce vectoriel onné ont l même tille. Définition 7. L imension un espce vectoriel est l tille une e ses ses. Si l imension un espce vectoriel est n, lors, en consiérnt les vecteurs comme onnées pr leurs composntes, on peut consiérer que l espce est R n. (On it que l espce vectoriel est isomorphe à R n. 3.3 Composntes Nottion : v 1,, v n est une liste oronnée e vecteurs. Nottion : soit B = v 1,, v n une se oronnée. On écrit pour ire que u = ( 1,, n ) B u = 1 v 1 + n v n. Note : on peut utiliser l nottion sigm pour exprimer l somme e vecteurs e mnière plus compcte. L cominison linéire e l ernière éfinition peut insi s écrire e l mnière suivnte : n k v k = 1 v 1 + + n v n. k=1 3.1 Inépennce linéire Définition 5. Les vecteurs v 1, v n sont linéirement inépennts si ucun es v k peut être exprimé comme une cominison linéire es utres. Theorème 9. Les vecteurs v 1, v n sont linéirement inépennts si et seulement si ès qu il y es sclires 1,..., n tels que 1 v 1 + + n v n = 0, lors les coefficients 1,..., n sont tous nuls. Formultion lterntive : les vecteurs v 1, v n sont linéirement inépennts si et seulement si l seule cominison linéire e ces vecteurs qui onne le vecteur nul est 0 v 1 + 0 v 2 + + 0 v n. Formultion lterntive 2 : les vecteurs v 1, v n sont linéirement inépennts si et seulement si On ppelle les coefficients 1,..., n les composntes e u ns l se B. Theorème 11. Les composntes un vecteur ns une se onnée sont uniques. Formultion lterntive : si u = ( 1,, n ) B = ( 1... n ) B, lors 1 = 1,, n = n. Corollire 1. Deux vecteurs sont égux si et seulement si leurs composnts ns une se onnée sont égles. Formultion lterntive : ( 1,..., n ) = ( 1,..., n ) 1 = 1,, n = n. Theorème 12. Qun tout les vecteurs impliqués sont représentés ns une même se, les opértions prouit pr un sclire et somme e vecteurs se font composnte à composnte, c est à ire prouit pr un sclire : si u = ( 1, n ) et k est un sclire, lors k u = k( 1, n ) B = (k 1, k n ) B. somme e vecteurs : si u = ( 1, n ) et u = ( 1,, n ), lors 1 v 1 + + n v = 0 1,, n = 0. u+ v = ( 1, n ) B +( 1,, n ) B = ( 1 +1, n + n ) B Algère linéire et géométrie vectorielle 201-NYC Automne 2014
p. 4 Propriétés es vecteurs et géométrie ffine On ussi que ( 1,, n ) B = ( 1,, n ) B u v = ( 1, n ) B ( 1,, n ) B = ( 1 1, n n ) B. 4 Repères Définition 8. Un repère ns un espce ffine est l onnée une se oronnée B et un point O, ppelé origine. Définition 9. Les cooronnées un point P pr rpport à un repère B = v 1,..., v n vec O comme origine sont les composntes e OP ns l se B. Autrement it, on trouve les cooronnées e P en écomposnt le vecteur OP ns l se B : OP = ( 1,, n ) B = 1 v 1 + + n v n r; les cooronnées e P sont 1,..., n. Définition 10. Le rycentre es points P 1, P 2,..., P n est le point P tel que PP 1 + PP2 + + PPn = 0. Theorème 13. Les cooronnées u rycentre P e P 1, P 2,..., P n ns un repère origine O sont onnées pr OP = 1 ( OP1 + OP2 + + ) OPn. n 5 Prouit sclire Définition 11. Un prouit sclire est une opértion sur les vecteurs ynt propriétés suivntes : PS1 u v = v u (commuttivité) PS2 ( u) v = ( u v) (linérité) PS3 ( u + v) w = u v + v w (linérité) PS4 u u 0 et u u = 0 ssi u = 0. Autre nottion usuelle pour le prouit sclire : u v = u, v. Définition 12. Étnt onné un prouit sclire sur les vecteurs, on éfini l longueur un vecteur u pr u = u u. Theorème 14. Le vecteur nul est e longueur nulle : 0 = 0. Définition 13. Un vecteur u est unitire si u = 1. Theorème 15. Pour n importe quel vecteur v 0, le vecteur 1 v v est unitire ; on it que ce vecteur est l normlistion e v. Définition 14. Étnt onnée un prouit sclire, on éfinit l ngle entre eux vecteurs u et v pr l reltion u v = u v cos(θ). Définition 15. Deux vecteurs sont orthogonux si u v = 0, ce qui est noté pr u v. Définition 16. Une se B = { v 1,..., v n } est orthonormée si les vecteurs qui l forme sont unitires et s ils sont orthogonux eux à eux. Theorème 16. v 1,..., v n est une se orthonormée si et seulement si 1 si i = j v i v j = 0 si i j 5.1 Distnce Définition 17. L istnce entre eux points A et B est éfinie pr (A, B) = AB prouit sclire à l ie es composntes Theorème 17. Si u = (u 1,, n ) et = (v 1,, v n ) ns une se orthonormée onnée, on que n u v = u 1 v 1 + + u n v n = u i v i Theorème 18. Si u = (u 1,, u n ) ns une se orthonormée v 1,..., v n, lors u = u 2 1 + + u2 n. 5.2 Projections Définition 18. L projection orthogonle un vecteur u sur un vecteur v est éfinie pr proj( u, v) = u v v 2 v. Theorème 19. Si v est unitire, l projection orthogonle e u sur un vecteur v evient proj( u, v) = ( u v ) v. Theorème 20. L longueur e l projection orthogonle e u sur v est u v proj( u, v) = v. 6 Cooronnées polires et sphériques 6.1 Cooronnées rectngulires Si u est un vecteur ns R 2, lors il peut toujours s écrire comme u = (, ) = i + j, où i, j est une se orthonormle e R 2. i=1 Algère linéire et géométrie vectorielle 201-NYC Automne 2014
Propriétés es vecteurs et géométrie ffine p. 5 6.2 Cooronnées polires Dns R 2, si l ngle entre u et i est θ, on peut écrire u en onnnt u et θ. En générl, l corresponnce entre les eux escriptions est onnée pr (, ) [rect.] ( 2 + 2 ; ± tn(/)) [polire] ( u, θ) [polire] ( u cos(θ), u sin(θ) ) [rect.] Note : il fut choisir le signe e ± selon l orienttion u vecteur (, ). 6.3 Cooronnées sphériques en onnnt u, φ et θ. En générl, l corresponnce entre les eux escriptions est onnée pr (,, c) [rect.] ( 2 ( )) + 2 + c 2 c ; ± tn(/), sin [polire] 2 + 2 + c 2 ( u, θ, φ) [polire] ( u cos(θ) cos(φ), u sin(θ) cos(φ), u sin(φ) ) [rect.] Il fut choisir le signe e ± selon l orienttion u vecteur (,, c). Dns R 3, si l ngle entre l projection e u ns le pln i et j et i est θ et l ngle entre u et k est φ on peut écrire u = (,, c) Algère linéire et géométrie vectorielle 201-NYC Automne 2014
p. 6 Propriétés es vecteurs et géométrie ffine 7 Déterminnts et surfces Définition 19. L fonction éterminnt ns R 2 est l unique fonction prennt eux vecteurs et onnnt un nomre telle que D1 ( i, j) = 1 si i et j forment une se orthonormle. D2 ( u, u) = 0 D3 (k u, v) = k ( u, v) D4 ( u 1 + u 2, v) = ( u 1, v) + ( u 2, v) D5 ( u, v) = ( v, u) Theorème 21. Si u = (, ) et v = (c, ), lors ( u, v) = c = c Theorème 22. Theorème 23. Theorème 24. c u v ( u, v) = 0 = + kc c c = + k On peut onc utiliser sur les colonnes les propriétés qui vlles pour les lignes. L ire u prllélogrmme engenré pr eux vecteurs u et v est ( u, v). L ire u tringle engenré pr eux vecteurs u et v est ( u, v, w)/2. Theorème 25 (Crmmer). Si c 0, l unique solution u système éqution x + y = e cy + y = f est e f x = c c c y = c 8 Déterminnts et volumes Définition 20. L fonction éterminnt ns R 3 est l unique fonction prennt eux vecteurs et onnnt un nomre telle que e f D1 ( i, j, k) = 1 si les vecteurs i, j et k forment une se orthonormle. D2 ( u, v, w) = 0 ès que eux es vecteurs u, v, w sont égux D3 (k u, v, w) = k ( u, v, w) D4 ( u 1 + u 2, v, w) = ( u 1, v, w) + ( u 2, v, w) D5 ( u, v, w) = ( v, u, w) = ( u, w, v) = ( w, v, u) (échnger eux vecteurs chnge l orienttion) D6 ( u, v, w) = ( u + v + w, v, w) Theorème 26. Si u = (u 1, u 2, u 3 ), v = (v 1, v 2, v 3 ), w = (w 1, w 2, w 3 ), lors u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 = u 1v 2 w 3 + u 2 v 3 w 1 + u 3 v 1 w 2 u 3 v 2 w 1 u 2 v 1 w 3 u 1 v 3 w 2 v = u 2 v 3 1 w 2 w 3 u v 1 v 3 2 w 1 w 3 + u v 1 v 2 3 w 1 w 2. Theorème 27. u, v et w sont linéirement inépennts ssi ( u, v, w) 0. Le volume u prllélépipèe engenré pr trois vecteurs u, v et w est ( u, v, w). Le volume e l pyrmie à se tringulire engenrée pr trois vecteurs u, v et w est ( u, v, w)/6. 1 1 c 1 Theorème 28 (Crmmer). Si 2 2 c 2 0, l unique solution u système 3 3 c 3 éqution est k 1 1 c 1 k 2 2 c 2 k 3 3 c 3 x = 1 1 c 1 2 2 c 2 3 3 c 3 1 x + 1 y + c 1 = k 1 2 x + 2 y + c 2 = k 2 3 x + 3 y + c 3 = k 3 1 k 1 c 1 2 k 2 c 2 3 k 3 c 3 y = 1 1 c 1 2 2 c 2 3 3 c 3 1 1 k 1 2 2 k 2 3 3 k 3 z = 1 1 c 1. 2 2 c 2 3 3 c 3 Algère linéire et géométrie vectorielle 201-NYC Automne 2014
Propriétés es vecteurs et géométrie ffine p. 7 9 Prouit vectoriel Définition 21 (Propriétés xiomtiques u prouit vectoriel). PV1 u v = v u (nticommuttivité) PV2 (k u) v = k ( u v ) (linérité) PV3 ( u 1 + u 2 ) v = ( u 1 v ) + ( u 2 v ) (linérité) PV4 Si i, j, k est une se orthonormle, i j = k, i k = j et j k = i. Note : le prouit vectoriel n est ps commuttif et n est ps ssocitif! Theorème 29. Si les propriétés PV1 à PV4 sont vries et u = (u 1, u 2, u 3 ) et v = (v 1, v 2, v 3 ), on oit voir que u v = u 2 u 3 v 2 v 3 i u 1 u 3 v 1 v 3 j + u 1 u 2 v 1 v 2 k i j k = u 1 u 2 u 3. v 1 v 2 v 3 Lemme 1. Pour u et v ns R 3, on que u v 2 + ( u v )2 = u 2 v 2 (preuve lissée en exercice). Theorème 30. u v = u v sin(θ) = ire u prllélogrmme engenré pr u et v. Theorème 31. (prouit mixte) Pour tout vecteurs u, v et w, on que u 1 u 2 u 3 u ( v w) = v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 et onc les propriétés e u ( v w) peuvent être éuites e celle es éterminnts. Theorème 32. Les trois vecteurs u, v et w sont coplnires ssi u ( v w) = 0. Theorème 33. Si u, v 0, on que u v si et seulement si u v = 0 u ( u v ), v ( u v ) Algère linéire et géométrie vectorielle 201-NYC Automne 2014