Exercce I : La ontée en oture Une oture de asse 00kg (consdérée coe un pont atérel!) onte une côte à α=5? aec une tesse constante de =36 k/h. a)- Calculez le traal que ournt le oteur en 5 n. b)- Quelle est la pussance déeloppée par le oteur Soluton : Y P x = - g sn α N = g cos α X F = g sn α α P = g P y = - g cos α a)- Le oueent de l autooble le long de la cote est du à la orce F exercée par le oteur et la coposante selon X de la orce de pesanteur P x Px = -gsnα D après le prncpe ondaental de la dynaque. F-gsnα=a Coe le oueent es unore on a : F =gsnα = 03 Ν La tesse de l'autooble étant de V=36k/h = 0.s -, elle aura parcouru une dstance d = 3000 en 5 n. Coe la orce F est colnéare au déplaceent, le traal est donné par : W = F.d=03 3000 = 3.069 0 6 J b)- La pussance est déne coe le traal par unté de teps sot : P= W / t=.03 0 3 W (Watt = J.s - ) La pussance peut être auss déne coe le produt d une orce par une tesse : P = F.s =.03 0 3 W
Exercce II : Collson aec ressort M M Un bloc se déplace ( = kg ) se déplace ers la drote aec une tesse de 4 /s sur une pste horzontale sans rotteent lorsqu l rentre en collson aec un second bloc ( = 8kg ) ané d une tesse de 3 /s ers la gauche. Sur le cote de celu-c, un ressort de asse néglgeable et de radeur 5000 N/ est accroché contre l un des blocs. L énerge eagasné d un ressort copré de dx est E p =/.k.x ) Pendant un nstant les deux blocs restent obles l un par rapport à l autre, la copresson du ressort est alors axu. A quelle tesse se déplace l enseble? ) De quelle longueur dx le ressort a-t-l dnué et quelle la quantté d énerge eagasnée par le ressort. 3) Déterner les tesses après le choc des deux blocs, d abord dans le réérentel du centre de asse pus dans le réérentel xe. Le choc est élastque ou ben? Correcton ) Ecrons la conseraton de la quantté de oueent pour le systèe et sur lequel n nterent aucune orce extéreure. = ( + ) V V =.6 / s en consdérant antenant la conseraton de l énerge écanque entre le début du oueent et la collson, on peut écrre. + ( ) = MV + kdx c on suppose qu au oent de la collson les deux asses sont collées et donc ont la êe tesse. On troue alors dx =.5 c et E p =39. J ) On consdère un réérentel dont la tesse est dentque à celle du centre de asse de l enseble. Dans celu-c la quantté de oueent à la n de la collson est nulle. Sot la preère équaton : la conseraton de l énerge nous donne : uur uuur r () + = 0 () + = kdx ( ) En replaçant = / = -4 dans la dernère équaton on obtent ds le CM =.4 /s = -5.6 /s choc nélastque pusque les tesses de sorte sont dérentes.
Exercce III : Choc de deux blles Une blle de asse 00 g rentre en collson aec une autre de asse 400 g et de la êe ore et talle. Aant le choc la preère blle se déplaçat le long de l axe x à une tesse de 5 /s, tands que la deuxèe se déplaçat le long de l axe y à une tesse de 0 /s. Après la collson la preère blle part dans la drecton poste de l axe y, calculez la tesse de chacune des blles (donner les deux coposantes ou la nore et l angle aec l un des axes). Consdérez que le choc est parateent élastque. SOLUTION Sot la blle de 00 g et l autre. Coe l s agt d un choc élastque, l énerge cnétque, ans que la quantté de oueent de systèe se conserent. Le systèe étant consttué par les deux blles. Donc, on aura que : E c = E c () r r P = P () E c = Ec + E c = + (3) E c = E c + E c = + (4) r r r P = P + P (5) r P r r = P + P (6) Les ndces et correspondent aux asses et et les ndces et représentent les oents aant et après la collson. En replaçant les équatons 3 et 4 dans, on obtent l expresson de la conseraton de l énerge. Quant à l équaton, u que c est une équaton ectorelle, elle content en at, 3 égaltés, c està-dre, une pour chaque axe de coordonnées. D autre part, coe les blles ont la êe talle et l n y a pas de tesse ntale selon l axe z, on sat que le oueent, tant aant le choc, coe après celu-c, aura leu dans le plan x-y, donc, seuleent les équatons pour ces axes seront consdérées. P = P + P = + = (7) x x x x x P = P + P = + = (8) y y y y y P = P + P = + = (9) x x x x x x P = P + P = + = + (0) y y y y y y
Les ndces x et y donnent les coposants des ecteurs selon les axes respects. On a auss consdéré que la tesse nale de la blle est drgée le long de l axe x. C est pourquo elle n apparaît pas dans l expresson de la coposante x de la quantté de oueent. En asant l égalté entre 7 et 9, et pus entre 8 et 0, on obtent les expressons des équatons de conseraton de la quantté de oueent : = () x = + () y De on peut drecteent dédure : x = (3) Et de on peut exprer, par exeple y : y = (4) Appelons η = le rapport des asses, 4 deent : y = η (4.) On peut égaleent oder 3 : x = η (3.) Mantenant asant l égalté entre 3 et 4 on obtent l équaton de conseraton de l énerge cnétque : + (5) = + D c on peut exprer : = + (6) η η Ic l aut se rendre copte que les deux tesses ntales, ans que la tesse nale de la blle sont parallèles aux axes. Par contre, dans le cas de la blle elle a, en général, deux coposantes. Donc, sa nore au carré est égale à la soe des carrés de ses deux coposantes.
( ) + ( ) x y = + (6.) η η ( ) et ( ) x peuent être replacés par leurs expressons respectes 3. et 4. Après aor y at ce replaceent on peut exprer : = + η + η (6.) η η ( + ) + ( η ) 0 η (6.) = Les solutons pour cette équaton sont : ( η + ) ( η ) ± = (6.3) En replaçant les aleurs nuérques pour les tesses ntales et le rapport des asses on obtent : = 7,6 /s et = -4,3 /s (6.4) C est donné dans l énoncé du problèe que la blle part dans les y posts, donc, la preère soluton est celle que l-on cherche. De 3 : Et de 4. : x = 7,5 /s y =, /s
L étude expérentale de la chute d une blle sphérque de asse, de rayon r, abandonnée sans tesse dans le chap de pesanteur unore (g = 0 s - ) ontre que la tesse are aec le teps suant la lo = V th kt (V, k constantes) aec th x = ( e -x ) / ( + e -x ). La résstance de l ar est de la ore = K a r (K = coecent sans denson qu dépend de la ore de la blle). ) L expérence ontre l exstence d une tesse lte 40 /s. En dédure la aleur de k. ) a) Exprer la orce résultante agssant sur la blle en oncton de son pds et du rapport /V. b) En dédure la aleur du coecent ( = 30 g, r = c, a =.3 g/l) 3) Exprer la araton de l énerge écanque totale de la blle entre les nstants t et t + dt. 4) Calculer le chen parcouru au bout de s de chute, et coparer au chen théorque calculé en néglgeant la résstance de l ar. On donne th x dx = ln ch x + cte, aec ch x = ( e x + e -x )/