Échatilloage 4 et estimatio Pour repredre cotact Avec l échatilloage et le loi biomiale. O répète 00 fois le tirage d ue boule, avec remise, où le succès : «La boule est rouge» a pour probabilité p 06,. La variable aléatoire, qui compte les succès au cours de ces 00 tirages, suit la loi biomiale 00 06,. O a alors E 00 06, 60 s 00 06, 04, ª 490,.. Avec ue calculatrice ou u logiciel (par exemple, GeoGebra, tableur), o obtiet à 0 4 près : a. P 60 ª 0, 08 (voir copie d écra ci-dessous) b. P 49 ª 0, 068 P 50 ª 0, 07 P 69 -P 68 ª 0, 0398 (voir copie d écra ci-dessous) P 70ª 0, 048. Avec les itervalles de fluctuatio. F.. I [ 05, 07, ] P05, F07, P50 F70ª 0, 9685. 00 a 3. a. PF P a. D après l exercice, le plus grad etier a tel que P a 0, 05 est égal à 50. b PF P b. D après l exercice, le plus petit etier b tel, que P b 0, 05 est égal à 69. D où l itervalle de fluctuatio cherché : J 50 69 00 00 [ 050, 0, 69]. a b a b b. P F PF PF - -. Comme PF a b 0, 05 et PF 0, 05, o e déduit : a b P F 095,. O a doc, ici : P050, F0, 69 095,. Remarque : la copie d écra figurat das l éocé de l exercice permet de vérifier cette affirmatio. 3 Avec le théorème de Moivre-Laplace D après le théorème de Moivre-Laplace, lim Ê - p P -,,, Æ Á 96 96 ˆ p - p P-96 Z96, où Z suit la loi ormale 0. Avec ue calculatrice ou u tableur, o obtiet : P- 96, Z 96, ª 0, 950004. Chapitre 4. Échatilloage et estimatio
Activités. U itervalle de fluctuatio «asymptotique»!. Le lacer, répété fois, d ue pièce de moaie costitue u schéma de Berouilli où le succès «Pile apparaît» a pour probabilité p 05,. La variable aléatoire qui compte les succès obteus au cours de ces lacers suit la loi biomiale de paramètre et p 05,. O a alors : E 05, 05, s 05, 05, 05,. Ê 098, 098, ˆ. a. PF ŒI P - P Á05, 05, 05, - 0, 98 05, 098, P 05, 098, -P 0, 5-0, 98. b. 3. a. pred des valeurs etières. L etier i tel que P 05, - 098, P iest le plus grad etier strictemet iférieur à 0, 5-098,. Remarques : () predre pour etier i la partie etière de 0, 5-098, e coviet pas lorsque 0, 5-098, est u etier () predre pour etier i la partie etière de 0, 5-098,, dimiuée de, e coviet pas lorsque 0, 5-098, est pas u etier. Solutio : e preat l etier i doé par : =ARRONDI.SUP(0,5 0,98 0) o obtiet bie l etier précédat (strictemet) 05, - 098,, qu il soit etier ou o. Par ailleurs, l etier j tel que P 05, 098, P j est le plus grad etier iférieur ou égal à 05, 098,. O peut doc predre pour j la partie etière de ce ombre, soit sur u tableur : =ENT(0,5+0,98 ) b. Sur le graphique, la suite PF ŒI représetée pour croissat de 0 à 000 000, paraît coverger vers 0,95. O cojecture doc : lim PF ŒI 0, 95. Æ - p 4. Z p - p - 05,. 05, 098, 098, a. F Œ Iéquivaut à 05, - 05, c est-à-dire 05, -098, 0, 50, 98-05, -96, 96, -96, Z 96,. D où l équivalece : F Œ I Z Œ- 9696,,. 05, b. D après le théorème de Moivre-Laplace, lim PZ Œ- 9696,, PZ Œ- 9696,, où Z suit la loi ormale 0. Æ Ue calculatrice ou u logiciel doe PZŒ- 9696,, ª 0, 950004. D où efi, lim PF ŒIª 0, 95. Æ. Loi expoetielle. a. Voir sur le site Math x. b. E utilisat le curseur du fichier GeoGebra pour afficher la valeur de p et e lisat les ordoées des poits A et B, o obtiet : pour p 04,, I 0, 304 0, 496 pour p 07,, I 0, 6 0, 7989 pour p 00,, I -0, 0074 0, 0474. Das ce derier cas, la bore iférieure de I est u ombre égatif. O peut reteir I 0 0, 0474.. a. Le fichier GeoGebra permet d obteir le résultat cicotre. La lecture des coordoées des poits C et D : (0,50 0,6) et (0,6906 0,6) coduit à écrire : x ª 0, 50 et x ª 0, 6906.
b. Les abscisses des poits C et D sot les solutios des équatios f x 06, et f x 06,. Or f x 06, équivaut à x -0, 96 x- x 0, 6 soit x -06, 0, 96 x- x Ô x 06, soit Ì x 06, 0, 96 ÓÔ - x- x () deviet successivemet : x -, x 036, 0, 03846( x - x ), 03846 x -, 3846 x 0, 36 0., 3846 0, 03835549 Le calcul de D0, 03835549 coduit à : x d où x ª 0, 500 ou x ª 0, 6906. 03846, De même, f x 06, équivaut à x 0, 96 x- x 0, 6 soit 06, - x 0, 96 x- x Ô x 06, 3 qui équivaut à Ì 06, x 0, 96 ÓÔ - x- x 4 O remarque que l équatio (4) coïcide avec l équatio (). La coditio (3) amèe à reteir x 0, 500. D où les solutios obteues cette fois algébriquemet : x 0, 500 et x 0, 6906. U itervalle de cofiace de p à 95 % est doc 0, 500 0, 6906. 3. Les foctios x a x - 0, et x a x 0, sot des foctios affixes. La copie d écra GeoGebra motre les poits E et F dot les abscisses 0,5 et 0,7 détermiet l itervalle de cofiace cherché : J 05, 07,. TP. Lois de l hérédité de Medel A.. L itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95 % de la variable aléatoire F correspodat à la fréquece p - p - de caractère «yeux rouges» sur u échatillo aléatoire de taille 300 est I p -96, p 96,. Avec p 075, et 300, o obtiet I 0, 70 0, 799.. Si f est la fréquece observée du caractère «yeux rouges» sur u échatillo aléatoire de taille 300, deux cas sot possibles. f ŒI das ce cas, o e rejette pas l hypothèse p 075,, au seuil de 5 %. f œi das ce cas, o rejette l hypothèse p 075,, au seuil de 5 %. 37 3. La fréquece observée sur l échatillo de taille 300 est f 300 coforme à la loi de Medel, au seuil de 5 %. 079,. Doc f ŒI. La répartitio observée est N 4. La coformité avec la loi de Medel serait rejetée, au seuil de décisio de 5 %, si l o avait f e dehors de l itervalle 300 I. Cela se produit lorsque l o a : N soit 0, 70c est-à-dire N 0, 3, soit N 0, 300 N soit 0, 799 c est-à-dire N 39, 7, soit N 40. 300 E coclusio, sur u échatillo de taille 300, o rejette la coformité à la loi de Medel, au seuil de décisio de 5 %, lorsque le ombre N de drosophiles à yeux rouges est e dehors de l itervalle 0 40. Chapitre 4. Échatilloage et estimatio 3
35 B.. Sur l échatillo prélevé, Medel obtiet ue fréquece de petits pois «jaues et rods» égale à f ª 556 0, 5665. Or l itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95 % de la variable aléatoire correspodat à la fréquece des 9 7 9 7 petits pois «jaues et rods», sous l hypothèse p 9 6, est I 9-6 96 6 6 9, 556 6 96, 6 6 soit après 556 calculs : I 0, 53 0, 6037. Comme f ŒI, o cosidère que la répartitio observée das l échatillo prélevé est coforme à la loi Medel, au seuil de décisio de 5 %.. a. L observatio de chacu des 556 petits pois de l échatillo s apparete à u schéma de Berouilli, où le succès «le petit pois est jaue et rod» a pour probabilité 9 (selo la loi de Medel). Le ombre de succès suit doc la loi 6 biomiale 556 9 6. b. La variable aléatoire F représete la fréquece du caractère «jaue et rod» sur u échatillo de taille 556. 556 c. F - 0, 565 0, 004 équivaut à 0, 5585 F 0, 5685 réalisé par 3 34. Or suivat la loi 556 0, 565, ue calculatrice ou u logiciel doe P334 ª 0, 36. TP. Peut-o croire u sodage? A.. F correspod à la fréquece des persoes favorables au cadidat sur u échatillo aléatoire de taille 000 000.. Ê ˆ Ê ˆ 3. PF ŒI p 095, s écrit P p- F p Á 095, ou ecore PF- F 000 000 Á p 095,. 000 000 B.. No, il y a rie d aléatoire ici : p appartiet ou appartiet pas à u itervalle doé. Ici, p 055, appartiet à l itervalle de cofiace 0, 50 0, 566.. a. No, certais itervalles de cofiace e cotieet pas p. Le diagramme e motre au mois deux. b. D après la questio A.3., cette probabilité est au mois égale à 0,95. 3. Oui, le diagramme de la feuille de calcul motre que des itervalles de cofiace de p peuvet être disjoits. Quad deux tels itervalles sot disjoits, o est sûr que l u au mois e cotiet pas p. Exercices. Répose b.. Répose a.. a. Z est la variable aléatoire cetrée réduite associée à. b. lim PaZ b PaZ b où Z suit la loi Æ ormale 0.. lim P 96, Z 96, P -96, Z 96, ª 095,. Æ - 3. a. La variable aléatoire correspod à la fréquece du succès das u schéma de Berouilli de paramètres et p. b. I est l itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95 % de la variable aléatoire. Œ -. lim P ŒI P,,, Æ Z 96 96 0 95 où Z suit la loi ormale 0. 4 La fréquece de votes favorables à Z sur u échatillo de taille 400 est f 048,. O costate que f œi 95 et f ŒI 99. Au seuil de décisio de 5 % (doc avec u risque d erreur de 5 %), o rejette l hypothèse que Mosieur Z ait dit vrai. Au seuil de décisio de %, par cotre, o e peut rejeter l hypothèse que Mosieur Z ait dit vrai. 4
. a. U itervalle de cofiace à 95 % de p est de la forme : f - f. Avec f 048, et 400, o obtiet J 043, 0, 53. b. Au iveau de cofiace de 95 %, o a 0, 43 p 0, 53. Rie e laisse peser que l o aura p 05, et doc cet itervalle e doe pas Mosieur Z battu (tout comme il e le doe pas gagat!). 5 Corrigé e fi de mauel. 6. L expériece réalisée est u schéma de Berouilli de paramètres 00 et p 05,. La variable aléatoire associée au ombre de succès «pile apparaît» suit doc la loi biomiale 00 05,. 05, 05, 05, 05,. a. I 095, 05, -96, 05, 96, 00 00 I 095, 0, 40 0, 598ª 04, 06,. b. La probabilité que Zoé perde so pari est PFœ 04, 06,. Comme PFŒ I095, ª 095,, o e déduit que PFœ04, 06, ª 005,. 3. suit la loi 00 05,. P 40 ou 60-P40 60. Le logiciel GeoGebra doe P40 60 ª 0, 9648 d où P 40 ou 60 ª 0, 035. Le pari de Zoé était effectivemet peu risqué! 7. a. Le prélèvemet d u échatillo aléatoire de taille 000 das cette populatio s apparete à u schéma de Berouilli où 000 et p 0, 075 (probabilité du succès : «taux de cholestérol» élevé). La variable aléatoire, qui compte les succès das l échatillo prélevé, suit doc la loi 000 0, 075. b. Le plus petit itervalle a b avec a et b etiers tels que P a 0, 05 et P b 0, 05 est I 59 9. E effet, ue calculatrice ou u logiciel doe : c. L itervalle I 0, 059 0, 09 est tel que P Œ0, 059 0, 09 095 000,. I est doc u itervalle de fluctuatio au seuil de 95 % de la variable aléatoire F. 000. a. L itervalle de fluctuatio asymptotique de F au seuil de 95 % est doé par : p - p p - p J p -96, p 96,. Avec p 0, 075 et 000, o obtiet J 0, 0587 0, 093. E arrodissat les bores à 0 3 près et e «élargissat» l itervalle de faço à préserver l iégalité PF ŒJ 095,, o obtiet J 0, 058 0, 09. b. O peut remarquer que la méthode de Première, avec la loi biomiale, et celle de Termiale, avec approximatio par la loi ormale, coduiset à des résultats très voisis. Il est vrai que les coditios 30, p 5 et - p 5 sot très amplemet respectées. 8 Le trasport des 500 œufs, supposés se comporter de faço idépedate, s apparete à u schéma de Berouilli, avec 500 et p 007, (probabilité du succès : «l œuf est edommagé»). Le ombre d œufs edommagés suit alors la loi biomiale 500 007,. L espérace de état E( ) 05, o recherche u itervalle de la forme 05 -e 05 equi cotiee avec ue probabilité supérieure ou égale à 0,95. Les coditios sur et p état satisfaites, o sait que l itervalle de fluctuatio asymptotique de la variable aléatoire F au seuil de 95 % est doé par 500 I 007, -96, 007, 0, 93 007, 96, 500 O e déduit que P0, 07 500-96, 0, 07 093, 500 007, 0, 93. 500 007, 500, 96 007, 0, 93 500 095, d où P05-0 05 0 095, soit P85 5 095,. L itervalle 85 5 cotiet au mois 95 % des œufs edommagés. Le plus grad etier a tel que P a 0, 05 est 59. Le plus petit etier b tel que P b 0, 05 est 9. Remarque : o peut aussi (comme e classe de Première), rechercher les plus petits etiers a et b tels que P a 0, 05 et P b0, 975. 9. La fréquece de «pile» est modélisée par la variable aléatoire F où suit la loi biomiale 00 00 05,. L itervalle de fluctuatio asymptotique de F est : a. au seuil de 95 %, l itervalle 05, 05, 05, 05, I 95 05, -96, 05, 96, soit 00 00 I 95 0, 40 0, 598. Chapitre 4. Échatilloage et estimatio 5
b. au seuil 99 %, l itervalle 05, 05, I 99 05, -58, 05, 58, 00 I 99 0, 37 0, 69. 05, 05, soit 00. La fréquece de «pile» sur cet échatillo de taille 00 est f 038,. a. Comme 0, 38 œi 95, o peut rejeter, au seuil de décisio de 5 %, l hypothèse p 05, qui traduit que la pièce est bie équilibrée. b. Comme 0, 38 ŒI 99, o e peut pas rejeter, au seuil de décisio de %, l hypothèse que la pièce est bie équilibrée. 0. L itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95 % de F est doé par : p - p p - p I p -96, p 96, avec p = 0,6 et = 400. D où I = [0,7 0,303]. 0. Sur l échatillo de taille 400 cosidéré, f 400 03,. Comme f ŒI, o e peut pas cosidérer, au seuil de décisio de 5 %, que l échatillo observé présete u ombre aormal de persoes allergiques. O fait l hypothèse que le pourcetage des lymphocytes parmi les leucocytes (globules blacs) est p = 5 %. L itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95 % de la variable aléatoire correspodat à la fréquece des lymphocytes sur u échatillo de 500 globules blacs est 05, 0, 75 05, 0, 75 I 05, -96, 05, 96, 500 500 soit I = [0, 0,88]. La fréquece des lymphocytes sur l échatillo de taille 500 observé est f = 0,3. Comme f œi, o peut cosidérer, au seuil de décisio de 5 %, que l écart avec p = 0,5 est sigificatif.. Sous l hypothèse p = 0,5, l itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95 % de la variable aléatoire correspodat à la fréquece de «Pile» sur u échatillo de taille 4 040 est 05, 05, 05, 05, I 05, -96, 05, 96, 4 040 4 040 soit I = [0,484 0,56].. Soit f la fréquece de «Pile» observée sur u échatillo de taille 4 040. Si f œi, o peut rejeter, au seuil de décisio de 5 %, l hypothèse selo laquelle p = 0,5 (pièce équilibrée). Si f ŒI, l écart etre f et 0,5 est pas sigificatif au seuil de décisio de 5 %. O e rejette pas l hypothèse que la pièce soit bie équilibrée. 3. Sur l échatillo résultat de l expériece réalisée 048 par l efat, la fréquece de «Pile» est f ª 4 040 0, 507. Nous sommes doc das le deuxième cas de figure evisagé à la questio. 3 Corrigé e fi de mauel. 4. L itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil 0,95 de la variable aléatoire F correspodat 6 à la fréquece des temps d attete etre deux tremblemets de terre graves cosécutifs dépassat 365 jours est doé par : 043, 0, 57 043, 0, 57 I 043, -96, 043, 96, 6 6 soit I = [0,306 0,554].. Soit f la fréquece des temps d attete etre deux tremblemets de terre graves cosécutifs dépassat 365 jours, fourie par u échatillo de taille 6. Au seuil de décisio de 5 % : Si f œi, o rejette l hypothèse p = 0,43. Si f ŒI, o e rejette pas cette hypothèse. 3. L observatio de 6 temps d attete fourit ue 9 fréquece f ª 0, 468. 6 Comme f ŒI, o e rejette pas, au seuil de décisio de 5 % l hypothèse selo laquelle la proportio des temps d attete etre deux tremblemets de terre graves cosécutifs est p = 0,43. 5. Sous l hypothèse que la proportio de oix vides est p = 0,06, l itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95 % de la variable aléatoire F correspodat à la fréquece de oix vides fourie par u échatillo de taille 300 est 006, 0, 94 006, 0, 94 I 006, -96, 006, 96, 300 300 soit I = [0,033 0,087]. Or l échatillo observé ayat fouri ue fréquece de oix vides égale à f 007,, o est das le cas où 300 f ŒI cet échatillo e permet doc pas de rejeter l affirmatio du égociat de oix : «6 % des oix sot vides», au seuil de décisio de 5 %.. O sait que si p est la proportio de oix vides et F la variable aléatoire correspodat à la fréquece de oix vides fourie par u échatillo de taille, la formule p - p fourit u itervalle de fluctuatio (simplifié) de F au seuil 0,95, lorsque 30, p 5 et ( p) 5. 6
D après le Théorème, o a, pour suffisammet Ê ˆ grad : P p - F p Á 095,. Mais comme p - F p équivaut à F - p F, o peut dire que l itervalle F - F a ue probabilité au mois égale à 0,95 de coteir p. Si l o suppose ici p icou, o peut approcher p par ue réalisatio f de F. Pour avoir p- f 00,, il suffit de predre 00, soit 0 000. Aisi, e preat par exemple f = 0,07 qui correspod à la réalisatio de F effectuée das la questio, o aura p Œ[ 007, - 0, 0 007, 0, 0 ] soit 0,06 p 0,08, au iveau de cofiace 0,95. Remarque : La démarche adoptée das cette questio a coduit à l itervalle f - f qui est u itervalle de cofiace de p, au iveau de cofiace 0,95. Si la otio d itervalle de cofiace a déjà été traitée, la répose à cette questio s e trouve simplifiée et raccourcie. 6 Sur cet échatillo, la fréquece d adolescets e 0 surpoids est f 04,. 500 Comme o a : 30 f 5 et ( f) 5, l itervalle 04 500 04, -, 500 = [0,375 0,465] est u itervalle de cofiace de p au iveau de cofiace de 95 %. 64 7 f ª 8 079,. U itervalle de cofiace de p au iveau de cofiace 0,95 est doc 079 9 079, -, [ 0, 679 0, 90] 9. 8 Corrigé e fi de mauel. 9 f = 0,96. U itervalle de cofiace de p au iveau de cofiace de 0,95 est doc [0,96 0, 0,96 + 0,] = [0,86,06]. 0 Corrigé e fi de mauel.. Sur l échatillo de taille 60 prélevé, la fréquece de l optio est f 05,. 9 60 U itervalle de cofiace au iveau de cofiace 0,95 de la proportio p de persoes immuisées cotre ce virus est J - 05 60 05,, 60 soit J = [0,0 0,8].. Sur l échatillo de taille 0, prélevé e deux fois, la 8 fréquece de l optio est f 05,. 0 L itervalle de cofiace correspodat est alors J - 05 0 05,, 0 soit J = [0,06 0,4]. Corrigé e fi de mauel. 3. Sur les trois échatillos de taille 000 prélevés das les trois populatios respectives, o a f = 0,05, f = 0,06 et f 3 = 0,. Les itervalles de cofiace «stadards» au iveau de cofiace de 95 % sot : f - f f - f J f -96, f 96, 000 000 [ 0, 036 0, 064] f - f f - f, f 96, 000 000 [ 0, 045 0, 075] J f -96 f - f f3 - f3, f3 96, 000 000 [ 0, 090 0, 30] 3 3 J 3 f 3-96. Les itervalles J et J état pas disjoits, o e peut pas cosidérer qu il existe ue différece sigificative de la proportio de bébés de poids iférieur à,5 kg à la aissace etre les populatios de mères o fumeuses et de mères fumeuses ayat arrêté de fumer au début de la grossesse. Par cotre, les itervalles J et J 3, aisi que J et J 3 état disjoits, o peut cosidérer, au iveau de cofiace de 95 %, qu ue différece sigificative existe etre chacue des deux populatios précédemmet citée et la populatio des mères fumeuses ayat cotiué de fumer pedat la grossesse, relativemet à la proportio de bébés pesat mois de,5 kg. La propor tio de ces bébés est sigificativemet supé rieure das cette troisième populatio. 4. Les fréqueces des votes favorables à, Y et Z fouries par le sodage aléatoire portat sur 30 persoes sot respectivemet : f = 0,7 f = 0,385 f 3 = 0,345. Les itervalles de cofiace des cotes de popularité de, Y et Z, au iveau de cofiace de 95 %, sot alors : I 07 30 07-0 4 0 98,, 30 [,, ] I 0 385 30 0 385-0 357 0 43,, 30 [,, ] I 3 0 345 30 0 345-0 37 0 373,, 30 [,, ]. Chapitre 4. Échatilloage et estimatio 7
Le joural, au vu de ces itervalles de cofiace, e peut pas publier u classemet des trois persoalités. Tout au plus, pourrait-il publier que est distacé par Y et par Z, au iveau de cofiace de 95 %, mais sas pouvoir départager Y et Z, puisque les itervalles I et I 3 e sot pas disjoits.. Avec ces mêmes taux et ue taille de sodage au mois égale à 30, il suffit de choisir tel que I - 0, 385 0, 385 et I 3-0, 345 0, 345 soiet disjoits. Pour cela, il suffit de predre tel que 0, 345 0, 385 - soit 004, soit 50 ou > 500. 5 Les itervalles de fluctuatio asymptotique e questio sot : p - p p - p I 99 p -58, p 58, et p - p p - p I 95 p -96, p 96,. L affirmatio est doc vraie. Remarque : Sas «écrire» les itervalles, o peut aussi adopter la démarche «logique» suivate : pour suffisammet grad, F pred ses valeurs das I 99 avec ue probabilité proche de 0,99 et das I 95 avec ue probabilité proche de 0,95. I 99 qui cotiet F avec ue probabilité supérieure cotiet doc I 95 (même cetre p et rayo supérieur pour I 99 ). 6 O rejette l hypothèse à l aide d u itervalle de fluctuatio au seuil de 95 % lorsque f œi 95. Comme I 95 I 99, o peut très bie avoir f ŒI 99 et e pas pouvoir rejeter das ce cas l hypothèse à l aide de I 99. L affirmatio est doc fausse. 7 Si f ŒI 95, alors f ŒI 99, car I 99 cotiet I 95. L affirmatio est doc vraie. 8 Avec I 99, la probabilité de rejeter l hypothèse alors qu elle est vraie est d eviro %. Avec I 95, cette même probabilité est d eviro 5 %. L affirmatio est doc vraie. 9. La taille d ue classe d âge état, la hauteur de la barre d erreur correspodate est. Par lecture sur le graphique, o trouve eviro, tour à tour : 3 %, 3 %, 6 %, 8 %, 8 % et 6 %. À u pourcetage de k %, correspod ue valeur de k telle que, soit 00, soit Ê 00 k Á 00ˆ k. Cette formule coduit aux effectifs de classes d âge suivats : 36, 36, 56, 3, 3, 59. La taille de l échatillo utilisé, tous âges cofodus, est doc d eviro N = 933.. La logueur d ue «barre d erreur» est d autat plus grade que l effectif de la classe d âge est petit. Ici, la classe d âge de plus faible effectif est la classe «55». 3. No car tous les itervalles de cofiace ot ue partie commue. Il faudrait utiliser u échatillo de plus grade taille pour que les logueurs des barres d erreur s e trouvet réduites, permettat peut-être à certais itervalles de cofiace d être disjoits. 30. suit la loi biomiale (64 0,8).. F correspod à la fréquece des fumeurs sur 64 u échatillo de taille 64. 3. L itervalle de fluctuatio asymptotique de F au seuil de 95 % est l itervalle p- p p- p I p-t p t où t est le réel tel que P( t Z t) = 0,95 où Z suit la loi ormale (0 ). Ue calculatrice ou u logiciel doe alors t ª,96. D où l itervalle cherché : 08, 0, 8 08, 0, 8 I 08, -96, 08, 96, 64 64 I = [0,08 0,8]. 3. Soit f la fréquece de fumeurs sur u échatillo de taille 64, das cette populatio. Si f œi où I = [0,08 0,8], o cosidère que l échatillo utilisé est pas représetatif de la proportio de fumeurs, égale à 0,8, das la populatio, au seuil de 95 %. Si f ŒI, o cosidère que l écart etre f et 0,8 est pas sigificatif. Das ce cas, o e rejette pas l hypothèse selo laquelle l échatillo est représetatif. 7. Sur cet échatillo, f ª 0, 66. 64 Comme f ŒI, o e rejette pas l hypothèse que l échatillo utilisé est représetatif de la populatio de fumeurs de la populatio. 3 Le résultat des 5 lacers du dé costitue u échatillo aléatoire de taille 5 de la populatio (ifiie) des lacers de ce dé. La fréquece de l issue «As» 38 sur cet échatillo est f ª 0, 69. 5 8
U itervalle de cofiace au iveau de cofiace de 95 % de la probabilité d obteir l as avec ce dé est alors : J - 0 69 5 0 69,, 5 soit J = [0,0 0,36]. Exercices 33 à 4 QCM et VRAI/FAU : corrigé e fi de mauel Exercices 43 à 45 Évaluer ses capacités : corrigé e fi de mauel APPROFONDISSEMENT 46. est la variable aléatoire idiquat le ombre de succès «Posséder l Allèle A» observés sur u échatillo aléatoire de taille 00 das ue populatio où la proportio de patiets présetat l Allèle A est supposée être p = 0,5. suit doc la loi biomiale (00 0,5).. L itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95 % de la variable F est 00 05, 0, 85 05, 0, 85 I 05, -96, 05, 96, 00 00 soit I = [0,08 0,]. 3. a. P(F > 0,) = P( > ) = P( ). Ue calculatrice ou u logiciel doe P( > ) ª 0,0. b. Selo la règle de décisio choisie, la probabilité de rejeter à tort l hypothèse p = 0,5 das la populatio des malades d Alzheimer est d eviro %. 7 4. Sur cet échatillo, f 07,. 00 Comme f > 0, c est-à-dire >, o rejette l hypothèse p = 0,5 chez les malades d Alzheimer, avec u risque d erreur de % eviro. 47. La variable aléatoire associe à tout échatillo de taille 64 de teisme et d escrimeurs le ombre de gauchers. Pour chaque idividu observé, le succès «être gaucher» se réalise avec la probabilité p = 0,. suit la loi biomiale (64 0,).. L itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95 % de la variable aléatoire F est 64 0, 09, 0, 09, I 0, -96, 0, 96, 64 64 soit I = [0,07 0,74]. 3. I = [a b] avec b = 0,74. P(F > b) = P( > 64b) = P( >,36) = P( ) ª 0,04. La probabilité de rejeter l hypothèse à tort selo cette règle est P(F > b) ª 0,04. 5. Sur cet échatillo de 64 teisme et escrimeurs, la 3 fréquece des gauchers est f ª 0, 03. 64 Comme f > 0,74, o rejette, selo la règle de décisio doée, l hypothèse selo laquelle la proportio de gauchers chez les teisme et les escrimeurs est celle observée das la populatio toute etière. Le risque de rejeter à tort cette hypothèse est d eviro,4 %. 05 48. p ª 05 0, 5.. a. correspod au ombre de succès «Garço» obteus sur u échatillo de taille, où la proportio de garços est p = 0,5. suit doc la loi biomiale ( 0,5). b. L itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95 % de la fréquece F de garços sur u échatillo de taille est doé par : 0, 5 0, 488 0, 5-96, I 0, 5 0, 488 0, 5 96, 098, 098, soit I - 0, 5 0, 5. c. Pour = 7 O rejette l hypothèse p = 0,5 si la fréquece de 098, garços observée est iférieure à 0, 5 -, 7 c est-à-dire iférieure à 0,446. Pour = 3 : o rejette l hypothèse p = 0,5 si la fréquece de garços observée est iférieure à 098, 0, 5 -, 3 c est-à-dire iférieure à 0,46. d. Pour = 7 Ê P ˆ 0 446 P 0 Á, 7 ª 0,05. Pour = 3 Ê P ˆ 0 46 P 56 Á, 3 ª 0,07. e. Selo la règle de décisio adoptée, la probabilité de rejeter l hypothèse p = 0,5 alors qu elle est vraie est égale à : Ê P ˆ 0 446 0 05 Á, 7 ª, lorsque = 7. Ê P ˆ 0 46 0 07 Á, 3 ª, lorsque = 3. 3. À Ufa, la fréquece des garços sur u échatillo 9 de 7 efats est f ª 0, 40. 7 Comme f < 0,446, o rejette l hypothèse p = 0,5 chez les efats des persoes exposées à des pesticides, avec ue probabilité de rejet à tort d eviro 0,05. Chapitre 4. Échatilloage et estimatio 9
4. Au Caada, la fréquece des garços sur u 46 échatillo de 3 efats est f ª 0, 348. Comme 3 f < 0,46, o rejette l hypothèse p = 0,5, l écart etre f et p état cette fois ecore cosidéré comme sigificatif. PROBLMES Ê ˆ 49. P p - p Á 95 équivaut à Pp - p 95 c est-à-dire à P p -P p - 95. 50. Pour chacu des billets vedus, la probabilité que l acheteur se présete est p. La variable aléatoire qui compte les succès «L acheteur se présete» au cours de ces épreuves supposées idépedates suit la loi ( p). L itervalle de fluctuatio asymptotique de F seuil de 95 % est doé par : p - p p - p I p -96, p 96,. 3. Si la coditio () est vérifiée, alors o a : p - p 300 p 96,. Ê 300ˆ D où P 300 PF Á P(F œi ) = P(F ŒI ) 0,95 0,05. Plus précisémet, o a même : Ê 300ˆ P 300 PF Á Ê PF Á p 96, -PF ŒI p - pˆ 005, 0,05. 4. Sur u tableur, o obtiet : au Le plus grad etier tel que p 96, p- p 300 est doc : 0 = 337 lorsque p = 0,85 0 = 3 lorsque p = 0,90 0 = 307 lorsque p = 0,95. 5. À l aide d ue calculatrice ou d u logiciel, o obtiet : Lorsque p = 0,85, P( 337 > 300) ª 0,03 Lorsque p = 0,90, P( 3 > 300) ª 0,0 Lorsque p = 0,95, P( 307 > 300) ª 0,005. 5. a. Lorsqu o pred au hasard u poit M das le carré de côté, la probabilité p que M appartiee au domaie bleu (situé sous la courbe) est égale à : domaiebleu Ú j x dx 0. O a doc p x x carré Ú j d. 0 b. Le logiciel GeoGebra doe :. Das cette simulatio, désige le ombre de poits tirés, à choisir par l utilisateur. La boucle Pour k de à FiPour (liges 3 à 7) simule fois le tirage de deux ombres aléatoires x et y das [0 [, doc simule fois le tirage aléatoire d u poit M(x y) situé das le carré (0 x < 0 y < ). Le test de la lige 5 est positif si le poit M est situé das la partie du pla comprise etre l axe des abscisses, la courbe d équatio y fx e - x, c est-à-dire s il appartiet à la partie du carré colorée e bleu (frotières comprises). Das ce cas, o icrémete s de. La variable s, iitialisée à 0, est doc augmetée de à chaque fois que le poit tiré aléatoiremet est situé das la partie du carré colorée e bleu. Au bout des tirages, s cotiet doc le ombre de poits aisi tirés aléatoiremet qui appartieet à la partie du carré colorée e bleu. La lige 8 décleche doc l affichage de la fréquece de l évéemet «Le poit tiré est das la partie du carré colorée e bleu» lors de la simulatio de tirages aléatoires d u poit das le carré [0 ] [0 ]. 3. a. Si f est la fréquece des poits situés sous la courbe sur u échatillo de poits pris au hasard das le carré, l expressio d u itervalle de cofiace de p au iveau de cofiace de 95 % est doée par J f - f. 0
b. Pour suffisammet grad, J cotiedra p avec ue probabilité supérieure ou égale à 0,95. 4. a. E cofrotat les 4 résultats obteus par simulatio avec la valeur approchée de p calculée à la questio.b., o observe que le ombre de décimales exactes de p est et, respectivemet. b. O obtiet, au iveau de cofiace de 95 %, ue estimatio de p à la précisio 0-3 pour tel que 0 3 - soit 000 ou 4 0 6. E exécutat l algorithme pour 4 0 6, o obtiet : Les valeurs de p telles que f30 p 095, sot : 0,35 0,383 0,384 0,46 0,47 0,45 0,483 0,484 0,56 0,57 0,55 0,583 0,584 0,66 0,67 0,65. Pour 00, il existe aucue valeur de p telle que (00 p) soit u couple «malheureux». Pour 0, il existe deux valeurs de p telles que f p,. Ce sot 0,45 et 0,55. 0 095 D où l estimatio de p suivate, au iveau de cofiace de 95 % : p Œ 0, 8557-0, 8557. 03 03 5. La variable aléatoire qui doe le ombre de succès «boule rouge» obteus sur u échatillo de taille suit la loi biomiale p. Ê ˆ. fp Pp ŒI P - p Á Ê ˆ P - Áp p P p - p P p -P p-. 3. 4. Le couple (0 0,45) est dit «malheureux» car l itervalle de cofiace au iveau de cofiace de 95 % cotiet p avec ue probabilité iférieure à 0,95. 5. b. Pour 0, o observe sur le graphique 6 valeurs de p pour lesquelles la probabilité de recouvremet de p par I 0 est iférieure à 0,95. Ces valeurs de p sot 0,4 0,45 0,459 0,54 0,55 0,559. c. Pour 30, o obtiet le graphique suivat : 53. Max doit proposer u itervalle de fluctuatio de la fréquece f du virus au seuil de 95 %. S il est élève de Secode, il propose l itervalle simplifié I - p - p 004 30 004,, 30 I 006, 0, 74. S il est élève de Première, il pourra détermier avec la loi biomiale les plus petits etiers a et b tels que P a 0, 05 et P b0, 975 où suit la loi biomiale 900 004,. Ue calculatrice ou u logiciel doe alors a 5 et b 48. D où l itervalle I 5 48 0, 07 0, 054 900 900. S il est élève de Termiale, il détermiera l itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95 % : p - p p - p I p -96, p 96, I 0, 07 0, 053.. La fréquece du virus observée sur le lycée est 54 f 006,. 900 Si Max est e Secode, il vérifiera que f ŒI et il e rejettera pas, au seuil de décisio de 5 % (c est-à-dire avec u risque d erreur de 5 %) l hypothèse selo laquelle la fréquece du virus sur le lycée est compatible avec celle de la populatio atioale (l écart etre f et p sera cosidéré «o sigificatif»). Chapitre 4. Échatilloage et estimatio
Si Max est e Première ou e Termiale, il observera que f œi et il pourra cosidérer que la fréquece f observée sur le lycée est pas coforme à la populatio atioale, au seuil de décisio, de 5 %. 3. Max doit rechercher tel que si f - p 00,, alors f œi. Si I - p p il suffit d avoir 00, c est-à-dire 500. p - p p - p Si I p -96, p 96,, il suffit p - p d avoir 96, 00, soit, avec p 004,, 369. 54 Sur l échatillo de taille 64 cosidéré, la fréquece des parets espérat que leur garço obtiee u bac S est f 0, 77 et celle des parets espérat que leur fille obtiee u bac S est f 0, 507. E costruisat des itervalles de cofiace au iveau de cofiace de 95 % des probabilités p et p que des parets, pris au hasard das la populatio, se proocet pour u «espoir de bac S» pour leur garço ou pour leur fille, o obtiet : J 0 77 64 0 77 -,, 64 soit J 073, 0, 8. J 0 507 64 0 507 -,, 64 soit J 046, 0, 55. Les itervalles J et J état disjoits, o cosidère qu il existe ue différece sigificative etre les fréqueces f et f. O peut doc coclure avec u iveau de cofiace de 95 % que l espoir de bac S pour u efat est ifluecé par le sexe de celui-ci. 55 E costruisat les itervalles de cofiace au iveau de cofiace de 95 % des probabilités p et p qu u idividu fumeur de cette populatio soit atteit ou o d u cacer du poumo, o obtiet à partir des fréqueces f et f : J 0 93 605 0 93 -,, 605 soit J 089, 0, 94 J 0 653 780 0 653 -,, 780 soit J 06, 0, 69. Comme J et J sot disjoits, la différece etre f et f est sigificative, au iveau de cofiace de 95 %. D où l affirmatio aisi justifiée de Wyder et Graham. 56. Pour motrer que f- f f- f f -96, f 96, à - f f, il suffit d établir l iégalité 96, f- f ou même f- f. Or f- f 0, 5 équivaut à f- f 0, 5 c est-à-dire à f - f 05, 0 soit ecore à f - 05, 0, qui est vrai quel que soit f Œ0.. La probabilité de recouvremet de p par l itervalle de cofiace «stadard» à 95 % est doc iférieure ou égale à la probabilité de recouvremet de p par l itervalle de cofiace «simplifié» de même iveau de cofiace. 3. Voir fichier sur le site Math x. Accompagemet persoalisé Faire le poit sur les itervalles utilisés. Soit ue variable aléatoire suivat la loi p et F la variable aléatoire correspod à la fréquece de «succès» observée. U itervalle de fluctuatio au seuil de 95 % de F est u itervalle I tel que PF Œ I 095,. Remarques : e classe de Première, o obtiet l itervalle de fluctuatio «exact» à l aide de la loi biomiale e détermiat les plus petits etiers a et b tels que P a0, 05 et P b 0, 975. I est alors l itervalle a b. E classe de Termiale, pour 30, p 5 et ( - p) 5, o peut utiliser l itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95 %, soit p - p p - p I p -96, p 96,. Lorsque p est icou, u itervalle de cofiace au iveau de cofiace de 95 % est u itervalle J obteu à partir d ue réalisatio de l itervalle F - F dot les bores sot aléatoires et qui cotiet p avec ue probabilité supérieure ou égale à 0,95. Remarque : si f est la fréquece observée sur u échatillo de taille (f est ue réalisatio de F ), o obtiet alors J - f f comme itervalle de cofiace au iveau de cofiace de 95 %. Il y a autat d itervalles de cofiace de p que d échatillos! Comparaiso de deux populatios à l aide d itervalles de cofiace à 95 %. Les itervalles de cofiace correspodat aux fréqueces f et f fouries par deux échatillos de taille 00 sot J - f f 00 00 et J - f f 00 00.
J et J sot disjoits lorsque l o a soit f f -, soit f f-, 00 00 00 00 ce qui se résume par f - f,. 0. Voir fichier sur le site Math x. La probabilité d obteir deux itervalles de cofiace au iveau de cofiace de 95 % qui soiet disjoits (alors qu ils portet sur des échatillos d ue même populatio où p est cou et vaut 0,7) paraît très faible (très iférieure à 0,5 %). 3. Voir fichier sur le site Math x. a. E cellule B04, o peut etrer : =B03,96*RACINE(B03*( B03)/00) b. Deux itervalles a b et c d sot disjoits si et seulemet si o a : b c ou d a. Cela peut s écrire ecore : Mibd, Maxc, a. L istructio etrée e cellule B04 revoie doc lorsque les itervalles de cofiace correspodat aux fréqueces affichées e cellules B03 et C03 sot disjoits. L istructio revoie 0 das le cas cotraire. c. O peut e déduire que la probabilité de cosidérer à tort ue différece comme sigificative est d eviro 0,5 %. Chapitre 4. Échatilloage et estimatio 3