CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES 2. Séries etières Défiitio 2.. O appelle série etière toute série de foctios ( ) f dot le terme gééral est de la forme f ()=a, où (a ) désige ue suite réelle ou complee et R. Ue série etière est otée ( a ). Comme pour les séries de foctios, o cherche l esemble : = R: a coverge qu o appelle domaie de covergece de la série etière. Eemple 2.. Eemple :!. Posos f ()= et appliquos le critère de D Alembert ;! f + () lim f () = lim =. La série etière est absolumet covergete pour tout R ; + doc =R. Eemple 2 :. 2 Posos f ()= f + () o a : lim 2 f () = lim ( ) 2 + =. Si <, la série est absolumet covergete et si > la série diverge. Etudios le cas où =. o a f () = = 2 2 La série est alors absolumet covergete das [, ] ; et alors 2 =[, ] 2

SÉRIES ENTIÈRES Eemple :!. f + () Cette série e coverge que si = car lim f () = lim (+) et la limite eiste que si =:d où : ={}. Eemple 4 :. Posos f ()= f + () o a lim f () = lim ( ) + =. Si <, la série est absolumet covergete et si >la série diverge. Etudios le cas où =. ( = : c est la série harmoique, elle est divergete. ) ( ) ( ) = : c est la série harmoique alterée, elle est covergete. D où : =[, [. Lemme 2.. (Lemme d Abel) Soit ( a ) ue série etière. O suppose qu il eiste R tel que la suite (a ) soit borée. Alors :. La série ( a ) est absolumet covergete pour <. 2. La série ( a ) est ormalemet covergete pour <r pour tout <r<. Preuve. La suite (a ) est borée, il eiste M> tel que N a M..) Pour < : a a = = a M La série est ue série géométrique de rai- so <, doc covergete. D après le théorème de comparaiso, la série a est covergete et par coséquet la série a coverge absolumet pour <. 2.) Soit <r< et soit r. a a = = a r ( ) M r Comme M est ue série umérique covergete, la série etière a est ormalemet covergete pour tout tel que <r et tout r tel que <r<. M r AMROUN NOUR-EDDINE 22

2.2 Rayo de covergece d ue série etière 2.2 Rayo de covergece d ue série etière Pour les séries etières, la otio de covergece pred ue forme assez simple. Théorème 2.2. Soit ( a ) ue série etière ; alors il eiste u uique ombre réel R (évetuellemet ifii) tel que :. ( a ) coverge absolumet das ] R, R[. 2. ( a ) diverge si >R. Preuve. Soit I= r R+ : a r coverge R+. I car I. O distiguera trois cas : I={}, I=R + et{} I R +. ) I={}. O pose R=. Soit R. Ceci implique que > et par suite Iet la série que a diverge. Pour cela, o raisoera par l absurde. Supposos que a diverge. Motros a coverge pour >. Soit Ctel que < <. La série a est covergete d après le lemme d Abel (2..) et doc I. D où la cotradictio avec le fait que I={}. 2) I=R +. O pose R=. O doit prouver que ( a ) est absolumet covergete pour tout R. La série a r coverge pour tout r>. Soit R. Il eiste r>tel que <r. Ceci implique a a r et d après le théorème de comparaiso la série ( a ) coverge absolumet. ){} I R, I {} et I R. a) I est majoré. E effet, soit r R \I et supposos que r est pas u majorat de I. Il eisterait alors r I tel r<r. D après la défiitio de I, la série ( a r) est covergete aisi que ( a r ) (car a r < a r ) et doc r I ce qui est e cotradictio avec l hypothèse r R \I. I est alors u esemble o vide et majoré doc admet ue bore supérieure R=sup I. Pour r I coclure, o doit prouver que ( a ) coverge absolumet pour tout, <R et diverge pour tout, > R. b)soit R tel que <R. Il eisteρ I tel que <ρ<r. Comme la série ( a ρ ) coverge, ( a ) coverge e vertu du théorème de comparaiso. ( a ) est alors absolumet covergete. c) Soit R, >R. Ceci implique que Iet doc la série ( a ) diverge. Motros que ( a ) diverge. Pour cela, o raisoe par l absurde. Si ( a ) coverge, d après 2 M r AMROUN NOUR-EDDINE

SÉRIES ENTIÈRES le lemme d Abel, (2..) la série ( a ) est absolumet covergete pour tout R, vérifiat R< < et doc I. O a alors écessairemet R=sup I et ceci est e r I cotradictio avec l hypothèse R< <. Défiitio 2.2. Le ombre R=sup { r R + : ( a r ) coverge } R + {+ } est appelé rayo de covergece de la série ( a ). Remarque 2.2. Le rayo de covergece d ue série ( a ) est caractérisé par :. <R= ( a ) est absolumet covergete. 2. >R= ( a ) diverge.. =R est le cas douteu où o e peut rie dire sur la ature de la série. 4. Pour tout r R + tel que r<r, la série ( a ) est ormalemet (doc absolumet) covergete pour r. 2.2. Détermiatio du rayo de covergece Lemme 2.2. (Lemme d Hadamard) Soit ( a ) ue série etière. Le rayo de covergece R est doé par la relatio : R = lim a + a = lim a Preuve. a a) Pososl= lim + a E utilisat le critère de d Alembert o a : a lim + + a = lim a + a =l. Ceci implique : ( α) l < < ) = la série est absolumet covergete ( l β) l > > ) = la série est divergete l D après la remarque (2.2.), R= l. b) Pososl= lim a. E utilisat le critère de Cauchy : a =l puis o adopte le même raisoemet que précédemmet, o aboutit à lim la même coclusio ; R= l. Eemple 2.2. M r AMROUN NOUR-EDDINE 24

2. Propriétés.!. O a a =, utilisos le critère de D Alembert :! a lim + a = lim! (+)! = lim + =, doc le rayo de covergece est R=. La série est absolumet covergete pour tout R. 2.. 2 a O a lim + a = lim 2 =. Le rayo de covergece est R=. La série est + absolumet covergete pour tout < et divergete si >.. 2. Le critère de Cauchy doe : lim 2 = <, le rayo de covergece est R = 2. La série est absolumet 2 covergete pour tout <2 et divergete si >2. Remarque 2.2.2 Soitφue applicatio dendasn, la série de suivate ( a ϕ()) est ue série etière. O commece par calculer directemet la limite suivate ; l= lim a + ϕ(+) a ϕ() = lim a + a lim ϕ(+) ϕ() puis chercher le domaie de oùl< ; R est doc sup { l R + =R + { } } où otre série coverge. Eemple : Trouver le rayo de covergece de la série : ( 2+5). Das otre casϕ()= 2+5. l= lim + 2+7 2+5 = 2 la série coverge si 2 < < d où le rayo de covergece est : R=. La série est absolumet covergete pour tout < et divergete si >. 2. Propriétés Ce paragraphe étudie les propriétés de cotiuité, de dérivabilité et d itégrabilité de la foctio somme des séries etières. 25 M r AMROUN NOUR-EDDINE

SÉRIES ENTIÈRES 2.. Cotiuité d ue série etière Propositio 2.. Soit ( a ) ue série etière de rayo de covergece R et soit f :] R, R[ R la foctio défiie par f ()= a, f est alors cotiue. Preuve. Soit <r<r. Pour tout N, les foctios f ()=a sot cotiues das [ R, R] et puisque la covergece est ormale doc uiforme das [ r, r], f est alors cotiue das [ r, r] pour tout r, <r<r doc cotiue das ] R, R[. 2..2 Dérivée d ue série etière f () f ( ) Défiitio 2.. Ue foctio f :R R est dite dérivable e Rsi lim eiste. O la ote f ( ). Défiitio 2..2 Ue foctio f est dite de classe C sur u itervalle I der, si sa dérivée d ordre est ue foctio cotiue sur I. O otera alors que f C (I). Si elle est idéfiimet (ou ifiimet) dérivable, o dira alors qu elle est de classe C-ifiie et o écrira que f C (I). Par cotre f C (I), sigifie que f est seulemet cotiue sur I. Propositio 2..2 Preuve. Soit ( a ) ue série etière de rayo de covergece R, et soit f :] R, R[ R la foctio défiie par f ()= a. Alors f est dérivable et o a f ()= a. Soiet les foctios S :] R, R[ R défiies par S ()= a k k. Ces foctios possèdet les propriétés suivates : i) lim S ()= f () pour tout ] R, R[ et la covergece est absolue doc simple. ii) N, S est dérivable et o a S ()= ka k k. k= iii) Le rayo de covergece de ( a ) (+)a est R car lim + a = lim a + a = R. La suite (S ) est uiformémet covergete das [ r, r]. f est dérivable et o a f ()= lim S ()= a [ r, r] et r ], R[. Doc f ()= lim S ()= a ] R, R[. M r AMROUN NOUR-EDDINE 26 k=

2. Propriétés Corollaire 2.. Soit la série f ()= a de rayo de covergece R ; f est idéfiimet dérivable ( f C (] R, R[)) ; et l o a : ] R, R[, f ()= f ()!. Preuve. E effet, si f () = a, par applicatio de la propositio précédete o a f () = a, et par récurrece, la dérivée d ordre k est doée par la relatio : f (k) ()= ( )( 2)... ( k+)a k. =k De cette epressio, il résulte que f (k) ()=a k k! ; c est-à-dire que a k = f (k) (). k! 2.. Primitive d ue série etière Défiitio 2.. Ue foctio f : D R admet ue primitive s il eiste ue foctio F : D R vérifiat F = f ; (D état le domaie de défiitio de f ). Propositio 2.. Soit ( a ) ue série etière de rayo de covergece R et soit f :] R, R[ R la foctio défiie par f ()= a. O cosidère la foctio F :] R, R[ R défiie par F()= a + +. Alors F ()= f () ] R, R[. Preuve. a a Le rayo de covergece de la série etière + + est R car lim + +2 a lim + a = R. D après le théorème précédet o coclut que F = f. + a = Remarque 2.. Das le cas réel, si f ()= a, avec a R et ] R, R[, a t dt= a t a a dt= + + = pour tout ] R, R[. f (t)dt= 27 M r AMROUN NOUR-EDDINE

SÉRIES ENTIÈRES 2..4 Opératios sur les séries etières Propositio 2..4 Soit ( a ), ( b ) deu séries etières ayat respectivemet R et R pour rayo de covergece.. Si R R, le rayo de covergece R de la série ( (a + b )) est R = mi{r, R }. 2. Si R=R le rayo de covergece de la série ( (a + b )) est R R. Preuve. ) Supposos que R < R. i) <R = <R. Les deu séries ( a ) et ( b ) sot absolumet covergetes. Comme (a + b ) a + b, il e découle que ((a + b ) ) coverge absolumet pour <R = mi{r, R }. ii) Si >R, deu cas de figure se présetet : a) Si R < <R, la série ( b ) coverge absolumet et ( a ) diverge. Doc ( (a + b )) diverge. b) Si R < R<, les deu séries diverget. Motros ( (a + b )) diverge. Raisoos par l absurde. Si ( (a + b )) coverge alors d après le lemme d Abel (2..), la série ( (a + b )) coverge absolumet pour tout R, tel que < et e particulier pour vérifiat R < <R<. D où la cotradictio. 2) Si R=R. Il est clair que la série coverge absolumet si <R=R. Le rayo de covergece R R=R. Eemple 2.. Soiet les deu séries f () = 2 et g()=. Les deu séries ot pour 2 rayo de covergece R=. Par cotre la série somme ( f+ g)()= 2, a pour rayo de covergece R = 2. 2.4 Séries de Taylor Problème Soit f ue foctio réelle à variable réelle. Peut-o trouver ue suite réelle (a ) et r> tels que l o ait f ()= a pour ] r, r[? Si ce problème admet ue solutio, o dit que f est développable e série etière au voisiage de. O peut gééraliser cette situatio e se posat la même questio pour ue foctio défiie au voisiage d u poit : M r AMROUN NOUR-EDDINE 28

2.4 Séries de Taylor Eiste-il ue suite (a ) et r> tels que l o ait f ()= a ( ) pour ] r, + r[? Das l affirmatif, o dira que f est développable e série etière au voisiage de. Propositio 2.4. Pour qu ue foctio f soit développable e série etière au voisiage d u poit R, il est écessaire qu elle soit de classec das u voisiage ] ε, +ε[ de f () ( ) et das ce cas o a f ()= ( ).! Preuve. Il suffit de remarquer que si f ()= a = f () ( ).! a ( ), alors et d après le corollaire (2..) o a Propositio 2.4.2 Soit f :] r, r[ R ue applicatio de classec das u voisiage de. O suppose qu il eiste M > tel que pour tout N, et pour tout ] r, r[, f () () M. Alors la série a f ()= f () () ] r, r[! f () () est simplemet covergete das ] r, r[ et o! Preuve. Par hypothèse, il eiste M> tel que pour tout k N et pour tout ] r, r[ o a f (k) () M. Le développemet de Taylor de f au voisiage de à l ordre doe : f (k) () f ()= k + f (+) (θ) k! (+)! +, avec <θ<. k= f (+) (θ) Pour démotrer le théorème, il suffit de prouver que lim (+)! + =. E effet, ] r, r[= <r= θ <r= f (+) (θ) M; et doc f (+) (θ) (+)! + Mr+ (+)!. Or la série de terme gééral u = Mr+ est covergete car ; (+)! u lim + u = lim r f (+) (θ) = et par suite lim + (+)! + =, f (k) () ce qui doe f ()= k. k! k= Remarque 2.4. Il suffit de vérifier que le reste de Taylor, souvet appelé reste de Mac-Lauri, ted vers. f (+) (θ) C est à dire que lim (+)! + =, 29 M r AMROUN NOUR-EDDINE

SÉRIES ENTIÈRES Eemple 2.4. ) La foctio epoetielle : f ()=e. Cette foctio est idéfiimet dérivable dasr, et o a N, f () ()=e. Le reste de Mac-Lauri est : e θ (+)! +. O vérifie comme précédemmet, que cette limite ted vers zéro quad ted vers ; et ceci quelque soit dasr. Fialemet : R, e = +! + 2 2! +! + = 2) Les foctios hyperboliques : Les foctios cosiushyperboliques et siushyperboliques ot même rayo de covergece que la foctio epoetielle, c est à dire R=. ch = e + e 2 sh = e e 2 ) Les foctios circulaires : a) La foctio sius :! = + 2 2! + 4 4! + 6 6! + = 2 (2)! = +! + 5 5! + 7 7! + = 2+ (2+)! f ()=si = f ()=, et p N f (4p) ()=si = f (4p) ()= f ()=cos = f ()=, et p N f (4p+) ()=cos = f (4p+) ()= f ()= si = f ()=, et p N f (4p+2) ()= si = f (4p+2) ()= f ()= cos = f ()=, et p N f (4p+) ()= cos = f (4p+) ()= Les dérivées d ordre quelcoques sot majorées par, et ceci quelque soit dasr. O a alors : ( ) si = (2+)! 2+ et R=. b) La foctio cosius : f ()=cos =(si ) = ( ) (2)! 2, et R=. 4) La série du biôme Cosidéros la foctio f ()= y=(+) α,α R. So domaie de défiitio est ], [. O a ue relatio simple etre la foctio f et sa dérivée. y=(+) α, o a y =α(+) α d où l équatio différetielle : y (+)=αy (2.) Toutes les solutios de cette équatio sot de la forme y=c(+) α, où C est ue costate arbitraire. Cherchos maiteat s il eiste ue foctio f développable e série etière au voisiage de, f ()= a qui est solutio de (2.). Pour qu ue telle foctio eiste, il M r AMROUN NOUR-EDDINE

2.4 Séries de Taylor est écessaire d avoir les relatios : =(+) f () α f ()=(+) a α a = [(+)a + (α )a ]. O déduit alors que (+)a + (α )a = pour tout N et doc (+)a + = (α )a car ue série etière est ulle si et seulemet tous ses cœfficiet sot uls. Ceci permet d avoir :. Ceci doe efi a = αa a 2 = (α )a 2... = (α +2)a 2 a a = (α +)a a = α(α )...(α +) a! α(α )(α 2)...(α +) Soit la série a. Le rayo de covergece R est doé! par la relatio : R = lim α(α )... (α )! (+)! α(α )... (α +) = lim α =. + α(α )(α 2)... (α +) Par costructio, la série f ()= a est solutio de l équatio différetielle (2.), elle est doc de la forme f ()=C(+) α. Puisque f ()=a = C=,! o déduit que pour ], [, (+) α = + α(α )(α 2)... (α +) ;! Cette série est coue sous le om de série du biôme. R=. Remarque 2.4.2 Siα= N, alors les dérivées d ordre + et plus de (+) sot toutes ulles. La série du biôme se réduit à u polyôme de degré, et o retrouve la formule du biôme de Newto. Eercices d applicatios. E utilisat le résultat ci-dessus, motrer qu o a les développemets suivats. Doer le domaie de covergece de ces séries. a)...(2 ) +=+ ( ) = + 2.4...2 2 8 2 + 6 5 28 4 + b) + = + ( )...(2 ) 2.4...2 = 2 + 8 2 5 6 + 5 28 4 +. M r AMROUN NOUR-EDDINE

SÉRIES ENTIÈRES Remarque 2.4. U développemet e série etière au voisiage de d ue foctio f peut s obteir grâce au développemet de sa dérivée f. Par eemple, le développemet e série etière des foctios arcsi s obtiet facilemet e remarquat que : (arcsi ) = = + 2..5...(2 ) 2 = + 2.4.6...2 2 2 + 8 4 + 5 6 6 + 5 28 8 +. Sachat que arcsi =,..5...(2 ) 2+ arcsi =+ = + 2.4.6...2 2+ 6 + 4 5 + 5 2 7 + 5 52 9 +. Par ce procédé, il est facile par eemple de développer les foctios arccos, Argsh, Arctg et Argth. Attetio : la foctio Argch est pas défiie das u voisiage de zéro, so domaie de défiitio est [, [. 5) La foctio. O remarque d ue part que pour <, lim = et d autre part ++ 2 +...+ + + =. D où : =, avec R= et + = ( ), (R=). 6) La foctio Log( + ). Certais développemets e série s obtieet au moye des théorèmes sur l itégratio et la dérivatio des séries etières. Du développemet o déduit par itégratio : + ( ) Log(+)= + +, (R=). La costate d itégratio est ulle car Log =. O a de même Log( )= + +, (R=). O remarque que ces foctios sot défiies aussi pour des valeurs apparteat pas à l itervalle ouvert ], [ mais leurs développemets e série de Taylor au voisiage de e sot covergets que pour <. Formule très utile, doc à reteir : [, [: = Log( ), R=. 2.4. Développemet e série etière au voisiage d u poit Soit f () ue foctio défiie au voisiage d u poit et posos X=. Défiitio 2.4. O dit que f est développable e série etière au voisiage de si la foctio X f (X+ ) est développable e série etière au voisiage de. O aura alors : M r AMROUN NOUR-EDDINE 2

2.4 Séries de Taylor Doc f ()= f (X+ )= f (X+ )= a X pour X <R. a ( ) pour tout vérifiat <R Eemple 2.4.2 O cherche le développemet e série etière de la foctio f ()= au voisiage de =. O pose X= et o obtiet : ( = X+= + X ) = ( + X ) /2 = ( ) +...(2 ) X ( ) 2.4...2 Fialemet : = + ( )...(2 ) ( ) 2.4...2. Domaie de covergece de cette série. Puisque la série etière e X a pour rayo de covergece R=, ce qui veut dire que pour X < <X< < < <<6, la série est absolumet covergete. Pour =, o a : + ( )...(2 ) ( ) 2.4...2 =...(2 ) 2.4...2....(2 ) Le le critère de Duhamel motre que la série est covergete. 2.4...2 Pour = 6, c est la même série mais alterée, doc covergete, car absolumet covergete. E coclusio, la série trouvée a pour domaie de covergece : =[, 6]. Remarque 2.4.4 O tire deu coclusios itéressates. Le cas =doe :...(2 ) = 2.4...2 Le cas =6doe :...(2 ) ( ) = 2 2.4...2 2.4.2 Sommatio de quelques séries etières Peut das certais cas recoaître, das ue série etière, le développemet d ue ON foctio coue ; trouver cette foctio, c est faire la sommatio de la série etière. Ce problème est l iverse de celui qui a été étudié précédemmet. er eemple Soit la série etière ( a ), le terme a est de la forme : a = P() où P() état u polyôme! e de degré m. o met P() sous la forme : M r AMROUN NOUR-EDDINE

P()=α +α +α 2 ( )+α ( )( 2)+ =α + SÉRIES ENTIÈRES m α k ( ) ( k+). O a : P(k)=α +α k+α 2 k(k )+α k(k )(k 2)+ +α k k!, cette relatio de récurrece permet de calculer toutes les valeurs deα k. O calculeα, puisα, puisα 2 jusqu àα m. eemple : Sommer la série suivate. k= f ()= ( 4 4 + 25 49 2 + +2)! so rayo de covergece état l ifii, posos : P()= 4 4 + 25 49 2 + +2 =α +α +α 2 ( )+α ( )( 2)+α 4 ( )( 2)( ). Pour o a P()=α = 2 Pour o a P()=α +α = 5=2+α α = Pour =2o a P(2)=α + 2α + 2α 2 = 4 α 2 = 2 Pour =o a P()=α + α + 6α 2 + 6α = 5 α = Pour =4o a P(4)=α + 4α + 2α 2 + 24α + 24α 4 = 82 α = 4 4 4 + 25 49 2 + +2=2+ 2( )+( )( 2) 4( )( 2)( ). La somme est alors : ( 2 f ()=! +! 2( )! = 2! + = 2 ( )! 2 + ( )( 2)! =2! + ( )! 22 = ( 2+ 2 2 + 4 4) e 2 ème eemple ( 2)! + =2 4( )( 2)( ) )! = 2 ( 2)! + ( )! 4 = =4 ( 4)! ( )! 44 =4 4 ( 4)! Soit la série etière ( a ), le terme a est de la forme : a = P() où P() état u polyôme e de degré m. o met P() sous la forme : P()=α +α (+)+α 2 (+)(+2)+α (+)(+2)(+)+ m α + α k (+)(+2) (+k). k= (k+m)! O a : P(k)=α +α (k+)+α 2 (k+)(k+2)+α (k+)(k+2)(k+)+ +α k, cette k! relatio de récurrece permet de calculer toutes les valeurs deα k. O calculeα, puisα, puis α 2 jusqu àα m. eemple : Sommer la série suivate. f ()= ( + 9 2 + 2+) so rayo de covergece état égal à. Posos : P()= + 9 2 + 2+=α +α (+)+α 2 (+)(+2)+α (+)(+2)(+) Pour = o a P( )=α = M r AMROUN NOUR-EDDINE 4

2.4 Séries de Taylor Pour = 2 o a P( 2)=α α = = α α = Pour = o a P( )=α 2α + 2α 2 = 5 α 2 = Pour = 4 o a P( 4)=α α + 6α 2 6α = α = D où : P()= +(+)+(+)(+2)(+), et doc f ()= ( +(+)(+2)+(+)(+2)(+)) = + (+)(+2) + (+)(+2)(+) Les trois sommes se déduiset de la série géométrique. ( ) (+)(+2) = +2 = ( ) = ( ) 2 6 = ( ) ( (+)(+2)(+) = + = ++ 2 + ( ) ( = +2+ = 2+ 2 ) 6 = ( ) 2 ( ) ( ) 4 O a : ) = f ()= + 6 6 2 + ( ) + ( ) 4= ( ) 4 pour réel la série e coverge pas au bores de l itervalle de covergece. Le domaie de covergece est alors ], [. ème eemple Soit la série etière ( a ), le terme a est de la forme : a = où P() état u polyôme P() e de degré m avec des racies simples et etières. O décompose a élémets simples et o utilisera la formule = Log( ). Eemple : Sommer la série suivate. f ()= = so rayo de covergece est égal à. Posos : La décompositio e élémets simples doe : 2 = 2 = = ( 2)(+)(+) ( 2)(+)(+) = 5( 2) 6(+) + (+) 2 2 = 2 = 2( Log( ) ) = 2 Log( ) 5 M r AMROUN NOUR-EDDINE

+ = + + = = = =4 + = + + = = = =6 O obtiet fialemet f ()= = ( ) Log( ) 2 2 = ( Log( ) 2 2 4 4 5 5 SÉRIES ENTIÈRES [( 2 5 + 2 8 ) Log( )+64 5 + 5 4 + 24 9 2 8 ] 8 Remarques :. La limite de f () quad ted vers est bie fiie, car 2 5 + 2 8= 6(2 + 4 2 + 6+)( ) 2 et elle vaut 679/8. 2. U développemet limité au voisiage de de ( 2 5 + 2 8 ) Log( )+64 5 + 5 4 + 24 9 2 8 motre Aussi que la limite de f () quad ted vers est bie fiie et vaut f ()=. Puisque la série doée est covergete pour =, le domaie de covergece de la série est doc [, ]. 4. O déduit de ces calculs et ces remarques que : f ()= ( 2)(+)(+) = 9 8 = ( ) 9 24 Log 2 f ( )= = ( 2)(+)(+) 8 = E utilisat toujours la formule = Log( ), o peut sommer des séries de type =m a+b avec a N, b Z et b a Z. 4 ème eemple Sommer la série suivate, f ()= 2+ so rayo de covergece est égal à. O a f ()= er cas > : ( ) 2+ ( ) 2+ f ()= 2+ = = 2+ 2+ ( ) 2+ Posos < =t ], [ o a alors : 2+ = t 2+ par dérivatio puis itégratio 2+ o obtiet : t 2+ 2+ = +t Log et doc : 2 t f ()= 2+ = si = 2 + Log si ], [ M r AMROUN NOUR-EDDINE 6 ).

2.4 Séries de Taylor 2 ème cas < : Posos = X o a f ( X)= g(x)= ( ) X 2+ = X Posos ( ) ( ) 2+ X X=t ], [> o a alors : = 2+ itégratio o obtiet : ( ) t 2+ = Arctg t et e coclusio fiale o a doc : 2+ ( ) ( X ) 2+ 2+ ( ) t 2+ 2+ si =. par dérivatio puis f ()= 2+ = 2 + Log si ], [ Arctg si ], [ Remarque : Les foctios trouvées sot cotiues e et valet. Pour le domaie de covergece de la série étudiée est D f = [, [ et o trouve pour = : ( ) 2+ = Arctg =π 4 5 ème eemple De la même maière o peut sommer des séries de type : f ()= (2)! so rayo de covergece est égal à l ifii. O a f ()=. ( ) 2 > f ()= = ch. (2)! ( ) ( ) 2 < f ()= = cos. (2)! Beaucoup de séries e peuvet être sommer à l aide de foctios élémetaires, et ceci malgré leur simple écriture. 6 ème eemple La foctio de La : σ()= La série état ormalemet covergete pour tout [, ]. Facilemet o trouve : 2 σ ()= Log( ) =, 7 M r AMROUN NOUR-EDDINE

SÉRIES ENTIÈRES foctio dot la primitive est pas «ue foctio élémetaire.» Il eiste ue relatio foctioelle itéressate pourσ(). O a : σ()= Log( t) dt t C est ue itégrale impropre e et e. La limite e de Log( ) vaut, au voisiage Log( t) de, o a : Log( t) dot l itégrale eiste. ue simple itégratio par partie t doe : σ()= [ Log( t) Log t ] + Log t t dt o a lim t (Log( t) Log t)=, u chagemet de variables X= t das la derière itégrale doe : Log t t dt= Log( X) X dx= O verra au chapitre sur les séries de Fourier que E coclusio o a : Log( X) dx= X ], [ Log( X) dx X Log( X) dx=σ()= X σ()+σ( )+Log Log( )= π2 6 Log( X) dx X 6 2=π2 Remarques : La formule ( ) reste valable pour [, ], car lim Log Log( )= lim Log = et lim Log Log( )= lim Log( t) Log t= lim t Log t= t t [; /2] == [/2; ], coaissat les images de tous les ombres de l itervalle [, /2] o peut déduire celles des ombres de l itervalle [/2, ]; et gééralemet si a et b sot deuombres réels de [; ] tels que a+b= alors o a : b 2=π2 6 Log a Log( a) a 2 E posat =/2 o obtiet 2σ(/2)+Log 2 (/2)=π 2 /6 d où σ(/2) = 2 2=π2 2 2 Log2 2.58224 6 ème eemple Doer le rayo de covergece de la série suivate puis calculer sa somme : f ()= ( ) M r AMROUN NOUR-EDDINE 8 ( )

2.4 Séries de Taylor O a immédiatemet /R= lim ( ) = lim lim D où R=. O peut écrire cette somme sous la forme : 2 2 = si est paire 2+ /2+ = si est impaire f () = +2 2 + + 4 4 + 5 5 + 6 6 + 7 7 + 8 8 + = ( ( 2 2 + 4 4 + 6 6 + 8 + )+ 8 + + 5 5 + ) 7 7 + = 2 2 2+ + 2+. La première série est divergete pour =±, doc le domaie de covergece de la série doée est ], [, (La 2 ème série est aussi covergete pour =±). O peut écrire : pour obteir fialemet ( f ()= 2 + Arctg = ) 2 + Arctg. ( f ()= 2 ) + Arctg = 2 2 ( 2 ) 2+ Arctg ], [. Comme applicatio o a pour = ( ) =π+9 6 2, 26. Eercice Résoudre l équatio différetielle suivate ; e utilisat les séries etières : Solutio : y y= y()= y ()= Posos y=a + a +a 2 2 + a + a 4 4 + a 5 5 + +a + = a. O a : y = 2..a 2 +.2a +4..a 4 2 + 5.4.a 5 + +(+2)(+)a +2 + = (+2)(+)a +2. E substituat das otre équatio différetielle, o trouve : 2..a 2 + (.2a a )+(4..a 4 a ) 2 + (5.4.a 5 a 2 ) + +((+2)(+)a +2 a ) + =. 9 M r AMROUN NOUR-EDDINE

SÉRIES ENTIÈRES O obtiet les équatios algébriques suivates : 2..a 2 =.2a a = 4..a 4 a = 5.4.a 5 a 2 =... (+2)(+)a +2 a =... O costate que y()== a = et y ()== a =, comme la première équatio algébrique doe aussi a 2 =, o a alors a =, a = a 2 =, a = 2. = a 4 = a 5 =, a 6 =! 2..5.6 = 4 6!, a 7= a 8 =, a 9 == 2..5.6.8.9 = 4.7 9!. O remarque que seulemet les cœfficiets a, N sot o uls. O obtiet fialemet : La solutio aisi costruite sera : a + = a +2 = et a = y ()=+.4.7... ( 2). ()!.4.7... ( 2). ()! So domaie de covergece est doé par la règle de d Alembert, o trouve que R=. La série est covergete pour tout dasr. Remarque 2.4.5 α : Le même problème avec d autres coditios, par eemple : y y= y()= y ()= O a ue autre solutio, et o trouve a = et a = et : y 2 ()=+ 2.5.8... ( ) +. (+)! β : L équatio y y=apour solutio géérale y()=a.y ()+b.y 2 (), où a et b sot deu réels quelcoques. y et y 2 sot deu foctios spéciales, qu o e peut pas eprimer à l aide de foctios élémetaires. M r AMROUN NOUR-EDDINE 4