Risque de logévité et détermiatio du besoi e capital : travaux e cours Frédéric PLANCHET ISFA Laboratoire SAF Versio.6 / Septembre 2008 Sommaire La prise e compte de l expériece propre au groupe das l aalyse de la mortalité... 0 Les modèles stochastiques de mortalité... 3. Mesure de l icertitude tedacielle sur la mortalité... 7.. Itroductio... 7.2. Le modèle de mortalité... 8.2.. Présetatio... 8.2.2. Applicatio umérique... 20.3. Applicatio à u régime de retes viagères... 22.3.. Problématique... 22.3.2. Résultats... 23.4. Coclusio... 27.5. Bibliographie... 28 2. Perturbatios extrêmes sur la dérive de mortalité aticipée... 30 2.. Itroductio... 30 2.2. Le modèle de mortalité... 3 2.2.. Présetatio... 3 2.2.2. Applicatio umérique... 32 2.3. Applicatio à u régime de retes viagères... 33 2.3.. Problématique... 33 2.3.2. Résultats... 34 2.4. Coclusio... 37 2.5. Bibliographie... 38 3. Modèles prospectifs de mortalité avec dérive cotraite... 39 3.. Itroductio... 39 3.2. Le modèle de mortalité... 4 3.2.. Rappels sur le modèle de Lee-Carter... 4
3.2.2. Fermeture de la table... 4 3.2.3. Présetatio géérale du modèle... 42 3.2.4. Ue spécificatio simple du modèle... 43 3.3. Applicatio umérique... 44 3.3.. Passage du modèle Lee-Carter stadard au Lee-Carter logistique... 44 3.3.2. Aalyse de la composate prospective... 46 3.3.3. Applicatio à u régime de retes viagères... 48 3.4. Coclusio... 49 3.5. Bibliographie... 49 4. Risque de modèle et détermiatio du capital écoomique... 53 4.. Itroductio... 53 4.2. Descriptio du modèle... 53 4.2.. Présetatio... 53 4.2.2. Cas particulier de la loi log-ormale... 55 4.2.3. Estimatio des paramètres du modèle... 56 4.2.4. Coséquece sur le iveau du capital de l estimatio des paramètres... 57 Cas du modèle log-ormal... 57 Cas du modèle mélagé... 58 4.2.5. Applicatio umérique... 58 Simulatio de la loi mélagée... 58 Résultats... 59 Idetificatio des valeurs extrêmes... 60 Ajustemet du modèle mélagé... 6 4.3. Coclusio... 62 4.4. Bibliographie... 62 5. Cotraites opératioelles : la prise e compte des extrêmes... 63 5.. Calcul de VaR e assurace... 65 5... Notatios... 67 5.2. Estimatio de quatiles extrêmes... 67 5.2.. Estimatio aturelle... 68 5.2.2. Ajustemet à ue loi paramétrique... 68 5.2.3. Approximatio GPD... 68 5.2.4. Estimateur de Hill... 69 5.2.5. Illustratio... 70 5.3. Applicatio du bootstrap... 7 5.3.. Présetatio... 7 5.3.2. Calcul d u itervalle de cofiace pour ue VaR... 73 5.3.3. Illustratio umérique... 75 5.4. Robustesse du SCR... 76 5.4.. Estimatio des paramètres des variables de base... 76 5.4.2. Simulatio... 77
5.4.3. Spécificatio du modèle... 77 Cotexte et motivatio... 77 Modélisatios avacées... 79 5.5. Coclusio... 8 5.6. Bibliographie... 82 Aexe A : Loi de Pareto gééralisée (GPD)... 85 A. Défiitio... 85 A.2 Quelques propriétés... 85 A.3 Estimatio des paramètres... 86 Aexe B : Résultats probabilistes... 88 B. Loi du maximum... 88 B.2 Épaisseur des queues de distributio... 89 B.3 Loi des excès au-delà d'u seuil... 90 Aexe C : Estimatio du paramètre de queue... 9 C. Méthodes paramétriques... 9 C.2 Méthodes semi-paramétriques... 92
Préambule Le préset travail fait suite à la thèse de doctorat préparée au sei du laboratoire de Scieces Actuarielle et Fiacière (SAF) de l Uiversité Lyo et souteue le 20 ovembre 2006 sur le thème du Pilotage techique d'u régime de retes viagères : idetificatio et mesure des risques, allocatio d'actif, suivi actuariel. Les thématiques présetées das ce travail ot depuis été développées et ot doé lieu aux publicatios suivates : PLANCHET F. [2007c] «Prospective models of mortality with forced drift Applicatio to the logevity risk for life auities», Proceedigs of the th IME Cogress PLANCHET F., JUILLARD M. [2007] «Mesure de l icertitude tedacielle sur la mortalité applicatio à u régime de retes», Assurace et gestio des risques, Vol. 75 (3). PLANCHET F.; JUILLARD M.; THEROND P. [2008] «Perturbatios extrêmes sur la dérive de mortalité aticipée», Assuraces et gestio des risques, à paraître. PLANCHET F., LELIEUR V. [2007] «Costructio de tables de mortalité prospectives : le cas des petites populatios», à paraître das le Bulleti Fraçais d Actuariat, vol. 7, 4. PLANCHET F., THÉROND P.E. [2007a] Pilotage techique d'u régime de retes viagères, Paris : Ecoomica. PLANCHET F., THEROND P.E. [2007b] «Provisios techiques et capital de solvabilité d'ue compagie d'assurace : méthodologie d'utilisatio de Value-at-Risk», Assuraces et gestio des risques, Vol. 74 (4). PLANCHET F., THÉROND P.E. [2007c] «Model risk ad determiatio of ecoomic capital i the Solvecy 2 project»,, Proceedigs of the 6 th AFIR Colloquium. PLANCHET F., THÉROND P.E. [2007d] Mesure et gestio des risques d assurace, Paris : Ecoomica. PLANCHET F., THÉROND P.E. [2008] «Expected Shortfall of Claims Evets: Some Practical Aspects», Proceedigs of the 38th ASTIN Colloquium. PLANCHET F., WINTER P. [2007] «L'utilisatio des splies bidimesioels pour l estimatio de lois de maitie e arrêt de travail», Bulleti fraçais d actuariat, vol. 7, 3. Les sujets présetés ici sot égalemet actuellemet développés das le cadre des ciq thèses suivates, co-ecadrées avec le Professeur Jea-Claude AUGROS au sei du Laboratoire SAF (équipe d accueil 2429) : FARJALLAH Mariem (e cours depuis 2007) : Gestio dyamique de couvertures e assurace. KAMEGA Aymric (début e septembre 2008) : Outils théoriques et opératioels adaptés au cotexte de l'assurace vie e Afrique subsahariee fracophoe. MANDHOUJ Khouloud (début e octobre 2008) : Etude de la Structure de Dépedace multidimesioelle et Applicatio e Assurace. MERHI Nisrie (début e octobre 2008) : modélisatio des décisios de l'assureur das la gestio de la participatio aux bééfices - coséqueces de ces décisios sur l'évaluatio des optios et garaties d'u cotrat d'assurace vie. KALAMOUN Mehdi (début e octobre 2008) : Coceptio d u modèle d actifs itégré pour la détermiatio du SCR. Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 4 -
A l exceptio de la première dot la souteace est prévue e ovembre 200, les quatre autres thèses devraiet ormalemet être souteues à la fi de l aée 20. Efi, le coteu du préset travail est costitué, pour la première partie, par des adaptatios de PLANCHET et JUILLARD [2007] (sectio ), PLANCHET et al. [2008] (sectio 2) et PLANCHET [2007c] (sectio 3) et pour la secode par des adaptatios de PLANCHET et THÉROND [2007b] (sectio 4) et [2007c] (sectio5). Le coteu de ces articles et ouvrages publiés depuis 2006 das le cadre d ue activité d eseigemet et de recherche à l Istitut de Sciece Fiacière et d Assuraces a été adapté pour préserver la cohérece d esemble de ce documet. Les articles d origie sot systématiquemet cités e référece. Pour termier, o souligera que ce travail prologe les approches géérales décrites das les ouvrages PLANCHET et al. [2005], PLANCHET et THEROND [2006], [2007a] et [2007d]. La plupart des référeces citées das ce documet sot dispoibles e lige sur le site http://www.ressourcesactuarielles.et. Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 5 -
Itroductio L assurace est caractérisée par l iversio de so cycle de productio : d ue part le prix d u cotrat est fixé d avace («prime»), et d autre part so coût est cou qu a posteriori. Au surplus, das certaies situatios (retraite, ivalidité, cotrats de resposabilité civile, assurace costructio) il existe ue durée très logue, parfois de plusieurs aées ou plusieurs dizaies d aées, etre la détermiatio de la prime et la fi du paiemet des siistres. Les risques pris e charge par les cotrats d assurace sot très majoritairemet des risques mutualisables, ce qui coduit à e foder la gestio techique sur la loi des grads ombres (pour la détermiatio de la charge espérée) et le théorème de la limite cetrée (pour les fluctuatios autour de cette espérace). Les bases théoriques sur lesquelles reposet ces aalyses ot été établies par les travaux fodateurs de Codorcet et Laplace 2. De maière très schématique le bila d ue compagie d assurace est doc de la forme : avec L les provisios mathématiques et E les fods propres, qui coduiset à u iveau global d actif A = L+ E qui va devoir être ivesti et géré. De fait, la réglemetatio applicable aux orgaismes assureurs prévoit la costitutio de «provisios mathématiques» dot le iveau est fixé e référece à l espérace (actualisée ou o suivat les cas) des charges futures complétées par des fods propres ou «marge de solvabilité» dot le rôle est d absorber les fluctuatios d échatilloage et les autres risques supportés par l assureur. Toutefois la quatificatio des risques est pas explicite mais implicite. E effet, les règles prudetielles actuelles sot défiies par u cadre europée, Solvabilité, laissat ue marge de maœuvre importate au régulateur local de chaque pays ; aisi, e Frace, les provisios mathématiques (article R33- du code des assuraces) sot-elles détermiées sur des bases «prudetes» largemet ecadrées par la réglemetatio 3 et la marge de solvabilité est calculée de maière très simple e foctio du motat des provisios (assurace vie) ou des motats de cotisatios et de siistres (assurace o vie). E coséquece, le dispositif actuel itègre à différets iveaux des marges pour risque, mais le iveau de celles-ci reste implicite. L objectif du dispositif Solvabilité 2 e cours d élaboratio (voir les documets de la Commissio Européee 2 Le lecteur itéressé par l histoire de la théorie du risque pourra otammet cosulter Pradier [2003]. 3 O pourra par exemple se reporter à l itervetio de Marc PORIN aux etreties de l assurace e 997 (PORIN [997]). Cette itervetio est dispoible sur http://www.ffsa.fr/webffsa/portailffsa.sf/073ca870743e6428c256c3003ed8a0/c4bd6f4d78706ec2570c300543a 5/$FILE/a7.pdf Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 6 -
cités e bibliographie aisi que PLANCHET et al. [2005] Pour ue présetatio sythétique) est de remédier à cette isuffisace e proposat u cadre d aalyse qui permette de quatifier explicitemet les marges de risques, e ayat préalablemet procédé à ue aalyse exhaustive de ceux-ci. E parallèle le développemet des cotrats d éparge icorporat différetes garaties telles que des garaties de taux, des possibilités de rachat ou ecore des garaties sur le motat du capital ivesti («garaties placher») a ameé les assureurs à aalyser de maière plus fie les risques associés à ces cotrats. E s appuyat sur les approches et les résultats de la fiace de marché, et otammet la théorie des optios, ue littérature abodate s est développée avec l objectif de quatifier le risque associé à de telles clauses et d e déduire leur «prix». O peut par exemple citer BALLOTA [2004], BALLOTA et al. [2005], BIFFIS et MILLOSSOVICH [2004] ou ecore JORGENSEN [2004]. DEVOLDER [200] propose ue sythèse critique de ces approches, qui sot égalemet détaillées de maière opératioelle das THÉROND [2007]. Au global, les aées récetes sot aisi marquées par le développemet de différets dispositifs coduisat à repeser de maière coséquete la gestio et le pilotage des risques d assurace : projet Solvabilité 2 (règles prudetielles), ormes IFRS 4 «assurace» (règles comptables) et égalemet cadre MCEV 5 (reportig fiacier). Le lecteur itéressé trouvera ue sythèse de ces référetiels das THEROND [2007]. O peut schématiser de maière très sythétique les évolutios pricipales iduites par ces réformes e relevat les poits suivats : Le passage quasi-systématique d hypothèses d évaluatio prudetes et/ou covetioelles à des hypothèses «réalistes» das ue logique «best estimate» (BLUM et OTTO [998]). Ue aalyse plus exhaustive des risques portés par l assureur qui coduit à s itéresser tout particulièremet aux risques o mutualisables ; le premier de ces risques est évidemmet costitué par les différets risques fiaciers sur les cotrats d éparge et de retraite, mais l exame attetif de passifs d assurace o fiacier met aussi e évidece des risques de ce type, chaque fois que l hypothèse classique d idépedace se trouve mise e cause. Le risque systématique de mortalité e est u exemple (CAIRNS et al. [2004]). Efi, le cadre coceptuel plus spécifique du dispositif prudetiel Solvabilité 2 met e avat u critère de cotrôle de la probabilité de ruie pour la fixatio du capital de solvabilité (Solvecy Capital Requiremet ou SCR), qui cotrait de fait à porter ue attetio particulière au comportemet des queues de distributio, à l actif comme au passif (PLANCHET et THEROND [2007c]). Au surplus, ce critère modifie les modèles de gestio actif / passif (ALM) traditioels e itroduisat u lie fort etre l allocatio effectuée et le iveau du capital de solvabilité. 4 «Iteratioal Fiacial Reportig Stadards». 5 «Market Cosistet Embedded Value». Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 7 -
De maière trasversale o peut sigaler que ces dispositifs puiset largemet das la culture d ispiratio fiacière via les otios de «fair value» et de couverture. Certaies coséqueces de ces empruts sot discutées das PLANCHET [2006b]. CHENUT et al. [2003] et [2004] aalyset de maière détaillée les implicatios de cette approche das le cas des garaties placher pour des cotrats e uités de compte. BALLOTA et al. [2005] aborde la prise e compte des sauts à l actif avec les implicatios e terme de valorisatio (marchés icomplets). Au-delà des réflexios théoriques sur ces sujets, pour lesquels ue littérature uiversitaire abodate existe, d importats besoi de modélisatios étayés théoriquemet et utilisables e pratique se sot fait jour. Ces besois coceret tout autat l assurace o vie que l assurace vie. La questio de la détermiatio du SCR das u cotexte d assurace o vie est par exemple abordée das PLANCHET et THEROND [2005a] das u cadre moo-périodique, le modèle proposé état étedu avec ue dyamique iter-temporelle par BRUNEAU et al. [2007]. Nous avos choisi das le préset documet de ous restreidre au cas de l assurace vie et de la retraite et d imagier des réposes à ces besois au travers de 2 thèmes précis : l aalyse du risque de mortalité supporté par u régime de rete, tat das sa dimesio prospective (aticipatio des évolutios futures des taux de décès) qu au travers de l aalyse de l aléa o mutualisable qui subsiste ue fois la tedace doée et supposée juste ; les implicatios du critère de «o ruie à u a avec ue probabilité de 99,5 %» sur lequel le dispositif Solvabilité 2 fode la détermiatio du capital de solvabilité. Le risque (systématique) de mortalité est e effet potetiellemet très dagereux pour u régime de retes : toute déviatio de la mortalité par rapport à la tedace aticipée lors de la tarificatio affecte e effet l esemble du portefeuille ; aisi, si l espérace de vie a été sous-estimée, le régime doit faire face à des charges supplémetaires o prévues. Ce risque est aalysé de maière détaillée das la première partie de ce travail. La secode partie est cosacrée à la mise e œuvre opératioelle du critère de cotrôle de la «probabilité de ruie» e Solvabilité 2 ; plus précisémet, o cherche quelles sot les cotraites miimales auxquelles doit satisfaire u modèle itere 6 pour fourir u iveau de capital qui e soit pas maifestemet sous-estimé. Cette aalyse permet de mettre e évidece u certai ombre de poits que le régulateur pourrait itégrer das ses règles d homologatio de tels modèles. Les itroductios des 2 parties composat ce travail développet assez largemet le cotexte de chacue des problématiques étudiées. Efi, ue bibliographie géérale repred l esemble des référeces citées das le texte, y compris l itroductio géérale, les itroductios des parties et la coclusio 6 Le modèle itere e Solvabilité 2 est ue modélisatio actif / passif propre à l etité, modélisatio sur laquelle elle peut s appuyer pour justifier de so iveau de capital de solvabilité, y compris e justifiat d u iveau iférieur à la situatio de référece défiie par la «formule stadard» ; o se reportera à THEROND [2007] pour u développemet détaillé. Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 8 -
géérale. Les référeces propres à chacue des 5 sectios sot reprises das des bibliographies de la sectio correspodate. Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 9 -
Partie : Mortalité prospective et mortalité stochastique 7 La prise e compte de l expériece propre au groupe das l aalyse de la mortalité Que ce soit das le cadre de l évaluatio des egagemets d u régime de retraite, la valorisatio d u portefeuille d éparge ou ecore le suivi techique de cotrats e cas de décès, la mortalité costitue u paramètre détermiat du résultat des valorisatios. La questio se pose doc du choix pertiet de l hypothèse à reteir. D ue maière géérale, les ormes comptables IFRS coduiset à privilégier, au travers d ue approche «écoomique» de la valorisatio de l etreprise, le choix d hypothèses «réalistes», teat compte de l'expériece du portefeuille 8 (IFRS assurace) ou de l etreprise (IAS 9). Das le cas particulier de la mortalité, cela coduit aturellemet à vouloir se tourer vers des «tables d'expériece» e lieu et place de référeces exogèes (tables atioales, tables réglemetaires das le cas des assureurs, etc.) pas écessairemet e phase avec la réalité du risque. Mais, dès lors que le risque est viager, et otammet das les problématiques de retes, la table de mortalité utilisée se doit d'être prospective afi de predre e compte l évolutio future des taux de décès, ce qui iduit de fortes cotraites e terme de volume de doées si l'o souhaite costruire ue «surface de mortalité» spécifique de la populatio cocerée aticipat correctemet les évolutios à veir. Aisi, lors de la costructio des ouvelles tables de mortalité réglemetaires utilisées par les assureurs pour le provisioemet de leur egagemets viagers 9, les quelques cetaies de milliers de têtes observées sur ue dizaie d aées ot pas suffit à costruire ue table autoome (ou «edogèe») et il est apparu écessaire de s appuyer sur des tables costruites préalablemet sur l esemble de la populatio fraçaise pour dégager des tedaces de log terme. E pratique, la taille des groupes existats et le ombre d aées dispoibles sot doc souvet isuffisats pour espérer réaliser ue costructio robuste d'ue telle table «edogèe», obteue uiquemet à partir des observatios issues du groupe cosidéré. Ceci est valable tat sur des portefeuilles de retiers que das le cas d etreprises. Doit-o pour autat reocer à teir compte de l'iformatio apportée par les observatios? La répose est bie etedu égative. E effet, les détermiats de la mortalité sot ombreux : le sexe, le mode de vie, le iveau de reveu, la régio d'habitatio figuret parmi les plus importats. Ue populatio particulière doée (portefeuille d assureur ou retiers futurs et e cours das le cas d u régime supplémetaire d'etreprise) présete doc a priori ue mortalité différete de celle décrite par des référeces atioales ou de place. 7 Ce texte est adapté de PLANCHET [2007a]. 8 Voir sur ce poit IASB INSURANCE WORKING GROUP [2006], 4-6. 9 Les tables TGH et TGF 05 de l arrêté du 0/08/2006. Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 0 -
Das ce cotexte, dès lors que l o abadoe ue évaluatio prudetielle des egagemets au profit d ue évaluatio «réaliste» avec ue quatificatio qui se veut explicite de la marge de risque, il est idispesable de predre e compte l iformatio apportée par les doées dispoibles, sous peie de déformer «l image écoomique fidèle» de l etreprise que l o eted doer. Se pose toutefois la questio du moye d y parveir, compte teu des difficultés techiques exposées précédemmet. U exame plus attetif de la structure d'ue table de mortalité prospective coduit alors à distiguer le iveau de la mortalité (âge par âge) d ue part et so évolutio aticipée das le futur d autre part. Détermier le iveau de la mortalité à u momet doé reviet à fixer ue table du momet, proposer ue tedace pour l'évolutio future coduit à lui ajouter ue dimesio prospective pour aboutir à ue surface de mortalité, ou table prospective. Les doées dispoibles fourisset e gééral ue détermiatio suffisammet riche pour la costructio d'ue table du momet, quitte à procéder à des extrapolatios e dehors de la plage où des observatios sot dispoibles. Ces extrapolatios sot aisées das le cadre des modèles paramétriques de mortalité, comme par exemple le modèle classique de Makeham (MAKEHAM [874]) ou les modèles de régressio logistique. C est au momet de détermier la tedace d évolutio des taux de mortalité das le futur que les doées s avèret isuffisates e pratique : historiques trop faibles (souvet mois de 0 as) et effectifs isuffisats (quelques dizaies de milliers) pour supprimer le bruit issu des fluctuatios d échatilloage redet la démarche prospective délicate à appliquer directemet, sauf à predre des risques importats sur l appréciatio de la tedace. Il existe par exemple des versios paramétriques du célèbre modèle de Lee-Carter qui permettet d estimer ue surface de mortalité à partir d u ombre réduit de paramètres : la dimiutio du ombre de paramètres permet ue estimatio plus fiable et augmete le pouvoir prédictif du modèle, mais elle augmete e parallèle le risque d iadéquatio du modèle à la réalité. Toutefois, o peut oter à ce stade que la questio est pas tat fodametalemet ici de costruire ue table de mortalité que d être e mesure de sélectioer ue hypothèse bie adaptée au groupe pour le risque cosidéré, et à tout le mois mieux adaptée qu ue référece réglemetaire utilisée de maière arbitraire. E effet, si l objectif de costruire ue table spécifique pour la populatio étudiée s avère délicat à atteidre, ue démarche pragmatique cosiste à se tourer vers les différetes référeces existates et à rechercher celle qui, parmi elle, représete le mieux le comportemet de la populatio e terme de mortalité. Les outils statistiques d aalyse de l adéquatio d ue loi de mortalité doée a priori à des observatios issues de l expériece sot classiques et peuvet ici être employées avec succès. Aisi, il est doc importat de oter qu e pratique l'aalyse de la mortalité d expériece du groupe peut coduire à reteir comme «table d expériece» ue table exogèe au groupe, par exemple la TPG 993, ue table INSEE, ou plus gééralemet toute table dot o aurait des raisos de peser qu elle peut raisoablemet représeter la mortalité de la populatio cosidérée ; d ue maière géérale, la justificatio de l adéquatio d'ue table à u groupe doé pour u risque doé (vie ou décès) relève Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - -
d'ue aalyse différete de la costructio d'ue table de mortalité propre au groupe. Et cette aalyse est plus robuste et plus simple à mettre e œuvre que la costructio propremet dite. Face à ces cotraites, l obtetio d'ue iformatio raisoablemet fiable sur la mortalité d expériece du groupe passe doc i fie par le positioemet de cette mortalité par rapport à ue référece, que celle-ci soit ue table atioale, ue table de place, ou ue table d expériece costruite sur ue populatio plus large présetat des similitudes de comportemet sur ce registre. Ue table de mortalité est, o l a vu, essetiellemet décrite par le iveau de la mortalité à u momet doé et la tedace future d évolutio des taux de décès (ou de tout autre gradeur décrivat la survie, comme par exemple l idicateur classique d espérace de vie). Cette structure coduit à observer que le positioemet par rapport à ue référece peut, e foctio de la qualité des doées à dispositio, s evisager de deux maières : u positioemet sur le iveau uiquemet, la tedace repreat strictemet la tedace de la référece proposée ; u positioemet cojoit sur le iveau et la tedace. Plus délicat à mettre e œuvre techiquemet, il permet ue appréciatio plus fie du risque de logévité lorsque le volume de doées est suffisat. Pour l ue ou l autre de ces deux approches, les outils techiques existet : o peut citer otammet les régressios logistiques ou le modèle de Cox (COX [972]) et ses dérivés. O peut d ailleurs oter que les ouvelles tables réglemetaires TGH et TGF 05 légitimet d ue certaie maière cette démarche. E effet, la relative petite taille des portefeuilles utilisés pour la costructio a écessité comme o l a rappelé ifra le calage des tedaces sur des tables prospectives préalablemet costruites pour l occasio sur la base de doées INSEE. Aisi, les tables réglemetaires elles-même sot e u certai ses le résultat d'u positioemet de la mortalité des assurés par rapport à la mortalité géérale. Au global, et e guise de coclusio o peut reteir que les évolutios aussi bie des dispositifs prudetiels (Solvabilité 2) que des dispositifs comptables (IFRS) ou des approches de valorisatio d'ue activité d'assurace (EEV / MCEV) impliquet de predre e compte l expériece du groupe das les hypothèses de mortalité reteues. Si la costructio d ue «table d expériece» propre au groupe et élaborée à partir de ses seules doées est e pratique pas ue solutio systématiquemet evisageable, les techiques de positioemet de la mortalité d expériece par rapport à ue référece extere fourisset ue palette d'outils opératioels coduisat à ue appréciatio plus réaliste du risque porté. Il apparaît aisi délicat aujourd hui de faire l écoomie d ue étude fie de la mortalité d u portefeuille ou des membres d u régime de retraite das le but de mesurer de la maière la plus réaliste possible la valeur actuelle des egagemets pris. Cette problématique fait otammet l objet des travaux présetés das PLANCHET et al. [2006], Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 2 -
PLANCHET et JUILLARD [2007], PLANCHET et LELIEUR [2007] et PLANCHET et WINTER [2007]. Cette démarche coduit aturellemet à des modèles prospectifs itégrat ue aticipatio du iveau de la mortalité futur. Cette approche peut être complétée e itégrat ue icertitude sur le iveau des taux effectivemet observés autour de la tedace prédite. Cela coduit aux modèles stochastiques de mortalité. Les modèles stochastiques de mortalité La modélisatio de la mortalité est classiquemet effectuée via ue spécificatio de la foctio de risque μ ( x, t), e foctio de l âge x et de l aée courate t : μ ( x, t) est le taux istataé de décès à la date t pour u idividu d âge x à cette date. La coaissace de ce taux permet e effet de calculer la probabilité de survie etre t et T ( t < T ) d u idividu d âge x e t : T S( x,, t T) = exp μ ( x+ u t, u) du t Das le cas particulier où le taux de décès istataé ( x, t) o retrouve l expressio classique 0 S( x,, t T) exp ( ) ( ) = exp ( ) S x x 0 μ u du la foctio de survie du modèle. μ e déped que de l âge, ( ) S( x) x+ T t + S x T t = μ u du = x, avec O peut remarquer que μ ( x, T) = lim l S( x, t, T). Cette égalité, rappelle la t T T défiitio du taux d itérêt istataé par rapport au prix d u zéro-coupo ; elle coduit à itroduire la otio de taux istataé de décès «forward», défii par μ ( x,, tt) = l S( xtt,, ), de sorte que μ( x, T) = lim μ ( x, t, T) ; ces aalogies avec T t T les modèles de taux d itérêt fot l objet de ombreux développemets das la littérature (cf. CAIRNS et al. [2004] qui propose ue bibliographie sur ce thème). Das le cas où le taux istataé de décès est ue foctio détermiiste et e supposat celle-ci correctemet spécifiée, le risque de mortalité se mutualise ; e effet, la loi des grads ombres s applique, et assure que sur u portefeuille de taille importate, les fluctuatios d échatilloage sot faibles. Au surplus le théorème cetral limite permet de quatifier l amplitude de ces fluctuatios. A ce risque mutualisable s ajoute u risque d erreur de spécificatio : si la mortalité observée das le futur est différete de celle prévue par le modèle, l écart est bie etedu pas mutualisable, puisque toutes les têtes cocerées sot affectées das le même ses par l écart de la réalisatio par rapport à la prévisio. Das l approche stadard de la 0 Voir PLANCHET et THEROND [2006]. Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 3 -
mortalité la maière de se prémuir cotre ce risque cosiste à reteir ue modélisatio prudete itégrat ue prime de risque : par exemple pour assurer u risque viager, la réglemetatio a reteu jusqu au 3/2/2006 ue table fémiie, les femmes ayat ue durée de vie supérieure à celle des hommes. Toutefois, l idée sous-jacete de ces modélisatios est qu il existe ue «vraie valeur» de μ ( x,t ), que l o cherche à approcher au mieux. O costruit aisi des «surfaces de mortalité» régulières, comme par exemple das CURRIE et al. [2004] : Figure - Surface de mortalité régulière Cepedat, u exame plus fi de cette surface fait apparaître que l évolutio du taux istataé de mortalité présete, aux différets âges, des variatios erratiques autour de la tedace qui se dégage 2 : Cette règle a été modifiée par l arrêté du 0/08/2006. 2 Voir CAIRNS et al. [2004] pour ue aalyse détaillée. Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 4 -
Figure 2 - Evolutio des taux de décès au cours du temps O est doc coduit à rechercher ue modélisatio capable de redre compte de ses fluctuatios autour de la valeur tedacielle : c est là l objectif des modèles stochastiques de mortalité. Les modèles stochastiques proposet de cosidérer que le taux de mortalité futur est lui même aléatoire, et doc μ ( x,t ) deviet u processus stochastique. Le taux de mortalité observé pour u âge et ue aée doés est alors ue réalisatio d ue variable aléatoire : o peut oter l aalogie avec les méthodes de lissage bayésiees 3. Le phéomèe de mortalité itègre alors explicitemet les deux risques décrits ci-dessus. Das la littérature, les approches stochastiques des phéomèes de mortalité sot ombreuses. Plusieurs modèles classiques sot de fait des modèles stochastiques ; e premier lieu, les lissages bayésies, et le modèle de Kimeldorf-Joes 4 etret das cette catégorie. Les modèles avacées de costructio de tables prospectives, comme le modèle de Lee-Carter 5 ou les modèles poissoies, sot égalemet des cas particuliers de modèles stochastiques, bie qu ils soiet à l origie élaborés pour costruire des extrapolatios (temporelles) de la surface μ ( x, t) détermiiste ; e ce qui cocere la modélisatio de Lee-Carter ou les modèles poissoies, o peut toutefois oter que les taux de mortalité 3 Voir PLANCHET et THEROND [2006]. 4 KIMELDORF et JONES [967]. 5 Ce modèle est décrit par exemple das BROUHNS et al. [2002]. Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 5 -
aux différets âges sot supposés parfaitemet corrélés, la composate aléatoire ( k ) e t dépedat que du temps 6. Ceci est clairemet cotredit par le graphique précédet. U autre exemple simple de modèle stochastique cosiste à déformer ue table de mortalité classique par ue perturbatio aléatoire, e posat 7 : q = aq + b xt t x t avec E ( a t ) = et E ( b t ) = 0. O peut égalemet cosulter SOININEN [995] qui propose ue approche très formelle de ce risque. La modélisatio stochastique de la mortalité peut égalemet s ispirer des approches développées pour modéliser le défaut sur u marché de taux d itérêt ou de dette (o pourra par exemple cosulter LE PAGE [2000] pour ue présetatio des pricipaux modèles de ce type) ; la durée avat le défaut joue alors le rôle de la durée de vie. Ce sot ces classes de modèles qui sot aujourd hui les plus étudiés. Ces approches sot otammet itéressates das la perspective de la valorisatio e «juste valeur» d egagemets comportat à la fois le risque fiacier et le risque démographique. Efi, sigalos l existece d approches utilisat la théorie des valeurs extrêmes pour évaluer certais dérivés de mortalité, comme par exemple le produit proposé par Swiss Ré ; o pourra cosulter sur ce poit BEELDERS et COLAROSSI [2004]. L utilisatio potetielle d u modèle stochastique est doc double : u tel modèle permet de quatifier le risque systématique o diversifiable e itégrat explicitemet l icertitude sur les taux de mortalité futurs ; l évaluatio e «juste valeur» au ses des ormes IFRS de la valeur d u cotrat d assurace vie peut être effectuée das le cotexte gééral de l absece d opportuité d arbitrage, e traitat de maière symétrique les risques fiacier et démographique. Ue littérature abodate est cosacrée au secod poit : o pourra otammet cosulter BIFFIS et MILLOSOVITCH [2004], CAIRNS et al. [2004], DAHL [2004], MOLLER [998] et SCHRAGER [2004]. Cet aspect e sera pas abordé das la préset documet. Les modèles développés das ce cadre e costituet doc qu ue approche possible pour itroduire ue mesure du risque systématique, et à certais égards pas écessairemet l approche la plus pertiete. E particulier, les modèles de type Poisso s avèret bie adaptés pour les applicatios e assurace 8. 6 Cette composate est modélisée par u processus ARIMA. 7 Voir LEE [2000]. 8 O se reportera à PLANCHET et THEROND [2006] et à HADERER [2003] pour ue applicatio. Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 6 -
. Mesure de l icertitude tedacielle sur la mortalité.. Itroductio Les aalyses prospectives de mortalité coduiset à aticiper les évolutios futures des taux de décès aux différets âges. Das les modèles maiteat classiques de costructio de tables prospectives, comme le modèle de Lee-Carter (voir otammet LEE et CARTER [992], LEE [2000], SITHOLE et al. [2000]) ou les modèles poissoies (cf. BROUHNS et al. [2002] et PLANCHET et THEROND [2006] pour ue présetatio et ue discussio de ces modèles), la dérive de mortalité future est aticipée à partir des observatios passées. Même e admettat qu il est légitime de prologer das les aées à veir les tedaces observées par le passé (o pourra se reporter à CAREY et TULAPURKAR [2003] pour des aalyses itégrat des cosidératios biologiques et eviroemetales, aisi que GUTTERMAN et VANDERHOOF [999] pour ue discussio sur ce poit), plusieurs sources d icertitude vieet perturber la détermiatio de la tedace future : choix de la période d observatio, fluctuatios stochastique des taux de mortalité, évéemets exceptioels, etc.. Cette icertitude fait peser sur les assureurs de retes viagères et les régimes de retraite u risque systématique (o mutualisable) dot l impact fiacier peut être très importat. Aisi, e Frace, la récete actualisatio des tables utilisées par les assureurs pour le provisioemet des retes viagères illustre les difficultés d ue telle aticipatio et les ejeux fiaciers associés : par rapport aux tables TPG 9 993 e vigueur jusqu au 3/2/2006, les ouvelles tables TGH 05 et TGF 05 qui etret e vigueur le 0/0/2007 coduiset à des majoratios de provisio parfois supérieures à 20%, comme l illustre le tableau suivat : Figure 3 - Comparaiso des coefficiets de provisioemet TPG 993 et TGH/TGF 05 Age Géératio TPG 993 Femmes Femmes / TPG Hommes Hommes / TPG 50 955 26,8647 28,40552 5,9% 26,75507-0,2% 55 950 24,26368 25,95575 7,0% 24,07474-0,8% 60 945 2,50832 23,3085 8,3% 2,25828 -,2% 65 940 8,5342 20,39677 0,0% 8,2226 -,7% 70 935 5,39467 7,28922 2,3% 5,08772-2,0% 75 930 2,25679 4,08680 4,9% 2,05698 -,6% 80 925 9,3594 0,9627 7,2% 9,2890-2,4% 85 920 6,88306 8,5548 8,5% 6,64827-3,4% 90 95 4,9330 5,89309 9,5% 4,73880-3,9% 95 90 3,46780 4,29408 23,8% 3,4009 -,9% Das ce cotexte il apparaît opportu de rechercher à mesurer le risque associé à cette erreur d aticipatio et de quatifier so impact e termes de provisios pour u régime de retiers. O utilise pour cela das la présete étude le modèle de Lee-Carter (voir otammet LEE et CARTER [992], LEE [2000], SITHOLE et al. [2000]) pour costruire ue surface de mortalité μ x, t. Après u ajustemet des taux passés, les taux de mortalité pour les aées futures se ( ) 9 Tables obteues sur la base de la mortalité de la populatio fémiie sur la période 96-987, utilisées depuis le er juillet 993. - 7 -
déduiset classiquemet de l extrapolatio de la composate temporelle. O peut oter que l utilisatio de la variate log-poisso (cf. BROUHNS et al. [2002]) coduirait à des résultats très proches, qui e serot pas repris ici. A partir de ce modèle de référece, o propose u modèle stochastique de mortalité e cosidérat que le taux de mortalité futur μ ( x, t) est lui-même aléatoire, et que doc μ ( x, t) est u processus stochastique (comme foctio de t à x fixé). L aléa est itroduit de maière à capturer l icertitude sur l estimatio de la tedace future de la composate temporelle des taux de mortalité. Après avoir costruit u jeu de tables prospectives sur des doées atioales à l aide de ce modèle, ous l utilisos pour calibrer l icertitude sur la dérive aticipée et appliquos le modèle aisi obteu pour détermier la distributio de l egagemet d u régime de retes. Les coséqueces e termes d aalyse du risque pesat sur le régime et de provisioemet sot examiées. Le préset article complète l aalyse présetée das PLANCHET et al. [2006], auquel le lecteur pourra se référer pour les détails méthodologiques des modèles de base..2. Le modèle de mortalité.2.. Présetatio Le modèle reteu pour costruire les tables prospectives est u modèle stochastique adapté du modèle de Lee-Carter (LEE et CARTER [992]). O rappelle que la modélisatio proposée pour le taux istataé de mortalité das Lee-Carter est la suivate : μ = α + β k + ε, l xt x x t xt e supposat les variables aléatoires ε xt idépedates, idetiquemet distribuées selo 2 ue loi N ( 0, σ ) et que l o dispose d u historique t m t t M. La questio de l ajustemet des paramètres du modèle est pas abordée ici. Le lecteur itéressé pourra se reporter aux ombreuses référeces sur le sujet (citées par exemple das PLANCHET et THEROND [2006]). Ue fois ajustée la surface de mortalité sur les doées passées, il reste à modéliser la série ( k t ) pour extrapoler les taux futurs ; pour cela, o utilise la modélisatio la plus simple que l o puisse imagier, ue régressio liéaire e supposat ue tedace affie : * t k = at + b + γ, avec ( γ t ) u bruit blac gaussie de variace σ γ. O obtiet aisi des estimateurs â et ˆb qui permettet de costruire des surfaces projetées e utilisat simplemet t * ˆ ˆ t k = at+ b. Afi de simplifier l écriture des formules à veir, o pose τ = t t + m et T = tm tm +, ce qui coduit aux expressios : T + k k ˆ T τ τ a = 2 2 T et ˆ T + b = k aˆ, 2-8 -
avec k = kτ = k T T t ab, et de variace : d espérace ( ). De plus, le vecteur ( ˆ, ˆ) ab est distribué selo ue loi ormale T + 2 2σ 2 γ Σ= 2 T( T ) T + ( T + )( 2T + ) 2 6 O peut doc costruire des réalisatios de la mortalité future e effectuat des tirages das la loi du vecteur ( ab ˆ, ˆ). La variable k * t aisi obteue est telle que ( * E k ) t = kt. O obtiet alors des réalisatios des taux istataés de sortie via : Comme o ote que : et doc : * ˆ ˆ t ( k ) * * xt exp x x t μ = α + β. k = at+ best ue variable gaussiee d espérace kt = at+ b et de variace : 2 2 σγ 2 τ 2 ( ) ( T+ )( T+ ) 2 2 σ = τ τ( T+ ) +, TT 2 ( ) * * ( ) ( ) 2 2 β exp exp xσ E μ t xt = E αx + βxkt = αx + βxk t +, 2 E * ( ) 2 2 β exp xσ μ t xt = μxt > μxt. 2 Le modèle stochastique a doc tedace à surestimer les taux de sortie par rapport à la surface de référece fourie par le modèle de Lee-Carter. Compte teu du otre objectif de «perturber» la surface de mortalité, mais sous l hypothèse que celle-ci défiie correctemet la tedace future espérée des taux istataés de décès cette propriété du modèle est péalisate et il coviet d adapter l approche proposée. PLANCHET et al. [2006] proposet ue versio corrigée du biais du modèle défiie par : μ α β 2 2 2 * β * exp xσt xt = x + xkt * Cette versio du modèle satisfait par costructio E ( μxt) xt = μ. Elle apparaît doc cohérete avec l objectif recherché. Toutefois, o peut lui reprocher de déformer de maière arbitraire la distributio des taux stochastiques ; e effet, si le modèle * ˆ ˆ t k = at+ b est pertiet, alors les - 9 -
taux de sortie * * * μ xt réellemet observés serot bie issus du modèle μxt exp ( αx βxkt ) o de la versio corrigée du biais. = + et O utilise ici ue approche différete et a priori plus aturelle cosistat à utiliser comme surface de référece détermiiste la surface moyee du modèle stochastique, soit 2 2 * β ( ) exp xσ E μ t xt = αx + βxk t +. E effet, si le mécaisme aléatoire dot sot issus les 2 taux de décès est bie associé à k * ˆ ˆ t = at+ b, alors la mortalité de référece détermiiste est bie défiie par la surface moyee ci-dessus, et o plus par la surface de Lee-Carter..2.2. Applicatio umérique O présete ici les résultats obteus tout d abord sur la famille de tables prospectives proposée puis, das u secod temps, les coséqueces e terme de valorisatio de l egagemet du régime de retes. La table prospective utilisée das cette étude est celle utilisée das PLANCHET et al. [2006] ; elle est costruite à partir des tables du momet fouries par l INED 20 das MESLE et VALLIN [2002] et coduit à la surface de mortalité Lee-Carter suivate : Figure 4 - Surface de mortalité ajustée par Lee-Carter La surface de référece ajustée de otre modèle stochastique est présetée sur le graphe cidessous : 20 Ces tables sot dispoibles sur http://www.ied.fr/publicatios/cdrom_valli_mesle/tables-de-mortalite/tables-dumomet/tables-du-momet-xx.htm - 20 -
Figure 5 - Surface de mortalité de référece du modèle stochastique O remarque que la différece etre les deux graphes est très faible car du fait de la faible 2 βσ valeur des coefficiets β x, exp x t est proche de. E ce qui cocere le volet prédictif 2 du modèle, ous obteos sur os doées : b = 49.38604, a = 2. 05775 et σ γ = 3.98227882 2 2 σ b =.8058, σ a = 0. 04282 et σ t =.3936743 + 0.0083378t - 0.0880252t Ue cetaie de tirages de trajectoires de k t permet d obteir le graphe suivat : Figure 6 - Simulatio de trajectoires de la tedace -0 980 985 990 995 2000 2005 200 205-20 -30-40 -50-60 -70-80 -90 Aée - 2 -
O costate sur le graphe que les différetes trajectoires simulées de k t preet quasimet la même valeur e 2006. Ceci motre que le modèle tire sa volatilité de la dérive de la mortalité et o d u saut brutal de mortalité etre 2005 et 2006. Si l o cherche à comparer la volatilité de la dérive temporelle modélisée das cet article avec celle du modèle utilisé das PLANCHET et al. [2006], o obtiet le graphe suivat : Figure 7 - «couloir de variatio» de la tedace 50 0 950 970 990 200 2030 2050 2070 2090-50 Kt -00-50 -200-250 Alors que das PLANCHET et al. [2006] le modèle utilisé e preait e compte que l oscillatio de la dérive temporelle k t autour de sa moyee, le modèle actuel simule l erreur d ajustemet qui a pu être faite sur la dérive temporelle passée. Si das PLANCHET et al. [2006] les différetes trajectoires de k t étaiet situées etre deux droites parallèles délimitat le couloir de variatio de la tedace à 95 %, o costate sur le graphique ci-dessus que les trajectoires de la dérive temporelle sot situées etre deux droites s éloigat l ue de l autre avec le temps. Les variatios de la tedace temporelle et celles du taux istataé de mortalité état comparables, le graphique ci-dessus traduit l hypothèse du modèle : la mortalité stochastique tire sa volatilité o pas des fluctuatios auelles qui, comme ous l avos démotré das PLANCHET et al. [2006] restet faibles, mais plutôt de la dérive aléatoire de la mortalité qui est vraimet observable que das le futur..3. Applicatio à u régime de retes viagères.3.. Problématique Das la suite, ous utiliseros pour les applicatios umériques u portefeuille costitué de 374 retiers de sexe fémii âgés e moyee de 63,8 as au 3/2/2005. La rete auelle - 22 -
moyee s élève à 5,5 k. Avec u taux d escompte des provisios de 2,5 %, la provisio mathématique iitiale, s élève à 37,9 M avec la table prospective détermiée supra. Nous oteros das la suite de l article : L0 le motat des provisios mathématiques à la date iitiale, F ~ t le flux de prestatio (aléatoire) à payer à la date t, i le taux (discret) d escompte des provisios mathématiques, J l esemble des idividus, x(j) l âge e 0 de l idividu j et r j le motat de sa rete auelle. La problématique est décrite de maière détaillée das PLANCHET et al. [2006] ; ous retiedros ici que l o s itéresse à la loi de du motat de l egagemet du régime : Λ= F + i = r * T t ( ) t t= t= ( + i) j J ] t; [( ( )) t j x j qui est ue variable aléatoire telle que E( Λ ) = L0 avec = F ( + ) 0 t i t= t L. Lorsque la mortalité future est coue (détermiiste), l aalyse de la loi de Λ reviet à mesurer les fluctuatios d échatilloage qui est associé au «risque de volatilité» tel que décrit das la modélisatio proposées par les QIS 2 et 3 par exemple (cf. CEIOPS [2006]). Das le cotexte d ue mortalité stochastique, cette aalyse ous fourit u moye de quatifier le risque systématique qui viet s ajouter à ce risque de base : ici ous pourros doc mesurer aisi le risque associé au choix de la dérive. La méthode reteue cosiste à simuler les durées de survie des retiers, Tx( j), j J, à calculer des réalisatios λ,..., λ de Λ puis à détermier la foctio de répartitio empirique de l egagemet. La provisio L 0 est approchée par N par ( L ) 2 N λ = λ. La variace de l egagemet est estimée N = N λ = 0 ; o calcule égalemet le coefficiet de variatio empirique : cv = N N = N N ( λ L ) 2 qui fourit u idicateur de la dispersio de l egagemet et das ue certaie mesure de sa «dagerosité». = λ 0,.3.2. Résultats - 23 -
La distributio empirique de l egagemet, représetée ici avec la distributio de référece das le cas détermiiste (avec 20 000 tirages) est présetée ci-dessous : Figure 8 - Distributio empirique de l egagemet 2.00%.80%.60%.40% Fréquece.20%.00% 0.80% 0.60% 0.40% 0.20% 0.00% 35 500 000 36 000 000 36 500 000 Stochastique 37 000 000 37 500 000 Les résultats détaillés sot repris ci-après : 38 000 000 Motat 38 500 000 39 000 000 determiiste 39 500 000 Détermiiste surface Lee Carter Détermiiste Stochastique Espérace 37 937 707 37 937 707 37 937 720 Ecart-type 626 98 626 98 645 60 Bore iférieure de l'itervalle de cofiace 36 625 000 36 625 000 36 600 000 Bore supérieure de l'itervalle de cofiace 39 075 000 39 075 000 39 50 000 Coefficiet de variatio,65 %,65 %,70 % 40 000 000 O remarque tout d abord que la modificatio de la surface de référece utilisée das PLANCHET et al. [2006] a pas d impact. Ceci est du au fait déjà observé que pour tout x et 2 βσ pour tout t exp x t est proche de. 2 Sur u portefeuille de petite taille, l impact de la mortalité stochastique sur l egagemet est pas très importat. E effet le coefficiet de variatio de l egagemet stochastique est que 2,9 % plus élevé que celui de l egagemet détermiiste. Cepedat comme ous l avios motré das PLANCHET et al. [2006] la taille du portefeuille est u paramètre importat à predre e compte. E effet si le iveau absolu de risque systématique e déped pas de la taille du portefeuille, il e va pas de même pour le risque mutualisable. La part de variace expliquée par la composate stochastique de la mortalité augmete doc avec la taille du portefeuille ; afi de mesurer cet effet, o costruit - 24 -
u portefeuille fictif e répliquat le portefeuille de base fois. E observat que l o obtiet aisi ue décompositio de l egagemet total Λ e la somme de variables i.i.d. () ( ) Λ,.., Λ o trouve que : ( ) 2 () ( ΛΠ ) = Λ Π et () E V( ) E V V E V E ce qui coduit, avec des otatios évidetes, à : avec suivats : V E ω = V ( ΛΠ) [ Λ] ω = + ω ( ) Λ Π = Λ Π,. Si l o multiplie le portefeuille par 30 o obtiet les résultats Figure 9 - Distributio empirique de l egagemet (taille x30), Fréquece 0.02 0.08 0.06 0.04 0.02 0.0 0.008 0.006 0.004 0.002 0 5 000 000 20 000 000 25 000 000 30 000 000 35 000 000 40 000 000 45 000 000 50 000 000 55 000 000 60 000 000 Motat Determiiste Stochastique Les résultats détaillés sot repris ci-après : Détermiiste Stochastique Espérace 38 008 3 38 076 960 Ecart-type 5 592 22 3 40 560 Bore iférieure de l'itervalle de cofiace 3 30 658 26 780 658 Bore supérieure de l'itervalle de cofiace 44 480 658 48 830 658 Coefficiet de variatio 0,30 % 0,49 % La prise e compte de la mortalité stochastique augmete le coefficiet de variatio de 63 %. - 25 -
Das ue approche «valeur à risque» (VaR), o trouve que le quatile à 75 % de la distributio de l egagemet est de 42 M das le cas stochastique, ce qui est supérieur à la valeur obteue das le cas détermiiste, soit 40 M. E d autres termes, la prise e compte du risque de dérive coduit ici (e suivat ue approche VaR pour le calcul de la provisio) à augmeter le motat provisioé de 0,7 %. La prise e compte du risque de dérive a égalemet pour coséquece de doubler l imprécisio das l évaluatio de l egagemet 2 qui, au iveau de cofiace de 95 %, passe de 0,7 % eviro à près de,3 % Le graphique du «couloir de variatio» de la tedace ayat mis e évidece le faible impact de la dérive de la mortalité das le futur proche, le coefficiet d actualisatio va jouer u rôle importat das la volatilité de la distributio de l egagemet. E effet l egagemet stochastique tire sa volatilité des retes qui vot être servies pedat logtemps. Or plus la rete à ue durée de vie importate, plus le coefficiet d actualisatio appliqué est importat. E fixat le taux d actualisatio à 0 o obtiet les résultats suivat : Figure 0 - Distributio empirique de l egagemet (taux techique ul) Fréquece 0.02 0.0 0.008 0.006 0.004 0.002 0 640 000 000 650 000 000 660 000 000 670 000 000 680 000 000 690 000 000 700 000 000 70 000 000 Motat Determiiste Stochastique Les résultats détaillés sot repris ci-après : Détermiiste Stochastique Espérace 675 256 646 675 29 393 Ecart-type 6 389 53 0 893 496 Bore iférieure de l'itervalle de cofiace 662 554 600 653 554 600 Bore supérieure de l'itervalle de cofiace 687 754 600 696 454 600 Coefficiet de variatio 0,38 % 0,65 % E preat u taux techique ul o augmete le coefficiet de variatio de l egagemet détermiiste de 27 % et le coefficiet de variatio de l egagemet stochastique de 33 %. 2 L imprécisio est mesurée par la demi-logueur relative de l itervalle de cofiace à 95 %. - 26 -
Aisi la prise e compte de la mortalité stochastique iduit ue plus grade sesibilité de l egagemet au taux d actualisatio..4. Coclusio Das PLANCHET et al. [2006] ous avios mis e évidece le fait que l évaluatio de l egagemet d u régime de retiers, l aléa associé aux fluctuatios des taux de décès futurs autour de leur tedace avait qu u faible impact que l o pouvait légitimemet égliger. Le modèle mis e œuvre ici permet de motrer que, si ces régimes sot particulièremet sesibles au risque d erreur de spécificatio de la tedace future, l icertitude sur ce poit icluse das les doées passées e suffit pas à expliquer les évolutios récetes observées. Icidemmet, o isistera sur le fait que l o a fait ici le choix de modéliser l aléa sur la tedace future de mortalité à partir des seules fluctuatios du paramètre temporel k t ; cette approche est justifiée par le fait que l o cherche à idetifier la volatilité des taux de décès o associée aux fluctuatios d échatilloage. Compte teu des effectifs très importats du groupe utilisé pour costruire les tables utilisées ici (la populatio fraçaise), o peut e effet cosidérer qu il y a plus de fluctuatios d échatilloage sigificatives das l estimatio des taux bruts 22 et que doc il est légitime de cosidérer la surface passée fixe. Ue approche alterative cosisterait à predre e compte globalemet l icertitude sur le paramètre vectoriel θ = ( α, β,k ) pour géérer des surfaces de mortalité. Cette démarche est techiquemet simple à mettre e œuvre à la coditio d utiliser la variate log-poisso du modèle de Lee-Carter, das laquelle l estimatio de θ est effectuée par maximum de vraisemblace, puisque, alors, o peut détermier l iformatio de Fischer associée et utiliser la ormalité asymptotique de l estimateur 23. Toutefois, elle ous semble mois pertiete das le cas préset, otre objectif état d isoler le risque associé à ue icertitude structurelle sur les taux et o à ue icertitude d estimatio. E coclusio, o peut reteir que le régime de rete est par cotre soumis à u risque de modèle importat. Il est aisi possible de reformuler les coséqueces du passage des tables TPG 993 aux tables 24 TGH 05 évoquées e itroductio e rapprochat l évolutio aticipée de l espérace de vie à 60 as das les deux modèles prospectifs. O obtiet aisi : 22 Sur les adaptatios du modèle de Lee-Carter au cas de petits échatillos pour lesquels cette hypothèse est plus vérifiée, o pourra se reporter à PLANCHET et LELIEUR [2006]. 23 Voir par exemple HAAS [2006] pour ue utilisatio de cette approche das le cas de swaps de mortalité. 24 O rappelle que les TPG 993 sot des tables fémiies. - 27 -
Figure - Evolutio aticipée de l espérace de vie à 60 as 00,00 98,00 96,00 94,00 92,00 y = 0,472x + 90,396 Age 90,00 88,00 y = 0,89x + 87,46 86,00 84,00 82,00 80,00 936 939 942 945 948 95 954 957 960 963 966 969 972 975 978 98 984 987 990 993 Géératio TGF05 TPG993 Liéaire (TGF05) Liéaire (TPG993) O observe que o seulemet les iveaux absolus diffèret sesiblemet, mais égalemet que la vitesse de croissace de l espérace de vie à 60 as a été sesiblemet sous-estimée e 993 : alors que les TPG 993 aticipet ue augmetatio de,4 mois par a, les tables TGF 05 prévoiet ue dérive de,8 mois par a, soit 23 % de plus. Ceci illustre la difficulté à aticiper la tedace de dérive de la mortalité future à partir de doées historiques 25. Das ce cotexte, o peut imagier d utiliser comme paramètre de cotrôle du modèle, e le fixat comme ue cotraite ex ate par exemple l espérace de vie à u âge doé (60 as) et so évolutio future. Cette approche, développée das PLANCHET [2007], permet de quatifier par exemple l impact sur les charges du régime d ue erreur de 0, mois/a sur la vitesse de dérive de cette espérace et d itégrer explicitemet des idicateurs de l impact sur l évaluatio de l egagemet du régime d ue erreur de modèle. Le modèle proposé das PLANCHET [2007] permet aisi de proposer ue valorisatio de la charge associée au risque de logévité à eviro 6 % de la provisio mathématique des retes. Cet ordre de gradeur est à rapprocher du taux de 0,7 % que l o déduit de l icertitude associée au caractère stochastique «edogèe» de la mortalité das le modèle de Lee-Carter ou ses variates. O peut efi rappeler que ce type d approche fourit u cadre opératioel pour répodre aux exigeces des futures dispositios Solvabilité 2 (et égalemet das le cotexte de l IFRS 4 phase 2, quoi que sur ce poit les ormes comptables soiet mois exigeates)..5. Bibliographie BROUHNS N., DENUIT M., VERMUNT J.K. [2002] «A Poisso log-biliear regressio approach to the costructio of projected lifetables», Isurace: Mathematics ad Ecoomics, vol. 3, 373-393. CAREY J.R., TULAPURKAR S. Ed. [2003] Life Spa, Evolutioary, Ecological ad Demographic Perspectives, Populatio ad Developmet Revue (sup. to vol. 29), Populatio Coucil. 25 Les populatios de référece utilisées pour les 2 séries de tables diffèret, mais o obtiedrait les même coclusios e utilisat des tables prospectives INSEE à la place des TGF 05. - 28 -
CEIOPS [2006], «Quatitative Impact Study 2 Techical Specificatio», CEIOPS (http://www.ceiops.com) GUTTERMAN S., VANDERHOOFT I.T. [999] «Forecastig chages i mortality: a search for a law of causes ad effects», North America Actuarial Joural, vol. 2, 35-38. HAAS S. [2006] Méthodologie d évaluatio écoomique des traités proportioels e réassurace vie - Applicatio au swap de mortalité, Mémoire d actuairait, ISFA. LEE R.D., CARTER L. [992] «Modellig ad forecastig the time series of US mortality», Joural of the America Statistical Associatio, vol. 87, 659 67. LEE R.D. [2000] «The Lee Carter method of forecastig mortality, with various extesios ad applicatios», North America Actuarial Joural, vol. 4, 80 93. MESLE F., VALLIN J. [2002] «Commet améliorer la précisio des tables de mortalité aux grads âges? Le cas de la Frace», Populatio 4, INED, 603. PLANCHET F., JUILLARD M., FAUCILLON L. [2006], «Quatificatio du risque systématique de mortalité pour u régime de retes e cours de service», Assurace et gestio des risques, Vol. 75. PLANCHET F. [2007] «Prospective models of mortality with forced drift Applicatio to the logevity risk for life auities», Proceedigs of the th IME Cogress PLANCHET F., LELIEUR V. [2007] «Costructio de tables de mortalité prospectives : le cas des petites populatios», à paraître das le Bulleti Fraçais d Actuariat, vol. 7, 4. PLANCHET F., THÉROND P.E. [2006] Modèles de durée applicatios actuarielles, Paris : Ecoomica. SITHOLE T., HABERMAN S., VERRALL R.J. [2000] «A ivestigatio ito parametric models for mortality projectios, with applicatios to immediate auitats ad life office pesioers», Isurace: Mathematics ad Ecoomics, vol. 27, 285 32. - 29 -
2. Perturbatios extrêmes sur la dérive de mortalité aticipée 26 2.. Itroductio Lors de la costructio d ue table de mortalité prospective par la méthode de Lee-Carter (LEE et CARTER [992]) ou l u de ses dérivés, o est coduit à estimer la tedace future au travers de la modélisatio du coefficiet ( kt, t tm ). Cette modélisatio met e gééral e évidece ue tedace liéaire. Deux risques sot attachés à cette modélisatio. O costate tout d abord que si la forme de la tedace est robuste, otammet relativemet au choix de la période d observatio, so iveau e l est pas : Figure 2 - Tedaces estimées das Lee-Carter e foctio de la période d observatio 50 25 0-25 -50 950 955 960 965 970 975 980 985 990 995 [950-996] [960-996] [970-996] [980-996] La prise e compte de ce risque est abordée par exemple das PLANCHET [2007]. Quad bie même la tedace serait correctemet positioée, les fluctuatios autour de cette tedace, et otammet les chocs à la baisse, fot porter à u régime de retes u risque systématique qu il coviet de quatifier. Cette observatio coduit à rechercher ue modélisatio de la tedace qui, tout e respectat l allure géérale liéaire, pree e compte des chocs dissymétriques qui peuvet être très importats. Nous proposos ici ue telle approche et l appliquos à la mesure du risque systématique porté par u régime de retes viagères. E pratique l hypothèse de mortalité détermiiste est doc remplacée par ue hypothèse de mortalité stochastique, l icertitude sur la table traduisat la volatilité associée aux déviatios par rapport à la tedace de référece. Il s avère que ce risque est potetiellemet o égligeable, et doit dès lors être pris e compte das le cadre des ormes comptables IFRS aisi que das le cotexte des règles prudetielles Solvabilité 2. Le préset article complète les aalyses présetées das les sectios précédetes, reprises de PLANCHET et al. [2006] et PLANCHET et JUILLARD [2007], auquel le lecteur pourra se référer pour les détails méthodologiques des modèles de base. 26 Cet article est adapté de PLANCHET.et al. [2008]. - 30 -
2.2. Le modèle de mortalité 2.2.. Présetatio Le modèle reteu pour costruire les tables prospectives est u modèle stochastique adapté du modèle de Lee-Carter (LEE et CARTER [992]). Ue fois ajustée la surface de mortalité sur k pour extrapoler les taux futurs ; pour les doées passées, il reste à modéliser la série ( ) t cela, o utilise la modélisatio la plus simple que l o puisse imagier, ue régressio liéaire e supposat ue tedace affie : * t k = at + b + γ, () avec ( γ t ) u bruit blac. Mais alors que das les approches usuelles, ce bruit est supposé gaussie ou suivre u processus ARIMA, o le suppose ici décrit par le modèle coditioel suivat, qui distigue 3 plages parmi les résidus de l ajustemet des ( k t ) empiriques : la p + p proportio p des résidus les plus petits, p + des résidus les plus grads et les ( ) t + résidus cetraux, faibles e valeur absolu. Compte teu du faible ombre de doées dispoibles (ue ciquataie d observatios) et du fait que l o s itéresse ici aux grades variatios par rapport à la tedace, les faibles écarts état sas icidece pratique : o fixe arbitrairemet p = p = 36% ; + o suppose que l écart positif γ + t m, α de Pareto de paramètres ( ) + + ; par rapport à la valeur tedacielle 27 suit ue loi de même o suppose que si l écart γ t est distribué selo ue loi Pareto( m, α ) O retiet la paramétrisatio suivate de la loi de Pareto : S m, α ( x) x = m α., x m. (2) Le découpage e 3 plages de taille équivalete proposé ici est essetiellemet justifié par le fait que l o s itéresse aux déviatios importates par rapport à la tedace. Ces déviatios e doivet pas être sesiblemet impactées par le choix du début de la plage. Le choix de distributios de Pareto est das la même logique, l idée état de rechercher u modèle compatible avec les observatios géérat ue part importate de risque systématique. L estimatio des paramètres du modèle est effectuée e deux temps. O calcule tout d abord des estimateurs â et ˆb qui permettet de costruire la surface projetée de référece * e utilisat simplemet k ˆ ˆ t = at+ b via u ajustemet de moidres carrés ordiaires. Afi de simplifier l écriture des formules à veir, o pose τ = t t + m et T = tm tm +, ce qui coduit aux expressios : 27 Il s agit doc de l écart etre la valeur empirique et la valeur tedacielle ajustée par les moidres carrés. - 3 -
T + k k ˆ T τ τ a = 2 et ˆ T + b = k aˆ, (3) 2 T 2 avec k = k k T τ = T t. Cette première étape d estimatio est doc pas effectuée das u cotexte probabiliste, mais via u simple critère de moidres carrés. Puis das u secod temps o estime les paramètres des déviatios m +, m, α et α + par le maximum de vraisemblace : { γ () i } { } m ˆ mi ; + = i p+, mˆ = max γ (); i p i ˆ α = + p+, ˆ α = + γ l i m ˆ + i= p γ l i m ˆ où ( γ () i ) est la statistique d ordre associée à ( γ i ). La qualité de l ajustemet est évaluée e effectuat des tests de Khi-2 sur les distributios coditioelles des déviatios positives (resp. égatives). 2.2.2. Applicatio umérique O présete ici les résultats obteus tout d abord sur la famille de tables prospectives proposée puis, das u secod temps, les coséqueces sur l évaluatio de l egagemet du régime de retes. La table prospective utilisée das cette étude est celle utilisée das PLANCHET et al. [2006] ; elle est costruite à partir des tables du momet fouries par l INED 28 das MESLE et VALLIN [2002] et coduit à la surface de mortalité Lee-Carter suivate : i= 28 Ces tables sot dispoibles sur http://www.ied.fr/publicatios/cdrom_valli_mesle/tables-de-mortalite/tables-dumomet/tables-du-momet-xx.htm - 32 -
Figure 3 - Surface de mortalité ajustée par Lee-Carter Les paramètres du modèle stochastique sot les suivats : Résidus égatifs Résidus Positifs p- 36% p+ 36% M-,4385 M+,3878 α-,3 α+,05 2.3. Applicatio à u régime de retes viagères 2.3.. Problématique Das la suite, ous utiliseros pour les applicatios umériques le portefeuille utilisé précédemmet costitué de 374 retiers de sexe fémii âgés e moyee de 63,8 as au 3/2 de l exercice. La rete auelle moyee s élève à 5,5 k. Avec u taux d escompte des provisios de 2,5 %, la provisio mathématique iitiale, s élève à 37,9 M avec la table prospective détermiée supra. Nous oteros ecore das la suite de l article : L0 le motat des provisios mathématiques à la date iitiale, F ~ t le flux de prestatio (aléatoire) à payer à la date t, i le taux (discret) d escompte des provisios mathématiques, J l esemble des idividus, x(j) l âge e 0 de l idividu j et r j le motat de sa rete auelle. La problématique est décrite de maière détaillée das PLANCHET et al. [2006] ; ous retiedros ici que l o s itéresse à la loi de du motat de l egagemet du régime : - 33 -
Λ= F + i = r * T (4) t ( ) t t= t= ( + i) j J ] t; [( ( )) t j x j qui est ue variable aléatoire telle que E ( Λ ) = L0 avec = F ( + ) 0 t i t= t L. Lorsque la mortalité future est coue (détermiiste), l aalyse de la loi de Λ reviet à mesurer les fluctuatios d échatilloage. Das le cotexte d ue mortalité stochastique, cette aalyse ous fourit u moye de quatifier le risque systématique qui viet s ajouter à ce risque de base : ici ous pourros doc mesurer aisi le risque associé au choix de la dérive. O peut à ce stade oter que même lorsque les paramètres des lois de Pareto perturbatrices sot strictemet iférieurs à, l egagemet reste itégrable, puisque cette variable est borée supérieuremet (par la table das laquelle tous les idividus sortet à 20 as). La méthode reteue cosiste à simuler les durées de survie des retiers, Tx( j), j J, à calculer des réalisatios λ,..., λ de Λ puis à détermier la foctio de répartitio empirique de l egagemet. La provisio L 0 est approchée par N l egagemet est estimée par ( L ) 2 variatio empirique : N λ N λ = λ N =. La variace de 0 ; o calcule égalemet le coefficiet de = cv = N N = N N ( λ L ) 2 = λ 0, (5) qui fourit u idicateur de la dispersio de l egagemet et das ue certaie mesure de sa «dagerosité». 2.3.2. Résultats La distributio empirique de l egagemet, représetée ici avec la distributio de référece das le cas détermiiste (avec 20 000 tirages) est présetée ci-dessous : - 34 -
Figure 4 - Distributio empirique de l egagemet Les résultats détaillés sot repris ci-après : Détermiiste Stochastique Espérace 37 937 707 37 380 862 Ecart-type 626 98 2 48 408 Bore iférieure de l'itervalle de cofiace 36 625 000 34 295 073 Bore supérieure de l'itervalle de cofiace 39 075 000 38 945 073 Coefficiet de variatio,65 % 6,47 % Même sur u portefeuille de petite taille, l impact de la mortalité stochastique sur la structure de l egagemet est importat. O costate deux effets : le coefficiet de variatio de l egagemet est multiplié par 3 par rapport à la situatio de o prise e compte du risque systématique. l egagemet moye dimiue, du fait de l impact des chocs à la hausse sur les taux de décès. Les coséqueces e termes de gestio du risque sot doc cotrastées : la visio «best estimate» de l egagemet est revue à la baisse, mais la présece d u risque systématique coduit à calibrer ue marge pour risque teat compte de la plus forte volatilité. Au global il est pas certai que le motat chage otablemet, mais sa décompositio das les logiques «curret exit value» est revue de maière sesible. Cepedat comme ous l avios motré das PLANCHET et al. [2006] la taille du portefeuille est u paramètre importat à predre e compte. E effet si le iveau absolu de risque systématique e déped pas de la taille du portefeuille, il e va pas de même pour le risque mutualisable. La part de variace expliquée par la composate stochastique de la mortalité augmete doc avec la taille du portefeuille ; afi de mesurer cet effet, o costruit u portefeuille fictif e répliquat le portefeuille de base fois. E observat que l o obtiet aisi ue décompositio de l egagemet total Λ e la somme de variables i.i.d. () ( ) Λ,.., Λ o trouve que : 2 () V E( ) ΛΠ = V E Λ Π et E V( ) () Λ Π = E V Λ Π, (6) - 35 -
ce qui coduit, avec des otatios évidetes, à : avec suivats : V ω = E V ( ΛΠ) [ Λ] ω = + ω, (7). Si l o multiplie le portefeuille par 30 o obtiet les résultats Figure 5 - Distributio empirique de l egagemet (taille x30) Les résultats détaillés sot repris ci-après : Détermiiste Stochastique Espérace 38 008 3 2 529 390 Ecart-type 5 592 22 69 93 57 Bore iférieure de l'itervalle de cofiace 3 30 658 032 8 60 Bore supérieure de l'itervalle de cofiace 44 480 658 4 8 60 Coefficiet de variatio 0,30 % 6,24 % La prise e compte de la mortalité stochastique multiplie le coefficiet de variatio par 20 e réitroduisat ue source de risque. Das ue approche «valeur à risque» (VaR), o trouve que le quatile à 75 % de la distributio de l egagemet est de 35 M das le cas stochastique, ce qui est très légèremet iférieur à la valeur obteue das le cas détermiiste, soit 40 M. E d autres termes, la prise e compte du risque de dérive coduit ici (e suivat ue approche VaR pour le calcul de la provisio) à baisser margialemet le motat provisioé de 0,7 %. La prise e compte du risque de dérive a égalemet pour coséquece d augmeter très sigificativemet l imprécisio das l évaluatio de l egagemet 29 qui, au iveau de cofiace de 95 %, passe de [-0,7 % ; 0,7 %] eviro à près de [-7,9 % ;,8 %]. 29 L imprécisio est mesurée par la logueur relative de l itervalle de cofiace à 95 %. - 36 -
Par ailleurs l egagemet stochastique tire sa volatilité des retes qui vot être servies pedat logtemps. Or plus la rete a ue durée de vie importate, plus le coefficiet d actualisatio est importat. E fixat le taux d actualisatio à 0 o obtiet les résultats suivat : Figure 6 - Distributio empirique de l egagemet (taux techique ul) Les résultats détaillés sot repris ci-après : Détermiiste Stochastique Espérace 675 256 646 647 334 98 Ecart-type 6 389 53 22 294 843 Bore iférieure de l'itervalle de cofiace 662 554 600 465 849 300 Bore supérieure de l'itervalle de cofiace 687 754 600 685 449 300 Coefficiet de variatio 0,38 % 7,42 % E preat u taux techique ul o augmete le coefficiet de variatio de l egagemet détermiiste de 27 % et le coefficiet de variatio de l egagemet stochastique de 9 %. Aisi la prise e compte de la mortalité stochastique iduit ue plus grade sesibilité de l egagemet au taux d actualisatio. 2.4. Coclusio O propose ici u modèle qui itègre explicitemet das les calculs de provisio d u régime de retes viagères l icertitude das la détermiatio de la tedace à log terme lors de l ajustemet de cette tedace. Si le iveau de provisio est pas sesiblemet impacté par ce chagemet, la structure de la provisio chage : le «best estimate» est revu à la baisse et la marge pour risque à la hausse du fait de ce risque systématique. Ce modèle ous semble de ce fait mieux à même de redre compte du risque porté par le régime de rete e permettat ue segmetatio plus pertiete du motat de l egagemet etre les différetes sources de risque. - 37 -
2.5. Bibliographie BROUHNS N., DENUIT M., VERMUNT J.K. [2002] «A Poisso log-biliear regressio approach to the costructio of projected lifetables», Isurace: Mathematics ad Ecoomics, vol. 3, 373-393. LEE R.D., CARTER L. [992] «Modellig ad forecastig the time series of US mortality», Joural of the America Statistical Associatio, vol. 87, 659 67. LEE R.D. [2000] «The Lee Carter method of forecastig mortality, with various extesios ad applicatios», North America Actuarial Joural, vol. 4, 80 93. PLANCHET F., JUILLARD M., FAUCILLON L. [2006], «Quatificatio du risque systématique de mortalité pour u régime de retes e cours de service», Assurace et gestio des risques, Vol. 75. PLANCHET F. [2007] «Prospective models of mortality with forced drift Applicatio to the logevity risk for life auities», Proceedigs of the th IME Cogress PLANCHET F., THÉROND P.E. [2006] Modèles de durée applicatios actuarielles, Paris : Ecoomica. SITHOLE T., HABERMAN S., VERRALL R.J. [2000] «A ivestigatio ito parametric models for mortality projectios, with applicatios to immediate auitats ad life office pesioers», Isurace: Mathematics ad Ecoomics, vol. 27, 285 32. - 38 -
3. Modèles prospectifs de mortalité avec dérive cotraite 3.. Itroductio Les aalyses prospectives de mortalité coduiset à aticiper les évolutios futures des taux de décès aux différets âges. Das les modèles maiteat classiques de costructio de tables prospectives, comme le modèle de Lee-Carter (voir otammet LEE et CARTER [992], LEE [2000], SITHOLE et al. [2000]) ou les modèles poissoies (cf. BROUHNS et al. [2002] et PLANCHET et THEROND [2006] pour ue présetatio et ue discussio de ces modèles), la dérive de mortalité future est aticipée à partir des observatios passées. Même e admettat qu il est légitime de prologer das les aées à veir les tedaces observées par le passé (o pourra se reporter à CAREY et TULAPURKAR [2003] pour des aalyses itégrat des cosidératios biologiques et eviroemetales, aisi que GUTTERMAN et VANDERHOOF [999] pour ue discussio sur ce poit), plusieurs sources d icertitude vieet perturber la détermiatio de la tedace future : choix de la période d observatio, fluctuatios stochastique des taux de mortalité, évéemets exceptioels, etc.. Cette icertitude fait peser sur les assureurs de retes viagères et les régimes de retraite u risque systématique (o mutualisable) dot l impact fiacier peut être très importat. Aisi, e Frace, la récete actualisatio des tables utilisées par les assureurs pour le provisioemet des retes viagères illustre les difficultés d ue telle aticipatio et les ejeux fiaciers associés : par rapport aux tables TPG 30 993 e vigueur jusqu au 3/2/2006, les ouvelles tables TGH 05 et TGF 05 qui etret e vigueur le 0/0/2007 coduiset à des majoratios de provisio parfois supérieures à 20%, comme l illustre le tableau suivat : Figure 7 - Comparaiso des coefficiets de provisioemet TPG 993 et TGH/TGF 05 Age Géératio TPG 993 Femmes Femmes / TPG Hommes Hommes / TPG 50 955 26,8647 28,40552 5,9% 26,75507-0,2% 55 950 24,26368 25,95575 7,0% 24,07474-0,8% 60 945 2,50832 23,3085 8,3% 2,25828 -,2% 65 940 8,5342 20,39677 0,0% 8,2226 -,7% 70 935 5,39467 7,28922 2,3% 5,08772-2,0% 75 930 2,25679 4,08680 4,9% 2,05698 -,6% 80 925 9,3594 0,9627 7,2% 9,2890-2,4% 85 920 6,88306 8,5548 8,5% 6,64827-3,4% 90 95 4,9330 5,89309 9,5% 4,73880-3,9% 95 90 3,46780 4,29408 23,8% 3,4009 -,9% Das ce cotexte il apparaît opportu de rechercher à mesurer le risque associé à cette erreur d aticipatio et de quatifier so impact e termes de provisios pour u régime de retiers. E pratique les observatios ci-dessus coduiset à la coclusio que le régime de rete est soumis à u risque de modèle importat. Il est aisi possible de reformuler les coséqueces du passage des tables TPG 993 aux tables 3 TGH 05 évoquées ci-dessus e rapprochat 30 Tables obteues sur la base de la mortalité de la populatio fémiie sur la période 96-987, utilisées depuis le er juillet 993. 3 O rappelle que les TPG 993 sot des tables fémiies. - 39 -
l évolutio aticipée de l espérace de vie à 60 as das les deux modèles prospectifs. O obtiet aisi : Figure 8 - Evolutio aticipée de l espérace de vie à 60 as 00,00 98,00 96,00 94,00 92,00 y = 0,472x + 90,396 Age 90,00 88,00 86,00 84,00 82,00 80,00 y = 0,89x + 87,46 936 939 942 945 948 95 954 957 960 963 966 969 972 975 978 98 984 987 990 993 Géératio TGF05 TPG993 Liéaire (TGF05) Liéaire (TPG993) O observe que o seulemet les iveaux absolus diffèret sesiblemet, mais égalemet que la vitesse de croissace de l espérace de vie à 60 as a été sesiblemet sous-estimée e 993 : alors que les TPG 993 aticipet ue augmetatio de,4 mois par a, les tables TGF 05 prévoiet ue dérive de,8 mois par a, soit 23 % de plus. O ote égalemet que les aticipatios de l espérace de vie suivet des tedaces liéaires, ce que ous utiliseros par la suite. Ceci illustre la difficulté à aticiper la tedace de dérive de la mortalité future à partir de doées historiques 32. Das ce cotexte, o propose d utiliser comme paramètre de cotrôle du modèle, e le fixat comme ue cotraite ex ate l espérace de vie à u âge doé (60 as) et so évolutio future. Ue telle approche permet de quatifier par exemple l impact sur les charges du régime d ue erreur de 0, mois / a sur la vitesse de dérive de cette espérace et d itégrer explicitemet des idicateurs de l impact sur l évaluatio de l egagemet du régime d ue erreur de modèle. O utilise pour cela das la présete étude le modèle de Lee-Carter (voir otammet LEE et CARTER [992], LEE [2000], SITHOLE et al. [2000]) pour costruire ue surface de mortalité μ x, t. ( ) Après u ajustemet des taux passés, les taux de mortalité pour les aées futures se déduiset de l extrapolatio de la composate temporelle e itégrat la cotraite posée a priori. O peut oter que l utilisatio de la variate log-poisso (cf. BROUHNS et al. [2002]) coduirait à des résultats très proches, qui e serot pas repris ici. Les applicatios umériques du préset travail sot reprises des résultats obteus das EL HORR et al. [2007]. 32 Les populatios de référece utilisées pour les 2 séries de tables diffèret, mais o obtiedrait les mêmes coclusios e utilisat des tables prospectives INSEE à la place des TGF 05. - 40 -
3.2. Le modèle de mortalité 3.2.. Rappels sur le modèle de Lee-Carter Le modèle reteu pour costruire les tables prospectives est adapté du modèle de Lee- Carter (LEE et CARTER [992]). O rappelle que la modélisatio proposée pour le taux istataé de mortalité das Lee-Carter est la suivate : μ = α + β k + ε, l xt x x t xt e supposat les variables aléatoires ε xt idépedates, idetiquemet distribuées selo 2 ue loi N ( 0, σ ) et que l o dispose d u historique t m t t M. La questio de l ajustemet des paramètres du modèle est pas abordée ici. Le lecteur itéressé pourra se reporter aux ombreuses référeces sur le sujet (citées par exemple das PLANCHET et THEROND [2006]). Ue fois ajustée la surface de mortalité sur les doées passées, il reste à modéliser la série ( k t ) pour extrapoler les taux futurs ; pour cela, o utilise e gééral ue modélisatio très simple que la base d ue régressio liéaire e supposat ue tedace affie : * t k = at + b + γ, avec ( γ t ) u bruit blac gaussie de variace σ γ. O obtiet aisi des estimateurs â et ˆb qui permettet de costruire des surfaces projetées e utilisat simplemet t * ˆ ˆ t k = at+ b. Das la suite, après avoir brièvemet préseté la méthode de fermeture de la table proposée, o présete ue adaptatio de ce modèle qui pred e compte ue cotraite que l o se fixe a priori sur l évolutio future des taux de mortalité. 3.2.2. Fermeture de la table L estimatio des taux bruts de mortalité est e gééral possible que jusqu à u âge limite relativemet éloigé de l âge maximum de survie. E pratique, les valeurs brutes estimées présetet ue grade istabilité aux âges élevés du fait du faible effectif dispoible. O dispose aisi raremet de doées de boe qualité au-delà de 90-95 as. Par coséquet, o a recours à ue méthode de fermeture permettat de compléter la table avat d effectuer l ajustemet. Les différetes méthodes de fermeture de table e serot pas détaillées ici et le lecteur itéressé pourra, sur ce sujet, cosulter PLANCHET et THEROND [2006] ou ecore DENUIT et QUASHIE [2005]. O retiet das cette étude u modèle simple das lequel les taux de mortalité aux grads âges, jusqu à 20 as, sot extrapolés e se basat sur la formule suivate : x exp ( ) q = a bx, x où a et b sot des réels détermiés par la cotraite q 20 = et par le raccordemet aux taux q pour les âges iférieurs à x 0 = 86, âge auquel ous commeços l extrapolatio. Au surplus, o rappelle que das le cotexte de l évaluatio de l egagemet d u régime de retes viagères, compte teu de l âge moye des retiers, la méthode de fermeture - 4 -
fialemet reteue a qu ue importace relative (voir PLANCHET et THEROND [2006] pour ue quatificatio de cet impact). 3.2.3. Présetatio géérale du modèle La formulatio usuelle du modèle de Lee-Carter l μ xt = α x + β x k t repose sur u modèle implicitemet décrit e temps cotiu. Toutefois, pour le besoi des applicatios umériques, il s avère écessaire de faire ue hypothèse permettat de se rameer aux observatios, par ature discrètes. L hypothèse classique cosiste à supposer la costace de la foctio de μ = l q. hasard sur chaque carré du diagramme de Lexis, ce qui coduit à ( ) Das u premier temps, afi d éviter cette hypothèse (cotestable aux âges élevés otammet), le modèle est écrit directemet e temps discret e utilisat les «logits» des taux de décès : q l xt = αx + βxkt. q Comme la trasformatio iverse de la foctio logistique est poser : q xt xt ( αx + βxkt) ( α β k ) = exp + exp + x x t. xt y e y il est équivalet de y + e Cette approche présete l avatage de proposer ue paramétrisatio explicite des taux de décès q xt. E ce qui cocere l estimatio des paramètres du modèle, la démarche est strictemet idetique à celle proposée par Lee-Carter, e remplaçat systématiquemet l μxt q par l xt. Cette formulatio est de plus bie adaptée à la prise e compte d ue cotraite qxt sur l évolutio de l espérace de vie (géératioelle) à u âge doé pour la partie prospective ; e effet o a : e xt h ( qx+ k, t+ k), = h> 0 k = 0 et o dispose d ue expressio explicite pour xt peut égalemet remarquer que : ext q =. + xt q e foctio des paramètres ( αβ,,k ) e x +, t + Disposer d ue surface prospective complète est équivalet à détermier les valeurs k ; t t e ; t t pour u âge x fixé ; o veut e déduire les valeurs ( t M ). O se doe ( xt M ) ( k ; t t ). t M xt. O - 42 -
A ce stade, il reste doc à spécifier l âge x 0 reteu comme «âge pivot» pour l itégratio de l avis d expert das le modèle, aisi que la forme de l évolutio future de l espérace de vie à cet âge, c est à dire la forme de t e, t t. x0t k, la valeur k t M + e doit pas être «trop loi» de, ce qui iduit ue cotraite sur t ex, 0t t tm. Das les cas (les plus courats e pratique) où l allure géérale de ( k t ) est liéaire, o peut aisi imagier de simplemet itroduire l avis d expert au travers d ue rupture de pete sur la droite t kt, t tm. Toutefois cette approche e sera pas privilégiée du fait du caractère o immédiatemet k, l espérace de vie résiduelle état ue otio ituitivemet plus aisée. k t M O otera ici que par «cotiuité» de ( ) t appréhesif de ( ) t M 3.2.4. Ue spécificatio simple du modèle La spécificatio la plus simple que l o puisse imagier pour t ex, 0t t tm, et globalemet e phase avec les observatios passées, est ue évolutio liéaire de l espérace de vie future. Cette forme est au surplus e phase avec ce que l o costate sur les tables prospectives usuelles (TGP 993, TGH/TGF 05, etc.). O pose doc : x 0 ( ) e t = a t+ b, a et b état les 2 paramètres de otre modèle fixé ex ate par l avis d expert. Das le cas gééral, ue fois fixée la forme de t e, t t, la détermiatio de x0t h t M au travers de la relatio ext = ( qx+ k, t+ k) h> 0 k = 0 t k, t t délicat de fixer u horizo a priori pour limiter le ombre de ( ) t M est pas simple car il est k pris e compte. O propose doc ici d utiliser des coefficiets approchés, obteus e cotraigat ( k t ) à avoir ue forme polyomiale : 2 3 () 0 2 3, M k t = a + at+ a t + a t t t. Avec cette hypothèse, o a ue relatio de la forme ex( t) ϕxt( a0, a, a2, a3) ramèe aisi à rechercher ( a, a, a, a ) 0 2 3 = et o se θ = miimisat l écart quadratique etre les valeurs «à dire d expert» pour l espérace de vie à l âge pivot et la prédictio de ces valeurs par le modèle, c est à dire à cherchat à résoudre le programme : avec : h> 0 k = 0 ( a, a, a, a ) 0 2 3 tm + h t= tm ( + ϕxt( 0,, 2, 3) ) Mi a bt a a a a 2 3 ( α + β ( a + a ( t+ k) + a ( t+ k) + a ( t+ k) )) 2 3 α β a a ( t k) a ( t k) a ( t k) exp = ϕxt + exp ( x+ k+ x+ k( 0 + + + 2 + + 3 + )) h x+ k x+ k 0 2 3 0 2 ( a, a, a, a ) 0 2 3 La résolutio du programme ci-dessus e pose pas de problème particulier umériquemet. O otera simplemet qu il coviet de projeter les taux de décès sur u horizo bie plus - 43 -
importat que l horizo de projectio des espéraces de vie résiduelles : par exemple, pour estimer l espérace de vie à 65 as e 2050 il faut disposer des taux de décès jusqu e 205 das l hypothèse d u âge maximum de survie de 20 as. 3.3. Applicatio umérique L illustratio umérique proposée ici est structurée e trois parties : das u premier temps, ous justifios de la pertiece de l utilisatio des logits des taux de décès e lieu et place de la foctio de hasard, puis ous aalysos le comportemet de otre modèle pour sa composate prospective e itroduisat l avis d expert. Efi, o motre l applicatio que l o peut faire de ce modèle pour la quatificatio du risque de logévité porté par u régime de retes viagères. 3.3.. Passage du modèle Lee-Carter stadard au Lee-Carter logistique La table prospective utilisée das cette étude est costruite à partir des tables du momet fouries par l INED 33 das MESLE et VALLIN [2002]. L ajustemet sur les doées historiques du modèle de Lee-Carter «logistique» coduit à la surface de mortalité suivate : Figure 9 - Surface de mortalité ajustée (Lee-Carter sur les logits) La proximité des deux modèles (Lee-Carter stadard et Lee-Carter logistique) est illustrée par la comparaiso des différets paramètres, effectuée ci-dessous : 33 Ces tables sot dispoibles sur http://www.ied.fr/publicatios/cdrom_valli_mesle/tables-de-mortalite/tables-dumomet/tables-du-momet-xx.htm - 44 -
Figure 20 - Comparaiso des estimatios de α x 2 0 0 0 20 30 40 50 60 70 80 90 00 0-2 -4-6 -8 O ote comme attedu u écart qui se creuse aux âges élevés et ue grade proximité des valeurs ailleurs ; la situatio est aalogue avec le paramètre β : x 0,02 0,05 0,0 0,005 Figure 2 - Comparaiso des estimatios de β x 0 0 0 20 30 40 50 60 70 80 90 00 0 Pour ce qui cocere la composate temporelle, les différeces etre les deux modèles sot égligeables : - 45 -
Figure 22 - Comparaiso des estimatios de k t 40 20 kt 0 950 960 970 980 990-20 -40-60 O utilise doréavat la versio du modèle sur la base des logits des taux de décès. Les résultats ci-après illustret le comportemet du modèle cotrôlé par l avis d expert. Aées 3.3.2. Aalyse de la composate prospective Afi de simplifier l expressio de l avis d expert, d ue part, et d assurer la cotiuité de l évolutio de l espérace de vie, d autre part, o cotrait e64 ( t M ) à être égale à la valeur issue de l ajustemet iitial, soit eviro 28 as sur os doées. Il reste alors à fixer e64 () t pour ue date t détermiée ex ate. O retiet t = 2050 comme horizo d expressio de l avis d expert, soit ue opiio prospective à eviro 50 as. Deux e = (qui sera otre situatio de référece) et situatios sot alors comparées : 64 ( 2050) 38 e 64 ( 2050) = 48. O s itéresse tout d abord à l impact de l itégratio de l avis d expert das la projectio du paramètre temporel : Figure 23 - Comparaiso des estimatios de kt das le modèle cotrait et le modèle o cotrait - 46 -
Le rapport des deux surfaces de mortalité aisi obteues sur la plage d âges 60-20 as est représeté ci-après : Figure 24 - Surface de mortalité ajustée (Lee-Carter sur les logits) O ote e premier lieu que l avis d expert formulé à u âge doé se répercute sur l esemble des âges. Il s agit là d ue coséquece du caractère très structurat (et doc très cotraigat) du modèle de Lee-Carter, das lequel la seule doée de t kt, t tm détermie etièremet la surface prospective pour tous les âges. O remarque, ce qui est pas ituitif, qu aticiper ue augmetatio plus importate de l espérace de vie à 64 as coduit à court terme à réviser à la baisse l estimatio de l espérace de vie aux âges plus élevés pedat quelques aées. Bie etedu, das le log terme, l espérace de vie à tous les âges cocerés deviet supérieure à l espérace qui était aticipée das le modèle de référece. Cette évolutio comparée des espéraces de vie das les deux situatios est la coséquece d ue projectio de log terme des taux de sortie istataés. La figure ci-après présete l évolutio du rapport des taux des décès das les deux hypothèses de travail : - 47 -
Figure 25 - Surface de mortalité ajustée (Lee-Carter sur les logits) O retrouve e mode «iversé» les caractéristiques de la surface précédete. O observe que l écart d espérace de vie aticipé à 64 as à u horizo d eviro 50 as (+ 26 %) implique ue décroissace beaucoup plus forte des taux de décès à tous les âges (au-delà de 60 as). O observe aisi des abattemets de plus de 90 % après u siècle. Cela doe ue idée de la cotraite que représete u gai d espérace de vie résiduelle à 64 as sur les taux de décès auels. E d autres termes, ue faible variatio des taux de décès auels impacte quasimet pas l espérace de vie résiduelle. E d autres termes l egagemet d u régime de rete est peu sesible à des phéomèes istataés affectat la mortalité sur ue aée. 3.3.3. Applicatio à u régime de retes viagères U régime de rete est cofroté pricipalemet à u risque fiacier et, de maière secode, à u risque de mauvaise aticipatio de la mortalité des retiers ; ce risque de logévité (voir PLANCHET et al. [2006]) doit, das le cotexte du projet de réforme des règles prudetielles «Solvabilité 2», être quatifié. Le modèle que ous proposos ici permet de proposer ue évaluatio de ce risque, ous illustros cela das la suite de ce paragraphe. Nous utilisos ecore pour cette illustratio le portefeuille 34 costitué de 374 retiers de sexe fémii âgés e moyee de 63,8 as au 3/2/2005. La rete auelle moyee s élève à 5,5 k. La figure 2 ifra présete les flux de prestatios espérés e foctio du temps obteu à partir de la table de mortalité TV 2000. 34 Il s agit e fait du portefeuille utilisé das PLANCHET et al. [2006]. - 48 -
Figure 26 - Flux de prestatios espérées 2 500 k 2 000 k 500 k 000 k 500 k 0 k 2005 205 2025 2035 2045 2055 2065 2075 E raisoat pour simplifier à taux techique ul (ie le capital costitutif d u de rete est exactemet égal à l espérace de vie à cet âge), o trouve que l egagemet du régime passe de 67 M das la situatio de référece e 64 ( 2050) = 38 à 70,9 M e supposat ue valeur cible plus élevée de 0 as. Cet écart d u peu mois de 6 % peut être associé au risque de logévité. O remarquera icidemmet que l écart de 0 as sur 50 as de projectio est cohéret avec l écart de presque 2 as observé sur 0 as lors de l actualisatio des tables réglemetaires e Frace (voir l itroductio du préset article). 3.4. Coclusio Alors que la mauvaise aticipatio de l espérace de vie future aux âges de service des prestatios costitue u risque majeur pour les régimes de rete, le modèle proposé fourit u outil opératioel simple à mettre e œuvre et de ature à permettre ue mesure de la sesibilité de l egagemet du régime à diverses hypothèses d évolutio de cette espérace de vie. E particulier, le modèle proposé fourit u cadre simple et justifiable pour quatifier u besoi e capital spécifique pour le risque de logévité porté par le régime de retes de maière plus lisible et plus robuste que les modèles stochastiques de mortalité. 3.5. Bibliographie BROUHNS N., DENUIT M., VERMUNT J.K. [2002] «A Poisso log-biliear regressio approach to the costructio of projected lifetables», Isurace: Mathematics ad Ecoomics, vol. 3, 373-393. CAREY J.R., TULAPURKAR S. Ed. [2003] Life Spa, Evolutioary, Ecological ad Demographic Perspectives, Populatio ad Developmet Revue (sup. to vol. 29), Populatio Coucil. GUTTERMAN S., VANDERHOOFT I.T. [999] «Forecastig chages i mortality: a search for a law of causes ad effects», North America Actuarial Joural, vol. 2, 35-38. - 49 -
EL HORR R., SARAC-DEDIC J., FERRIER C., SILVANT M. [2007] «Modèles de mortalité avec dérive cotraite», Rapport de groupe de travail ISFA. LEE R.D., CARTER L. [992] «Modellig ad forecastig the time series of US mortality», Joural of the America Statistical Associatio, vol. 87, 659 67. LEE R.D. [2000] «The Lee Carter method of forecastig mortality, with various extesios ad applicatios», North America Actuarial Joural, vol. 4, 80 93. MESLE F., VALLIN J. [2002] «Commet améliorer la précisio des tables de mortalité aux grads âges? Le cas de la Frace», Populatio 4, INED, 603. PLANCHET F., JUILLARD M., FAUCILLON L. [2006], «Quatificatio du risque systématique de mortalité pour u régime de retes e cours de service», Assurace et gestio des risques, Vol. 75. PLANCHET F., LELIEUR V. [2006] «Costructio de tables de mortalité prospectives : le cas des petites populatios», à paraître das le Bulleti Fraçais d Actuariat, vol. 7 4 PLANCHET F., THÉROND P.E. [2006] Modèles de durée applicatios actuarielles, Paris : Ecoomica. SITHOLE T., HABERMAN S., VERRALL R.J. [2000] «A ivestigatio ito parametric models for mortality projectios, with applicatios to immediate auitats ad life office pesioers», Isurace: Mathematics ad Ecoomics, vol. 27, 285 32. - 50 -
Partie 2 : Détermiatio du capital de solvabilité das le référetiel 35 Solvabilité 2 Le projet Solvabilité 2 a l ambitio de coduire les etreprises d assurace à idetifier, quatifier, puis cotrôler l esemble des risques qu'elles portet. Le cotrôle des risques est assuré par u iveau miimal de capital à allouer à l activité, le SCR, de même ature que l actuelle marge de solvabilité. Mais alors que la marge de solvabilité est détermiée par des règles simples mais heuristiques et sas quatificatio explicite du iveau de cotrôle du risque, le projet Solvabilité 2 propose de fixer le SCR de sorte que l etreprise puisse justifier d ue capacité à teir ses egagemets avec ue probabilité supérieure à 99,5 % à l horizo d u a. Commet exprimer de maière plus explicite cette cotraite? Ue remarque prélimiaire s impose : alors que jusqu à préset la marge de solvabilité est fixée idépedammet des choix e matière d'ivestissemet de l'actif, ce ouveau critère de détermiatio du SCR implique que ces choix impactet doréavat le besoi e capital. De maière plus directe, ue allocatio plus risquée coduit à u besoi e capital plus importat. D u poit de vue pratique, o est doc coduit à mettre e place u modèle actif / passif pour fixer le SCR ; de maière plus précise, ue fois ce «modèle itere» mis e place, il deviet possible de simuler le besoi e capital coduisat à u bila équilibré à l horizo u a. Le quatile à 99,5 % de la distributio de ce «surplus» fourit ue estimatio du SCR. O dispose doc d u moye e pricipe simple de calculer le SCR das le cadre d'u modèle itere 36. Il e faut toutefois pas perdre de vue le fait que le SCR état par défiitio u quatile d ordre élevé de la distributio du surplus, so iveau est fialemet détermié par les évéemets extrêmes tat au passif qu à l actif. Ces évéemets (siistres de motat très élevé, variatios très brutales de la valeur d u actif, etc.) e doivet pas être cosidéré comme des accidets au ses où ils sot au cœur des mécaismes écoomiques, comme l o motré otammet les travaux de Beoît Madelbrot ou Daiel Zajdeweber 37. Cela impose ue première cotraite sur les composats du modèle actif passif, qui doivet correctemet représeter les valeurs extrêmes. De fait, les modélisatios actif / passif usuelles laisset souvet de coté ces questios : la très classique hypothèse de redemets gaussies idépedats sous estime par exemple otoiremet ce type de valeurs, et doc so utilisatio das le cadre de la détermiatio du SCR coduit à ue sous estimatio systématique du besoi e capital. O peut formuler la même remarque pour la modélisatio du passif. Il est bie etedu possible de pallier à ce risque de modèle e mettat e œuvre des approches adaptées à ces cotraites spécifiques de représetatio des évéemets extrêmes. Mais même e supposat que le modèle représete correctemet la réalité, ue difficulté pratique importate subsiste. E effet, la complexité du modèle itere aisi costruit écessite pour sa mise e œuvre de recourir à des techiques de simulatio. Pour chaque 35 Ce texte est adapté de PLANCHET [2007b]. 36 La questio de l adéquatio du modèle stadard tel que l o peut se l'imagier via le QIS 3 aux pricipes de base de Solvabilité 2 est pas abordée ici. 37 O pourra otammet lire «Ue approche fractale des marchés» de B. Madelbrot et «L écoomie des extrêmes» de D. Zajdeweber. - 5 -
«état du mode» que l o géère o obtiet ue réalisatio du surplus. E répétat le mécaisme o costruit la distributio empirique du surplus, distributio qui costitue i fie la référece de base pour le calcul du SCR. Compte teu des cotraites iformatiques et otammet du temps de calcul écessaire à l obtetio d ue réalisatio du surplus, le ombre de poits dispoibles reste limité : quelques cetaies e pratique. Mais sur u échatillo de 000 valeurs, le quatile à 99,5 % est fialemet détermié par les 5 valeurs les plus grades de l échatillo O mesure aisi le risque d échatilloage auquel o se trouve cofroté. Fixer le iveau du SCR va doc écessiter de modéliser coveablemet la loi du surplus. Deux approches sot evisageables : u ajustemet paramétrique global de l esemble de cette distributio ou le recours à la théorie des valeurs extrêmes qui permet de e modéliser que la «queue de distributio». Mais, quelle que soit l optio reteue, les travaux existats sur le sujet mettet e évidece ue grade imprécisio das la mesure aisi obteue du capital de solvabilité. Doit-o pour autat cosidérer que ce critère de probabilité de ruie a pas de ses? Sas doute pas, mais à la coditio que le régulateur fixe des règles strictes sur les modélisatios admissibles et e laisse pas l etreprise libre de ses choix lors de l élaboratio d u modèle itere. - 52 -
4. Risque de modèle et détermiatio du capital écoomique 4.. Itroductio Le projet Solvabilité 2 (cf. COMMISSION EUROPEENNE [2003], [2004] et AAI [2004]) e cours d élaboratio modifie profodémet les règles de fixatio du iveau des fods propres e assurace e itroduisat comme critère explicite le cotrôle du risque global supporté par la société, risque qui devra être quatifié au travers de la probabilité de ruie à horizo u a. Cette exigece de capital de solvabilité (Solvecy Capital Requiremet ou SCR) pourra être obteue par ue formule stadard commue à tous les assureurs et costruite selo ue approche modulaire 38 des risques ou via u modèle itere, plus adapté au risque réellemet supporté par l assureur. Das les deux situatios, l objectif reste le même : détermier le iveau de ressources dot doit disposer aujourd hui l assureur pour e pas être e ruie das u a das u cas sur 200. Le iveau reteu de 99,5 %, implique la écessite d estimer coveablemet u quatile d ordre élevé de la distributio d itérêt (e pratique ici celle du surplus, ou marge actifpassif). Cette questio est largemet développée das la littérature fiacière, cofrotée à ces questios depuis les accords de Bâle 2 das le milieu bacaire. O peut par exemple citer ROBERT [998] ou ecore GAUTHIER et PISTRE [2000]. Das ce cotexte ouveau e assurace, les modélisatios classiques tat de l actif que du passif, qui portet ue attetio limitée à la modélisatio de la queue de distributio peuvet s avérer péalisate car elles coduiset à ue trop faible représetatio des valeurs extrêmes. Ce poit est par exemple illustré pour les modélisatios de l actif das BALLOTTA [2004] pour le cas des optios cachées d u cotrat d éparge, et das PLANCHET et THEROND [2005] das le cadre d u modèle moo périodique simplifié e assurace o-vie pour la détermiatio du capital cible et de l allocatio d actifs. THEROND et PLANCHET [2007] attiret aussi l attetio sur l importace des extrêmes das la détermiatio du capital de solvabilité (SCR). Das le préset article, ous développos ce poit de vue e perturbat u modèle de référece simple e alourdissat sa queue de distributio ; o motre qu il est possible d obteir aisi des situatios das lesquels le modèle de base sous-estime de maière sigificative le capital de solvabilité, tout e état difficilemet discerable statistiquemet du modèle perturbé si ue attetio particulière est pas portée aux valeurs extrêmes. Nous proposos ue approche empirique pour décider si des modélisatios de type «valeurs extrêmes» doivet être mises e œuvre sur la base d u échatillo observé. 4.2. Descriptio du modèle 4.2.. Présetatio O cosidère ue distributio de probabilité décrite par sa foctio de survie S 0 ; plus précisémet o suppose que la variable positive X est défiie par la foctio de survie suivate : 38. L étude d impact quatitatif QIS 3 meée par le CEIOPS (http://www.ceiops.org) doe ue boe idée de ce que sera la formule stadard lorsque les directives Solvabilité 2 aurot été adaptées. Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 53 -
( ) SX x x ( ) S0 x x m α = S0 ( m) x> m m E d autres termes, X est distribuée selo la loi S 0 jusqu au seuil m, et esuite selo ue loi de Pareto de paramètre (, ) m α. E particulier P( X m) S ( m) S ( m) > = =. Nous e reviedros pas ici sur les motivatios qui coduiset à reteir la loi de Pareto, ous borat à revoyer le lecteur à EMBRECHTS et al. [997] pour les aspects théoriques de la questio et ZAJDENWEBER [2000] pour u éclairage pratique. O vérifie que l égalité ci-dessus défiit bie ue foctio décroissate, cotiue si S 0 est cotiue, telle que S ( 0) = et lim SX ( x) = 0. S X défiit doc bie ue foctio de survie. X x + X 0 L existece des momets de S X est coditioée par l existece des momets du même ordre pour la loi de Pareto de paramètre ( m, α ). Le momet d ordre k existe doc que pour k < α. Das le cotexte de la présete étude o choisira le seuil m de sorte qu il correspode à u quatile élevé de la distributio S 0, par exemple tel que S0 ( m ) =, 5 %. Le modèle «mélagé» aisi défii se comporte doc «presque» comme le modèle de base associé à S 0 (pour la part S0 ( m) des observatios), mais diffère au-delà de ce seuil. O déduit de la défiitio de S X que : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) α P X > x SX x x > > = = = P X > m SX m m P X x X m ce qui sigifie que la loi de X coditioellemet au fait que le seuil m est dépassé est ue m, α. Symétriquemet o trouve que : loi de Pareto ( ) P( x< X m) SX ( x) SX ( m) S0( x) S0( m) P( X > x X m) = = = P( X m) SX ( m) S0 ( m) La foctio quatile de X pour des valeurs de p iférieures à S ( m) simplemet par :, 0. est doée α p xp = m S 0 ( m ). x = m Cette expressio se déduit simplemet de l égalité p S ( m) x > m. Logiquemet o a x S ( m) = m. 0 α 0 valable pour O souhaite comparer le cas où le risque X est distribué simplemet comme S 0 et le cas où la queue de distributio est alourdie comme ci-dessus («distributio mélagée»). Plus précisémet o souhaite comparer les foctios quatile das les 2 situatios, pour des Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 54 -
quatiles d ordre élevé. D u poit de vue pratique, o veut doc comparer le motat du capital de solvabilité das les 2 situatios. Das le cas où X est distribué selo S 0 la foctio quatile est par défiitio xp = S0 ( p). Das ce cas ecore o a bie etedu x S ( m) = m. Das la suite de ce papier, o cosidère que la distributio de référece est log-ormale, à la fois du fait de sa simplicité d utilisatio et du fait de sa très grade utilisatio das les problèmes d assurace. 0 4.2.2. Cas particulier de la loi log-ormale O cosidère maiteat que le risque de base est log-ormal, et doc : p p ( ) ( ) ( ) ( ) μ σφ ( ) x = VaR X = S p = F p = exp + p. 0 0 ( m) μ l ( m) l μ O a S0 ( m) = P Z > = φ. O e déduit l expressio explicite σ σ de la foctio quatile das le cas du modèle mélagé : x p p = m l ( m) μ φ σ 0 à u iveau assez grad mais iférieur à p ; typiquemet das u cotexte Solvabilité 2 p = 99,5% et o choisira Das les applicatios, o fixe m e cotrôlat S ( m) S0 ( m ) = 2% ou ( ) S m =. O ote p S ( m) 0 % α p p = 0 ( 0). p0 x S p 0 0 α. = le iveau choisi, de sorte que Das le cas d ue distributio de référece log-ormale o obtiet doc pour le modèle mélagé : ( μ σφ ( p0 )) α MEL p xp = exp + p, 0 formule à comparer à la versio obteue das le modèle direct log-ormal : LN xp Le rapport des deux quatiles s écrit doc : ( μ σφ ( p) ) = exp +. ( ( )) 0 α p r( α) = exp σ φ ( p ) φ ( p) p. 0 Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 55 -
O peut oter icidemmet que ce rapport e déped pas du paramètre μ. r ( α ) est ue foctio décroissate de α : lorsque α dimiue, le risque associé à la distributio mélagée augmete et doc le capital requis pour le couvrir aussi. O sera cofroté à ue situatio de risque de modèle das le cas où malgré ue valeur r ( α ) >> u échatillo issu du modèle mélagé serait difficilemet discerable d u échatillo log-ormal. Le modèle log-ormal est largemet répadu e assurace et, e particulier, c est sur ce modèle qu ot été calibrés ue partie des paramètres de la formule stadard décrite das QIS 3. C est cette situatio que ous allos ous attacher à examier plus attetivemet das la suite de cet article. 4.2.3. Estimatio des paramètres du modèle L estimatio des paramètres peut être effectuée par la méthode du maximum de vraisemblace. E effet, la log-vraisemblace s écrit, e otat ( x(),.., x ( ) ) la statistique d ordre associée à l échatillo ( x,.., x ) et k le plus petit idice tel que x ( k ) m : ( x() μ i ) k l( x x μσα l,.., ;,, ) = l exp + m S0 m x i= σx 2 () 2π σ l i i= k ce qui coduit après simplificatio à : l( x,.., x; μσ,, m, α) = cste ( k ) l( σ) 2 k i= ( ) l( α) α( ) l( ) α l () i ( x() i ) α α ( α ( ) () i ) ( ) ( ) 0 ( ) + k+ + k+ m x + k+ S m { } i= k l μ σ Du fait de la présece de k = mi i; x() m l expressio de la log-vraisemblace est i difficilemet utilisable e l état. O peut toutefois décomposer le problème de maximisatio e remarquat que : ( m ) ( ) μσ,,, α m μσα,, ( ) ( ) max l x,.., x ; μ, σ, m, α = max max l x,.., x ; μ, σ, m, α. O ote alors qu ue fois m fixé, les expressios des dérivées partielles de la logvraisemblace sot les expressios classiques des deux lois sous-jacetes, sur les plages de doées les cocerat. Les estimateurs de μ et σ sot aisi les classiques estimateurs ( ) empiriques pour l échatillo gaussie l x() ; i =,.., k : i k k ˆ μ = x() i k l et ˆ σ = l x() ˆ μ. i k i= i= ( ) L estimateur du paramètre de queue α est fouri par l expressio : 2 Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 56 -
ˆ α = i= k k+. x () i l m Il reste à élimier m, icou, das l équatio ci-dessus. E pratique o pourra doc procéder de la maière suivate : o fixe k (e commeçat par exemple par k = 95% ) ; o calcule μˆ et σˆ ; ( ) o calcule mˆ exp ˆ μ ˆ σφ ( k ) = + ; L estimateur (pseudo maximum de vraisemblace) du paramètre de queue α est k+ alors fouri par l expressio ˆ α =. x () i l mˆ i= k O obtiet ue valeur l( k ) de la log-vraisemblace ; o recommece avec k' > k, et o coserve l estimatio des paramètres associée à la valeur maximale de la séquece l( k ) aisi obteue. O otera que les estimateurs ci-dessus sot a priori biaisés (même si e tat qu estimateurs du maximum de vraisemblace ils sot asymptotiquemet sas biais). 4.2.4. Coséquece sur le iveau du capital de l estimatio des paramètres BOYLE et WINDCLIFF [2004] mettet e évidece l importace de l étape d estimatio des paramètres, du fait de la perte d iformatio à ce iveau, das la pertiece des résultats fouris par u modèle théorique. Comme ici o dispose de formules fermées pour la foctio quatile das chacu des modèles, le iveau du capital de solvabilité sera simplemet estimé, das le modèle mélagé, par ( μ σφ ( p0 )) ˆ α MEL p xˆp = exp ˆ + ˆ p, 0 et, das le modèle log-ormal, par LN p ( μ σφ ( p) ) xˆ = exp ˆ + ˆ. Cas du modèle log-ormal O vérifie facilemet que la foctio f ( xy) = ( x+ ay) a, exp est covexe ; o e déduit avec l iégalité de Jese (DACUNHA-CASTELLE et DUFLO [982]) que : LN ( ˆ ) ( ( )) ( ( ) ( ) ( )) p = ˆ μ+ ˆ σφ ˆ μ + ˆ σ φ E x Eexp p exp E E p. Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 57 -
Comme das le modèle log-ormal le paramètre μ est estimé sas biais, et que l o peut remplacer σˆ par sa versio corrigée du biais σ = σ ˆ, o e coclut que : LN LN ( p ) p = ( μ+ σφ ( )) E x ˆ x exp p. E d autres termes, la procédure d estimatio du capital de solvabilité das u modèle logormal coduit à le surestimer e moyee. Cas du modèle mélagé Das le cas du modèle mélagé, o doit examier le comportemet de b fab( x, y, z) = exp x+ ay+, z avec p b = l 0 > 0. U simple calcul matriciel permet de p vérifier la positivité de la matrice hessiee associée, et du même coup le caractère covexe de f ab,. Mais il est pas aisé d e déduire le ses du biais sur l estimatio du SCR, les paramètres état plus sas biais. Les simulatios umériques tedet à mettre e évidece u biais égatif, ie ue sousestimatio du SCR, ce qui costitue u poit péalisat e pratique (cf. ifra). 4.2.5. Applicatio umérique D u poit de vue pratique, l estimatio du SCR e s effectue pas sur des doées observées mais sur des valeurs simulées issues d u modèle (le «modèle itere») ; o pourra par exemple sur ce poit cosulter THEROND et PLANCHET [2007]. Les cotraites de calcul fot qu il est pas evisageable de disposer d u ombre arbitrairemet grad de réalisatios de la marge actif-passif simulée et que l estimatio du SCR devra doc être effectuée sur u échatillo de taille modeste. De ce fait, la modélisatio de la marge actif-passif est détermiate quat à la détermiatio du iveau de capital. Simulatio de la loi mélagée La simulatio d u échatillo issu de la loi mélagée peut être obteu simplemet de la maière suivate : tirage d ue valeur u distribuée uiformémet sur [ 0, ] ; si u > p0, tirage de x das la loi de Pareto de paramètres( m, α ) ; si u p0 <, tirage de x das la loi S( x) ( ) ( ) S ( m) S0 x S0 m = Ce derier tirage peut être effectué avec ue méthode de rejet : o effectue u tirage das la loi log-ormale, et o le rejette si la valeur obteue est supérieure à m. E effet, comme : ( ) 0 ( ) ( ) S ( m) S0 x S0 m P X > x X m = 0,. Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 58 -
cela coduit exactemet à la loi cherchée. Résultats Pour l illustratio umérique o retiet : Seuil distributio ( p 0 ) 98,50% Seuil SCR (p) 99,50% m (seuil) 353,554 log-ormale Pareto μ = 5 γ = 353,554 σ = 0,4 α = 3,9 Avec ces hypothèses, la valeur théorique du ratio des SCR das le modèle mélagé et das le modèle log-ormal de référece est égale à 3 % ; e d autres termes, utiliser le modèle log-ormal coduit à sous estimer le besoi e capital de plus de 0 % si le modèle dot sot issues les doées est le modèle mélagé. O géère alors 2 échatillos de 000 réalisatios de chacu des 2 modèles et o étudie l adéquatio de l échatillo issu de la loi «mélagée» à ue loi log-ormale. O obtiet l ajustemet suivat : Fréquece 6,00% 5,00% 4,00% 3,00% 2,00%,00% 0,00% Figure 27 - Ajustemet de la loi log-ormale sur u échatillo mélagé 29,650 54,409 79,67 03,926 28,685 53,443 78,202 202,96 227,79 252,478 277,236 Empirique 30,995 Valeur 326,754 35,52 376,27 40,030 Loi log-ormale 425,788 450,547 475,306 500,064 524,823 549,582 574,340 L ajustemet est largemet accepté par u test du Khi-2. Ue aalyse trop rapide coduirait doc à accepter u ajustemet iadapté à la réalité des doées. Il coviet d examier le comportemet de la queue de distributio. Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 59 -
Idetificatio des valeurs extrêmes O remarque que si o fixe ue probabilité p > p0, alors la probabilité que le quatile d ordre p de la distributio log-ormale soit dépassé das la distributio mélagée est : ( μ+ σφ ( p) ) α exp π ( p) = S0 m m Das otre exemple, si p = 99,8% alors π ( p) = 0,50% ; e coséquece, sur u échatillo de 000 valeurs, o trouvera e moyee deux valeurs qui dépasset S 0 ( 99,8% ), alors que ce serot 5 valeurs qui dépasserot ce seuil si la distributio sousjacete est la distributio mélagée. Comme le ombre de valeurs N u dépassat u seuil u est approximativemet ormal o a : ( k) P N u ( ) k S( u ) φ. S ( u) ( S ( u) ) Cela fourit u test pour rejeter l hypothèse que la distributio sous-jacete est logormale e comptat le ombre de dépassemets du seuil S 0 ( 99,8% ) das l échatillo. Par exemple, das otre applicatio, au seuil de cofiace 0 % cette règle coduit à rejeter l hypothèse ulle dès que k 4. Sur l échatillo préseté sur le graphique supra o remarque aisi que 4 poits sot das cette situatio : Figure 28 - Idetificatio des valeurs extrêmes O serait doc coduit à rejeter l ajustemet log-ormal et à utiliser u modèle teat compte de la présece de ces valeurs extrêmes. Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 60 -
Ajustemet du modèle mélagé L ajustemet par maximum de vraisemblace du modèle mélagé e présete pas de difficulté pratique ; e effet, le calcul itératif de la log-vraisemblace effectué avec différetes k valeurs de k fait apparaître u maximum de pete lorsque p0 S0( m) =, comme l illustre le graphique ci-dessous : Figure 29 - Calcul du maximum de vraisemblace : idetificatio de m Les valeurs obteues sur u échatillo «typique» sot de la forme : Estimatio Théorique μ 4,958 5 σ 0,386 0,4 γ 37,097799 353,55397 α 3,475 3,9 Ratio estimé= 7% 3% Capital de solvabilité SCR LN 46,00 45,85 0,0% SCR mélagé 45,29 468,59-3,7% L estimatio du SCR das u échatillo log-ormal est relativemet robuste das le cas d u échatillo de taille 000 ; par cotre, o observe ue sous-estimatio du capital das le cas du modèle mélagé. O peut reteir au global que, si les doées sot issues du modèle mélagé, le fait de cosidérer qu elles sot e fait issues d u échatillo log-ormal coduit à ue sous-estimatio importate du besoi e capital, et que même das le cadre du modèle bie spécifié, l estimatio coduit ecore à ue légère sous-estimatio. Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 6 -
Cet exemple met e évidece l importace d ue modélisatio appropriée de la queue de distributio. 4.3. Coclusio Les résultats présetés ici, das u cadre très simplifié, mettet ue ouvelle fois e évidece le maque de robustesse ihéret au critère de fixatio du capital de solvabilité das le projet Solvabilité 2. De ce fait, il ous semble idispesable que les modalités de mise e œuvre du critère de probabilité de ruie soiet explicitées à terme et que soiet otammet précisées les cotraites sur la modélisatio de la queue de distributio das le cadre d u modèle itere. Ces cotraites doivet être exprimées à trois iveaux : pour la modélisatio de l actif, pour la modélisatio du passif, et efi das le cadre de l exploitatio de la distributio empirique d ue marge actif-passif simulée e «sortie» du modèle. 4.4. Bibliographie AAI [2004] A global framework for isurer solvecy assessmet, http://www.actuaires.org. BALLOTTA L. [2004] «Alterative framework for the fair valuatio of participatig life isurace cotracts». Proceedigs of the 4 th AFIR Colloquium, 337-67. BOYLE P., WINDCLIFF H. [2004] «The / pesio ivestmet puzzle», North America Actuarial Joural 8. COMMISSION EUROPEENNE [2003] «Coceptio d u futur système de cotrôle prudetiel applicable das l Uio européee - Recommadatio des services de la Commissio». Documet de travail, MARKT/2509/03. COMMISSION EUROPÉENNE [2004] «Solvecy II - Orgaisatio of work, discussio o pillar I work areas ad suggestios of further work o pillar II for CEIOPS», Documet de travail, MARKT/2543/03. DACUNHA-CASTELLE D., DUFLO M. [982] Probabilités et statistiques : problèmes à temps fixe, Paris : Masso. EMBRECHTS P., KLUPPELBERG C., MIKOSCH T. [997] Modellig extremal evets, Berli : Spriger Verlag. GAUTHIER C., PISTRE N. [2000] «Evéemets extrêmes sur les spreads de crédit», Workig Paper ENSAE. PLANCHET F., THEROND P.E. [2004] «Allocatio d actifs d u régime de retes e cours de service». Proceedigs of the 4 th AFIR Colloquium, -34. PLANCHET F., THEROND P.E. [2005] «L impact de la prise e compte des sauts boursiers das les problématiques d assurace», Proceedigs of the 5 th AFIR Colloquium. ROBERT C. [998] «Mouvemets extrêmes des séries fiacières haute fréquece», Fiace 9, 22-7. THEROND P.E., PLANCHET F. [2007] «Provisios techiques et capital de solvabilité d'ue compagie d'assurace : méthodologie d'utilisatio de Value-at-Risk», Assuraces et gestio des risques 74 (4).533-63. ZAJDENWEBER D. [2000] Écoomie des extrêmes, Paris : Flammario Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 62 -
5. Cotraites opératioelles : la prise e compte des extrêmes Á l'istar de ce qu'a cou le mode bacaire ces derières aées avec les accords dits de Bâle II, le mode europée de l'assurace se prépare à se doter d'u ouveau référetiel prudetiel qui résultera du projet Solvabilité 2. Costruit égalemet sur ue structure à trois piliers, le futur système de solvabilité vise à ce que les etreprises d'assurace mesuret et gèret mieux les risques auxquels elles sot soumises. Ue boe gestio des risques pourra avoir pour coséquece ue moidre exigece e termes de capitaux propres. Le premier pilier, cosacré aux exigeces quatitatives, fait largemet référece à des mesures de risques bie coues des fiaciers, les Value-at-Risk (VaR). Les travaux e cours sur Solvabilité 2 prévoiet que les assureurs devrot disposer d'u motat de provisios techiques évaluées das ue logique «best estimate» majoré évetuellemet d ue marge pour risque détermiée das ue logique de coût du capital. Ils devrot de plus disposer d'u iveau de fods propres leur permettat de e pas être e ruie, à horizo u a, avec ue très forte probabilité (a priori 99,5 %). Pour mémoire, das le système actuel, les motats de provisios sot, le plus souvet, détermiés par des méthodes détermiistes prudetes (méthodes et hypothèses coservatrices d'estimatio de la charge ultime de siistres et absece d'actualisatio ou actualisatio à u taux résolumet prudet). L'exigece miimale de fods propres est quat à elle régie par le système de la marge de solvabilité : les assureurs doivet disposer d'u iveau de fods propres et de plus-values latetes sur les placemets fiaciers supérieur à ue exigece de marge de solvabilité qui est exprimée e pourcetage des provisios mathématiques e assurace vie, et e pourcetage des primes perçues ou des siistres payés e assurace o-vie. Ce système est doc etièremet détermiiste et e fait pas explicitemet référece au risque réellemet supporté par la compagie. E particulier, deux etreprises qui ot des profils de risque très différets mais les mêmes élémets comptables se voiet exiger u même iveau de capitaux propres 2. Il coviet éamois de préciser que, d'u poit de vue prudetiel, ce système s'avère relativemet efficace au vu du faible ombre de sociétés d'assurace européees qui ot fait faillite au cours des derières aées. La référece à ue VaR, pour le calcul du besoi e capital pose quelques problèmes pratiques. E effet, si pour des quatiles de iveau plus faible les assureurs disposet d'u ombre coséquet d'observatios et de méthodes stochastiques de provisioemet robustes, il e va différemmet pour le iveau élevé du quatile reteu pour la détermiatio du iveau souhaitable de fods propres ou Solvecy Capital Requiremet (SCR). E effet, l'assureur 'observe pas directemet la variable d'itérêt (le résultat), il e dispose doc pas de matériel statistique pour estimer directemet la VaR.. Le passif d'ue société d'assurace est essetiellemet composé des provisios techiques d'ue part, et des fods propres d'autre part. 2. Ce costat est éamois à modérer de par l'itervetio de l'autorité de cotrôle (l'acam) qui peut relever les exigeces de capitaux propres des assureurs. Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 63 -
Ue formule stadard 3 sera proposée et aura pour vocatio d'approcher autat que possible le critère de probabilité de ruie. Le projet prévoit, qu'e parallèle, les sociétés pourrot costruire u modèle itere qui, sur la base de la modélisatio de l'esemble des variables ifluat la solvabilité de la compagie, permettra de simuler la situatio de la société à horizo u a et aisi de mesurer le iveau de fods propres dot a besoi aujourd'hui la compagie pour e pas être e ruie, u a plus tard, avec ue probabilité de 99,5 %. La costructio d'u tel modèle est ue problématique à part etière : elle écessite la modélisatio fie des variables de base et de leurs iteractios. U tel modèle doit de plus itégrer des cotraites techiques liées à la puissace de calcul iformatique. Par ailleurs, le motat à estimer est u quatile extrême de la distributio. Ue estimatio empirique aïve robuste par le quatile empirique à 99,5 % écessiterait u ombre de simulatios extrêmemet importat, chacue de ces réalisatios résultat de la simulatio de différets phéomèes tels que la siistralité, l'écoulemet des provisios techiques, l'évolutio des actifs fiaciers, etc. L'estimatio d'u tel quatile devra doc passer par l'utilisatio des techiques issues de la théorie des extrêmes qui s'est particulièremet développée depuis le milieu des aées 70 et les travaux de PICKANDS [975] et HILL [975], et plus récemmet de SMITH [987], DEKKERS et DE HAAN [989] ou ecore DEKKERS et al. [989] et a été rapidemet appliquée aux problématiques fiacières et assuratielles (EMBRECHTS et al. [997]). Or ces résultats utiliset les doées de queue ; cela pose u ouveau problème, celui de la robustesse de ces doées qui, rappelos-le, e sot pas observées mais simulées. E effet, les modèles iteres passerot, le plus souvet, par ue modélisatio paramétrique des variables de base (évolutio du cours des actios par exemple), or ces modèles e collet pas parfaitemet aux observatios. E particulier les paramètres sot estimés sur l'esemble de la distributio au risque de e pas bie représeter les queues de distributio. Das la problématique qui ous itéresse, ce sot justemet ces queues de distributio qui vot egedrer les situatios les plus catastrophiques e termes de solvabilité, i.e. les valeurs extrêmes sur lesquelles vot reposer l'estimatio de la VaR à 99,5 %. Ceci pose le problème de la robustesse de ce critère de VaR à 99,5 %, avec e lige de mire le souci de la sécurité des assurés : les sociétés d'assurace pourraiet être tetées, e jouat sur les paramètres ou sur les modèles des variables de base, de sous-estimer le SCR. Après avoir décrit les spécificités du calcul de VaR e assurace, ous présetos différetes méthodes d'estimatio de quatiles extrêmes, puis ous explicitos et illustros les limites de la mesure de risque proposée pour détermier le SCR das le projet Solvabilité 2. Das u souci de clarté, les pricipaux résultats de la théorie des extrêmes utilisés das ce travail sot présetés e aexe. Cette sectio repred l article THEROND et PLANCHET [2007b]. O souligera toutefois que les résultats de la théorie des valeurs extrêmes doivet être utilisés avec précautio das ce cotexte, du fait du faible ombre de doées dispoible e pratique, d ue part, et du iveau du quatile qui, si il peut apparaître élevé au regard du matériel statistique dispoible, est pas forcémet ecore das le domaie de validité des résultats de cette théorie. O pourra par exemple cosulter 3. Das le cadre des études d'impact quatitatives QIS2, QIS3 et QIS4 portat sur les exigeces de fods propres auxquelles pourrait coduire le projet Solvabilité II, le Comité Europée des Cotrôleurs d'assurace et de Pesios Professioelles (CEIOPS) a publié u modèle qui vise à la mesure de chaque risque et à l'agrégatio des capitaux correspodats par ue formule du type de celle du RBC américai. Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 64 -
PLANCHET et THEROND [2008], qui suggèret qu u modèle paramétrique à distace fiie ad hoc peut être ue solutio plus robuste das le cotexte du calcul du SCR. 5.. Calcul de VaR e assurace La traspositio de la VaR (et de la TVaR) aux problématiques d'assurace est récete et impose ue approche radicalemet différete de l'approche bacaire. E effet, la situatio de référece du mode bacaire cosiste à estimer la VaR sur u échatillo importat de gais / pertes sur u portefeuille ou ue positio. Les doées sot dispoibles e quatité, avec ue fréquece importate. Les approches de type VaR historique sot aisi le socle sur lequel sot costruits de ombreux modèles bacaires (cf. CHRISTOFFERSEN et al. [200])). L'adaptatio des techiques bacaires au portefeuille d'actifs d'u assureur écessite u certai ombre d'améagemets, essetiellemet pour teir compte de la durée de détetio plus importate. O pourra par exemple se reporter à FEDOR et MOREL [2006] qui présetet des aalyses quatitatives sur ce sujet. Das le cadre de la détermiatio du capital de solvabilité, de ouvelles difficultés apparaisset ; la ature des doées dispoibles ivalidat l'approche historique. Il coviet ici de reveir sur les situatios d'assurace das lesquelles o est ameé à évaluer des VaR ; e pratique o peut e distiguer pricipalemet deux, dot o va voir qu elles imposet des approches différetes : le calcul d'ue provisio via u quatile à 75 % de la distributio des siistres ; la détermiatio du iveau du capital de solvabilité (SCR) pour cotrôler ue probabilité de ruie e imposat que celle-ci soit iférieure à 0,5 % à horizo u a. La première situatio costitue ue simple évolutio par rapport à la situatio qui prévaut actuellemet ; e effet, les provisios sot aujourd'hui calculées sur la base d'ue espérace (approche best estimate, cf. BLUM et OTTO [998]). O coçoit que, du poit de vue de la techique statistique, les deux calculs (calcul d'ue espérace et calcul d'ue VaR à 75 %) e soiet pas fodametalemet disticts. E particulier o dispose das les deux cas de doées permettat de mettre e oeuvre les techiques classiques de statistique iféretielle. E pratique, o propose souvet ue modélisatio de la charge des siistres à l'aide d'u modèle paramétrique et tout se ramèe alors à l'estimatio des paramètres de la loi cosidérée (cf. PARTRAT et BESSON [2005] pour ue revue des lois les plus utilisées e pratique). Pour ce qui cocere la détermiatio du capital de solvabilité (SCR), la situatio est radicalemet différete ; e effet, o e dispose que de très peu de doées directes (quelques aées au plus d'observatio du résultat par exemple) et d'aucue doée das la zoe de la distributio cocerée (si o e avait, l'assureur aurait fait faillite...). Alors que das le cas précédet la variable d'itérêt était directemet observable, la VaR à calculer est maiteat la résultate d'u modèle, souvet complexe, mettat e jeu les différets postes du bila de l'assureur : prestatios, provisios, actifs fiaciers, etc. La démarche va doc cosister à costruire u modèle e décrivat chaque poste du bila ; e pratique l'approche cosiste à modéliser le passif, dot le poste le plus importat est costitué des provisios Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 65 -
techiques, puis l'actif et efi les évetuelles iteractios actif / passif. Après avoir estimé les paramètres de ces modèles, o peut obteir, e gééral par des techiques de simulatio, ue estimatio de la loi du résultat ; de cette estimatio, o déduira efi le iveau de la VaR cherchée. La mise e pratique d'ue telle démarche comporte à chaque étape des risques qu'il importe a miima d'idetifier : u risque de modèle : le modèle utilisé 'offre qu'ue représetatio imparfaite de la réalité ; au surplus, les modèles usuellemet employés tat à l'actif qu'au passif coduiset à sous-estimer les situatios extrêmes ; ous reviedros sur ce poit potetiellemet très péalisat das l'approche Solvabilité 2 ; u risque d'estimatio : les paramètres estimés qui alimeterot le modèle sot etachés d'ue erreur. Les coséqueces de cette erreur peuvet être lourdes das le cas d'u modèle peu robuste (voir par exemple WINDCLIFF et BOYLE [2004] pour ue illustratio das le cas du modèle de Markowitz (MARKOWITZ [952]) ; u risque de simulatio : la distributio du résultat sera, e gééral, obteue par simulatio, et e sera doc qu'approchée. De plus, s'agissat de l'estimatio d'u quatile d'ordre élevé (VaR à 99,5 %), et la forme de la loi du résultat 'état e gééral pas aisée à ajuster globalemet à u modèle paramétrique, il faudra se tourer vers les techiques de valeurs extrêmes pour calculer fialemet la mesure de risque, avec l'apparitio ici d'u ouveau risque d'estimatio, sur la queue de la distributio simulée. La figure ci-dessous propose ue sythèse de ces différets risques et des situatios das lesquelles o les recotre. Figure 30 - Typologie des différets risques recotrés Typiquemet les études de variatios extrêmes de variables fiacières classiques s'iscrivet das le cadre des braches A3 ou A : o dispose d'u ombre importat d'observatios et les variables sot relativemet régulières (elles possèdet gééralemet des momets d'ordre 3 ou 4). E assurace, l'estimatio d'ue VaR à 75 % das le cadre de la détermiatio d'ue provisio Solvabilité 2 par exemple, correspodra, das le meilleur cas, à la brache A pour les risques pour lesquels o dispose de beaucoup d'observatios (risques o-vie à forte fréquece) et le plus fréquemmet aux braches B4 ou B5 (o se doe u modèle, paramétrique le plus Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 66 -
souvet, puis selo le cas o estime les paramètres et l'o e déduit la VaR ou l'o procède par les méthodes de Mote Carlo). L'estimatio du SCR procède, quat à elle, de la brache B3 qui cumule les risques de modèle, de simulatio et d'estimatio (à deux reprises). Les risques d'estimatio et de simulatio e sot pas spécifiques à la problématique du préset travail, et les techiques propres à les cotrôler sot robustes et accessibles. E revache, le risque de modèle pred ici ue importace particulière ; de fait, et comme o l'illustre ifra, la mesure correcte du capital de solvabilité impose de refodre l'esemble de la modélisatio des postes du bila pour predre e compte correctemet les évéemets extrêmes et éviter aisi ue sous-estimatio du capital de solvabilité. 5... Notatios Cosidéros u -échatillo de variables aléatoires (v.a.) X,, X idépedates et idetiquemet distribuées (i.i.d.) de foctio de répartitio F et de foctio de survie F : x F( x). La statistique d'ordre associée sera otée X,, X et est défiie par,, { X X } X X X { X X } mi,, = = max,,.,,, Par ailleurs, o otera F u la foctio de répartitio de la v.a. u X qui représete le surplus au-delà du seuil u de X, lorsque X dépasse le seuil u, soit [ ] [ ] F ( x): = Pr X x = Pr X u x X > u. u u O otera de plus x F la bore supérieure du support de X de foctio de répartitio F, soit Efi, ous oteros { } x : = sup x F( x) <. F N u le ombre d'observatios qui dépasset le seuil u, soit =. N u Xi > u i= 5.2. Estimatio de quatiles extrêmes Plaços-ous das la situatio stadard où l'o observe directemet des réalisatios du phéomèe dot o souhaite détermier la valeur qu'il e dépassera qu'avec ue faible probabilité. L'objet de ce paragraphe est de préciser les différetes méthodes d'estimatio possibles et de mesurer les erreurs d'estimatio commises relativemet à la quatité de doées dispoibles. Les différetes méthodes sot illustrées à partir d'u échatillo simulé de réalisatios d'ue variable aléatoire de loi de Pareto de première espèce. Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 67 -
5.2.. Estimatio aturelle Comme k, estimateur aturel de X est u estimateur aturel du quatile d ordre ( k ) F ( p) p ];[ 0 ) est ([ ]- ) ( -[ ]) p p + X + p p X, -[ p]-, -[ p],, u où [.] désige l opérateur partie etière. Cette méthode écessite pour être efficace e pratique u volume de doées jamais dispoible das otre cotexte. 5.2.2. Ajustemet à ue loi paramétrique Ue méthode aturelle cosiste à ajuster l esemble des doées à ue loi paramétrique puis à estimer la foctio quatile au iveau de probabilité souhaité. E effet, o rappelle que si ˆ θ est l'estimateur du maximum de vraisemblace (e.m.v.) du paramètre θ de la loi de X, alors Fˆ ( p) est l'e.m.v. de F ( p) θ θ. De plus, les méthodes quatiles bootstrap BC (BCa) (cf. EFRON et TIBSHIRANI [993] et le paragraphe 5.3) permettet d'obteir des itervalles de cofiace de l'estimatio. Cette méthode d'estimatio se décompose e deux étapes : ajustemet à ue loi paramétrique : choix d'ue ou plusieurs lois, estimatio des paramètres, tests d'adéquatio ; iversio de la foctio de répartitio (aalytiquemet quad c'est possible, umériquemet sio). La pricipale difficulté de cette méthode cosiste e le choix des lois paramétriques qui vot être utilisées. Elles doivet répodre à la double cotraite de permettre ue évaluatio umérique de leur foctio quatile aux ordres souhaités et doivet être e adéquatio avec les doées. Ce derier poit est particulièremet problématique das la mesure où l'estimatio des paramètres est effectuée sur l'esemble de la distributio observée et représete raremet bie les valeurs extrêmes. À mois d'être assuré que la loi choisie pour l'ajustemet est la véritable loi d'où sot issues les doées, ce qui est exceptioel e pratique, l'itérêt de cette méthode apparaît très limité das u cotexte d'estimatio de quatiles extrêmes. 5.2.3. Approximatio GPD Coue sous le om de méthode Peaks Over Threshold (POT), cette techique repose sur le théorème de Pickads-Balkema-de Haari (cf. l aexe B.3) qui établit que, pour u assez grad, F u peut être approximée par ue distributio Pareto gééralisée (GPD). Ue fois les paramètres de la GPD estimés (cf. l aexe A3), comme F( x) = F( u) F ( x u), o dispose de l'approximatio suivate : u N ˆ ( ) u ξ F x + ( x u) ˆ, β pour x > u. L iversio de cette foctio de répartitio ous fourit u estimateur de la foctio quatile F aux ordres élevés : ˆ ξ Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 68 -
ˆ ξ ˆ ξ xˆ p = u+ ( p) ˆ. β N u N.B. Si l o choisit comme seuil ue des observatios X k +, (par exemple le quatile empirique à 99 % pour estimer le quatile à 99,5 %) alors N u = k et l'estimateur se réécrit de la maière suivate : ˆ ξ ˆ ξ xˆ p = Xk+, + ( p) ˆ, β k pour p > k. Cette méthode présete e pratique la difficulté du choix du seuil u. E effet, u doit être assez grad pour que l'approximatio GPD soit boe mais pas trop proche du quatile à estimer de maière à ce que l'o dispose de suffisammet de matériel statistique pour que l'estimatio de la probabilité d'être etre u et ce quatile (estimatio qui fait apparaître N u ) soit fiable. La problématique posée par le choix de u est similaire à celle du choix du ombre d'observatios à utiliser das le cadre de l'estimatio de Hill de l'épaisseur de la queue de distributio (cf. l aexe C.2.4). Ue approche pratique visat à choisir le seuil u cosiste à tracer + e( u): = [ Xi u], N u i= l'estimateur empirique de l'espérace résiduelle de X et à choisir u de maière à ce que e ( x ) soit approximativemet liéaire pour x u. E effet, comme la foctio espérace résiduelle d'ue loi GPD de paramètre ξ < est liéaire : β + ξv ev ( ): = E[ v X] =, ξ o cherchera u u aussi petit possible sous la cotraite que l'estimateur empirique de l'espérace résiduelle des excès au delà de u soit approximativemet liéaire. Il e faut pas attedre de cette techique la boe valeur de u, elle fourit éamois ue aide précieuse. E pratique, plusieurs valeurs de u doivet être testées. 5.2.4. Estimateur de Hill Cosidéros les foctios de répartitio apparteat au domaie d'attractio ξ > 0. Le théorème taubérie (cf. l aexe B.2) ous maximum (DAM) de Fréchet ( ) idique que ξ ( ) F ( ) F x = x L x, où L F est ue foctio à variatio lete. Aisi, o a ( ) ( ) F ( ) ( ) F x L x x = F Xk+, LF X k+, X k+, Pour k suffisammet petit et x> X k +,, o peut égliger (au premier ordre) le rapport des foctios à variatio lete ; il viet alors ξ. Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 69 -
x F( x) F( Xk+, ) X k+, D'où l'o déduit l'estimateur de F : H ξ k ˆ k x F( x) = X, k+, pour x> X k +,. L'iversio de cette foctio ous doe l'estimateur de Hill de la foctio quatile pour des ordres p > k : p H xˆ p = Xk+, ( p). k Le problème du choix de k est similaire à celui recotré das l'estimatio du paramètre de queue ξ (cf. l'aexe C.2.4). ξ ξ H. 5.2.5. Illustratio Le graphe ci-dessous illustre les différetes techiques das le cadre de l'estimatio d'u quatile extrême d'ue loi de Pareto de première espèce, i.e. de foctio de répartitio Figure 3 - F( x) α x0 = x, pour x > x0. Estimatio d'u quatile extrême : erreur relative d'estimatio Ue telle loi appartiet au DAM de Fréchet. La méthode POT (exacte das le cas d'ue loi de Pareto de première espèce) et l'estimateur de Hill doet des résultats comparables et ettemet plus précis que l'estimateur aturel. Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 70 -
5.3. Applicatio du bootstrap La méthode du bootstrap proposée iitialemet par EFRON [979] est deveue d applicatio courate e assurace (cf. PARTRAT et JAL [2002] et VERALL et ENGLAND [999]). Plus gééralemet, le lecteur itéressé trouvera ue revue des applicatios de la méthode bootstrap e écoométrie das HOROWITZ [997]. Das le cotexte d estimatio de valeurs extrêmes, so applicatio ous permet de disposer d itervalles de cofiace utiles à l appréciatio de la robustesse des estimatios. 5.3.. Présetatio Le pricipe de la méthode classique cosiste à remarquer que, pour u échatillo de taille suffisate, la foctio de répartitio F de la loi sous-jacete peut être approchée par la foctio de répartitio empirique : F =. ( x) { } X x i= E pratique ce pricipe très gééral coduit à déclier des méthodes bootstrap adaptées à différets cotextes : séries chroologiques, modèles liéaires, modèles de régressio o liéaires, etc. O e présete ci-après le pricipe das le cas simple de la costructio d u itervalle de cofiace pour u estimateur de tedace cetrale. Pour évaluer ue foctioelle de F de la forme I ( g) g( x) df( x) par simulatio classique suggère de calculer = = i i = ( ) ( ) ( ) ( ) I g g x df x g X, =, l approche qui costitue ue approximatio de I ( g ). La théorie asymptotique fourie des iformatios sur la loi de la statistique I ( g ) : le théorème cetral limite permet e effet de prouver que la loi asymptotique est ormale et d e déduire, par exemple, des itervalles de cofiace de la forme 2 avec Var g( X) σg σ ( ) α g J I, ( ) α α = g φ I g + φ, 2 2 ( ) σ g = qu il s agit d estimer. Toutefois das certaies situatios l approximatio asymptotique est pas suffisammet précise, et la méthode bootstrap I g. fourit ue approche alterative pour obteir des iformatios sur la loi de ( ) B b Cette techique cosiste à cosidérer des réalisatios ( ) obteues e remplaçat l échatillo iitial ( X X ) «bootstrapés» ( b,, b X X ) ( X X ),, I g, pour b=,, B où,, par les échatillos obteus e effectuat des tirages avec remise das. O dit que B est la taille de l échatillo bootstrap. Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 7 -
E effet, évaluer des statistiques par simulatio se ramèe alors à géérer des échatillos à l aide de la distributio empirique. Or u tirage das la distributio empirique s obtiet simplemet par u tirage avec remise des valeurs das l échatillo iitial. O obtiet aisi au plus échatillos «boostrapés» à partir desquels o va calculer les estimateurs empiriques des statistiques d itérêt. Le bootstrap permet aisi, à partir d u tirage aléatoire au sei de l échatillo d origie, de le perturber afi d obteir de ouveaux estimateurs des paramètres. b Ue fois que l o dispose de B estimateurs I ( g ) de ( ) I g, e posat B b μ I ( g) I ( g) = I ( g), B ˆ,, B b= et B 2 B b 2 ˆ σ I ( ),, ( ) ( ) ˆ g I g = I g μ B, b= o obtiet u itervalle de cofiace de la forme J ˆ σ α ˆ σ α ˆ ˆ B 2 B 2. α = μ Φ, μ+ Φ Deux techiques alteratives permettet d affier les résultats : le boostrap percetile et la méthode BCa (cf. EFRON et TIBSHIRANI [993]). Ces techiques sot décrites ifra das le cas particulier de l estimatio de quatiles. La méthode bootstrap 'est toutefois pas pertiete das tous les cas de figures : elle e foctioe par exemple pas lorsque l'o s'itéresse à la valeur maximum de l échatillo. E effet, par costructio, il est impossible de costituer des échatillos coteat des valeurs supérieures à la valeur maximale de l échatillo de départ. Pour ce type de problème, d autres méthodes existet telle que celle proposée par ZELTERMAN [993] qui cosiste à ré échatilloer les itervalles etre deux valeurs adjacetes des doées de départ plutôt que les doées elles-mêmes. Cette méthode semi-paramétrique est illustrée das le cas de l estimatio par itervalle de l itesité maximale des séismes das différetes régios par BOTTARD [996]. Tel quel, le bootstrap est e revache très efficace das toutes les statistiques basées de près ou de loi sur la moyee. Les calculs de capital de solvabilité e correspodet pas à cette cofiguratio. La techique du bootstrap est commuémet utilisée e assurace pour aalyser la variabilité des motats de siistres et obteir des erreurs de prédictio pour différetes méthodes de provisioemet, et otammet pour les méthodes basées sur Chai Ladder et sur les modèles liéaires gééralisés (cf. PARTRAT et JAL [2002]). Le schéma gééral (repris de PLANCHET et al. [2005]) est résumé par : Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 72 -
Figure 32 - Méthode boostrap e provisioemet o-vie Triagle des icrémets Passage au triagle des résidus par la formule rˆ ij = y ij - mˆ ij v( mˆ ij) Triagle des résidus... Rééchatilloage Triagle des résidus Triagle des résidus 2 Triagle des résidus 3 Triagle des résidus k... Passage au triagle des icrémets e iversat la formule : rˆ ij = y - mˆ ij ij v( mˆ ) ij Triagle des icrémets Triagle des icrémets 2 Triagle des icrémets 3 Triagle des icrémets k... Ê () (R) Ê (2) (R) Ê (3) (R)... Ê (k) (R) Estimatio des paramètres qui permettet de compléter le triagle de liquidatio. Pour chaque triagle, détermiatio de la statistique désirée. 5.3.2. Calcul d u itervalle de cofiace pour ue VaR Les différetes techiques de bootstrap sot présetées das ce paragraphe das le cotexte spécifique de l estimatio par itervalle d u quatile. Das le cas classique, où l o suppose que les observatios sot des réalisatios de variables aléatoires dot la loi sous-jacete appartiet à ue famille paramétrique (gaussiee, log-ormale, Pareto, Bektader, etc.), l estimatio d u quatile d ordre quelcoque peut être evisagée de la maière suivate : estimatio ˆ θ du paramètre θ (par maximum du vraisemblace quad c est possible ou par ue autre méthode) ; iversio de la foctio de répartitio ; estimatio poctuelle de la VaR par VaR ˆ ( q) F ( q) = ; recherche d u itervalle de cofiace. O s itéresse à la précisio de l estimateur aisi obteu. Das le cas particulier où le paramètre est estimé par l estimateur du maximum de vraisemblace (e.m.v.), o déduit des propriétés géérales de cet estimateur que VaR ˆ ( q ) est l e.m.v. de la VaR (comme foctio d u e.m.v.). Il est doc asymptotiquemet sas biais et gaussie. E obteat ue estimatio de sa variace asymptotique, il sera doc possible de costruire u itervalle de cofiace. ˆ θ Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 73 -
La loi de la statistique VaR ˆ ( q ) est toutefois difficile à détermier. Das ce cotexte, il est coseillé de se tourer vers la méthode bootstrap. Das le cas de l estimatio d ue VaR, l échatillo iitial est costitué par les observatios de X utilisées pour estimer les paramètres du modèle. La statistique d itérêt est VaR ˆ ( q) = Fˆ ( q). O cherche à costruire u itervalle de cofiace de θ la forme : ( ( ) ) Pr b VaR q b = α. 2 O distigue trois techiques bootstrap permettat de costruire l itervalle de cofiace recherché : bootstrap classique : estimatio de la variace bootstrapée de VaR ˆ ( q ) que l o utilise esuite avec l hypothèse de ormalité asymptotique ; bootstrap percetile : classemet des estimatios poctuelles obteues pour chaque échatillo bootstrap et costitutio des bores de l itervalle de cofiace par les estimatios correspodates ; estimatio directe de l itervalle de cofiace bootstrapé via la méthode Bias corrected ad accelerated (BCa) (cf. EFRON et TIBSHIRANI [993]). Das la première approche, l estimatio de la variace bootstrapée cosiste VaR ˆ q = F q simplemet à calculer la variace empirique de l échatillo des ( ) ( ) avec ˆ θ le paramètre estimé sur le b-ème échatillo bootstrap. O obtiet alors b aisémet u itervalle de cofiace e utilisat la ormalité asymptotique de l estimateur du maximum de vraisemblace. E pratique, cette méthode est pas recommadée pour les problèmes o-paramétriques (pour lesquels l estimatio, pour chaque échatillo, du quatile reposerait sur so estimateur empirique). Ue méthode plus performate et plus adaptée aux problèmes o-paramétriques est le bootstrap percetile. Cette techique cosiste à classer les VaR ˆ b ( q ) par ordre croissat et à predre comme bores de l itervalle de cofiace les B α 2 et ( α 2) B -èmes plus grades valeurs. Cette techique est bie adaptée aux problèmes o-paramétriques car elle e recourt pas aux propriétés asymptotiques de l e.m.v. La méthode BCa (cf. EFRON (987)) se propose d optimiser la costructio de l itervalle de cofiace, comme la méthode percetile sas s appuyer sur les propriétés asymptotiques de l e.m.v. Cette méthode cosiste à détermier les bores de l itervalle de cofiace e preat pour b i la valeur d ordre B βi de VaR q, où ˆ b l échatillo des ( ) b ˆ θb z + u β =Φ z0 + γ + 0 α 2 ( z0 uα 2) z + u et β2 =Φ z0 + γ z + u 0 α 2 ( 0 α 2) avec Φ la foctio de répartitio de la loi ormale cetrée réduite, u c le quatile d ordre c de cette même loi, le paramètre de correctio de biais z ( ) 0 =Φ k où k est la proportio des échatillos bootstrapés pour lesquels la VaR estimée est iférieure, Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 74 -
à la VaR estimée sur l esemble des échatillos. Efi le paramètre d accélératio γ est estimé par : 3 ( VaRi VaR) i= γ =, 2 32 6 ( VaR i VaR) i= où VaR i est l estimatio de la VaR proveat de l échatillo Jackkife i (échatillo observé auquel o a retiré l observatio i) et VaR est la moyee de ces estimatios (cf. QUENOUILLE [949]). 5.3.3. Illustratio umérique O illustre umériquemet ces méthodes das la cas d ue loi log-ormale. Das ce cas il est immédiat de vérifier que : p ( ) ( ) ( ) exp σφ ( ) VaR X = F p = m + p, et l o obtiet doc comme estimateur du maximum de vraisemblace de la VaR d ordre p : où mˆ = Xi et ˆ σ = ( X ˆ) 2 i m. i = ( ) ( ) exp σφ ( ) VaR ˆ X = mˆ + ˆ p, i= p O retiet les valeurs umériques suivates : m = 5, σ = 0, 4, ce qui coduit à ue VaR théorique à 99,5 % de ( ) ( ) σφ ( ) VaR99, 5 % X = exp m + p = 45, 85. O estime ce quatile sur la base d u échatillo de taille 000 et o détermie les itervalles de cofiace à 90 % avec les méthodes classique, percetile et BCA. O obtiet e foctio de la taille de l échatillo bootstrap les résultats typiques suivats : Figure 33 - Itervalles de cofiace (VaR à 99,5 %) 465 460 455 Classique (bore if) Percetile (bore if) BCa (bore if) Théorique Classique (bore sup) Percetile (bore sup) BCa (bore sup) EMV 450 445 440 435 430 425 420 45 40 0 200 400 600 800 000 200 400 600 800 2000 O ote que les méthodes classique et percetile sot très proches. La méthode BCa fourit u itervalle dot la bore supérieure est proche des deux autres Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 75 -
méthodes, mais avec ue bore iférieure plus élevée. Das l exemple ci-dessus o costate par exemple que si la vraie valeur est bie das les itervalles de cofiace «classique» et «percetile», elle est iférieure à la bore iférieure de l itervalle fourie par la méthode BCa. Les résultats obteus par les méthodes bootstrap restet peu robustes pour u quatile élevé. Pour u quatile d ordre iférieur, comme par exemple le quatile à 75 %, les estimatios devieet ettemet plus fiables : Figure 34 - Itervalles de cofiace (VaR à 75 %) 200 98 Classique (bore if) Percetile (bore if) BCa (bore if) Théorique Classique (bore sup) Percetile (bore sup) BCa (bore sup) EMV 96 94 92 90 88 86 0 200 400 600 800 000 200 400 600 800 2000 5.4. Robustesse du SCR L'objet de ce paragraphe est de préciser les limites d'u critère de type VaR extrême pour fixer le capital de solvabilité d'ue société d'assurace. E effet la complexité du dispositif à mettre e place red la pertiece des résultats issus du modèle itere toute relative. Deux poits sot plus particulièremet développés et illustrés à l'aide d'u exemple simple : l'erreur d'estimatio des paramètres des variables de base puis l'erreur de spécificatio de modèle de ces variables. 5.4.. Estimatio des paramètres des variables de base Cosidéros le modèle itere simplifié ispiré des travaux de DEELSTRA et JANSSEN [998] das lequel les siistres de l'aée sot modélisés par ue variable aléatoire de distributio log-ormale et payés e fi d'aée. Supposos de plus que le redemet des actifs fiaciers sur la période soit gaussie et idépedat de la siistralité. Formellemet, otos B LN ( ms, ) la variable aléatoire modélisat le motat à payer e fi de période et ρ N ( μσ, ) le redemet fiacier sur la période. Détermios le motat miimal d'actif a 0 dot doit disposer l'assureur e début de période pour e pas être e ruie, e fi de période, avec ue probabilité supérieure à α. Formellemet, a 0 est la solutio d'u problème d'optimisatio : ρ { Pr[ ] α} a0 = mi a> 0 ae B >. Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 76 -
ρ 2 2 Comme Be LN ( m μ, s + σ ) pour la valeur de a 0 :, o dispose d'ue expressio aalytique a = exp{ m μ +Φ ( ) } α s 2 + σ 2. 0 Étudios à préset le sesibilité de a 0 aux paramètres des modèles de base. Par exemple pour le passif, o a : a0 a ( ) 0 Φ α = et =. a0 m a 2 2 0 s + σ s Aisi ue erreur relative d'estimatio du paramètre m coduit à la même erreur relative sur a 0. Par ailleurs, ue erreur relative de % sur s coduit à ue erreur relative de Φ ( α) + σ 2 s 2 sur a 0. Cela correspod pour ue VaR à 99,5 %, lorsque s σ, a ue erreur,82 fois plus grade. 5.4.2. Simulatio La complexité ihérete à la modélisatio du résultat d'ue activité d'assurace red icotourable le recours aux techiques de simulatio pour obteir des résultats umériques. Si le pricipe de base de ces méthodes est simple et uiversel (utilisatio de la covergece forte de la Loi des grads ombres), ue mise e œuvre efficace écessite de predre quelques précautios. E effet, l'utilisatio de résultats approchés par simulatio est source de différetes erreurs : fluctuatios d'échatilloage liées au ombre fii de tirages effectués ; biais de discrétisatio lors de la trasformatio d'u modèle cotiu das sa versio discrète ; erreurs associées aux approximatios utilisées par certaies techiques d'iversio ; biais iduits par u choix mal approprié du géérateur de ombres aléatoires. Aussi, les algorithmes utilisés devrot permettre u cotrôle quatitatif de l'esemble de ces sources d'erreurs afi de pouvoir calibrer le ombre de tirages écessaire pour le degré de précisio (u iveau de cofiace état fixé a priori) requis. 5.4.3. Spécificatio du modèle Cotexte et motivatio La costructio d'u modèle itere écessite la modélisatio des différetes variables ifluat sur la solvabilité de l'assureur. Pour ce faire, la première étape cosiste e la modélisatio de ces différetes variables. Das le cas d'ajustemets paramétriques, il est aturel d'effectuer l'estimatio des paramètres et les tests d'adéquatio sur l'itégralité des doées dispoibles. Cepedat, das otre Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 77 -
problématique, ce sot les queues de distributio qui vot ifluer sur le iveau du SCR. Or celles-ci sot souvet mal décrites par l'approche globale utilisat ue loi paramétrique simple uique. E particulier, la plupart des modèles usuels (log-ormal, Bektader, etc.) coduiset à des lois das le DAM de Gumbel alors que les observatios tedet à opter pour des queues de distributio das le DAM de Fréchet. E effet, les modèles stochastiques qui foctioet actuellemet chez les assureurs ot iitialemet été créés pour effectuer des études de retabilité ou calculer des provisios techiques ; les résultats état, le plus souvet, appréciés par des critères de type espérace-variace (ou VaR das le cœur de la distributio 75 % par exemple), la modélisatio des évéemets extrêmes a das ce cotexte ue ifluece toute relative. Das l'approche Solvabilité 2, o e s'itéresse quasimet plus qu'aux valeurs extrêmes de la variable d'itérêt : le capital dot o doit disposer aujourd'hui pour e pas être e ruie das u a. Cette remarque est à uacer par le fait que la plupart des assureurs qui ivestisset das le développemet de modèles iteres escomptet, qu'à quelques améagemets près, celui-ci leur permettra d'affier leur pla stratégique et de répodre aux futures exigeces comptables résultat du passage à la phase II de la orme dédiée aux cotrats d'assurace. Cosidéros le modèle préseté ci-dessus. La figure ci-dessous présete u échatillo de 000 réalisatios du motat d'actif dot doit disposer la société e 0 pour e pas être e ruie e. Figure 35 - Modèle itere simplifié : idetificatio des valeurs extrêmes Les ciq poits souligés correspodet aux ciq scéarios qui ot coduits aux valeurs maximales. Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 78 -
Figure 36 - Modèle itere simplifié : idetificatio des valeurs extrêmes (probabilités) O remarque sur le uage de poits ci-dessus, qui représete les probabilités associées à chaque gradeur, que ces poits se situet das la queue de distributio d'au mois ue des deux variables de base. Or justemet aux queues de distributio, l'adéquatio des doées au modèle reteu est souvet imparfaite. Modélisatios avacées Cosidéros le QQ-plot ormal du redemet jouralier du titre TOTAL (de juillet 2005 à avril 2006) : Figure 37 - Redemet jouralier du titre TOTAL : QQ-plot loi empirique vs loi ormale Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 79 -
O peut d'ores et déjà observer graphiquemet que l'ajustemet semble globalemet satisfaisat mais que les queues de distributio du modèle (e particulier celle des redemets égatifs pour ce qui ous itéresse) sot trop fies. Les tests statistiques de Jarque-Béra et de Lilliefors au seuil 5 % coduiset e effet à e pas rejeter l'hypothèse de ormalité du redemet. Cepedat, das le cadre de la détermiatio d'u SCR sur le fodemet d'u critère VaR à 99,5 %, le modèle gaussie tedrait à miimiser le risque pris e ivestissat sur ce placemet. Par exemple, sur les doées du titre TOTAL, le quatile à 0,5 % du redemet quotidie observé vaut 0,0309 alors que le quatile du même ordre du modèle gaussie ajusté vaut 0,0286, ce qui représete ue erreur de l'ordre de 7,5 %. Pour remédier à cela, das les situatios où l'o dispose d'u ombre coséquet d'observatios, o pourrait être teté d'adopter ue approche o-paramétrique e utilisat la distributio empirique. Cela 'est toutefois pas satisfaisat e pratique, car de telles approches sot techiquemet plus difficiles à implémeter, écessitet des temps de simulatio plus logs et péaliset ue compréhesio simplifiée du modèle. Das ce cotexte, il est aturel de coserver ue approche paramétrique et de rechercher u modèle gééralisat le modèle classique mais qui représete mieux les queues de distributios. Supposos que le redemet de l'actif sur la période soit régi par le processus suivat où les 0,, ( λ > 0). ρ = μ+ σ ε + σ ε, 0 0 N u i= ε ε sot des v.a.i.i.d. de loi ( 0 ; ) i N et idépedates de N P ( λ ) Ce processus est ue versio moo-périodique du processus de Merto (MERTON [976]). L'estimatio des paramètres par maximum de vraisemblace écessite l'utilisatio de techiques umériques (cf. PLANCHET et THEROND (2005b)). Das otre problématique, o peut toutefois souhaiter calibrer mauellemet les paramètres de maière à alourdir les queues de distributio. Par exemple, e fixat l'espérace et la variace globale du redemet (idetiques à celle du modèle gaussie), o peut podérer la variabilité représetée par la composate à sauts de maière à ce que la queue de distributio du modèle soit aussi lourde que celle des observatios. Formellemet, cela reviet à choisir λ, σ 0 et σ u sous la cotraite : O représete cet ajustemet ci-dessous : σ + λσ = σ. 2 2 2 0 u Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 80 -
Figure 38 - Redemet jouralier du titre TOTAL : QQ-plot empirique vs modèle de Merto E comparat avec l ajustemet ormal, o observe que les queues de distributios ot été alourdies. D'ue maière géérale, la démarche illustrée supra das le cas de la modélisatio du redemet fiacier devra être recoduite pour l'esemble des variables de base à l'actif et au passif sous peie de sous-estimer le SCR. 5.5. Coclusio Le projet Solvabilité 2 a pour objectif d'établir u référetiel prudetiel harmoisé et cohéret à l'esemble des sociétés d'assurace européees. Pour cela, il prévoit otammet d'iciter les sociétés à mieux modéliser leurs risques e les autorisat à costruire des modèles iteres qui aboutisset à u capital de solvabilité iférieur à celui fouri par la «formule stadard». Cepedat, ous avos vu que la robustesse du critère VaR à 99,5 % sur des doées o-observées mais géérées par le modèle itere est toute relative. E particulier, les modèles stochastiques actuellemet e place chez les assureurs (tat à l'actif qu'au passif) e sot pas orietés vers l'estimatio de valeurs extrêmes et sot, le plus souvet, costruits à partir de modélisatios des «variables de base» qui sousestimet les queues de distributio. L'utilisatio e l'état de tels modèles coduirait à sous-estimer le SCR. Aussi les sociétés d'assurace qui souhaiterot développer u modèle itere devrot modéliser plus fiemet les queues de distributio. Parallèlemet, les autorités qui auditerot les modèles iteres devrot porter ue attetio particulière à celles-ci das le processus de validatio. E particulier, ue harmoisatio au iveau europée de ces procédures est idispesable sous peie d'itroduire ue distorsio de cocurrece etre les différets iterveats. Au global, la prise e compte du critère de cotrôle d'ue probabilité de ruie qui sous-ted le dispositif Solvabilité 2 implique doc ue profode refote des modèles utilisés jusqu'alors das les sociétés d'assurace. Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 8 -
5.6. Bibliographie Blum K. A., Otto D. J. (998) «Best estimate loss reservig : a actuarial perspective», CAS Forum Fall, 55-0. Bottard S. (996) «Applicatio de la méthode du Bootstrap pour l estimatio des valeurs extrêmes das les distributios de l itesité des séismes», Revue de statistique appliquée 44 (4), 5-7. Christofierse P., Hah J., Ioue, A. (200) «Testig ad comparig value-at-risk measures», Joural of Empirical Fiace 8 (3), 325-42. Coles S., Powell E. (996) «Bayesia methods i extreme value modellig : a review ad ew developmets», Iterat. Statist. Rev. 64, 9-36. Davidso R., MacKio J.G. (2004) «Bootstrap Methods i Ecoometrics», workig paper. de Haa L., Peg L. (998) «Compariso of tail idex estimators», Statistica Neerladica 52 (), 60-70. Deelstra G., Jasse J. (998) «Iteractio betwee asset liability maagemet ad risk theory», Applied Stochastic Models ad Data Aalysis 4, 295-307. Dekkers A., de Haa L. (989) «O the estimatio of the extreme-value idex ad large quatile estimatio», Aals of Statistics 7, 795-832. Dekkers A., Eimahl J., de Haa L. (989) «A momet estimator for the idex of a extreme-value distributio», Aals of Statistics 7, 833-55. Deuit M., Charpetier A. (2005) Mathématiques de l'assurace o-vie. Tome 2 : tarificatio et provisioemet, Paris : Ecoomica. Diebolt J., El-Aroui M., Garrido S., Girard S. (2005a) «Quasi-cojugate bayes estimates for gpd parameters ad applicatio to heavy tails modellig», Extremes 8, 57-78. Diebolt J., Guillou A., Rached I. (2005b) «Approximatio of the distributio of excesses usig a geeralized probability weighted momet method», C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 340 (5), 383-8. Efro B. (979) «Bootstrap methods: Aother look at the Jackkife», A. Statist., 7-26. Efro B. (987) «Better bootstrap cofidece itervals», Joural of the America Statistical Associatio 82, 7-200. Efro B., Tibshirai R. J. (993) A itroductio to the bootstrap, Chapma & Hall. Embrechts P., Klüppelberg C., Mikosch T. (997) Modellig Extremal Evets for Isurace ad Fiace, Berli: Spriger Verlag. Eglad P.D., Verall R.J. (999) «Aalytic ad bootstrap estimates of predictio errors i claim reservig», Isurace: mathematics ad ecoomics 25, 28-93. Fedor M., Morel J. (2006) «Value-at-risk e assurace : recherche d'ue méthodologie à log terme», Actes du 28e cogrès iteratioal des actuaires, Paris. Goldie C., Smith R. (987) «Slow variatio with remaider: a survey of the theory ad its applicatios», Quarterly Joural of Mathematics Oxford 38 (2), 45-7. Hill B. (975) «A simple geeral approach to iferece about the tail of a distributio», Aals of Statistics 3, 63-74. Horowitz J.L. (997) «Bootstrap methods i ecoometrics: theory ad umerical performace», i Advaces i Ecoomics ad Ecoometrics: Theory ad Applicatio, volume 3, 88-222, D. M. Kreps, K. F. Wallis (eds), Cambridge: Cambridge Uiversity Press. Hoskig J. R., Wallis J. R. (987) «Parameter ad quatile estimatio for the geeralized pareto distributio», Techometrics 29, 339-49. Jal P., Partrat Ch. (2004) «Evaluatio stochastique de la provisio pour siistres», Coférece scietifique de l Istitut des Actuaires, Paris, 20 javier 2004. Merto R. (976) «Optio pricig whe uderlyig stock returs are discotiuous», Joural of Fiacial Ecoomics 3, 25-44. Partrat C., Besso J.L. (2005) Assurace o-vie. Modélisatio, simulatio, Paris : Ecoomica. Pickads J. (975) «Statistical iferece usig extreme orders statistics», Aals of Statistics 3, 9-3. Plachet F., Thérod P.E. (2005b) «L'impact de la prise e compte des sauts boursiers das les problématiques d'assurace», Proceedigs of the 5th AFIR Colloquium, Zürich. Plachet F., Thérod P.E. (2008) «Expected Shortfall of Claims Evets: Some Practical Aspects», Proceedigs of the 38th ASTIN Colloquium. Queouille M. (949) «Approximate tests of correlatio i time series», Joural of the Royal Statistical Society, Soc. Series B,, 8-84. Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 82 -
Smith R. L. (987) «Estimatig tails of probability distributios», Aals of Statistics 5, 74-207. Thérod P.E., Plachet F. (2007) «Provisios techiques et capital de solvabilité d'ue compagie d'assurace : méthodologie d'utilisatio de Value-at-Risk», Assuraces et gestio des risques 74 (4), 533-63 et i Proceedigs of the 37th ASTIN Colloquium, Orlado. Widcliff H. Boyle, P. (2004) «The / pesio ivestmet puzzle», North America Actuarial Joural 8 (3), 32-45. Zajdeweber D. (2000) Écoomie des extrêmes, Paris : Flammario. Zelterma D. (993) «A semiparametric Bootstrap techique for simulatig extreme order statistics», Joural of America Statistical Associatio 88 (422), 477-85. Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 83 -
Aexe A : Loi de Pareto gééralisée (GPD) A. Défiitio Défiitio : Loi de Pareto gééralisée Soit H ξβ, la foctio de répartitio défiie pour β > 0 par (8) H ξ, β ξ ξ + x, si ξ 0, ( x) = β exp ( x β), si ξ = 0. Cette foctio de répartitio correspod à la loi de Pareto gééralisée (GPD) de paramètres ξ et β. Elle est défiie pour x > 0 si ξ > 0 et pour 0 x β ξ si ξ < 0. O otera das la suite D( ξ, β ) le domaie de défiitio de H ξ, β. O motre (cf. DENUIT et CHARPENTIER [2005]) que la loi de Pareto gééralisée peut être vue comme ue log-gamma ou ecore, das le cas où ξ > 0, comme u mélage de lois expoetielles dot le paramètre suit ue loi gamma. A.2 Quelques propriétés Les résultats suivats sot éocés pour ue variable aléatoire Y distribuée selo ξ, β. ue GPD de paramètre ( ) Propriété. Si ξ <, o a r ξ (9) E + Y β =, pour r > ξ, + ξr k ξ k (0) E l + Y = ξ k! β, pour k N, r β E Y( H, Y ) ξ β = ( r + ξ )( r +, pour ( r + ) ξ > 0. ) () ( ) Propriété 2. La variable aléatoire Y admet des momets jusqu'à l'ordre l'o a r (2) [ ] ( ) E r β Γ ξ r Y = r!, pour r r+ ξ. ξ Γ ξ + ( ) Propriété 3. (Stabilité) La variable aléatoire Yu [ Y u Y u] ue loi GPD de paramètre ( ξ, β ξu) u< y F, (3) E [ Y u Y u] ξ et = > est distribuée selo +. O e déduit que si ξ <, alors pour tout β + ξu > =, pour β + uξ > 0. ξ O rappelle que y F est la bore supérieure du support de Y, soit Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 85 -
A.3 Estimatio des paramètres { } (4) y sup y, F( y) Cosidéros u -échatillo ( Y Y ) répartitio H ξβ,. F = R <.,, de la variable aléatoire Y de foctio de A.3. Méthode du maximum de vraisemblace La desité f de Y vaut ξ ξ (5) f ( y ) = y β + β O e déduit la log-vraisemblace (6) ( ξ β ), pour y D( ξ, β ). ξ l L, ; Y,, Y = l β + l + Y. i ξ i= β E utilisat la reparamétrisatio τ = ξ β, l'aulatio des dérivées partielles de la log-vraisemblace coduit au système ( ) ˆ ξ = l + τy : ( ) i = ξ τ, i= (7) Y = + i. τ ξ i= + τyi L'estimateur du maximum de vraisemblace de ( ξ, τ ) est ( ˆ ξ = ˆ ξ ( ˆ τ), ˆ τ) où ˆ τ est solutio de Yi (8) = τ + ˆ ( ). ξ τ i= + τyi Cette derière équatio se résout umériquemet de maière itérative pour autat que l'o dispose d'ue valeur iitiale τ 0 pas trop éloigée de τ. E pratique, cette valeur iitiale pourra être obteue par la méthode des momets (pour autat que ceuxci existet jusqu'à l'ordre 2) ou par la méthode des quatiles. Lorsque ξ > 2, HOSKING et WALLIS [987] ot motré la ormalité asymptotique des estimateurs du maximum de vraisemblace : ˆ ˆ β + ξ, N,. β 2 2 L (9) ξ ξ 0 ( + ξ) Ce résultat permet e particulier de calculer les erreurs approximatives d'estimatio commises par les estimateurs du maximum de vraisemblace. Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 86 -
A.3.2 Méthode des momets D'après les résultats du paragraphe A.2, si ξ < 2, les deux premiers momets de Y existet et l'o a (20) [ ] β μ : = E Y =, ξ et O e déduit que (22) (2) μ : = Var[ Y ] = 2 2 2 μ ξ = et 2 2μ 2 2 β ( ξ ) ( 2ξ ) 2 μ μ β = +. 2 μ2 E remplaçat μ et μ 2 par leurs estimateurs empiriques, o obtiet les estimateurs de la méthode des momets ˆMM ξ et ˆMM β. Ces estimateurs sot simples à mettre e œuvre, mais e foctioat que pour ξ < 2, ils écessitet la coaissace a priori de cette iformatio. A.3.3 Méthode des momets podérés par les probabilités Ue alterative itéressate à la méthode des momets a été proposée par HOSKING et WALLIS [987]. E remarquat que r (23) ( ) β ωr : = E YH, Y ξβ =, pour r = 0;, ( r+ )( r+ ξ ) o obtiet 2ω0ω ω0 (24) β = et ξ = 2. ω 2ω ω 2ω 0. 0 E remplaçat ω 0 et ω par leurs estimateurs empiriques, o obtiet les estimateurs des momets podérés par les probabilités ˆPWM ξ et ˆPWM β. Das le cas d'échatillos de taille réduite, HOSKING et WALLIS [987] motret que, lorsque ξ < 2, ces estimateurs sot plus efficaces que ceux du maximum de vraisemblace. Le domaie de validité de cette méthode est sa pricipale limite à ue utilisatio e assurace : si la plupart des risques admettet des momets d'ordre 2, ce 'est pas ue gééralité (tempêtes, tremblemets de terre, risques idustriels, resposabilité civile, etc.). Des gééralisatios (DIEBOLT et al. [2005b]) permettet d'étedre cette méthode à ξ < 32. A.3.4 Méthode des quatiles La foctio quatile d'ue loi GPD de paramètre ( ξ, β ) est doée par Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 87 -
E remarquat que (26) la solutio ˆMQ ξ de β qp = H, p p ξ ξβ = ξ. (25) : ( ) ( ) q q p2 p = (27) ξ ( p2 ) ξ ( p ), pour, 2 ] 0 ; [ Q Q p2 p = ( p2 ) ( p ) ξ ξ p p, où Q p et Q p 2 sot les quatiles empiriques d'ordres p et p 2, est l'estimateur des quatiles de ξ. A.3.5 Méthodes bayésiees Des développemets récets (cf. COLES et POWELL [996] ou DIEBOLT et al. [2005a]) proposet des approches bayésiees pour estimer les paramètres de la loi GPD. Utilisat des algorithmes Markov Chai Mote Carlo (MCMC), ces méthodes permettet d'itégrer ue iformatio a priori (avis d'expert) das des cotextes où l'o dispose d'u ombre réduit d'observatios. Aexe B : Résultats probabilistes Sot successivemet rappelés das ce paragraphe des résultats de calcul des probabilités cocerat la loi du maximum, l'épaisseur des queues de distributio et la loi des excès au-delà d'u seuil. Les différets résultats sot démotrés das EMBRECHTS et al. [997]. B. Loi du maximum Défiitio 2 : Lois de même type Deux variables aléatoires X et Y sot dites de même type s'il existe deux costates a R et b > 0 telles que Y = d a+ bx. Défiitio 3 : ( ) Fisher-Tippett-Gedeko Cosidéros ue suite X, X 2, de variables i.i.d. S'il existe ue suite de réels b et ue loi o-dégéérée H telles que a, ue suite positive ( ) (28) X a, b H, alors H est du même type qu'ue des lois suivates : ξ { } ( ) ( ξ ) (29) ( ) { ( )} G x = exp + x, pour + ξx 0, Λ x = exp exp x, pour x R. d Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 88 -
Les foctios de répartitio G+ ( ξ > 0), Λ ( ξ = 0) et G ( ξ 0) < correspodet respectivemet aux lois de Fréchet, de Gumbel et de Weibull. Défiitio 4 : Domaie d attractio maximum O dira d'ue foctio de répartitio F qui répod aux hypothèses du théorème de Fisher-Tippett-Gedeko qu'elle appartiet au domaie d'attractio maximum (DAM) de H. La représetatio de Jekiso-Vo Mises fourit ue caractérisatio sythétique des lois extrêmes : la distributio gééralisée des valeurs extrêmes (Geeralized Extreme Value, ou GEV). La foctio de répartitio GEV a la forme suivate : (30) H ( x) ξμ, σ x ξ μ x μ exp + ξ si + ξ > 0, ξ 0, σ σ = x μ exp exp si ξ = 0, σ où le paramètre de localisatio μ est directemet lié à la valeur la plus probable de la loi, il doe doc ue iformatio approximative sur le cœur de la distributio alors que σ est le paramètre de dispersio qui idique l étalemet des valeurs extrêmes. Efi ξ est l idice de queue précédemmet itroduit. B.2 Épaisseur des queues de distributio Défiitio 5 : Foctio à variatio régulière * Ue foctio h : R+ R + est dite à variatio régulière (e + ) d'idice α si h vérifie htx ( ) α (3) lim = t pour tout t > 0. x + h( x) Si α = 0, o parlera de variatio lete ; si α =, de variatio rapide. Défiitio 6 : Théorème taubérie Ue variable aléatoire de foctio de répartitio F et de trasformée de Laplace L F est à variatio régulière d'idice α( α 0) si les coditios équivaletes suivates sot vérifiées ( L F, L, L F L et L f désiget des foctios à variatio lete) : α (i) F est à variatio régulière d'idice α, i.e. F( x) = x L ( x). (ii) La foctio quatile est à variatio régulière : α (32) F ( x) x ( x) = L. α (iii) La trasformée de Laplace de F vérifie L ( t) t ( t) F F L F = L. (iv) Si la desité existe et vérifie xf ( x) F ( x) α quad x +, alors la ( +α ) desité est à variatio régulière d'idice ( + α ), i.e. f ( x) = x L ( x). f Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 89 -
La coditio relative à la trasformée de Laplace permet d'établir que la propriété de variatio régulière à paramètre fixé est stable par covolutio. B.3 Loi des excès au-delà d'u seuil Défiitio 7 : Pickads-Balkema-de Haari Ue foctio de répartitio F appartiet au domaie maximum d'attractio de G si, et seulemet si, il existe ue foctio positive β (.) telle que ξ { } (33) limsup ( ) ( ) u F x H ( ) 0, u x =. ξβ > u x x 0 Ce théorème établit le lie etre le paramètre de la loi du domaie d'attractio maximum et le comportemet limite des excès au-delà d'u seuil grad. E particulier, l'idice de queue ξ est idetique au paramètre de la loi GPD qui décrit le coût résiduel des siistres dépassat u seuil suffisammet élevé. Ceci permet otammet de distiguer les lois à queue épaisse qui appartieet au ξ > 0 des lois à queue fie qui appartieet au DAM de Gumbel DAM de Fréchet ( ) ( ξ = 0). Le tableau suivat idique le comportemet limite de certaies lois usuelles. Lois à queue épaisse ξ > 0 Cauchy Pareto log-gamma Studet α-stable ( α < 2) Lois à queue fie ξ = 0 gamma ormale log-ormale Weibull Bektader La propriété suivate cocere le ombre élevé. Lois borées à droite ξ < 0 uiforme beta N u de dépassemets d'u seuil u assez Propositio : Nombre de dépassemets d u seuil élevé Le ombre de dépassemets du seuil u das u échatillo de taille est asymptotiquemet distribué selo ue loi de Poisso pour autat que la probabilité de dépasser u dimiue proportioellemet à l'iverse de la taille de l'échatillo. Formellemet, o a lim F u = τ N P τ. (34) ( ) ( ) u d E effet, comme Pr Nu k Pr i Xi> u k = = = et que les X =, X 2, sot idépedats et idetiquemet distribués, o a : ( ) k k (35) Pr N = k = C F ( u ) F( u ) Cette expressio peut se réécrire sous la forme : u k, pour k. Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 90 -
doc (36) ( ) ( ) ( ) k k Pr Nu k = = CF u F u k k = F ( u) ( F( u) ). k Lorsque, F ( u ) ( F( u )) k τ, F( u ) 0 et 0, j pour j { 0,, k } k k τ F u τ τ (37) lim P Nu k lim e = = =, k! k! la derière égalité pouvat se motrer par u développemet limité de l F u. ( ( ) ) Aexe C : Estimatio du paramètre de queue ( ) L'épaisseur de la queue de la foctio de répartitio F est résumée par le paramètre ξ de la loi dot elle fait partie du DAM. Aisi les lois apparteat au DAM de la loi de Fréchet ( ξ > 0) voiet leur queue décroître e foctio puissace tadis que celles apparteat au DAM de Gumbel ( ξ = 0) ot des queues qui décroisset de maière expoetielle. Les estimateurs de quatiles extrêmes faisat appel à ce paramètre de queue ξ, so estimatio doit faire l'objet d'ue attetio particulière. L'objet de cette sectio est doc de préseter les pricipales méthodes d'estimatio de l'épaisseur de la queue de distributio. Sot aisi otammet présetés les estimateurs de PICKANDS [975], de HILL [975] et de DEKKERS et al. [989]. C. Méthodes paramétriques C.. Ajustemet à la loi du maximum Le théorème de Fisher-Tippett-Gedeko ous doe la loi asymptotique de X,. A supposer que l'o dispose de réalisatios de cette v.a., i.e. de m échatillos permettat d'observer m réalisatios () ( m x ),,, x, de X,, la méthode du maximum de vraisemblace permettrait d'estimer les paramètres de la loi limite et e particulier ξ. C..2 Ajustemet de la loi limite des excès Cosidéros ue distributio F apparteat au domaie d'attractio maximum de G ξ. D'après le théorème de Pickads-Balkema-de Haari, il existe ue foctio positive β (). telle que { } (38) limsup ( ) ( ) u F x H ( ) 0, u x =. ξβ > u x x 0 Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 9 -
E particulier, le paramètre ξ de la distributio Pareto gééralisée H ξβ, est idetique à celui de G ξ. Aisi pour u seuil u assez élevé, la distributio H ξβ, ( u) est ue boe approximatio de F u dot o dispose de N u observatios X N,,, u u X, u. Les techiques présetées au paragraphe A.3 permettet alors d'estimer ξ. E particulier, si ξ > 2 est estimé par la méthode du maximum de vraisemblace, SMITH [987] motre que la variace asymptotique de cet estimateur vaut ( + ξ ) 2 N. u C.2 Méthodes semi-paramétriques C.2. Estimateur de Pickads Pour k 0, l'estimateur de Pickads, défii par (39) X P ξk = l l 2 X X X k, 2k, 2k, 4K, est u estimateur coverget de ξ. De plus, sous certaies coditios supplémetaires portat sur k et F (cf. Dekkers et de Haa (989)), il est asymptotiquemet gaussie : 2( ξ + ) P ξ 2 + (40) k ( ξk ξ) d N 0, 2. ( 2( ξ 2 ) l 2) C.2.2 Estimateur de Hill Pour k 0, l'estimateur de Hill défii par (4) ξ H k k X j, = l, k X est u estimateur coverget de ξ. De plus, sous certaies coditios sur k et F (cf. de Haa et Peg (998)), il est asymptotiquemet gaussie : H 2 k ξ ξ N 0, ξ. j= k, (42) ( ) ( ) k Bie que plus performat que l'estimateur de Pickads (cf. le rapport des variaces asymptotiques), l'estimateur de Hill 'est utilisable que pour les distributios de ξ > 0. Fréchet ( ) d, C.2.3 Estimateur de Dekkers-Eimahl-de Haa L'estimateur de Dekkers-Eimahl-de Haa est ue gééralisatio de l'estimateur de Hill à l'esemble des lois extrêmes ( ξ R ). Pour k 0, l'estimateur de Dekkers-Eimahl-de Haa défii par Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 92 -
(43) ξ i DEdH k () = + ξ k 2 () 2 ( ξk ) ( 2) ξk k () i X j, avec ξk = l, est u estimateur coverget de ξ. De plus, sous k j= Xk+, certaies coditios sur k et F (cf. DEKKERS et al. [989]), il est asymptotiquemet gaussie : DEdH 2 k ξ ξ N 0, + ξ. (44) ( ) ( ) k Cet estimateur est égalemet cou sous l'appellatio d'estimateur des momets, () les ξ i pouvat s'iterpréter comme des momets empiriques. k d, C.2.4 Nombre d'observatios à utiliser Les résultats cocerat les estimateurs de l'idice de queue éocés précédemmet sot asymptotiques : ils sot obteus lorsque k et k 0. Comme e pratique, o e dispose que d'u ombre d'observatios fii, il s'agit de choisir k de maière à ce que l'o dispose de suffisammet de matériel statistique (les X,, X ) tout e restat das la queue de distributio ( k ). k,, E particulier, l'estimateur de Hill satisfaisat la propriété asymptotique H 2 (45) k ( ξ ξ) ( 0, ξ ) k N, pour k avec u certai taux de croissace e foctio de, o pourrait être teté de choisir k aussi grad que possible de maière à miimiser l'erreur quadratique moyee commise par ξ H k. Cepedat, le comportemet au deuxième ordre de la foctio à variatio lete L F itroduite das le théorème taubérie iduit u biais lorsque k est trop grad. Des solutios pour fixer k de maière à disposer d'u estimateur asymptotiquemet sas biais ot otammet été proposées par GOLDIE et SMITH [987] puis de HAAN et PENG [998]. Cocerat l'estimateur de Hill pour des foctios apparteat au DAM de Fréchet, de HAAN et PENG [998] ot proposé de reteir le ombre d'observatio k qui réduit l'erreur quadratique moyee de l'estimateur de Hill, i.e. 2 2ξ + 2ξ ( 2ξ ) ( ξ ) + + (46) ( ) +, si ξ 0; k = 2ξ 23 2, si ξ >. d ( ) ] [ Toutefois, o remarque que k s'exprime e foctio de ξ qui 'est pas observé. De plus ce critère e cocere que l'estimateur de Hill. E pratique, il sera préférable de suivre la démarche proposée par EMBRECHTS et al. [997] qui suggèret de tracer les estimateurs e foctio de k et de choisir k das u itervalle où la droite des estimatios est approximativemet horizotale (cf. la figure détaillée ifra). Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 93 -
C.2.5 Illustratio La figure ci-dessous illustre les différets estimateurs du paramètre de queue d'ue F x = x x α, pour loi de Pareto de première espèce (de foctio de répartitio ( ) ( ) x > x 0 ). Cette famille de distributios faisat partie du DAM de Fréchet, les estimatios de Pickads, de Hill et de Dekkers-Eimahl-de Haa ot pu être tracées e foctio de k. 0 Figure 39 - Estimatio de l'épaisseur de la queue d'ue distributio de Pareto O observe la suprématie de l'estimateur de Hill sur ceux de Pickads et de Dekkers-Eimahl-de Haa. Par ailleurs, pour k < 0, 02, l'estimateur de Hill est relativemet volatile. O serait doc ameé à utiliser de l'ordre de 2,5 % des doées les plus extrêmes pour estimer l'épaisseur de la queue de distributio. Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 94 -
Coclusio géérale Les évolutios e cours des dispositifs prudetiel (Solvabilité 2), comptable (IFRS) et de reportig fiacier (MCEV) coduiset à repeser les modèles de valorisatio des egagemets et les modes de détermiatio des allocatios d actifs, pour les portefeuilles d assurace e gééral et les portefeuilles de retes e particulier. U exame attetif des risques majeurs d u régime de rete met e évidece trois risques essetiels : Le risque de sous-estimatio du capital de solvabilité, coséquece d ue modélisatio iadaptée de l actif et / ou du passif, otammet pour ce qui cocere les évéemets extrêmes ; le risque d ue mauvaise aticipatio de l espérace de vie des retiers e cours et futurs, et e pratique d ue sous-estimatio de cette espérace de vie ; les risques fiaciers associés à l allocatio d actifs ; le régime de rete est e effet cofroté à la écessité d ue gestio à très log terme (facteur de maximisatio de sa performace) sous la cotraite de devoir être e mesure à chaque istat de payer les retes et d e assurer ue revalorisatio suffisate. Les travaux présetés ici proposet des approches et des solutios ou pistes de solutios sur les deux premiers registres. De ombreux champs de réflexios sot ouverts, tout particulièremet pour la modélisatio de la mortalité et l adéquatio actif / passif (ALM). E ce qui cocere la mortalité, plusieurs pistes de réflexios sot explorées : la prise e compte d avis d expert (sectio 3) ; l utilisatio de formes paramétriques différetes de la référece que costitue le modèle de Lee-Carter et ses dérivés ; o peut citer sur ce registre le modèle logistique proposé das BONGAARTS [2004] et gééralisé par HONG-CHIH et YAWEN [2007]. Au-delà de leur itérêt direct pour l évaluatio des egagemets d u régime de retes, ces études ot des applicatios directes das le cadre de la titrisatio du risque de logévité (voir par exemple HONG-CHIH et YAWEN [2007]) La questio de la détermiatio de l allocatio d actifs et du capital de solvabilité offre aussi de ombreuses opportuités de recherche. Tout d abord la gééralisatio des approches décrites das PLANCHET et THÉROND [2004a] e itégrat otammet u modèle de taux, des obligatios idexées sur l iflatio, u ajustemet auel de l allocatio, la corrélatio etre les actifs aisi qu ue participatio au bééfice. Des approches alteratives s appuyat directemet sur la descriptio des règles de gestio et des cotraites de solvabilités peuvet égalemet être développées, via la théorie de la viabilité (AUBIN et al [2007]).. Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 95 -
L aalyse des risques portés par u régime de retes et la mise e place de solutios opératioelles pour les gérer est deveue u élémet essetiel de la péreité de ces régimes, et la coditio du développemet d ue offre d assurace performate. Efi, o peut observer que les modèles utilisés e assurace pour décrire l'évolutio future des gradeurs détermiat le bila de l'assureur (valeur des actifs, siistralité, frais, etc.) sot usuellemet des modèles stochastiques ajustés sur des observatios passées : par exemple u modèle de Black et Scholes pour les actios avec ue estimatio des paramètres à partir de doées de marché. Cette approche permet de reproduire das le futur des tedaces passées, mais red délicate la prise e compte d'iformatios exogèes : avis d'expert, limite biologique à l'amélioratio de l'espérace de vie, relatios macro écoomiques etre l'iflatio, le taux d'itérêt réel et le taux de croissace de l'écoomie par exemple. Si cette restrictio est peu péalisate e fiace de marché, du fait de l'horizo de projectio à très court terme, elle peut deveir u véritable hadicap das u modèle qui doit être utilisé sur le log terme, comme c'est le cas e assurace, et otammet e assurace de persoes. Aussi, il ous semble qu'ue réflexio sur des modèles itégrés, preat e compte les fluctuatios de court terme et capables d'itégrer des iformatios - ou cotraites - de log terme est idispesable das le cadre de la mise e place d'u modèle stadard. Ue démarche de ce type peut a priori être meée tat pour les modèles d'actifs, sur le modèle des travaux de Wilkie 42, que pour les modèles de mortalité, via la prise e compte d avis d experts. Ce cotexte est doc favorable au développemet de travaux sur ce thème, das les domaies décrits par le préset travail. Des travaux sot e cours das le cadre de 5 thèses e co-ecadremet avec le Professeur Jea-Claude AUGROS et qui développemet des sujets e lie avec les travaux présetés ici. 42 Ce poit est e cours d étude das le cadre d ue thèse co-ecadrée par l auteur. Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 96 -
Bibliographie géérale AHLGRIM K.C., D ARCY S.P., GORVETT R.W. [2003] Report o Modelig of Ecoomic Series Coordiated with Iterest Rate Scearios, Casualty Actuarial Society & Society of Actuaries, http://www.casact.org. ARTZNER PH., DELBAEN F., EBER J.M., HEATH D. [999] «Coheret measures of risk», Mathematical Fiace, vol. 9, 203-228. ASSOCIATION ACTUARIELLE INTERNATIONALE [2004] «A Global Framework for Isurer Solvecy Assessmet», http://www.actuaires.org. AUBIN J.P., PLANCHET F. SAINT-PIERRE P. [2007] «optimal asset allocatio for life auities : a viability approach», ISFA, Workig Paper BACHELIER L. [900] Théorie de la spéculatio, Thèse ENS, réed. 994, Jacques Gabay, Paris. BALLOTTA L. [2004] «Alterative framework for the fair valuatio of participatig life isurace cotracts». Proceedigs of the 4 th AFIR Colloquium, 337-367. BALLOTTA L., ESPOSITO G., HABERMAN S. [2005] «The IAS project for life isurace cotracts: impact o reservig methods ad solvecy requiremets», Workig paper BATTOCCHIO P., MENONCIN F., SCAILLET O. [2004] «Optimal asset allocatio for pesio fuds uder mortality risk durig the accumulatio ad decumulatio phases», Forthcomig i Aals of Operatios Research. BELLAMY N. [999] Evaluatio et couverture das u marché dirigé par des processus discotius. Thèse de doctorat, Uiversité d Evry. BERNARD P. [2000] La décisio das l'icertai: préféreces, utilité et probabilités, EURISCO, Support de cours. BERNSTEIN P. [996] Agaist the Gods: The Remarkable Story of Risk, New York : Joh Wiley & Sos. BIFFIS E. [2004], «Affie processes for dyamic mortality ad actuarial valuatios» Uiversité Boccoi, Workig Paper. BIFFIS E., MILLOSSOVICH P. [2004], «The fair value of guarateed auity optios» Workig Paper Uiversité de Trieste, BLACK F., SCHOLES M. [973] «The pricig of optios ad corporate liabilities». Joural of political Ecoomy, vol. 8, 3, 637 654. BLUM K.A., OTTO D.J. [998] «Best estimate loss reservig a actuarial perspective», CAS Forum Fall, 55-0. BONGAARTS J. [2004] «Log-Rage Treds i Adult Mortality : Models ad Projectio Methods», Populatio Coucil, workig paper 92. BOULIER J.-F., HUANG S. J., TAILLARD G. [200a] «Optimal Maagemet Uder Stochastic Iterest», Isurace: Mathematics ad Ecoomics, vol. 28, 73-89. BOULIER J.-F., MICHEL S., WISNIA V. [200b] «Optimizig ivestmet ad cotributio policies of a defied beefit pesio fud», Isurace: Mathematics ad Ecoomics, vol. 28, 73-89. BOWERS N., GERBER H., HICKMAN J., JONES D., NESBITT C. [986] Actuarial Mathematics, The society of actuaries. BOYLE P., WINDCLIFF H. [2004] «The / pesio ivestmet puzzle», North America Actuarial Joural, vol. 8. Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 97 -
BRENNAN M., XIA Y [2002] «Dyamic Asset Allocatio uder Iflatio», Joural of Fiace, vol. 57, 20-238. BROUHNS N., DENUIT M. [200] «Risque de logévité et retes viagères, Tables de mortalité prospectives pour la populatio belge», Discussio Paper, Istitut de Statistique, Uiversité catholique de Louvai, Louvai-la- Neuve, Belgique. BROUHNS N., DENUIT M., VERMUNT J.K. [2002] «A Poisso log-biliear regressio approach to the costructio of projected lifetables», Isurace: Mathematics ad Ecoomics, vol. 3, 373-393. BRUNEAU C., FOUQUES B., SGHAIER N. [2007] «Optimal Dyamic Asset Allocatio i Solvecy 2 whe there is Depedece Betwee Asset Returs: The case of No Life Isurace Compay», Proceedigs of the 6 th AFIR Colloquium CAIRNS A., BLAKE D., DOWD K. [2004], «Pricig Frameworks for Securitizatio of Mortality Risk», Proceedigs of the 4 th AFIR Colloquium, vol., 509-540. CAMPBELL R., HUISMAN R., KOEDIJK K. [200] «Optimal portfolio selectio i a Value-at-Risk framework», Joural of Bakig & Fiace, vol. 25, 789-804. CAMPBELL J.Y., VICEIRA L.M. [200] «Who should buy log term bods?», America Ecoomic Review, vol. 9, 99-27. CAPÉRAÀ Ph., VAN CUTSEM B. [988] Méthodes et modèles e statistique o paramétrique, Presses de l Uiversité Laval, Paris: Duod. CAREY J.R., TULAPURKAR S. Ed. [2003] Life Spa, Evolutioary, Ecological ad Demographic Perspectives, Populatio ad Developmet Revue (sup. to vol. 29), Populatio Coucil. CEIOPS [2004] Documet de travail pour la réuio du sous-comité "Solvabilité" du Comité des assuraces du 22 avril 2004. CEIOPS [2006], «Quatitative Impact Study 2 Techical Specificatio», CEIOPS (http://www.ceiops.com) CHARUPAT N, MILEVSKY, M. [2002] «Optimal asset allocatio i life auities: a ote», Isurace: Mathematics ad Ecoomics, vol. 30, 99-209. CHENUT X., FRANTZ C., WALHIN J.F. [2003] «Pricig ad capital allocatio for uit-liked life isurace cotracts with miimum death guaratee», Proceedigs of the 3th AFIR Colloquium, 337-367. CHENUT X., DESMEDT S.., WALHIN J.F. [2004] «Actuarial Pricig for Miimum Death Guaratees i Uit- Liked Life Isurace: A Multi-Period Capital Allocatio Problem», Proceedigs of the 4th AFIR Colloquium. COMMISSION EUROPEENNE [2002a] «Cosidératios sur la corrélatio etre le projet Solvabilité 2 et l'extesio de l'approche "Lamfalussy" à la réglemetatio des assuraces», Documet de travail, MARKT/259/02. COMMISSION EUROPEENNE [2002b] «Résumé du rapport du groupe de travail sur l'assurace vie», Documet de travail, MARKT/2528/02. COMMISSION EUROPEENNE [2002c] «Résumé du rapport du groupe de travail sur les provisios techiques e assurace o-vie», Documet de travail, MARKT/2529/02. COMMISSION EUROPEENNE [2002d] «Cosidératios sur la forme d u futur système de cotrôle prudetiel», Documet de travail, MARKT/2535/02. COMMISSION EUROPEENNE [2002e] «Solvabilité 2 : Poit sur les travaux e cours», Documet de travail, MARKT/2536/02. Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 98 -
COMMISSION EUROPEENNE [2002f] «Réflexios sur la structure d'ue directive cadre et madats sur des poits techiques», Documet de travail, MARKT/2539/02. COMMISSION EUROPEENNE [2003] «Coceptio d u futur système de cotrôle prudetiel applicable das l Uio européee Recommadatio des services de la Commissio», Documet de travail, MARKT/2509/03. COMMISSION EUROPEENNE [2004a] «Complémet: Sujets de discussio et suggestios de demade d'avis à CEIOPS Documet de travail pour la réuio du sous-comité "Solvabilité" du Comité des assuraces du 22 avril 2004», Documet de travail, MARKT/2502/04. COMMISSION EUROPÉENNE [2004b] «Solvecy II Orgaisatio of work, discussio o pillar I work areas ad suggestios of further work o pillar II for CEIOPS», Documet de travail, MARKT/2543/03. COX D.R. [972] «Regressio models ad life-tables (with discussio)». J. R. Statist. Soc. Ser. B, pages 87-220. CURRIE I.D., DURBAN M., EILERS P.H.C. [2004] «Smoothig ad forecastig mortality rates», Statistical Modellig, vol. 4, 279-298. DAHL M. [2004] «Stochastic mortality i life isurace: market reserves ad mortality-liked isurace cotracts». Isurace: Mathematics ad Ecoomics, 35 (), 3-36. DEBON A., MARTINEZ-RUIZ F., MONTES F. [2004] «Dyamic Life Tables: A Geostatistical Approach», IME Cogress. DEELSTRA G., JANSSEN J. [998] «Iteractio Betwee Asset Liability Maagemet ad Risk Theory», Applied Stochastic Models ad Data Aalysis, vol. 4, 295-307. DELWARDE A., DENUIT M. [2006] Costructio de tables de mortalité périodiques et prospectives, Paris : Ecoomica. DEMPSTER M.A.H. (éd.) [2002] Risk Maagemet: value at risk ad beyod, Cambridge Uiversity Press. DENUIT M., CHARPENTIER A. [2004] Mathématiques de l assurace o-vie, tome, Paris : Ecoomica. DENUIT M., QUASHIE A. [2005] «Modèles d extrapolatio de la mortalité aux grads âges», Istitut des Scieces Actuarielles et Istitut de Statistique Uiversité Catholique de Louvai, Louvai-la-Neuve, Belgique. D ESTAMPES L. [2003] Traitemet statistique des processus alpha-stables. Thèse de doctorat, Istitut Natioal Polytechique de Toulouse. DEVOLDER P. [200] «les uivers virtuels de la fiace»,, Belgia Actuarial Bulleti, vol., 0-7. DJEHICHE B., HORFELT P. [2004] «Stadard Approaches to Asset ad Liability Risk», Workig paper. DOUARD H. [2000] «Normes IAS : Ue ouvelle doe comptable pour les sociétés européees cotées, u ejeu pour les actuaires», Bulleti Fraçais d Actuariat, vol. 4, 8, 4-5. DRITSCHEL M., PROTTER Ph. [999] «Complete markets with discotiuous security price» Fiace ad Stochastics, vol. 3, 203-24. FAMA E.F. [965] «The behavior of stock market price». Joural of busiess, vol. 38, 34 95. FAMA E.F., ROLL R. [97] «Parameter estimates for symmetric stable distributios». Joural of America Statistical Associatio, vol. 66, 33 336. FARGEON L., NISSAN K. [2003] Recherche d u modèle actuariel d aalyse dyamique de la solvabilité d u portefeuille de retes viagères, Mémoire d actuariat, ENSAE. Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 99 -
FEDOR M., MOREL J. [2006] «Value at Risk e assurace: recherche d ue méthodologie à log terme», Actes du cogrès ICA 2006. GRASSELLI M. [2004] «Méthodes récetes de gestio des fods de retraite», Baque & Marchés, 72, 52-58. GUTTERMAN S., VANDERHOOFT I.T. [999] «Forecastig chages i mortality: a search for a law of causes ad effects», North America Actuarial Joural, vol. 2, 35-38. HAAS S. [2006] Méthodologie d évaluatio écoomique des traités proportioels e réassurace vie - Applicatio au swap de mortalité, Mémoire d actuairait, ISFA. HARDY M. R. [200] «A regime switchig model of log-term stock returs», North America Actuarial Joural, vol.5 2, 4-53. HE L. [2004] Méthodes de provisioemet et aalyse de solvabilité d ue etreprise d assurace o-vie. Mémoire d actuariat, ENSAE. HIDALGO M. [992] «Créatio et utilisatio simplifiée des tables de mortalité de géératios prospectives femmes appliquées aux assuraces de rete : TPFG50», Mémoire d actuariat, Uiversité Louis Pasteur Strasbourg. HONG-CHIH H., YAWEN H. [2007] «Extedig the Logistic Model for Mortality Forecastig ad the Applicatio of Mortality-Liked Securities», Proceedigs of the th IME Cogress HULL J., WHITE A. [987] «The pricig of optios with stochastic volatilities». Joural of Fiace, vol. 42, 28 300. IASB INSURANCE WORKING GROUP [2006] «Overview of the Board's prelimiary coclusios so far (Ageda Paper 2)», Observer otes, 29-30 jui 2006. HADERER M. [2003], «Réassurace du risque de logévité», Mémoire ISFA JANSSEN J. [992] «Modèles stochastiques de gestio d'actif-passif pour les baques et les assuraces», Trasactios of the 24th Iteratioal Cogress of Actuaries, ICA-ACI, Motréal, 3-39. JEANBLANC M., RUTOWSKI M. [999] Modellig default risk : a overview. Mathematical Fiace : Theory ad Practice, Fuda Uiversity. JORGENSEN P.L. [2004] «O accoutig stadards ad fair valuatio of life isurace ad pesio liabilities», Scadiavia Actuarial Joural, 5, 372-94. JOSA-FOMBELLIDA R., RINCÓN-ZAPATERO J.P. [2004] «Optimal risk maagemet i defied beefit stochastic pesio fuds», Isurace: Mathematics ad Ecoomics, vol. 34, 489-503. JUILLARD M. [2006] «Idetificatio et quatificatio des risques techiques pour u régime de retes», Mémoire d actuariat, ISFA. KAHNEMAN D., TVERSKY A. [982] «O the study of statistical ituitios», Cogitios : 23-4 KAUFMANN R., GADMER A., KLETT R. [200] «Itroductio to Dyamic Fiacial Aalysis», ASTIN Bulleti, vol. 3, 23-249. KIMELDORF G.S, JONES D.A. [967], «Bayesia graduatio», TSA, XIX LAMBERTON D., LAPEYRE B. [997] Itroductio au calcul stochastique appliqué à la fiace, 2 e éditio. Paris : Ellipses. LE PAGE D. [2000] Risque de défaut : ue approche par itesité, Mémoire d actuariat, ENSAE. Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 00 -
LEE P.J. [2000] «A Geeral Framework for Stochastic Mortality ad Ivestmet Risks», Heriot-Watt Uiversity, Workig Paper. LEE R.D., CARTER L. [992] «Modellig ad forecastig the time series of US mortality», Joural of the America Statistical Associatio, vol. 87, 659 67. LEE R.D. [2000] «The Lee Carter method of forecastig mortality, with various extesios ad applicatios», North America Actuarial Joural, vol. 4, 80 93. LEIBOWITZ M., KOGELMAN S. [99] «Asset allocatio uder shortfall costraits», Joural of portfolio maagemet, vol. 7, 8-23. MAKEHAM W. M. [874] «O a Applicatio of the Theory of the Compositio of Decremetal Forces.», J. Ist. Actuaries ad Assur. Mag. 8, 37-322. MANDELBROT B. [962] «Sur certais prix spéculatifs : faits empiriques et modèle basé sur les processus stables additifs o gaussies de Paul Lévy». Comptes redus à l Académie des scieces, vol. 254, 3968 3970. MANDELBROT B. [963] «The variatio of certai speculative prices». Joural of busiess, vol. 36, 394 49. MANDELBROT B. [2005], Ue approche fractale des marchés, Paris : Editios Odile Jacob MARKOWITZ H. [952] «Portfolio Selectio», Joural of Fiace, vol. 7, 77-9. MESLE F., VALLIN J. [2002] «Commet améliorer la précisio des tables de mortalité aux grads âges? Le cas de la Frace», Populatio 4, INED, 603. MERTON R.C. [976] «Optio pricig whe uderlyig stock returs are discotiuous». Joural of Fiacial Ecoomics, vol. 3, 224-44 MIRABEL A. [2003] «L'apport des obligatios idexées sur l'iflatio das la gestio des cotrats d'éparge», Mémoire d actuariat, ISFA. MOLLER T. [998], «Risk-miimizig hedgig strategies for uit-liked life isurace cotracts», ASTIN Bulleti 28, 7-47. PETAUTON P. [2004] Théorie et pratique de l assurace vie, 3 e éditio, Paris : Duod. PLANCHET F. [2005] «Tables de mortalité d expériece pour des portefeuilles de retiers», ote méthodologique de l Istitut des Actuaires. PLANCHET F. [2006a] «Tables de mortalité d expériece pour des portefeuilles de retes ote de présetatio», Publicatio de l Istitut des Actuaires. PLANCHET F. [2006b] «Le risque eutre», la Tribue de l Assurace (rubrique «le mot de l actuaire»), 07 du 04/2/2006. PLANCHET F. [2007a] «Solvecy Capital Requiremet», la Tribue de l Assurace (rubrique «le mot de l actuaire»), 3 du 0/06/2007. PLANCHET F. [2007b] «Mortalité : de l utilité des tables d expériece», la Tribue de l Assurace, 0 du 0/03/2007. PLANCHET F. [2007c] «Prospective models of mortality with forced drift Applicatio to the logevity risk for life auities», Proceedigs of the th IME Cogress PLANCHET F., FAUCILLON L., JUILLARD M. [2006] «Etude du risque systématique de mortalité», Assurace et gestio des risques, Vol. 74 (3) Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 0 -
PLANCHET F., JACQUEMIN J. [2003] «Méthodes de simulatio», Bulleti Fraçais d Actuariat, vol. 6,, 3-69. PLANCHET F., JUILLARD M. [2007] «Mesure de l icertitude tedacielle sur la mortalité applicatio à u régime de retes», Assurace et gestio des risques, Vol. 75 (3). PLANCHET F.; JUILLARD M.; THEROND P. [2008] «Perturbatios extrêmes sur la dérive de mortalité aticipée», Assuraces et gestio des risques, à paraître. PLANCHET F., MAGNIN F. [2000] «L egagemet d u régime de retraite supplémetaire à prestatios défiies», Bulleti Fraçais d Actuariat, vol. 4, 7, -28. PLANCHET F., LELIEUR V. [2007] «Costructio de tables de mortalité prospectives : le cas des petites populatios», à paraître das le Bulleti Fraçais d Actuariat, vol. 7, 4. PLANCHET F., THÉROND P.E. [2004a] «Allocatio d actifs d u régime de retes e cours de service», Proceedigs of the 4 th AFIR Colloquium, vol., -34. PLANCHET F., THÉROND P.E. [2004b] «Les pricipes de valorisatio des egagemets sociaux», RF Comptable, 30. PLANCHET F., THEROND P.E. [2005a] «Allocatio d actifs selo le critère de maximisatio des fods propres écoomiques e assurace o-vie : présetatio et mise e œuvre das la réglemetatio fraçaise et das u référetiel de type Solvabilité 2», Proceedigs of the 36 th ASTIN Colloquium. PLANCHET F., THÉROND P.E. [2005b] «Simulatio de trajectoires de processus cotius», Belgia Actuarial Bulleti, vol. 5, -3. PLANCHET F., THEROND P.E. [2005c] «L impact de la prise e compte des sauts boursiers das les problématiques d assurace», Proceedigs of the 5 th AFIR Colloquium. PLANCHET F., THÉROND P.E., JACQUEMIN J. [2005] Modèles fiaciers e assurace. Aalyses de risques dyamiques, Paris : Ecoomica. PLANCHET F., THÉROND P.E. [2006] Modèles de durée applicatios actuarielles, Paris : Ecoomica. PLANCHET F., THÉROND P.E. [2007a] Pilotage techique d'u régime de retes viagères, Paris : Ecoomica. PLANCHET F., THEROND P.E. [2007b] «Provisios techiques et capital de solvabilité d'ue compagie d'assurace : méthodologie d'utilisatio de Value-at-Risk», Assuraces et gestio des risques, Vol. 74 (4). PLANCHET F., THÉROND P.E. [2007c] «Model risk ad determiatio of ecoomic capital i the Solvecy 2 project»,, Proceedigs of the 6 th AFIR Colloquium. PLANCHET F., THÉROND P.E. [2007d] Mesure et gestio des risques d assurace, Paris : Ecoomica. PLANCHET F., THÉROND P.E. [2008] «Expected Shortfall of Claims Evets: Some Practical Aspects», Proceedigs of the 38th ASTIN Colloquium. PLANCHET F., WINTER J. [2006] Les provisios techiques des cotrats de prévoyace collective - détermiatio et pilotage, Paris : Ecoomica. PLANCHET F., WINTER P. [2007] «L'utilisatio des splies bidimesioels pour l estimatio de lois de maitie e arrêt de travail», Bulleti fraçais d actuariat, vol. 7, 3. PORIN M. [997] Comptes redu des etreties de l assurace, FFSA. PRADIER P.C. [2003] «L actuariat au siècle des lumières risque et décisio écoomiques et statistiques», Revue écoomique, Vol. 54, 39-56. Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 02 -
RAMEZANI C.A.; ZENG Y. [998] «Maximum likelihood estimatio of asymmetric jump-diffusio processes: applicatio to security prices». Workig paper. RENSHAW A.E. [99] «Actuarial graduatio practice ad geeralized liear ad o-liear models», Joural of the Istitute of Actuaries, vol. 8, 295 32. REVUZ D., YOR M. [999] Cotiuous Martigales ad Browia Motio, third editio. Berli: Spriger Verlag. RONCALLI T. [998] «La structure par terme des taux zéro : modélisatio et implémetatio umérique», Thèse Uiversité Motesquieu - Bordeaux IV SAPORTA G. [990] Probabilités, aalyse des doées et statistique, Paris : Editios Techip. SCHRAGER D.F. [2004] «Affie Stochastic Mortality», Workig Paper SERANT D. [2005] «Costructio de tables prospectives de mortalité», Documet itere Fédératio Fraçaise des Sociétés d Assurace. SITHOLE T., HABERMAN S., VERRALL R.J. [2000] «A ivestigatio ito parametric models for mortality projectios, with applicatios to immediate auitats ad life office pesioers», Isurace: Mathematics ad Ecoomics, vol. 27, 285 32. SCHRAGER D.F. [2004], «Affie Stochastic Mortality», Workig Paper SOININEN P. [995], «Stochastic variatio of iterest ad mortality», AFIR TAYLOR G. [992] «A bayesia iterpretatio of Whittaker-Hederso graduatio», Isurace: Mathematics ad Ecoomics, vol., 7-6. TENAM E. [2004] Méthodes de Mote-Carlo pour la fiace, Support de cours de l uiversité Paris 7. THÉROND P.E. [2007] Mesure et gestio des risques d assurace : aalyse critique des futurs référetiels prudetiel et d iformatio fiacière, Thèse de doctorat, ISFA Uiversité Lyo. VERON N. [2003] «Normalisatio comptable iteratioale : ue gouverace e deveir», Complémet au rapport du Coseil d Aalyse Ecoomique : Les ormes comptables et le mode post-ero. WALTER C. [994] Les structures du hasard e écoomie : efficiece des marchés, lois stables et processus fractals. Thèse de doctorat, IEP Paris. WILKIE A.D. [995] «More o a stochastic asset model for actuarial use», British Actuarial Joural, vol., 777-964. Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 03 -
Table des illustratios Fig. : Surface de mortalité régulière... 4 Fig. 2 : Evolutio des taux de décès au cours du temps... 5 Fig. 3 : Comparaiso des coefficiets de provisioemet TPG 993 et TGH/TGF 05... 7 Fig. 4 : Surface de mortalité ajustée par Lee-Carter... 20 Fig. 5 : Surface de mortalité de référece du modèle stochastique... 2 Fig. 6 : Simulatio de trajectoires de la tedace... 2 Fig. 7 : «couloir de variatio» de la tedace... 22 Fig. 8 : Distributio empirique de l egagemet... 24 Fig. 9 : Distributio empirique de l egagemet (taille x30)... 25 Fig. 0 : Distributio empirique de l egagemet (taux techique ul)... 26 Les résultats détaillés sot repris ci-après :... 26 Fig. : Evolutio aticipée de l espérace de vie à 60 as... 28 Fig. 2 : Comparaiso des coefficiets de provisioemet TPG 993 et TGH/TGF 05.. 39 Fig. 3 : Evolutio aticipée de l espérace de vie à 60 as... 40 Fig. 4 : Surface de mortalité ajustée (Lee-Carter sur les logits)... 44 Fig. 5 : Comparaiso des estimatios de α x... 45 Fig. 6 : Comparaiso des estimatios de β x... 45 Fig. 7 : Comparaiso des estimatios de k t... 46 Fig. 8 : Comparaiso des estimatios de kt das le modèle cotrait et le modèle o cotrait... 46 Fig. 9 : Surface de mortalité ajustée (Lee-Carter sur les logits)... 47 Fig. 20 : Surface de mortalité ajustée (Lee-Carter sur les logits)... 48 Fig. 2 : Flux de prestatios espérées... 49 Fig. 22 : Ajustemet de la loi log-ormale sur u échatillo mélagé... 59 Fig. 23 : Idetificatio des valeurs extrêmes... 60 Fig. 24 : Calcul du maximum de vraisemblace : idetificatio de m... 6 Fig. 25 : Typologie des différets risques recotrés... 66 Fig. 26 : Estimatio d'u quatile extrême : erreur relative d'estimatio... 70 Fig. 27 : Méthode boostrap e provisioemet o-vie... 73 Fig. 28 : Itervalles de cofiace (VaR à 99,5 %)... 75 Fig. 29 : Itervalles de cofiace (VaR à 75 %)... 76 Fig. 30 : Modèle itere simplifié : idetificatio des valeurs extrêmes... 78 Fig. 3 : Modèle itere simplifié : idetificatio des valeurs extrêmes (probabilités)... 79 Fig. 32 : Redemet jouralier du titre TOTAL : QQ-plot loi empirique vs loi ormale.. 79 Fig. 33 : Redemet jouralier du titre TOTAL : QQ-plot empirique vs modèle de Merto 8 Fig. 34 : Estimatio de l'épaisseur de la queue d'ue distributio de Pareto... 94 Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 04 -
Frédéric PLANCHET Habilitatio à diriger des recherches - 05 -