(2 t) d t. 2 2 Partie B

Anilles Guyne juin 007 EXERCICE 6 poins Commun à ous les cndids Quesion de cours Prérequis : posiivié e linérié de l inégrle. Soien e deu réels d un inervlle I de R els que. Démonrer que si f e g son deu foncions coninues sur I elles que pour ou réel de l inervlle I, f () g (), lors Prie A f ( ) d g( ) d [ e].. Soi un réel supérieur ou égl à. Clculer en foncion de l inégrle. Démonrer que pour ou réel pprenn à l inervlle [ ; + [, on :. 3 3. Déduire de ce qui précède que pour ou réel supérieur ou égl à, on : + ln. Prie B 3 Soi h l foncion définie sur R pr : h() = + Sur le grphique join en nnee, le pln es muni d un repère orhogonl (O ; i, j ) dns lequel on rcé les coures représenives des foncions h e logrihme népérien sur l inervlle [ ; ]. On rcé églemen l droie (d) d équion =... Démonrer que h ( ) d = 0.. Illusrer sur le grphique le résul de l quesion précédene.. On noe (D) le domine du pln délimiéé pr l droie (d) e les coures représenives des foncions h e logrihme népérien sur l inervlle [ ; ]. En uilisn une inégrion pr pries, clculer l ire de (D) en uniés d ire. ( ) d Anilles Guyne juin 007

EXERCICE 5 poins Réservé u cndids n yn ps suivi l enseignemen de spécilié. (O ; u, v ) es un repère orhonorml direc du pln complee. Soi A le poin d ffie + i. Au poin M d ffie z, on ssocie le poin M d ffie z elle que z = ( i ) z + z.. On pose z = +i y e z = + +i y vec, y, e y réels.. Démonrer les égliés suivnes : = ( ) + y e y = ( ) + y. En déduire que le poin M pprien à l droie (OA).. Déerminer l ensemle des poins M du pln els que M =M. c. Démonrer que pour ou poin M du pln les veceurs MM ' e OA son orhogonu. π. Soi r l roion de cenre O e d ngle. M es le poin d ffie z imge de M pr r,mm le poin d ffie z = z,m 3 le poin d ffie z 3 el que le qudrilère OM M 3 M soi un prllélogrmme.. Dns cee quesion uniquemen M pour ffie + i, plcer les poins M, M, M, M 3.. Eprimer z en foncion de z, puis z 3 en foncion de z. c. OM M 3 M es-il un losnge? Jusifier. d. Vérifier que z z = i z 3. En déduire que MM ' = OM 3. 3. Démonrer que les poins M, M, M, M 3 ppriennen à un même cercle de cenre O si e seulemen si Donner lors l mesure en rdins de l ngle géomérique M ' O M. EXERCICE 5 poins (O ; u, v Réservé u cndids yn suivi l enseignemen de spécilié ) es un repère orhonorml direc du pln complee (unié grphique cm). On considère le poin A d'ffie z A = + i. On noe S l symérie orhogonle pr rppor à l'e (O ; u ) e h l'homohéie de cenre O e de rppor 3. On pose s = h S. Prie A. Plcer le poin A e compléer l figure u fur e à mesure.. Quelle es l nure de l rnsformionn s? Jusifier. 3. Déerminer l'écriure complee de l rnsformion s... Déerminer l'ffie z B du poin B imge de A pr s. MM ' = OM.. Monrer que z B = 3 i z A. Déerminer une mesure de l'ngle ( OA, OB ). 5. Soien M le milieu de [AB] e P l'imge de M pr s. Monrer que l droie (OP) es perpendiculire à l droie (AB). Prie B. On pose C = s(b).monrer que P es le milieu de [BC]... Déerminer l'écriure complee de s s e en déduire s nure.. Monrer que l'imge de l droie (OP) pr s es l droie (OM). c. Que représene le poin M pour le ringle OBP? Jusifier. EXERCICE 3 5 poins Commun à ous les cndids L espce es rpporé u repère orhonormé (O ; i, j, k ). On considère les poins A(3 ; 0 ; 6) e I(0 ; 0 ; 6), e l on ppelle (D) l droie pssn pr A e I. On ppelle (P) le pln d équion y + z 6 = 0 e (Q) le pln d équion y z + = 0.. Démonrer que (P) e (Q) son perpendiculires.. Démonrer que l inersecion des plns (P) e (Q) es l droie (D). 3. Démonrer que (P) e (Q) coupen l e (O ; j ) e déerminer les coordonnées des poins B e C, inersecions respecives de (P) e (Q) vec l e (O ; j ).. Démonrer qu une équion du pln (T) pssn pr B e de veceur norml AC es : + y + z = 0. 5. Donner une représenion prmérique de l droie (OA). Démonrer que l droie (OA) e le pln (T) son sécns en un poin H don on déerminer les coordonnées. 6. Que représene le poin H pour le ringle ABC? Jusifier. Anilles Guyne juin 007

EXERCICE poins Commun à ous les cndids Pour chque quesion, une seule des proposiions es ece. Le cndid indiquer sur l copie le numéro e l lere de l quesion insi que l vleur correspondn à l réponse choisie. Aucune jusificion n es demndée. Une réponse ece u quesions e rppore 0,5 poin e à l quesion 3 rppore poin. Une réponse inece enlève 0,5 poin ; l sence de réponse es compée 0 poin. Si le ol es négif, l noe es rmenée à zéro. On s inéresse à deu ypes de pièces élecroniques, P e P, qui enren dns l fricion d une oîe de viesses uomique. Une seule pièce de ype P e une seule pièce de ype P son nécessires pr oîe. L usine se fourni uprès de deu sous-rins e deu seulemen S e S. Le sous-rin S produi 80 % des pièces de ype P e 0 % de pièces de ype P. Le sous-rin S produi 0 % des pièces de ype P e 60 % de pièces de ype P.. Un employé de l usine réuni oues les pièces P e P desinées à êre incorporées dns un cerin nomre de oîes de viesses. Il y donc un de pièces de chque ype. Il ire une pièce u hsrd.. L proilié que ce soi une pièce P es : 0,8 0,5 0, 0, 0,6. L proilié que ce soi une pièce P e qu elle vienne de S es : 0, 0, 0,3 0, 0,5 c. L proilié qu elle vienne de S es : 0, 0, 0,5 0,6 0,8. Il y 00 pièces u ol. Cee fois l employé ire deu pièces simulnémen. On suppose ous les irges équiproles.. Une vleur pprochée à 0 près de l proilié que ce soi deu pièces P es : 0,588 0,87 0,683 0,0095. Une vleur pprochée à 0 près de l proilié que ce soi deu pièces P e P es : 0,5000 0,53 0,505 c. L proilié que ce soien deu pièces friquées pr le même fournisseur es : 357 995 03 99 58 995 3. L durée de vie eprimée en nnées des pièces P e P sui une loi eponenielle don le prmère λ es donné dns le leu suivn : λ P P S 0, 0,5 S 0, 0,5 On rppelle que si X, durée de vie d une pièce eprimée en nnées, sui une loi eponenielle de prmère λ, lors p(x ) = 0 λ e λ d Une vleur pprochée à 0 près de l proilié qu une pièce P friquée pr S dure moins de 5 ns es : 0,3679 0,63 Anilles Guyne juin 007 3

CORRECTION Anilles Guyne juin 007 EXERCICE 6 poins Commun à ous les cndids Quesion de cours Pour ou de [ ; ], f () g() donc f () g() 0 f e g son deu foncions coninues sur un inervlle [ ; ] donc f g es coninue sur [ ; ] donc [ f ( ) g( )] d 0 [ f ( ) g( )] d = f ( ) d g( ) d e [ f ( ) g( )] d 0 donc f ( ) d g( ) d 0 soi f ( ) d g( ) d Prie A. ( ) d 3 = = +. pour ou réel pprenn à l inervlle [ ; + [, on : pour ou réel pprenn à l inervlle [ ; + [, on :. 3. pour ou réel pprenn à l inervlle [ ; + [, on : 3 ou réel supérieur ou égl à, on : + ln. Prie B... h ( ) d = + ( ) ( ) = = donc ( ) 0 donc si lors 3 3 6 3 + = + + = = 6 6 0 6 6 6 6 6 ( ) d d donc pour 3. pour ou réel supérieur ou égl à, on : + ln donc A = ln ( ) d ( ) d ln ( ) d. A = h = u '( ) = lors u( ) = Soi v ( ) = ln lors v '( ) = A = 8 ln 3 u.. donc [ ] [ ln ( ) h( )] d A = ln ( ) d = ln d = ln d Anilles Guyne juin 007

EXERCICE 5 poins Réservé u cndids n yn ps suivi l enseignemen de spécilié... z = i y donc ( z + i z ) = [ + i y + i ( i y)] = ( + y) + i ( + y) donc en idenifin les pries réelles e imginires : = ( ) + y e y = ( ) + y donc = y Le poin M des coordonnées égles donc pprien à l droie d équion y =. O e A ppriennen à cee droie donc M pprien à l droie (OA).. M =M = e y = y = ( ) + y e y = ( ) + y = + y e y = + y y =. L ensemle des poins M du pln els que M = M es l droie (OA). c. MM ' pour coordonnées ( ; y y) soi ( + y ) ; ( y ), MM '. OA = ( + y ) + ( y ) = 0 Pour ou poin M du pln les veceurs MM ' e OA son orhogonu.. Soi r l roion de cenre O e d ngle π. M es le poin d ffie z imge de M pr r,m le poin d ffie z = z,m 3 le poin d ffie z 3 el que le qudrilère OM M 3 M soi un prllélogrmme.. M M 3 M' A M - o M. z = e i π z, donc z = i z ; le qudrilère OM M 3 M es un prllélogrmme donc M M 3 = OM donc z 3 z = z soi z 3 = i z + z c. OM = z = i z = z = OM OM = z = z = OM donc le prllélogrmme OM M 3 M deu côés consécuifs de même longueur, donc es un losnge. d. z z = ( i ) z + z z = ( z + i z ) = i ( i z + z ) = i z 3 donc z z = z 3 donc MM ' = OM. 3. d près l quesion précédene OM = OM = OM donc les poins M, M, M ppriennen à un même cercle de cenre O de ryon OM. M 3 pprien u cercle de cenre O de ryon OM si e seulemen si OM = OM z 3 = z OM = MM (d près l quesion précédene donc les poins M, M, M, M 3 ppriennen à un même cercle de cenre O si e seulemen si MM ' = OM. les veceurs MM ' e OA son orhogonu, le poin M pprien à l droie (OA) donc le ringle OMM es recngle en M. MM ' = OM donc sin M ' O M = MM OM ' = donc l ngle π M ' O M pour mesure. 6 Anilles Guyne juin 007 5

EXERCICE 5 poins Prie A. Réservé u cndids yn suivi l enseignemen de spécilié. s es l composée d'une similiude indirece (S ) pr une similiude direce (h), c'es donc une similiude indirece. 3. S pour écriure complee z z e h pour écriure complee z 3 z. s = h o S donc pour écriure complee z 3 z... z B = 3 z A = 3 ( i) = 3 3 i.. 3 i z A = 3 i ( + i) = 3 i 3 i = 3 3 i = z B. z B π On lors : ( OA, OB ) = rg = rg ( 3 i) ) = + k π (k Z) z A z A + z B 5. M pour ffie z M = = i P pour ffie z P = 3 z M = 3 ( + i) = 6 + 3 i. On OP (6 ; 3) e AB ( ; ), donc OP. AB = 6 + 3 ( ) = 0, donc l droie (OP) es perpendiculire à l droie (AB). Prie B. M es le milieu de [AB], e une similiude conserve les milieu, donc s(m) es le milieu de [s(a)s(b)], soi P es le milieu de [BC]... s o s pour écriure complee : z' 3 3 z = 9 z, donc s o s es donc l'homohéie de cenre O e de rppor 9.. s(o) = O e s(p) = s o s(m) or s o s es une homohéie de cenre O, donc les poins O, M e s( (P) son lignés. L'imge de l droie (OP) pr l similiude s es l droie pssn pr s(o) e s(p) donc pr O e M c'es donc l droie (OM). c. (BM) es perpendiculire à (OP) d'près l quesion A 5 donc M pprien donc à l hueur issue de B dns le ringle OBP. Une similiude conserve l'orhogonlié donc s( ((BM)) es perpendiculire à s((op)). s(b) = C e s(m) = P, e s((op)) = (OM), donc (BP) es perpendiculire à (OM). M pprien à l hueur issue de O dns le ringle OBP. M es donc l'orhocenre du ringle OBP. Anilles Guyne juin 007 6

EXERCICE 3 5 poins Commun à ous les cndids. Le veceur n de coordonnées (0 ; ; ) es un veceur norml à (P). Le veceur n ' de coordonnées (0 ; ; ) es un veceur norml à (Q) e n. n ' = 0 + + ( ) = 0 Les veceurs n e n ' son orhogonu donc les plns (P) e (Q) son perpendiculires.. Les plns (P) e (Q) son perpendiculires donc l inersecion des plns (P) e (Q) es une droie d équions : y + z 6 = 0 y z + = 0 Les coordonnées des poins A e I vérifien ces deu équions donc l inersecion des plns (P) e (Q) es l droie (D). 3. l e (O ; j ) es l ensemle des poins de coordonnées (0 ; y ; 0) vec y réel. L inersecion de l e (O ; y + z 6 = 0 j ) e du pln P es l ensemle des poins els que = 0 soi le poin B de coordonnées z = 0 (0 ; 3 ; 0). L inersecion de l e (O ; y z + = 0 j ) e du pln Q es l ensemle des poins els que = 0 soi le poin C de coordonnées z = 0 (0 ; ; 0).. Le veceur AC pour coordonnées ( 3 ; ; 6) donc le pln (T) pssn pr B e de veceur norml AC es l ensemle des poins M ( ; y ; z) de l espce els que AC. BM = 0 soi 3 (y 3) 6 z = 0 donc : + (y 3) + z = 0 donc une équion du pln (T) pssn pr B e de veceur norml AC es : + y + z = 0. 5. Le veceur OA = 3 pour coordonnées (3 ; 0 ; 6) donc une représenion prmérique de l droie (OA) es y = 0 vec R. z = 6 = 3 Le poin d inersecion de l droie (OA) e le pln (T) vérifie : y = 0 e + y + z = 0. z = 6 donc 3 + = 0 donc = 5 L droie (OA) e le pln (T) son sécns en le poin H de coordonnées ; 0 ; 5 5. 6. Les poins B e H ppriennen u pln (T) qui pour veceur norml AC, donc l droie (BH) es orhogonle à l droie (AC) : le poin H pprien à l hueur issue de B du ringle ABC. Le veceur AH 3 6 pour coordonnées ; 0 ; e le veceur BC pour coordonnées (0 ; 5 ; 0) donc AH. BC = 0, l droie 5 5 (AH) es orhogonle à l droie (BC) : le poin H pprien à l hueur issue de A du ringle ABC donc H es l orhocenre du ringle ABC. Anilles Guyne juin 007 7

EXERCICE poins Commun à ous les cndids 0,8 S 0,5 P 0, S 0,5 S 0, P 0,6 S.. Il y un de pièces de chque ype donc l proilié que ce soi une pièce P es : 0,5. L proilié que ce soi une pièce P e qu elle vienne de S es : p(p S ) = 0,5 0,8 = 0, c. L proilié qu elle vienne de S es : p(p S ) + p(p S ) = 0,5 0,8 + 0,5 0, = 0,6. Il y 00 pièces u ol. Cee fois l employé ire deu pièces simulnémen. On suppose ous les irges équiproles donc 00 le nomre de cs possiles es = 9 900 00. Il y 00 pièces de chque sore donc le nomre de cs fvorles es = 950 donc l proilié que ce soi deu pièces P es : 950 9 900 0,87.. le nomre de cs fvorles es 00 00 donc l proilié que ce soi deu pièces l une P l ure P es : 0 000 9 900 0,505 c. L proilié qu une pièce vienne de S es 0,6 donc il y 00 0,6 = 0 pièces venn de S e 00 0 = 80 pièces venn de S. Le nomre de cs où les deu pièces viennen l une S l ure S es 0 80 = 9 600 cs donc le nomre de cs où les deu pièces 00 viennen du même fournisseur es 9 600 = 0 300. 0 300 03 L proilié que ce soien deu pièces friquées pr le même fournisseur es : =. 9 900 99 3. X sui une loi eponenielle de prmère λ, lors : p(x ) = λ λ e d = 0 e λ = e λ L durée de vie d une pièce P friquée pr S sui une loi eponenielle de prmère λ = 0, donc p(x < 5) = e 5 λ = 0,63. 0 Anilles Guyne juin 007 8