Suites et séries de fonctions

Suites et séries de foctios Eercice 1 Étude de covergece Soit α R et f () = α (1 ) pour [0, 1] 1) Trouver la limite simple des foctios f ) Y a-t-il covergece uiforme? Eercice Étude de covergece O pose f () = (1 ) et g () = si(π) 1) Motrer que la suite (f ) coverge uiformémet vers la foctio ulle sur [0, 1] ) E déduire qu il e est de même pour la suite (g ) (o utilisera la cocavité de si sur [0, π]) Eercice 3 No iterversio limite-itégrale Soit f () = cos si 1) Chercher la limite simple, f, des foctios f ) Vérifier que π/ t=0 f(t) dt lim π/ t=0 f (t) dt Eercice 4 No iterversio limite-itégrale 1) Détermier la limite simple des foctios f : e sur R + et motrer qu il y a covergece! uiforme (o admettra la formule de Stirlig :! e π) + ) Calculer lim t=0 f (t) dt Eercice 5 Étude de covergece [0, + [ R Soit f : (1 /) > 0 1) Détermier la limite simple, f, des foctios f ) Motrer que : R +, 0 f () f() 3) Motrer que (f ) coverge uiformémet vers f sur tout segmet [0, a] 4) Démotrer que la covergece est uiforme sur R + Eercice 6 Étude de covergece Étudier la covergece simple, uiforme, de la suite de foctios : f : (1 + /) Eercice 7 Étude de covergece Soit f () = 1 + Étudier la covergece simple, puis uiforme des f sur R + puis sur [α, + [, pour α > 0 Eercice 8 f(), f(/) Soit f : R + R cotiue, o idetiquemet ulle, telle que f(0) = 0 et f() 0 + O pose f () = f() et g () = f(/) 1) Doer u eemple de foctio f ) Motrer que f et g coverget simplemet vers la foctio ulle, et que la covergece est pas uiforme sur R + 3) Si + t=0 f(t) dt coverge, chercher lim + t=0 f + (t) dt et lim t=0 g (t) dt Eercice 9 Équatio différetielle dépedat d u paramètre Soit y la solutio de l équatio : ( ) (1 + 1 )y ( + 1 )y + y = 0 vérifiat les coditios iitiales : y(0) = 0, y (0) = 1 1) Calculer eplicitemet y ) Détermier la limite simple, y, des foctios y 3) Vérifier que y est solutio de l équatio limite de ( ) avec les mêmes coditios iitiales suitefctte samedi 6 août 016

Eercice 10 f f f Soit f : [ 1, 1] [ 1, 1] ue foctio cotiue vérifiat : 0, f() < O pose f 0 () =, puis f +1 () = f(f ()) Étudier la covergece simple des f Eercice 11 Étude de covergece O pose f 0 (t) = 0, f +1 (t) = t + f (t), pour t 0 1) Détermier la limite simple, l, des foctios f ) Y a-t-il covergece uiforme sur R +? 3) Démotrer que : t > 0, f +1 (t) l(t) f (t) l(t) f +1 (t) 4) E déduire que la suite (f ) coverge uiformémet sur tout itervalle [a, + [, avec a > 0 (remarquer que f l est borée pour 1) Eercice 1 Approimatio de la racie carrée par la méthode de Newto O défiit ue suite de foctios f : R + R + par : f +1 () = 1 (f ()+/f ()), f 0 () = Étudier la covergece simple, puis uiforme des f O pourra cosidérer g () = f () f () + Eercice 13 Approimatio polyomiale de la racie carrée O cosidère la suite (f ) de foctios sur [0, 1] défiie par les relatios : f +1 (t) = f (t) + 1 (t f (t)), f 0 = 0 Étudier la covergece simple, uiforme, des foctios f Eercice 14 Suite ayat deu limites Trouver ue suite de polyômes (P ) covergeat simplemet (resp uiformémet) vers la foctio ulle sur [0, 1] et vers la foctio costate égale à 1 sur [, 3] Remarque : ue telle suite a doc des limites distictes das R[] pour les ormes de la covergece uiforme sur [0, 1] et sur [, 3] Eercice 15 Foctio orthogoale à R[X] Soit f : [a, b] R cotiue telle que pour tout etier k o a b t=a f(t)tk dt = 0 Que peut-o dire de f? Eercice 16 Approimatio de f et f Soit f : [a, b] R de classe C 1 1) Motrer qu il eiste ue suite de polyômes (P ) telle que P coverge uiformémet vers f et P coverge uiformémet vers f ) Si f est C, peut-o trouver ue suite de polyômes (P ) telle que pour tout k la suite (P (k) ) coverge uiformémet vers f (k)? Eercice 17 Limite de f ( ) Soiet f : D R des foctios cotiues covergeat vers ue foctio cotiue f et ( ) ue suite d élémets de D covergeat vers D 1) Si les foctios f coverget uiformémet, motrer que f ( ) f() ) Doer u cotre-eemple lorsqu il y a seulemet covergece simple (avec quad même f et f cotiues) Eercice 18 Composito et covergece Soit f covergeat uiformémet vers f, et g ue foctio uiformémet cotiue g f g f uiformémet Démotrer que Eercice 19 f g Soit f : [a, b] [c, d] et g : [c, d] R des foctios cotiues covergeat uiformémet vers les foctios f et g Motrer que g f coverge uiformémet vers g f suitefctte page

Eercice 0 Limite simple de polyômes de degrés borés Soit p N fié et (P ) ue suite de foctios polyomiales de degrés iférieurs ou égau à p covergeat simplemet vers f sur u itervalle [a, b] 1) Démotrer que f est polyomiale de degré iférieur ou égal à p, et que les coefficiets des P coverget vers ceu de f ) Motrer que la covergece est uiforme Eercice 1 Polyômes à coefficiets etiers, ENS Lyo MP 005 O cosidère f : (1 ) défiie sur [0, 1] 1) Étude de la suite de foctio g, avec g = f = f f ) Soit [a, b] ]0, 1[ et h cotiue sur [a, b] Motrer que h est limite uiforme sur [a, b] d ue suite de polyômes à coefficiets etiers Eercice Théorèmes de Dii Soit (f ) ue suite de foctios umériques cotiues sur [a, b] covergeat simplemet vers ue foctio cotiue f 1) O suppose que chaque foctio f est croissate Motrer qu il y a covergece uiforme ) O suppose qu à fié la suite (f ()) est croissate Motrer qu il y a covergece uiforme Eercice 3 Théorème d Ascoli Soit (f ) ue suite de foctios : [a, b] R covergeat simplemet vers f O suppose que toutes les foctios f sot k-lipchitizees avec le même k 1) Soit (a 0, a 1,, a N ) ue subdivisio régulière de [a, b] O ote M = ma{ f (a i ) f(a i ) tq 0 i N} Ecadrer f f à l aide de M ) Motrer que f coverge uiformémet vers f Eercice 4 Équicotiuité Soit (f ) ue suite de foctios cotiues sur D R covergeat uiformémet vers ue foctio f Motrer que les foctios f sot équi-cotiues c est à dire : D, ε > 0, δ > 0 tq N, y ] δ, + δ[ D, f () f (y) < ε Eercice 5 Limite simple de foctios covees Soit f : [a, b] R des foctios cotiues covees covergeat simplemet vers ue foctio cotiue f Motrer que la covergece est uiforme Eercice 6 Foctio défiie par ue série O pose f() = arccos(cos ) =0! 1) Motrer que f est défiie sur R, cotiue, paire et π-périodique ) Calculer f(0), f(π), f( π ) Eercice 7 Foctio défiie par ue série (Cetrale MP 003) Soit f(a) = =0 sous réserve de covergece (a R) e a 1) Domaie de défiitio de f? ) Limite de f(a) quad a +? 3) Limite de af(a) quad a 0? Eercice 8 Foctio ζ de Riema Soit ζ() = 1 1) Détermier le domaie de défiitio de ζ Motrer que ζ est de classe C sur ce domaie ) Prouver que ζ() 1 (majorer 1 + = par comparaiso à ue itégrale) 3) Prouver que ζ() + 1 + suitefctte page 3

Eercice 9 Foctio ζ de Riema et costate d Euler Soit ζ() = 1 et γ = lim ( 1 1 + + 1 l()) Motrer que γ = 1 + = ( 1 + l ( 1 1 )) puis que γ = 1 k= ζ(k) 1 k Eercice 30 Foctio défiie par ue série 1) Étudier la covergece simple, uiforme, de la série de foctios : f() = =0 e ) Calculer f() lorsque la série coverge (itégrer terme à terme) Eercice 31 Foctio défiie par ue série 1) Étudier la covergece de la série f() = 1 =0 1 + ) Motrer que f est de classe C 1 sur so domaie de défiitio 3) Tracer la courbe représetative de f sur ]1, + [ Eercice 3 Foctio défiie par ue série Soit g() = ( 1) =0! ( + ) 1) Détermier le domaie, D de défiitio de g et prouver que g est de classe C sur D ) Motrer que la quatité : g() g( + 1) est costate sur D 3) Tracer la courbe représetative de g sur ]0, + [ 4) Doer u équivalet de g() e + et e 0 + Eercice 33 Foctio défiie par ue série 1) Établir la covergece simple sur R de la série de foctios : f() = =0 (si ) ch ) Motrer que la covergece est uiforme sur toute partie de la forme R \ [ α, α], α > 0 Que pouvezvous e déduire pour f? Eercice 34 Foctio défiie ( par ue ) série Soit u () = ( 1) l 1 + et f() = (1 + ) u () 1) Motrer que la série f() coverge simplemet sur R + ) Majorer coveablemet le reste de la série, et motrer qu il y a covergece uiforme sur R + 3) Y a-t-il covergece ormale? Eercice 35 Foctio défiie par ue série Soit f() = 1 =0 ( + 1) ( + ) 1) Établir l eistece et la cotiuité de f sur R + ) Calculer f( + 1) e foctio de f() 3) Tracer la courbe de f Eercice 36 Foctio défiie par ue série 1) Étudier la covergece simple, uiforme, de f() = ) Motrer que f est de classe C 1 sur R 3) Chercher ue relatio simple etre f() et f( + 1) 4) Trouver lim + f() Eercice 37 Coversio série-itégrale Motrer, pour > 0 : =0 ( 1) + = 1 t=0 t 1 t + 1 dt =0 (arcta( + ) arcta()) suitefctte page 4

Eercice 38 Foctio Γ Soit f () = (1 + )(1 + /) (1 + /) 1) Étudier la covergece simple des foctios f ) O ote f = lim f Calculer f() e foctio de f( 1) lorsque ces deu quatités eistet 3) Motrer que f est de classe C 1 sur so domaie de défiitio (o calculera f ()/f ()) Eercice 39 Esi Chimie P 93 ( + 1) Étudier la covergece de la suite de foctios défiies par : f () = +1 0 ( t) 1 si t dt Eercice 40 Covergece de f () Soit f C (R) O défiit la suite (f ) N par f = f () (dérivée -ème) O suppose que (f ) 1 coverge uiformémet vers ϕ Que peut-o dire de ϕ? Eercice 41 Esi PC 1999 Soit f () = ( 1) cos + 1 1) Étudier la covergece de f() = =0 f () ) Motrer la covergece de la série de terme gééral u = π/ =0 f () d 3) E déduire =0 u sous forme d ue itégrale Eercice 4 Développemet de coth() 1) Décomposer e élémets simples sur C la fractios ratioelle : F (X) = 1 (1 + X/) 1 ) E déduire pour R : coth = 1 e 1 1 e 1 = 1 + k=1 + k π 3) E déduire la valeur de ζ() Eercice 43 si()/ Pour N et [ 1, 1] o pose u () = si() 1) Motrer que la série u () coverge uiformémet sur [ 1, 1] vers ue foctio cotiue, f ) Justifier la dérivabilité de f sur ] 1, 1[ et calculer f () E déduire f() 3) E déduire la valeur de si Eercice 44 Foctios ζ et η Pour > 1 o pose ζ() = 1 et pour > 0 : η() = ( 1) 1 1) Établir pour > 1 : η() = (1 1 )ζ() E déduire ζ() 1 1 pour 1+ ) Motrer que ζ() = 1 1 + γ + o(1) O remarquera que 1 1 = + t=1 3) E déduire la valeur de ( 1) l Eercice 45 Cetrale MP 000 Pour y R et N, o pose a (y) = cos(y) 1) Détermier le rayo de covergece de la série etière a (y) ) Soit D = {(, y) R, < 1} et F (, y) = + a (y) Motrer que F, F/ et F/ y eistet e tout poit de D Eercice 46 Série lacuaire Soit (p ) ue suite d etiers aturels, strictemet croissate et telle que p / ] 1, 1[ : f() = =0 p Motrer que (1 )f() 1 0 dt t O pose pour suitefctte page 5

Eercice 47 Foctios réciproques (Pugi, MP -001) Soit (f ) ue suite de foctios [a, b] [c, d] cotiues, bijectives, strictemet croissates, covergeat simplemet vers ue foctio f : [a, b] [c, d] elle aussi cotiue, bijective strictemet croissate 1) Motrer qu il y a covergece uiforme (ème thm de Dii, cosidérer ue subdivisio de [a, b]) ) Motrer que les foctios réciproques f 1 coverget simplemet vers ue foctio g et que g = f 1 3) Motrer que (f 1 ) coverge uiformémet vers f 1 Eercice 48 Mies MP 001 Soit (f ) ue suite de foctios cotiues sur le compact K, à valeurs réelles et coverget uiformémet sur K vers la foctio f A-t-o sup f sup f? Eercice 49 Mies MP 001 Pour R + et N, o pose f () = e l 1) Étudier la covergece simple, ormale, uiforme de la série f sur R + ) Motrer que S est de classe C 1 sur R + 3) Motrer que S est pas dérivable à droite e 0 4) Motrer que k S() ted vers 0 e + pour tout k N Eercice 50 Cetrale MP 001 Covergece et limite e 1 de f() = (1 ) =0 1 + Eercice 51 Cetrale MP 001 Soit S(t) = t 1 t 1) Pour quelles valeurs de t, S est-elle défiie? Est-elle cotiue? ) Motrer qu au voisiage de 1 l(1 t) o a S(t) = + O( 1 1 t 1 t e série etière Eercice 5 Cetrale MP 00 O pose ϕ() = d(, Z) = if{ tq Z} 1) Motrer que f : R + =0 ( 3 4 ) ϕ(4 ) est défiie et cotiue ) Motrer que ϕ est lipschitziee Que peut-o e déduire pour f? 3) Motrer que f est dérivable e aucu poit et S() = = f () sous réserve de covergece ) O pourra développer l(1 t) Eercice 53 ENS Lyo-Cacha MP 00 Soi (a ) 1 ue suite complee telle que la série a coverge O pose : f(h) = a si (h) (h) h 0 et f(0) = a Étudier le domaie de défiitio et la cotiuité de f Eercice 54 Cetrale MP 00 Soit f : R R cotiue et π-périodique Pour N, o pose F () = 1 f( + t)f(t) dt t=0 1) Motrer que la suite (F ) coverge vers ue foctio F que l o précisera ) Nature de la covergece? 3) Prouver F = F (0) Eercice 55 Approimatio par des fractios ratioelles Soit f : R R cotiue, ayat même limite fiie l e ± Motrer que f est limite uiforme sur R de fractios ratioelles Eercice 56 Foctio défiie par ue série O pose pour R : f() = ( 1) 1 + 1) Détermier lim f() ) Chercher u équivalet de f() e + si suitefctte page 6

Eercice 57 Recherche d équivalets, Cetrale MP 006 Détermier u équivalet au voisiage de 0 de S 1 () = Eercice 58 Étude de t p 1 si(p) pour ]0, π[, TPE MP 005 1) Calculer S (t) = p=1 tp 1 si(p) puis S(t) = lim S (t) ) Calculer 1 t=0 S (t) dt et 1 3) E déduire que t=0 si S(t) dt coverge et doer sa valeur 1 sh () et S () = 1 sh () Eercice 59 Fractio ratioelle de meilleure approimatio (Es Ulm-Lyo-Cacha MP 003) O ote R l esemble des fractios ratioelles cotiues sur [0, 1] et pour m, N : R m, = {f R tq P, Q R[X] tq deg(p ) m, deg(q) et f = P/Q} 1) R est-il u ev? Si oui e trouver ue base Même questio pour R m, ) Soiet m, fiés O ote d = if{ g f, f R m, } où g désige ue foctio cotiue de [0, 1] das R et h = sup{ h(), [0, 1]} Motrer qu il eiste r 0 R m, tel que g r 0 = d Eercice 60 Dérivatio multiple, ULM-Lyo-Cacha MP 005 1) Soit (f ) ue suite de foctios de classe C 1 sur [a, b] telle que (f ) coverge uiformémet vers g et il eiste 1 tel que (f ( 1 )) coverge Motrer que (f ) coverge uiformémet sur [a, b] vers f telle que f = g ) Soit (f ) ue suite de foctios de classe C p sur [a, b] telle que (f (p) ) coverge uiformémet vers g et il eiste 1,, p disticts tels que (f ( i )) coverge Motrer que (f ) coverge uiformémet sur [a, b] vers f telle que f (p) = g Eercice 61 Epoetielle, Polytechique MP 006 Soiet A, B M (R) Motrer que : ep(a) ep(b) = 1 ep(sa)(a B) ep((1 s)b) ds s=0 Eercice 6 Foctio défiie par ue série, CCP 015 Soiet N et R O pose f () = 1 3 l(1 + ) et S() = f () 1) Motrer que S est défiie sur R ) Motrer que S est de classe C 1 sur R 3) Motrer que S est deu fois dérivable sur ]0, + [ Eercice 63 f() = f() f (), Cetrale 014 O étudie l équatio foctioelle (E) : f() = f() f () 1) Quelles sot les solutios costates sur R? ) Pour h : R R, o pose f() = h() A quelle coditio sur h, f est-elle solutio de (E)? 3) O défiit les foctios h par h 0 () = 1 et h +1 () = h (/) (/)h (/) Pour, y [0, 1] o pose T (y) = y y / a) Motrer que T est 1-lipschitziee sur [0, 1] et T ([0, 1]) [0, 1] b) Motrer que la suite (h ) coverge uiformémet sur [0, 1] c) Motrer que (E) admet ue solutio cotiue o costate sur [0, 1] d) Motrer que (E) admet ue solutio cotiue o costate sur R + Eercice 64 Noyau de Dirichlet, X 014 1) Calculer D () = k=1 si(k) et D () = D () 1 si(), puis motrer que D () 0 pour [0, π] ) Motrer qu il eiste deu costates c 1 et c telles que, c 1 l() π D =0 () d c l() 3) Soit (b ) ue suite de réels positifs telle que k=1 b k coverge Motrer l équivalece etre : (i) g() = k=1 b kd k () est itégrable sur [0, π] (ii) g() = k=1 b D k k () est itégrable sur [0, π] (iii) k=1 b k l(k) coverge suitefctte page 7

Eercice 65 Développemet ( e série de cota, Cetrale MP 011 ) Soit f : lim 1 k= k + 1) Quel est le domaie de défiitio de f? ) Motrer que, pour tout R \ Z a) f( ) = f() b) f( + 1) = f() c) f() = 1 (f( + 1 ) + f()) 3) Motrer que f() π cota(π) admet u prologemet par cotiuité à R etier 4) Motrer que pour tout R \ Z, f() = π cota(π) suitefctte page 8

solutios Eercice 1 ) f = f ( 1 +1 ) eα 1 Eercice 4 ) Itégrale costate = 1 Eercice 5 1) e Eercice 6 CVU sur tout compact par ecadremet du logarithme Eercice 9 1) y = ( + 1)(e e /(+1) ) ) y = e Eercice 10 ( f () ) décroît doc ted vers L O etrait ue sous suite (f ϕ() ) covergeat vers l l = L La sous suite (f ϕ()+1 ) coverge vers f(l) f(l) = L L = 0 Eercice 11 1) l(t) = 1 + 1 + 4t et l(0) = 0 3) Accroissemets fiis Eercice 13 f (t) t par valeurs croisates, il y a covergece uiforme Eercice 14 Prologer e ue foctio cotiue sur [0, 3] et utiliser Stoe-Weierstrass Eercice 19 g (f ()) g(f()) g (f ()) g(f ()) + g(f ()) g(f()) et g est uiformémet cotiue Eercice 0 1) Polyôme de Lagrage Eercice 1 1) Il y a covergece simple vers la foctio ulle e 0 et 1 et égale à 1/ ailleurs La covergece est uiforme sur tout [a, b] ]0, 1[ ) La questio précédete doe le résultat pour 1/, il suffit alors d utiliser le théorème de Weierstrass et les ombres dyadiques Eercice 5 Predre ue subdivisio régulière de [a, b] et ecadrer f par les cordes associées Eercice 6 ) f(0) = 0, f(π) = π sh 1, f( π ) = π (e cos 1) Eercice 7 1) R ) TCM : f(a) 3) CSI : a + 1 Eercice 30 ) f() = e (e 1) π a = =0 e a d f(a) =0 e a d + 1 = π a π + 1 Doc af(a) a 0 + suitefctte page 9

Eercice 3 ) g() g( + 1) = 1 e 3) CSA g < 0 g() +, g() 0 0 + + 4) g() 1/ e 0 + et g() 1/(e) e + Eercice 34 ( ) ) CSA R () u +1 () l 1 + 1 +1 3) No, u = l ( 1 + ) 1 Eercice 35 ) f( + 1) = f() 1 Eercice 36 1) CVU sur tout [a, b] 3) f( + 1) = f() + π arcta 4) f( + 1) f() 1/ doc la suite (f()) diverge et f est croissate lim = + Eercice 37 1 t + 1 = =0 ( 1) t Eercice 38 1) f () ( + 1) = 1 f +1 () + o 3) f () f () γ + k=1 ( ) 1 k(k + ) doc la série l f () est covergete pour tout / N Eercice 39 Poser t = u puis itégrer deu fois par parties : f () = 1 1 u=0 (1 u)+1 si(u) du doc (f ) coverge simplemet vers la foctio costate 1, et la covergece est uiforme sur tout itervalle boré Eercice 41 1) cva si cos < 1, scv si cos = 1, dv si cos = 1 ) TCM e regroupat les termes deu par deu 3) π/ =0 l(1 + cos ) cos d Eercice 4 1) F (X) = 1 e ikπ/ k=0 X + (1 e ikπ/ ) ) F () F ( ) = 1 k=0 4 (1 e ikπ/ ) = 1 k=0 e ikπ/ + si(kπ/) Supposos impair, et regroupos les termes cojugués obteus pour k et k : F () F ( ) = 1 + ( ( 1)/ k=1 e ikπ/ + si(kπ/) + e ikπ/ + si(kπ/) }{{} =u(k,,) 4e ikπ/ O trasforme la somme e série de k = 1 à k = e posat u(k,, ) = 0 si k > ( 1)/, puis o passe à la limite, sous réserve de justificatio, das cette série pour, ce qui doe la formule demadée Justificatio de l iterversio limite-série : e utilisat si(t) t π pour 0 t π o a u(k,, ) covergece ormale par rapport à, à fié + k π = coth() 0 3) k=1 ) 4k pour tout k /, doc il y a 1 est ormalemet covergete sur R, o peut passer à la limite pour suitefctte page 10

Eercice 43 1) Trasformatio( d Abel ) f() = arcta 3) π 1 si 1 cos Eercice 44 ) ζ() 1 1 = ( 1 A fié, 1 +1 t= ζ() 1 1 3) ( 1) l dt t 1 + ) ) dt t +1 t= 1 1 + +1 dt et la covergece est mootoe doc t= ( t 1 ) +1 dt = γ t= t = η (1) = γ l 1 l() Eercice 46 Pour k fié et [0, 1[ o a 0 f() polyôme() + =0 k = polyôme() + 1 1 k(1 ) au voisiage de 1 doc 0 f() k(1 ) pour suffisamet proche de 1 1 k et 1 1 k Eercice 47 ) soit y [c, d] et = f 1 (y) La suite ( ) admet au plus ue valeur d adhérece, = f 1 (y) Eercice 48 Oui : sup f sup f f f Eercice 49 1) Il y a covergece ormale { sur tout itervalle } [a, + [ avec a > 0 Il y a pas covergece ormale au voisiage de 0 car sup e l, 0 = 1 e l atteit pour = 1 et 1 diverge (série de l Bertrad) Par cotre il y a covergece uiforme sur [0, + [ car 0 k= f k () 1 l e k = k= e l (1 e ) sup{t/(1 e t ), t 0} l 3) S() S(0) = = e l 0 + = Eercice 50 Comparaiso série-itégrale, f() 1 l() 1 = + par covergece mootoe l suitefctte page 11

Eercice 51 1) 1 < t < 1 ) Pour 0 t < 1 et o a : t (1 t) 1 t = t 1 + t + + t 1 t = t + t ((1 t) + (1 t ) + + (1 t 1 )) (1 + t + + t 1 ) = t + (t t +1 )(( 1) + ( )t + + t ) (1 + t + + t 1 ) d où 0 (1 t) 1 t t 1 (t t +1 ) t t +1 (vrai aussi si = 1) et e sommat : 0 (1 t)s(t) + l(1 t) 1 Eercice 5 1) La série coverge ormalemet et ϕ est cotiue ) ϕ est 1-lipschitziee, mais o e peut rie e déduire pour f : pour N fié et 0 < h 1 4, o a f(h) f(0) = f(h) 3 h = 3N+1 3h doc f est pas lipschitziee au voisiage de 0 3) D après ce qui précède, le tau d accroissemet de f e 0 est arbitrairemet grad, doc f est pas dérivable e 0 O motre de même que f est pas dérivable e R Eercice 53 O suppose h réel La série coverge localemet ormalemet sur R doc f est défiie sur R et cotiue sur R Cotiuité e 0 : o pose A = k= a k et ϕ(t) = si (t) si t 0, ϕ(0) = 1 (ϕ est C sur R comme somme d ue série etière de rayo ifii) Pour h 0 o a : h f(h) = (A A +1 )ϕ(h) = A 1 ϕ(h)+ A (ϕ(h) ϕ(( 1)h)) = A 1 ϕ(h)+ A = t = t=( 1)h ϕ (t) dt Cette derière série est uiformémet covergete sur R car A 0 et + t=0 ϕ (t) dt est covergete Eercice 54 1) Soit k = /π O a F () = kπ ) uiforme 3) Cauchy-Schwarz π t=0 f( + t)f(t) dt + 1 π f( + t)f(t) dt f( + t)f(t) dt t=kπ t=0 Eercice 55 g = f(ta(/)) est limite uiforme de polyômes trigoométriques suitefctte page 1

Eercice 56 1) CSA : 0 f() 1 1 + ) O a u=0 a = p=0 h : u et f() + Eercice 57 O a + t= f() = doc f() + 0 = = (p + 1) + (p + ) + p=0 p+ p=0 t=p+1 (p+)/ p=0 u=(p+1)/ t (t + ) u (u 3/ du = 1 = a + b avec : + 1) (p+1)/ u u=(p)/ (u + 1) 3/ du et b = p=0 [ ] u (u + 1) 3/ est croissate sur 1 0, 1 dt sh t S 1() e déduit S 1 () l sh + + t= 3/ dt u (u + 1) 3/ du (p+)/ u=(p+1)/ et décroissate sur u (u 3/ du = f() + 1) [ [ 1, + dt sh t et 1 sh t = 1 t + O(t) doc + t= La même méthode e marche pas pour S car le terme résiduel, + t= dt sh (t) Par cotre, o peut remarquer que la série sur R, d où S () ζ() Eercice 58 ( 1) S (t) = I e i t e i(+1) ) ( ) 1 te i I e i 1 te i ) 1 t=0 S (t) dt = p=1 si(p) p 1 t=0 S(t) dt = (t cos = u si ) = ta / u= cot doc a b 3 h, dt = l() + O(1) O sh t sh est pas égligeable devat () sh () = si pour 1 < t < 1 1 t cos + t du 1 + u = π 3) TCD : S (t) si itégrable par rapport à t sur [0, 1] O e déduit p=1 est ormalemet covergete si(p) p = π suitefctte page 13

Eercice 59 1) R est trivialemet u R-ev Le théorème de décompositio e élémets simples doe ue base de R e se limitat au élémets simples ayat pas de pôle das [0, 1] R m, est pas u ev Par eemple 1 X + 1 et 1 X + appartieet à R 0,1 mais pas leur somme ) Soit (f k ) ue suite d élémets de R m, telle que g f k d O ote f k = P k /Q k avec P k R m [X], k Q k R [X] et Q k = 1 O a P k g f k + g doc les suites (P k ) et (Q k ) sot borées das R m [X] et R [X] Quitte à predre ue sous-suite, o se ramèe au cas P k P R m [X] et k Q k Q R [X] avec de plus Q = 1 k Si Q a pas de racie das [0, 1], il eiste α > 0 tel que Q() α pour tout [0, 1], doc Q k () 1 α pour tout [0, 1] et tout k assez grad O e déduit que la suite (P k/q k ) coverge uiformémet vers P/Q sur [0, 1] et que r 0 = P/Q coviet Si Q admet das [0, 1] des racies a 1,, a p de multiplicités α 1,, α p, o ote Q 0 = i (X a i ) αi et Q 1 = Q/Q 0 Soit M = ma{ g f k, k N} Pour tous [0, 1] et k N o a g()q k () P k () M Q k () doc à la limite, g()q() P () M Q() pour tout [0, 1] Ceci implique que Q 0 divise P, o ote P 1 = P/Q 0 Alors pour tout [0, 1] et k N o a g()q 0 () P k ()Q 0 ()/Q k () g f k Q 0 (), d où g()q 0 () P 1 ()Q 0 ()/Q 1 () d Q 0 () et fialemet r 0 = P 1 /Q 1 coviet suitefctte page 14

Eercice 60 ) Soit P le polyôme de Lagrage défii par P ( i ) = f ( i ) et deg P < p Les coordoées de P das la base de Lagrage formet des suites covergetes doc la suite (P ) est uiformémet covergete sur [a, b] Quat à la suite (P (p) ), c est la suite ulle Doc o peut remplacer f par f P das l éocé, ce qui reviet à supposer que f ( i ) = 0 pour tous et i Soit f la foctio défiie par f( i ) = 0 et f (p) = g : f eiste (predre ue primitive p-ème arbitraire de g et lui soustraire u polyôme de Lagrage approprié) et est uique (la différece etre deu solutios est polyomiale de degré < p et s aule e p poits disticts) O remplace maiteat f par f f, et o est rammeé à motrer que : si f ( i ) = 0 pour tous et i et si (f (p) ) coverge uiformémet vers la foctio ulle, alors (f ) coverge uiformémet vers la foctio ulle Ceci résulte du lemme suivat : Il eiste ue foctio ϕ p borée sur [a, b], idépedate de, telle que f () = b t=a ϕ p(, t)f (p) (t) dt Démostratio O écrit la formule de Taylor-itégrale pour f etre et y : f (y) = f () + (y )f () + + (y y )p 1 f (p 1) () + (p 1)! t= (y t) p 1 (p 1)! f (p) (t) dt L itégrale peut être étedue à l itervalle [a, b] sous la forme b t=a u p(, y, t)f (p) (t) dt e posat u p (, y, t) = { (y t) p 1 /(p 1)! si < t < y ; (y t) p 1 /(p 1)! si y < t < ; 0 sio E preat successivemet y = 1,, y =, o obtiet u système liéaire e f (),, f (p 1) () de la forme : f () + ( 1 )f () + + ( 1 ) p 1 f (p 1) () = b (p 1)! t=a u p(, 1, t)f (p) (t) dt f () + ( p )f () + + ( p ) p 1 f (p 1) () = b (p 1)! t=a u p(, p, t)f (p) (t) dt La matrice M de ce système est la matrice de Vadermode de 1,, p, iversible O e déduit, avec les formules de Cramer, ue epressio de f () à l aide des itégrales du secod membre, de la forme voulue Le facteur ϕ p est boré car le déomiateur est det(m) = i<j ( j i ), idépedat de Eercice 61 Développer e séries sous l itégrale, multiplier, permuter avec l itégrale puis simplifier Eercice 6 1) A fié, f () = o(1/,5 ) ) f () = (1 + ) 1 Il y a covergece ormale de f doc o peut dériver terme à terme 3) f () = 1 g() avec g(t) = t doc f 1 + t () = 1 g () Par étude de foctio, g est croissate sur [ 3, + [ de limite ulle e + d où f () 1 g (a) = O(1/ 3 ) pour a > 0 suitefctte page 15

Eercice 63 1) La foctio ulle ) h() = h() h () pour 0 3) a) 0 T (y) = 1 y 1 b) h +1 () h () = T (h (/)) T (h 1 (/)) h (/) h 1 (/) et par récurrece h +1 () h () h 1 (/ ) h 0 (/ ) 1/ +1 : la série télescopique est ormalemet covergete c) Soit h = lim(h ) C est ue foctio cotiue o ulle car h(0) = 1, et qui vérifie ) La foctio f = h() est solutio de (E) sur [0, 1], cotiue o idetiquemet ulle et doc o costate d) O ote f 0 la foctio précédete et o pose pour [0, 1] : f 1 () = f 0 () f 0 (), ce qui défiit f 1 sur [0, ], cotiue, coïcidat avec f 0 sur [0, 1] et solutio de (E) sur [0, ] O défiit de même f sur [0, 4] à partir de f 1, etc et o pose efi pour 0 f() = f () où est choisi tel que Le résultat e déped pas de et f coviet O peut ecore prologer f à R par parité pour obteir ue solutio sur R cotiue et o costate Eercice 64 1) D () = si(/) si(( + 1)/), si(/) D () = cos(/)(1 cos()) si(/) ) π =0 D () d = k+1< 1/k + (0 ou 1)/ et o compare la série à dt/t 3) (i) (ii) par covergece ormale de b k si(k) (ii) (iii) par itégratio terme à terme, cas réel positif Eercice 65 1) D f = R \ Z et f() = 1 + k=1 k ) c) La formule e marche que si est pas etier 3) f() 1/ et π cota(π) 1/ se prologet par cotiuité e 0 (avec des limites ulles), doc la différece aussi Par 1-périodicité, cette différece se prologe par cotiuité à R etier 4) Soit g() = f() π cota(π) pour R \ Z et g() = 0 pour Z : g est cotiue, vérifie la relatio foctioelle g() = 1 (g( + 1 ) + g()) pour R \ 1 Z, et doc aussi pour tout R par cotiuité O e déduit g() = 0 pour 1 Z, puis pour tout Z[ 1 ] et efi pour tout R par desité suitefctte page 16