IUT Osay Msus Physiqus Equatios diffétills du scod od (cas liéai à cofficits costats) A. Picips gééau A-I. La fom d cs équatios t d lus solutios Cous du smst Ells sot touts d la fom a. y '' + b. y ' + c. y d( ) où a, b, c sot ds costats t d( ) u foctio d. L icou st la foctio y supposé du fois déivabl pa appot à la vaiabl. Losqu l scod mmb st ul pou tout, o dia qu l équatio st Sas Scod Mmb (ESSM), sio o dit qu l équatio st Avc Scod Mmb (EASM) L péic acquis pou ls équatios liéais du pmi od coduit au popiétés suivats, qui bi tdu s démott mais qu ous admttos ici :. Ls solutios d l ESSM s compott comm ls vctus d u pla : si y t y sot du solutios, alos α y + β y st u aussi doc si o touv du solutios y t y o coliéais, c st à di o popotiolls, touts ls solutios d l ESSM sot d la fom α y + β y : y α y + β y. Ls solutios d l EASM s obtit touts additioat u solutio qulcoqu (ou paticuliè) d ctt EASM avc la solutio gééal d l ESSM : SG(EASM) SP(EASM) + SG(ESSM). Si l scod mmb st u somm, o put chch ds solutios paticuliès pou chaqu tm d la somm, puis additio cs solutios pou obti u solutio global d l EASM : SP(EASM) SP(EASM ) + SP(EASM ) + SP(EASM ) + A-II. La fom ds solutios d l ESSM O chch ds solutios d la fom pac qu ls équatios du od ot moté qu c était u fom classiqu Si y alos l équatio a. y '' + b. y ' + c. y dvit a + b + c (qu o appll équatio caactéistiqu : EC) t o déduit qu l discimiat d pmt d distigu difféts cas. a + b + c b b + Si >, du solutios élls disticts pou l EC : t. a a Cs du valus d pmttt d obti du foctios o-popotiolls t qui sot solutios d l ESSM doc touts ls solutios d l ESSM sot ds combiaisos liéais d cs solutios : y α + β.. b Si, du solutios élls cofodus pou l EC :. a Puisqu o obtit du fois la mêm valu d o obtit pas du foctios opopotiolls qui sot solutios d l ESSM mais u sul : O ssay alos d utilis comm solutio t o obsv qu c st ffctivmt u solutio. Comm t sot pas popotiolls, touts ls solutios d l ESSM sot ds combiaisos liéais d cs solutios : y α + β ( α + β ).... Pag 79
b jδ b + jδ Si <, du solutios compls disticts pou l EC : t a a où ( jδ ). O maqu qu t sot ds cojugués A-III... O déduit du solutios à valus compls t puis du solutios à valus élls utilisat ls fomuls d Eul :.. b +. δ a y.cos( ) t a.. b. δ a y.si( ) j a E ésumé pou c cas, si o ot p t q spctivmt la pati éll t la pati b δ imagiai d u solutio d l EC (c st à di p t q o a : a a ( α.cos( ) β.si( )) p. y q + q p. c qui put aussi s éci y ( A.cos( B ϕ) ) smst. La fom ds solutios d l EASM + comm o l a vu début d Suivat la fom du scod mmb, ls solutios sot à chch sous u fom ou sous u aut E otat P ( ) t Q ( ) ds polyôms d dgé : a. Scod mmb P ( ) O chch u solutio polyôm adaptat l dgé au scod mmb o éécit l équatio utilisat c polyôm t o idtifi k b. Scod mmb. P ( ) Si k st aci d od λ d l EC ( λ, ou ) o chch u solutio d la fom : λ k y.. Q ( ) Atttio à bi compd ici qu Q ( ) a l mêm dgé qu P ( ) mais qu c st pas l mêm polyôm! c. Scod mmb cos( k). P ( ) ou si( k). P ( ) Si jk st aci d od λ d l EC ( λ ou ), o chch u solutio sous la fom : ( ) λ y. Q ( ).cos( k) + R ( ).si( k) Pouquoi doc ctt fois utilis-t-o jk t o pas k? Pac qu ls cosius t ls sius povit du goupmt d tms d la fom jk si faisait pati ds solutios d l ESSM ou o. A-IV. Coditios à l oigi jk t qu doc c qui compt c st d savoi Pou détmi, pami ls solutios d u équatio diffétill du scod od à cofficits costats, cll qui covit à u poblèm physiqu pécis, o doit utilis du coditios Pa mpl, das l cas udimtai où o coaît la déivé scod d u foctio, si o itèg sas coditio o voit appaaît du costats d itégatio, la pmiè pou la déivé pmiè t la duièm pou la foctio. y '' k do y ' k + C puis y k + C + C Classiqumt ls coditios sot ls valus d y '() t d y ''() c'st-à-di C t C. Pag 8
B. Empls B-I. Résolutio d y" + y ' y ESSM : y" + y ' y do EC : y α. + β. EASM : O chch u solutio polyôm d dgé y 8 Et goupat : SG(EASM) : B-II. Résolutio d y" + y ' y ESSM : y" + y ' y do EC : EASM : O chch u solutio Et goupat : SG(EASM) : y α. + β. 8 ( ). Q y α. + β. y. y α. + β. +. B-III. Résolutio d y" + y ' y ESSM : y" + y ' y do EC : EASM : O chch u solutio ( ). Q Et goupat : SG(EASM) : B-IV. Résolutio d " ' ESSM : y" + y ' y do EC : EASM : O chch u solutio Et goupat : SG(EASM) : + 8 9 7 + 8 9 7 y α. + β. y. + 8 9 7 y α. + β. +. y + y y. ( ). Q y α. + β. y. 7 y α. + β. +. 7 + 8 9 7 Pag 8
B-V. Résolutio d " ' ESSM : y" + y ' y do EC : EASM : O chch u solutio y + y y. Q ( ). y α. + β. 9 y + 8 9 7 Et goupat : SG(EASM) : y α. + β. +. 9 B-VI. Résolutio d y" + y ' y si( ) ESSM : y" + y ' y do EC :. y α. + β. EASM : O chch u solutio.( Q ( ).cos( ) R ( ).si( ) ) A.cos( ) + B.si( ) Et goupat : SG(EASM) : + 8 9 7 + c st à di d la fom 7 y cos( ) si( ) 5 5 7 y α. + β. cos( ) si( ) 5 5 B-VII. Résolutio d y" + y ' y.si( ) ESSM : y" + y ' y do EC : y α. + β. EASM : O chch u solutio.( Q ( ).cos( ) R ( ).si( ) ) ( A + B).cos( ) + ( C + D).si( ) Et goupat : SG(EASM) : B-VIII. Résolutio d y" + y ' + y ESSM : y" + y ' + y do EC : EASM : O chch u solutio + 8 9 7 + c st à di d la fom 5 7 9 y +.cos( ) +.si( ) 5 5 5 65 5 7 9 y α. + β. + +.cos( ) +.si( ) 5 5 5 65 + + d où ; y ( α + β ).. Q ( ). c st à di d la fom A. Et goupat : SG(EASM) : y. 9 y ( α + β ). +. 9 Pag 8
B-IX. Résolutio d y" + y ' + y ESSM : y" + y ' + y do EC : EASM : O chch u solutio + + d où ; y ( α + β ). Q. ( ). c st à di d la fom. Et goupat : SG(EASM) : y ( α + β ). +. y A. B-X. Résolutio d y" + y ' + y ESSM : y" + y ' + y do EC : j + j + + d où ; ; y. α.cos( ) + β.si( ) EASM : O chch u solutio Q( ) c st à di d la fom A + B Et goupat : SG(EASM) : B-XI. Résolutio d " ' ESSM : y" + y ' + y do EC : EASM : O chch u solutio y y. α.cos( ) + β.si( ) + y + y + y j + j + + d où ; ; y. α.cos( ) + β.si( ). Q ( ). c st à di d la fom A. Et goupat : SG(EASM) : y. y. α.cos( ) + β.si( ) +. y"() + + avc y '() B-XII. Résolutio d y" y ' y si( ) ESSM : y" y ' + y do EASM : y" y ' + y do EASM : y" y ' + y do EASM : y" y ' + y si( ) do Pag 8
9 t o goup l tout : y ( + C ) + C cos( ) si( ) C. Coclusio U fois taités cs qulqus mpls, il st clai qu la sul chos à fai pou éussi Msus Physiqus (t pou pd u pu d assuac) c st d appd pa cœu ls difféts cas qu o put cot t d s é-taî co t co. Chacu sait bi qu pou êt u bo piaist, u bo guitaist, u bo violoist il faut s taî psqu tous ls jous. D mêm, pou êt u bo agu, u bo tisma, u bo joglu il faut aussi s taî psqu tous ls jous. Ls mathématiqus, sutout das lu aspct tchiqu échappt pas à ctt ègl d l taîmt : pou êt u bo étudiat mathématiqus à l IUT il faut, comm pou ls auts activités humais s taî, psqu tous ls jous t c st possibl qu si o aim u pu ça. Il st doc tès impotat pou chacu d tst sa motivatio! Sas vouloi ajout, il st ctai qu cu qui évisot u pu avat d tam lu èm smst sot tès avatagés pa appot au auts! Cu qui comptt su u pousuit d étuds doivt bi compd qu ils puvt pas s disps. Quat à cu qui vot commc, qu ils sacht qu c st pas gagé d avac t qu tout c qui sa acquis avat d commc sa u chag d tavail mois. Pag 8