Echatilloage A) Fluctuatio d échatilloage et prise de décisio 1 Itervalle de fluctuatio au seuil de 95% obteu avec la loi biomiale O s'itéresse à u caractère de proportio p das ue populatio doée O cosidère la variable aléatoire X qui, à u échatillo aléatoire de taille de cette populatio, associe le ombre d'idividus de cet échatillo ayat ce caractère et la variable aléatoire F qui, à ce même échatillo, associe la fréquece du caractère étudié das cet échatillo Défiitio : O appelle itervalle de fluctuatio de la fréquece au seuil de 95% tout itervalle [ α ; β ] tel que la probabilité que la fréquece soit das cet itervalle soit supérieure ou égale à 0,95 Exemple : Das u sac coteat des bulbes de tulipe, 60% d'etre eux doerot des tulipes blaches O prélève u échatillo de 24 bulbes Le ombre k de bulbes de tulipe blache das cet échatillo suit la loi biomiale de paramètres = 24 et p = 0, 6 Si o ote X la variable aléatoire «ombre de bulbes de tulipe blache» X suit la même loi biomiale D'après le cours de Première et la table ci-dessous, o peut détermier l'itervalle de fluctuatio de la fréquece au seuil de 95% obteu à l aide de la loi biomiale sur u échatillo de taille 24 U extrait de cette loi de probabilité est doé ci-dessous (les probabilités arrodies à 0,001) : Nombre k 8 9 10 11 12 17 18 19 20 P(X k) 0,008 0,022 0,054 0,114 0,213 0,904 0,960 0,987 0,997 Le plus petit etier a tel que : P ( X a) > 0, 025 est a = 10 Le plus petit etier b tel que : P ( X b) 0, 975 est b = 19 O peut vérifier que : P ( 10 X 19) 0,965 0, 95 Le graphique ci-dessous illustre les valeurs de a et b trouvées : Das u échatillo de taille 24, il y a etre 10 et 19 bulbes de tulipe blache avec ue probabilité égale à 0,965 U itervalle de fluctuatio au seuil de 95 % de la fréquece du ombre de bulbes de tulipe 10 19 blache das u échatillo de taille 24, détermié à l'aide de la loi biomiale, est ; 24 24 M Evao
2 Itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95% Pourquoi u ouvel itervalle de fluctuatio? Afi de détermier u itervalle de fluctuatio au seuil de 95% obteu à l aide de la loi biomiale sur u échatillo de taille, il est écessaire de coaître la table de la loi biomiale correspodate Cette cotraite est d autat plus gêate que les calculs devieet extrêmemet péibles lorsque deviet trop grad (c'est-à-dire quad l itervalle de fluctuatio deviet le plus itéressat!) d où la écessité d u autre itervalle Défiitio : O appelle itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95% de la fréquece p( 1 p) p( 1 p) l itervalle : I = p 1,96 ; p + 1,96 La probabilité que la fréquece soit das cet itervalle peut être raisoablemet approchée 30 par 0,95 quad les critères suivats sot respectés : p 5 ( 1 p) 5 Remarque : O parle ici d itervalle détermiiste, c'est-à-dire o aléatoire, costruit à partir de la proportio p et de la taille de l échatillo, coteat la fréquece, avec ue probabilité d'autat plus proche de 0,95 que la taille de l échatillo est grade 3 Décisio à partir de la fréquece d u échatillo O fait l'hypothèse que la proportio d'u caractère étudié das ue populatio est p L itervalle de fluctuatio asymptotique de la fréquece au seuil de 95% est : p( 1 p) p( 1 p) I = p 1,96 ; p + 1,96 O prélève das la populatio u échatillo de taille sur lequel o calcule la fréquece ervée f du caractère O vérifie que les critères d'approximatio permettat d'utiliser I sot respectés Das ces coditios, la probabilité que la fréquece soit das l'itervalle I est proche de 0,95 Cet itervalle permet alors de fixer des seuils de décisio : la probabilité de rejeter l'hypothèse, alors qu elle est vraie, est proche de 0,05 Propriété : Si la fréquece ervée f 'appartiet pas à l'itervalle I alors la fréquece est trop éloigée de la proportio p : la différece est jugée sigificative O rejette doc l'hypothèse selo laquelle la proportio est p das l'esemble de la populatio avec u risque d'erreur d'eviro 5% Si la fréquece ervée f appartiet à l'itervalle I alors il y a pas de raiso de remettre e cause l'hypothèse selo laquelle la proportio est p das la populatio Attetio : cela e sigifie pas pour autat qu elle est acceptée E effet, l itervalle de fluctuatio permet de rejeter ue hypothèse mais pas de l accepter! Il existe des itervalles d acceptio mais ils e serot pas étudiés e termiale M Evao
Exemple : Fi 2010, le taux de chômage e Frace s élevait, selo l INSEE, à 9,7% de la populatio active U jouraliste a iterrogé 100 persoes au hasard sur u marché de Bergerac 15 sot au chômage Il affirme alors que Bergerac est plus touchée par le chômage O fait l'hypothèse que le taux de chômage à Bergerac est idetique au taux fraçais, c est-à-dire que la proportio de chômeurs est p = 0, 097 100 persoes sot iterrogées au hasard, doc la taille de l échatillo est = 100 O a bie : = 100 30, p = 9,7 5 et ( 1 p) = 90,3 5 Les bores de l itervalle sot : ( 1 p) p p 1 p 1,96 0,039 + 1,96 0,155 I = 0,039 ; 0,155 et f = 0, 15 p et Doc l'itervalle de fluctuatio asymptotique est : [ ] ( ) p f I doc l'hypothèse selo laquelle la proportio est p = 0, 097 das la populatio 'est pas remise e cause La différece est pas suffisammet sigificative pour pouvoir affirmer que Bergerac est plus touchée : la fréquece ervée peut être due à l échatilloage Remarque : Itervalle de fluctuatio au seuil de 95% étudié e 2 de A l aide d ue étude foctio o pourrait aisémet démotrer ( ) p 1 p 1 que : pour tout p de [ 0 ; 1] o a : 1,96 O se trouve doc das la situatio représetée ci-cotre : L itervalle de fluctuatio vu e Secode est ue approximatio de l'itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95% mais il peut être utilisé sous les mêmes coditios Exercice 1 : Efats prématurés Les efats sot dits prématurés lorsque la durée gestatioelle est iférieure ou égale à 259 jours La proportio de ces aissaces est de 6% Des chercheurs suggèret que les femmes ayat eu u travail péible pedat leur grossesse sot plus susceptibles d avoir u efat prématuré que les autres Il est décidé de réaliser ue equête auprès d u échatillo aléatoire de 400 aissaces correspodat à des femmes ayat eu pedat leur grossesse u travail péible Les chercheurs décidet à priori que si la proportio d efats és prématurés das cet échatillo est supérieure à la bore supérieure de l itervalle de fluctuatio asymptotique de la fréquece au seuil de 0,95 alors leur hypothèse sera acceptée Fialemet le ombre d efats prématurés est de 50 1) Détermier la fréquece ervée des efats prématurés das cet échatillo 2) Détermier l'itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil 95% de la fréquece des efats prématurés das u groupe de 400 choisies au hasard 3) Que peut-o dire que l'hypothèse faite par les chercheurs? Exercice 2 : Hypose Ue étude américaie, semble-t-il sérieuse, a émis l hypothèse que la proportio (e pourcetage) de persoes o réceptives à l'hypose est de 22% Lors d'ue émissio télévisée retrasmise e direct, 40 spectateurs présets sur le plateau ot été choisis au hasard par u hypotiseur pour participer à so uméro Malgré de ombreuses tetatives de ce derier, 13 spectateurs restet o réceptifs à cette séace d'hypose e groupe 1) Préciser la fréquece ervée de persoes o réceptives à l'hypose lors de ce uméro 2) Détermier l'itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil 95% de la fréquece ervée de persoes o réceptives à l'hypose das u groupe de 40 choisies au hasard 3) A partir de cette émissio télévisée, peut-o dire que l'hypothèse faite par cette étude américaie semble réaliste? M Evao
Exercice 3 : A l'aide d'u tableur, o a affiché les extrémités (bores iférieure et supérieure) de l'itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil 95% pour différetes valeurs de (taille d'u échatillo extrait de la populatio das laquelle o étudie u certai caractère) 1) Quelle semble être la valeur p de la proportio du caractère étudié das la populatio? 2) Que peut-o dire de l'amplitude de cet itervalle de fluctuatio asymptotique quad la taille des échatillos augmete? B) Estimatio et itervalle de cofiace 1 Estimatio poctuelle Défiitio : Ue estimatio poctuelle d'ue proportio p icoue est la fréquece ervée das u échatillo doé Exemple : Sur 980 coducteurs fraçais iterrogés : 850 sot prêts à utiliser des biocarburats Ue estimatio poctuelle de la proportio p des coducteurs fraçais prêts à utiliser des 850 biocarburats est f Poctuelle = 0, 87 soit eviro 87% 980 2 Itervalle de cofiace au iveau de cofiace 0,95 Défiitio : Sous les coditios d approximatio 30 ; f 5 et ( 1 f ) 5 où f est la fréquece ervée du caractère das u échatillo de taille : l'itervalle 1 1 f ; f + cetré e la fréquece ervée est u itervalle de cofiace de p au iveau de cofiace 0,95 Remarque : Précisio de l estimatio et détermiatio d'ue taille d échatillo suffisate : 2 La logueur de l'itervalle de cofiace, égale à, idique la précisio obteue Fixer ue précisio iférieure à t % permet de détermier la taille miimale de l échatillo M Evao
C) Itervalle de fluctuatio ou itervalle de cofiace : lequel utiliser? 1 Itervalle de fluctuatio O utilise u itervalle de fluctuatio lorsque qu o coaît la proportio p das la populatio ou si l o a ue hypothèse sur sa valeur Exemple : Test de coformité d ue proportio O veut détermier si la proportio ervée das u échatillo est coforme à ue valeur de référece coue das la populatio Sous l hypothèse que l échatillo est issu d u tirage aléatoire correspodat à u schéma de Beroulli (tirage avec remise ou s y apparetat), la variable fréquece appartiet à u itervalle de fluctuatio avec ue probabilité détermiée E foctio de l apparteace ou o de la fréquece ervée à cet itervalle, o peut predre ue décisio cocerat la coformité de l échatillo Si les coditios d utilisatio sot réuies, o détermie l itervalle de fluctuatio asymptotique, sio o a recours à u itervalle de fluctuatio calculé avec la loi biomiale 2 Itervalle de cofiace O utilise u itervalle de cofiace pour estimer ue proportio icoue das ue populatio Exemple : Estimatio d ue proportio icoue p grâce à u échatillo aléatoire O se place das le cas où l échatillo comporte au mois 30 élémets afi de pouvoir utiliser l itervalle de cofiace au programme Si la fréquece ervée f est telle que f 5 et ( 1 f ) 5, o cosidère qu o peut coclure qu u itervalle de cofiace de p au iveau de cofiace 0,95 est f 1 ; f + 1 3 Le tableau suivat récapitule ce qui est au programme de chaque classe du lycée Pour ce qui est de la Termiale ES o predra : 1 α = 0, 95 et u = 1, 96 α M Evao
4 Autres itervalles de cofiace : hors programme Il existe d autres maières de détermier u itervalle de cofiace d ue proportio Das les commetaires du programme, il est sigalé que das d autres champs discipliaires o peut f ( ) ( ) 1 f f 1 f être ameé à utiliser l itervalle : f 1,96 ; f + 1,96 La justificatio de cet itervalle état hors programme, ous e l utiliserot pas cette aée Exercice 4 : Bac ES Polyésie 2015 Les parties A et B sot idépedates Sur ue exploitatio agricole, ue maladie red la coservatio de fruits difficile U orgaisme de recherche e agroomie teste u traitemet sur u champ : sur ue partie du champ, les fruits sot traités, sur l autre, o O cosidère que le ombre de fruits récoltés est extrêmemet grad et que la maladie touche les fruits de maière aléatoire Partie A : Étude de l efficacité du traitemet O prélève au hasard 100 fruits sur la partie du champ traité et 100 fruits sur l autre partie du champ O costate que : sur l échatillo des 100 fruits traités, 18 sot abimés ; sur l échatillo des 100 fruits o traités, 32 sot abimés 1) Détermier u itervalle de cofiace de la proportio de fruits abimés par la maladie au iveau de cofiace de 95% : a) pour la partie du champ traitée ; b) pour la partie du champ o traitée 2) Au vu des itervalles obteus à la questio 1, peut-o cosidérer que le traitemet est efficace? Partie B : Qualité de la productio Ue étude plus poussée permet d estimer la proportio de fruits abimés à 0,12 das la partie du champ traitée et à 0,30 das la partie o traitée O sait de plus qu u quart du champ a été traité Ue fois récoltés, les fruits sot mélagés sas distiguer la partie du champ d où ils provieet O prélève au hasard u fruit récolté das le champ et o ote : T l évèemet : «Le fruit prélevé proviet de la partie traitée» ; A l évèemet : «Le fruit prélevé est abimé» O arrodira les résultats au millième 1) Costruire u arbre podéré traduisat la situatio 2) Calculer la probabilité que le fruit prélevé soit traité et abimé 3) Motrer que : P ( A) = 0, 255 4) U fruit prélevé au hasard das la récolte est abimé, Peut -o affirmer qu il y a ue chace sur quatre pour qu il proviee de la partie du champ traitée? 5) Das le but d effectuer u cotrôle, ciq fruits sot prélevés au hasard das le champ Calculer la probabilité qu au plus u fruit soit abimé M Evao
Exercice 5 : Bac ES Atilles 2013 Les parties A et B sot idépedates Les résultats décimaux serot arrodis au millième pour tout l exercice Partie A : La directio d ue société fabriquat des composats électroiques impose à ses deux sites de productio de respecter les proportios ci-dessous pour l embauche du persoel : 80% de CDI (cotrat à durée idétermiée) 20% de CDD (cotrat à durée détermiée) O doe la compositio du persoel des deux sites das le tableau suivat : 1) Calculer le pourcetage de CDI sur chaque site de productio 2) Pour ue proportio p = 0, 8, détermier les itervalles de fluctuatio asymptotiques au seuil de 95% relatifs aux échatillos de taille, pour = 421 et pour = 68 3) Commet la directio de la société peut-elle iterpréter les itervalles obteus das la questio précédete? Partie B : Das cette partie, o coviet que l o peut utiliser l itervalle de fluctuatio asymptotique lorsque > 30, p > 5 et ( 1 p) > 5, où p désige la proportio das ue populatio, et désige la taille d u échatillo de cette populatio La directio de cette même société tolère 7% de composats défectueux Le resposable d u site de productio souhaite évaluer si sa chaîe de productio respecte cette cotraite de 7% Pour cela, il prélève u échatillo de composats électroiques 1) S il prélève u échatillo de 50 composats, peut-il utiliser l itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95%? Expliquer 2) S il prélève u échatillo de 100 composats, peut-il utiliser l itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95%? Expliquer 3) Le resposable du site de productio prélève u échatillo de taille 100, das lequel 9 composats électroiques s avèret défectueux Commet peut-il iterpréter ce résultat? Exercice 6 : Bac ES Amérique du Nord 2013 3 Das cet exercice, les résultats serot doés à 10 près 1) Ue étude itere à ue grade baque a motré qu o peut estimer que l âge moye d u cliet demadat u crédit immobilier est ue variable aléatoire, otée X qui suit la loi ormale de moyee 40,5 et d écart type 12 a) Calculer la probabilité que le cliet demadeur d u prêt soit d u âge compris etre 30 et 35 as b) Calculer la probabilité que le cliet ait pas demadé u prêt immobilier avat 55 as 2) Das u sloga publicitaire, la baque affirme que 75% des demades de prêts immobiliers sot acceptées Soit F la variable aléatoire qui, à tout échatillo de 1000 demades choisies au hasard et de faço idépedate, associe la fréquece de demades de prêt immobilier acceptées a) Doer u itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95% de la fréquece de prêts acceptés par la baque b) Das ue agece de cette baque, o a ervé que, sur les 1000 derières demades effectuées, 600 demades ot été acceptées Éocer ue règle de décisio permettat de valider ou o le sloga publicitaire de la baque, au iveau de cofiace 95% Que peut-o peser du sloga de la baque? M Evao
Exercice 7 : Bac ES 2013 Cet exercice est u QCM (questioaire à choix multiples) Pour chacue des quatre questios, quatre réposes sot proposées ; ue seule de ces réposes coviet Idiquer sur la copie le uméro de la questio et la lettre de la répose choisie sas justifier le choix effectué Ue boe répose rapporte 1 poit Ue répose fausse, ue répose multiple ou l absece de répose e rapportet i elèvet aucu poit 1) Das ue commue comptat plus de 100 000 habitats, u istitut réalise u sodage auprès de la populatio Sur 100 persoes iterrogées, 55 affirmet être satisfaites de leur maire L itervalle de cofiace au iveau de cofiace 0,95 permettat de coaître la cote de popularité du maire est : a) [ 0,35 ; 0,75] c) [ 0,45 ; 0,65] b) [ 0,40 ; 0,70] d) [ 0,50 ; 0,60] 2) Lors d u sodage avat ue électio, o iterroge 800 persoes (costituat u échatillo représetatif ) 424 d etre elles déclaret qu elles voterot pour le cadidat H Soit p la proportio d électeurs de la populatio qui comptet voter pour H Lequel des itervalles ci-dessous est u itervalle de cofiace au iveau de cofiace de 95% de la proportio p? a) [ 0,46 ; 0,60] c) [ 0,49 ; 0,57] 0,48 ; 0,58 0,51 ; 0,55 b) [ ] d) [ ] Exercice 8 : Bac ES Métropole 2014 Les trois parties de cet exercice peuvet être traitées de faço idépedate Partie A : Chaque jour, Atoie s etraie au billard américai pedat ue durée comprise etre 20 miutes et ue heure O modélise la durée de so etraiemet, e miutes, par ue variable aléatoire X qui suit la loi uiforme sur l itervalle [ 20 ; 60] 1) Calculer la probabilité p pour que l etraiemet dure plus de 30 miutes 2) Calculer l espérace de X Iterpréter ce résultat Partie B : Das cette partie les probabilités serot, si besoi, arrodies au millième Les boules de billard américai avec lesquelles Atoie s etraie sot dites de premier choix si leur diamètre est compris etre 56,75 mm et 57,25 mm ; sio elles sot de secod choix O ote D la variable aléatoire qui, à chaque boule prélevée au hasard das la productio de l etreprise, associe so diamètre, e millimètres O suppose que D suit la loi ormale d espérace 57 et d écart-type 0,11 1) Détermier la probabilité p 1 que la boule prélevée ait u diamètre iférieur à 57 mm 2) Détermier la probabilité p 2 que la boule prélevée soit ue boule de premier choix 3) E déduire la probabilité p3 que la boule prélevée soit ue boule de secod choix Partie C : Le présidet de la fédératio fraçaise de billard (FFB) souhaite estimer le iveau de satisfactio de ses 14 000 liceciés quat à l orgaisatio des tourois Atoie estime que les 80 adhérets de so club costituet u échatillo représetatif des liceciés de la FFB Il est chargé de faire ue étude au sei de so club : les 80 adhérets ot répodu, et 66 ot déclaré qu ils étaiet satisfaits 1) Quelle est, sur cet échatillo, la fréquece ervée f de persoes satisfaites de la FFB? 2) Détermier u itervalle de cofiace au iveau de cofiace 0,95 de la proportio p de liceciés satisfaits de la FFB Les bores de l itervalle serot arrodies au millième M Evao
Exercice 9 : Bac ES Liba 2015 Les trois parties peuvet être traitées idépedammet Les résultats serot arrodis, si 3 écessaire, à 10 Ue etreprise fabrique e grade quatité des médailles circulaires La totalité de la productio est réalisée par deux machies M A et M B La machie M A fourit 40% de la productio totale et M B le reste La machie M A produit 2% de médailles défectueuses et la machie M B produit 3% de médailles défectueuses Partie A : O prélève au hasard ue médaille produite par l etreprise et o cosidère les évèemets suivats : A : «la médaille proviet de la machie M A» ; B : «la médaille proviet de la machie M B» ; D : «la médaille est défectueuse» ; D est l évèemet cotraire de l évèemet D 1) Traduire cette situatio par u arbre podéré 2) Motrer que la probabilité qu ue médaille soit défectueuse est égale à 0,026 3) Calculer la probabilité qu ue médaille soit produite par la machie M A sachat qu elles défectueuse 4) Les médailles produites sot libres par lots de 20 O prélève au hasard u lot de 20 médailles das la productio O suppose que la productio est assez importate pour que l o puisse assimiler ce prélèvemet à u tirage aléatoire avec remise Les tirages sot supposés idépedats O ote X la variable aléatoire preat pour valeur le ombre de médailles défectueuses coteues das ce lot a) Préciser la loi que suit X et doer ses paramètres b) Calculer la probabilité qu il y ait au plus ue médaille défectueuse das ce lot Partie B : Le diamètre exprimé e millimètre, d ue médaille fabriquée par cette etreprise est coforme lorsqu il appartiet à l itervalle [ 74,4 ; 75,6] O ote Y la variable aléatoire qui, à chaque médaille prélevée au hasard das la productio, associe so diamètre e millimètre O suppose que la variable aléatoire Y suit ue loi ormale de moyee µ et d écart-type 0,25 La courbe ci-dessous est la représetatio graphique de la desité de probabilité de Y 1) Idiquer par lecture graphique la valeur de µ 2) Détermier à l aide de la calculatrice la probabilité P ( 74,4 Y 75,6) 3) E utilisat u résultat du cours, détermier la valeur de h pour que P ( 75 h Y 75 + h) 0, 95 Partie C : Das le cadre d u foctioemet correct de la machie M B, o admet que la proportio des médailles ayat ue épaisseur o coforme das la productio est de 3% Pour cotrôler le bo foctioemet de la machie M B, o a prélevé au hasard u échatillo de 180 médailles et o a costaté que 11 médailles ot ue épaisseur o coforme 1) Calculer, das l échatillo prélevé, la fréquece des médailles dot l épaisseur est pas coforme 2) Détermier, e justifiat, si le résultat de la questio précédete red pertiete la prise de décisio d arrêter la productio pour procéder au réglage de la machie M B M Evao
Exercice 10 : Bac ES Polyésie 2013 O s itéresse à ue espèce de poissos présete das deux zoes (zoe 1 et zoe 2) de la plaète Partie A : Etude de la zoe 1 O ote X la variable aléatoire qui à chaque poisso ervé das la zoe 1 associe sa taille e cm Ue étude statistique sur ces poissos de la zoe 1 a motré que la variable aléatoire X suit ue loi ormale de moyee µ et d écart type σ = 30 La courbe de la desité de probabilité associée à X est représetée ci-dessous 1) Par lecture graphique, doer la valeur de µ 2 2) O pêche u de ces poissos das la zoe 1 Doer la probabilité, arrodie à 10, d avoir u poisso dot la taille est comprise etre 150cm et 210cm 3) U poisso de cette espèce de la zoe 1 est cosidéré comme adulte quad il mesure plus de 120cm O pêche u poisso de l espèce cosidérée das la zoe 1 2 Doer la probabilité, arrodie à 10, de pêcher u poisso adulte 4) O cosidère u ombre k strictemet plus grad que la valeur moyee µ Est-il vrai que P ( X < k) < 0, 5? Justifier Partie B : Etude de la zoe 2 1) Certais poissos de la zoe 2 sot atteits d ue maladie O prélève de faço aléatoire u échatillo de 50 poissos de cette espèce das la zoe 2 et o costate que 15 poissos sot malades a) Calculer la fréquece f de poissos malades das l échatillo b) Détermier u itervalle de cofiace, au iveau de 95%, de la proportio p de poissos malades das toute la zoe 2 O arrodira les bores au millième 2) Soit Y la variable aléatoire qui, à chaque poisso de l espèce cosidérée de la zoe 2, associe sa taille e cm O admet que la variable aléatoire Y suit la loi ormale de moyee µ '= 205 et d écart type σ '= 40 E comparat avec le graphique de la zoe 1 doé à la questio 1 qui représete ue loi ormale d écart type σ = 30, dire laquelle des trois courbes ci-dessous représete la desité de probabilité de la variable aléatoire Y Justifier la répose M Evao
Exercice 11 : Bac ES Podichéry 2014 Les parties A, B et C sot idépedates Partie A : Ue société s est itéressée à la probabilité qu u de ses salariés, choisi au hasard, soit abset durat ue semaie doée de l hiver 2014 O a évalué à 0,07 la probabilité qu u salarié ait la grippe ue semaie doée Si le salarié a la grippe, il est alors abset Si le salarié est pas grippé cette semaie là, la probabilité qu il soit abset est estimée à 0,04 O choisit u salarié de la société au hasard et o cosidère les évèemets suivats : G : le salarié a la grippe ue semaie doée ; A : le salarié est abset ue semaie doée 1) Reproduire et compléter l arbre e idiquat les probabilités de chacue des braches 2) Motrer que la probabilité ( A) P de l évèemet A est égale à 0,1072 3) Pour ue semaie doée, calculer la probabilité qu u salarié ait la grippe sachat qu il est abset Doer u résultat arrodi au millième Partie B : O admet que le ombre de jourées d absece auel d u salarié peut être modélisé par ue variable aléatoire X qui suit la loi ormale de moyee µ = 14 et d écart type σ = 3, 5 1) Justifier, e utilisat u résultat du cours, que P ( 7 X 21) 0, 95 2) Calculer la probabilité, arrodie au millième, qu u salarié comptabilise au mois 10 jourées d absece das l aée Partie C : Ue mutuelle déclare que 22% de ses adhérets ot dépassé 20 jourées d absece au travail e 2013 Afi d erver la validité de cette affirmatio, u orgaisme equête sur u échatillo de 200 persoes, choisies au hasard et de faço idépedate, parmi les adhérets de la mutuelle Parmi celles-ci, 28 ot comptabilisé plus de 20 jourées d absece e 2013 Le résultat de l equête remet-il e questio l affirmatio de la mutuelle? Justifier la répose O pourra s aider du calcul d u itervalle de fluctuatio Exercice 12 : Bac ES Amérique du Nord 2015 Cet exercice est u QCM (questioaire à choix multiples) Pour chacue des questios posées, ue seule des quatre réposes est exacte Recopier le uméro de la questio et la répose exacte Aucue justificatio est demadée Ue répose exacte rapporte 1 poit, ue répose fausse ou l absece de répose e rapporte i elève aucu poit Partie A : U idustriel veut lacer sur le marché ue gamme de produits pour les gauchers Il cherche doc à estimer la proportio de gauchers das la populatio fraçaise Ue première étude portat sur u échatillo de 4 000 Fraçais révèle que l o déombre de 484 gauchers 1) U itervalle de cofiace au iveau de cofiace de 0,95 permettat de coaître la 3 proportio de gauchers das la populatio fraçaise est (les bores arrodies à 10 ) : a) [ 0,120 ; 0,122 ] c) [ 0,105 ; 0,137 ] 0,863 ; 0,895 0,090 ; 0,152 b) [ ] d) [ ] M Evao
2) La taille de l échatillo que l o doit choisir afi d obteir u itervalle de cofiace au iveau de cofiace 0,95 ayat ue amplitude de 0,01 est : a) = 15 c) = 200 b) = 10000 d) = 40000 Partie B : Des chercheurs ot coçu u test pour évaluer la rapidité de lecture d élèves de CE2 Ce test cosiste à chroométrer la lecture d ue liste de 20 mots O a fait passer ce test à u très grad ombre d élèves de CE2 O appelle X la variable aléatoire qui doe le temps e secode mis par u élève de CE2 pour passer le test O admet que X suit la loi ormale d espérace µ = 32 et d écart-type σ = 13 3) La probabilité P ( 19 X 45) arrodie au cetième est : a) 0,50 c) 0,84 b) 0,68 d) 0,95 4) O ote t la durée de lecture vérifiat P ( X t) = 0, 9 La valeur de t arrodie à l etier est : a) t = 32s c) t = 49s b) t = 45s d) t = 58s Exercice 13 : Bac ES Asie 2015 Cet exercice est u questioaire à choix multiples (QCM) Pour chacue des questios posées, ue seule des quatre réposes est exacte Idiquer sur la copie le uméro de la questio et recopier la répose choisie Aucue justificatio est demadée Ue répose exacte rapporte 1 poit Ue répose fausse, ue répose multiple ou l absece de répose e rapporte i elève aucu poit 1) O lace ue pièce de moaie bie équilibrée 10 fois de suite X est la variable aléatoire qui compte le ombre de «pile» obteus La probabilité d obteir exactemet 5 «pile» est, arrodie au cetième : a) 0,13 b) 0,19 c) 0,25 d) 0,5 2) X est ue variable aléatoire qui suit la loi ormale de moyee 3 et d écart type 2 alors ue valeur approchée au cetième de la probabilité ( X 5) P est : a) 0,14 c) 0,32 b) 0,16 d) 0,84 3) Das ue ville doée, pour estimer le pourcetage de persoes ayat ue voiture rouge, o effectue u sodage L amplitude de l itervalle de cofiace au seuil de 0,95 état iférieure ou égale à 0,04 la taille de l échatillo choisi est : a) 400 c) 2000 b) 1000 d) 2500 4) Ue etreprise vedat des parquets flottats s approvisioe auprès de deux fourisseurs A et B Le fourisseur A livre 70% du stock de l etreprise O sait que 2% des pièces livrées par A présetet u défaut et 3% des pièces livrées par B présetet u défaut O prélève au hasard ue pièce du stock de l etreprise, quelle est la probabilité, que cette pièce soit sas défaut? a) 0,023 b) 0,05 c) 0,97 d) 0,977 5) Pour ue puissace électrique doée, le tarif réglemeté du kilowattheure est passé de 0,1140 au 01/07/2007 à 0,1372 au 01/07/2014 Cette augmetatio correspod à u taux d évolutio arrodi au cetième, chaque aée, de : a) 1,72% b) 1,67% c) 2,68% d) 1,33% M Evao
Exercice 14 : Bac ES Atilles Guyae 2014 D après ue étude récete il y a 216 762 médecis e Frace métropolitaie parmi lesquels 0,6% pratiquet l ostéopathie et o compte 75 164 kiésithérapeutes parmi lesquels 8,6% pratiquet l ostéopathie Partie A : O choisit ue persoe au hasard parmi les médecis et les kiésithérapeutes O ote les évèemets suivats : M : «la persoe choisie est médeci» ; K : «la persoe choisie est kiésithérapeute» ; O : «la persoe choisie pratique l ostéopathie» O représete la situatio à l aide de l arbre podéré suivat : 1) Reproduire l arbre de probabilité puis le compléter 2) Motrer que la probabilité P ( O) de l évèemet O est égale à 0,0268 3) U patiet viet de suivre ue séace d ostéopathie chez u praticie d ue des deux catégories Détermier la probabilité que le praticie soit u kiésithérapeute Doer le résultat arrodi au cetième Partie B : O ote T la variable aléatoire associat à chaque patiet la durée de visite, emiutes, chez u médeci-ostéopathe O admet que T suit la loi ormale d espérace 30 et d écart-type 10 Das cette partie, les résultats serot arrodis au cetième 1) Détermier la probabilité P ( 20 X 40) 2) Détermier la probabilité qu ue visite dure plus de trois quart d heure Partie C : O rappelle qu e Frace métropolitaie 0,6% des médecis pratiquet l ostéopathie Ue régio compte 47 000 médecis dot 164 médecis-ostéopathes O ote I l itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95% de la fréquece de médecis ostéopathes de la régio 1) Vérifier que les coditios d utilisatio de cet itervalle sot remplies 4 2) Justifier que I = [ 0,0053 ; 0,0067], les bores ayat été arrodies à 10 près 3) Peut-o cosidérer que pour la pratique de l ostéopathie par les médecis, cette régio est représetative, privilégiée ou défavorisée par rapport à la situatio e Frace métropolitaie? Justifier la répose M Evao
Exercice 15 : Bac ES Amérique du Sud 2014 Les deux parties 1 et 2 sot idépedates Les probabilités et les fréqueces demadées serot doées à 0,001 près Das u atelier de cofiserie, ue machie remplit des boîtes de berligots après avoir mélagé différets arômes Partie 1 : O admet que la variable aléatoire X qui, à chaque boîte prélevée au hasard, associe sa masse (e gramme) est ue variable aléatoire dot la loi de probabilité est la loi ormale de paramètres µ = 500 et σ = 9 1) À l aide de la calculatrice, détermier la probabilité que la masse X soit comprise etre 485g et 515g 2) L atelier proposera à la vete les boîtes dot la masse est comprise etre 485g et 515g Détermier le ombre moye de boîtes qui serot proposées à la vete das u échatillo de 500 boîtes prélevées au hasard La productio est suffisammet importate pour assimiler cet échatillo à u tirage aléatoire avec remise 3) À l aide de la calculatrice, détermier la probabilité que la masse X soit supérieure ou égale à 490g 4) À l aide de la calculatrice, détermier à l uité près l etier m tel que P ( X m) = 0, 01 Iterpréter ce résultat Partie 2 : La machie est coçue pour que le mélage de berligots comporte 25% de berligots parfumés à l ais O prélève 400 berligots au hasard das le mélage et o costate que 84 sot parfumés à l ais 1) Détermier u itervalle I de fluctuatio asymptotique au seuil de 95% de la fréquece des berligots parfumés à l ais das u échatillo de 400 berligots 2) Calculer la fréquece f des berligots parfumés à l ais das l échatillo prélevé 3) Détermier si, au seuil de cofiace de 95 %, la machie est correctemet programmée Exercice 16 : Au cours d'ue séace d ervatio astroomique d'ue heure, o a réalisé plusieurs mesures du diamètre apparet d'ue plaète, à l'aide d'u télescope O a obteu les résultats suivats, e secode d'agle : 62 62 62,4 62,66 62,96 62,97 63,01 63,10 63,19 63,28 63,31 63,4 63,51 63,55 et 63,59 Partie A : Etude statistiques 1) Calculer la moyee µ et l écart type σ de cette série Arrodir les résultats à 0,01 près 2) Détermier les quartiles et calculer l écart iterquartile 3) Calculer la fréquece des mesures das l'itervalle : E = [ µ σ ; µ + σ ] 4) Peut-o peser à ue distributio ormale des mesures? Partie B : Loi ormale O effectue u grad ombre de mesures et o cosidère que la variable aléatoire X égale au 2 diamètre apparet de la plaète suit la loi ormale N ( 62,97 ; 0,5041 ) 1) Calculer la probabilité P ( 62,2 X 63,2) 2) Justifier, sas utiliser la calculatrice, que : P ( 62,4659 X 63,4741) 0, 68 Partie C : Itervalle de cofiace Das l esemble de toutes les mesures prises, o ote p la proportio des mesures das l'itervalle E O effectue, cette fois-ci, 40 mesures dot 21 das E 1) Détermier ue estimatio de p par itervalle de cofiace au iveau de cofiace 0,95 2) Combie doit-o faire de mesures pour réduire la logueur de l'itervalle de cofiace de p à 0,1? M Evao
Exercice 17 : Bac ES Liba 2014 U ivestisseur souhaite acheter u appartemet das l objectif est de le louer Pour cela, il s itéresse à la retabilité locative de cet appartemet Les trois parties peuvet être traitées 4 idépedammet Les résultats serot arrodis, si écessaire, à 10 Partie A : O cosidère deux types d appartemet : Les appartemets d ue ou deux pièces otés respectivemet T 1 et T 2 ; Les appartemets de plus de deux pièces Ue étude des dossiers d appartemets loués das u secteur ot motré que : 35% des appartemets loués sot de type T 1 ou T 2 ; 45% des appartemets loués de type T 1 ou T 2 sot retables ; 30% des appartemets loués, qui e sot i de type T 1 i de type T 2, sot retables O choisit u dossier au hasard et o cosidère les évèemets suivats : T : «l appartemet est de type T 1 ou T 2» ; R : «l appartemet loué est retable» ; T est l évèemet cotraire de T et R est l évèemet cotraire de R 1) Traduire cette situatio par u arbre podéré 2) Motrer que la probabilité qu u appartemet loué soit retable est égale à 0,3525 3) Calculer la probabilité que l appartemet soit de type T 1 ou T 2, sachat qu il est retable Partie B : O cosidère X la variable aléatoire égale au ombre d appartemets retables das u échatillo aléatoire de 100 appartemets loués O admet que toutes les coditios sot réuies pour assimiler X à ue variable aléatoire qui suit la loi ormale de moyee µ = 35 et d écart type σ = 5 À l aide de la calculatrice : 1) Calculer P ( 25 X 35) 2) Calculer la probabilité qu au mois 45 appartemets parmi les 100 appartemets loués soiet retables Partie C : L ivestisseur se red das ue agece immobilière pour acheter u appartemet et le louer Le resposable de cette agece lui affirme que 60% des appartemets sot retables Pour vérifier so affirmatio, o a prélevé au hasard 280 dossiers d appartemets loués Parmi ceux-ci, 120 sot retables 1) Détermier la fréquece ervée sur l échatillo prélevé 2) Peut-o valider l affirmatio du resposable de cette agece? Justifier cette répose O pourra s aider du calcul d u itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95% Exercice 18 : Bac ES Nouvelle Calédoie 2013 Les résultats serot doés sous forme décimale, arrodis au dix millième, ou sous forme de pourcetage arrodis à 0,01% 1) Le ledemai d ue épreuve de mathématiques au baccalauréat, o corrige u échatillo de 160 copies choisies au hasard parmi l esemble des copies et o a erve que 78 copies ot obteu ue ote supérieure ou égale à 10 a) Détermier la proportio des copies de l échatillo ayat obteu ue ote supérieure ou égale à 10 b) Détermier u itervalle de cofiace au iveau de cofiace de 95 % de la proportio des copies qui obtiedrot ue ote supérieure ou égale à 10 das l esemble des copies c) Quelle devrait être la taille de l échatillo pour obteir u itervalle de cofiace au iveau de cofiace de 95% d amplitude iférieure à 0,04? M Evao
2) À l issue du premier groupe d épreuves o désige par X la variable aléatoire qui, à u cadidat choisi au hasard parmi l esemble des cadidats, associe sa moyee géérale U correcteur propose de cosidérer que la variable aléatoire X suit ue loi ormale de moyee 10,5 et d écart-type 2 a) Si ce correcteur a raiso, quel itervalle cetré e 10,5 devrait coteir 95% des moyees des cadidats? b) À l aide de la calculatrice ou de la table ci-après, calculer P ( X > 12) c) Lors des délibératios de jury à l issue du premier groupe d épreuves, les cadidats ayat obteu ue moyee supérieure ou égale à 10 sot déclarés admis Il est aussi d usage, par exemple, lorsqu u cadidat a obteu ue moyee iférieure mais très proche de 10 et lorsque le dossier de ce cadidat met e avat la qualité de so travail au cours de l aée, de le déclarer admis et de porter à 10 sa moyee Le graphique figurat e aexe 2 permet de visualiser les otes moyees d eviro 330 000 cadidats à l issue des délibératios des jurys du premier groupe d épreuves du baccalauréat 2001 Commeter la forme du graphique et ses évetuelles irrégularités (Source : Directio de la Programmatio et du Développemet, Miistère de la Jeuesse de l Educatio atioale et de la Recherche, 2002) M Evao