Le théorème du vrel On se propose de démontrer le théorème du vrel de deux manères dfférentes. La premère fat appel à deux "trcks" qu l faut vor. Cette preuve met en avant une quantté, notée S c, qu permet la concluson. Partant de S, l est possble d exhber une autre démonstraton un peu mons calculatore et plus élégante (à mon goût) ; c est ce qu est fat dans la deuxème preuve. Remarque : Certans passages des deux preuves sont dentques. Il nous est dès lors possble de ne pas devor exhber deux fos la démonstraton des mêmes égaltés. Toutefos, j a décdé de fare fgurer l enter des deux preuves afn qu elle pusse être lue ndépendamment l une de l autre. Théorème 1. Sot un système solé de masses ponctuelles. Alors l énerge cnétque moyenne est égale l opposé de la moté de l énerge potentelle moyenne : E cn = 1 E pot. Démonstraton. On écrt r le rayon vecteur de la partcule et m sa masse. Les nteractons étant des nteractons gravtatonnelles, Newton permet d écrre F = j j r r j r r j 3 = m d r. (1) Il nous est perms de multpler cette égalté par r et de sommer sur les partcules. Ce qu donne F r = r (r r j ) r r j 3 = m r d r. () En remarquant que les ndces de la double somme sont muets, on peut Danel FARQUET EPFL - Physque
écrre r (r r j ) r r j 3 = ( r (r r j ) r r j 3 + r ) j(r j r ) r j r 3 = r r r j + r j r r j 3 = (r r j ) r r j 3 = L égalté () peut mantenant s écrre r r j. (3) 1 r r j = m r d r. (4) Mas on peut obtenr une relaton permettant de smplfer cette dernère équaton : d r = d ( ) dr d ( ) r r = r + dr, (5) et donc L équaton (4) devent alors 1 d r r = 1 d ( ) r dr. (6) r r j = 1 ( d ( ) d ) m r r. (7) En écrvant cette égalté de manère légèrement dfférente, on vot apparaître des quanttés connues. En effet, 1 + ( ) dr m = 1 d m r r j r = 1 ( ) d m r (8) } {{ } } {{ } } {{ } E cn I E pot où l on a écrt I le moment d nerte. Posons S la dérvée du moment d nerte, ce qu s écrt S = 1 di = p r (9) Danel FARQUET EPFL - Physque
3 où les p sont les quanttés de mouvement. L équaton (8) devent alors E pot + E cn = (10) L dée est mantenant de procéder à une moyenne temporelle sur un temps quelconque. Evaluons tout d abord l effet d une telle moyenne sur la dérvée de S. Par défnton de la moyenne, on a = 1 0 = S() S(0) (11) Le système étant parfatement solé, aucune masse ne peut s en échapper. De plus, seules les nteractons gravtatonnelles sont prses en compte c (pas de chocs). Ans, la dérvée du moment d nerte dot rester bornée. On trouve donc lm = lm S() S(0) lm S max S mn = 0 (1) Fnalement, on vot que pour des temps assez long, on peut écrre que 0. (13) En prenant mantenant la moyenne de l équaton (10) pour des temps assez long, on trouve que E pot + E cn = = 0, (14) ce qu prouve le théorème du vrel. Démonstraton. Posons la foncton S comme étant la moté de la dérvée du moment d nerte, S = 1 di = p r. (15) Montrons que la moyenne de la dérvée S est nulle pour des temps assez long. Par défnton de la moyenne, on a = 1 0 = S() S(0) (16) Le système étant parfatement solé, aucune masse ne peut s en échapper. De plus, seules les nteractons gravtatonnelles sont prses en compte c Danel FARQUET EPFL - Physque
4 (pas de chocs). Ans, la dérvée du moment d nerte dot rester bornée. On trouve donc lm = lm S() S(0) lm S max S mn = 0 (17) Fnalement, on vot que pour des temps assez long, on peut écrre que 0. (18) La dérvée de S peut mantenant être explctée. On trouve = dp r + p v = F r + E cn. (19) En prenant la moyenne temporelle de cette équaton (on ne précsera plus pour des temps assez long), l vent E cn = 1 F r. (0) Seules les nteractons gravtatonnelles étant prse en compte c, on peut explcter la somme : r (r r j ) F r = r (r r j ) r r j 3. (1) En remarquant que les ndces de la double somme sont muets, on peut écrre ( r (r r j ) r r j 3 + r ) j(r j r ) r j r 3 r r j 3 = = r r r j + r j r r j 3 = (r r j ) r r j 3 = Cette dernère égalté permet d écrre que F r = 1 r r j. () r r j = E pot (3) Danel FARQUET EPFL - Physque
5 L équaton (0) permet alors de conclure que Ce qu prouve le théorème du vrel. E cn = 1 E pot. (4) Danel FARQUET EPFL - Physque