Chpitre 6 Suites et séries de fonctions Semine 1 : Etude des prgrphes 1 et 2. Fire les exercices d pprentissge 6.1 6.10. Semine 2 : Etude du prgrphe 3. Fire les exercices d pprofondissement 6.11 6.24. 1. Définitions 1.1. Rppels 1.1.1. Définition. Soient X un ensemble, (E, d) un espce métrique et (f n ) n une suite de fonctions de X dns E. On dit que (f n ) n converge simplement (sur X) vers f : X E si et seulement si, pour tout x X, l suite (f n (x)) n converge vers f(x), en d utres termes si et seulement si ε > 0, x X, N N, n N, d(f n (x), f(x)) < ε. On dit que (f n ) n converge uniformément (sur X) vers f : X E si et seulement si ε > 0, N N, x X, n N, d(f n (x), f(x)) < ε. 1.1.2. Remrque. - Il est importnt de sisir complètement l différence entre ces deux notions. Étnt donné ε > 0, l vleur de N pour lquelle d(f n (x), f(x)) < ε pour tout n N dépend de x pour l convergence simple, et ne dépend ps de x pour l convergence uniforme. - L convergence uniforme entrîne l convergence simple. - Lorsque les fonctions (f n ) sont à vrible et à vleurs réelles, un moyen de se représenter l convergence uniforme de (f n ) vers f est de dire que, pour tout ε > 0, il existe un rng à prtir duquel le grphe de f n est coincé entre le grphe de f ε et f + ε.
156 Chpitre 6. 1.2. Critère de Cuchy uniforme. 1.2.1. Proposition. Une suite de fonctions d un ensemble X vers un espce métrique complet (E, d) converge uniformément sur X si et seulement si ε > 0, N N, p N, q N, x X, d(f p (x), f q (x)) < ε. Preuve. Exercice 6.2. 1.3. Crctéristion de l convergence uniforme sur l espce des fonctions. 1.3.1. Définition. Soit X un ensemble et E un espce vectoriel normé. On note B(X, E) l espce vectoriel des pplictions bornées de X dns E, et pour tout f B(X, E), l norme f = sup f(x). x E 1.3.2. Proposition. Une suite (f n ) de fonctions bornées de X dns E converge uniformément vers f : X E si et seulement si f n f 0 qund n +. Si E est un espce de Bnch, lors B(X, E) est ussi un espce de Bnch. Preuve. Exercice 6.3. 1.4. Séries de fonctions, convergence normle. Comme pour les séries numériques, une série de fonctions g n est définie comme étnt l suite de fonctions (f n ) vec f n = g 0 + +g n. On v introduire l notion de convergence normle qui est en fit une notion prtique à vérifier et qui entrîne l convergence uniforme. 1.4.1. Définition. Soient X un ensemble et E un espce de Bnch. On dit qu une série de fonctions g n à termes dns B(X, E) converge normlement si l série g n converge. 1.4.2. Théorème. Une série de fonctions g n à vleurs dns un espce de Bnch qui converge normlement sur un ensemble X converge uniformément sur X. Preuve. Exercice 6.5. 1.4.3. Remrque. De même qu il existe des séries convergentes mis non bsolument convergentes, il existe des séries de fonctions uniformément convergentes qui ne sont ps normlement convergentes. Nous en verrons un exemple dns l exercice 6.18.
Suites et séries de fonctions. 157 2. Propriétés des suites de fonctions 2.1. Continuité de l fonction limite. 2.1.1. Théorème. Soient (E, d) et (E, d ) deux espces métriques et (f n ) une suite de fonctions de E dns E. Si (f n ) n converge uniformément sur E vers f : E F et si toutes les fonctions f n sont continues en x 0 E, lors f est continue en x 0. Preuve. Exercice 6.6. 2.2. Intégrtion d une suite de fonctions 2.2.1. Théorème. Soit (f n ) n une suite de fonctions continues de [, b] dns K qui converge uniformément vers f sur [, b]. Alors, f est continue et b b f(t) dt = lim f n (t)dt. n + Plus générlement, l fonction F : [, b] K qui à x ssocie x de l suite de fonction F n : [, b] K définie pr F n (x) = x f(t)dt est limite uniforme f n(t)dt. Preuve. Exercice 6.7. 2.2.2. Corollire (Interversion des signes de sommtion. Si g n est une série de fonctions continues d un segment [, b] de R dns K qui converge normlement sur [, b], lors ( b ) ( b ) g n (t) dt = g n (t)dt. Preuve. Exercice 6.8. 2.3. Dérivbilité et dérivée de l fonction limite 2.3.1. Théorème. Soit (f n ) une suite de fonctions de clsse C 1 de [, b] dns un espce de Bnch E. On suppose que i. Il existe x 0 [, b] tel que l suite (f n (x 0 )) n converge ; ii. l suite de fonctions (f n ) converge uniformément sur [, b] vers une fonction g. Alors (f n ) converge uniformément vers une fonction f de clsse C 1 et vérifint f = g. Preuve. Exercice 6.9. 2.3.2. Corollire. Une suite de fonctions (f n ) n de clsses C p telle que pour tout k = 0, 1..., p, (f n (k) ) n converge uniformément vers une fonction g k, converge uniformément vers une fonction f de clsse C p qui vérifie f (k) = g k pour k = 0, 1..., p. Preuve. Exercice 6.10.
158 Chpitre 6. 3. Théorèmes de Weierstrß et de Stone Weierstrß. 3.1. Théorème de Weierstrß. Le théorème suivnt, obtenu pr Weierstrß, stupéfi ses contemporins : 3.1.1.Théorème. Toute fonction continue f : [, b] C est limite uniforme d une suite de polynômes sur [, b]. Nous verrons une preuve dns l exercice 6.24 bsée sur les polynômes de Bernstein. Il existe un résultt nlogue pour les fonctions continues périodiques (préliminire ux séries de Fourier) : 3.1.2. Théorème. Toute fonction continue et 2π périodique de R dns C est limite uniforme sur R d une suite de polynômes trigonométriques. On rppelle qu un polynôme trigonométrique est une fonction de l forme x N n= N c n e inx, c n C. Ces deux résultts sont une conséquence du résultt plus fort, démontré dns le prgrphe suivnt, et qui est le théorème de Stone Weierstrß. 3.2. Théorème de Stone Weierstrß. Nous llons ici étblir plusieurs théorèmes qui nous montreront que si une fmille de fonctions continues sur un espce compct est ssez riche et est stble pr certines opértions, elle permet d pproximer uniformément toute fonction continue sur l espce compct. Soit (E, d) un espce métrique compct, C(E, R) l lgèbre des pplictions continues de E dns R, munie de l topologie de l convergence uniforme. 3.2.1. Définition. On dit qu une prtie A de C(E, R) est réticulée si pour tous f, g A, les fonctions sup(f, g) et inf(f, g) pprtiennent ussi à A. 3.2.2. Lemme. Soit A une prtie réticulée de C(E, R). Dire qu une fonction f C(X, R) pprtient à l fermeture A de A équivut à dire que, x, y E, ε > 0, g A, f(x) g(x) < ε et f(y) g(y) < ε. Pour bien mrquer que cette fonction g dépend de x et de y, on l noter g x,y. Preuve. Soit ε > 0. Avec l nottion doptée, on : f(x) g x,y (x) < ε et f(y) g x,y (y) < ε.
Suites et séries de fonctions. 159 Posons ω x,y = {z : g x,y (z) < f(z) + ε}. Comme l fonction (g x,y f) est continue, l ensemble ω x,y est ouvert et il contient y. Donc, pour tout x fixé, les ω x,y constituent un recouvrement ouvert de X ; on peut extrire de ce recouvrement un recouvrement fini (ω x,yi ). Posons g x = inf i (g x,yi ). On g x < f + ε dns E : en effet, si y E, lors il existe i I tel que y ω x,yi, et donc g x (y) g x,yi (y) < f(y) + ε. On ussi g x (x) > f(x) ε : en effet, pour tout i, g x,yi > f(x) ε, et donc comme les g x,yi sont en nombre fini, on obtient que g x (x) > f(x) ε. Posons ω x = {z, g x (z) > f(z) ε}. L fonction g x est continue. En effet, g x est le minimum d un nombre fini de fonctions continues, et ce minimum est donc une fonction continue cr le minimum de deux fonctions continues est une fonction continue (inf(f, g) = 1 2 (f +g f g )). Comme l fonction g x f est continue, l ensemble ω x est ouvert et il contient x. Les ω x constituent donc un recouvrement ouvert de E, on peut donc en extrire un recouvrement fini ω xj. Posons g = sup j g xj. On g A, et g < f + ε cr g x < f + ε dns E. On ussi g > f ε dns E. En effet, si x E, il existe i tel que x ω xi et donc g(x) g xi (x) > f(x) ε. On donc bien trouvé une fonction g A qui pproxime f à ε près. 3.2.3. Exemple. Soit E un intervlle [, b] de R et soit A l ensemble des fonctions continues f sur E qui sont ffines pr morceux (c est-à-dire qu il existe un recouvrement fini de E pr des intervlles dns chcun desquels f est ffine). Cet ensemble A est évidemment réticulé, et pour tous x, y il existe des f A qui prennent en x et y des vleurs données quelconques. Donc A = C(E, R). 3.2.4. Lemme. Toute sous-lgèbre fermée A de C(E, R) est réticulée. Preuve. En vertu des reltions : sup(f, g) = 1 [(f + g) + f g ] 2 inf(f, g) = 1 [(f + g) f g ], 2 il suffit de montrer que si f A, on ussi f A. On v montrer pour cel que f est limite uniforme de polynômes en f de l forme n 1 pf p. Quitte à diviser f pr f, on peut supposer que f 1. D près l exercice 6.22, l fonction t est limite uniforme sur [0, 1] d une suite de polynômes P n (t) et donc et donc ε > 0, n 0 N, n N, n n 0 sup t P n (t) ε t [0,1] ε > 0, n 0 N, n N, n n 0 sup f P n (f 2 ) ε, ce qui prouve le lemme 3.2.4.
160 Chpitre 6. 3.2.5. Définition. Soit A un ensemble d pplictions d un ensemble E dns un ensemble F. On dit que A sépre les points de E si pour tous x, y E vec x y, il existe f A telle que f(x) f(y). Pr exemple, si E est un espce métrique, C(E, R) sépre les points de E puisque, si, b E vec b, l fonction continue x d(, x) sépre et b. Nous pouvons mintennt énoncer le théorème fondmentl cherché : 3.2.6. Théorème de Stone Weierstrß. Soit A une sous-lgèbre de C(E, R) telle que : i. A sépre les points de X ii. pour tout x E, il existe f A telle que f(x) 0. Alors A = C(E, R). Preuve. montrons tout d bord que pour tous x, y E vec x y et pour tous sclires α, β, il existe f A vec f(x) = α et f(y) = β. il suffit évidemment de le montrer pour A : S il existe g A vec g(x) g(y) et g(x), g(y) 0, on poser f = 1 g + 2 g 2. L existence de sclires 1, 2 tels que f(x) = α et f(y) = β se trduit pr l condition : g(x)g 2 (y) g(y)g 2 (x) = g(x)g(y)(g(y) g(x)) 0 qui est vérifiée pr hypothèse. Or il existe un tel g; cr il existe g 1 tel que g 1 (x) g 1 (y) ; si g 1 (x) et g 1 (y) 0, on prend g = g 1, si pr contre g 1 (x) = 0 pr exemple, il existe g 2 tel que g 2 (x) 0 et on prend g = g 1 + εg 2 vec ε 0 ssez petit pour qu on it encore g(x) g(y) et g(y) 0. A étnt une lgèbre, A est ussi une lgèbre, cr si f, g A, vec f = limf n, g = limg n vec f n, g n A, on : f + g = lim(f n + g n ), λf = limλf n, fg = limf n g n, donc (f + g), λf et fg pprtiennent ussi à A. Il reste à vérifier que si A est une sous-lgèbre de C(X, R) qui vérifie les conditions i. et ii. du théorème 3.2.6, lors A = C(X, R). Tout d bord, A est fermée donc réticulée d près le lemme 3.2.4. Soit f C(X, R). Pour montrer que f A, il suffit d près le lemme 3.2.2. de montrer que, pour tout ε > 0 et pour tous x, y E, il existe g A telle que f(x) g(x) < ε et f(y) g(y) < ε. Or d près ce qu on vu précédemment, il existe g A tel que g(x) = f(x) et g(y) = f(y). On donc f A. 3.2.7. Remrques. 1. Il est commode dns les pplictions de formuler insi ce théorème : Si une fmille (f i ) d éléments de C(E, R) sépre les points de E et si les f i ne s nnulent ps tous en un même point de E, toute fonction f C(E, R) est limite uniforme de polynômes (sns terme constnt) pr rpport ux f i.
Suites et séries de fonctions. 161 2. Si A contient les constntes, l condition ii. du théorème 3.2.6 est stisfite. 3.2.8. Corollire. Soit A une sous-lgèbre sur le corps C de C(E, C) telle que i. A sépre les points de E. ii. Pour tout x E, il existe f A telle que f(x) 0. iii. Pour tout f A, on ussi f A (où f désigne l conjuguée de f). Alors A = C(E, C). Preuve. En effet, l sous-lgèbre A r sur R des fonctions à vleurs réelles de A vérifie les conditions i. et ii. du théorème 3.2.6 cr si f sépre x et y, il en est de même de Re f ou de Im f (qui pprtiennent à A cr Re f = 1 2 (f + f) et Im f = 1 2i (f f)). Et si f(x) 0, il en est de même pour Re f(x) ou Im f(x). Donc A r = C(E, R) et donc A r + ia r = C(X, C). 3.2.9. Remrque. L condition iii. de ce corollire est essentielle. Prenons en effet pour E le disque unité de C, et soit A l ensemble des polynômes de l vrible complexe z. L lgèbre A vérifie les conditions i., ii. mis ps iii. On vérifie que A C(E, C) : si f A, lors f(0) = 1 2π f(e it )dt. 2π 0 En prticulier, cette identité est vlble quel que soit f A. Cependnt, cette églité n est ps vlble quel que soit f C(E, C). Si, pr exemple f(z) = z, cette identité est fusse. Exercices. Exercices d pprentissge. Exercice 6.1. Montrez que l suite de fonctions f n : [0, 1[ R qui à x ssocie x n converge simplement vers 0 sur [0, 1[, mis ps uniformément. Montrez que, pr contre, elle converge uniformément vers 0 sur tout intervlle de l forme [0, ] vec < 1. Ce phénomène est cournt. Les intervlles où il y convergence uniforme sont souvent différents de ceux où il y convergence simple. Exercice 6.2. Montrez l proposition 1.2.1. Exercice 6.3. Montrez l proposition 1.3.2. Exercice 6.4. Montrez que l série de fonctions g n définie pr g n : [0, 1] R qui à x ssocie x n /n 2 converge normlement sur [0, 1] Exercice 6.5. Montrez le théorème 1.4.2. Exercice 6.6. Montrez le théorème 2.1.1.
162 Chpitre 6. Exercice 6.7. Montrez le théorème 2.2.1. Exercice 6.8. Montrez le corollire 2.2.2. Exercice 6.9. Montrez le théorème 2.3.1. Exercice 6.10. Montrez le corollire 2.3.2. Exercices d pprofondissement. Exercice 6.11. Etudier l convergence simple et l convergence uniforme des fonctions définies sur [0, 1] pr f n (x) = x n, g n (x) = (1 x)x n, h n (x) = n(1 x)x n et k n (x) = cos ( π 2 xn) sin ( π 2 xn). A défut de convergence uniforme sur [0, 1], étudier celle ci sur [0, ], < 1. Exercice 6.12. 1. Montrer que l suite de fonctions f n : R + R définie pr f n (x) = ( 1 x n) n si x [0, n], f n (x) = 0 si x > n converge uniformément sur R + vers f : x e x. 2. Montrer que l suite de fonctions (f n ) définie pr f n : C C, z ( 1 + z n) n converge uniformément sur tout compct de C vers z e z. Exercice 6.13. Etudier l convergence sur [0, π] de l suite de fonctions f n (x) = nxe nx sin x. Exercice 6.14. 1. Soit (E, d) un espce métrique. Soit f C([, b], E) et (f n ) une suite de fonctions de C([, b], E). On suppose que f n converge uniformément sur ], b[ vers f. Montrer que f n converge uniformément sur [, b]. Si E est complet, montrer que c est vri sns supposer f continue. 2. Soit P n une suite de polynômes de degrés m convergent simplement vers f sur R. Montrez que f est un polynôme de degré inférieur ou égl à m. Est-ce vri si on retire l hypothèse portnt sur le degré des polynômes? Exercice 6.15. Montrez que sur R n [X], l topologie de l convergence simple et uniforme coïncident sur [0, 1]. Exercice 6.16. Théorèmes de Dini. 1. Soit (f n ) une suite croissnte de fonctions réelles continues et définies sur un segment I = [, b] de R. Montrer que si (f n ) converge simplement vers une fonction f continue sur I lors l convergence est uniforme. On pourr considérer {x [, b], 0 f(x) f n (x) < ε.}. Est-ce vri si on supprime l hypothèse de continuité portnt sur f? 2. Soit (f n ) une suite de fonctions croissntes réelles, continues et définies sur un segment I = [, b] de R. Si (f n ) converge simplement vers une fonction f continue sur I, montrer que l convergence est uniforme. Est-ce vri si on supprime l hypothèse
Suites et séries de fonctions. 163 de continuité portnt sur f? On pourr considérer une subdivision de [, b] de ps suffismment petit et utiliser l croissnce des f n. Exercice 6.17. Version fible du théorème d Ascoli. Soit (f n ) une suite de fonctions M lipschitziennes de [, b] dns R où M est indépendnt de n. Montrez que si l suite de fonctions (f n ) converge simplement vers f, lors l convergence est uniforme. On pourr risonner comme dns l question 2 de l exercice précédent. Exercice 6.18. Pour tout n N, on définit l ppliction u n : R + R x x n 2 + x 2. 1. Montrer que l série de fonctions u n converge simplement sur R + vers une fonction continue f mis que l convergence n est ps uniforme sur R +. 2. Montrer que l série de fonctions ( 1) n u n converge uniformément sur R + tout entier, mis que l convergence n est ps normle sur R +. Exercice 6.19. Soit (f n ) une suite de fonctions réelles C 1 convergent simplement vers f sur [, b]. On suppose de plus que les moyennes de Césro de f n convergent uniformément vers une fonction g. Montrer que f est dérivble de dérivée g. Exercice 6.20.Théorèmes d pproximtions clssiques. 1. Soit X une prtie compcte de R n. Montrez que toute fonction f C(X, C) est limite uniforme d une suite de polynômes à n vribles et à coefficients complexes. 2. Montrez que toute fonction f C(R, C) 2π périodique est limite uniforme d une suite de polynômes trigonométriques n n pe ipt. 3. Soient X et Y deux espces métriques compcts. Montrez que tout fonction f C(X Y, C) est limite uniforme de fonctions de l forme f(x, y) = g i (x)h i (y), i=1 vec g i C(X, C) et h i C(Y, C). 4. Montrez que toute fonction f continue sur [1, + [ et ynt une limite finie est limite uniforme d une suite de fonctions de l forme n p=0 pe pt. Exercice 6.21. Prolongement d pplictions continues. On se propose de montrer que si Y est une prtie fermée d un espce métrique compct X, lors toute fonction f C(Y, R) est l restriction à Y d un élément de C(X, R). 1. Montrez que, pour tout ε > 0, il existe f ε C(X, R) telle que f f ε < ε sur Y. 2. Posons g ε = sup(α, inf(β, f ε )) où α et β désignent les bornes inférieures et supérieures de f sur Y. Montrez que g ε les mêmes bornes que f et vérifie f g ε < ε sur Y. On ppeller régulrisée d ordre ε de f l fonction g ε insi construite, et on l noter f ε. 3. On définit pr récurrence l suite h n C(X, R) telle que ( h 1 = f 1 2 ; h n = ) n 1 f h k k=1 1 2 n
164 Chpitre 6. vec les nottions précédentes. Montrez que Conclure. f(y) h k (y) 1 sur Y h 2 n n 1 sur X pourn > 1. 2 n 1 k=1 Exercice 6.22. Soit P n (t) l suite de polynômes définie pr l reltion de récurrence : P n+1 (t) = P n (t) + 1 2 ( t P 2 n (t) ) et P 1 (t) = 0. Montrez que l suite (P n ) converge uniformément vers t sur [0, 1]. Exercice 6.23. Soit E un espce compct et soit f 1,...f n une fmille d éléments de C(X, R) qui sépre les points de E. Montrez que E est homéomorphe à une prtie de R n. Exercice 6.24. Polynômes de Bernstein. Soit f une ppliction continue de [0, 1] dns C. pour tout entier n 1, on définit le polynôme B n de degré n pr : B n (x) = Cnf k où les C k n sont les coefficients du binôme. 1. Clculer les polynômes ( ) k x k (1 x) n k n kcnx k k y n k et k(k 1)Cnx k k y n k. 2. On pose r k (x) = C k n xk (1 x) n k. Clculer les polynômes r k (x), kr k (x), k(k 1)r k (x). En déduire l églité : (k nx) 2 r k (x) = nx(1 x). 3. En déduire que l suite de polynômes B n converge uniformément vers f sur [0, 1].
Corrigé des exercices d pprentissge. Suites et séries de fonctions. 165 Exercice 6.1. Pour tout x [0, 1[, lim n f n (x) = 0. Cependnt sup [0,1[ f n = 1 donc (f n ) converge simplement vers 0 mis ps uniformément vers 0. Pr contre, sup [0,] f n = n tend vers 0 donc il y convergence uniforme de (f n ) vers 0 sur tout intervlle de l forme [0, ]. Exercice 6.2. On renvoie u théorème 2.3 du chpitre 2. Exercice 6.3. On renvoie à l proposition 1.1.8 du chpitre 3. Exercice 6.4. g n = 1 n 2. Comme 1 n 2 converge, g n converge normlement. Exercice 6.5. En effet, il suffit de montrer que l suite ( N g n l norme. Or, si M > N, lors N g n M g n qui tend vers 0 qund N et M tendent vers +. M n=n+1 g n Exercice 6.6. On renvoie u théorème 2.4 du chpitre 2. ) N est de Cuchy pour Exercice 6.7. Il suffit de montrer que l suite de fonctions (F n ) converge uniformément vers F sur [, b]. Or, pour x [, b], donc x b (f(t) f n (t))dt f f n dt = (b ) f f n, sup F n F (b ) f f n 0. [,b] n + Exercice 6.8. L suite de fonctions (G N ) N définie pr G N = N g n converge uniformément vers G = + g n. Donc b b G(t)dt = lim G N (t) = lim N + N + N ( b ) g n (t)dt = + ( b ) g n (t)dt Exercice 6.9. Il suffit d écrire f n (x) = x x 0 f n (t)dt+f n(x 0 ). D près le théorème 2.2.1, l suite f n (x) converge uniformément sur [, b] vers f(x) = x x 0 g(t)dt + f(x 0 ) ce qui montre que g est C 1 et que f = g.
166 Chpitre 6. Exercice 6.10. Se montre pr récurrence sur p. On renvoie à l solution de l exercice 3.12 du chpitre 3. Indictions pour les exercices d pprofondissement. Exercice 6.14. 2. Soient (x 0,..., x m ) des points distincts. On définit l fmille de polynomes L i (X) = j i (X x j) j i (x i x j ) pour i = 0,..., m (Polynômes d interpoltion de Lgrnge). Ces polynômes vérifient L i (x j ) = 0 si i j et L i (x i ) = 1. Montrez que pour tout polynôme P de degré inférieur ou égl à m, on P(X) = m P(x i )L i (X). i=0