Sceces.ch EXERCICES DE TOPOLOGIE Serveur d'exercces /22
Sceces.ch EXERCICE.. Auteur : Rube Rcchuto (09.08.04, rube@sceces.ch) Mots Clés :Théorème de Bare et cardal de Éocé : Doer ue preuve topologque du fat que 'est pas déombrable e utlsat le théorème de Bare rappelé c-dessous. Théorème (Bare): S X est u espace métrque complet ou localemet compact, alors pour toute sute de fermés F d'téreurs vde ( F = ) ous avos : F =. Soluto : est complet (de fat l est auss localemet compact) ous pouvos doc utlser le théorème de Bare. Supposos déombrable, = { x0, x,...}. Nous avos = { x } et les sgletos sot fermés et d'téreur vde doc par Bare = ce qu est absurde. Serveur d'exercces 2/22
Sceces.ch EXERCICE 2. Auteur : Rube Rcchuto (09.08.04, rube@sceces.ch) Mots Clés : de Zarsk sur Éocé : Das, ous cosdèros la famlle { A A }. Démotrer que T est ue topologe (de Zarsk). T = \ est f { }. 2. Démotrer que tout ouvert de (, T ) est u ouvert de mu de la topologe usuelle. 3. Démotrer que (, T ) 'est pas métrsable (l 'exste pas de dstace sur qu dut la topologe T ). Solutos :., T. S UV, { A \ Aest f} alors \( U V) = \ U \ V est f doc U V T. S ( U ) est ue famlle d'élémets de { A \ A est f} alors I \ U = \ U est f, doc U T. Cec prouve que T est ue topologe sur. I I 2. S U { A \ A est f} I alors \ U est f doc fermé das mu de la topologe usuelle. 3. Par sute U est ouvert. (, T ) 'est pas métrsable car deux ouverts o-vdes s'tersectet toujours. Serveur d'exercces 3/22
Sceces.ch EXERCICE 3. Auteur : Rube Rcchuto (09.08.04, rube@sceces.ch) Mots Clés : compacte-ouverte Éocé : Sot X, Y deux espaces topologques. Nous défssos CO( X, Y ) comme état l'esemble des applcatos cotues de X Y. S K est u compact de X et O u ouvert de Y o ote [ K, O ] l'esemble des applcatos cotues f : X Y telles que f( K) O. Nous mussos CO( X, Y ) de la topologe egedrée par les [ K, O ] appelée "compacte-ouverte".. Vérfer que s g: Y Z est ue applcato cotue alors CO( X, g): CO( X, Y ) CO( X, Z) défe par ϕ g ϕ est cotue. 2. Démotrer que s X est compact et Y u espace métrque alors la topologe de CO( X, Y ) est la topologe de la covergece uforme. Soluto :. Pour motrer que CO( X, g ) est cotue, l sufft de prouver que l'mage récproque d'u ouvert du type [ K, O ] de CO( X, Z ) est u ouvert de CO( X, Y ). Or ( O ) = { ϕ ϕ O } = { ϕ ϕ O } CO( X, g) [ K, ] CO( X, Y ) g [ K, ] CO( X, Y ) g [ ( K), ] = [ Kg, ( O )]. 2. Nous rappelos que la topologe de la covergece uforme est dute par la dstace δ défe par f, g CO( X, Y), δ ( f, g) = sup { d( f( x), g( x)) x X} où d est la dstace sur Y. Le fat que X sot compact ous assure que sup { d( f( x), g( x)) x X} <+. Pour répodre à la questo, l sufft de motrer que pour tout compact K de X et pour tout ouvert O de Y, [ K, O ] est u ouvert de ( CO( X, Y ), δ ) et que récproquemet toute boule B ouverte de ( CO( X, Y ), ) δ est ouverte pour la topologe compacte-ouverte. Sot f [ K, O ]. f ( K ) est compact et coteu das O. Notos f ( K ) r l'esemble des pots y de Y tels que f { d( y, y ) y f( K) } r. Il exste ε > 0 tel que f( K) ε O. E effet, O état ouvert, pour tout y f( K) l exste r y > 0 tel que Byr (, y) O (où B( yr, y) est la boule ouverte de rayo r y cetrée e y). f ( K ) état compact, l exste u ombre f y,..., y de pots de f ( K ) tels que { r } l exste { } f( K) B( y, r /2). Posos =.. ε = m y / 2 =.., s y f( K) ε alors l exste y f( K) tel que d( y, y ) ε et j.. tel que y B( y, r / 2). Doc j y j d( y, y ) d( y, y ) + d( y, y ) < ε + r /2 r et par sute y O car By (, r ) O. j j y y j j y j y j Serveur d'exercces 4/22
Sceces.ch As f( K) ε O. Pour fr, B( f, ε ) [ K, O ] car g Bf (, ε ) δ( f, g) < ε x Xd, ( f( x), gx ( )) < ε x Kgx, ( ) f( K) ε O g [ K, O ]. Doc [ K, O ] est u ouvert de ( CO( X, Y ), δ ). Motros à préset que toute boule B ouverte de ( CO( X, Y ), δ ) est ouverte pour la topologe compacteouverte. Sot f B, alors l exste u r > 0 tel que B( f, r] B où B( f, r ] est la boule fermée de rayo r cetrée e f. Pour tout x X, otos B = B ( f( x), r/3) Y et Kx = f ( Bx) ( K x est compact). Pour tout x X, x f ( B x ) et doc X = f ( B ). Les f ( B x ) état ouverts, par compacté de X o e dédut, x X = x X = f ( B ). Posos U = [ Kx, Ox ] où O x = B( f( x), r/ 2). U est u ouvert de x = la topologe compacte-ouverte et f U car f( K ) B O. De plus s h U et x x x x X, l exste u j tel que x f ( B x ) et par sute hx O ( ) j x doc j dhx ( ( ), f( x)) dhx ( ( ), f( x)) + d( f( x), f( x)) r/2 + r/3< r. Cec etraîe que j j δ ( h, f) r c'est-à-dre f U B( f, r] B. Par coséquet, B est u ouvert de la topologe compacte-ouverte. x d Serveur d'exercces 5/22
Sceces.ch EXERCICE 4. Auteur : Rube Rcchuto (09.08.04, rube@sceces.ch) Mots Clés : Sutes et applcatos cotues Éocé : Sot ( X, d),( Y, δ ) deux espaces métrques et f : X Y ue applcato.. Démotrer que f est cotue sur X ss pour tout pot x X et toute sute ( x ) covergeat vers x o a lm f ( x ) = f( x). 2. O se propose de démotrer que la proprété ) 'est plus vérfée das des espaces topologques quelcoques. Das o cosdère la famlle suvate T = { U \ U est f ou déombrable} { }. Motrer que T est ue topologe. Sot d : (, T ) (, topologe usuelle). Motrer que s x x das (, T ) alors d( x) d( x) das (, topologe usuelle) mas que d 'est pas cotue. Solutos :. S f est cotue pour ε > 0 l exste η > 0 tel que d( x, x) η δ( f( x ), f( x)) ε par sute l exste N > 0 tel que N δ ( f( x ), f( x)) ε ce qu veut dre que f ( x ) coverge vers f ( x ). Récproquemet sot x X et supposos que pour toute sute ( x ) covergeat vers x o at lm f ( x ) = f( x). S f 'est pas cotue e x, l exste u ε > 0 tel que pour tout η > 0 l exste u pot x X vérfat d( x, x) η et δ( f( x ), f( x)) > ε. As o peut costrure ue sute ( x) tedat vers x pour laquelle, δ ( f( x ), f( x)) > ε (fare tedre η vers 0) ce qu est ue cotradcto. 2. O cosdère la famlle = { U \ U est f ou déombrable} { } T. O vérfe mmédatemet que T est ue topologe. Sot x et ( x ) ue sute covergeat vers x das (, T ) E: = x, \{ x}. E est f ou vde car so. Sot { } \ E est u ouvert de (, T ) coteat x et par sute, à partr d'u certa o aurat x \ E ce qu est absurde. As ( x ) est ue sute statoare et doc coverge vers x das (, topologe usuelle). Nous veos de motrer que d( x) d( x) das (, topologe usuelle). Il est facle de vor que d 'est pas cotue. E effet ]0, + [ est u ouvert das (, topologe usuelle) mas pas das (, T ). Serveur d'exercces 6/22
Sceces.ch EXERCICE 5. Auteur : Rube Rcchuto (09.08.04, rube@sceces.ch) Mots Clés : Dstaces Éocé :. Sot f : + + ue focto satsfasat: x, y +, f( x) = 0 x= 0, x y f( x) f( y) et f( x+ y) f( x) + f( y). Motrer que s d est ue dstace sur u esemble X alors f d est auss ue dstace sur X. Vérfer de plus que ces dstaces sot équvaletes s f est cotue e 0, c'est-à-dre qu'elles duset la même topologe. x y 2. Motrer que x y et + x y dstace usuelle. défsset des dstaces sur équvaletes à la Soluto :. Prouvos que f d est ue dstace: f ( d( x, y)) = 0 d( x, y) = 0 x = y. La symétre est évdete. Prouvos l'égalté tragulare. f ( d( x, z)) f( d( x, y) + d( y, z)) f( d( x, y)) + f( d( y, z)). f d est doc ue dstace sur X. Supposos f cotue e 0. Sot O u ouvert de ( X, d ) et sot x O. Il exste par hypothèse ue boule ouverte de rayo r Bd ( xr, ) telle que Bd ( x, r) O. O a Bf d( x, f( r)) Bd( x, r) O. Ce qu prouve que O est ouvert das ( X, f d). Récproquemet s O est u ouvert de ( X, f d) alors l exste ue boule ouverte Bf d( x, r) O pour x O. f cotue e 0 etraîe: δ > 0 tel que d( x, y) < δ f( d( x, y)) < r. Doc Bd( x, δ ) Bf d( x, r) O et O est u ouvert de ( X, d ). x 2. Il sufft de predre f ( x) = x, f( x) = et de vérfer les codtos de. Les + x deux premères sot évdetes, vérfos la derère. 2 x + y x+ y+ 2 x y = ( x + y) x+ y x + y. x+ y x y +... xy ( x+ y) 2xy et cette derère égalté est + x+ y + x + y évdete car xy, 0. Serveur d'exercces 7/22
Sceces.ch EXERCICE 6. Auteur : Rube Rcchuto (09.08.04, rube@sceces.ch) Mots Clés : Complétude et varace topologque Éocé : Cet exercce se propose de motrer que la oto d'espace métrque complet 'est pas topologque. Plus précsémet, deux espaces métrques homéomorphes e sot pas toujours smultaémet complets ou o complets. O cosdère l'espace X = ]0, + [. O mut X des dstaces d( x, y) = x y et δ ( x, y) = l( x) l( y). Démotrer que ( X, d ) et ( X, δ ) sot homéomorphes, que ( X, δ ) est complet et que ( X, d ) e l'est pas. Soluto : l : X est ue sométre surjectve (d'verse exp : X ) etre ( X, δ ) et (, d). E effet d(l x,l y) = l x l y = δ ( x, y). Les espaces ( X, δ ) et (, d) sot doc homéomorphes. De plus, état doé que (, d) est homéomorphe à ( X, d ) (predre exp : (, d) ( X, d) ), ( X, δ ) est homéomorphe à ( X, d ). ( X, d ) 'est pas complet car la sute (/ ) \{0} ted vers 0 das (, d) et par coséquet est de Cauchy das (, d), ce qu etraîe qu'elle est auss de Cauchy das l'espace dut ( X, d ), mas e coverge pas das cet espace. Motros que ( X, δ ) est complet. Sot ( x ) ue sute de Cauchy das ( X, δ ). O a ε > 0, N, tel que, m N δ( x, xm) ε c'est-à-dre l x l xm ε. As l x est ue sute de Cauchy das (, d) et par sute elle coverge vers y, lm l x = y. ( x) coverge vers y e das (, ) X δ e effet δ ( x, e ) = lx y 0. y Serveur d'exercces 8/22
Sceces.ch EXERCICE 7. Auteur : Rube Rcchuto (09.08.04, rube@sceces.ch) Mots Clés : Sous-groupes addtfs de Éocé :. Motrer que s G est u sous-groupe addtf de alors ou be G est dese ou G = ξ = ξ. be l exste ξ tel que { } 2. Dédure de. que s G { m, m } est dese ss α β /. = α + β = α + β avec α β 0 alors G 3. Sous quelle codto portat sur θ et π le groupe multplcatf G = exp( θ ) est dese das S? { } 4. Dédure de 3. que { s( ) } est dese das [,]. 5. Sot f : Soluto : X cotue (où X est u espace topologque). Motrer que { } G: = T x, f( x+ T) = f( x) est u sous-groupe de (, + ). Que peut-o dre de f lorsque X est séparé et G est dese? ξ = >. Nous avos deux possbltés, ou be ξ = 0 ou be ξ > 0. Das le premer cas G est dese das, e effet sot y et ε > 0. Il exste x G, x> 0 tel que x ε et doc y x < ε pour u certa. Comme x G. Sot f { x G x 0} o a y G (où G est l'adhérece de G). S ξ > 0 alors ξ G autremet l exste ue sute strctemet décrossate ( x ) d'élémets de G qu ted vers ξ et la dfférece x x+ G\{0} ted vers zéro, doc ξ = f { x G x > 0} = 0 ce qu est ue cotradcto. Sot à préset y G, l exste u eter et u ombre réel r [0, ξ[ tel que y = ξ + r. Mas r = y ξ G doc par mmalté de ξ o a r = 0 et y ξ G = ξ. =. As { } 2. S G 'est pas dese alors l exste ξ \{0} tel que G = ξ. Par sute, l exste α deux eters o uls m, tels que α = ξ et β = m ξ. Doc β = m. α p Récproquemet s = avec pq, deux eters premers etre eux alors, β q Serveur d'exercces 9/22
Sceces.ch α p β α + m β = β + m β m ( p qm) β = + = +. Etat doé que q q β p + qm, m =, o a G = et G 'est pas dese. q { } 3. Cosdéros le morphsme de groupes topologques ϕ : S, t exp( t). G est dese das S ss ϕ ( G) est dese das (découle du fat que ϕ est surjectve et ouverte). Or ϕ ( G) = θ + 2π doc par le pot 2. G est dese das S ss θ /2π /. 4. Cosdéros la projecto sur l'axe des ordoées { exp( ) } { } G = est dese das pg ( ) = s( ) est dese das [,]. p: S [,]. Par 3. S (car π est rratoel) doc 5. Il est évdet que G = { T x, f( x+ T) = f( x) } est u sous-groupe addtf de. f est costate sur G e effet, pour tout T, T2 G, f ( T+ T2) = f( T) = f( T2). S G est dese das alors f ( G ) est dese das f ( ), mas état doé que f ( G ) est u sgleto et que X est séparé o e dédut que f ( ) = f( G) et doc que f est costate. Serveur d'exercces 0/22
Sceces.ch EXERCICE 8. Auteur : Rube Rcchuto (09.08.04, rube@sceces.ch) Mots Clés : Applcatos cotues Éocé : Soet X, Y,... Y des espaces topologques et f : X Y... Y ue applcato. Notos p : Y... Y Y, la -ème projecto. Motrer que f est cotue ss p f est cotue pour tout. Soluto : Les p sot des applcatos cotues. Par sute s f est cotue p f l'est auss. Récproquemet, s les p f sot cotues alors pour O... O ouvert de Y... Y, ( ) = ( ) ( ) f O... O p f ( O )... p f ( O ) est u ouvert. Par sute, pour tout ouvert O de Y... Y, f ( O ) est u ouvert de X. Serveur d'exercces /22
Sceces.ch EXERCICE 9. Auteur : Rube Rcchuto (09.08.04, rube@sceces.ch) Mots Clés : Sutes, systèmes fodametaux de vosages Éocé :. Motrer que s ( a ). Sot X u espace topologque et A X est ue sute d'élémets de A qu ted vers x lorsque + alors x A où A est l'adhérece de A. 2. Motrer qu'e gééral la récproque de. est fausse. [Idcato : cosdérer l'espace (,T ) où les ouverts de T sot et les sous-esembles de dot le complémetare est f ou déombrable.] 3. Avec les mêmes otatos que. o suppose que x X possède u système fodametal déombrable de vosages. Motrer que das ce cas o à l'équvalece : l exste ue sute d'élémets de A qu ted vers x x A. [O rappelle qu'u système fodametal de vosages de x est ue famlle ( U ) I de vosages de x telle que pour tout V vosage de x l exste I avec U V.] T F sot deux topologes sur X vérfat, pour toute sute ( x ) tout pot x, ( x ) x pour T ss ( x ) x 4. O suppose que, et pour F. O suppose de plus que pour tout x X l exste u système fodametal déombrable de vosages pour T et u système fodametal déombrable de vosages pour F. Motrer que T = F. Soluto :. Sot O u ouvert coteat x. Etat doé que ( a ) tel que N a O. Par sute O A. Doc x A. ted vers x, l exste u eter N 2. Cosdéros l'espace topologque (,T ) où les ouverts de T sot et les sousesembles de dot le complémetare est f ou déombrable. Das cet espace les sutes covergetes sot les sutes statoares. S A = [0,] et x = 2, l 'exste aucue sute de A qu coverge vers x. Néamos, x A. E effet s O est u vosage ouvert de x, \ O est f ou déombrable et doc A \ O c'est-à-dre A O. De fat, A =. 3. Il sufft de motrer l'mplcato. Sot ( U ) u système fodametal de vosages de x. O cosdère les vosages V pour tout eter, a V A. La sute ( ) = U. V A car x A. Sot j= 0 j a obteue coverge vers x. E effet s O Serveur d'exercces 2/22
Sceces.ch est u vosage ouvert de x alors l exste N tel que N, a O. U N O. Par sute, pour tout 4. Sot A X u fermé de T. S x A F, ( o ote A F l'adhérece de A pour F ) l exste ue sute ( a ) de A qu ted vers x pour F doc auss pour T doc T F x A = A et A = A. C'est-à-dre A est fermé pour F. Le même rasoemet motre que les fermés de F sot des fermés de T. As T = F. Serveur d'exercces 3/22
Sceces.ch EXERCICE 0. Auteur : Rube Rcchuto (09.08.04, rube@sceces.ch) Mots Clés : Applcatos cotues et adhérece Éocé : Sot X,Y deux espaces topologque, A X et f : X Y ue applcato cotue.. Motrer que f ( A) f( A) mas qu'e gééral f ( A) f( A) 2. O suppose que Y est séparé et que A B X avec B compact. Motrer que das ce cas f ( A) = f( A). Soluto :. Sot y f( A) et O u vosage ouvert de y. Il faut motrer que O f( A). Il exste x A tel que y f( x) x f f O A. Sot ( ) =. ( O ), doc ( ) x f O A alors f ( x ) O f( A) et par sute y f( A). E gééral, l'cluso f ( A) f( A) est strcte, e effet s X = ]0, + [, Y = et f ( x) = / x alors f([, + [) = f([, + [) = ]0,] est coteu mas pas égal à f ([, + [) = [0,]. 2. A B etraîe A compact (car fermé das u compact). Par sute, f ( A ) est compact (car mage d'u compact par ue applcato cotue das u séparé). Doc f ( A ) est fermé (car compact das u séparé). Or par. o sat que f ( A) f( A) et f ( A ) est le plus pett fermé coteat f ( A ) doc f ( A) = f( A). Serveur d'exercces 4/22
Sceces.ch EXERCICE. Auteur : Rube Rcchuto (0.04.05, rube@sceces.ch) Mots Clés : Sous-espaces ouverts, fermés et coexe par arcs de M(, ) Éocé :. Motrer que GL(, ) est u ouvert de M(, ) (où M(, ) est l'espace des matrces carrées à coeffcets das et GL(, ) le sous-espace des matrces versbles). 2. Motrer que U (, ) et SU (, ) sot fermés das M(, ) (o rappelle que U (, ) est le sous-espace des matrces utares c'est-à-dre telles que A A = I et SU (, ) le sous-espace des matrces utares qu e plus vérfet det( A ) = ). 3. Motrer que U (, ) et SU (, ) sot compacts. [Idcato : l'applcato A Tr( A A ) est ue orme sur M(, ) et U (, ) est boré]. 4. Motrer que U (, ) et SU (, ) sot coexes par arcs. [Idcato: par le théorème spectral o sat que toute matrce utare est dagoalsable, de plus toutes les valeurs propres sot de module ]. Soluto :. L'applcato det : M(, ) est cotue et GL(, ) est ouvert car GL(, ) = det ( ) et est ouvert. 2. Cosdéros les applcatos suvates : ϕ : M (, ) M(, ) M(, ),( A, B) A B, ψ : M (, ) M(, ), A A et d ψ : M(, ) M(, ) M(, ), A ( A, A ). O vérfe faclemet que ces α = ϕ d ψ est cotue et applcatos sot cotues. As l'applcato ( ) U (, ) = α ( I) est fermé car { I } est fermé das M(, ). De plus, SU (, ) = det U (, ). Doc SU (, ) est lu auss fermé. () 3. L'applcato β : M (, ) M(, ),( A, B) Tr( A B ) est u produt scalare 2 sur M(, ). E effet, β ( AA, ) = TrAA ( ) = a 0 où a est le -ème vecteur lge de A et β ( AA, ) = 0 A= 0. Le reste est facle à vérfer. Il s'esut que A Tr( A A ) est ue orme sur M(, ). Or pour tout A U(, ), A = Tr( A A ) = doc U (, ) est boré et fermé (par 2.), par sute l est compact. SU (, ) U (, ) SU (, ) est compact auss. = Serveur d'exercces 5/22
Sceces.ch 4. Les valeurs propres de A U(, ) sot de module u car 2 2 2 2 Ax = λx λ x = Ax = Ax Ax = x A Ax = x x = x. Par le théorème spectral l exste ue matrce S U(, ) telle que γ :[0,] M(, ) l'applcato cotue défe par α e 0 SAS =. Sot α 0 e tα e 0 γ () t =. Alors tα 0 e S γ S est u arc relat I et A. As tout élémet de U (, ) est relé par u arc à I. Doc U (, ) est coexe par arcs. Pour SU (, ) l'argumet est le même à cec près : pour que l'arc reste das SU (, ) l faut chosr les α de telle sorte que = α = 0. Cec est toujours possble vu que α est déf à 2π près. Serveur d'exercces 6/22
Sceces.ch EXERCICE 2. Auteur : Rube Rcchuto (0.03.05, rube@sceces.ch) Mots Clés : Compactfé d'alexadroff Éocé : Nous rappelos que le compactfé d'alexadroff d'u espace topologque localemet compact X est l'espace X = X { } mu de la topologe défe par, U ouvert de X ss U ouvert de X s / U. X mu de cette topologe, est compact. X \ U compact de X s U. Motrer que s X est compact alors X \{ x} X. 2. Motrer que S où S est la sphère uté de [Idcato : utlser la projecto stéréographque pour motrer que S \ { x} ]. Soluto :. Commeços par remarquer que X \ { x } est localemet compact. E effet s y X \{ x}, l exste u vosage ouvert V de y das X e coteat pas x (X est séparé). Par sute, l exste u vosage compact de y coteu das V (X est compact doc localemet compact). Cosdéros à préset l'applcato f : X \{ x} X où f est l'detté sur X \ { x } et f ( ) = x. f est cotue car sot U u ouvert de X, s x / U, alors U est u ouvert de X \ { x } et par coséquet f ( U) = U est u ouvert de X \{ x }. S x U, f ( U ) et X \{ x}\ f ( U) = X \ U est compact (car fermé das u compact). Doc f ( U ) est ouvert das X \{ x } et f est cotue. f est ue applcato ouverte, e effet s O est u ouvert de X \{ x } alors ou be / O et das ce cas f ( ) = O O est u ouvert de X \ { x } et doc de X, ou be O et X \{ x}\ O = X \ f( O ) est compact et doc f ( O ) est ouvert das X. f état bjectve, ce que ous veos de motrer, etraîe doc que f est u homéomorphsme. + 2. Sot S la sphère uté das. O cosdère la projecto stéréographque ϕ : S \{ e + } (avec e les vecteurs de la base caoque) défe par x x ϕ( x) =,...,. Géométrquemet, ϕ ( x) représete l'tersecto de la x+ x+ drote passat par e + et x avec le pla d'équato x + = 0 qu'o detfe à. Il est évdet que ϕ est ue applcato cotue et e fat que c'est u homéomorphsme car o vérfe faclemet que Serveur d'exercces 7/22 + 2 2y 2y y ψ : S \ { e+ }, y,...,, 2 2 2 + y + y y +
Sceces.ch est l'applcato récproque de ϕ. As S \{ e + } et doc par. ous avos, S \{ e+ } S et par sute S. S \{ e + }. Or Serveur d'exercces 8/22
Sceces.ch EXERCICE 3. Auteur : Rube Rcchuto (0.03.05, rube@sceces.ch) Mots Clés : Coexté de SO(, ) et O (, ) Éocé :. Motrer que SO(, ) est coexe par arcs [Idcato : utlser le fat que pour toute matrce A SO(, ), l exste ue matrce S O(, ) telle que m 0 cosα sα SAS = où m = ou m = ]. sα cosα 0 m 2. Dédure de. que O (, ) a deux composates coexes. Rappel : O (, ) est l'esemble des matrces à coeffcets réels vérfat MM SO(, ) est le sous-esemble de O (, ) formé des matrces de détermat. Soluto : t = I et. S A SO(, ) alors par l'dcato, l exste ue matrce S O(, ) telle que m 0 cosα sα SAS = où m = ou m =. O cosdère sα cosα 0 m m () t 0 γ :[0,] SO(, ) défe par t [0,], γ ( t) = avec m ( t ) = s 0 m () t cos( αt) s( αt) cosα sα m = et m () t = s m =. O remarque que s( αt) cos( αt) sα cosα γ (0) = I et γ () = SAS par sute, S γ S est u arc relat I et A das SO(, ). As tout élémet de SO(, ) est relé par u arc à I. Doc SO(, ) est coexe par arcs. 2. Cosdéros l'applcato cotue det : O (, ). Etat doé que pour toute matrce A O(, ), det( A ) = ±, l'applcato det pred ses valeurs das l'espace dscret {,}. Etat doé que toute applcato cotue das u espace dscret est costate sur les composates coexes et que SO(, ) est coexe par, det () = SO(, ) est ue composate coexe. De plus, l'esemble des matrces apparteat à O (, ) de détermat - est coexe par arcs comme SO(, ) (e effet l'applcato qu cosste à permuter les deux premères coloes d'ue matrce Serveur d'exercces 9/22
Sceces.ch de SO(, ) est u homéomorphsme de SO(, ) das det ( ) ) doc det ( ) est auss ue composate coexe. Pour fr, ous avos l'uo dsjote O (, ) = det () det ( ) ce qu motre que O (, ) a deux composates coexes. Serveur d'exercces 20/22
Sceces.ch EXERCICE 4. Auteur : Rube Rcchuto (0.03.05, rube@sceces.ch) Mots Clés : Fermés, compacts de Éocé : Pour, AB o ote A B { a b ( a, b) A B} + = +.. Motrer que A et B fermés 'mplque pas A + B fermé. 2. Motrer que s A est fermé et B compact alors A + B est fermé. Soluto : 2, s A {( x,/ x) x }. Das = et B = {0} alors A et B sot fermés mas A+ B = ]0,] e l'est pas. 2. Sot y A B +. Alors, l exste deux sutes ( a ),( b ) avec, a A b B telles que lm a + b = y. Qutte à cosdérer ue sous-sute, o peut supposer que la sute ( b ) coverge (B est compact). As, la sute ( a ) car A est fermé. S o ote prouve que A+ B est fermé. coverge auss et lm a A a = lm a et b= lm b alors y = a+ b A+ B. Ce qu Serveur d'exercces 2/22
Sceces.ch EXERCICE 5. Auteur : Rube Rcchuto (0.03.05, rube@sceces.ch) Mots Clés : Séparablté Éocé : Sot X u espace topologque.. Motrer que s X est à base déombrable alors X est séparable. 2. Motrer que la récproque est fausse. [Idcato : cosdérer l'espace topologque (, T ) T = O \ O est f,.] où { } { } 3. Motrer que s X est u espace métrque alors ous avos: X est à base déombrable X est séparable. Soluto :. Sot ( ) { a } que U ue base de X. Pour chaque ous chosssos a U. L'esemble as obteu est dese. E effet s O est u ouvert de X, l exste j tel U j O et par sute, a j O. 2. L'espace (, T ) de l'dcato est séparable, e effet tout sous-esemble déombrable de est dese (par exemple est dese). Par cotre, l e possède pas de base déombrable, car s ( U ) est ue telle base l'esemble U est o vde et o peut doc chosr u x U. L'esemble \ { x} e peut pas s'exprmer comme uo d'esembles est par coséquet ouvert mas 3. Il e reste qu'à motrer la parte de l'équvalece. Sot doc { x } ue parte dese U. de X. L'esemble de boules B( x,/ ) avec (, ) est déombrable et costtue ue base. E effet, s O est u ouvert de X alors pour tout x O l exste tel que Bx (,/ ) O. { x } état dase, l exste tel que x Bx (,/2 ) par sute, x B( x,/ 2 ) O. Ce qu motre que O est réuo de boules du type B( x,/ ). Serveur d'exercces 22/22