COURS TERMINALE S LE CALCUL INTEGRAL A. Notion d'intégrle. Aire sous l coure On définit le domine pln, qu'on ppeller ire sous l coure C représenttive d'une fonction positive f sur un intervlle [; ], l prtie du pln délimitée pr l'e des scisses, les droites d'éqution = et = et l coure C. Le pln est rpporté à un repère (O; i, j ). L'unité d'ire (notée u..) est l'ire du rectngle défini pr les unités des es.. Intégrle d'une fonction positive Définition : On considère une fonction f définie et positive sur un intervlle I, deu réels et de I tels que <, et C l coure représenttive de f dns un repère du pln. On définit l'intégrle de l fonction f sur l'intervlle [; ], notée f t dt comme l'ire (en unités d'ire) de l prtie du pln délimitée pr l'e des scisses, les droites d'éqution = et = et l coure C. Remrque: l vrile t est ppelée une vrile muette. On peut écrire f t dt = f u du =... 4 Eemple: On cherche à clculer t dt. On trce l droite représenttive de l fonction f définie sur [; 4] pr f(t) = t. Cette fonction est positive sur cet intervlle, et cette intégrle est égle à l'ire de l prtie du pln délimitée pr l'e des scisses, les droites d'éqution = et = 4 et l droite (d). Cette prtie du pln est un trpèze dont l'ire égle petite se grnde se huteur. Les sommets du trpèze sont les points de coordonnées A(; ), B(; ), C(4; 7), D(4; ). L'ire est donc égle à AB CD AD = 7 3 = unités d'ire. 3. Etension à une fonction de signe quelconque Si l fonction f continue sur [; ] n'est ps positive sur tout l'intervlle [; ], lors l'ire A de l prtie du pln délimitée pr l'e des scisses, les droites d'éqution = et = et l coure C s'otient de l fçon suivnte: Si f est négtive sur [; ], lors f t dt = A. Si f est de signe quelconque sur [; ], lors on détermine les intervlles sur lesquels f est positive et ceu sur lesquels f est négtive, et f t dt = A A + A 3 A 4 + A 5 (sur l figure ci-contre). 4. Vleur moyenne d'une fonction Définition: On considère une fonction f définie sur un intervlle I, deu réels et de I tels que <. L vleur moyenne de l fonction f sur [; ] est le nomre réel f t dt.
B. Propriétés de l'intégrle. Propriétés lgériques On considère une fonction f définie sur un intervlle I et les réels, et c de I : f t dt =. On dmet que f t dt = f t dt. Reltion de Chsles: f t dt + f t dt = f t dt. Linérité :. Intégrles et inéglités kf t dt = k c f t dt. c f t g t dt = f t dt + g t dt. On considère deu fonctions f et g définies sur un intervlle I et les réels et de I tels que : Positivité: Si f sur [, ], lors f t dt. Ordre : Si f g sur [, ], lors f t dt g t dt. f t dt M( ), c'est-à- Inéglité de l moyenne : Si pour tout de [, ], m f() M, lors m( ) dire que l vleur moyenne de f vérifie m M. Si pour tout de [, ], f() M, lors f t dt M( ), C. Primitives d'une fonction. Notion de primitive Définition: On considère une fonction f définie sur un intervlle I. On ppelle primitive de f sur I toute fonction F dérivle sur I telle que pour tout de I, F '() = f(). Eemple: Une primitive de l fonction f définie sur pr f() = est l fonction F définie pr F() = +. Une primitive de l fonction f définie sur pr f() = est l fonction F définie pr F() = 3 3.. Ensemle des primitives d'une fonction et conditions initiles Propriété : Toute fonction f continue sur I dmet une infinité de primitives sur I. Si l fonction F en est une, lors les utres primitives de f sont les fonctions de l forme F() + k vec k. Propriété : Soit f une fonction continue sur un intervlle I, dns I, et y un réel quelconque. Alors l fonction f dmet une unique primitive F telle que F( ) = y (ppelée condition initile). Eemple : L primitive de l fonction f définie sur pr f() = telle que F() = est F() = 3 5. 3 3. Intégrle et primitive Théorème : On considère une fonction f continue sur un intervlle I et un réel de I. L fonction F définie pr F() = f t dt est l primitive de f qui s'nnule en. Démonstrtion : L démonstrtion est fite dns le cs où l fonction f est positive et croissnte. Soit dns I et. Pour tout réel t [ ; ], on f( ) f(t) f() pr l croissnce de l fonction f. Ainsi, pr le théorème de l moyenne, f( )( ) f t dt f()( ). Pour c dns I, Posons S(c) l'ire du domine pln délimité pr l coure C f, l'e des scisses et les droites d'éqution
= et = c. Pr l reltion de Chsles, f t dt = f t dt f t dt = S() S( ). S S Donc f( )( ) S() S( ) f()( ), d'où f( ) f(). L fonction f étnt continue, S S lim f = f( ), et pr le théorème des gendrmes lim = f( ). Ainsi l fonction S est dérivle en et S'( ) = f( ). Ceci est vri pour tout de I, donc S est dérivle sur I et S'() = f(). Donc S est une primitive de f. De plus, S() = f t dt =, donc S est l primitive de f qui s'nnule en. Théorème : Soit f une fonction continue sur un intervlle I et et deu réels de I. Alors f t dt = F() F() où F est une primitive quelconque de f. Nottion : f t dt = F t = F() F(). Démonstrtion : Soit F l primitive de f qui s'nnule en. Alors F() = f t dt. Soit G une primitive quelconque de f. On sit que G est de l forme G() = F() + k vec k. Donc G() G() = F() + k F() k = F() = f t dt. 4. Tleu des primitives Dns le tleu, u' est une fonction définie et continue sur l'intervlle I. Eemples : f() = sur *; F() = + k. f() = e sur ; F() = e + k. f() = ln sur ]; + [ est de l forme u'u ; F() = (ln) + k. D. Intégrtion pr prties Propriété: On considère deu fonctions u et v dérivles sur un intervlle I et et deu réels de I. Alors u v ' d = u v u' v d. Démonstrtion : On sit que (uv)' = u'v + uv', insi uv' = (uv)' u'v et en intégrnt ces deu fonctions sur [; ], on otient u v ' d = Fonction Primitives Définie sur f() = (constnte) F() = + k f() = n où n \{ } f() = F() = u v ' d u' v d = u v u' v d. Appliction : On peut lors clculer des intégrles portnt sur des fonctions dont on ne peut ps fcilement déterminer une primitive. On peut ussi déterminer des primitives. n n + k si n et \{} si n < F() = ln + k ]; + [ f() = e F() = e + k f() = cos F() = sin f() = sin F() = cos u' u I u'e u e u I u'u n où n \{ } n u n u ' u lnu ln( u) I si n et I {, u() } si n < u() > sur I u() < sur I
Eemples : ) Déterminer e d. On pose v'() = e et u() =. Alors v() = e et u'() =. Ainsi e d = e e d = e - e = e (e ) =. ) Déterminer une primitive de ln sur ]; + [ : On cherche pr eemple l primitive F de ln qui s'nnule en. On donc F() = ln t dt. On pose v'() = et u() = ln. Alors v() = et u'() =. D'où F() = ln d = t lnt t t dt = t ln t dt = t lnt t = t lnt t Cs des fonctions de l forme P()e : on prend v'() = e et u() = P() où P est un polynôme. Cs des fonctions de l forme P()ln : on prend v'() = P() et u() = ln où P est un polynôme. E. Clculs d'ires et de volumes. Clculs d'ires Théorème : Soient f et g deu fonctions définies et continues sur un intervlle I, et deu réels de I tels que <. On note C f et C g les coures représenttives de f et g dns un repère orthogonl du pln. Si pour tout de [; ], f() g(), lors l'ire comprise entre les deu coures C f et C g et les droites d'éqution = et = est égle à g f d u.. = ln. Eemple: Déterminer l'ire comprise entre les coures représenttives de l fonction crrée et de l fonction cue sur l'intervlle [; ]. Ces deu coures se coupent en trois points d'scisses solutions de l'éqution 3 =, soit ( ) =, soit ( )( + ) =. Les solutions sont, et. Les solutions qui sont dns l'intervlle [; ] sont et. De plus, sur [; ], 3 (on peut le montrer à l'ide d'un tleu de signes). Donc l'ire cherchée est égle à 3 d = 3. Clculs de volumes 3 4 4 = u.. L'espce est muni d'un repère orthogonl (O; i, j, k ). On ppelle unité de volume noté u.v. Le nomre i j k. On considère un solide limité pr les plns d'éqution z = et z = vec <. Pour tout z tel que, on note P z le pln perpendiculire à (Oz) et de cote z, S(z) l'ire de l section du solide pr le pln P z. Si S est une fonction continue sur [; ], lors le volume du solide est V = S z dz u.v. Volume d'un solide engendré pr l rottion d'une prtie de pln utour d'un e L'espce est rpporté à un repère orthogonl (O; i, j, k ), on considère l prtie du pln (O; i, j ) délimitée pr l coure d'éqution y = f() et les droites d'éqution =, = et l'e (O; i ). En tournnt utour de l'e (O; i ), cette prtie de pln engendre un solide de résolution limité pr les plns prllèles à (O; j, k ) d scisse respectives et. L section S du solide pr le pln prllèle à (O; j, k ) d'scisse est un disque de ryon f(), donc d'ire f(). Le volume de ce solide est en unité de volume : S d = f d.
Coure Solide de révolution engendré pr cette coure Eemple: On considère le proloïde construit en fisnt tourner l prole d'éqution y = sur l'intervlle [; ] utour de l'e (Oy). Le proloïde est un solide compris entre les plns d'équtions y = et y =, et l section du solide pr le pln perpendiculire à (O; j ) est un disque de ryon, donc d'ire = y. Alors le volume de ce proloïde (ol) = y y dy = = u.v.