Exercice 1 (6 poits) Commu à tous les cadidats O cosidère la foctio f défiie et dérivable sur l itervalle [ 0 ; + [ par : f (x) = 5 l ( x ± 3 ) x. 1. a. O appelle f ' la foctio dérivée de la foctio f sur [ 0 ; + [. Calculer f '(x) et étudier so sige sur [ 0; + [. b. Doer, das u tableau, les variatios de f sur l itervalle [ 0 ; + [. c. l x 3 Motrer que, pour tout x strictemet positif o a : f (x) = x 5 1 5 l 1 x x. d. E déduire la limite de f e +. e. Compléter le tableau de variatio de f sur l itervalle [ 0 ; + [.. a. Motrer que l équatio f (x) = 0 admet ue uique solutio das l itervalle [ 0 ; + [. O otera cette solutio. b. Après avoir vérifié que appartiet à l itervalle [ 1 ; 15 ], doer ue valeur approchée de à 10 près. c. E déduire le sige de f sur l itervalle [ 0 ; + [. u 0 Soit (u ) la suite défiie par : pour tout etier aturel 0, u 1 5 l ( u 3 ) O cosidère la foctio g défiie sur l itervalle [ 0 ; + [ par : g(x) = 5 l (x + 3). E Aexe 1 o a tracé das u repère orthoormé la droite D d équatio y = x et la courbe C, courbe représetative de la foctio g. 1. a. Costruire sur l axe des abscisses de l Aexe I les termes u 0, u 1, u de la suite (u ) e utilisat la droite et la courbe doées et e laissat apparets les traits de costructio. b. Formuler ue cojecture sur le ses de variatios de la suite (u ).. a. Étudier le ses de variatios de la foctio g sur l itervalle [ 0 ; + [. b. Vérifier que g() = où est défii das la partie A questio.a. c. Démotrer par récurrece que, pour tout etier aturel, o a : 0 u d. Démotrer alors la cojecture émise à la questio 1.b de la partie 3. e. E utilisat la questio.a de la partie A, justifier que lim u. 3. O cosidère l algorithme suivat : u pred la valeur épéter Tat que u 1, < 0 u pred la valeur de 5 l ( u + 3 ) Fi du Tat que Afficher u a. Das cette questio toute trace de recherche, même icomplète ou d iitiative, même ifructueuse, sera prise e compte das l évaluatio. Justifier que cet algorithme se termie. b. Doer la valeur que cet algorithme affiche (o arrodira à 5 décimales).
Exercice ( poits) Commu à tous les cadidats Das cet exercice les deux parties peuvet être traitées idépedammet. Tous les résultats serot doés sous la forme de fractios. O dispose d ue ure U coteat trois boules blaches et deux boules rouges idiscerables au toucher. O cosidère l expériece suivate : o tire successivemet trois fois de suite ue boule de l ure U. e remettat à chaque fois la boule das l ure. O appelle X le ombre de fois où o a obteu ue boule rouge. 1. Justifier que X suit ue loi biomiale dot o précisera les paramètres.. Calculer la probabilité d avoir obteu exactemet ue fois ue boule rouge. 3. Détermier l espérace mathématique de X et iterpréter ce résultat. O procède maiteat à ue ouvelle expériece : o tire ue boule de l ure U. Si elle est rouge o s arrête, sio o la remet das l ure et o tire ue boule à ouveau ; si cette deuxième boule est rouge, o s arrête, sio o la remet das l ure et o tire ue boule pour la troisième fois. 1. Traduire la situatio par u arbre podéré de probabilités.. O appelle Y le ombre de boules rouges obteues lors d ue expériece. La variable aléatoire Y pred doc la valeur 1 si la derière boule est rouge et 0 sio. Détermier la loi de probabilité de Y et so espérace mathématique. 3. O appelle N le ombre de tirages effectués lors d ue expériece. Détermier la loi de probabilité de N et so espérace mathématique.. O appelle proportio moyee de boules rouges le rapport de l espérace du ombre de boules rouges obteues sur l espérace du ombre de tirages. Motrer que la proportio moyee de boules rouges das l expériece est la même que la proportio de boules rouges das l ure. Exercice 3 (5 poits) Commu à tous les cadidats : restitutio orgaisée de coaissaces O suppose cou le résultat suivat : Soit a u réel. Soit (E 0 ) l équatio différetielle de foctio icoue y de variable réelle, dérivable de foctio dérivée y ' : y ' a y (E 0 ) Les solutios de (E 0 ) sot les foctios de la forme x C e a x, où C est ue costate réelle. O cosidère a et b deux réels, avec a o ul. Démotrer que les solutios de l équatio différetielle de foctio icoue y de variable réelle, dérivable de foctio dérivée y ' a y b (E) sot les foctios de la forme x C e a x b, où C est ue costate réelle. a Pour chacue des trois affirmatios suivates, idiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la répose 1. Affirmatio 1 : Si ue foctio f défiie sur l esemble des ombres réels est solutio de l équatio y ' 3 y 6 alors la courbe représetat f admet ue asymptote horizotale e +.. Affirmatio : Si ue foctio f défiie sur l esemble des ombres réels est solutio de l équatio y' = y alors : pour tous réels et, f ( + ) = f () f (). 3. La courbe d ue foctio solutio de l équatio différetielle y ' y coupe l axe des ordoées au poit d ordoée 3 (voir figure ci-cotre). Affirmatio 3 : l aire, e uité d aire, du domaie délimité par l axe des abscisses, la courbe et les droites d équatios x = 0 et x = l (3) est 3. y ' :
Exercice (5 poits) Pour les cadidats ayat pas suivi l eseigemet de spécialité Das cet exercice les deux parties peuvet être traitées idépedammet. Das le pla complexe rapporté au repère orthoormal direct ( O ; u, v ) o appelle A le poit d affixe 1 et C le cercle de cetre A et de rayo 1. La figure sera réalisée sur ue feuille de papier millimétré avec cm pour uité graphique. O cosidère l équatio (E) : z z + = 0, où z est u ombre complexe. O appelle z 1 et z les solutios de (E). 1. ésoudre l équatio (E) das l esemble des ombres complexes C.. O appelle M 1 et M les poits d affixes respectives z 1 et z das le repère ( O ; u, v ). Motrer que M 1 et M appartieet au cercle C. O cosidère l applicatio f du pla complexe qui à tout poit M d affixe z distict de A associe le poit M' d affixe z' défiie z 1 par : z ' z. 1. Placer le poit A et tracer le cercle C sur ue figure que l o complètera au furet à mesure.. Motrer que pour tout complexe z distict de 1 o a : ( z ' 1) (z 1) = 1. 3. Motrer que pour tout poit M distict de A o a : AM AM' = 1 M' A ; ( u ; AM ) ( u ; AM' ) 0 k, où k est u etier relatif.. O cosidère le poit P d affixe z P = 1 + e i. Costruire le poit P. 5. E utilisat la questio 3, expliquer commet costruire le poit P ', image de P par f, et réaliser cette costructio. 6. Das cette questio toute trace de recherche, même icomplète ou d iitiative, même ifructueuse, sera prise e compte das 1'évaluatio. Soit u poit M apparteat à la droite D d équatio x = 3. Soit M' so image par f. a. Motrer que le poit M ' appartiet au cercle C ' de cetre O de rayo 1. b. Tout poit de C ' a-t-il u atécédet par f? EXECICE (5 poits) Pour les cadidats ayat suivi l eseigemet de spécialité Les deux parties sot idépedates. O cosidère deux carrés directs ABCD et DCEF de côté 1. Le poit I est milieu de [BC] et le poit J est milieu de [EFJ (voir figure ci-dessous). 1. O cosidère la rotatio r de cetre D qui trasforme A e C. Justifier que r (I) = J.. Justifier que r est l uique similitude directe qui trasforme A e C et I e J. 3. O appelle s la similitude directe qui trasforme A e I et C e J. O se place das le repère ( A ; AB, AD ). a. Doer les affixes des poits A, C, I et J. 1 1 b. Motrer que l écriture complexe de s est z ' i z 1 i. c. Motrer que le poit D est le cetre de s. Das le pla complexe rapporté au repère orthoormé direct ( O ; u, v ) o cosidère trois poits M, N, P disticts etre eux et disticts du poit O. O appelle m,, p leurs affixes respectives. O défiit la similitude directe s 1 qui trasforme O e M et N e P et la similitude directe s qui trasforme O e N et M e P. 1. Motrer que l écriture complexe de s 1 est z = p m z m. O admet que l écriture complexe de s est z = p z m. a. Motrer que si OMPN est u parallélogramme alors s 1 et s sot des traslatios. b. O suppose que OMPN est pas u parallélogramme. Justifier que s 1 et s ot chacue u cetre, et motrer que ces deux poits sot cofodus.
COECTION Exercice 1 (6 poits) Commu à tous les cadidats 5 5 ( x 3 ) x 1. a. f '(x) = 1 x 3 x 3 x 3 doc si 0 x < alors x + > 0 doc f (x) > 0 ; si =, f (x) = 0 si x > alors x + < 0 doc f (x) < 0 b. x 0 + f (x) + 0 5 l 5 f 5 l 3 c. pour tout x strictemet positif o a : l x 3 x 5 1 5 l 1 x x = 5 l x x + 5 l x 3 x = 5 l x x + 5 [ l ( x + 3 ) l x ] = 5 l x x + 5 l ( x + 3 ) 5 l x = 5 l ( x + 3 ) x = f (x) d. lim x l x l x lim 0 doc lim x 5 1 x x x 3 3 = 0 doc lim 1 = 1 et lim l 1 x x x x 3 x = 1 doc lim x l x x 5 1 x = = l 1 = 0 doc lim f (x) = x e. x 0 + f (x) + 0 5 l 5 f 5 l 3. a. 5 l 3 > 0 et f est strictemet croissate sur [ 0 ; ] doc pour tout x de [ 0 ; ], f (x) 5 l 3 > 0 La foctio f est défiie, cotiue, strictemet décroissate sur [ ; + [, f () > 0 et lim f (x) = doc l équatio f (x) = 0 x admet ue uique solutio das l itervalle [ ; + [, doc l équatio f (x) = 0 admet ue uique solutio das l itervalle [ 0 ; + [. b. f (1) 0,17 et f (15) 0,55 et f cotiue sur [ 0 ; + [ doc f s aule sur l itervalle [ 1 ; 15 ], f (1,3) 0,003 et f (1,) 0,00 doc f s aule sur l itervalle [ 1,3 ; 1, ], et 1,3 < < 1, c. x 0 + 5 l 5 f 0 5 l 3 f (x) + 0
1. a. b. La suite (u ) semble être croissate et coverger vers le poit d itersectio de la courbe C et de la droite D.. a. g (x) = 5 x 3 doc pour tout x positif, g (x) > 0, g est strictemet croissate sur [ 0 ; + [. b. est solutio de l équatio f (x) = 0 doc f () = 0 doc 5 l ( + 3 ) = 0 soit 5 l ( + 3 ) = doc g() = c. Iitialisatio : u 0 = et 1 15 doc 0 u 0 Hérédité : Motros que pour tout de N, si 0 u alors 0 u + 1 g est strictemet croissate sur [ 0 ; + [ doc si 0 u alors g(0) g(u ) g() or g(0) > 0, g(u ) = u + 1 et g() = doc 0 u + 1 La propriété est héréditaire doc pour tout etier aturel, o a : 0 u d. 0 u doc f (u ) 0 doc g(u ) u 0 doc u + 1 u La suite (u ) est croissate majorée par doc est covergete et sa limite est comprise etre u 0 et. e. La suite (u ) est défiie par g(u ) = u + 1, cette suite est covergete doc sa limite est solutio de l équatio g(x) = x doc de f (x) = 0. L équatio f (x) = 0 admet ue uique solutio das l itervalle [ 0 ; + [ doc lim u. 3. a. Si u 1, < 0 alors 1, < u lim u doc à coditio de predre suffisammet grad, u est aussi proche que voulu de or 1,3 1, Ici o souhaite que u [ 1, ; ], d après la défiitio de la limite, il existe u etier 0 tel que si 0 alors u [ 1, ; ] doc l algorithme s arrête. b. u u 1, Test Algorithme 0-10, u 1, < 0 cotiu 1 9,7955 -,705 u 1, < 0 cotiu 1,71963-1,8037 u 1, < 0 cotiu 3 13,7755-0,55 u 1, < 0 cotiu 1,09931-0,10069 u 1, < 0 cotiu 5 1,19519-0,0081 u 1, < 0 cotiu 6 1,315 0,0315 u 1, > 0 s arrête 0 = 6, l algorithme affiche 1,315
Exercice ( poits) Commu à tous les cadidats 1. O a ue successio de 3 épreuves aléatoires idetiques et idépedates, chaque épreuve a deux issues : succès : la boule est rouge (p = 3 5 = 0,6) échec : la boule est pas rouge ( q = 1 p = 0,) doc la variable aléatoire X qui compte le ombre de fois où o a obteu ue boule rouge suit ue loi biomiale de paramètres (3 ; 0,6) 1. p(x = 1) = 3 p q 1 3 1 = 3 0,6 0, = 0,8800 3. E(X) = p = 3 0,6 = 1,8 E moyee, sur u grad ombre de tirages, o obtiedra 1,8 boules rouges. 1. 0,6 0, 0,6 0, 0,6 0,. p(y = 0) = p( ) = 0, 3 = 0,06 p(y = 1 ) = 1 p(y = 0) = 0,936 y 0 1 Total p(y = y) 0,06 0,936 1 E(Y) 0 0,936 0,936 E(Y) = 0 p( Y = 0 ) + 1 p( Y = 1 ) = 0,936 3. Lors d ue expériece, o effectue : u seul tirage : la boule obteue est rouge doc p(n = 1) = 0,6 deux tirages : la première boule obteue est pas rouge et la secode boule obteue est rouge doc p(n = ) = 0, 0,6 = 0, trois tirages : les deux premières boules obteues e sot pas rouges doc p(n = 3) = 0, = 0,16 1 3 Total p(n = ) 0,6 0, 0,16 1 E(N) 0,6 0,8 0,8 1,56 E(N) = 1,56. La proportio moyee de boules rouges das l expériece est 0,936 0,6 doc est la même que la proportio de boules 1,56 rouges das l ure.
Exercice 3 (5 poits) Commu à tous les cadidats : restitutio orgaisée de coaissaces a. Cherchos ue foctio u costate solutio de (E) u est ue costate doc sa dérivée est ulle u est solutio de (E) doc a u + b = 0 doc u = b a b. Soit f u ue solutio de (E 0 ) f u est solutio de l équatio différetielle y ' = a y (f u)' = a (f u) f ' u' = a f a u f ' = a f + u' a u u solutio de (E) u' = a u + b u' a u = b f u est solutio de l équatio différetielle y ' = a y f ' = a f + u' a u f ' = a f + b f est solutio de (E) c. f est solutio de (E) f u solutio de l équatio différetielle y ' = a y pour tout x réel, (f u) (x) = C e a x f est solutio de (E) f (x) = C e a x + u(x) f (x) = C e a x b a Les solutios de l équatio différetielle (E) sot les foctios défiies sur par f (x) = C e a x b a où C. 1. Affirmatio 1 : VAIE Les solutios de l équatio y ' 3 y 6 sot les foctios de la forme f (x) = C e 3 x + où C. lim x C e 3 x + = doc la courbe représetat f admet ue asymptote horizotale e + d équatio y =.. Affirmatio : VAIE Si ue foctio f défiie sur l esemble des ombres réels est solutio de l équatio y' = y alors : f (x) = C e x or pour tous réels et, e + = e e b doc f ( + ) = f () f (). 3. Affirmatio 3 : VAIE Si la foctio f est solutio de l équatio différetielle y ' y alors f (x) = C e x La courbe de f coupe l axe des ordoées au poit d ordoée 3 doc f (0) = 3 doc C = 3 doc pour tout x réel, f (x) = 3 e x. La foctio f est positive sur, doc l aire, e uité d aire, du domaie délimité par l axe des abscisses, la courbe et les droites d équatios x = 0 et x = l (3) est : l 3 3 A = e x d x = 0 3 e x e l 3 = e l 3 = 1 9 doc A = 3 1 3 9 3 l 3 0 3 3 = e e l 3 0
Exercice (5 poits) Pour les cadidats ayat pas suivi l eseigemet de spécialité 1. z z + = ( z 1 ) + 1 = ( z 1) i = ( z 1 i ) ( z 1 + i ) z z + = 0 ( z 1 i ) ( z 1 + i ) = 0 z 1 i = 0 ou z 1 + i = 0 doc l équatio (E) : z z + = 0, admet pour solutios z 1 = 1 + i et z = 1 i. A M 1 = z 1 1 = i = 1 A M = z 1 1 = i = 1 doc M 1 et M appartieet au cercle C.. pour tout complexe z distict de 1 o a : z 1 ( z ) z ' 1 z z 1 z ' 1 1 z z 1 z z ' 1 ( z 1) 1 z ' 1 ( z ' 1) (z 1) = 1 ( z 1). 3. ( z ' 1) (z 1) = 1 doc pour tout poit M distict de A o a : z 1 alors z ' 1 doc M ' A z ' 1 z ' 1 = 1, et arg (z ' 1) (z ' 1) = arg 1 k soit AM AM = 1 doc AM AM = 1 et arg (z ' 1) + arg (z ' 1) = 0 k et ( u ; AM ) ( u ; AM' ) 0 k, où k est u etier relatif.. z P 1 = e i doc z P 1 = 1 doc P appartiet au cercle de cetre A de rayo 1 et ( u ; AP ) k. Pour costruire P : costruisos la demi-droite d origie A parallèle à la première bissectrice, esemble des poits M tels que ( u ; AM ) k le poit P est l itersectio de cette demi-droite et du cercle C. 5. AP AP = 1 doc AP = 1, P appartiet au cercle de cetre A de rayo 1, ( u ; AP ) ( u ; AP' ) 0 k doc ( u ; AP' ) 0 k, ( u ; AP' ) k Pour costruire le poit P, costruisos le poit P 1 symétrique de P par rapport à l axe des réels, alors ( u ; AP 1 ) k, doc P est le poit d itersectio du cercle de cetre A de rayo 1, et de la demi-droite [AP 1 ) 6. a. M appartiet à la droite D d équatio x = 3 doc a ue affixe de la forme 3 i y où y est u réel 3 i y 1 ' 0,5 i y 0,5 i y z z ' z ' 3 0,5 i y 0,5 i y i y 0,5 + i y et 0,5 i y sot deux complexes cojugués doc ot le même module, comme z = 0,5 i y 0,5 i y alors z = 1. Le poit M ' appartiet au cercle C ' de cetre O de rayo 1. 0,5 i y 0,5 i y b. Soit u poit M sur le cercle C ' de cetre O de rayo 1. M est-il l image d u poit M par f? Existe-t-il z tel que z 1 z '? Si z existe alors ( z ' 1) (z 1) = 1 z, doc pour que z existe, il faut que z 1 alors z 1 = 1. ( z ' 1 ) Le poit A d affixe 1 appartiet au cercle C ' et a pas d atécédet par f. Tout autre poit de C ' admet u seul atécédet par f.
Prologemet : Il est possible de costruire M si M appartiet à la droite D : Pour tout poit M A, ( u ; AM ) ( u ; AM' ) 0 k Il suffit doc de costruire le poit M 1 symétrique de M par rapport à l axe des ordoées, alors ( u ; AM ) ( u ; AM ) 0 k 1 Les poits A, M 1 et M sot aligés et M appartiet à la demi-droite [AM 1 ) de plus M ' appartiet au cercle C ' de cetre O de rayo 1 doc M est le poit d itersectio de la demi-droite [M 1 ) et du cercle C '.
EXECICE 5 poits Pour les cadidats ayat suivi l eseigemet de spécialité 1. La rotatio r de cetre D qui trasforme A e C a pour agle ( DA, DC ) doc, doc F = r(c). r trasforme le carré direct ABCD e le carré direct CB FD doc e DCEF et r(b) = E. Le milieu de I de [BC] est trasformé par r e le milieu de [EF] doc e J.. A C et I J doc il existe ue seule similitude directe qui trasforme A e C et I e J or r(a) = C et r(i) = J doc r est l uique similitude directe qui trasforme A e C et I e J. 1 3. a. A a pour affixe 0, C a pour affixe 1 + i et I a pour affixe 1 i, J a pour affixe 1 i b. L écriture complexe d ue similitude directe est de la forme z = a z + b avec a et b complexes, a 0 1 1 1 i = a 0 b b 1 i s est la similitude directe qui trasforme A e I et C e J doc 1 1 1 i a ( 1 i ) b i a (1 i ) 1 i 1 1 1 1 1 b 1 i b 1 i b 1 i b 1 i b 1 i 1 3 a (1 i ) i 1 3 i ( 1 3 i ) ( 1 i ) a 1 i + 3 i 3 a a i a ( 1 i ) ( 1 i ) (1 i ) 1 b 1 i 1 1. L écriture complexe de s est z ' i z 1 i. 1 a i 1 1 c. D a pour affixe i, l image de D est le poit d affixe i i 1 i soit i, D est ivariat par s, or ue similitude directe admet u seul poit ivariat qui est le cetre de la similitude doc D est le cetre de s. 1. L écriture complexe d ue similitude directe est de la forme z = a z + b avec a et b complexes, a 0. b m m 0 a b b m s 1 trasforme O e M et N e P doc p m p a b p a m a L écriture complexe de s 1 est z = p m z m p m. a. si O M P N est u parallélogramme alors ON = MP doc = p m doc = 1, l écriture complexe de s 1 est z = z m, s 1 est la traslatio de vecteur OM p si O M P N est u parallélogramme alors OM = NP doc m = p doc m s est la traslatio de vecteur ON = 1, l écriture complexe de s est z = z p m p b. O M P N est pas u parallélogramme doc 1 et 1, doc s 1 et s e sot pas des traslatios doc ot m chacue u cetre. Le cetre de s 1 est le poit ivariat par s 1, so affixe est solutio de z = p m z m soit z = ( p m ) z + m doc z ( + m p ) = m doc comme p m m 1 alors ( + m p ) 1 et z =. m p Le cetre de s 1 est le poit ivariat par s, so affixe est solutio de z = p z soit m z = ( p ) z + m m m doc z ( + m p ) = m doc z =. s 1 et s ot le même cetre. m p