TES Spé maths ARPE soutie : Exercices divers : fiche 3 Graphes Podichery 06 Pedat la saiso estivale, deux sociétés de trasport maritime ot l'exclusivité de l'achemiemet des touristes etre deux îles du Pacifique. O admet que le ombre de touristes trasportés pedat chaque saiso est stable. La société «Alizés» a établi ue equête statistique sur les aées 01 à 05 afi de prévoir l'évolutio de la capacité d'accueil de ses avires. L'aalyse des résultats a coduit au modèle suivat : d'ue aée sur l'autre, la société «Alizés», otée A, coserve 80% de sa clietèle et récupère 15% des cliets de la société cocurrete, otée B. Pour tout etier aturel, o ote pour la saiso (05 + ) : a la probabilité qu'u touriste ait choisi la société Alizés (A), b la probabilité qu'u touriste ait choisi l'autre société de trasport (B), P a b, la matrice traduisat l'état probabiliste, avec a b 1. Les résultats pour les probabilités serot arrodies à 10 4. 1. Modéliser le chagemet de situatio par u graphe probabiliste de sommets ommés A et B. b. O ote M la matrice de trasitio de ce graphe. Doer cette matrice M. 2. E 05, la société «Alizés» a trasporté 45% des touristes. O a doc a0 0,45. a. Calculer la probabilité qu'u touriste choisisse la société «Alizés» e 06. b. Détermier la matrice P 2 et iterpréter ces résultats. P a b avec a et b deux réels positifs tels que a + b =1. 3. Soit a. Détermier a et b tels que P P M. b. E déduire lim a c. Iterpréter ce résultat. 4. O admet qu'e 15, la probabilité qu'u touriste choisisse la société A est 3. O iterroge quatre 7 touristes choisis au hasard ; les choix des touristes sot idépedats les us des autres. Détermier la probabilité qu'au mois u des quatre touristes choisisse la société «Alizés» pour ses vacaces e 15. Ue plus courte chaîe U orchestre doit effectuer ue tourée passat par les villes A, B, C, D, E, F, G et H, e utilisat le réseau autoroutier. A Le graphe ci-dessous représete les différetes villes de la tourée et 30 les autoroutes reliat ces villes (ue ville est représetée par u poit, ue autoroute par ue arête). 50 B De plus, est complété par les logueurs e kilomètres de chaque troço (les logueurs des segmets e sot pas proportioelles aux distaces). C Des cotraites de caledrier imposet e fait d orgaiser u cocert das la ville F, immédiatemet après u cocert das la ville A. Détermier, e utilisat u algorithme dot o citera le om, le trajet autoroutier le plus court (e kilomètres) pour aller de A à F. Préciser la logueur e kilomètres de ce trajet. E 10 D 30 70 G H 70 F
Elémets de correctio TES Spé maths ARPE soutie : Exercices divers : fiche 3 Graphes Pedat la saiso estivale, deux sociétés de trasport maritime ot l'exclusivité de l'achemiemet des touristes etre deux îles du Pacifique. O admet que le ombre de touristes trasportés pedat chaque saiso est stable. La société «Alizés» a établi ue equête statistique sur les aées 01 à 05 afi de prévoir l'évolutio de la capacité d'accueil de ses avires. L'aalyse des résultats a coduit au modèle suivat : d'ue aée sur l'autre, la société «Alizés», otée A, coserve 80% de sa clietèle et récupère 15% des cliets de la société cocurrete, otée B. Pour tout etier aturel, o ote pour la saiso (05 + ) : a la probabilité qu'u touriste ait choisi la société Alizés (A), b la probabilité qu'u touriste ait choisi l'autre société de trasport (B), P a b, la matrice traduisat l'état probabiliste, avec a b 1. Les résultats pour les probabilités serot arrodies à 10 4. 1. Modéliser le chagemet de situatio par u graphe probabiliste de sommets ommés A et B. b. O ote M la matrice de trasitio de ce graphe. 0,8 Recopier et compléter sur la copie la matrice suivate : M 0,15. 2. E 05, la société «Alizés» a trasporté 45% des touristes. O a doc 0 0,45 a. a. Calculer la probabilité qu'u touriste choisisse la société «Alizés» e 06.
b. Détermier la matrice P 2 et iterpréter ces résultats. 3. Soit P a b avec a et b deux réels positifs tels que a + b =1. a. Détermier a et b tels que P P M. et Or équivaut à Il s agit doc de résoudre le système
b. E déduire lim a Or la matrice de trasitio est celle d u graphe probabiliste d ordre 2 et elle e cotiet aucu coefficiet ul doc c. Iterpréter ce résultat. 4. O admet qu'e 15, la probabilité qu'u touriste choisisse la société A est 3. O iterroge quatre 7 touristes choisis au hasard ; les choix des touristes sot idépedats les us des autres. Détermier la probabilité qu'au mois u des quatre touristes choisisse la société «Alizés» pour ses vacaces e 15.
Ue plus courte chaîe Le problème posé reviet à rechercher ue plus courte chaîe allat de A à F Pour cela, o applique l algorithme de Dijsktra et Moore A B C D E G H F 0 A : 0 30(A) 50(A) B : 30 70(B) 50(A) 70(B) C : 50 60(C) 70(C) D : 60 70(C) 130(D) 130(D) E :70 90(E) 100(E) 130(D) G : 90 110(G) 100(E) 130(D) H : 100 1(H) Il existe u trajet autoroutier de distace miimale : ACEHF Il est log de 1km A 30 50 B C E 10 D 70 F 30 70 G H