Étude constructve de problèmes de topologe pour les réels rratonnels Verson fnale. Avrl 98 Mohamed Khalouan Département de Mathématques, Faculté des Scences Semlala, Unversté de Marrakech, MAROC, et Equpe de Mathématques, UFR des Scences et Technques, Unversté de Franche-Comté Salah Labhalla Département de Mathématques, Faculté des Scences Semlala, Unversté de Marrakech, MAROC emal : fssm.math@cybernet.net.ma Henr Lombard Equpe de Mathématques, CNRS UMR 6623, UFR des Scences et Technques, Unversté de Franche-Comté, 25030 BESANCON cedex, FRANCE, emal : lombard@math.unv-fcomte.fr
Résumé Nous étudons d une manère constructve quelques problèmes de topologe lés à l ensemble Irr des réels rratonnels. L approche constructve nécesste une noton forte d un nombre rratonnel ; constructvement, un nombre réel est rratonnel s l est clarement dstnct de tout nombre ratonnel. Nous montrons que l ensemble Irr est en bjecton avec l ensemble Dfc des développements en fracton contnue (dfc) nfns. Nous défnssons deux extensons de Irr, l une appelée Dfc est l ensemble des dfc de ratonnels et d rratonnels en gardant pour chaque ratonnel un seul dfc, l autre appelée Dfc 2 est l ensemble des dfc de ratonnels et d rratonnels en gardant pour chaque ratonnel ses deux dfc. Nous ntrodusons sx dstances naturelles sur Irr que nous notons d fc0, d fc, d fc2, d, d mr et d cut. Nous montrons que seules les quatre dstances d fc0, d fc, d et d mr parm les sx font de Irr un espace métrque complet. Ces dernères y défnssent la même topologe au sens constructf. Nous étudons ensute l ensemble Dfc en montrant notamment que les rratonnels y forment une parte fermée. En outre, constructvement, Dfc n est pas égal à la réunon de Q et Irr et l ne peut pas être ms en bjecton avec R. Enfn, nous fasons une étude partculère du complété Dfc 2 de Dfc pour les deux dstances métrquement équvalentes d fc2 et d cut. Classquement Dfc 2 est égal à Dfc 2, mas ce n est plus le cas d un pont de vue constructf. Mots clés : analyse constructve, nombres réels rratonnels, fractons contnues, espaces métrques complets, équvalence métrque, homéomorphsme, prncpes d omnscence. Classfcaton math : 03F60, A55. Abstract We study n a constructve manner some problems of topology related to the set Irr of rratonal reals. The constructve approach requres a strong noton of an rratonal number ; constructvely, a real number s rratonal f t s clearly dfferent from any ratonal number. We show that the set Irr s one-to-one wth the set Dfc of nfnte developments n contnued fracton (dfc). We defne two extensons of Irr, one, called Dfc, s the set of dfc of ratonals and rratonals preservng for each ratonal one dfc, the other, called Dfc 2, s the set of dfc of ratonals and rratonals preservng for each ratonal ts two dfc. We ntroduce sx natural dstances over Irr wch we denote by d fc0, d fc, d fc2, d, d mr and d cut. We show that only the four dstances d fc0, d fc, d and d mr among the sx make Irr a complete metrc space. The last dstances defne n Irr the same topology n a constructve sens. We study further the set Dfc n whch, we show that the rratonals consttue a closed subset. Fnally, we make a partcular study of the completon Dfc 2 of Dfc for the two equvalent metrcs d fc2 and d cut. Key words : constructve analyss, rratonal real numbers, contnued fractons, complete metrc spaces, metrc equvalence, homeomorphsm, omnscence prncples. Introducton Dans son lvre fondateur Foundatons of Constructve Analyss ([2]), paru en 967, Erret Bshop montrat dans la pratque que les résultats de base de l analyse classque pouvaent être rendus algorthmques, chose réservée jusqu au là aux seules structures énumérées de l algèbre. L nterprétaton suggérée par Bshop, alternatve à l nterprétaton domnante des mathématques, n est pas entèrement nouvelle ; pluseurs dées qu l a ntrodutes sont dues à L.E.J. Brouwer dans la premère parte de ce sècle. Cependant, ces dées n ont jamas été présentées d une façon qu convanquat le mleu mathématque : leur exposé dvergeat trop des mathématques usuelles et mplquat que celles-c étaent construtes sur des fondements très peu soldes, ou carrément faux. Bshop a montré qu on peut adopter un pont de vue complètement constructf et fare de la mathématque comme elle est toujours comprse. Il l a fat en donnant au formalsme mathématque standard une sgnfcaton constructve chaque fos que c état possble, et en développant un large domane des mathématques usuelles d une manère constructve. 2
Prncpes d omnscence La dfférence essentelle entre les mathématques constructves et les mathématques classques est llustrée par la consdératon d un type smple de proposton concernant l exstence dans un contexte nfn. Sot a = (a n ) une sute bnare (une sute bnare est une constructon qu pour chaque enter postf calcule un élément de {0, }) et consdérons les propostons suvantes : P (a) : a n = pour un certan n, P (a) : a n = 0 pour tout n, P (a) P (a) : P (a) ou P (a), a (P (a) P (a)) : pour toute sute bnare a, P (a) ou P (a). Une preuve constructve de P (a) P (a) dot fournr un algorthme qu, ou ben montre que a n = 0 pour tout n, ou ben calcule un enter postf n tel que a n =. Prenons comme exemple d une sute bnare la sute défne par : { 0 s pour tout m, 2 m n, on a 2m = p + q avec p et q premers a n = snon Une preuve constructve de P (a) P (a) s elle exstat donnerat une méthode pour décder s la conjecture de Goldbach, P (a) est vrae ou fausse en fournssant une constructon qu, ou ben établt la conjecture, ou ben produt un contre-exemple explcte. Mas tant que la conjecture n est pas résolue, une telle preuve n exste pas. On dt que a est un contre-exemple Brouweren à la proposton a (P (a) P (a)). Plus généralement, un contre-exemple Brouweren d une proposton A est une preuve que A mplque un prncpe qu n est pas accepté en mathématques constructves. Le plus mportant de ces prncpes est celu ntrodut par Brouwer que nous présentons sous l appelaton qu lu a été donnée par Bshop, the lmted prncple of omnscence (LPO) qu on peut tradure en franças par Pett Prncpe d Omnscence : S (a n ) est une sute bnare, alors sot l exste n tel que a n =, sot a n = 0 pour tout n. Le prncpe du ters exclu certfe que P P est vrae pour toute proposton P. C est un prncpe d omnscence absolu qu mplque LPO. Le prncpe LPO possède de très nombreuses formes équvalentes parm lesquelles on peut cter les suvantes (cf. [4]) : Pour tout réel x, (x 0 x = 0) Pour tout réel x, (x > 0 x = 0 x < 0) Toute sute d enters naturels est ou ben bornée, ou ben non bornée Toute sute d enters naturels bornée possède une sous-sute constante Toute sute crossante dans N converge dans N { } Toute sute dans N possède une sous-sute convergente dans N { } Toute sute bornée de nombres réels possède une sous-sute convergente Toute sute monotone bornée de nombres réels converge. Dans cet artcle, nous donnons d autres formes équvalentes de LPO dans les théorèmes 5.5 et 6.0. Un deuxème prncpe d omnscence, désgné par LLPO, qu on peut tradure en franças par Mn Prncpe d Omnscence est l affrmaton : x R (x 0 x 0) Affrmer LLPO revent à dre que, dans toute sute d enters naturels, dans le cas où un certan terme serat nul, ou ben le premer ndce pour lequel cela se produt sera par ou ben l sera mpar. Un trosème prncpe d omnscence, noté MP, est le Prncpe de Markov : x R ( x = 0 x 0) Affrmer MP revent à dre que, pour toute sute d enters naturels, s l est absurde que tout terme sot nul, alors l exste un terme non nul. Le Prncpe de Markov a un statut partculer. Tous les systèmes formels constructfs connus ont une règle de déducton valde qu correspond au prncpe de Markov (cf []) : cela tent au fat que constructvement, on ne sat pas rédure à l absurde l hypothèse que tout terme de la sute est nul autrement qu en exhbant un terme non nul. 3
Espaces métrques et contnuté en analyse constructve Nous supposons que le lecteur ou la lectrce a une certane famlarté avec l ouvrage Constructve Analyss ([3]) de E. Bshop et D. Brdges. Nous recommandons auss la lecture de Varetes of Constructve Mathematcs ([5]) écrt par D. Brdges et F. Rchman. Pluseurs résultats classques concernant les espaces métrques ne fonctonnent plus constructvement. Par exemple, en mathématques classques le complémentare d un fermé F dans un espace métrque (X, ρ) est ouvert, par contre en mathématques constructves on ne sat défnr un tel ouvert, le complément métrque de F, que lorsque la dstance ρ(x, F ) entre x et F exste pour tout x dans X. Un ensemble vérfant une telle condton est dt stué. En outre le complément métrque d un fermé stué ne s dentfe pas en général à son complément ensemblste défn de manère purement négatve. La contnuté unforme de fonctons entre espaces métrques est un concept pussant et joue un rôle mportant en analyse constructve. La contnuté smple, par contre, ne l est pas. La contnuté est un concept qu a été ben maîtrsé constructvement dans le cas des espaces localement compacts. Dans le cas général, D. Brdges a défn une foncton contnue entre espaces métrques comme une foncton unformément contnue près de toute mage compacte (cf [4]). Ce concept a encore été relatvement peu exploré, et cec a fourn une motvaton à notre traval. L espace des rratonnels est en effet un espace non localement compact (pour les métrques qu se présentent naturellement) et c état donc un cadre pour analyser en pratque ce que donne la défnton de D. Brdges. Dans le même ordre d dée l faut cter les travaux de M. Beeson concernant la calculablté (au sens des mathématques classques et de la récursvté) dans les espaces métrques (cf. []). Les nombres rratonnels Nous fasons dans cet artcle une étude constructve détallée de certanes métrques naturelles sur l ensemble des réels rratonnels. Un nombre réel x est rratonnel au sens constructf lorsque x q > 0 pour tout nombre ratonnel q. Cela mplque qu on at une mesure d rratonalté explcte pour x. Dans [3], Mark Mandelkern a fat une étude constructve de l ensemble Irr des rratonnels mun de la dstance ( ) d 2 (x, y) = x y + mn 2 k, x q k y q k k= avec Q = {q k } k=. Il a montré que l espace (Irr, d 2 ) est complet. Il a également caractérsé et construt les sous-ensembles compacts et localement compacts de (Irr, d 2 ). Il les a comparés aux partes compactes et localement compactes de R pour la dstance usuelle d (x, y) = x y, lorsque ce sont des partes de Irr. Le traval que nous présentons dans cet artcle est une étude plus détallée des métrques naturelles sur l ensemble Irr, notamment de celles qu sont lées aux développements en fracton contnue. Cette étude est développée dans le style constructf de Bshop. La premère secton rappelle quelques résultats concernant les espaces métrques. Dans la secton 2 nous montrons que l ensemble Irr est en bjecton avec l ensemble des développements en fracton contnue nfns noté Dfc. Nous défnssons deux extensons de l ensemble Dfc. L une, notée Dfc, est l ensemble des dfc de nombres réels, ratonnels ou rratonnels, en gardant pour chaque ratonnel son dfc le plus court. L autre, notée Dfc 2, est l ensemble des dfc de nombres réels, ratonnels ou rratonnels, en gardant pour chaque ratonnel ses deux dfc par et mpar. Ces deux espaces sont lés de manère subtle à la défnton des réels par les coupures selon Dedeknd. Une nterprétaton possble des coupures de Dedeknd est de dre qu une coupure est une foncton crossante Q {, 0, } qu passe de à + en prenant au plus une fos la valeur 0. Selon cette nterprétaton le R de Dedeknd s dentfe à Dfc. Cependant cette dentfcaton ne fonctonne pas constructvement s R est prs au sens usuel (à la Cauchy). Cela tent au fat que la topologe naturelle de Dfc n est pas la même que celle de R. En outre, s on munt l ensemble des coupures d une métrque naturelle en tant que sous espace de {, 0, } Q on vot que classquement le complété de cet espace métrque s dentfe à Dfc 2 Q (chaque ratonnel apparaît 3 fos, une fos en tant que tel, une fos comme lmte de 4
sutes crossantes d rratonnels, une fos comme lmte de sutes décrossantes d rratonnels). Elucder constructvement ces subtltés topologques a été auss une motvaton mportante de notre traval. Nous ntrodusons dans la secton 3 sx dstances sur Irr en prenant pour tous x = [x 0 ; x,..., x n,...] et y = [y 0 ; y,..., y n,...] : d fc0 (x, y) = x 0 y 0 + 2 l s x = y,, x l = y l, et x l+ y l+ x 0 y 0 s x x 0 = y y 0 d fc (x, y) = x 0 y 0 + 2 s s x = y,, x l = y l, x l+ y l+ et s = x 0 y 0 s x x 0 = y y 0 d fc2 (x, y) = x 0 y 0 + s s = s + mn(lg(x l+ ), lg(y l+ )) 2 s x 0 y 0 s x x 0 = y y 0 d(x, y) = x y + ( ) mn 4 p +q, x p q y p q d mr (x, y) = d cut (x, y) = q (p,q)= q>0 max x y, sup mn (p,q)= q>0 ( q, ) x p q y p q l lg(x k ) s q est le plus pett dénomnateur d un ratonnel ntercalé entre x et y. Nous établssons dans la secton 3 quelques résultats élémentares tels le fat que les deux dstances d et d mr (resp. d fc2 et d cut ) sont métrquement équvalentes sur Irr. Le fat que d cut et d mr ne sont pas constructvement topologquement équvalentes sur Irr est presque contrare à l ntuton mmédate que l on peut avor des rratonnels. Ce fat est éclaré par les relatons de d mr et d cut avec les dstances d fc et d fc2. Il est également en rapport avec des résultats de calculablté et de complexté concernant les ensembles R cut et R mr (étrotement lés à d cut et d mr ) défns et étudés dans l artcle [0]. Dans [0] l est établ que, ben qu on pusse passer de R cut à R mr par une fonctonnelle récursve, on peut trouver dans R cut des ponts de fable complexté ayant une complexté arbtrarement grande dans R mr. L explcaton topologque de ce fat est que l applcaton dentté de (Irr, d cut ) vers (Irr, d mr ) n est pas convenable du pont de vue constructf, même s classquement l s agt d un homéomorphsme. Dans la secton 4 nous montrons que les dstances d fc0, d fc, d et d mr rendent complet l ensemble Irr, ce qu n est pas le cas des deux dstances d fc2 et d cut. Nous donnons une caractérsaton des compacts de Irr pour ces quatre dstances. L étude des compacts est une étape ndspensable dans la comparason des dstances. Nous montrons que les quatre dstances d fc0, d fc, d et d cut défnssent la même topologe. Un prncpe nformel de mathématques constructves est le suvant : un ensemble ben défn est en général mun d une métrque naturelle qu en fat un espace complet, et la topologe qu en résulte est unque (par exemple la topologe dscrète n exste pas constructvement sur R). Ce prncpe nformel se trouve c ben vérfé avec l ensemble Irr pusque les dfférentes dstances naturelles qu on peut défnr constructvement sur cet ensemble et qu en font un espace complet lu confèrent ben la même topologe. Dans la secton 5 nous établssons que Dfc est complet pour les deux dstances d fc0 et d fc, que l ensemble Irr est une parte fermée dans Dfc et que Q est une parte dense dans Dfc dont tous les éléments sont solés. Nous montrons que constructvement Dfc n est pas la réunon de Q et Irr et qu l ne peut pas être ms en bjecton avec R (cec confrme le prncpe nformel précédent). Dans la secton 6 nous établssons que le séparé-complété Dfc de Irr, pour les deux dstances d fc2 et d cut, coïncde avec le séparé-complété Dfc 2 de Dfc 2. Nous caractérsons les sutes convergentes de Dfc 2 et nous donnons quelques proprétés ntéressantes de cet espace. Classquement l espace Dfc 2 est complet, mas ce n est pas le cas constructvement. k= 5
Nous termnons en remarquant que l étude que nous fasons dans cet artcle débouche naturellement sur une étude de complexté. Les espaces métrques défns constructvement se prètent en effet naturellement à une étude dans le cadre de la complexté algorthmque (cf. [9], [2]). La comparason entre une telle étude avec les espaces Irr, Dfc, Dfc 2 et l étude plus drecte qu avat été donnée dans [0] concernant les questons de complexté pour les nombres rratonnels nous semble devor être nstructve et nous préparons actuellement un artcle sur ce sujet ([8]). Quelques rappels d analyse constructve Nous rappelons dans cette secton certans ponts un peu délcats d analyse constructve. Dans un espace métrque, le complémentare d un ouvert est un fermé, mas le complémentare d un fermé n est pas toujours un ouvert. Cet obstacle est surmonté en analyse constructve par l ntroducton des notons très utles d ensemble stué (located set) et de complément métrque. Défnton. Un sous-ensemble non vde A d un espace métrque X est stué dans X s la dstance de x à A exste pour chaque x dans X. ρ(x, A) = nf{ρ(x, y) : y A} Le complément métrque, noté X A (ou smplement A), d un sous-ensemble stué A d un espace métrque X est l ensemble ouvert X A = {x X : ρ(x, A) > 0}. Il exste des sous-ensembles non vdes de R qu ne sont pas stués 2. S A est stué dans un espace métrque X, alors la clôture A de A dans X est stuée, et ρ(x, A) = ρ(x, A) pour chaque x dans X. De plus pour chaque x dans X et chaque ε > 0, ρ(x, A) > 0 ou ben ρ(x, A) < ε ; ans, lorsque A est stué, A A est dense dans X 3. La proposton subtle c-après correspond au lemme 3.8 dans [3]. Proposton.2 Sot K un sous-ensemble complet stué d un espace métrque (X, ρ), et y un élément de X. Alors l exste a K tel que : ρ(y, a) > 0 ρ(y, K) > 0. Preuve. Il faut seulement montrer ρ(y, a) > 0 ρ(y, K) > 0. Pour tout n N, on a ρ(y, K) > /2 n+ ou ρ(y, K) < /2 n (test numéro n). On peut donc construre une sute (z n ) dans K de la manère suvante : z est chos arbtrarement, pus, récursvement, en utlsant à l étape n le test numéro n : s ρ(y, K) > /2 n+ on pose z n := z n s ρ(y, K) < /2 n on trouve z n vérfant ρ(y, z n ) < /2 n. S le test numéro m donne ρ(y, K) > /2 m+ la sute statonne à partr de z m. On en dédut que dans tous les cas ρ(z n, z n+k ) < 2 nf(ρ(y, z n ), /2 n ) (fare une preuve par récurrence sur k). Donc la sute (z n ) est de Cauchy. Elle converge vers un élément a de K. On a alors par passage à la lmte dans l négalté c-dessus ρ(z n, a) 2ρ(y, z n ) et par sute ρ(y, a) 3ρ(y, z n ). Supposons mantenant ρ(y, K) < /2 n+, alors le test numéro n condut à ρ(y, z n ) < /2 n et donc ρ(y, a) < 3/2 n. Par contrapposton ρ(y, a) 3/2 n ρ(y, K) /2 n+. Lorsqu on met la négaton en talque, cela sgnfe que l affrmaton est mpossble à prouver constructvement. Par exemple parce qu elle mplque un prncpe d omnscence. Dre que le complémentare de l ensemble {0} dans R est ouvert équvaut à affrmer MP. 2 Par exemple, consdérons une sute (x n) dans R crossante majorée et qu n est pas de Cauchy, alors l ensemble A de ses valeurs n est pas stué. 3 En mathématques classques, toute parte non vde A de X est stuée, et A A = X. Le théorème constructf : s A est stué alors X = A A a donc un contenu algorthmque précs qu échappe en parte aux mathématques classques. 6
En analyse constructve un espace métrque compact est un espace précompact (totally bounded) et complet. Pusqu l y a des ensembles {a, b} R qu ne sont pas fermés 4, l est mpossble de montrer constructvement que l mage d un compact par une applcaton unformément contnue est un compact. La dffculté est en parte (en parte seulement) contournée par la défnton et la proposton qu suvent. Défnton.3 Sot f une applcaton d un espace métrque (X, ρ) vers un espace métrque (X, ρ ). On dt que f est njectve s f(x) f(y) lorsque x, y X et x y. On dt que f est hypernjectve s pour tous compacts K, L de X avec ρ(k, L) > 0, l exste r > 0 tel que ρ (f(x), f(y)) r pour tout x K et tout y L. Proposton.4 Sot f une applcaton contnue hypernjectve d un espace compact (X, ρ) vers un espace métrque (X, ρ ). Alors f(x) est compact et l applcaton nverse g : f(x) X est unformément contnue hypernjectve sur f(x). Les espaces métrques séparables complets, appelés auss espaces polonas, sont des objets fondamentaux en analyse constructve comme en analyse classque. Sot N un ensemble dénombrable et ((X n, ρ n )) n N une famlle dénombrable d espaces métrques 5 non vdes. Soent u = (u n ) n N et v = (v n ) n N deux famlles de réels > 0 ndexées par l ensemble dénombrable N telles que u n v n sot une sére convergente. On défnt alors sur l espace produt X = n N X n une dstance ρ u,v par : ρ u,v (x, y) = n N u n mn(v n, ρ n (x n, y n )) pour tous x = (x n ) n N et y = (y n ) n N dans X. Soent mantenant u = (u n) n N et v = (v n) n N deux famlles de réels > 0 ndexées par l ensemble dénombrable N telles que (u nv n) converge vers 0. On a alors sur l ensemble produt X une autre dstance ρ u,v donnée par : ρ u,v (x, y) = sup(u n mn(v n, ρ n (x n, y n ))) (notez que la borne supéreure d une sute convergente exste constructvement.) Nous avons alors le lemme c-après. n N Lemme.5 Les deux dstances ρ u,v et ρ u,v X. défnes c-dessus sont métrquement équvalentes sur Preuve. Vor [7]. Remarque.6 Il découle du lemme.5 que lorsqu on remplace (u, v) par un autre couple (u 0, v 0 ) vérfant les mêmes condtons, les deux dstances correspondantes ρ u,v et ρ u0,v 0 sont métrquement équvalentes. Même constataton concernant ρ u,v. On utlse souvent ρ u,v avec v constante égale à. On notera alors ρ u la dstance correspondante. De même, on notera ρ u la dstance ρ u,v avec v =. 4 On montre faclement que nf(a, b) est dans l adhérence de {a, b}. Donc s {a, b} est fermé, on a a b b a. Ans, dre que {a, b} est fermé pour tous a, b mplque LLPO. 5 Cec dot être comprs au sens constructf,.e., la dstance ρ n(x, y) est explcte en tant que foncton de n et de x, y X n. 7
Théorème.7 Soent X = X n mun de la dstance ρ u,v et a = (a n ) un élément de X. ) Une sute (x (m) ) m N dans X converge s, et seulement s, pour tout n N, la sute (x (m) n ) m N converge dans X n vers une lmte y n, la lmte de la sute (x (m) ) dans X est alors (y n ) n N. 2) S la famlle est une famlle d espaces complets, la dstance ρ u,v donne à X une structure d espace métrque complet. S la famlle est une famlle d espaces séparables, le produt est également un espace séparable. S la famlle est une famlle d espaces précompacts (resp. compacts), le produt est également un espace précompact (resp. compact). Preuve. Vor [7]. Soent (X, ρ) un espace métrque complet et U le complément métrque d un sous-ensemble fermé stué F de X. Alors U est complet pour la dstance d U défne par : d U (x, y) = ρ(x, y) + ρ(x, F ) ρ(y, F ). En général, s f : X R est une foncton unformément contnue sur X, alors l ouvert U f = {x X; f(x) 0} est un espace métrque complet pour la dstance d f défne par : d f (x, y) = ρ(x, y) + f(x) f(y). S (X, ρ) un espace polonas, l en est de même pour U f. Théorème.8 (Sutes convergentes et compacts dans U f ) Avec les notatons c-dessus : ) Une sute (x n ) dans U f est convergente vers x U f pour d f s, et seulement s, elle est convergente vers x pour ρ dans X 2) Un sous-ensemble K de U f est compact dans (U f, d f ) s, et seulement s, les deux condtons suvantes sont vérfées 6 : a) K est compact dans X b) r > 0 x K f(x) r Preuve. Vor [7]. Sot (U n ) une famlle d ouverts de (X, ρ) ndexée par un ensemble dénombrable N telle que, pour tout n N, U n est le complément métrque d un fermé stué F n 7. Sot auss u = u n une sére convergente à termes postfs. L espace n N U n est alors métrsé par la dstance : ρ u (x, y) = n N u n mn(, ρ n (x n, y n )) pour tous x = (x n ) n N et y = (y n ) n N éléments de n N U n avec ρ n (x n, y n ) = ρ(x n, y n ) + ρ(x n, F n ) ρ(y n, F n ) La dstance ρ u défnt sur n N U n une structure d espace métrque complet. Sot g : U = n N U n n N U n l applcaton dagonale défne par : g(x) = (x, x,...). L mage de U par g est une parte fermée dans n N U n et U est donc un espace complet pour la métrque correspondante. 6 En général, la condton b) ne peut pas être dédute constructvement de la condton a). 7 Cec dot être comprs au sens constructf,.e., la dstance ρ(x, F n) de x à F n est une foncton g(x, n) explcte de x et de n. En outre, l dot s agr de la foncton dstance à F n au sens constructf : on dot avor la preuve que g(x, n) ρ(x, y) pour tout y F n, et, pour tous x X, n N, m N, on dot pouvor donner y F n vérfant ρ(x, y) < g(x, n) + /2 m. 8
Sur l ouvert U la dstance obtenue est métrquement équvalente aux deux dstances suvantes : d u (x, y) = ρ(x, y) + ( ) u n mn, ρ(x, F n ) ρ(y, F n ) n N ou encore, avec v = (v n ) une sute de réels postfs tendant vers 0 : ( ) δ v (x, y) = ρ(x, y) + sup mn v n, n N ρ(x, F n ) ρ(y, F n ) Remarque.9 Il semble qu l y at des cas où, par contre, cet espace U ne sot pas un espace séparable ben que X le sot, comme pour U = n N U n avec U n = ]0, /( + u n )[ où (u n ) est une sute crossante à valeurs dans {0, }. Théorème.0 (Sutes convergentes et compacts de U = n N U n) Sot (X, ρ) un espace métrque complet et U = n N U n l ntersecton dénombrable de compléments métrques de fermés stués F n. Sot ρ u une dstance naturelle sur U (telle que celles défnes c -dessus). ) Sot (x m ) m N une sute dans U et sot z U, alors la sute (x m ) ρ u converge vers z dans U s et seulement s elle ρ converge vers z dans X. 2) Un sous-ensemble K de U est compact pour ρ u s et seulement s les deux condtons suvantes sont vérfées : a) K est compact pour ρ dans X, b) Il exste une sute ε n de réels telle que pour tout n N ρ(k, F n ) ε n > 0. Preuve. Vor [7]. Dans le cas où les F n sont réduts à des ponts, le théorème précédent peut être sensblement améloré. Théorème. Sous les mêmes hypothèses qu au théorème.0 et avec F n = {y n }, un sousensemble K de U est compact pour ρ u s et seulement s l est compact pour ρ dans X. Preuve. Nous devons montrer que la condton b) du théorème.0 (2) est automatquement vérfée pour un ρ compact K U. Sot n N, nous voulons montrer que ρ(y n, K) > 0. En applquant la proposton.2 nous construsons un a n dans K tel que ρ(y n, a n ) > 0 mplque ρ(y n, K) > 0. Or pusque a n K, par défnton de l ncluson K R {y n } on a justement ρ(y n, a n ) > 0. Remarques.2 ) En pratque, pour un ρ compact K de X l semble mprobable qu on pusse certfer que K est contenu dans U (et donc ρ u compact) autrement qu en réalsant de manère explcte la condton b) du théorème.0 (2). Cela lmte la protée réelle du théorème.. 2) Le théorème. est établ par Mandelkern (th. 3.5 dans [3]) dans le cas de l espace U = Irr des réels rratonnels mun d une métrque naturelle du style ρ u. Il démontre également (th. 4.3) la caractérsaton suvante pour un compact K : d une part K est fermé et stué pour la dstance de Irr, d autre part K est borné et Q (R K) pour la dstance de R. Nous ne savons pas s cette cactérsaton fonctonne pour n mporte quelle dstance naturelle telle que nous les avons défnes. Par alleurs, on peut remarquer que la condton Q (R K) n est autre que la condton b) du théorème.0 (2). Les défntons et résultats qu suvent provennent de [4]. Un sous-ensemble A d un espace métrque E est dt mage compacte (dans E) s l exste une applcaton unformément contnue λ d un espace compact X dans E avec λ(x) = A. 9
Défnton.3 Une applcaton f : (E, d) (E, d ) est dte contnue s elle est unformément contnue près de toute mage compacte A dans E, c.-à-d. ε > 0 δ > 0 x A y E ( d(x, y) δ = d (f(x), f(y)) ε ). Remarque.4 S l espace E est complet, la défnton c-dessus équvaut à la contnuté unforme près de tout compact. Classquement, une applcaton entre espaces métrques est contnue au sens de la défnton de D. Brdges s et seulement s elle est ponctuellement contnue (.e., contnue en tout pont), s et seulement s elle est séquentellement contnue (.e., elle transforme toute sute convergente en une sute convergente). Constructvement, on ne sat pas prouver ces équvalences. Néanmons, constructvement, la contnuté séquentelle sufft pour prouver que l mage récproque d un fermé est un fermé, et la contnuté ponctuelle sufft pour démontrer que l mage récproque d un ouvert est un ouvert. Proposton.5 La composée de deux fonctons contnues est une foncton contnue. Soent E et E deux espaces métrques et f : E E une applcaton contnue avec f(e) = E. S l nverse f est défne et contnue, on dt que f est un homéomorphsme de E dans E et que E est homéomorphe à E. Proposton.6 Soent (X, ρ) et (X, ρ ) deux espaces métrques et f un homéomorphsme de X vers X. Alors f est hypernjectve. Proposton.7 a) Deux espaces équvalents sont homéomorphes. b) L mage d un compact par un homéomorphsme est un compact. Défnton.8 Deux dstances sur un même ensemble X sont dtes topologquement équvalentes s l dentté est contnue dans les deux sens. Deux espaces homéomorphes sont auss dts topologquement équvalents. 2 Nombres rratonnels et fractons contnues Nous rappelons quelques résultats classques concernant les nombres rratonnels et les développements en fracton contnue, en ndquant brèvement les preuves constructves. Un nombre rratonnel est défn constructvement comme un nombre réel x qu est clarement dstnct de tout nombre ratonnel. Autrement dt, x est connu comme nombre réel mas en plus, pour tout ratonnel p/q on peut explcter un enter m tel que x p/q > /2 m. Développements en fracton contnue fne d un nombre ratonnel Sot a 0 un enter et (a,..., a n ) une sute fne d enters strctement postfs. Nous notons par [a 0 ; a,..., a n ] la fracton contnue fne : a 0 + a + a 2 +... + a n Chaque nombre ratonnel r a une unque représentaton en fracton contnue fne [a 0 ; a,..., a n ] avec a n > s n. Par alleurs [a 0 ; a,..., a n ] = [a 0 ; a,..., a n, ] (avec n 0). On en dédut que tout ratonnel r a une unque représentaton en fracton contnue fne avec n mpar et une unque représentaton en fracton contnue fne avec n par. 0
Développement en fracton contnue nfne d un nombre rratonnel Consdérons mantenant une sute nfne d enters a = (a n ) n N vérfant a 0 Z, n a n > 0 Nous notons par p n /q n le crochet [a 0 ; a,..., a n ] qu s appelle le n-ème convergent de a, nous avons alors : n 2 p n = a n p n + p n 2, q n = a n q n + q n 2, q n 2 (n )/2, n 0 p n q n+ p n+ q n = ( ) n. Donc, pour tout n 0 p n p n+ q n = /2 n q n q n+ q n+ et la sute p n /q n converge vers un réel x, que nous noterons j fc (a). Pour tout k 0, la sute fne défne par p k q k, p k+2 q k+2, x, p k+ q k+ est strctement monotone, crossante s k est par et décrossante s k est mpar. Plus généralement, nous avons le résultat suvant : pour tout k 0, la sute fne défne par p k q k, p k + p k+ q k + q k+,..., p k + a k+2 p k+ q k + a k+2 q k+ = p k+2 q k+2, x, p k+ q k+ est strctement monotone, crossante s k est par et décrossante s k est mpar. Dans la sute nous désgnons par p k, la fracton p k + p k (0 a k+ ). Une telle fracton est q k, q k + q k appelée un convergent ntermédare de x. Nous avons mantenant le résultat mmédat suvant. Lemme 2. Pour tout n on a : En partculer, x. q n (q n + q n+ ) < x p n <. q n q n+ q n x p n < x p n. q n On en dédut la proprété de melleure approxmaton ratonnelle vérfée par p n /q n par rapport à Lemme 2.2 Pour tout enter n et tout ratonnel a/b tel que 0 < b q n et a/b p n /q n on a : x a > b x p n. q n Preuve. Supposons pour fxer les dées que n est mpar. On a donc : p n < x < p n. q n q n [ pn S a/b /, p ] n alors, d après le lemme 2., x a > q n q n b x p n q n. [ pn S a/b, p [ n alors a q n q n bq n b p n q n < p n p n q n q n =. q n q n C est à dre b > q n. Ce qu contredt l hypothèse b q n. De là découle que x est rratonnel. Nous allons vor qu on obtent ans une bjecton entre l ensemble des nombres rratonnels et l ensemble des développements en fracton contnue nfns. Introdusons tout d abord les notatons suvantes. q n
Notatons 2.3 Nous notons Irr l ensemble des réels rratonnels et j : Irr R l njecton canonque. Nous notons R cont l ensemble des sutes nfnes d enters (a n ) n N vérfant a 0 Z, n a n 0 Nous notons j cont : R cont R l applcaton canonque défne comme sut : sot a = (a n ) R cont et m > 0, ϕ m (a) désgne a 0 s a = 0, [a 0 ;..., a m ] = p m /q m s a > 0,..., a m > 0, et [a 0 ;..., a k ] = p k /q k s a > 0,..., a k > 0, a k+ = 0 avec 0 < k < m ; enfn j cont (a) est la lmte de ϕ m (a) lorsque m tend vers l nfn (cette lmte exste d après les consdératons précédentes). Nous notons Dfc l ensemble des développements en fracton contnue nfns, c.-à-d. les sutes nfnes d enters (a n ) n N vérfant a 0 Z, n a n > 0 Notez que j fc est la restrcton de j cont à Dfc. Nous notons Dfc la parte de R cont défne par l équvalence suvante a = (a n ) n N Dfc { n > 0 ( an = 0 a n+ = 0 ) et n > 0 ( a n = a n+ 0 ) Nous notons j fc la restrcton de j cont à Dfc. Nous notons Dfc 2 la parte de R cont défne par l équvalence suvante a = (a n ) n N Dfc 2 n > 0 ( a n = 0 a n+ = 0 ) Nous notons j fc2 la restrcton de j cont à Dfc 2. Dans la sute nous utlsons l abrévaton dfc pour développement en fracton contnue. Remarque 2.4 L ensemble Dfc peut être comprs comme l ensemble des dfc de nombres réels, ratonnels ou rratonnels, à condton de garder pour chaque ratonnel un seul dfc (on a chos le plus court). Notez que constructvement, un nombre réel n est pas ou ben ratonnel ou ben rratonnel. Notez auss que Dfc n est pas non plus, constructvement, exactement la réunon dsjonte de Dfc et de Q, pusqu on peut constater qu un élément de Dfc représente un ratonnel, mas on ne peut pas constater qu l représente un rratonnel. Ans, dans Dfc, les ratonnels et les rratonnels sont mélangés jusqu à un certan pont, mas dans une mondre mesure que dans R (vor théorème 5.5 et proposton 5.6 pour plus de précsons). De même, l ensemble Dfc 2 peut être comprs comme l ensemble des dfc de nombres réels, ratonnels ou rratonnels, à condton de garder pour chaque ratonnel ses deux dfc. On a vu que j fc défnt une applcaton de Dfc vers Irr, on a alors la proposton suvante. Proposton 2.5 En tant qu applcaton de Dfc vers Irr, j fc est une bjecton. Preuve. Nous allons construre la bjecton récproque de j fc. Sot x un rratonnel. Il est connu en tant que réel et par sa mesure d rratonalté, c.-à-d. l exste deux fonctons Φ : N Q et ν : N N telles que n x Φ(n) 2 n p, q x p q > ν(q) On peut supposer la foncton ν crossante 8. Posons K(0) =, K(n + ) = ν(k(n)), et ω(n) = K(n)(K(n) + K(n + )). 8 Il sufft de remplaçer la foncton ν par la foncton ν défne par : ν (n) := sup{ν(p); 0 p n}. 2
En rasonnant par récurrence sur n, nous démontrons à l ade du lemme 2. que pour tout enter n N q n K(n), et x p n > ω(n) x Φ(ω(n)). q n Par sute Φ(ω(n)) dot être comprs entre p n /q n et p n+ /q n+, ce qu prouve que x et Φ(ω(n)) ont les mêmes quotents partels jusqu à n. On pose a 0 = Ent(Φ(ω(0))). Supposons avor défn a 0, a,..., a n. On consdère la foncton homographque : L n (z) := [a 0 ; a,..., a n, z] = p nz + p n q n z + q n. z est rratonnel s et seulement s L n (z) est rratonnel. On appelle H n la bjecton récproque de L n. H n (y) = q n y p n q n y p n z est rratonnel s et seulement s H n (z) est rratonnel. On pose alors a n+ := Ent(H n (Φ(ω(n)))). x et Φ(ω(n)) ont les mêmes quotents partels jusqu à n. Nous venons de défnr une applcaton ψ de Irr vers Dfc. Il nous reste à prouver que c est la bjecton récproque de j fc. Montrons que ψ(j fc (a)) = a pour tout a Dfc. Sot a = (a n ) Dfc. Par défnton j fc (a) = lm = [a 0 ; a,..., a n ]. n q n Or, Φ(ω(n)) et p n /q n ont les mêmes quotents partels jusqu à n, d où p n q n avec p n ψ(j fc (a)) = (Ent(Φ(ω(0))); Ent(H 0 (Φ(ω(0)))),..., Ent(H n (Φ(ω(n)))),...) = (a 0 ; a,..., a n+,...) = a. Inversement, montrons que pour tout x Irr j fc (ψ(x)) = x. Sot x Irr. Pusque x et Φ(ω(n)) ont les mêmes quotents partels jusqu à n, on a : Ent(x) = Ent(Φ(ω(0))),..., EntH n (x) = Ent(H n (Φ(ω(n)))). Par sute, j fc (ψ(x)) = lm n [Ent(Φ(ω(0)));..., Ent(H n(φ(ω(n))))] = lm n [Ent(x);..., EntH n(x)] = x. Désormas, lorsque cela ne crée pas de confuson, nous dentferons les éléments de Irr et de Dfc (ce qu dentfe j fc : Dfc R et j : Irr R). S x = [a 0 ; a,..., a n,...] et p n /q n = [a 0 ; a,..., a n ], l enter a n s appelle le n-ème quotent partel et la fracton p n /q n le n-ème convergent du nombre rratonnel x. Ces défntons s étendent aux nombres ratonnels dont le dfc admet au mons n + termes. S y est comprs entre (p n + p n )/(q n + q n ) et p n /q n alors x et y ont le même dfc jusqu à l ordre n, et donc les mêmes convergents jusqu à p n /q n. Nous notons parfos le n-ème convergent p n /q n de x par x n = p x n/q x n. 3 Sx dstances naturelles sur l ensemble des rratonnels, premères remarques Dans [3] Mark Mandelkern a étudé l ensemble Irr mun des deux dstances d et d 2 défnes, pour tous x, y Irr, par : d (x, y) = x y 3
( ) d 2 (x, y) = x y + mn 2 k, x q k y q k avec Q = {q k } k=. k= Mandelkern a montré que ces deux dstances ne sont pas métrquement équvalentes sur l espace Irr et que ce derner mun de la dstance d 2 est complet. Il a également caractérsé et construt les sous-ensembles compacts et localement compacts de Irr pour ces deux dstances. La dstance d 2 est métrquement équvalente aux dstances naturelles sur Irr en tant qu ntersecton dénombrable d ouverts R {q k }. Dans cette secton, nous allons défnr sur Irr sx dstances noteés d fc0, d fc, d fc2, d cut, d et d mr. La dstance d est métrquement équvalente à la dstance d 2 c-dessus. Nous donnerons tout de sute quelques résultats élémentares et sgnfcatfs, notamment : d et d mr sont métrquement équvalentes sur Irr R cont est complet pour d fc0 et d fc (ces deux dstances s étendent naturellement à R cont ) Dfc et Dfc sont fermés dans R cont pour d fc0 et d fc (donc ce sont des espaces métrques complets pour ces dstances). d fc2 et d cut sont métrquement équvalentes sur Irr. Pour x Z, lg(x) désgne la longueur de l écrture en bnare de x. Défnton 3. Soent x = [x 0 ; x,..., x n,...] et y = [y 0 ; y,..., y n,...] deux éléments de l ensemble Irr Dfc, nous défnssons : d fc0 (x, y) = x 0 y 0 + 2 l s x = y,, x l = y l, et x l+ y l+ x 0 y 0 s x x 0 = y y 0 d fc (x, y) = x 0 y 0 + 2 s s x = y,, x l = y l, x l+ y l+ et s = x 0 y 0 s x x 0 = y y 0 d fc2 (x, y) = x 0 y 0 + s s = s + mn(lg(x l+ ), lg(y l+ )) 2 s x 0 y 0 s x x 0 = y y 0 d(x, y) = x y + ( ) mn 4 p +q, x p q y p q d mr (x, y) = d cut (x, y) = (p,q)= q>0 l lg(x k ) ( ) max x y, sup mn (p,q)= q, x p q y p q q>0 s q est le plus pett dénomnateur d un ratonnel ntercalé entre x et y q Remarques 3.2 ) La défnton de d fc0 n est pas constructve au sens strct, mas elle peut être rendue constructve de la manère suvante. Tout d abord, on défnt pour n l enter l n (x, y) par les condtons suvantes : 0 l n (x, y) n pour 0 < l n (x, y), on a x = y s l n (x, y) < n, alors x +ln(x,y) y +ln(x,y). Ensute, d fc0 (x, y) := x 0 y 0 + lm n 2 ln(x,y). 2) Des remarques analogues s applquent pour les défntons de d fc, d fc2 et d cut. On notera en partculer que d cut (x, y) est ben défn constructvement en tant que nombre réel, mas pas en tant que nombre ratonnel. 3) On vérfe sans dffculté que chacune des fonctons défnes en 3. est une dstance sur Irr. 4) Dans la défnton de d fc0, d fc et d fc2, s x y on a d fc0 (x, y) = d fc (x, y) = x 0 y 0 + et d fc2 (x, y) = x 0 y 0 + avec s = mn(lg(x ), lg(y )). Cette dfférence de comportement llustre sur 2 s un cas smple le dvorce défntf entre d fc et d fc2. 4 k=
4) Les défntons de d fc0, d fc s étendent de manère naturelle à R cont et Dfc. 5) La défnton de d fc2 s étend de la manère naturelle suvante à Dfc 2 : pour des éléments de Dfc 2 on applque la défnton en convenant que lg(x l+ ) = s x l+ = 0. (Pour plus de précsons vor secton 6). Nous établssons mantenant un certan nombre de résultats élémentares. Proposton 3.3 Les deux dstances d et d mr sont métrquement équvalentes sur Irr. Ce sont en effet deux dstances naturelles sur Irr, c.-à-d. qu correspondent à la défnton de Irr comme ntersecton dénombrable des ouverts R {r} (où r parcourt Q). Remarque 3.4 La dstance d mr n est pas exactement une dstance naturelle du type ρ,v (cf. secton page 7) sur Irr en tant qu ntersecton dénombrable d ouverts. Le problème est que /q ne tend pas vers 0 lorsque n = (p, q) tend vers l nfn. Cependant, on peut la consdérer comme telle car pour chaque q > 0 le nombre de couples (p, q) ntervenant réellement dans le sup dans la défnton de d mr est fn. Nous commençons par un lemme qu permet de ben appréhender la sgnfcaton des dstances d fc et d fc2. Lemme 3.5 a) Sot p l /q l = [x 0 ; x,..., x l ] avec x 0 Z et x,..., x l enters > 0, et s = lg(x ) + + lg(x l ). Alors q l 2 s (2q l ) 2. b) Soent x et y deux éléments dstncts de Irr avec Ent(x) = Ent(y). Sot l le premer ndce tel que les dfc de x et de y sont dstncts au rang +, et q l le dénomnateur du l-ème convergent commun de x et de y. Alors (2q l ) 2 d fc(x, y) q l. c) De même s on note q l+ le plus pett des deux dénomnateurs ql+ x et qy l+ des l+-èmes convergents de x et y, on a : (2q l+ ) 2 d fc2(x, y). q l+ Preuve. Les affrmatons b) et c) dsent la même chose que a). Nous montrons a). D une part, nous avons Or, + a 2 lg(a), d où q l 2 P l = lg(x ). D autre part, s l est par, nous avons q l = x l q l + q l 2 ( + x l )q l l ( + x ). q l = x l q l + q l 2 ( + x l x l )q l 2 ( + x 2 x 2 ) = 2 s. Or, + ab 2 /2(lg(a)+lg(b)) pour tous enters postfs a et b, d où q l 2 s/2. Par sute q 2 l 2s. S l est mpar, c.-à-d. l = 2k +, nous avons q l l/2 = = k ( + x 2+ x 2 ) x 2 P l 2 =2 lg(x ) x. = Or, x 2 2 lg(x ), d où q l 2 s/2. Par sute (2q l ) 2 2 s. On en dédut : 5
Proposton 3.6 Les deux dstances d fc2 et d cut sont métrquement équvalentes sur Irr. Preuve. Supposons par exemple que q x l = qy l = q l, q x l = qy l = q l, q x l+ < qy l+. On a : qx l+ = x l+ q l + q l et q y l+ = y l+q l + q l avec x l+ < y l+. Alors le ratonnel (( + x l+ )p l + p l ) / (( + x l+ )q l + q l ) est stué entre x et y. Et tout ratonnel ntercalé entre x et y aura son (l + )-ème convergent de la forme (ap l + p l )/(aq l + q l ) avec x l+ a y l+. Le résultat est donc clar. Proposton 3.7 L applcaton j : Irr R qu représente l ncluson de Irr dans R est unformément contnue pour d fc0, d fc, d fc2, d, d mr et d cut au départ et à l arrvée. Preuve. Pour les dstances d et d mr le résultat est mmédat. Pour les autres dstances, vue la proposton 3.6, et vu que d fc2 d fc d fc0, l sufft de montrer le résultat pour d cut. Supposons d cut (x, y) =, alors les ratonnels de la forme k/(q ) sont à l extéreur de l ntervalle q d extrémtés x et y. Par sute, x y q. Remarque 3.8 Dans la proposton ( précédente, s on remplace ) la dstance d mr par la dstance d mr défne par d mr (x, y) = sup q, x p q y p q l applcaton j reste unformément mn (p,q)= q>0 (p,q)= q>0 contnue. Par contre, pour la dstance d défne par d (x, y) = ( ) mn 4 p +q, x p q y p q l applcaton j n est pas unformément cont- nue car la sute u n = n + a (où a est un rratonnel) est une sute d Cauchy dans Irr mas n est pas une sute convergente dans R. Lemme 3.9 L espace métrque R cont est complet pour les deux dstances d fc0 et d fc. Les deux dstances défnssent les mêmes sutes convergentes. Une sute (x (n) ) dans R cont converge (pour l une de ces deux dstances) s, et seulement s, pour tout k N, (x (n) k ) n N est constante à partr d un certan rang N k, la lmte de (x (n) ) dans R cont est alors (x (N k) k ) k N. Preuve.. Pour la dstance d fc0 c est clar car c est une dstance correspondant à R cont vu comme produt d ensembles Z ou N muns de métrques dscrètes. 2. Sot (x (n) ) une d fc sute de Cauchy dans R cont. Supposons sans perte de généralté que d fc (x (m), x (n) ) /2 mn(m,n). Pour tous m n, on a donc : x (m) 0 = x (n) 0 et x (m) = x (n). On pose y 0 = x () 0 et y = x (). On défnt alors pour n 2 les enters α(n) et y n par récurrence de la manère suvante : { α(n + ) := lg(y ) + + lg(y n ) + y n+ := x α(n+) n+ On prouve alors faclement par récurrence que pout tout n 2 on a : m α(n) x (m) 0 = y 0,..., x (m) n = y n. Et donc y = [y 0 ; y,..., y n,...] est la lmte de la sute (x (n) ) pour les dstances d fc0 et d fc. 6
Lemme 3.0 Sot k un enter. L applcaton π k défne de (R cont, d fc0 ) vers Z qu à x = (x n ) assoce x k est unformément contnue. La même applcaton π k, de (R cont, d fc ) vers Z, est séquentellement contnue. Preuve. Pour la dstance d fc0 le résultat est un cas partculer du fat que les fonctons coordonnées défnes sur un produt sont unformément contnues. Pour la dstance d fc, c est une conséquence du lemme 3.9. Lemme 3. Dfc et Dfc sont fermés dans R cont pour chacune des dstances d fc0 et d fc. Preuve. Selon leur défnton, et en applquant le lemme précédent, ces partes de R cont sont en effet des ntersectons d mages récproques de fermés par des applcatons unformément ou séquentellement contnues. Par exemple la condton x k = 0 x k+ = 0 sgnfe (π k (x), π k+ (x)) {(0, 0)} ((N \ {0}) N) qu est une parte fermée de N N. 4 L ensemble des rratonnels comme espace métrque complet Dans cette secton nous montrons que les dstances d fc0, d fc, d et d mr défnssent sur l ensemble Irr une stucture d espace métrque complet. Nous donnons une caractérsaton des sutes convergentes de Irr pour ces quatre dstances. Nous étudons ensute les compacts de Irr pour chacune de ces dstances. Enfn, nous montrons qu elles défnssent la même topologe au sens constructf sur Irr. 4. Problèmes lés à la complétude de Irr Nous avons les deux théorèmes suvants qu nous dsent quelles dstances (pour les sx dstances ntrodutes) rendent Irr complet. Théorème 4. L espace Irr est complet pour les dstances d fc0, d fc, d, et d mr. Preuve. Pour d fc0 et d fc cela résulte mmédatement des lemmes 3.9 et 3.. Par alleurs, les dstances d et d mr sont des dstances naturelles sur Irr vu comme ntersecton d une famlle dénombrable de complémentares de fermés stués dans R : Irr = p Z,q N (p,q)= U p,q avec U p,q = R {p/q} et donc Irr est complet pour ces dstances (vor secton ). Théorème 4.2 L espace Irr n est pas complet pour les dstances d fc2 et d cut. Preuve. Les dstances d fc2 et d cut sont métrquement équvalentes. On fat la preuve pour d fc2. Consdérons la sute (u n ) n N défne par u n = [0, 2 n,,,,...]. (u n ) n N est une sute de Cauchy dans (Irr, d fc2 ) pusque d fc2 (u n, u n+p ) = 2 n. Cependant, cette sute n est pas convergente : s l y avat une lmte dans Irr, elle serat auss une lmte dans R pour la dstance eucldenne (vor proposton 3.7), or cette lmte est égale à 0 qu n appartent pas à Irr. Dans la secton 6 nous étuderons le séparé-complété de Irr pour les dstances métrquement équvalentes d fc2 et d cut. 7
4.2 Caractérsaton des sutes convergentes de Irr Nous avons le théorème suvant qu caractérse les sutes convergentes pour les quatre dstances d fc0, d fc, d et d mr. Théorème 4.3 Sot (x n ) une sute dans Irr et z Irr. Les proprétés suvantes sont équvalentes (pour n mporte laquelle des quatre dstances d fc0, d fc, d et d mr ) a) la sute (x n ) converge vers z dans Irr b) la sute (j (x n )) converge vers j (z) dans R Preuve. Pour les deux dstances d et d mr c est le théorème.0 (). D autre part, d après le lemme 3.9 d fc0 et d fc ont les mêmes sutes convergentes, l sufft alors de fare la preuve pour la dstance d fc0. L applcaton j : (Irr, d fc0 ) (R, ) est unformément contnue, donc une sute convergente pour d fc0 converge auss pour la dstance. Inversement, sot (x (m) ) m N une sute dans (Irr, ) qu converge vers z Irr. Sot (z ) le dfc de z. Nous allons démontrer la contnuté au pont z : k N δ > 0 x Irr ( z x < δ d fc0 (x, z) 2 k ). Cec mplquera que la sute (x (m) ) d fc0 converge vers z. Sot p k /q k le k-ème convergent de z. Sot k. On sat que x a le même dfc que z jusqu à l ordre k, c.-à-d. que d fc0 (x, z) 2 k, dès que x est sur l ntervalle d extrémtés p k /q k et (p k + p k )/(q k + q k ). On peut donc prendre δ := mn( z p k /q k, z (p k + p k )/(q k + q k ) ). La proposton c-après est un corollare du théorème précédent. Proposton 4.4 Pour une parte X de Irr les condtons suvantes sont équvalentes : a) X est fermé pour l une des cnq dstances d fc0, d fc, d, d mr ou b) X est fermé pour toutes les dstances d fc0, d fc, d, d mr et. Remarque 4.5 En mathématques classques, des métrques qu défnssent les mêmes sutes convergentes sont topologquement équvalentes. En mathématques constructves, cec ne semble valable que pour des métrques complètes. En outre s c est le cas le résultat dot être redémontré à chaque fos, même s l ne fat guère de doute. En fat, l semble qu on n a aucun exemple constructf pour deux dstances qu feraent d un même ensemble un espace métrque complet et qu ne seraent pas topologquement équvalentes (par exemple, on ne peut pas défnr constructvement la topologe dscrète sur R). Moralement, tout ensemble convenable arrve sur la scène constructve mun d une métrque complète, avec une topologe parfatement défne. La sute de la secton consste donc à vérfer des équvalences topologques de ce type, en vérfant que certans types de majoratons ont ben leu de manère complètement explctes. 4.3 Problèmes lés à la compacté dans Irr L étude des compacts de Irr pour les quatre dstances qu le rendent complet est ntéressante en so. C est également une étape ndspensable pour montrer qu elles défnssent la même topologe au sens constructf, c.-à-d. que les fonctons dentté correspondantes sont unformément contnues près de tout compact. Le premer théorème donne une condton nécessare concernant les compacts pour ces quatre dstances, explctée au moyen de la verson Dfc de Irr. Vu l équvalence métrque de d et d mr nous ne tratons que la dstance d dans les preuves. Introdusons les notatons suvantes. Notatons 4.6 8
Nous notons Sc l ensemble des sutes crossantes d enters naturels Pour a = (a n ) Sc nous notons K a ou K (an) la parte de Dfc défne par K a = {(z n )/ z 0 a 0 et z a pour tout } Pour a Sc et l N nous notons U a l ou U (a0,...,a l ) la parte de Dfc défne par U a l = {(z n )/ z 0 a 0 et z a,..., z l a l } Proposton 4.7 Pour la dstance d fc0, s a Sc et l N alors K a est un compact et U a l est un ouvert. Preuve. K a est compact pour d fc0 dans R cont (donc dans Irr) parce que, pour la métrque produt, un produt de compacts non vdes est compact. L ensemble U a l est un ouvert car c est l mage récproque d un ouvert par la projecton du produt (nfn) R cont sur le produt fn correspondant aux l + premères coordonnées. Théorème 4.8 Tout compact K de (Irr, δ) avec δ {d fc0, d fc, d, d mr } est contenu dans un ensemble de la forme K a = {(z n )/ z 0 a 0 et z a pour tout } où a = (a n ) Sc. Preuve. ) Dans le cas de la dstance d fc0 pusque les projectons (ou fonctons coordonnées) sont unformément contnues, l mage de K est précompacte dans chaque espace de coordonnées. ) Sot K un compact de (Irr, d fc ). Pour ε =, sot c (0), c(0) 2,..., c(0) n 0 une ε approxmaton de K, cela donne : x K n 0 avec d fc (x, c (0) ) <. D où, pour tout x = [x 0 ; x,..., x n,...] dans K, l exste un ndce tel que x et c (0) premer quotent partel c (0),0. { } c (0) D où, en posant a 0 = max n,0, nous avons x 0 a 0. 0 Pour ε = 4, sot c (), c() 2,..., c() n une ε approxmaton de K, on a donc : x K n avec d fc (x, c () ) < 4. ont le même Or, d après le lemme 3.5, s l est le premer ndce tel que les dfc de x et de c () sont dstncts au rang +, et q l le dénomnateur du l-ème convergent commun de x et de c (), alors (2q l ) 2 d fc(x, c () ). D où, q l >, c est à dre l et par sute x et c () ont le même deuxème quotent partel c () { },. Par c () conséquent, en posant a = a 0 + max n,, nous avons x a. Supposons qu l exste des enters a 0 a... a k tels que x 0 a 0 et x a pour tout k, cec pour tout x K. Pour ε = (2qk a) 2, où qk a est le dénomnateur de [a 0; a,..., a k ], sot c (k+), c (k+) 2,..., c n (k+) k+ une ε approxmaton de K. On a donc x K n k+ avec d fc (x, c (k+) ) < (2q a k ) 2. Alors, d après le lemme 3.5, on a : (2q l ) 2 d fc(x, c (k+) ) < (2q a k )2. 9