PCSI 2016 2017 Nous avons vu en cours de Thermodynamque (T 5 et T 6 ) le prncpe utlsé dans les centrales électrques pour récupérer l énerge thermques sous forme d énerge mécanque (traval). Nous avons vu dans le précédent chaptre comment élever ou abasser la tenson électrque pour transporter le courant, mas nous n avons pas encore vu comment transformer le traval mécanque en d énerge électrque. De même nous allons vor le prncpe de fonctonnement d un moteur pour transformer l énerge électrque en traval. I Converson de pussance mécanque en pussance électrque 1. Le retour du ral de Laplace z B C D x y B F L A F a S n consdère cette fos le ral de Laplace sans générateur de tenson. Par contre, un opérateur applque une force F constante. Un champ extéreur unforme B = B e z est établ dans tout l espace. n suppose qu un crcut contenant smplement une résstance est branché au ral de Laplace. Les frottements mécanques seront néglgées c pour smplfer l étude. Le ral de Laplace ne formant qu une seule spre, on néglgera son nductance propre. 1.a. Étude qualtatve : L opérateur applque une force qu va mettre en mouvement la barre. Le crcut va se déformer et le flux va augmenter. Le crcut va donc être le sège d un phénomène d nducton, et d après la lo de Lenz le courant ndut sera tel que la force de Laplace s oppose à la mse en mouvement. Pour mantenr l objet en mouvement, l faudra donc mantenr un traval mécanque pour compenser la force de Laplace, ce traval sera convert en énerge électrque par le phénomène d nducton et sera dsspée dans le crcut électrque. 1.b. Mse en équaton : Étude mécanque : n étude d abord le problème du pont de vue de la mécanque. 1
Système : { Le ral de masse m } dont la poston est repérée par les coordonnées x,y,z de son centre de masse pusque l on a smplement un mouvement de translaton. éférentel : Laboratore, galléen avec une bonne approxmaton pour ce type de mouvement Blan des efforts extéreurs : F = F 0 e y force applquée par l opérateur, F L = F L e y force de Laplace, P = mg e z le pods et = N e z la résultante des réactons du support en A et en D. La force de Laplace s exprme F L = DA B = a ex B e z = ab e y D après le théorème du centre de masse, m d v G dt = Σ F ext = P + + F L + F En projetant sur l axe y on obtent donc : mÿ = F 0 + F L = F 0 ab Le «problème» est que l on ne connat pas. Il faut donc mener l étude électrque. Étude électrque : L nducton permettant un couplage électrcté/mécanque, l faut étuder les deux ponts de vue. Pour obtenr l équaton électrque, l faut : 1. orenter le crcut sur le schéma mécanque 2. orenter la surface en foncton de l orentaton du crcut 3. calculer le flux à travers la surface en tenant compte de l orentaton : φ = BS = Bay 4. en dédure la force électromotrce e = dφ dt = ( Baẏ) 5. tracer le schéma électrque en prenant son d orenter la f.é.m. dans le sens chos pour le crcut. 6. en dédure l équaton électrque C u e Ic, on ne fat pas ntervenr l nductance propre du crcut car nous avons dt qu elle est c néglgeable. le reste du crcut est smplement une résstance et on dédut du schéma électrque l équaton suvante : e = = Baẏ = Ba ẏ emarque : La force de Laplace peut donc s exprmer F L = B2 a 2 ẏ ; elle agt donc c comme une force de frottement flude et on peut remarquer qu elle est toujours opposée au mouvement quelque sot le sgne de B conformément à la lo de Lenz. Cec nous ndque que nous n avons probablement pas fat de fautes de sgnes. B 1 D A PCSI 2016 2017 Page 2/9
ésoluton du problème : n peut ré-écrre l équaton mécanque par substtuton : mÿ = F 0 B2 a 2 ẏ v y + B2 a 2 m v y = F 0 m = v y + 1 τ v y = F 0 m n résout en cherchant la soluton partculère et la soluton homogène : sol P = t τ F 0 m = v lm ; sol H = t Ae t τ ; sol = t Ae t τ + vlm Pour trouver la constante A l faut connatre les condtons ntales. Supposons que la vtesse sot ntalement nulle, on a alors Ae 0 + v lm = 0 A = v lm. La soluton complète est donc ( ) v y (t) = v lm 1 e t τ = Ba v y = F ( ) 0 1 e t τ Ba 1.c. Blan énergétque : Encore une fos, et de façon générale en nducton, pour le blan énergétque l faut : multpler l équaton électrque par pour fare apparatre la pussance de la f.é.m. ndute multpler l équaton mécanque par v pour fare la pussance des forces Dans notre cas : { e = 2 = abv y m dvy v ( ) dt y = F 0 v y + F L v y d 1 dt 2 mv2 y = F0 v y abv y L équaton électrque tradut smplement le fat que toute l énerge cédée par le générateur est dsspée par effet Joule, ce qu est ben normal compte tenu du crcut. Le terme abv y qu apparat dans les deux équatons est appelé terme de couplage : l tradut le fat que la pussance mécanque se transforme en pussance électrque. Le blan global est F 0 v = dec + e, la pussance fourne par l opérateur a deux conséquences : dt la mse en mouvement de la tge, et l almentaton du crcut électrque. En régme statonnare, F 0 v = e et toute la pussance mécanque fourne par l opérateur est transformée en pussance électrque fourne au crcut. 2. La spre contre-attaque Le système des rals de Laplace n est pas adaptée à une producton d énerge en contnu. n préfère généralement utlser des dspostfs en rotatons. n parle alors d alternateur (sur un vélo pour fare brller les feux, centrale électrque, groupe électrogène etc...). Nous allons étuder le prncpe de fonctonnement sur un système smple : une spre en rotaton. n consdère une spre rectangulare en rotaton à la vtesse angulare constante ω autour de l axe y. Le champ magnétque B est orenté selon la drecton e x et est unforme et statonnare. La spre est repérée par l angle ωt qu elle fat par rapport à x. PCSI 2016 2017 Page 3/9
y Q B = B e x B = B e x α x M = ab n y α α π 2 Q x P z N M = S n 2.a. Étude qualtatve : La spre est en rotaton dans un champ magnétque fxe. Le flux à travers la spre va donc varer et une force électromotrce ndute va apparatre. La spre étant conductrce, la force électromotrce va engendrer un courant ndut. Un courant traverse la spre alors qu l y a un champ magnétque : des forces de Laplace vont entrer en jeu et créer un couple qu va frener la spre conformément à la lo de Lenz. De plus, on peut remarquer que le flux sera tantôt postf, tantôt négatf et ce de façon pérodque. La force électromotrce ndute sera donc cette fos alternatve. 2.b. Mse en équaton : Mécanque : Nveau mécanque, l n y a pas beaucoup de traval à fare pusque l on suppose le mouvement connu. Le théorème du moment cnétque applqué à la spre nous donne c Γ0 + Γ L = 0 avec Γ L = SB sn( S, B) = SB sn( B, S) r ( B, S) = ωt π 2 d où Γ L = SB cos(ωt) Électrque Ce genre de système est en général utlsé avec de nombreuses spres. Ben qu c l étude n est fate que sur une spre, nous allons consdérer que son nductance propre n est pas néglgeable pour avor un modèle plus réalste dans le cas de pluseurs spres. Supposons cette fos encore que le crcut branché est purement résstf de résstance. Les étapes sont : (1) orenter le crcut sur le schéma mécanque (2) orenter la surface (3) calculer le flux (4) en dédure la f.é.m. (5) dessner le schéma électrque équvalent sans oubler l nductance propre s elle n est pas néglgée (6) en dédure l équaton électrque Le flux est smplement φ = BS cos( B, S) = BS sn(ωt). La force électromotrce est donc e = BSω cos(ωt). Une lo des malles sur le schéma électrque donne e = L d d + BSω(cos ωt) = Ld + dt dt dt + 1 τ = BSω L cos(ωt) L d dt L u e = dφ dt PCSI 2016 2017 Page 4/9
Il est ensute possble de résoudre l équaton dfférentelle (on peut en partculer trouver la soluton partculère par la méthode des complexes et la soluton homogène s amortt au bout de quelques τ = L ). 3. Blan énergétque Pour réalser le blan énergétque l faut multpler l équaton électrque par et l équaton mécanque par ω. Γ 0 ω = SBω cos(ωt) L d dt + 2 = BSω cos(ωt) Ce qu condut à L d dt + 2 = Γ 0 ω. Ans, de façon nstantanée, toute la pussance fourne par l opérateur n est pas transmse à la résstance. Par contre, s on ntègre sur une pérode : t+t t ( ) d 1 t+t dt 2 L2 dt + E J = Γ 0 ω = E operateur t L énerge fourne par l opérateur sur une pérode va entèrement à la résstance, mas de façon nstantanée, l nductance du crcut permet de stocker et de resttuer de l énerge. 4. Frenage nductf n peut remarquer que la spre ou le ral de Laplace dans les exemples précédents sont frenés par le couple de Laplace et que l opérateur dot mantenr une force/un couple moteur pour entraner le crcut. Ce prncpe peut-être utlsé pour frener un objet. Son énerge mécanque est alors convert en énerge électrque. Il est mportant de noter que cette énerge électrque peut être dsspée sous forme d effet Joule, auquel cas le frenage à le même effet qu un frenage mécanque par frottement. Mas elle peut auss être récupérée et utlsée alleurs! C est par exemple le cas sur certans métros. En utlsant les courants de Foucault (courant dans le volume), l est très facle de frener une roue en mouvement : l sufft d approcher un amant. Comme cela été vu précédemment, des courants vont apparatre dans le volume du conducteur en mouvement. Ces courants dans le conducteur vont donc condure à des forces de Laplace qu vont d après la lo de Lenz frener la roue. L énerge mécanque est c dsspée sous forme calorque, mas par effet Joule et non pas par frottement solde (lmte l usure et donc l entreten). Le frenage nductf est utlsé par exemple sur le TGV et sur les camon. II Converson de pussance électrque en pussance mécanque 1. Machne à courant contnu à entrefer plan Nous avons déjà vu que fare passer un courant dans un ral de Laplace permet de le mettre en mouvement. Nous allons mantenant étuder le prncpe d un moteur partculer dans une confguraton smple. Il s agt d une machne à courant contnu (almenté en courant contnu et non pas alternatf) à entrefer plan, c est-à-dre que l espace entre les crcuts magnétques (amants et fer qu canalse les lgnes de champs) est un plan. PCSI 2016 2017 Page 5/9
roue d axe z e y S N e z e x B z d F B dl P amants permanents Concrètement, l s agt d une roue avec des fls électrque dsposés selon les rayons. Un dspostf permet de mantenr un courant depus le centre vers la pérphére. Des amants sont places de part et d autre de la roue pour obtenr un champ magnétque unforme. Une carcasse permet de fermer le «crcut magnétque» pour canalser les lgnes de champs et augmenter l ntensté du champ magnétque au nveau de l entrefer. Analyse qualtatve : Au nveau de chaque rayon, une force de Laplace apparat selon le vecteur e θ. L ensemble des forces de Laplace est de résultante nulle, mas de couple non nul. Ce couple tend à fare tourner la roue autour de l axe z et ce d autant plus que le courant est mportant. Le crcut étant moble dans un champ magnétque, l apparatre une force électromotrce de sens opposé à celle du générateur extéreur (selon la lo de Lenz) et ce d autant plus que la roue tourne rapdement. Calcul du couple du moteur : Calculons le moment de la force de Laplace exercé sur un rayon de la roue. n appelle a le rayon de la roue et on utlse la base polare locale. La force de Laplace exercée sur un rayon de la roue est : P dl B = P B = a e r ( B e z ) = ab e θ Nous avons déjà vu que le pont d applcaton de la force de Laplace sur un segment de drote lorsque le champ est unforme est le mleu du segment. Le moment par rapport à de la force exercée sur un rayon de la roue sera donc Γ 1 = +ab a 2 e z e-démontrons le sur cet exemple smple en fasant la somme des moments élémentares : Γ1 = P d Γ = P M (d M B) P a = r e r (dr e r ( B) e z ) = rbdr e r e θ r=0 Γ1 = B [ ] r 2 a 2 r=0 e z = B a2 2 e z Il est ntéressant de noter que les ponts qu sont lon de l axe de rotaton partcpe plus au couple que ceux qu sont près ce qu explque que sur la photo, on ne vot pas de crcut au centre. S l y a N rayons sur la roue, le couple total est donc Γ = N Γ1 = N B a2 2 e z PCSI 2016 2017 Page 6/9
IND05 N est le courant qu est fourn par le générateur qu almente la roue, le couple fourn par la machne est donc proportonnel à l ntensté fourne pour l almenter. Il serat possble de montrer auss que la force électromotrce ndute est proportonnelle à la vtesse de rotaton avec le même facteur de proportonnalté en valeur absolue. Ces résultats sont assez généraux dans le cas des machnes à courant contnu. Inconvénents : En pratque une des dffcultés est d assurer le contact électrque, ce qu est fat à l ade de contacts frottant. Ces contacts frottants crée un couple résstant et s usent. Ils dovent donc être remplacés régulèrement. Ce moteur est donc peu adapté aux vtesses de rotaton élevées à cause de l usure des contacts électrques entre le rotor et le stator. Avantages et utlsaton : En revanche, ce moteur présente un fable encombrement et une très fable nerte par rapport à d autres moteurs. Il a de plus une fable nductance propre. Ces deux paramètres (nerte et nductance propre) étant ceux qu s opposent à la mse en mouvement, le temps de réponse de ce moteur est extrêmement court. couple du moteur mportant ce qu pods du moteur rend ce type de moteur ntéressant dans les applcatons où le pods est un paramètre crtque. De plus, le fable encombrement permet d avor un rapport La structure à entrefer plan est très utlsée pour les moteurs de véhcules solares ou pour la propulson électrque navale. Dans ces cas, les vtesses de rotatons sont fables et on peut mettre pluseurs éléments en parallèles pour augmenter le couple. Sa structure en forme de dsque est apprécée pour motorser les vélos ou les chases roulantes. emarques : Les machnes à courant contnu sont généralement réversbles. Ans s au leu d mposer un courant pour récupérer un traval mécanque on mpose un mouvement, alors on pourra récupérer un courant grâce à une force électromotrce ndute. Les équatons sont telles que le couple est proportonnel à et la vtesse à e, l est donc facle de les asservr en vtesse ou en couple. 2. Haut-parleur électrodynamque Un haut-parleur est généralement consttué d une bobne qu entoure le pôle Nord d un amant. Le pôle sud de l amant est répart tout autour du bobnage de telle sorte à ce que le champ magnétque sot partout orthogonal au fl. La bobne est relée d un coté à un ressort qu tend à la ramener vers une poston d équlbre et de l autre à une membrane qu permet de mettre en mouvement l ar et donc d émettre une onde sonore. Un générateur électrque permet de fare crculer un courant dans la bobne. Lorsque le courant crcule, la bobne est soumse à des forces de Laplace qu sont partout dans la même drecton pusque que le champ magnétque est radal et le courant est orthoradal. En nversant le sens du courant, on nverse le sens de la force ce qu permet de fare oscller la membrane à la fréquence souhatée, et donc d émettre l onde sonore souhatée. PCSI 2016 2017 Page 7/9
La géométre à révoluton cylndrque ne permet pas le calcul de la force électromotrce avec les théorèmes que nous avons à notre dsposton cette année, nous allons donc utlser une modélsaton équvalente plus smple à mettre en équaton : un ral de Laplace (la bobne) rattaché à un ressort et à une membrane. z C B D F L x y B f A F a e g Étude mécanque : Système : le ral de masse m éférentel : laboratore n chost l orgne du repère à la poston d équlbre du ressort. Blan des efforts extéreurs : Le pods P = mg e z La réacton normale du support = N e z La force de rappel du ressort F = ky ey La force de Laplace F L = (t)ab e y La force de frottement avec l ar due à la membrane (non représentée) f = λ v Le théorème du centre de masse applqué à la tge donne : S m d v g dt = P + + F + F L + f mÿ = 0 + 0 ky (t)ab λẏ Étude électrque : 1. n orente le crcut dans le sens du générateur. 2. La surface est donc orentée vers le bas. 3. Le flux est donc : φ = Bay 4. La force électromotrce ndute est donc e = dφ dt = ( Baẏ) 5. n peut ensute tracer le schéma électrque en orentant la f.é.m. dans le sens chos pour le calcul du flux à travers le crcut. Ic, pour soucs de smplcté on va néglger l nductance propre de la bobne. C est une hypothèse dscutable dans un vra haut parleur. 6. Et enfn on applque la lo des malles pour trouver l équaton électrque. à fare comme exo La lo des malles donne e g (t) + e(t) u (t) = 0 = e g (t) + Baẏ (t) u 1 e = dφ dt PCSI 2016 2017 Page 8/9
Blan énergétque : Le blan énergétque s obtent en multplant les équatons par v = ẏ et. { mÿẏ + kyẏ + λẏ 2 = (t)abẏ Baẏ(t) = e g (t)(t) 2 (t) D où en remplaçant le terme de couplage dans l équaton mécanque ( ) d 1 dt 2 mẏ2 + d ( ) 1 dt 2 ky2 + λẏ 2 + 2 = e g (t)(t) L énerge fourne par le générateur sert donc à : mettre en mouvement le haut-parleur; compenser la force du ressort; mettre en mouvement l ar; vancre la résstance du crcut; Étude Harmonque : Les équatons étant lnéares, on peut utlser la méthode des complexes pour étuder le système. En régme snusoïdal, les équatons sont (avec pour varable v et ) : { mjωv = k v ab λv jω e g = + ( Bav) Grâce à l équaton mécanque, on peut effecteur une substtuton pour obtenr l équaton électrque en foncton de unquement (et non plus v et ) : ab v = λ + mjω + k jω e g = + (ab) 2 λ + mjω + k jω Ans d un pont de vue électrque, on a une résstance en sére avec un dpôle d mpédance Z = qu correspond donc à l assocaton parallèle de tros dpôles d admttance (ab)2 λ+mjω+ k jω Y 1 = m (Ba) 2 }{{} C cn jω (capacté) Y 2 = k (Ba) 2 }{{} 1/L cn 1 jω (nductance) Y 3 = λ (Ba) 2 }{{} 1/ cn (résstance) emarques : Le comportement du haut-parleur dépend de la pulsaton, ses performances dépendent donc de la fréquence à laquelle on l utlse. Pour avor un bon rendu on utlse pluseurs hauts parleurs et on se place lon de la résonance lée à Z cn. L nductance propre du bobnage que nous avons néglgé se trouverat en sére de la résstance et sa présence manfeste d autant plus que la fréquence est e g cn L cn C cn élevée Le haut parleur est réversble : un son va provoquer un mouvement, donc l apparton d une f.é.m. : c est le prncpe d un mcro! PCSI 2016 2017 Page 9/9
Table des matères I Converson de pussance mécanque en pussance électrque 1. Le retour du ral de Laplace 1.a. Étude qualtatve : 1.b. Mse en équaton : 1.c. Blan énergétque : 2. La spre contre-attaque 2.a. Étude qualtatve : 2.b. Mse en équaton : 3. Blan énergétque 4. Frenage nductf II Converson de pussance électrque en pussance mécanque 1. Machne à courant contnu à entrefer plan 2. Haut-parleur électrodynamque Manp : avons nous des moteur élec pédago? PCSI 2016 2017 Lycée Poncaré