Chapitre 5 Itroductio aux théorèmes limites et aux itervalles de cofiace Objectifs du chapitre. Savoir approcher ue loi biomiale par ue loi de Poisso ou ue loi ormale. 2. Savoir approcher ue loi e appliquat le théorème cetral limite. 3. Savoir calculer u itervalle de cofiace das le cadre d u sodage. 4. Compredre le lie etre l approche fréquetielle des probabilités et la loi des grads ombres. Applicatio : méthode de Mote-Carlo de calculs d itégrales. 5. Approximatio d ue loi biomiale Nous l avos vu das les chapitres précédets, les loi biomiale et hypergéométrique itervieet das des jeux de hasard et utiliset des factorielles. L usage de factorielles iduit e gééral de gros chiffres, dot la maipulatio à la mai est risquée et fut aguère source d istabilités umériques. A titre d exemple ous vous recommados de taper sur votre calculatrice 0!, 32!, 52! et 365! pour avoir u aperçu du problème. Das ces coditios il est écessaire d avoir ue approximatio de ces lois là ettemet plus magiable et dot o sait cotrôler l erreur. 5.. Approximatio d ue loi biomiale par ue loi de Poisso Le théorème de Poisso doe ue approximatio de la loi biomiale B, p) lorsque est grad et p petit. Théorème 5.. Théorème de Poisso). Soit p ) ue suite de réels de l itervalle ]0, telle que lim p = λ où λ > 0. Cosidéros pour chaque etier ue variable aléatoire S de loi B, p ). O a doc { C k PS = k) = P k) = p k p ) k si 0 k 0 sio. Alors pour tout etier k N, la suite de terme gééral PS = k) est covergete et o a Démostratio. Par hypothèse la suite PS = k) = p λ lim PS = k) = e )) λ λk k!. otée u ) ted vers 0 quad. Doc p = λ + u. Pour tout k, )... k + ) λ k! + u ) k λ + u )) k λ λk e k!.
e particulier )... k + ) λ k! + u ) k = )... k + ) k λ + u ) k λk k! k! et λ u ) k ) = e k) λ u + v 2 e λ. Vitesse de covergece Si pour tout ous avos p = λ avec λ > 0 o a alors l estimatio P λ λk k) e k! 2λ mi2,λ). k=0 E particulier, pour tout k N, o a P k) e λ λk k! 2λ mi2,λ). Ituitivemet, le théorème de Poisso doe ue approximatio de la loi biomiale lorsque le paramètre p est petit. E particulier, o remplace la loi biomiale B, p) par la loi de Poisso Pp) dès que est assez grad de l ordre de 30 et p est petit de l ordre de 0.. Exemple 5..2. O veut détermier umériquemet la probabilité P k) pour que parmis persoes k soiet ées le er javier. O suppose qu aucue persoe est ée le 29 février et de plus que tous les jours sot équiprobables. O fait l étude pour = 500. Le ombre de persoes ées le premier javier suit ue loi biomiale B,/365). Si = 500 alors p,369 : P B500,/365) N = 0) = 0.2536 ; P Pλ N = 0) = 0.254 P B500,/365) N = 4) = 0.0369 ; P Pλ N = 0) = 0.0372 P B500,/365) N = 7) = 0.0004 ; P Pλ N = 0) = 0.0004 5..2 Approximatio d ue loi biomiale par la loi de Gauss Si p est pas trop petit et est grad commet approximer PS = k) lorsque S suit ue loi biomiale B, p)? Théorème 5..3 Moivre-Laplace). Si S est ue variable aléatoire suivat ue loi biomiale B, p). Pour tout k, k ES))2 PS = k) e 2.varS). 2.varS ) Pour tout 0 < a < b, P a < S ) ES ) b b e x2 /2 dx. σs ) Remarque 5..4. O a le résultat d uiformité plus fort : sup P a < S ) ES ) b b e x2 /2 dx 0 <a<b + σs ) a Corollaire 5..5. Si S est ue variable aléatoire suivat ue loi biomiale B, p), alors pour tout,β avec < β + a o a P < S β) β ES) σs) ES) σs) e x2 /2 dx. 2
5.2 Le théorème de la limite cetrale Le théorème suivat motre combie la loi ormale est cetrale! Théorème 5.2. Théorème de la limite cetrée). Soit Ω,A,P) u espace probabilisé. Soit X ) ue suite de variables aléatoires idépedates, de même loi, de classe L 2, de moyee E et d écart-type σ. Soit Pour tout couple a,b) avec a,b, ] ous avos S = j= X j E σ. b Pa < S b) e x2 /2 dx. Remarque 5.2.2. Ce théorème gééralise le théorème de Moivre-Laplace car ue variable aléatoire S de loi B, p) a même loi qu ue somme X +... + X de variables aléatoires de Berouilli idépedates de paramètre p. Plus gééralemet, si X = j= X j où les X j ) sot idépedates de même loi L 2 alors o peut approximer X par N EX),VarX)). Exemple 5.2.3. O jette u dé équilibré 2000 fois. O cherche la probabilité pour que le ombre de 6 obteus soit compris etre 800 et 200. ) Le ombre de 6 obteus est ue variable aléatoire de loi biomiale B2000,/6). O a a = 800 et b = 200. Par le théorème de Moivre-Laplace o a Avec 200 2000 800 2000 P800 N 2000) Φ ) Φ ) 0.992. 2000./6).5/6) 2000./6).5/6) Φx) = x a e t2 /2 dt. Termios ce paragraphe par u lemme, utile par exemple pour la costructio d u itervalle de cofiace. Lemme 5.2.4. Soit X ue variable aléatoire suivat ue loi ormale cetrée réduite. Pour tout ]0,, il existe u uique réel positif t tel que P t X t ) =. Démostratio. Soit ]0,. Cosidéros la foctio t f : t P t X t) = t t e x2 /2 dx = 2 0 e x2 /2 dx. Cette foctio est dérivable de dérivée f t) = 2 e t2 /2 qui est strictemet positive. O e déduit doc que la foctio f est cotiue, strictemet croissate sur ]0,+ avec f 0) = 0 et lim t + f t) =. Cette foctio est doc ue bijectio strictemet croissate de ]0,+ sur ]0,. Il existe doc t tel que f t ) = P t X t ) =. Exemple 5.2.5. Détermios t 0.05 et t 0.0. O ote Φ la foctio de répartitio de la loi ormale cetrée réduite. O a Par coséquet, o e déduit l équivalece PX t,t]) = ϕt) ϕ t) = 2ϕt). PX t,t ]) = Φt ) = 2. La table de la loi ormale doe Φ.96) = 0.975 et doc t 0.05.96. De même t 0.0 2.58. 3
Itroductio au sodage : estimatio d ue proportio Das ue populatio, u caractère est préset das ue proportio p. O cherche à estimer la valeur de p. Pour cela o étudie u échatillo de élémets de cette populatio, et o désige par X le ombre de fois où ce caractère est retrouvé das l échatillo. Défiitio 5.2.6. O fixe ]0, et o ote t l uique réel tel que t t ] O ote f la fréquece X. L itervalle f t 2 ; f + t 2 e x2 /2 dx =. est appelé itervalle de cofiace au iveau de p. Nous justifios ci dessous que pour grad e pratique si 30, p 5 et p) 5) et f = X ] p soit das l itervalle f t 2 ; f + t 2 est supérieure ou égale à. la probabilité que Costructio d u itervalle de cofiace au iveau. Pour tout, la variable aléatoire X suit ue loi biomiale B, p) comme répétitio de expérieces aléatoires idépedates avec probabilité p de succès. E particulier ous avos X = Y +... +Y où les Y i sot des variables aléatoires de Beroulli idépedates de même paramètre p et d écart type p p). 2. O pose Z = X p. Par applicatio du théorème cetral limite, pour tous réels a < b o a p p) PZ t,t ]) t t e t2 /2 dt =. 3. Notos que où I = X I Z t,t ] p t p p) ; p +t p p) ]. O e déduit doc que lim PX / I ) =. 4. La foctio p p p) admet 4 comme maximum o obtiet doc l ecadremet I p t 2 ; p + t ] 2. 5. O e déduit alors la défiitio précédete de l itervalle de cofiace au iveau : X / p t 2 ; p + t ] 2 X p t 2 ; X + t ] 2. 4
Exemple 5.2.7. Lors d ue électio opposat deux cadidats, u sodage d opiio réalisé sur u échatillo de 000 persoes doe 52% des voix au cadidat A et 48% au cadidat B.. Doos u itervalle de cofiace au iveau 0.95 des itetios de vote pour A. Nous sommes das les coditios d applicatio de la méthode précédete car 30,p = 000 0.52 5, p) 5. U itervalle de cofiace est doc doé par I = 0.52 t 2 ;0.52 + t ] 2 avec = 0.05, t.96. O trouve 0.489; 0.55] I. 2. Combie de persoes suffirait-il d iterroger pour qu il y ait mois de 5% de chaces que B l emporte si A a recueilli 52% des itetios de vote das le sodage? Pour répodre à cette questio ous allos chercher le ombre de persoes écessaire pour que le pourcetage obteu par A soit compris etre 50 et 54%. Il suffit doc de résoudre l iéquatio 0.52.96 2 0.5 et o obtiet 240. 5.3 Loi des grads ombres Théorème 5.3. Loi forte des grads ombres). O cosidère Ω, A, P) u espace probabilisé. O cosidère ue suite de variables aléatoire X idépedates, de même loi de classe L et d espérace E. Il existe u évéemet F A avec PF) = 0 tel que ω Ω \ F, X ω) +... + X ω) E. Remarque 5.3.2. Si X = X pour tout alors pour tout ω Ω, X ω) +... + X ω) = Xω), il faudrait doc avoir Xω) = E pour presque tout ω! c est à dire X costat presque sûremet. L hypothèse X ) est ue famille de variables aléatoires idépedates permet de e pas cosidérer ce cas là. Retour sur l approche des fréqueces Cosidéros ue expériece aléatoire et u évèemet A. Répétos ue ifiité de fois l expériece. O ote X la variable aléatoire qui vaut si l évèemet est réalisé à l a -ième expériece et 0 sio. Notos f A) la variable aléatoire f A) = X +... + X ). Les expérieces répétées état toutes idépedates, les variables aléatoires X i le sot et ot la même loi. Doc EX i ) = PX i = ) = PA), doc f A)ω) PA) pour presque toute évetualité ω c est à dire : sauf pour u esemble de probabilité d évetualités). Remarquos qu ici ue évetualité ω = ω ) est ue ifiité d expérieces successives et idépedates. 5
Exemple 5.3.3 Méthode de Mote-Carlo). Soit U ) ue suite de variables aléatoires idépedates toutes de loi uiforme sur l itervalle 0,]. Soit f : 0,] R ue foctio cotiue. Que peut o dire de f U ) +... + f U ) lorsque ted vers l ifii? Les variables aléatoires f U ) sot idépedates, de même loi et sot toutes de classe L car la foctio est cotiue sur 0, ] doc itégrable. Par la loi des grads ombres, e dehors d u esemble de probabilité ulle, pour tout ω apparteat à l uivers sous jacet f U ) +... + f U ) f t)dt. 0 Cette méthode est utilisée pour calculer des valeurs approchées d itégrales et s appelle la méthode de Mote-Carlo. 6