Divers exercices de probabilité

Divers exercices de probabilité Traiter e priorité les quatre premiers exercices de chaque sectio. 1 Probabilité Exercice 1.1 Mo voisi a deux efats. 1- Le plus jeue est ue fille, quelle est la probabilité que l autre soit aussi ue fille? 2- L u d eux est ue fille, quelle est la probabilité que l autre soit aussi ue fille? Exercice 1.2 Soiet A et B deux évéemets disjoits. A quelle coditio sot-ils idépedats? Exercice 1.3 Ue persoe choisie au hasard parmi la populatio de la régio passe u test pour dépister ue maladie. Das cette régio, o a établi que : - si ue persoe a la maladie, alors le test est positif das 96% des cas, - si ue persoe a pas la maladie, alors le test est égatif das 94% des cas. Le résultat du test est positif, quelle est la probabilité que cette persoe soit atteite de la maladie? O traitera deux cas: d abord le cas où la proportio de malades das la populatio est égale à 5%, puis le cas où il est égal à 60%. Exercice 1.4 O dispose de trois cartes idetiques e tous poits sauf pour leurs couleurs : ue a deux faces oires, ue a deux faces blaches, et la troisième a ue face oire et ue face blache. Les yeux badés, o tire ue des cartes, et o la pose sur la table. O regarde alors la face visible. Il faut parier sur la couleur de la face cachée. Ce jeu est-il équilibré ou existe-t-il ue stratégie permettat, e moyee, de gager plus qu o e perd? Exercice 1.5 La baque répartit trois cartes, les deux as rouges et ue dame, dot les faces sot cachées. O gage si o choisit la dame, et o perd sio. Après le choix, la baque e dit rie, mais elle retoure, parmi les deux autres cartes, u as. Elle accorde alors le droit de recosidérer le choix. Qu est-il préférable de faire? Exercice 1.6 O pred deux ombres au hasard et de maière idépedate das [0, 1]. O sait que le plus petit des deux est supérieur à α. Quelle est la probabilité que le secod soit supérieur à β? (O a bie sûr 0 < α < β < 1.) Exercice 1.7 Ue iformatio booléee (oui/o), supposée vraie, passe par itermédiaires avat de me parveir. Sachat que chaque persoe itermédiaire met avec la probabilité p, quelle est la probabilité p que je reçoive la boe iformatio? Calculer lim p. 1

2 Variables aléatoires discrètes Exercice 2.1 La loi géométrique Das ue ure, il y a ue proportio p de boules oires et q = 1 p de boules blaches. O tire ue boule, si elle est oire o arrête, sio, o la remet das l ure et o recommece. Soit X la v.a. doat le ombre de tirages écessaires pour s arrêter. Détermier la loi de X, so espérace et sa variace. Exercice 2.2 O tire au hasard u ombre X das {1,..., } puis au hasard u ombre Y das {1,..., X}. Doer la loi de Y. Exercice 2.3 Soit X et Y deux v.a. idépedates de même loi géométrique de paramètre p. 1- Détermier la loi de la v.a. Q = X Y. 2- Calculer l espérace de Q et motrer que E(Q) > 1. Exercice 2.4 La loi de Poisso Soit u etier o ul et λ > 0 fixé. O pose p = λ/ et o ote X ue v.a.r. de loi biomiale B(, p). 1) Soit k u etier fixé et k. Motrer que P (X = k) λk k! e λ lorsque. (idicatio: o peut s e sortir sas la formule de Stirlig!) 2) Vérifier que P (X = k) = λk k! e λ défiit ue loi de probabilité sur N. Cette loi est appelée loi de Poisso de paramètre λ. 3) Calculer, si existece, l espérace et la variace d ue v.a.r. qui suit ue loi de Poisso de paramètre λ. 4) Soit X et Y deux v.a.r. idépedates de loi de Poisso respectivemet de paramètre λ et µ. Détermier la loi de Z = X + Y. Exercice 2.5 Promeade aléatoire das Z Etat sur u etier k Z, u pas cosiste e u déplacemet de ue uité, à droite (+1) avec ue probabilité 1/2 et à gauche ( 1) avec ue probabilité 1/2. O part de zéro, et o fait pas. Soit S la v.a. doat la positio au bout de pas. 1- Motrer que S peut être cosidéré comme ue somme de v.a. idépedates de même loi. 2- Calculer l espérace et la variace de S. 3- Calculer la probabilité p que S = 0. Calculer lim p. 4- O suppose grad. O se doe u itervalle I cetré e 0. Calculer la limite de P (S I). 5- état grad, doer u itervalle I où o est sûr à 95% que S I. Pour 4- et 5-, o fera les approximatios adéquates. 3 Variables aléatoires réelles à desité Exercice 3.1 Soit X ue v.a.r. qui suit ue loi uiforme sur [0, ], N et a ]0, 1[. Calculer P ([X, X + a] N = ). Exercice 3.2 Soit X ue v.a. de loi uiforme sur ] π 2, π 2 [. Quelle est la loi de Y = ta(x)? 2

Exercice 3.3 Das le pla affie euclidie, o se doe u triagle isocèle rectagle OAB de sommet O. Soit X ue v.a. de loi uiforme sur le segmet [OB]. Détermier la loi de la v.a. Θ qui doe l agle géométrique OAX. Exercice 3.4 Soit X ue v.a.r. de foctio de répartitio F supposée cotiue sur R. Quelle est la loi de Y = F (X)? O pourra d abord supposer que F est strictemet croissate sur u itervalle. Exercice 3.5 La loi expoetielle : la demi-vie Soit T ue v.a.r. de loi expoetielle de paramètre λ > 0. 1- Motrer que P (T E(T )) est idépedat de λ. 2- Calculer le maximum p λ de t P (T [t, 2t]). La valeur de t où le maximum est atteit est appelé demi-vie, pourquoi? 3- Calculer λ et p λ pour u atome de Rado 220 (la demi-vie d u atome de Rado 220 est de 56s). Exercice 3.6 La désitégratio ucléaire. A partir d u istat 0, o s itéresse à la désitégratio ucléaire d u atome, disos d uraium 238. La v.a.r. durée de vie est otée T. Pour t > 0, soit G(t) := P (T > t) la probabilité que l atome soit ecore e vie à la date t. O pose égalemet F (t) := 1 G(t). O admet que si o cosidère u atome radioactif à u istat t, la probabilité qu il e soit toujours pas désitégré à la date t > t e déped que de la durée t t. C est à dire, o admet que la durée T de vie d u atome est idépedat du temps déjà écoulé, i.e. l atome e vieillit pas. O suppose e outre que les atomes iteragisset pas etre eux. 1- Commet iterpréter F (t)? 2- Motrer que pour tout t > 0 et t > 0, o a G(t + t ) = G(t).G(t ). 3- E déduire qu il existe λ > 0, caractéristique du type d atome cosidéré, tel que pour tout t > 0, F est doée par F (t) = 1 e λt. 4- Motrer que T est ue v.a. à desité dot o doera la desité f. 5- Calculer E(T ) et V (T ). 6- Calculer la probabilité qu u atome dépasse so espérace de vie. 7- Calculer la probabilité qu u atome dépasse le double de so espérace de vie. 8- Calculer la demi-période τ défiie par P (T > τ) = 1 2. A l istat 0, o a N atomes radioactifs. O s itéresse au ombre XN t d atomes désitégrés à la date t > 0. 9- Doer la loi de XN t. 10- Sachat que N est très grad et que t est égligeable par rapport à E(T ), doer ue loi de probabilité simple approchat celle de XN t (voir l exercice précédet...). O fera toutes les approximatios écessaires; o rappelle la formule de Stirlig :! 2π e. Exercice 3.7 Das le pla affie euclidie, o se doe u triagle isocèle rectagle OAB de sommet A. Soit M ue v.a. de loi uiforme sur le segmet [AB]. Motrer que la loi de la v.a.r. X : M OM est à desité o borée. 3

Exercice 3.8 Soit X ue v.a.r. Motrer que le ombre réel m défii (jsutifier!) par { m := if t : P (X t) 1 } 2 est tel que 1 2 P (X m) et 1 2 P (X m). A quelle coditio ce ombre est-il uique? 4 Vecteurs aléatoires Exercice 4.1 Soit X et Y deux v.a. de Beroulli. Motrer que cov(x, Y ) = 0 si et seulemet si X et Y sot idépedates. Exercice 4.2 Problème de recotre A et B ot redez-vous e u lieu etre 12h et 13h. Les istats d arrivée de A et B sot idépedats. Ils attedet u quart d heure puis repartet. Calculer la probabilité qu ils se recotret. Exercice 4.3 U poit M du pla est choisi au hasard das le disque uité cetré à l origie. 1) Quelles sot les lois des v.a. coordoées X et Y? Ces v.a. sot-elles idépedates? 2) Mêmes questio avec les coordoées polaires R et Θ. 3) Calculer la foctio de desité de R 2 et R. Exercice 4.4 Soit (X, Y ) u vecteur aléatoire de R 2 de loi à desité f doée par f(x, y) = 2 e 1 xey si (x, y) [0, 1] 2, et f(x, y) = 0 sio. 1- Détermier les desités des lois margiales. 2- X et Y sot-elles idépedates? Exercice 4.5 Soit X et Y deux v.a. de Beroulli de même paramètre p. O défiit U = X + Y et V = X Y. 1- Doer la loi de (U, V ). 2- Calculer cov(u, V ). 3- U et V sot-elles idépedates? Exercice 4.6 O dispose d ue pièce de moaie dot la probabilité de doer pile est p. O ote X la variable aléatoire doat le ombre de lacers pour obteir pile la première fois. Lors d ue expériece aléatoire, soit le ombre de fois qu o a dû lacer la pièce pour obteir pile la première fois. O relace alors ecore fois la pièce et o défiit Y, la variable aléatoire doat le ombre de pile obteus das cette deuxième série de lacers. 1- Détermier la loi de X, so espérace et sa variace. 2- Détermier la loi du couple (X, Y ), i.e. P [(X = ) (Y = k)]. 3- E déduire la loi de Y, so espérace et sa variace. 4- X et Y sot-elles idépedates? 4

5 Iégalités et covergeces Exercice 5.1 Iégalité de Markov Soit X ue v.a.r. positive, motrer, pour les v.a. au programme, que pour tout a > 0 o a P (X a) E(X) a Exercice 5.2 Iégalité de Bieaymé-Tchebychev Soit X ue v.a.r., motrer, pour les v.a. au programme, que pour tout a > 0 o a P ( X E(X) a) 1 ) 2 ] [(X a 2 E E(X) Exercice 5.3 Soit (X ) N est ue suite de variables aléatoires telle que E(X ) µ et V (X ) 0. Motrer alors que X µ e probabilité, i.e. pour tout ε > 0, P ( X µ > ε) 0. Exercice 5.4 Pour X 1,..., X, variables aléatoires idépedates, de même loi de Beroulli B(p), o pose F = X 1 +... + X, la v.a. qui modélise la fréquece de succès das u schéma de Beroulli. p(1 p) 1) Motrer que E(F ) = p et V (F ) =. 2) E déduire que la suite (F ) coverge e probabilité vers p. Exercice 5.5 La méthode de Mote-Carlo Soit (X ) ue suite de v.a.r. idépedates suivat la même loi uiforme sur [0, 1], et f : [0, 1] R ue applicatio cotiue. O pose Z = 1 f(x i ). Motrer que (Z ) coverge e probabilité vers ue costate qu o précisera. i=1 5