10 I. INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GROUPES

10 I. INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GROUPES () Pour tout x H, x 1 H Cela sgnfe que la restrcton de à H H que l on note encore mas qu l faudrat en toute rgueur désgner par H donne une lo nterne de H et que (H, ) est alors lu-même un groupe. Les deux condtons () et () c-dessus peuvent être remplacées par () Pour tous x,y H on a x y 1 H Il est évdent que les condtons () et () entraînent (). Montrons que, récproquement, la seule condton () entraînent à la fos () et (). Pusque H /0, l exste h H. Applquons () avec x = y = h. On obtent h h 1 H donc e G H. Applquons mantenant () avec x = e G. Pusque e G y 1 = y 1, on trouve (). Enfn, prenant x,y H, on a par () qu vent d être établ y 1 H et applquant () avec y 1 à la place de y on obtent x (y 1 ) 1 H c est-à-dre x y G qu donne (). La notaton H < G est employée pour dre H est sous-groupe de G. Lorsqu on n exclut pas la possblté que H sot égal à G on écrt H G. Insstons sur le fat que pour montrer qu un sous-ensemble H de G est un sous-groupe de G, l faut d abord s assurer qu l est non vde. Un sous-groupe H content toujours l élément neutre e G et le sous-groupe de G le plus smple est {e G }. Un sous-groupe H de G qu est dfférent de G et de {e G } s appelle un sous-groupe propre. 2.2 Sx exemples de sous-groupes a) Sous-groupes de (C,+) On a Z < Q < R < (C,+). Montrer que l ensemble D des nombres décmaux est un sous-groupe de (R,+). (R,+) admet-l des sous-groupes fns propres? b) Sous-groupes de (Z,+) Sot m N. On a mz < (Z,+) où mz = {mr : r Z} est l ensemble des (enters relatfs) multples de m. Récproquement, on a le THÉORÈME 4. Tout sous-groupe G de (Z,+) est de la forme G = mz pour un certan m N (dépendant de G). Démonstraton. Sot G un sous-groupe de (Z,+). Nous devons établr l exstence d une enter postf m tel que G = mz. Tratons d abord le cas où G est rédut à l élément neutre,.e. G = {0}. Dans ce cas on a ben évdemment G = mz en prenant m = 0. Supposons mantenant que G ne sot pas rédut à l élément neutre, l exste alors g G avec g 0. Pusque G Z, g G = g G et [2.0] jpc / ALG

2. SOUS-GROUPES 11 nous sommes donc sûrs que G contendra un élément strctement postf, autrement dt G N /0. Prenons alors m comme le plus pett élément de G N. Pusque m G et que G est un sous-groupe, on a km = m + m + +m G. Toujours grâce au fat que G sot un sous-groupe on a auss m G pus km = ( m)+( m)+ +( m) G s ben que mz G. Montrons mantenant que G mz. Prenons g un élément quelconque de G. C est un enter que l on peut dvser par m pour obtenr une expresson g = qm+r où r est le reste (0 r < m). Comme qm G on a r = g qm G. Comme en outre 0 r < m et m est le plus pett enter postf dans G, la seule possblté est que r sot égal à 0. Retournant à l expresson de g, l vent g = qm mz d où l on dédut G mz et, par double ncluson, G = mz. Soent m et n deux enters postfs. A quelle(s) condton(s) mz est-l un sousgroupe de (nz,+)? Détermner l ensemble des sous-groupes de (nz,+). c) Sous-groupes de (C, ) Sot n N. On a par exemple Q + < Q < R < (C, ). On a auss U n < U < (C, ). Rappelons que, d une manère générale, lorsque X = N, Z, Q, R, C, X désgne X/{0}. d) Sous-groupes de GL n (C, ) Sot n N. On a GL n (Q) < GL n (R) < (GL n (C), ). e) Sous-groupes des bjectons du plan dans lu-même On a T < Is(P) < (S(P), ) où T l ensemble des translatons du plan euclden. Pour montrer que T < Is(P), on utlse t u t v = t u+ v. f) Sous groupes du groupe des sométres du plan euclden R A <(Is(P), ) où R A l ensemble des rotatons de centre A du plan euclden. On utlse r A,θ r A,θ = r A,θ+θ. On représente souvent les chaînes de sous-groupes sous la forme d un arbre comme celu c-après qu correspond aux exemples e) et f) Dans l étude des anneaux on utlsera la notaton A qu représente en général un ensemble de nature dfférente. [2.1]

12 I. INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GROUPES S(P) T Is(P) R A (2.1) Construre l arbre le plus fourn possble dont le sommet sot (C,+). 2.3 Intersectons de sous-groupes THÉORÈME 5. Soent (G, ) un groupe et F une famlle non vde de sous-groupes de G. S I est l ntersecton de tous les éléments de F, autrement dt I = H F H alors I est lu-même un sous-groupe de G. On notera que F peut contenr un nombre fn ou nfn de sous-groupes. Démonstraton. D abord I est non vde car e G est élément de tout sous-groupe F de F et l appartent donc à I. Soent x,y I, nous voulons montrer que x y 1 H. Par défnton de I, pour tout H F on a x,y H et pusque H est un sousgroupe x y 1 H. Il sut que x y 1 appartent à tous les éléments de F et donc à I. Cela montre que I est ben un sous groupe. Détermner 8Z 12Z. Plus généralement s m et n sont deux enters postfs, détermner le sous-groupe de Z défn par mz nz. 2.4 Sous-groupe engendré par une parte Sot (G, ) un groupe et A un sous-ensemble non vde de G. On appelle sousgroupe engendré par A le sous-groupe A := H S (A) H (2.2) où S (A) est l ensemble de tous les sous-groupes de G qu contennent A. Cet ensemble n est pas vde car l content G lu-même. En vue du Théorème 5, la formule (2.2) défnt ben le sous-groupe A de G. THÉORÈME 6. Le sous-groupe A est le plus pett sous-groupe de G contenant A. [2.2] jpc / ALG

2. SOUS-GROUPES 13 Ic l adjectf pett réfère à la relaton d ordre défne par l ncluson des ensembles : un ensemble X est plus pett qu un ensemble Y s X Y. De manère précse, le théorème 6 sgnfe que les deux assertons suvantes sont équvalentes (E1) I = A. (E2) I vérfe les deux condtons suvantes (a) I est un sous-groupe de G contenant A et (b) S H est un autre sous-groupe de G contenant A alors on a I H. Démonstraton. D après la défnton, on a mmédatement que A vérfe les deux condtons de (E2). Nous montrons que s I vérfe (a) et (b) alors I = A. A cause de (b), on a I H S (A) H = A. D autre part, pusque, d après (a), I est un sous-groupe contenant A, on a I S (A) et par conséquent H S (A) H I sot A I. Par double ncluson on en dédut I = A. N la défnton, n cette caractérsaton ne permettent de détermner faclement les éléments de A. Le paragraphe suvant donne une approche constructve des sous-groupes engendrés. 2.5 Descrpton des éléments d un sous-groupe engendré THÉORÈME 7. Soent (G, ) un groupe, A un sous-ensemble non vde de G et x G. Pour que x A alors l faut et l sufft qu l exste n N et des éléments x 1,x 2,...,x n avec x A ou x 1 A pour = 1,2,...n tels que x = x 1 x 2 x n. Le théorème précédent affrme donc l égalté ou encore A = {x 1 x 2 x n : n N, x ou x 1 A, = 1,...,n}, (2.3) A = {g ±1 1 g ±1 2 g±1 n : n N et g A, = 1,...,n}. (2.4) Démonstraton. Appelons I le membre de drote dans (2.3) (ou (2.4)), nous devons montrer que I = A. Pour cela, d après le Théorème 6, l sufft de vérfer l asserton (E2) c est-à-dre (a) I est un sous-groupe de G contenant A et (b) tout sous-groupe de G contenant A content auss I. Étape 1. I est un sous-groupe de G contenant A. En consdérant les cas où n = 1 et x 1 A dans (2.3) on vot que A I. En partculer I est non vde. Montrons que c est un sous-groupe de G. Pour cela prenons x et y dans I et vérfons que x y 1 I. Ecrvons { x = x1 x 2 x m x A ou x 1 y = y 1 y 2 y p y A ou y 1 A A (Attenton, en général m p). [2.4]

14 I. INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GROUPES En utlsant la formule 1.1 (p. 7) sur l nverse d un produt on obtent x y 1 = x 1 x 2 x m y 1 p y 1 1 Chacun des m+ p facteurs f du produt vérfe f A ou f 1 A de sorte que x y 1 a ben la forme requse (avec n = m+ p) des éléments de I. Il sut que x y 1 I et I est donc ben un sous-groupe de G contenant A. Étape 2. S H est un sous-groupe de G contenant A alors I H. Prenons x I que l on écrt comme précédemment x = x 1 x 2 x n. Etudons le facteur x. Il y a deux possbltés: Sot x A et alors x H pusque A H Sot x 1 A et alors x 1 H pus, pusque H est un sous-groupe, x = (x 1 ) 1 H. Dans les deux cas on a x H de sorte que, toujours pusque H est un sousgroupe, x H comme produt d éléments de H. Cela achève la démonstraton de la deuxème étape et du théorème. Lorsque une parte (non vde) A vérfe A = G, on dt que A engendre G ou que G est engendré par A ou encore que A est une parte génératrce de G. Pour ben des questons, on consdère qu on a déjà acqus une bonne connassance du groupe G s on a pu exhber une parte génératrce la plus pette possble car on peut alors décrre par la formule assez smple (2.3) tous les éléments du groupe. Le cas le plus smple est celu où A est rédut à un seul élément. Nous l étudons dans la parte suvante. 2.6 Groupes cyclques, ordre d un élément On dt qu un groupe (G, ) est cyclque s l est engendré par un ensemble rédut à un seul élément.e. G = {a}. On note auss pour alléger l écrture G = a. D après la formule (2.3), tout élément de G s écrt alors x = a ±1 a ±1 a ±1 = a m avec m Z de sorte que G = {a m : m Z}. Il se peut que les éléments dans l ensemble de drote ne soent pas tous deux à deux dstncts. S on a m 1 = a m 2 avec, dsons, m 1 > m 2 alors a m 1 m 2 = e et dans ce cas la descrpton de G peut encore être smplfée. Appelons d le plus pett enter strctement postf tel que a d = e. Notre supposton mplque l exstence de cet enter d avec d m 1 m 2. On dt que a est d ordre (fn) d et on écrt o(a) = d. On a G = {a : = 0,1,...,d 1}. [2.4] jpc / ALG

2. SOUS-GROUPES 15 En effet, s m est un enter quelconque, on peut en effectuant une dvson eucldenne l écrre m = dq+r avec r {0,1,...,d 1} d où a m = a dq+r = (a d ) q a r = e q a r = a r de sorte que {a m : m Z} = {a : = 0,1,...,d 1}. Notons que l ensemble {a : = 0,1,...,d 1} ne peut pas être davantage rédut. En effet s a = a avec > alors a = e or 0 < < d et cela contredt le fat que d est le plus pett enter postf vérfant a d = e. On a démontré le théorème suvant. THÉORÈME 8. Sot (G, ) un groupe cyclque engendré par a. Il y a deux possbltés. Ou ben a est d ordre fn d N et on a G = {a : = 0,1,...d 1} ou ben a n est pas d ordre fn (on dt alors qu l est d ordre nfn) et G = {a m : m Z}. Dans chaque cas les éléments des ensembles ndqués sont deux à deux dstncts. On remarquera que l ordre d un élément est égal au à l ordre (au cardnal) du groupe qu l engendre,.e. o(a) = a, et cela justfe l emplo du même mot ordre pour désgner deux concepts dfférents. Notons que les groupes cyclques sont toujours abélens. 2.7 Tros exemples de sous-groupes engendrés a) Dans (Z,+) Exemple 2.7.1 Pour tout m Z, m = mz. En effet, les éléments de m sont les enters x qu s écrvent x = ±m+±m+ +±m = rm avec r Z. Exemple 2.7.2 Quels que soent les enters m et n, m,n = pgcd(m,n)z. En effet, les élément de m,n sont les enters s qu s écrvent m m m s = ± ou +± ou + +± ou = pm+rn avec p,r Z. n n n Or le théorème de Bezout de l arthmétque élémentare dt que lorsque p et r parcourent Z alors l enter pm + rn parcourt pgcd(m,n)z. Beaucoup d auteurs appellent groupe monogène ce que nous avons appelé groupe cyclque nfn et garde la dénomnaton de cyclque au seuls groupes fns. [2.4]

16 I. INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GROUPES b) Eléments générateurs du groupe des racnes de l unté U n = exp(2π/n). En effet, U n = {exp 2kπ n : k = 0,1,...,n 1} = {φ k : k = 0,1,...,n 1} où φ = exp 2π n. En partculer on a o(φ) = n. Le groupe U n est donc cyclque d ordre n. c) Partes génératrces de Is(P) On démontre en géométre que toute sométre du plan s écrt comme la composée d au plus tros réflexons (symétres orthogonales) on a donc Is(p) = s D : D drote du plan. 3.1 Defnton 3 MORPHISMES Sot (G, ) et (G, ) deux groupes et ϕ une applcaton de G dans G : ϕ : G G. On dt que ϕ est un morphsme de groupe (ou smplement un morphsme) lorsqu elle vérfe ϕ(a b) = ϕ(a) ϕ(b) (a,b G) (3.1) Autrement dt, ϕ est un morphsme s l mage d un -produt est le -produt des mages. Il y a une termnologe assez sophstquée pour décrre dvers types de morphsmes. D abord, les morphsmes sont auss appelés homomorphsmes. Lorsque le groupe de départ et le groupe d arrvée sont les mêmes on parle d endomorphsme. Un morphsme bjectf est un somorphsme. Enfn, un somorphsme de G dans lu-même s appelle un automorphsme. THÉORÈME 9. S ϕ : G G est un somorphsme alors l applcaton récproque ϕ 1 : G G (qu exste pusque ϕ est bjectve) est elle-même un somorphsme. Démonstraton. S x,y G alors, pusque ϕ est bjectve, l exste a et b dans G tels que ϕ(a) = x et ϕ(b) = y. De plus on a x y = ϕ(a) ϕ(b) = ϕ(a b) On trouve encore dans la lttérature le terme de monomorphsme pour désgner un morphsme njectf et celu d épmorphsme pour un morphsme surjectf. Ce vocabulare ne sera pas employé dans ce cours. [3.1] jpc / ALG

3. MORPHISMES 17 car ϕ est un morphsme. Il sut que ϕ 1 (x y) = ϕ 1 (ϕ(a b)) = a b = ϕ 1 (x) ϕ 1 (y). Lorsqu l exste un somorphsme entre G et G, on dt que G et G sont somorphes et on note G G. THÉORÈME 10. L mage de l élément neutre du groupe de départ par un morphsme est l élément neutre du groupe d arrvée. [ϕ(e G ) = e G ]. Démonstraton. Sot ϕ un morphsme de (G, ) dans (G, ). On a ϕ(e G e G ) = ϕ(e G ) ϕ(e G ) et pusque e G est élément neutre e G e G = e G. On a donc ϕ(e G ) = ϕ(e G ) ϕ(e G ) [ϕ(e G )] 1 ϕ(e G ) = [ϕ(e G )] 1 ϕ(e G ) ϕ(e G ) e G = e G ϕ(e G ) e G = ϕ(e G ). THÉORÈME 11. Par un morphsme l mage du symétrque d un élément est le symétrque de l mage de cet élément. [ϕ(g 1 ) = [ϕ(g)] 1.] Il faut ben prendre garde c de ne pas confondre [ϕ(g)] 1 avec ϕ 1 (g). La premère formule désgne le symétrque de l élément ϕ(g) G qu exste toujours pusque G est un groupe. En partculer on [ϕ(g)] 1 G. La seconde n a de sens que lorsque ϕ est une bjecton et g G et dans ce cas elle désgne un élément de G. Démonstraton. Soent ϕ un morphsme de (G, ) dans (G, ) et g G. On g g 1 = e G = g 1 g = ϕ(g g 1 ) = ϕ(e G ) = ϕ(g 1 g) Th. 10 = ϕ(g) ϕ(g 1 )) = e G = ϕ(g 1 ) ϕ(g). Cela sgnfe que ϕ(g 1 ) vérfe les deux condtons défnssant le symétrque de ϕ(g) donc ϕ(g 1 ) = [ϕ(g)] 1. 3.2 Morphsmes et mage des sous-groupes THÉORÈME 12. Soent ϕ un morphsme de G dans G et H un sousgroupe de G alors ϕ(h) est un sous-groupe de G. En partculer ϕ(g) est un sous-groupe de G. [H G ϕ(h) G.] [3.1]

18 I. INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GROUPES Rappelons que ϕ(h) def = {ϕ(h) : h H} et s appelle l mage de H par ϕ. Démonstraton. Pour montrer que ϕ(h) est un sous-groupe de G nous devons vérfer (1) qu l est non vde et (2) pour tous x,y ϕ(g) on a x y 1 ϕ(g). Que ϕ(h) sot non vde est clar car, d après le Théorème 10, e G H ϕ(e G ) = e G ϕ(h). Quant au second pont, s x,y ϕ(h) alors x = ϕ(a) et y = ϕ(b) avec a,b H. Donc x y 1 = ϕ(a) [ϕ(b)] 1 donc ϕ(h) est ben un sous-groupe de G. 3.3 Le noyau Th. 11 = ϕ(a) ϕ(b 1 ) = ϕ(a b 1 ) ϕ(h) car a,b H et H G, Sot ϕ un morphsme de (G, ) dans (G, ). On appelle noyau de ϕ et on note kerϕ "ker" est l abbrévaton du mot allemand kernel qu sgnfe noyau l ensemble kerϕ de = f {g G : ϕ(g) = e G } (3.2) D après le Théorème 10, on a toujours ϕ(e G ) = e G donc e G kerϕ qu n est ans jamas vde. THÉORÈME 13. Le noyau d un morphsme est un sous-groupe du groupe de départ. [kerϕ G]. Démonstraton. Pusque kerϕ /0 l sufft de vérfer que x,y kerϕ x y 1 kerϕ. Or ϕ(x y 1 ) = ϕ(x) ϕ(y 1 ) (déf. d un morph.) = ϕ(x) [ϕ(y)] 1 (Th. 11.) = e G [e G ] 1 (déf. du noyau.) = e G. Donc x y 1 kerϕ qu est ben un sous-groupe. Le noyau vérfe une autre proprété. S g G et x kerϕ alors g x g 1 kerϕ. En effet, ϕ(g x g 1 ) = ϕ(g) ϕ(x) ϕ(g 1 ) = ϕ(g) ϕ(x) [ϕ(g)] 1 (par le Th. 11) = ϕ(g) e G [ϕ(g)] 1 = ϕ(g) [ϕ(g)] 1 = e G. [3.2] jpc / ALG

3. MORPHISMES 19 Les groupes vérfant cette proprété sont dts dstngués. Cette noton très utle sera étudée par la sute. THÉORÈME 14. Pour qu un morphsme sot njectf l faut et l sufft que son noyau se rédusent à l élément neutre. [ϕ : G morph. G njectve kerϕ = {e G }.] Rappelons qu une applcaton ϕ est dte njectve lorsque deux éléments dstncts ont nécessarement deux mages dstnctes. Autrement dt l hypothèse ϕ(x) = ϕ(y) dot toujours mplquer x = y. Démonstraton. (= ) On suppose que ϕ est njectve et on montre que ker ϕ = {e G }. On sat que e G kerϕ. S x est un autre élément de kerϕ avec x e G alors ϕ(e G ) = e G = ϕ(x) donc x et e G ont la même mage sans être égaux, ce qu contredt l njectvté de ϕ. ( =) On suppose que kerϕ = {e G } et on montre que ϕ est njectve. Supposons que x et y soent deux éléments de G tels que ϕ(x) = ϕ(y). On a ϕ(x) [ϕ(y)] 1 = e G ϕ(x) ϕ(y 1 ) = e G (par le Th. 11) ϕ(x y 1 ) = e G x y 1 kerϕ x y 1 = e G (car kerϕ = {e G }) x = y L hypothèse ϕ(x) = ϕ(y) mplque donc x = y et ϕ est ben njectve. THÉORÈME 15. Soent G et G deux groupes fns de même cardnal et ϕ un morphsme de G dans G. Pour que ϕ sot un somorphsme l faut et l sufft que kerϕ sot rédut à l élément neutre. Démonstraton. Lorsque G et G sont des ensembles fns, de même cardnal, dre que ϕ : G G est bjectve est équvalent à dre qu elle est njectve. 3.4 Morphsmes et mage-récproque des sous-groupes Sot ϕ un morphsme de (G, ) dans (G, ). S l n est perms de parler de l élément ϕ 1 (g) que lorsque ϕ est bjectve (et g G ), on peut toujours consdérer l ensemble ϕ 1 ({g}), qu est formé, par défnton, de tous les éléments x G tels que ϕ(x) = g. Cet ensemble ϕ 1 ({g}) peut-être vde et l est égal à {ϕ 1 (g)} lorsque (mas pas seulement) ϕ est bjectve. D un manère générale, [3.2]

20 I. INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GROUPES s Y G on appelle mage-récproque ou pré-mage de Y par ϕ et on note ϕ 1 (Y) l ensemble défn par ϕ 1 (Y) = {x G : ϕ(x) Y }. On remarquera que kerϕ = ϕ 1 ({e G )}. THÉORÈME 16. Soent ϕ un morphsme de G dans G et W un sousgroupe de G alors ϕ 1 (W) est un sous-groupe de G qu content kerϕ. [W G ϕ 1 (W) G.] Démonstraton. Pusque W est sous-groupe de G on a e G W de sorte que kerϕ = ϕ 1 ({e G }) ϕ 1 (W) qu n est donc pas vde. Il sufft de vérfer que x,y ϕ 1 (W) x y 1 ϕ 1 (W). Or ϕ(x y 1 ) = ϕ(x) ϕ(y 1 ) (déf. d un morph.) = ϕ(x) [ϕ(y)] 1 (Th. 11.) ϕ(x y 1 ) W W W (car W G.) Donc x y 1 ϕ 1 (W) qu est ben un sous-groupe. 3.5 Cnq exemples de morphsmes a) Exponentelle et logarthme L applcaton exp : (R,+) (R +,.) x exp x. est un somorphsme, on a exp 1 = ln. b) Exponentelle complexe Est un morphsme l applcaton (R,+) E C : (U,.) x exp x. On a kere C = {x R : exp(x) = 1} = {x R : x = 2kπ, k Z} = 2πZ. [3.2] jpc / ALG

3. MORPHISMES 21 c) Le détermnant On a d) Les automorphsmes ntéreurs det : GL n(k) (K,.) A det A kerdet = {A GL n (K) : deta = 1} def = SL n (K). Sot (G,.) un groupe et x G. L applcaton (G,.) φ x : (G,.) g x 1 gx. est un automorphsme. Tout automorphsme construt de cette manère s appelle un automorphsme ntéreur. L ensemble des automorphsmes ntéreurs, noté Int(G), forme lu-même un groupe lorsqu on le munt de la lo de composton des applcatons. e) L applcaton pussance Sot (G, ) un groupe quelconque et g G. L applcaton suvante est un morphsme de groupe. (Z,+) p g : (G, ) m g m. () S g est d ordre nfn p g est njectve. () S g est d ordre d ker p g = dz. Montrons le second pont. S m ker p g alors g m = e mas, effectuant une dvson eucldenne, on peut écrre m = qd + r avec r {0,1,...,d 1}. Par conséquent g m = e g qd+r = e (g d ) q g r = e e q g r = e g r = e. La seule possblté est que r = 0 car r < d et d est l ordre de g c est-à-dre le plus pett enter postf pour lequel g d = e. Mantenant r = 0 donne m = qd.e. m dz. Cela prouve ker p g dz. On montre faclement qu on a auss dz ker p g d où ker p g = dz. Du premer pont on dédut le théorème suvant. THÉORÈME 17. S (G, ) est un groupe cyclque nfn alors (G, ) (Z,+). Démonstraton. S G = g alors, par défnton p g est surjectf et pusque nous avons que c est un morphsme njectf, c est un somorphsme. [4.0]