B - 205-206 Programmes de Khôlles Semaie 2-28 septembre Logique et esembles Quatificateurs, absurde, cotraposée Esembles, sous-esembles, P(E), relatios esemblistes. Nombres Récurrece : simple, double, forte. Valeur absolue Partie etière Equatios, iéquatios Majorat,miorat, plus grad/plus petit élémet, bore sup/bore if. Les complexes : iterprétatio géométrique, module/argumet. Equatio du 2 d degré à coefficiets réels. Résolutio de z 2 =z, z C Exo type : module et argumet de : e iθ Applicatios Image d'u esemble par ue applicatio. Foctio idicatrice (léger) Compositio des applicatios Ijectios, surjectios, bijectios.
Semaie 28 septembre- 5 octobre Nombres Récurrece : simple, double, forte. Valeur absolue Partie etière Equatios, iéquatios Majorat,miorat, plus grad/plus petit élémet, bore sup/bore if. Les complexes : iterprétatio géométrique, module/argumet. Equatio du 2 d degré à coefficiets réels. Résolutio de z 2 =z, z C Exo type : module et argumet de : e iθ Applicatios Image d'u esemble par ue applicatio. Foctio idicatrice (léger) Compositio des applicatios Ijectios, surjectios, bijectios. Méthodes et calcul Symboles Σ et Π Chagemet d'idice, téléscopage Coefficiets biomiaux, propriétés Biôme de Newto Sommes doubles, permutatio des sommes. Exos type : Calculer l(+ k = k ), Motrer que 2, k=2 k (k ) = Motrer que p, p = p, p = p p, p + Motrer que k k = 2 k =0 p = p
Semaie 5-2 octobre Applicatios Image d'u esemble par ue applicatio. Foctio idicatrice (léger) Compositio des applicatios Ijectios, surjectios, bijectios. Méthodes et calcul Symboles Σ et Π Chagemet d'idice, téléscopage Coefficiets biomiaux, propriétés Biôme de Newto Sommes doubles, permutatio des sommes. Exos type : Calculer l(+ k = k ), Motrer que 2, k=2 k (k ) = Motrer que p, p = p, p = p p, p + Motrer que k k = 2 k =0 p = p Trigoométrie Formulaire, valeurs remarquables, relatios etre si et cos de x, -x, π x, etc. cos(2x) et si(2x) par cœur Liéarisatio de cos p x si q x pour de petites valeurs de p et q Foctios arccos, arcsi, arcta : défiitio, tableau de variatio, dérivée, tracé.
Semaie 2-9 octobre Méthodes et calcul Symboles Σ et Π Chagemet d'idice, téléscopage Coefficiets biomiaux, propriétés Biôme de Newto Sommes doubles, permutatio des sommes. Exos type : Calculer l(+ k = k ), Motrer que 2, k=2 k (k ) = Motrer que p, p = p, p = p p, p + Motrer que k k = 2 k =0 p = p Trigoométrie Formulaire, valeurs remarquables, relatios etre si et cos de x, -x, π x, etc. cos(2x) et si(2x) par cœur Liéarisatio de cos p x si q x pour de petites valeurs de p et q Foctios arccos, arcsi, arcta : défiitio, tableau de variatio, dérivée, tracé. Déombremet p-listes, p-listes sas répétitio, combiaisos. Exercices de déombremet de base : tirages successifs, avec ou sas remise, simultaés. Suites réelles Suites géométriques, arithmétiques, arithmético-géométriques, récurretes liéaires d'ordre 2. Pour les suites arithmético-géométriques, ue des deux méthodes pour l'obtetio du terme gééral e foctio de est exigible.
Semaie 2-9 Novembre Déombremet p-listes, p-listes sas répétitio, combiaisos. Exercices de déombremet de base : tirages successifs, avec ou sas remise, simultaés. Suites réelles Suites géométriques, arithmétiques, arithmético-géométriques, récurretes liéaires d'ordre 2. Pour les suites arithmético-géométriques, ue des deux méthodes pour l'obtetio du terme gééral e foctio de est exigible. Foctios usuelles Etude de foctio. Foctios usuelles : puissaces, l/exp, trigoométrie et trigoométrie iverse, Partie etière, valeur absolue. Dérivées et primitives Dérivée d'ue foctio composée. (pas ecore de l'iverse) Itégratio par parties. Exercice à savoir refaire : I = 0 π 2 si x dx ) Calculer I 0, I 2) Motrer que (I ) coverge. 3) Trouver ue formule de récurrece etre I et I 2 4) E déduire l'expressio de I 2 et I 2+ e foctio de.
Semaie 9-6 Novembre Déombremet p-listes, p-listes sas répétitio, combiaisos. Exercices de déombremet de base : tirages successifs, avec ou sas remise, simultaés. Dérivées et primitives Dérivée d'ue foctio composée. (pas ecore de l'iverse) Itégratio par parties. Exercice à savoir refaire : I = 0 π 2 si x dx 5) Calculer I 0, I 6) Motrer que (I ) coverge. 7) Trouver ue formule de récurrece etre I et I 2 8) E déduire l'expressio de I 2 et I 2+ e foctio de. Equatios différetielles liéaires du er ordre et 2e ordre à coefficiets costats. Résolutio avec ou sas coditio iitiale. Systèmes liéaires Trasformatio d'u système e système écheloé à l'aide d'opératios élémetaires sur les liges. Résolutio d'u système liéaire par la méthode du Pivot de Gauss.
Semaie 6-23 Novembre Déombremet p-listes, p-listes sas répétitio, combiaisos. Exercices de déombremet de base : tirages successifs, avec ou sas remise, simultaés. Equatios différetielles liéaires du er ordre et 2e ordre à coefficiets costats. Résolutio avec ou sas coditio iitiale. Systèmes liéaires Trasformatio d'u système e système écheloé à l'aide d'opératios élémetaires sur les liges. Résolutio d'u système liéaire par la méthode du Pivot de Gauss. Matrices Tout le chapitre. E particulier : Puissaces de matrice, biôme de Newto, iverse, iverse d'ue matrice 2x2, rag d'ue matrice carrée, résolutio matricielle d'u système 2x2
Semaie 23-30 Novembre Déombremet p-listes, p-listes sas répétitio, combiaisos. Exercices de déombremet de base : tirages successifs, avec ou sas remise, simultaés. Equatios différetielles liéaires du er ordre et 2e ordre à coefficiets costats. Résolutio avec ou sas coditio iitiale. Systèmes liéaires Trasformatio d'u système e système écheloé à l'aide d'opératios élémetaires sur les liges. Résolutio d'u système liéaire par la méthode du Pivot de Gauss. Matrices Tout le chapitre. E particulier : Puissaces de matrice, biôme de Newto, iverse, iverse d'ue matrice 2x2, rag d'ue matrice carrée, résolutio matricielle d'u système 2x2 Polyômes Début du chapitre : défiitios, degrés, équatios polyomiales simples e raisoat sur les degrés.
Semaie 30 Novembre -7 Décembre Déombremet p-listes, p-listes sas répétitio, combiaisos. Exercices de déombremet de base : tirages successifs, avec ou sas remise, simultaés. Systèmes liéaires Trasformatio d'u système e système écheloé à l'aide d'opératios élémetaires sur les liges. Résolutio d'u système liéaire par la méthode du Pivot de Gauss. Matrices Tout le chapitre. E particulier : Puissaces de matrice, biôme de Newto, iverse, iverse d'ue matrice 2x2, rag d'ue matrice carrée, résolutio matricielle d'u système 2x2 Polyômes Début du chapitre : défiitios, degrés, équatios polyomiales simples e raisoat sur les degrés. Géométrie Equatios de droites et plas das le pla et l'espace. Cercles das le pla. Vecteur directeur, vecteur ormal. Produit scalaire, orme.
Semaie 6-3 Décembre Déombremet p-listes, p-listes sas répétitio, combiaisos. Exercices de déombremet de base : tirages successifs, avec ou sas remise, simultaés. Systèmes liéaires Trasformatio d'u système e système écheloé à l'aide d'opératios élémetaires sur les liges. Résolutio d'u système liéaire par la méthode du Pivot de Gauss. Matrices Tout le chapitre. E particulier : Puissaces de matrice, biôme de Newto, iverse, iverse d'ue matrice 2x2, rag d'ue matrice carrée, résolutio matricielle d'u système 2x2 Polyômes Début du chapitre : défiitios, degrés, équatios polyomiales simples e raisoat sur les degrés. Géométrie Equatios de droites et plas das le pla et l'espace. Cercles das le pla. Vecteur directeur, vecteur ormal. Produit scalaire, orme.
Semaie 4- Javier Espaces vectoriels Sous-espaces vectoriels Familles libres, familles géératrices Bases, dimesio. Base caoique. Sous-espace vectoriel egedré par ue famille de vecteurs. Rag d'ue famille de vecteurs. Défiitios de cours : famille géératrice d'u sev. Famille libre. Démostratio de cours : l'itersectio de deux sev est u sev. Applicatios liéaires Applicatio liéaire, défiitio. Im(f). Défiitio, propriétés. Surjectivité. Rag d'ue AL. Défiitios de cours : applicatio liéaire, Im(f). Démostratios de cours : Si f est u AL de E F, alors : f (0 E )=0 F Im(f) est u sev de F L'image par f d'ue base de E est ue famille géératrice de Im(f)
Semaie -8 Javier Espaces vectoriels Sous-espaces vectoriels Familles libres, familles géératrices Bases, dimesio. Base caoique. Sous-espace vectoriel egedré par ue famille de vecteurs. Rag d'ue famille de vecteurs. Défiitios de cours : famille géératrice d'u sev. Famille libre. Démostratio de cours : l'itersectio de deux sev est u sev. Applicatios liéaires Applicatio liéaire, défiitio. Im(f). Défiitio, propriétés. Surjectivité. Rag d'ue AL. Ker(f). Théorème du rag Matrice d'ue applicatio liéaire Image et oyau d'ue matrice. Rag d'ue applicatio liéaire. Défiitios de cours : applicatio liéaire, Im(f). Démostratios de cours : Si f est u AL de E F, alors : f (0 E )=0 F Im(f) est u sev de F L'image par f d'ue base de E est ue famille géératrice de Im(f) Ker(f) est u sev de E f est ijective <=> Ker(f) = {0} Si f est ue applicatio liéaire bijective, alors f est liéaire.
Semaie 8-25 Javier Espaces vectoriels Sous-espaces vectoriels Familles libres, familles géératrices Bases, dimesio. Base caoique. Sous-espace vectoriel egedré par ue famille de vecteurs. Rag d'ue famille de vecteurs. Défiitios de cours : famille géératrice d'u sev. Famille libre. Démostratio de cours : l'itersectio de deux sev est u sev. Applicatios liéaires Applicatio liéaire, défiitio. Im(f). Défiitio, propriétés. Surjectivité. Rag d'ue AL. Ker(f). Théorème du rag Matrice d'ue applicatio liéaire Image et oyau d'ue matrice. Rag d'ue applicatio liéaire. Défiitios de cours : applicatio liéaire, Im(f). Démostratios de cours : Si f est u AL de E F, alors : f (0 E )=0 F Im(f) est u sev de F L'image par f d'ue base de E est ue famille géératrice de Im(f) Ker(f) est u sev de E f est ijective <=> Ker(f) = {0} Si f est ue applicatio liéaire bijective, alors f est liéaire. Espaces probabilisés Uivers, issues, évèemets. Système complet d'évéemets Equiprobabilité. Coditioemet, idépedace. Formule des probabilités composées, des probabilités totales, de Bayes.
Semaie 5-22 février Espaces probabilisés Uivers, issues, évèemets. Système complet d'évéemets Equiprobabilité. Coditioemet, idépedace. Formule des probabilités composées, des probabilités totales, de Bayes. Exercice type : feuille Proba 2, exos, 3 et 4 Variables aléatoires Loi de probabilité d'ue VA Foctio de répartitio Espérace, théorème de trasfert. Exercice de cours : o lace ue pièce truquée (P(PILE) =p, P(FACE)=-p=q), fois. X = b de PILE obteus. Détermier la loi de X, et E(X). Variables usuelles. Loi uiforme sur [[,]] espérace, variace. Savoir les calculer.. Loi de Beroulli, espérace, variace. Savoir les calculer.. Loi biomiale, espérace (calcul), variace.. Loi hypergéométrique : coaître la modélisatio, coaître la loi, et la valeur de l'espérace. Couple de variables aléatoires Loi cojoite, lois margiales. Détermier les loi margiales à partir de la loi du couple. Variables aléatoires idépedates.
Semaie 4-2 mars Espaces probabilisés Uivers, issues, évèemets. Système complet d'évéemets Equiprobabilité. Coditioemet, idépedace. Formule des probabilités composées, des probabilités totales, de Bayes. Variables aléatoires Loi de probabilité d'ue VA Foctio de répartitio Espérace, théorème de trasfert. Variables usuelles. Loi uiforme sur [[,]] espérace, variace. Savoir les calculer.. Loi de Beroulli, espérace, variace. Savoir les calculer.. Loi biomiale, espérace (calcul), variace.. Loi hypergéométrique : coaître la modélisatio, coaître la loi, et la valeur de l'espérace. Couple de variables aléatoires Loi cojoite, lois margiales. Détermier les loi margiales à partir de la loi du couple. Variables aléatoires idépedates. Suites réelles Covergece, majoratio, mioratio, mootoie. Théorème(s) des gedarmes Suites adjacetes : défiitio Exercices : Motrer que k= Motrer que u = ( ) k coverge. k k= k+ et v =u + 2 sot adjacetes Motrer que u = k= k l et v =u sot adjacetes (Idicatio : o utilisera et il faut savoir le démotrer - : x>,l (+x) x
Semaie 2-28 mars Suites réelles : tout le chapitre Covergece, majoratio, mioratio, mootoie. Théorème(s) des gedarmes Suites adjacetes : défiitio Equivalets, opératios sur les équivalets, applicatio au calcul de limites. Equivalets à coaître ( quad u 0 ) : l(+ u ), e u, si( u ), - cos( u ), +u Suites défiies par la doée du premier terme et d'ue relatio de récurrece du typé u + =f (u ) Suites défiies implicitemet comme solutio d'ue équatio du type f (u ) = 0 Pour ces deux deriers poits : «Aucu théorème gééral relatif à ce type de suites est exigible des étudiats». Il faut savoir cojecturer, résoudre les exercices simples, et e coaître les différetes étapes : majoratio/mioratio, mootoie, covergece. Exercices à savoir faire ( ) ) Motrer que k coverge. k= k 2) Motrer que u = k+ et v =u + 2 k= sot adjacetes 3) Motrer que u = k= k l et v =u sot adjacetes (Idicatio : o utilisera et il faut savoir le démotrer - : x>,l(+x) x 4) Etude de la suite défiie par { u 0 =0 N, u + = u +2 Motrer qu'elle est défiie, borée, mootoe, covergete. Savoir cojecturer so comportemet avec u dessi. 5) Pour tout etier aturel o cosidère la foctio f défiie sur [0;+ [ par : x [0;+ [,f (x)=x + x a. Motrer que l'équatio f (x) = admet ue uique solutio α sur [0;+ [ et que N, α 2 b. Détermier le sige de f + (x) f (x), pour tout etier aturel et tout reel positif x. E déduire la mootoie de la suite ( α ) c. Prouver que la suite ( α ) coverge vers. 6) Motrer que l'équatio x + l(x) = 0 admet ue solutio uique u R + *. Etude de la suite ( u ) e suivat le même pla qu'e 5)
Proba Exercices 6 (sauf 6.5) et 7 du derier DS. Semaie 28 mars-4 avril Suites réelles : tout le chapitre Covergece, majoratio, mioratio, mootoie. Théorème(s) des gedarmes Suites adjacetes : défiitio Equivalets, opératios sur les équivalets, applicatio au calcul de limites. Equivalets à coaître ( quad u 0 ) : l(+ u ), e u, si( u ), - cos( u ), +u Suites défiies par la doée du premier terme et d'ue relatio de récurrece du typé u + =f (u ) Suites défiies implicitemet comme solutio d'ue équatio du type f (u ) = 0 Pour ces deux deriers poits : «Aucu théorème gééral relatif à ce type de suites est exigible des étudiats». Il faut savoir cojecturer, résoudre les exercices simples, et e coaître les différetes étapes : majoratio/mioratio, mootoie, covergece. Exercices à savoir faire ( ) ) Motrer que k coverge. k= k 2) Motrer que u = k+ et v =u + 2 k= sot adjacetes 3) Motrer que u = k= k l et v =u sot adjacetes (Idicatio : o utilisera et il faut savoir le démotrer - : x>,l (+x) x 4) Etude de la suite défiie par { u 0 =0 N, u + = u +2 Motrer qu'elle est défiie, borée, mootoe, covergete. Savoir cojecturer so comportemet avec u dessi. 5) Pour tout etier aturel o cosidère la foctio f défiie sur [0;+ [ par : x [0 ;+ [,f (x)=x + x a. Motrer que l'équatio f (x) = admet ue uique solutio α sur [0;+ [ et que N, α 2 b. Détermier le sige de f + (x ) f (x ), pour tout etier aturel et tout reel positif x. E déduire la mootoie de la suite ( α ) c. Prouver que la suite ( α ) coverge vers. 6) Motrer que l'équatio x + l(x) = 0 admet ue solutio uique u R + *. Etude de la suite ( u ) e suivat le même pla qu'e 5) Foctios Etude et tracé de foctios iveau termiale ++ (comme e séace de biômes)
Proba Exercices 6 (sauf 6.5) et 7 du derier DS. Semaie 4 avril- avril Suites réelles : tout le chapitre Covergece, majoratio, mioratio, mootoie. Théorème(s) des gedarmes Suites adjacetes : défiitio Equivalets, opératios sur les équivalets, applicatio au calcul de limites. Equivalets à coaître ( quad u 0 ) : l(+ u ), e u, si( u ), - cos( u ), +u Suites défiies par la doée du premier terme et d'ue relatio de récurrece du typé u + =f (u ) Suites défiies implicitemet comme solutio d'ue équatio du type f (u ) = 0 Pour ces deux deriers poits : «Aucu théorème gééral relatif à ce type de suites est exigible des étudiats». Il faut savoir cojecturer, résoudre les exercices simples, et e coaître les différetes étapes : majoratio/mioratio, mootoie, covergece. Exercices à savoir faire 4) Etude de la suite défiie par { u 0 =0 N, u + = u +2 Motrer qu'elle est défiie, borée, mootoe, covergete. Savoir cojecturer so comportemet avec u dessi. 5) Pour tout etier aturel o cosidère la foctio f défiie sur [0;+ [ par : x [0 ;+ [,f (x)=x + x a. Motrer que l'équatio f (x) = admet ue uique solutio α sur [0;+ [ et que N, α 2 b. Détermier le sige de f + (x ) f (x ), pour tout etier aturel et tout reel positif x. E déduire la mootoie de la suite ( α ) c. Prouver que la suite ( α ) coverge vers. 6) Motrer que l'équatio x + l(x) = 0 admet ue solutio uique u R + *. Etude de la suite ( u ) e suivat le même pla qu'e 5) Foctios Etude et tracé de foctios iveau termiale ++ (comme e séace de biômes) Aucue hésitatio sur la détermiatio des esembles de défiitio. Exemples à savoir traiter sas erreur (e vrac) : l( x ), x, l(x 2 +x+),l ( x x+ ), l(x),l(e x ), l( ex e x 2 ),l ( x),l (x2 2) etc. Asymptotes. Tagetes. Cotiuité, limites. Cotiuité à droite, à gauche, prologemet par cotiuité, cotiuité sur u domaie. Equivalets et «égligeabilité» et applicatios au calcul de limites.
Semaie avril-8 avril Equadiffs Savoir résoudre le problème de l'oscillateur harmoique élémetaire: http://bcpst.c.b.f.ublog.fr/files/20/09/oscillateur-harmoique.pdf Suites réelles : tout le chapitre Covergece, majoratio, mioratio, mootoie. Théorème(s) des gedarmes Suites adjacetes : défiitio Equivalets, opératios sur les équivalets, applicatio au calcul de limites. Equivalets à coaître ( quad u 0 ) : l(+ u ), e u, si( u ), - cos( u ), +u Suites défiies par la doée du premier terme et d'ue relatio de récurrece du typé u + =f (u ) Suites défiies implicitemet comme solutio d'ue équatio du type f ( u ) = 0 Pour ces deux deriers poits : «Aucu théorème gééral relatif à ce type de suites est exigible des étudiats». Il faut savoir cojecturer, résoudre les exercices simples, et e coaître les différetes étapes : majoratio/mioratio, mootoie, covergece. Exercices à savoir faire 4) Etude de la suite défiie par { u 0 =0 N, u + = u +2 Motrer qu'elle est défiie, borée, mootoe, covergete. Savoir cojecturer so comportemet avec u dessi. 5) Pour tout etier aturel o cosidère la foctio f défiie sur [0;+ [ par : x [0 ;+ [,f (x)=x + x a. Motrer que l'équatio f (x) = admet ue uique solutio α sur [0;+ [ et que N, α 2 b. Détermier le sige de f + (x ) f (x ), pour tout etier aturel et tout reel positif x. E déduire la mootoie de la suite ( α ) c. Prouver que la suite ( α ) coverge vers. 7) Motrer que l'équatio x + l(x) = 0 admet ue solutio uique u R + *. Etude de la suite ( u ) e suivat le même pla qu'e 5) Foctios Etude et tracé de foctios iveau termiale ++ (comme e séace de biômes) Aucue hésitatio sur la détermiatio des esembles de défiitio. Exemples à savoir traiter sas erreur (e vrac) : l( x ), x, l(x 2 +x+),l ( x x+ ), l (x), l(e x ), l( e x e x 2 ), l( x), l(x2 2) etc. Asymptotes. Tagetes. Cotiuité, limites. Cotiuité à droite, à gauche, prologemet par cotiuité, cotiuité sur u domaie. Equivalets et «égligeabilité» et applicatios au calcul de limites. Théorème des valeurs itérmédiaires, Th. De Weierstrass (l'image d'ue foctio cotiue par u itervalle est u itervalle). Théorème de la bijectio.