HYDROLOGIE STATISTIQUE

HYDROLOGIE STATISTIQUE Elémets d Hydrologie Statistique par R.Ababou, d après le cours professé à l INP-ENSEEIHT (Toulouse), Départemet de Formatio «Hydraulique & Mécaique des Fluides». R. ABABOU Documet «PDF» e couleur dispoible sur site web. Décembre 006 / Javier 007 (versio v)

HYDROLOGIE STATISTIQUE R. Ababou Sommaire Décembre 006 / Javier 007 (versio v) CH.0. INTRODUCTION, BIBLIO, DONNEES HYDROLOGIQUES CH.. ANALYSE STATISTIQUE UNIVARIEE EN HYDROLOGIE Ch.-A. Ch.-B. TD. Aalyse uivariée Momets et lois de probabilité Aalyse uivariée (suite) Crues auelles et valeurs extrêmes ; crues rares et loi de Poisso. CRUES GARONNE (LOI DE GUMBEL & LOI DE POISSON) CH.. ANALYSE STATISTIQUE MULTIVARIEE EN HYDROLOGIE TD. COVARIANCES, REGRESSION, ACP (6 statios pyréées) CH.3. ANALYSE STATISTIQUE DE PROCESSUS HYDROLOGIQUES Ch.3-A. Chroiques hydrologiques & Processus aléatoires (Bases) Ch.3-B. Aalyse croisée de chroiques hydrologiques (pluie-débit) TD3 IDENTIFICATION STATISTIQUE D UNE FONCTION DE TRANSFERT PLUIE P(t) DEBIT Q(t) : HYDROGRAMME UNITAIRE (avec jeux de doées : pluies-débits bassis karstiques, etc ) REFERENCES ANNEES i

HYDROLOGIE STATISTIQUE R. Ababou Table des Matières Décembre 006 / Javier 007 (versio v) Pla du Cours et des Travaux Dirigés CH.0. INTRODUCTION, BIBLIO, DONNEES HYDROLOGIQUES 0.0. Bibliographie (voir liste des référeces) 0.. Doées hydrologiques (bases de doées, illustratios) 0.. Objectifs, méthodes et «modèles» e hydrologie statistique 0.3. Objectifs types d applicatios de l hydrologie statistique CH.. ANALYSE STATISTIQUE UNIVARIEE EN HYDROLOGIE Ch.-A. Aalyse uivariée Momets et lois de probabilité A.0. Bases élémetaires de probabilité(s) et statistique(s) Probabilité «axiomatique», theorème de Bayes, exemples Géératio de variables (pseudo)-aléatoires Desité de Proba & Foctio de Répartitio (v.a. cotiues) Estimateurs statistiques (DdP, FdR, Momets) A.. Lois de proba classiques, momets, et ajustemets Cf. ANNEE «Lois de proba uivariées : relatios momets-paramètres». A.. Exemples d ajustemets de lois de proba (pluies, débits) A.3. Types de lois de proba (pluies, débits) selo le pas de temps t A. ANNEES Histogrammes de fréqueces liés à la morphologie des bassis Algorithmes de calcul d ue Foctio de Répartitio empirique Itervalle de cofiace et bade de cofiace («erreurs» gaussiees) ii

Ch.-B. TD. Aalyse uivariée (suite) Crues auelles et valeurs extrêmes ; crues rares et loi de Poisso. -B. Notio de «crue» -B. Crues auelles et loi(s) des valeurs extrêmes -B. Evèemets rares et loi de Poisso Défiitio axiomatique de la loi de Poisso Applicatio de la loi de Poisso à l estimatio de crues «rares» Note sur la fiabilité de l estimatio d ue crue «déceale» -B. A NNEE : «Crues, temps de retour, évèemets rares et loi de Poisso». CRUES GARONNE (LOI DE GUMBEL & LOI DE POISSON) CH.. ANALYSE STATISTIQUE MULTIVARIEE EN HYDROLOGIE TD..0. Itroductio, objectifs, méthodes.. Loi de proba multivariée d u vecteur de v.a. s (,, ) Foctio de Répartitio & Desité de Proba multivariées (joites) Loi de Gauss multivariée : cas d u vecteur aléatoire gaussie de taille N.. Cas de v.a. s : covariace, corrélatio, et régressio liéaire.. Utilisatio de la régressio liéaire pour la critique de doées EERCICE/EEMPLE : «Recostitutio de doées par régressio liéaire : pluies mesuelles e deux statios alpies». Test d homogéééité par la méthode des résidus cumulés (ellipse de cofiace) : exemple de trois statios pluviométriques au Sri Laka..3. Gééralisatios aalyses statistiques multi-statios : aalyse corrélatoire multivariée, régressio multiple, et A.C.P. Matrice de covariace à K+ variables (K explicatives, expliquée) Exercice sur ue matrice de covariace 3x3 (exemple de piège à éviter) Régressio liéaire multiple à K+ variables (K explicatives, expliquée) Aalyse e Composates Pricipales (A.C.P) : cf. TD COVARIANCES, REGRESSION, ACP (6 statios pyréées) CH.3. ANALYSE STATISTIQUE DE PROCESSUS HYDROLOGIQUES Ch.3-A. Chroiques hydrologiques & Processus aléatoires (Bases) 3-A. Structure temporelle des chroiques hydrologiques (exemples) 3-A. Les processus aléatoires auto-corrélés (t-cotiu ; t-discret) Itroductio aux foctios aléatoires (t) Processus aléatoire (t), statioarité, ergodicité Foctios d auto-corrélatio de processus statioaires iii

Iterprétatios de foctios d auto-corrélatios (exemples : chroiques de débits jouraliers et bi-mesuels au Sri Laka) 3-A. Modélisatio et recostructio de chroiques hydrologiques : étude du modèle AR (Auto-Régressif du er ordre). Les équatios du modèle AR pour u processus (t()) Relatio d équivalece etre (t)-lagevi et (t())-ar Extesio : le modèle «AR saisoier» de Thomas-Fierig Idetificatio statistique des paramètres du processus AR (statioaire) Exercice de cours : pour ue séquece d observatios (t()) e déduire u critère et ue méthode d ajustemet des paramètres du modèle AR. Ch.3-B. Aalyse croisée de chroiques hydrologiques (pluie-débit). Théorie des modèles de covolutio pluie-débit (P(t) Q(t)) : cf.tableau SYNOPTIQUE Détermiiste vs. Statistique Causal vs. No-causal Temps cotiu Temps discret TD3 IDENTIFICATION STATISTIQUE D UNE FONCTION DE TRANSFERT PLUIE P(t) DEBIT Q(t) : HYDROGRAMME UNITAIRE (avec jeux de doées : pluies-débits bassis karstiques, etc ) REFERENCES ANNEES Lois de probabilité uivariées : relatios momets-paramètres et méthodes d ajustemet. NB : d autres aexes sot isérées directemet das chaque chapître iv

Cours «Hyd.Stat.» 3Hy 005-06 Idetifiat = HY3ASE303 Titre : Hydrologie Statistique Sous-titre : Traitemets de doées hydrologiques : aalyses uivariées, temps de retour, évèemets extrêmes, évèemets rares, aalyses corrélatoires multivariées et ACP, chroiques hydrologiques et processus aléatoires, doées spatialisées et géostatistique. R. Ababou : ababou@imft.fr Eseigats 005-06 : R.Ababou, A. Al-Bitar. Cours «Hyd.Stat.» 3Hy 005-06 Idetifiat = HY3ASE303 Documets e lige: http://rachid.ababou.free.fr/ ( \\CRI\spi_com\be\hy\... ) Documets polycopiés imprimés: Pour les bases statistiques, voir le polycopié ititulé : «Cours d Hydrologie : Statistique» (R.Gaudu). Eseigats 005-06 : R.Ababou, A. Al-Bitar.

Cours Hydro.Stat. 3Hy : Pla / Syllabus PLAN / SYLLABUS «HYDRO. STAT.» ID : HY3ASE303 DATE DE MISE À JOUR : 7/06/005 TITRE : HYDROLOGIE STATISTIQUE (STOCHASTIC HYDROLOGY) COURS : H TD : 8 H TP : H TRAVAIL PERSONNEL : H OBJECTIFS Approfodir le cours d'hydrologie géérale à l'aide d'ue approche statistique et probabiliste des processus pluies-débits, avec des méthodes de traitemet de doées spatio-temporelles adaptées aux problèmes de l'hydrologie. Eseigats 005-06 : R.Ababou, A. Al-Bitar. 3 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Pla / Syllabus PLAN / SYLLABUS «HYDRO. STAT.» PROGRAMME (COURS & TD) Itroductio, doées, et modélisatio statistique e hydrologie;. A. Aalyse statistique uivariée, momets et lois de probabilité ; B. Evèemets rares, loi de Poisso, estimatio de crue de projet.. Aalyse statistique multivariée : régressio liéaire, régressio multiple gééralisée, corrélatio multiple, et aalyse e composates pricipales (ACP). Applicatios à la critique, recostitutio, et/ou cartographie de doées hydrologiques. 3. Aalyses statistiques de séries chroologiques proveat de réseaux de mesures hydro-météorologiques et hydro-géologiques. Aalyse et recostructio de chroiques pluies-débits ; hydrogramme uitaire statistique. [Estimatio géostatistique (x,y)]. NB : Ue étude de cas sera traitée das le cadre d u «projet» (selo les aées), soit sur ue problème d estimatio géostatistique (variables régioalisées), soit sur la modélisatio ou la recostructio de chroiques hydrologiques (processus aléatoires). Eseigats 005-06 : R.Ababou, A. Al-Bitar. 4

Cours Hydro.Stat. 3Hy : Pla / Syllabus PLAN / SYLLABUS «HYDRO. STAT.» PLANNING DES TRAVAU DIRIGÉS (À TITRE INDICATIF) Date N o. TD Chapître Ititulé & coteu du TD TD /4 I.A & I.B Crues auelles, crues rares, temps de retour (Garoe ; Oued Mdez). TD /4 II. Recostitutio et critique de doées pluviométriques par corrélatio et régressio etre statios ; et/ou : Corrélatios multiples & Aalyse e Composates Pricipales pour l étude des redodaces etre statios hydrologiques. TD 3/4 III. Idetificatio statistique de la foctio de trasfert pluie-débit e temps discret, durée fiie (formulatio algébrique et applicatio de la théorie développée e cours). TD 4/4 III. Mii Bureau d Etude. Utilisatio de programmes Matlab e salle iformatique pour la décovolutio umérique pluie-débit (Hydrogramme Uitaire statistique). 5 RAPPEL : Ue étude de cas sera traitée e «projet» (selo les aées), soit sur ue problème d estimatio géostatistique (variables régioalisées), soit sur la recostructio de chroiques hydrologiques (processus aléatoires). Cours Hydro.Stat. 3Hy: Pla / Syllabus BIBLIOGRAPHIE : PLAN / SYLLABUS «HYDRO. STAT.» Bras R. et I.Rodriguez-Iturbe: «Radom Fuctios i Hydrology», Dover, NY. Chow, Maidmet, et al : «Applied Hydrology», 988. SUPPORTS DE COURS : Polycopiés et documets e lige : (\\CRI\spi_com\be\hy\...) ; http://rachid.ababou.free.fr/ Polycopié imprimé : Pour les bases statistiques, cf. le polycopié ititulé : «Cours d Hydrologie : Statistique» (R.Gaudu). Autres documets : Diapositives de cours distribués chaque aée. Documets de TD et Projet distribués chaque aée. 6

Cours Hydro.Stat. 3Hy: Pla / Syllabus PLAN / SYLLABUS «HYDRO. STAT.» DÉTAILS ORGANISATIONNELS : Evaluatio : Ecrit : BE : Oral : Evaluatio : Ecrit : h ou BE : week-ed Oral : Eseigats : R. Ababou Cours : h A. Al-Bitar Cours : TD : TD : 8 h TP : h TP : h Semestre : 3 Hy Semestre E Chroologie: ère séace Nov.005 / derière séace 4 Ja.006 7

CHAP. 0 (INTRO)

Cours «Hyd.Stat.» 3Hy 005-06 Idetifiat = HY3ASE303 Titre : Hydrologie Statistique Sous-titre : Traitemets de doées hydrologiques : aalyses uivariées, temps de retour, évèemets extrêmes, évèemets rares, aalyses corrélatoires multivariées et ACP, chroiques hydrologiques et processus aléatoires, doées spatialisées et géostatistique. R. Ababou : ababou@imft.fr Hydrologie Statistique 005-06 Eseigats 005-06 : R.Ababou, A. Al-Bitar. Cours «Hyd.Stat.» 3Hy 005-06 Idetifiat = HY3ASE303 Documets e lige: http://rachid.ababou.free.fr/ ( \\CRI\spi_com\be\hy\... ) Documets polycopiés imprimés: Pour les bases statistiques, voir le polycopié ititulé : «Cours d Hydrologie : Statistique» (R.Gaudu). Hydrologie Statistique 005-06 Eseigats 005-06 : R.Ababou, A. Al-Bitar. Web local R.A. free

Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace PLAN / SYLLABUS «HYDRO. STAT.» PROGRAMME (COURS & TD) Itroductio, doées, et modélisatio statistique e hydrologie;. A. Aalyse statistique uivariée, momets et lois de probabilité ; B. Evèemets rares, loi de Poisso, estimatio de crue de projet.. Aalyse statistique multivariée : régressio liéaire, régressio multiple gééralisée, corrélatio multiple, et aalyse e composates pricipales (ACP). Applicatios à la critique, recostitutio, et/ou cartographie de doées hydrologiques. 3. Aalyses statistiques de séries chroologiques proveat de réseaux de mesures hydro-météorologiques et hydro-géologiques. Aalyse et recostructio de chroiques pluies-débits ; hydrogramme uitaire statistique. [Estimatio géostatistique (x,y)]. NB : Ue étude de cas sera traitée das le cadre d u «projet» (selo les aées), soit sur ue problème d estimatio géostatistique (variables régioalisées), soit sur la modélisatio ou la recostructio de chroiques hydrologiques (processus aléatoires). Eseigats 005-06 : R.Ababou, A. Al-Bitar. Hydrologie Statistique 005-06 3 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace (Ch.0) 0. INTRODUCTION Coteu: bibliographie, doées hydrologiques, modélisatio statistique, exemples 0.0. BIBLIOGRAPHIE (EN CONSTRUCTION) R.Ababou 004: Hydrologie Statistique - Cours et exercices (élémets) : documets électroiques sur le site web : http://rachid.ababou.free.fr Gaudu R.: Cours d'hydrologie : Hydrologie Statistique (Polycopié, circa 990). Chow V.T., Maidmet, Mays : Applied Hydrology, 988. Bras R., I.Rodriguez-Iturbe : Radom Fuctios i Hydrology, Dover, New York. Miquel J. : Guide pratique d'estimatio des probabilités de crues. Eyrolles (EDF-DER), 984, 60 pp. Réméiéras G., 965 : Hydrologie de l'igéieur. Eyrolles (EDF-DER). Dubad D., 97: Hydrologie statistique approfodie. Cours polycopié (EDF-DER & ENS d'hydraulique de Greoble). Yevjevich: Delleur: Guides de l OMM B.Cautrot et al.: Les méthodes de prévisio. PUF "Que Sais-Je?". H.Vetsel : Théorie des probabilités. Editios Mir, Moscou. Ph.Tassi : (Proba-stat) J.Bass: Elémets de calcul des proba Blac-Lapierre : (Théorie des foctios aléatoires) W.Feller: A itroductio to probability theory ad applicatios. M.Kedall: Advaced theory of statistics ( vols.) Hydrologie Statistique 005-06 4

0.0. BIBLIOGRAPHIE (EN CONSTRUCTION) Coteu: Etude bibliographique : les doées hydrologiques, la modélisatio statistique, les études et applicatios. Voir liste de référeces (prélimiaire) à la fi de ce documet

Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace (Ch.0) 0. INTRODUCTION Coteu: bibliographie, doées hydrologiques + exemples, modélisatio statistique 0.. DONNÉES HYDROLOGIQUES Sources de doées («BD»=Baque de Doées) RNDE : Réseau Natioal des Doées sur l Eau : http://www.rde.tm.fr/ BD HYDRO : Baque HYDRO, SCHAPI, Aveue Gaspar Coriolis, 3057 TOULOUSE. Tél.: +33 (0)5.34.63.85.57. Email: hydro@eviroemet.gouv.fr Web : http://hydro.rde.tm.fr Etc Types de doées Chroiques hydrologiques horaires, jouralières, mesuelles, auelles. Exemples : précipitatios P(t) mm/h avec t = h; débit Q(t) m3/s avec t = j. Régimes hydrologiques : débits de la ère décade du mois de Jui des aées 98-005. Doées spatialemet distribuées : pluies e 3 statios pluviométriques Exemples de doées et de réseaux de mesures Voir figures suivates Bulleti Hydro Hydrologie Statistique 005-06 Détails: BD Hydro 5 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace (Ch.0) Exemples de doées (et réseaux de mesures) Voir figures suivates Réseau de mesure pluviométriques das le bassi versat d Eel River Dérive des précipitatios auelles sur 80 as (Tabucaya, D.F., Mexique) Recostitutio de précipitatios sur plus de 000 as (Mexique) : «dedro-hydrologie». Observatios sur les crues historiques toulousaies sur 700 as Débits de crues auelles du Rhôe Débits de crues auelles de l Oued Mdez (Moye Atlas) Module auel de la Loire à Blois Régime de débits mesuels - cartographie par régios (U.S.A) Régime des pluies et débits par quizaie traitemet statistique (Gi Gaga, Sri Laka) Chroiques pluies-débits semi-horaires et jouralières (sources karstiques) Etc Bulleti Hydro Hydrologie Statistique 005-06 Détails: BD Hydro 6

Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace (Ch.0) Figures: exemples de doées & réseaux de mesures Hydrologie Statistique 005-06 7 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace (Ch.0) Figures: exemples de doées & réseaux de mesures Hydrologie Statistique 005-06 8

Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace (Ch.0) Figures: exemples de doées & réseaux de mesures Facteur de fluctuatios climatiques a l échelle pluri-auelle: El Nio South Pacific Oscillatio Hydrologie Statistique 005-06 9 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace (Ch.0) Figures: exemples de doées & réseaux de mesures Précipitatios extrêmes das le R.Ababou mode (P et e al., mm) INP/ENSEEIHT: e foctio de la durée D (h ou m): Hydrologie Statistique 005-06 P(mm) 388.6*D 0.486 (h). NB: sur le graphique log-log, P est e mm et D e m. 0

Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace (Ch.0) Figures: exemples de doées & réseaux de mesures Hydrologie Statistique 005-06 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace (Ch.0) Figures: exemples de doées & réseaux de mesures Hydrologie Statistique 005-06 Source: C Thirriot d après R Lambert et al (cf Atlas Hydraulique Garoe)

Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace (Ch.0) Figures: exemples de doées & réseaux de mesures Source karstique d Aliou Hydrologie (Pyréées): Statistique pluie 005-06 et débit semi-horaires ( t=0.5h). 3 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace (Ch.0) Figures: exemples de doées & réseaux de mesures Pluie P(t) et débits Hydrologie Q(t) jouraliers Statistique pour 005-06 3 source karstiques (Pyréées). 4

Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace (Ch.0) Figures: exemples de doées & réseaux de mesures Régime des débits spécifiques bimesuels R.Ababou ( t=5j) et al., INP/ENSEEIHT: à la statio d Agaliya (Sri Laka): aalyse statistique des doées iterauelles Hydrologie par quatiles, Statistique et courbe 005-06du débit moye iterauel. 5 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace (Ch.0) Figures: exemples de doées & réseaux de mesures Comparaiso de aées de chroiques R.Ababou de et pluie al., INP/ENSEEIHT: (histogramme bleu) et de débit spécifique (courbe rouge) agrégées sur t=5j Hydrologie (bimesuelles) Statistique : P-Talawama 005-06 / Q-Jesmi (Sri Laka). 6

Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace (Ch.0) Figures: exemples de doées & réseaux de mesures Comparaiso de aées de chroiques R.Ababou de et pluie al., (histogramme INP/ENSEEIHT: bleu) et de débit spécifique (courbe rouge) agrégées sur t=5j Hydrologie (bimesuelles) Statistique : P-Aigkada 005-06 / Q-Jesmi (Sri Laka). 7 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace (Ch.0) Figures: exemples de doées & réseaux de mesures Statios pluviométriques e bleu; R.Ababou statios de et jaugeage al., INP/ENSEEIHT: de débits e rouge. Bassi versat Hydrologie Statistique 005-06 de la Gi Gaga (Sri Laka). Etude D.E.A. de Karie DESNOS 00 (IMFT/R.Ababou). 8

Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace (Ch.0) Figures: exemples de doées & réseaux de mesures Hydrologie Statistique 005-06 9 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace (Ch.0) Figures: exemples de doées & réseaux de mesures The PDSI is obtaied from precipitatio, air temperature, ad local soil moisture, alog with prior values of these measures. PDSI values rage from -6.0 (extreme drought) to +6.0 (extreme wet coditios), ad have bee stadardized to facilitate comparisos from regio to regio (USA). This drought idex has bee used to evaluate drought impact o agriculture. Cartographie aiméee du PDSI (Palmer Drough Severity Idex) Hydrologie Statistique 005-06 The aimatio [show to the left] demostrates the distributio of drought from istrumetal data for the -933-940 Dust Bowl Drought (top), -95-956 Drought (bottom). Both droughts affected much of the U.S. Southwest & Souther Great Plais. Red idicates areas of extreme drought, while blue idicates very wet coditios. Notice how extesive a area is uder severe drought as the 930 s decade progresses. Texas is a key area for the 950 s drought. Source: USGS (légedes modifiées -- R.A.) 0

Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace (Ch.0) 0. INTRODUCTION Bibliographie, doées hydrologiques (exemples), modélisatio statistique e hydrologie (exemples) 0.. OBJECTIFS, MÉTHODES & MODÈLES STATISTIQUES EN HYDROLOGIE Etape 0: Choix d'ue approche de type statistique Supposos que ous ayos à traiter u problème hydrologique tel que : prédire le régime des débits e différets poits d'u bassi, pour l'implatatio de microcetrales hydro-électriques, prédire les crues extrêmes sur le futur site de costructio d'u barrage (par exemple e Asie). Après exame du problème posé, des doées et des moyes dispoibles, l'hydrologue peut avoir à recoaître l'utilité (ou même la écessité) d'ue descriptio probabiliste / statistique des phéomèes. La raiso e est l extrême complexité des situatios et mécaismes physiques : processus hydro-météorologiques et hydrodyamiques spatio-temporels (précipitatios, débits de ruissellemets, ); les milieux géophysiques hétérogèes (propriétés de surface des bassis hydrologiques: perméabilité, topographie, végétatio, sols, ). Par exemple, il peut sembler très difficile de proposer ue modélisatio puremet hydrodyamique pour estimer les chroiques de débits e u poit d'u cours d'eau o jaugé ( ). Ue "modélisatio statistique" est alors proposée, e adaptat celle-ci étroitemet aux doées et moyes dispoibles. Hydrologie Statistique 005-06 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace (Ch.0) 0. INTRODUCTION Bibliographie, doées hydrologiques (exemples), modélisatio statistique e hydrologie (exemples) Exemples: Le terme "modélisatio" s'applique aussi bie à l'approche statistique que mécaiste. Das les deux cas, la modélisatio est utilisée pour la prédictio, l'iterpolatio, ou l'extrapolatio, par exemple lorsqu'il s'agit de coaître les débits o observés (scéarios climatiques; crues de projet; etc). Voici exemples spécifiques justifiat le terme "modélisatio" das l'approche statistique. Ex. : Iterpolatio d'u modèle statistique : régressio liéaire simple (doc corrélatio) permettat d'estimer ou recostituer ue doée (débit de Mai 976 à la statio S6), ue série de doées (débits mesuels de 976 à la statio S6), ou même ue variable ("débit mesuel de Mai à la statio S6"), o directemet observée. Ex. : Extrapolatio d'u modèle statistique : estimatio du débit d'ue crue extrême o observée (e.g. crue déca-milléale) par extrapolatio de sa loi de probabilité, estimée par ajustemet des doées crues auelles. Hydrologie Statistique 005-06

Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace (Ch.0) 0. INTRODUCTION Bibliographie, doées hydrologiques (exemples), modélisatio statistique e hydrologie (exemples) Etape : Mise e forme et critique des doées Choix des variables hydrologiques pertietes. Formattage, umérisatio (aalogique digitale) et codesatio de l'iformatio. Choix d'u pas de temps ou, plus gééralemet, tests de résolutio spatio-temporelle. Trasformatios préalables des doées (log, puissace) : e.g., log-débits Y=l(Q). Relatios détermiistes ou mécaistes etre variables : courbe de tarage Q=T(H). Visualisatios graphiques prélimiaires : chroiques (t), uages de poist (,Y), etc. Aalyses statistiques prélimiaires : moyees, écarts-types, coefficiets de variatio. Recostitutio statistique de doées maquates : par régressio liéaire.* Critique de doées aberrates : élimiatio des "horsis" (aglais : outliers).* *Remarque : E fait, les étapes «recostitutio de doées maquates» et «critique de doées aberrates» peuvet être cosidérées comme aalyses statistiques à part etière, faisat partie itégrate du modèle statistique. Hydrologie Statistique 005-06 3 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace (Ch.0) 0. INTRODUCTION Bibliographie, doées hydrologiques (exemples), modélisatio statistique e hydrologie (exemples) Etape : Aalyse statistique des doées / modélisatio des variables Cette étape cosiste e l'applicatio d'ue aalyse statistique aux doées dispoibles, ou même, l'applicatio d'u modèle probabiliste vis-à-vis des variables icoues ou icertaies (les variables à "expliquer", à modéliser). Le modèle probabiliste formalise l'iformatio coteue das les doées (cf. Dubad 98), mais aussi, le modèle probabiliste propose ue estimatio prédictive de variables/doées o directemet observées (c'est le poit de vue adopté ici). Exemples: Ajustemet d'ue foctio de répartitio au doées de pluies auelles à Agadir: applicatio pour prédire les "sécheresses" de temps de retour déceal et ceteal. Régressio liéaire etre deux variables hydrologiques: la variable à expliquer est Y=Q, le débit mesuel de Mars à la statio S; la variable explicative est =Q, le débit mesuel de Mars à la statio S das le même (petit) bassi versat. La modélisatio porte sur l'estimatio de Y coaissat. Ce peut être u problème de recostitutio de doées maquates e S. Plus gééralemet, la corrélatio multiple et l'acp (Aalyse e Composates Pricipales) est utilisée pour aalyser les relatios etre variables hydrologiques observées e plusieurs statios de mesures. Hydrologie Statistique 005-06 4

Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace (Ch.0) 0. INTRODUCTION Bibliographie, doées hydrologiques (exemples), modélisatio statistique e hydrologie (exemples) Etape 3: Exploitatio du modèle statistique (modélisatio, estimatio, iterprétatio) Après des tests de validatio évetuels du modèle statistique, la derière étape cosiste e l'exploitatio du modèle (avec au préalable des tâches de post-traitemet), e vue de répodre aux objectifs (questios posées par les "décideurs"). Exemples (questios posées): quelles statios de mesures sot redodates? quel est le débit de la crue de projet déca-milléale? géérer ue chroique de débits jouraliers ou horaires, et sa bade de cofiace, sur le site S d'ue rivière o jaugée; proposer ue cartographie optimale de la pluviométrie sur le bassi versat B; etc Hydrologie Statistique 005-06 5 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace (Ch.0) 0.3. EEMPLES D APPLICATIONS DE L HYDROLOGIE STATISTIQUE, Ratioalisatio, optimisatio, redodaces d'u réseau de statios de mesures Recostitutio totale ou partielle d'ue série de doées maquates Prédictio statistique de débits d'étiage (e liaiso avec le Débit Objectif d Etiage) Prédictio statistique de débits de crues extrêmes (déca-milléal) Par exemple, estimer le débit de la crue de projet déca-milléale (Q 0 000 ). Celle-ci peut être défiie comme le débit jouralier (moyee ou poite jouralière) de la crue auelle (maximum des 365 débits jouraliers sur l'aée caledaire) de temps de retour dix mille as. Par défiitio, la probabilité de retour d'ue crue auelle plus forte que Q 0 000 est seulemet de /0 000 ème ; la probabilité de dépassemet de la crue déca-milléale est doc de 0-4 seulemet. Applicatio à la protectio d'ouvrages d'art tels que pots, digues de protectio, barrages (évacuateurs de crues). Gestio de reteues à usages multiples Gestio de réservoirs e teat compte des iputs ("offre"), des outputs ("demade") des cotraites (e.g. Débit Objectif d'etiage), et de foctios objectifs, teat compte de tarificatios e vigueur (eau irrigatio, eau potable, électricité). Les iputs de la reteue peuvet être modélisés par ue approche stochastique / processus aléatoires (e.g. processus ARMA : cf. Box & Jekis). Prévisio hydrométéo et alerte de crues e temps réel Protectio de l'eviroemet, études d'impact, études de risques Iodatios (altitudes, petes). Pollutio distribuée agricole : «o poit source» Erosio (géomorpho, petes). Pollutio accidetelle, idustrielle : «poit source». Hydrologie Statistique 005-06 _ETUDE_PQ_BV-GiGaga-Sri_7pp.pdf 6

Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace (Ch.0) 0.4. EEMPLES DE MODÈLES STATISTIQUES EN HYDROLOGIE Types de modèles statistiques (ou probabilistes, stochastiques, géostatistiques ) Tout d'abord, voir la remarque ci-dessous sur la termiologie(*). Ici, o a choisi de regrouper les différets types de modèles e trois grads groupes, qui correspodet grosso modo au pla d'esemble de ce cours: i. Les modèles statistiques uivariés (ue seule variable hydrologique) ii. Les modèles statistiques multivariés (plusieurs variables multi-corrélées) iii. Les modèles statistiques spatio-temporels (processus hydrologiques, etc) Voici, das chaque cas, u exemple d'utilisatio possible du modèle statistique: Modèle uivarié: Ajustemet et extrapolatio d'ue loi de probabilité Modèle multivarié: Corrélatios multiples et ACP; régressio multiple Modèle (spatio)temporel: Idetificatio statistique d'u HU(t) pluie débit. (*) Termiologie. «Statistique" se réfère au traitemet statistique de doées (costructio d'ue foctio de répartitio empirique, estimatio de momets sur échatillos de taille fiie, etc). "Probabiliste" se réfère à la modélisatio d'ue variable hydrologique vue comme ue variable aléatoire (loi de probabilité). "Stochastique" se réfère plutôt à la modélisatio probabiliste de processus temporels (chroiques hydrologiques). "Géostatistique" se référère à la modélisatio de variables hydrologiques spatialemet distribuées: théorie de Mathero (variables régioalisées); théorie Bayesiee de l'estimatio (foctios aléatoires). Autre exemple : u modèle d itesité de pluies P(t) mi-statistique, mi-mécaiste : Le modèle d impulsios rectagulaires de Neyma-Scott géère u processus d itesité de précipitatios P(t) (mm/h) qui peut être ajusté de faço à satisfaire certaies propriétés observées (itesités, itermitteces, durées des averses ). Modele P(t) Neyma-Scott Hydrologie Statistique 005-06 7 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace (Ch.0) 0. INTRODUCTION Doées hydrologiques, modélisatio statistique e hydrologie, exemples 0.3. EEMPLES D ETUDES D HYDOLOGIE STATISTIQUE Régimes hydrologiques. Exemple : régime itra-auel des pluies et des débits das u bassi du Sri Laka Problème de la «régioalisatio» des débits. Exemple : extrapolatio spatiale des débits à partir de doées pluies & débits au Sri Laka. Idetificatio de la foctio de trasfert pluie-débit (hydrogramme uitaire statistique) Exemple : idetificatio de la foctio de trasfert pluie-débit par décovolutio pour des sources karstiques. Applicatio à la recostitutio des débits, aalyse des structures temporelles des débits et foctioemet hydraulique des massifs karstiques. Foctio de trasfert pluie-débit pour de sources karstiques (Midi- Pyréées). Regimes hydrologiques et régioalisatio des débits (Sri Laka) Hydrologie Statistique 005-06 8

Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace FIN DU CHAP.0 «INTRODUCTION» Hydrologie Statistique 005-06 9

CHAP.-A

Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace +3 Cours «Hyd.Stat.» 3Hy 005-06 Idetifiat = HY3ASE303 Titre : Hydrologie Statistique Sous-titre : Traitemets de doées hydrologiques : aalyses uivariées, temps de retour, évèemets extrêmes, évèemets rares, aalyses corrélatoires multivariées et ACP, chroiques hydrologiques et processus aléatoires, doées spatialisées et géostatistique. R. Ababou : ababou@imft.fr Hydrologie Statistique 005-06 Eseigats 005-06 : R.Ababou, A. Al-Bitar. Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace +3 Cours «Hyd.Stat.» 3Hy 005-06 Idetifiat = HY3ASE303 Documets e lige: http://rachid.ababou.free.fr/ Web local R.A. free ( \\CRI\spi_com\be\hy\... ) Documets polycopiés imprimés: Pour les bases statistiques, voir le polycopié ititulé : «Cours d Hydrologie : Statistique» (R.Gaudu). Hydrologie Statistique 005-06

Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace PLAN / SYLLABUS «HYDRO. STAT.» PROGRAMME (COURS & TD) Itroductio, doées, et modélisatio statistique e hydrologie;. A. Aalyse statistique uivariée, momets, lois de probabilité B. Evèemets rares, loi de Poisso, estimatio de crue de projet.. Aalyse statistique multivariée : régressio liéaire, régressio multiple gééralisée, corrélatio multiple, et aalyse e composates pricipales (ACP). Applicatios à la critique, recostitutio, et/ou cartographie de doées hydrologiques. 3. Aalyses statistiques de séries chroologiques proveat de réseaux de mesures hydro-météorologiques et hydro-géologiques. Aalyse et recostructio de chroiques pluies-débits ; hydrogramme uitaire statistique. [Estimatio géostatistique (x,y)]. NB : Ue étude de cas sera traitée das le cadre d u «projet» (selo les aées), soit sur ue problème d estimatio géostatistique (variables régioalisées), soit sur la modélisatio ou la recostructio de chroiques hydrologiques (processus aléatoires). Hydrologie Statistique 005-06 Eseigats 005-06 : R.Ababou, A. Al-Bitar. 3 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace. ANALYSE STATISTIQUE UNIVARIEE 0. BASES ELEMENTAIRES DE PROBABILITÉS ET STATISTIQUES Variables aléatoires, lois de probabilité, momets (rappels) Voir itroductio et exercices de bases du cours «Probabilité et Statistique» (R.Ababou) sur le site web http://rachid.ababou.free.fr Voir le polycopié «Hydrologie : Tome : Statistique» (R.Gaudu) : o pp.-3 : (I.I à I.IV) Foctios de Répartitio o pp.7-9 : (II.III) Momets o p. : (II.VII) Coeff. de corrélatio (voir aussi VI) o pp.3-3 : (III.II) Lois de probabilité Normale, etc (cf. Tableau p.3) Estimatios et ajustemets (momets et loi de probabilité) Voir la «méthode des momets» das le cours «Probabilité et Statistique» (R.Ababou) sur le site web http://rachid.ababou.free.fr Voir le polycopié «Hydrologie : Tome : Statistique» (R.Gaudu) : o pp.33-36 : (IV.I à IV.III) Estimateurs statistiques des momets o pp.4-45 : (IV.VIII et V.I-V.II) Estimatio d ue foctio de répartitio (Méthode des momets) (Formule de Haze) Hydrologie Statistique 005-06 4

Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace. ANALYSE STATISTIQUE UNIVARIEE HYD STAT 005-06 : PLAN DES SEANCE +3 (à titre idicatif) -A. ANALYSE STATISTIQUE UNIVARIEE (A).0. Bases élémetaires de «Proba-Stat»... : Probabilité, V.A.'s, F. d. Répartitio, Momets, Estimateurs.. Lois de proba classiques & ajustemets (momets; Khi) Loi(s) des valeurs extrêmes de type «crues» (Gumbel...).. Exemple d'aalyse, ajustemet &utilisatio de lois de proba: débits de crues auelles (Oued Mdez).x. Les lois des pluies et débits à différetes échelles de temps; -B. ANALYSE STATISTIQUE UNIVARIEE (B) : EVENEMENTS RARES & LOI DE POISSON.3. Loi(s) des valeurs extrêmes de type «crues» (Gumbel...).4.a Evèemets rares : dépassemets de seuils; crues de projet.4.b Evèemets rares : loi de Poisso (défiitio; propriétés).5. Exemples d'applicatios : estimatio d'ue crue de projet (le temps de retour; les probabilités d'occurece...) => cf.td Hydrologie Statistique 005-06 5 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace. ANALYSE STATISTIQUE UNIVARIEE HYD STAT 005-06 : PLAN DE LA SEANCE + (détails) Pla Détaillé de la Sectio.0: Bases «Proba-Stat.»....0. BASES ÉLÉMENTAIRES DE «PROBA-STAT»... : PROBABILITÉ, V.A.'S, F. D. RÉPARTITION, MOMENTS, ESTIMATEURS Notios de probabilités, fréqueces, icertitudes, th. de Bayes (axiomatique des probabilités; iterprétatio; exemples...) Géérateurs de Nombres Aléatoires & Variables Aléatoires... Défiitio d'ue loi de proba pour ue V.A cotiue: FdR/DdP Estimatio d'ue Desité de Proba (histogramme fréqueces) Estimatio d'ue Foctio de Répartitio : ) par histogramme ) par poits (Haze) Estimateurs statistiques de momets (*) moyee; variace; covariace; coefficiet de corrélatio... (*) NB: O trouvera des aspects de la théorie de l'estimatio (Bayesiee) das les Chap. "Aalyse Multivariée" et Chap.3 «Processus Hydrologiques». Voir par ex. les modèles de régressio liéaire simple et multiple, dot diverses gééralisatios pourrot être utilisées e TD : estimatio Bayesiee d'u vecteur d'état représetat u processus aléatoire; estimatio géo-statistique d'ue variable spatialisée D... Hydrologie Statistique 005-06 6

Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace. ANALYSE STATISTIQUE UNIVARIEE 0. BASES ELEMENTAIRES DE PROBABILITÉS ET STATISTIQUES Itroductio proba-stat. et axiomatique des probabilités : probabilités «esemblistes», iterprétatio fréquetiste, icertitudes, Bayes Exemple U esemble discret ifii (déombrable) d évèemets das u jeu de pile ou face o truqué, de durée ifiie : Ω = {Réalisatio d ue séquece de «piles» successifs, IN} Exemple Hydrométéorologie u «esemble cotiu» d évèemets à valeurs sur IR+ ; voici u exemple d évèemet : Ω = {«La lame d eau précipitée à Toulouse le Mars ( aée) à Toulouse est P (mm)»} état etedu que P IR+ Hydrologie Statistique 005-06 7 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace Itroductio proba-stat. Soit maiteat A ue «tribu» de parties de Ω : ( Ω) A. Défiitio Ue tribu est u esemble de parties de Ω stable par les opératios de passage au complémetaire, de réuio, et d itersectio déombrable. Ue tribu A peut être e particulier (mais pas écessairemet) costituée de l esemble de toutes les parties de Ω, soit A = ( Ω). Exemple Das l exemple de pile ou face simple, o obtiet la tribu egedrée par Ω : A = {, pile, face, pile ou face}. La tribu A egedrée par Ω={pile, face} est costituée de 4 évèemets. Le premier est «vide», et le derier, (pile ou face), est u évèemet composite costitué de l uio de deux évèemets élémetaires, ce qui équivaut ici à l esemble Ω tout etier. Efi, ue loi de probabilité est défiie par ue mesure de probabilité, qui est ue mesure positive P sur l espace probabilisable (Ω, A), telle que la mesure de l esemble Ω tout etier est l uité. Celà se traduit formellemet par les propriétés suivates (mesure de probabilité) : P(Ω)=, P(ωA ωb)=p(ωa)+p(ωb), pour tout couple d évèemets (ωa,ωb) mutuellemet exclusifs ou icompatibles, c est-à-dire ecore disjoits, tels que ωa ωb =. Comme tous les évèemets élémetaires sot par défiitio disjoits (mutuellemet exclusifs deux à deux) o a doc aussi : ΣP(ωi) = P( ωi) = P(Ω) =, pour tout esemble fii, ou ifii déombrable, d évèemets élémetaires ωi. Hydrologie Statistique 005-06 8

Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace Itroductio proba-stat P(Ω)=, P(ω A ω B )=P(ω A )+P(ω B ), ΣP(ωi) = P( ωi) = P(Ω) =, Exemple Par exemple, pour le jeu de pile ou face o truqué, o a pour chaque jet : Proba{ } = 0 Proba de avoir aucu évéemet (i pile i face) Proba{pile} = / Proba du premier évéemet élémetaire (pile) Proba{face} = / Proba du secod évéemet élémetaire (face) Proba{pile ou face} = Proba d avoir l u des évèemets (soit pile soit face) Hydrologie Statistique 005-06 9 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace Exemple - u problème de probabilité «fréquetiste» : tirage de boules & applicatio du théorème de Bayes. A B AB P O P A P B P AB Figure Tirage de boules avec remise & probabilités coditioelles de Bayes U sac cotiet quatre types de boules : o marquées, marquées A, marquées B, marquées AB. La proportio du ombre de boules de chaque type est doée par P 0, P A, P B, P AB. Ces proportios sot iterprétées comme des probabilités. Lorsqu o puise des boules das le sac, o idetifie chaque boule tirée du sac et o la replace das le sac avat de tirer la boule suivate. Il s agit d u tirage avec remplacemet : il y a bie «répétitio», les répliques multiples sot toutes tirées de la même «populatio». Et l o a P 0 +P A +P B +P AB = comme il se doit. Questio. Das cette iterprétatio «fréquetiste» des probabilités, quelle est la probabilité de tirer ue boule coteat la marque «A» si o sait que la boule tirée cotiet la marque «B»? Hydrologie Statistique 005-06 0

Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace Exemple - u problème de probabilité «fréquetiste» : tirage de boules & applicatio du théorème de Bayes. A B AB P O P A P B P AB Figure. Tirage de boules avec remise & probabilités coditioelles de Bayes Répose. La répose est obteue par les probabilités coditioelles (théorème de Bayes) : Pr oba { } { A I B} Pr oba A B = Pr oba B Pr oba { A B} Pr oba = Pr oba { } { AB} PAB = { Bou AB} PB + PAB où Proba{A B} déote la probabilité coditioelle que A se produise si B s est produit (de faço détermiiste, sas icertitude). Le sige sigifie «et», «AND». Le sige sigifie «ou» o exclusif («OR») à e pas cofodre avec le «ou» exclusif («OR»). Hydrologie Statistique 005-06 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace. ANALYSE STATISTIQUE UNIVARIEE 0. BASES ELEMENTAIRES DE PROBABILITÉS ET STATISTIQUES Itroductio proba-stat. et axiomatique des probabilités : probabilités «esemblistes», iterprétatio fréquetiste, icertitudes, Bayes Quelques théorèmes de covergece Loi additive des grads ombres (covergece vers la moyee) : lim N +... + N N = m Théorème cetral limite (covergece additive vers la loi de Gauss): (NB : les i sot N v.a. s «i.i.d.») +... + N lim = Z ( ) N où Z : Ν 0, σ suit ue loi de Gauss N La somme d u grad ombre de V.A. s réelles i a doc tedace à suivre ue loi de Gauss. Remarque sur les processus multiplicatifs (à partir des processus additifs ci-dessus) : Il suffit de poser i = l(yi), avec Yi positive, pour voir apparaître le produit des Yi (Yi=exp(i)) au lieu de la somme des i. Noter que, si Z est gaussiee, la variable exp(z) est dite log-ormale. Le produit d u grad ombre de VA s Yi réelles positives a doc tedace à suivre ue loi log-ormale. Hydrologie Statistique 005-06

Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace. ANALYSE STATISTIQUE UNIVARIEE 0. BASES ELEMENTAIRES DE PROBABILITÉS ET STATISTIQUES -- SUITE GÉNÉRATEURS DE NOMBRES ALÉATOIRES & VARIABLES ALÉATOIRES... Géérateurs d etiers aléatoires. Géérateurs etiers multiplicatifs cogruetiels. Ceux-ci permettet de géérer ue séquece de ombres etiers Ni puremet aléatoires etre [0,M], ce qui permettra esuite de géérer ue séqueces de v.a. réelles uiformémet distribuée das l itervalle [0,]. Géérateurs recommadés. Exemples de «bos» géérateurs d etiers 3 bits [et 64 bits] bie testés. Problèmes et pièges. Cycle du géérateur. Sous-cycles, auto-corrélatios, et autres propriétés idésirables. U géérateur particulier d etiers aléatoires (etiers 3 bits, avec u cycle de **8 ¼ millio). Spécifier u grai (seed) «N 0» : N 0 doit être ici u etier positif de la forme 4k+(ex : N 0 = ). Calculer le produit modulo M : N ( L * N + C) mod( M ) i = i, avec ici : Multiplicateur : L = 3+(**0) (Noter: **0 = 04) Costate etière : C = 0 Module : M = **0 Géératio d ue variable aléatoire réelle uiforme das [0,] : U = float( N M ) i i / Hydrologie Statistique 005-06 3 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace. ANALYSE STATISTIQUE UNIVARIEE 0. BASES ELEMENTAIRES DE PROBABILITÉS ET STATISTIQUES -- SUITE GÉNÉRATEURS DE NOMBRES ALÉATOIRES & VARIABLES ALÉATOIRES...(SUITE) Géératio de variables aléatoires o-uiformes Objectif. Géérer ue V.A. ayat ue foctio de répartitio F (x) quelcoque doée, par exemple biaire, expoetielle, gaussiee, ou autre. La plupart des méthodes utiliset les répliques d ue V.A. uiforme U[0,], que l o sait géérer par la méthode vue plus haut. Différetes méthodes. Méthode de la FdR iverse. Méthode du cercle (Box-Muller). Méthode(s) de rejet (Vo Neuma). La méthode de la FdR iverse O obtiet les répliques désirées (i) à partir des répliques de la VA uiforme U(i), comme suit : THÉORIE (CF. SCHÉMA) EEMPLE : Loi Expoetielle pour x 0 (avec β = m =σ ) ( ) () i ( i) F U x = β f ( x) = e β x β F ( x) = e ( i ) ( i = β l U ) ( ) Désavatages : la foctio réciproque F - (u) peut être difficile à expliciter : par ex., pour la gaussiee, F (x) s écrit e termes d ue foctio spéciale, erf(x), dot il faut obteir la réciproque (tables umériques, ou approximatios ratioelles cf. Abramowitz et Stegu). Géérateurs dispoibles das les logiciels Voir par exemple les librairies et les foctios Fortra, ou ecore, les foctios dispoibles das MATLAB : la foctio «rad» de MATLAB géère ue V.A. uiforme U[0,] ; la foctio «rad» de MATLAB géère ue V.A. ormale N(0,), i.e., loi gaussiee cetrée réduite. Hydrologie Statistique 005-06 4

Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace. ANALYSE STATISTIQUE UNIVARIEE 0. BASES ELEMENTAIRES DE PROBABILITÉS ET STATISTIQUES -- SUITE LOI DE PROBA D UNE V.A CONTINUE RÉELLE : FdR, DdP, & estimatios empiriques Soit ue VA (Variable Aléatoire) à valeurs das IR ou IR+. o Foctio de Répartitio (FdR) Cumulated Distributio Fuctio (CDF) FdR : F ( x) = Pr ( x), où est la VA elle-même, et «x» ue valeur qu elle peut predre. o Desité de Probabilité (DdP) Probability Desity Fuctio (PDF) DdP : f df ( x) ( x) = f dx ( x) dx = = df ( x) = F ( x + dx) F ( x) = Pr( x + dx) Pr( x). = Pr( x x + dx) o Note : f (x)dx représete u icrémet de probabilité [adimesioel], tadis que f (x) est ue desité de probabilité e uités iverses de x : [uités de x - ]. La relatio etre la desité f (x) et la fréquece «f%» d u histogramme de fréqueces est : f% 00 f (x) x. Utiliser cette relatio pour comparer sur u même graphe l histogramme de fréqueces à la desité de proba. Hydrologie Statistique 005-06 5 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace. ANALYSE STATISTIQUE UNIVARIEE :.0. BASES LOI DE PROBA D UNE V.A CONTINUE RÉELLE : FdR, DdP, & estimatios empiriques Voir algorithmes extraits du programme Matlab «STAT_PDF.m» o Estimatio empirique d'ue Desité de Proba (histogramme de fréqueces). Choisir ue résolutio x (largeur des bâtoets d histogramme) telle que : Taille x suffisate pour éviter les «bruits» Mi x x << x << x j+ j MA MIN x Taille x pas trop grade pour éviter u excès de lissage (biais).. Compter le ombre de valeurs de la VA comprises das chaque itervalle I j-/ : Soit les itervalles défiis par : I j-/ = [(j-). x, j. x] Soit x j-/ = (j-/). x, le cetroïde de l itervalle I j-/ Soit j-/ le ombre d observatios (i) [(j-). x, j. x] Soit f j-/ = j-/ /N, la fréquece empirique pour l itervalle I j-/ cetré sur x j-/ 3. L histogramme des fréqueces et la DdP empirique s obtieet alors comme suit : Histogramme des fréqueces : j / f j / = N (et : f% = 00 f). Desité de proba empirique : f j f ˆ / ( x), x [ x j, x j ] x NB : Ceci peut ecore s écrire formellemet : j= N x x fˆ j / j / ( x) = Π j= x x N, où Π(x) est la foctio créeau uitaire (box fuctio) cetrée sur l origie, de largeur uité et hauteur uité. Hydrologie Statistique 005-06 6

Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace. ANALYSE STATISTIQUE UNIVARIEE :.0. BASES LOI DE PROBA D UNE V.A CONTINUE RÉELLE : FdR, DdP, & estimatios empiriques o Estimatio empirique d'ue Desité de Probabilité (histogramme) : Desité de Proba (Q crues Mdez e m3/s) Nbre d occureces (Q crues Mdez e m3/s) Histo de fréqueces (Q crues Mdez e m3/s) NB: Choix de la largeur des histogrammes (ici): Q=50m3/s. Hydrologie Statistique 005-06 7 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace. ANALYSE STATISTIQUE UNIVARIEE :.0. BASES LOI DE PROBA D UNE V.A CONTINUE RÉELLE : FdR, DdP, & estimatios empiriques o Estimatio empirique d'ue Foctio de Répartitio : () par histogramme Voir plus haut l histogramme des fréqueces : il suffit de le cumuler O obtiet la courbe des fréqueces cumulées, qui est aussi la FdR empirique estimée, soit : Fréqueces cumulées : k= j k= j j / = fk / = k= k= k / F N (F% = 00 F). F. de Répartitio empirique : F ˆ ( x) Fj /, x [ x j, x j ] Note. Das cet exemple (voir figures), le x d histogramme est trop petit, et/ou il y a pas assez d observatios (N trop petit). DdP: f FdR: Σf Hydrologie Statistique 005-06 8

Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace. ANALYSE STATISTIQUE UNIVARIEE :.0. BASES LOI DE PROBA D UNE V.A CONTINUE RÉELLE : FdR, DdP, & estimatios empiriques o Estimatio empirique d'ue Foctio de Répartitio : () méthode par poits (Haze) explicatio de la méthode NB. Le pb de l estimatio d ue FdR empirique est distict du pb de l ajustemet d ue loi de probabilité théorique à cette FdR empirique. O doit d abord disposer d ue estimatio de la FdR empirique, avat de proposer l ajustemet d ue FdR «modèle» théorique doée (gaussiee, expoetielle, etc). La procédure d estimatio de la FdR par poits est décrite ci-dessous (variate dite méthode de Haze):. Classer les N observatios {x, x, x N } par ordre croissat (voir algorithme e aexe) : Foctio de Répartitio F(x) 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0. 0. 0 Foctio de Répartitio Empirique (Formule de Haze) ZOOM 00 00 300 400 500 600 700 800 900 000 x Courbe empirique F(xj) par poits (Q crues Mdez) ZOOM Ordre aturel (t) t t t3 t5 Temps t reclassé Idices des doées classées tc = t7 jc = 7 tc = t8 jc = 8 tc3 = t4 jc3 = 4 tc5= t jc5 = Doées classées xc = x7 xc = x8 xc3 = x4 xc5 = x Exemple fictif: x MIN =x7 x8 x4 x=x MA ˆ j = F ( x ) ( j N ). Appliquer la formule de Haze poit par poit : j =,,..., N NB. Ituitivemet, cela doe bie : F ˆ ( x j ) Pr( x j ), ( j =,..., N ). Hydrologie Statistique 005-06 9 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace. ANALYSE STATISTIQUE UNIVARIEE :.0. BASES LOI DE PROBA D UNE V.A CONTINUE RÉELLE : FdR, DdP, & estimatios empiriques o Estimatio empirique d'ue Foctio de Répartitio : () méthode par poits (Haze) exemple des crues de l Oued Mdez sur 3 as (Q m3/s) Foctio de Répartitio Empirique (Formule de Haze) 0.9 0.8 0.7 Foctio de Répartitio F(x) 0.6 0.5 0.4 0.3 0. 0. 0 00 00 300 400 500 600 700 800 900 000 x Hydrologie Statistique 005-06 0

Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace. ANALYSE STATISTIQUE UNIVARIEE :.0. BASES LOI DE PROBA D UNE V.A CONTINUE RÉELLE : FdR, DdP, & estimatios empiriques o Estimatio empirique d'ue Foctio de Répartitio : () par poits (Haze) Exemple de comparaiso Haze / histogramme (doées = débits spécifiques ) Hydrologie Statistique 005-06 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace 3. ANALYSE STATISTIQUE UNIVARIEE.0. BASES ELEMENTAIRES DE PROBABILITÉS ET STATISTIQUES -- SUITE LOI DE PROBA D UNE V.A CONTINUE RÉELLE : FdR, DdP, & estimatios empiriques o Théorie de l'estimatio. O trouvera des aspects de la théorie Bayesiee de l estimatio Ch. "Aalyse Multivariée" et Ch.3 «Processus Hydrologiques». Voir les modèles de régressio liéaire simple et multiple, et le modèle de covolutio pluie-débit, dot diverses gééralisatios pourrot faire l objet de Bureaux d Etudes : estimatio Bayesiee d'u vecteur d'état, d u processus aléatoire; d'ue variable spatialisée D (géostatistique) o Estimateurs statistiques de momets : moyee; variace (et : covar.; coeff de corrél. ; etc ) Soit ue VA réelle : o observe N réalisatios de, qu o otera : {x, x,, x N }. O suppose ici que la «populatio» (le ombre de répliques théoriquemet dispoibles) est ifiie. O dispose doc de N réalisatios (observatios) tirées d ue populatio théoriquemet ifiie. Estimateur de la moyee d ue V.A. réelle à partir d u échatillo de taille fii N i Estimatio : = = N mˆ x i «RMS»=«Root-Mea-Square» = Erreur Quadratique Moyee N i= σ ˆ σ Erreur d estimatio : ε RMS ( mˆ ) = N N où (par défiitio) : ε RMS( mˆ ) Var( mˆ ) Estimateur de la variace d ue V.A. réelle à partir d u échatillo de taille fii N (estimateur sas biais, e supposat la moyee coue, pour N grad >>) : i N Estimatio : σ = ( xi mˆ ) = N i= σ R.Ababou et Nal., INP/ENSEEIHT: N Hydrologie Statistique 005-06 σˆ = d où : i = N N i= ( x mˆ ) σ ˆ σ Erreur d estimatio : ε RMS ( ˆ ) = Ex : N(0,) : si N=50, ε RMS ( ˆ σ ) 0. i ( ).

Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace 3. ANALYSE STATISTIQUE UNIVARIEE :.0. BASES -- SUITE LOI DE PROBA D UNE V.A CONTINUE RÉELLE : FdR, DdP, & estimatios empiriques o Estimateurs statistiques de momets (moyee, variace, ) Exemple. Précipitatio auelles à Agadir (semi-aride) de 94/5 à 974/75 (N = 58 observatios) Moyee: i N mˆ = = xi = 30. 5 N i= mm ˆ Ecart-type : σ i N = = ( xi mˆ ) =. mm N i= 9 NB : l écart-type est estimé ici e preat la racie carrée de l estimateur sas biais de la variace. 0.48 48%. Coeff. de Variatio estimé : ˆ ˆ σ C = mˆ =. Le coeff de variatio des pluies auelles est 50% (forte variabilité iterauelle, climat semi-aride). Itervalle de cofiace à 80% de la vraie moyee iterauelle? O cherche l itervalle de cofiace à 80% de la vraie moyee iterauelle m (icoue) autour de moyee estimée mˆ (coue). O utilise pour cela le résultat suivat. Pour N suffisammet gra (supposos ici que N=58 est suffisammet grad), la variable mˆ suit ue loi gaussiee N(m,ε ) où ε l écart-type d erreur d échatilloage, ou erreur ε RMS, doée plus haut. O e déduit que : I N ˆ σ 80% mˆ ± mm ( m ) = [ mˆ ±.8 ε ] = mˆ ±.8 = 30.5 9.0. Hydrologie Statistique 005-06 3 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace. ANALYSE STATISTIQUE UNIVARIEE. LOIS DE PROBA CLASSIQUES, MOMENTS, AJUSTEMENTS Momets (uivariés) Notatios : E(x) = < x > = m. Les momets cetrés d'ordre sot défiis par la relatio : (3) µ=<(x-m)>, Le momet cetré d'ordre, «µ», représete la variace σ : (4 ) µ =σ =<(x-m)>. Uités physiques de σ = uités de [x ] d où l o déduit l écart-type σ (c est la racie carrée de la variace) : (4 ) σ = µ Uités physiques de σ = uités de [x]. Le coefficiet de variatio est quatifie le degré de variabilité d'ue variable aléatoire positive : (5) CV ou C = σ/m. Efi, les momets cetrés d'ordre 3 et 4 sot aussi utiles pour les ajustemets ; ils sot défiis par : (6) µ3=<(x-m)3>. (7) µ4=<(x-m)4> Hydrologie Statistique 005-06 4

Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace. ANALYSE STATISTIQUE UNIVARIEE. LOIS DE PROBA CLASSIQUES, MOMENTS, AJUSTEMENTS (SUITE) Momets (uivariés) suite : momets d ordre «élevé» A partir des momets cetrés d ordre 3 et 4, o défiit les coefficiets d'asymétrie (skewess) et d'aplatissemet (kurtosis), ou coefficiets de Fisher (Vetsel 973, Tassi 989) : (8) µ 3 γ = : coefficiet d' asymétrie(skewess). 3 σ µ 4 κ = 3: coefficiet d' aplatissemet (Kurtosis). 4 σ γ : O motre que γ = 0 pour ue distributio symétrique, puisque les momets d'ordre impairs sot alors uls. Le coefficiet γ est positif pour ue loi asymétrique comme la loi log-ormale ou la loi expoetielle (γ>0: queue de distributio persistate vers les x >> m ). Il est égatif das le cas cotraire (exemple : loi suivie par y = x 0 -x, où x suit ue loi expoetielle ou log-ormale). κ : Le coefficiet d aplatissemet κ = 0 par costructio pour ue loi de Gauss ; o a κ > 0 pour ue desité de probabilité plus «poitue» que la loi ormale, et égatif pour ue desité plus "aplatie". Exemple : la loi de Laplace à desité expoetielle symétrique est très «poitue» car elle présete u poit de rebroussemet à l'origie ; so coefficiet d'aplatissemet est fortemet positif (κ = +6). Hydrologie Statistique 005-06 5 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace 3. ANALYSE STATISTIQUE UNIVARIEE. LOIS DE PROBA CLASSIQUES, MOMENTS, AJUSTEMENTS (SUITE) Lois de proba uivariées classiques (et ajustemets par les momets) Loi ormale: La loi ormale ou gaussiee est ue loi à deux paramètres (m,σ). Desité de probabilité gaussiee: (0) f ( x) = e σ π ( x m) σ pour x R Tous les momets d ordre impairs sot uls (loi symétrique) µ 3 = 0 Les momets d ordre pair de la loi ormale (cetrée réduite) sot (voir par exemple Tassi 989) : (9) x p p Γ( p + / ) = µ p = = 3 (...) ( p ) Γ( / ) µ 4 = 3. Les coefficiets d'asymétrie γ et d'aplatissemet κ (défiis + loi) sot doc uls : () γ = 0 ; κ = 0. La foctio de répartitio (FdR) F (x) de la loi de gauss, itégrale de f (x), est ue foctio spéciale : ( ) = + x x F x erf erf ( x) ; e u du erfc( x) erf ( x) π 0. Hydrologie Statistique 005-06 6

Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace 3. ANALYSE STATISTIQUE UNIVARIEE. LOIS DE PROBA CLASSIQUES, MOMENTS, AJUSTEMENTS (SUITE) Lois de proba uivariées classiques (et ajustemets par les momets) Loi de Rayleigh Hydrologie Statistique 005-06 7 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace 3. ANALYSE STATISTIQUE UNIVARIEE. LOIS DE PROBA CLASSIQUES, MOMENTS, AJUSTEMENTS (SUITE) Lois de proba uivariées classiques et ajustemets par les momets SUITE : Détails das fichier PDF «MOMENTS» Hydrologie Statistique 005-06 8

Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace 3. ANALYSE STATISTIQUE UNIVARIEE. EEMPLES D AJUSTEMENTS DE LOIS DE PROBA Ajustemets par les momets DEBITS DE CRUES ANNUELLES DU «MDEZ» / GAUSS Hydrologie Statistique 005-06 9 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace 3. ANALYSE STATISTIQUE UNIVARIEE. EEMPLES D AJUSTEMENTS DE LOIS DE PROBA Ajustemets par les momets DEBITS DE CRUES DU «MDEZ» / LOG-NORMALE (EQUIVALENT A UNE LOI DE GAUSS POUR LES LOG-DEBITS) Desités de Proba Empirique & Gaussiee ajustée par les momets F.d.Répartitio Empirique & Gaussiee ajustée par les momets (bis) 0.6 0.9 Desité de Probabilité f(x), e uités de /x 0.5 0.4 0.3 0. 0. Foctio de Répartitio F(x) 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0. 0. 0 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 x 0 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 x Hydrologie Statistique 005-06 30

Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace 3. ANALYSE STATISTIQUE UNIVARIEE. EEMPLES D AJUSTEMENTS DE LOIS DE PROBA DEBITS DE CRUES DU «MDEZ» : COMPARAISON DES GRAPHES DE Q(T) ET DE LN Q(T) Q(t) lq(t) x (o classées). 6.5 6 x 5.5 5 4.5 4 958 960 96 964 966 968 970 97 974 976 978 t Hydrologie Statistique 005-06 3 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace 3. ANALYSE STATISTIQUE UNIVARIEE.3. TYPES DE LOIS DE PROBABILITÉ SELON LE TYPE DE DONNÉES (VARIABLES PLUIES OU DÉBITS) ET SELON LE PAS DE TEMPS ( T) Hydrologie Statistique 005-06 3

Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace +3 ANNEES du CH.-A Hydrologie Statistique 005-06 33 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace +3 AUTRES EEMPLES D HISTOGRAMMES DE FRÉQUENCES EN HYDROLOGIE Courbe hypsométrique et courbe de fréqueces altimétriques d u bassi. Cas du BV de l Oued Ikkem (Maroc, côte atlatique ord). Ci-cotre, la courbe hypsométrique et l histogramme de fréqueces altimétriques, superposés sur u même graphe avec aires e abscisse, altitudes e ordoées. NB : comparer au rectagle équivalet ci-dessous Représetatio du même bassi sous forme d u rectagle équivalet, avec des courbes de iveau équivaletes qui sot, das cette représetatio simplifiée, orthogoales au grad axe du rectagle. NB : la courbe hypsométrique du rectagle équivalet est idetique à celle du «vrai» bassi versat. Hydrologie Statistique 005-06 34

Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace +3 AUTRES EEMPLES D HISTOGRAMMES DE FRÉQUENCES EN HYDROLOGIE Cocept d isochroes et histogramme Time Area (TA) e hydrologie des bassis Ue lige isochroe est u cotour reliat les poits du bassi caractérisés par u même temps de trasfert (τ) de l écoulemets de surface (ruissellemet et) jusqu à u poit exutoire doé. L exutoire peut être par exemple ue statio de jaugeage d u cours d eau. A partir du tracé de différetes courbes isochroes, correspodat à des délais de trasferts τ =. τ, o défiit des traches de bassis supposées cotribuer uiformémet au débit à l exutoire avec u délai cou (le «temps» τ de l isochroe correspodate). O peut alors costruire l histogramme Time Area (TA) qui est la représetatio graphique des cotributios successives de ces traches, e reportat la surface comprise etre deux liges isochroes adjacetes e foctio du temps sur u graphique. [Voir applicatios das le cours d hydrologie des bassis.] Hydrologie Statistique 005-06 35 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace +3 ALGORITHME DE CONSTRUCTION D UNE FdR EMPIRIQUE : p./ exemple e lagage MATLAB, tiré du programme Stat_PDF.m (R.Ababou) % O suppose que les dates "t" et les observatios "x" sot déjà dispoibles % et sot stockées das ue matrice T=[t x] à N liges et coloes % (ère coloe = "t" ; ème coloe = "x"). % Le er vecteur coloe (t) cotiet les dates des observatios, % ou ecore u label umérique associé aux observatios, tadis que % le ème vecteur coloe x cotiet les valeurs des observatios. % Voici u exemple pour les crues auelles de l'oued Mdez (m3/s): >>load Q_MDEZ_IN_NOHEADER.txt (ce fichier cotiet les coloes t et x ) >> q_mdez = Q_MDEZ_IN_NOHEADER (ceci pour simplifier le om ) >> T = q_mdez (autre alias de q_mdez ; rappel : ce tableau cotiet les coloes [t x]) >> Exécuter alors le programme STAT_PDF.m dot voici des extraits ci-dessous % PARAMETRES A REGLER EN FONCTION DE L'APPLICATION (ici, cas des doées crues Mdez) > Tmi=955;Tmax=980; > mi=0; max=00; > label='crues Auelles Oued Mdez (m3/s)'; > Tlabel='Aées'; Dbi=iput('ENTRER `Dbi`, la largeur des itervalles de l`histogramme : '); % T = Matrice Nx des dates "t" et des observatios "x". % t = DATES OU LABELS DES OBSERVATIONS (o classées) % x = OBSERVATIONS (o classées) % Noter l orgaisatio des doées e vecteurs coloes : % t x % 956.5 5 ère lige %(957.5) (----) (aée maquate élimiée) % 958.5 5.7 ème lige %...... % 978.5 85 ème lige % 979.5 077 3ème lige. Hydrologie Statistique 005-06 36

Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace +3 ALGORITHME DE CONSTRUCTION D UNE FdR EMPIRIQUE (p./) % Tailles des vecteurs et tableaux : N=size(T); N=N(); t(:)=t(:,); x(:)=t(:,); % Calcul des valeurs mi, max, et premiers momets de la distributio de x (calculs o détaillé ici) % xc = OBSERVATIONS CLASSEES PAR ORDRE ASCENDANT % ic = INDICES CLASSES ou TABLE DE CORRESPONDANCE xc(:)=x(ic(:)) % tc= DATES ou LABELS CORRESPONDANTS AU OBSERVATIONS CLASSEES [xc ic]=sort(x); CLASSEMENT DES DONNEES «x» PAR ORDRE CROISSANT («c» = «classée»), tc=t(ic); e ré-ordoat aussi les étiquettes temporelles «t» par souci de cohérece. % Foctio de repartitio empirique Fx poit par poit (empirical CDF, computed poitwise) % Fx = (i-0.5)/n (formule par poits de Haze) Fx=(0.5/N:/N:-0.5/N); figure; plot(xc,fx,style,xc,fx,style); grid; axis([mi max 0 ]); xlabel(label);ylabel('foctio de Répartitio F(x)'); title('foctio de Répartitio Empirique (Formule de Haze)'); % Calculs de différets histogrammes : ombre d occurreces (i), fréquece (fri=i/n), % et fréqueces cumulées (Fi), cette derière état égalemet la foctio de répartitio. figure; xbis=[mi+(dbi/):dbi:max-(dbi/)]; hist(xc,xbis); title('histogramme du ombre d`occurreces, i (adimesioel).'); figure; fri=hist(xc,xbis)/n; bar(xbis,fri); title('histogramme des fréqueces, fri=i/n (adimesioel).'); figure; fi=fri/dbi; bar(xbis,fi); title('histogramme de desité de proba, fi=i/n/dbi (uités=/x).'); figure; Fi=cumsum(fri); axis([mi max 0 ]); bar(xbis,fi); title('histogramme des fréqueces cumulées ou f. de répartitio, Fi (adim.)'); Hydrologie Statistique 005-06 RETOUR 37

ADDENDUM (3 pages) Itervalle de cofiace («erreur» gaussiee) Bade de cofiace (régressio liéaire) Questio. E utilisat ue table de la loi ormale cetrée réduite, exprimer pour ue variable aléatoire "Z" de loi gaussiee N(m Z,σ Z ) les itervalles de cofiace à 80% et à 98% cetrés sur m Z (qui est à la fois la moyee, médiae, et valeur la plus probable de "Z"). Table sommaire : Foctio de répartitio F(u) d'ue variable gaussiee cetrée réduite ( N(0,) ) F(0)= F(0.5)= F(0.5)= F(0.84)= F(.8)= F(.64)= F(.3)= F(.57)= 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95 0.99 0.995 Questio. Soit ue régressio liéaire Y=a+b+ε etre variables gaussiees (,Y). Obteir les itervalles de cofiace à 80% et 98% de Y autour de la droite de régressio Y=a+b, coaissat les écarts-types : σ, σ Y, et le coefficiet de corrélatio : ρ -0.5. O peut cosulter ue table de la loi ormale, ou bie utiliser le tableau sommaire ci-iclus.

Répose /. Itervalle de cofiace (gauss) L'objectif est de caractériser ue régio (itervalle) t.q. la V.A. ait ue probabilité "P" d'apparteir à cette régio (itervalle). Das la plupart des applicatios, il s'agit de détermier u itervalle de cofiace autour de la moyee : c'est ce qu'o demade ici. La procédure est illustrée graphiquemet pour l'itervalle I 80% (de probabilité P=80%) : Aalytiquemet, la procédure à suivre peut être résumée comme suit. Utiliser la table doat la FdR ormale F U (u) pour U gaussiee cetrée réduite: La table doe : F U (u) = Proba(U u) pour ue v.a. U de loi ormale N(0,) Par ailleurs = m + σ u pour ue v.a. gaussiee de momets (m, σ ). Détermier l'itervalle à 80% de probabilité (I80%): Proba(U +.8) = 0.90 d'après la table Proba(U -.8) = 0.0 par symétrie de la loi Proba(-.8 U +.8) = 0.80 Résultat : I 80% = [-.8,+.8] pour la v.a. U cetrée réduite N(0,). Or o a : = m + σ u. O obtiet doc, pour la v.a. gaussiee N(m,σ ) : I 80% = [m -.8 σ, m +.8 σ ] (et de même) : I 98% = [m -.3 σ, m +.3 σ ] O a utilisé la foctio erreur erf(x) de MATLAB pour tracer la FdR de la loi ormale: F(x) = 0.5*(+erf(x/ )).

Répose /. Bade de cofiace (erreur gaussiee de régressio liéaire) Das le cas d'ue régressio liéaire Y=a+b+ε, la questio précédete reviet à estimer ue bade de cofiace autour de la droite de régressio [cf. schéma ci-dessous]. L'écart-type (σ ε ) du résidu (ε) doe la largeur de la bade de cofiace das la directio des ordoées (Y). E otat I (Y ) l'itervalle de cofiace pour la regressio de Y par rapport à, o obtiet par exemple, à 80%: I 80% (Y ) = [a+b ±.8 σ ε ] (etc ) Or : σ ε = σ Y ( - ρ ) σ ε = () ( - (-0.5) ) = 4 3/4 = 3 σ ε = 3. D'où: I 80% (Y ) = [a+b ±.8 3] [a+b ±.] De même: I 98% (Y ) = [a+b ±.3 3] [a+b ± 4.0] Schéma : bade de cofiace d'ue régressio

CHAP.-BB

Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace 3+cf.TD Cours «Hyd.Stat.» 3Hy 005-06 Idetifiat = HY3ASE303 Titre : Hydrologie Statistique Sous-titre : Traitemets de doées hydrologiques : aalyses uivariées, temps de retour, évèemets extrêmes, évèemets rares, aalyses corrélatoires multivariées et ACP, chroiques hydrologiques et processus aléatoires, doées spatialisées et géostatistique. R. Ababou : ababou@imft.fr Hydrologie Statistique 005-06 Eseigats 005-06 : R.Ababou, A. Al-Bitar. Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace 3+cf.TD Cours «Hyd.Stat.» 3Hy 005-06 Idetifiat = HY3ASE303 Documets e lige: http://rachid.ababou.free.fr/ Web local R.A. free ( \\CRI\spi_com\be\hy\... ) Documets polycopiés imprimés: Pour les bases statistiques, voir le polycopié ititulé : «Cours d Hydrologie : Statistique» (R.Gaudu). Hydrologie Statistique 005-06

Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace 3+cf.TD PLAN / SYLLABUS «HYDRO. STAT.» PROGRAMME (COURS & TD) Itroductio, doées, et modélisatio statistique e hydrologie;. A. Aalyse statistique uivariée, momets, lois de probabilité B. Evèemets rares, loi de Poisso, crue de projet (cf.td). Aalyse statistique multivariée : régressio liéaire, régressio multiple gééralisée, corrélatio multiple, et aalyse e composates pricipales (ACP). Applicatios à la critique, recostitutio, et/ou cartographie de doées hydrologiques. 3. Aalyses statistiques de séries chroologiques proveat de réseaux de mesures hydro-météorologiques et hydro-géologiques. Aalyse et recostructio de chroiques pluies-débits ; hydrogramme uitaire statistique. [Estimatio géostatistique (x,y)]. NB : Ue étude de cas sera traitée das le cadre d u «projet» (selo les aées), soit sur ue problème d estimatio géostatistique (variables régioalisées), soit sur la modélisatio ou la recostructio de chroiques hydrologiques (processus aléatoires). Eseigats 005-06 : R.Ababou, A. Al-Bitar. Hydrologie Statistique 005-06 3 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace 3+cf.TD. ANALYSE STATISTIQUE UNIVARIEE : B. VALEURS ETREMES (GUMBEL) & EVENEMENTS RARES (POISSON) PLAN Notios de «crues» (G.Réméiéras, Hydrologie de l Igéieur, Ch.I: Etude des crues). Crues auelles, prise de maximum, lois de proba suivies par les V.A. «extrêmes» de type «crues auelles» :. Gumbel (double-expoetielle) ;. Fréchet ; 3. Weibull Dépassemets de seuils ; excursios d ue chroique aléatoire Y(t) au-dessus d u seuil >> m Y ; émergece du processus de Poisso pour le ombre d évèemets «dépassemet du seuil» ; et applicatio de la loi de Poisso pour l estimatio des probabilités de crues «rares», dépassat u seuil élevé (temps de retour T >> a). Défiitio axiomatique de la loi de Poisso et/ou du processus discret de Poisso. Applicatio : estimatio d ue crue de projet «déceale» et fiabilité de l estimatio. Ref. : «Guide Pratique de la Méthode Iodabilité», Ageces de l Eau, 998 (Agece Rhôe-Méditerraée-Corse / Etude CEMAGREF : O.Gilard, P.Givoe, G.Oberli, N.Gedreau et al.). Etude des crues auelles de l Oued Mdez : aalyse des crues rares observées parmi les 3 aées de doées dispoibles (applicatio des lois de Gumbel & de Poisso). TD : Etude des probas de retour des crues «historiques» de la Garoe à Toulouse. Hydrologie Statistique 005-06 4

Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace 3+cf.TD. ANALYSE STATISTIQUE UNIVARIEE : B. VALEURS ETREMES (GUMBEL) & EVENEMENTS RARES (POISSON) PLAN Notio(s) de «crues» : voir par exemple G.Réméiéras (Hydrologie de l Igéieur : Chap.I : Etude des crues ). Crues auelles, prise de maximum, lois de proba suivies par les V.A. «extrêmes» de type «crues auelles» :. Gumbel (double-expoetielle) ;. Fréchet ; 3. Weibull Dépassemets de seuils ; excursios d ue chroique aléatoire Y(t) au-dessus d u seuil >> m Y ; émergece du processus de Poisso pour le ombre d évèemets «dépassemet du seuil» ; et applicatio de la loi de Poisso pour l estimatio des probabilités de crues «rares», dépassat u seuil élevé (temps de retour T >> a). Défiitio axiomatique de la loi de Poisso et/ou du processus discret de Poisso. Applicatio : estimatio d ue crue de projet «déceale», et fiabilité de l estimatio (cf. Guide Pratique de la Méthode Iodabilité», Ageces de l Eau, 998). Etude des crues auelles de l Oued Mdez : aalyse des crues rares observées parmi les 3 aées de doées dispoibles (applicatio des lois de Gumbel & de Poisso). TD : Etude des probas de retour des crues «historiques» de la Garoe à Toulouse. Hydrologie Statistique 005-06 5 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace 3+cf.TD.B. Notio(s) de «crues» VALEURS ETRÊMES (GUMBEL) & ÉVÈNEMENTS RARES (POISSON) NB : Remarques reprises e partie de G.Réméiéras (Hydrologie de l Igéieur, Chap.I : Etude des crues ). U hydrogramme de crue est ue chroique de débits e forme de motée-descete (crue-décrue). Mais le terme «crue» peut être associé, plus simplemet, à u débit e rivière particulièremet élevé, maximum, ou de faible fréquece. Cepedat, le terme débit de crue est ambigü ; est-ce (?): le débit de poite istataé d u hydrogramme Q(t), e.g., obteu à partir de relevés limigraphiques (H(t)) covertis e débits par ue courbe de tarage; le maximum des 365 débits moyes jouraliers de chaque aée hydrologique (ces débits jouraliers résultats parfois d ue seule ou de quelques lectures de H à l échelle limimétrique); ou u débit de faible fréquece de dépassemet (fixée selo l applicatio, e.g. 5%)? Noter que la hauteur d eau e rivière (H) est plus facile à mesurer que le débit (Q). Pourtat, das bie des applicatios, c est le débit de crue qui est requis, et H(t) sert alors uiquemet à obteir Q(t) par ue courbe de tarage pré-ajustée Q=f(H). Das d autres applicatios, cepedat, la hauteur d eau elle-même peut jouer u rôle direct das les calculs (protectios / plaies d iodatios). De plus, la variable «débit» e suffit pas à caractériser le phéomèe physique «crue». Aisi, si l o peut cosidérer chaque «crue» comme u processus hydrologique clairemet idetifiable, alors l hydrogramme de crue est caractérisé o seulemet par le débit de poite, mais aussi par le volume et de la crue (V) et par sa durée (différets temps caractéristiques : de cocetratio, de base, de répose ou de poite). Pour u évacuateur de crue, les poites sot très importates (mais le volume aussi) ; et pour u réservoir de protectio cotre les crues, le volume de crue est essetiel. Exemples de records d itesités de pluies et de débits spécifiques (Pyréées Orietales): i = 4 mm/m e h ; q = Q/A 5000 l/s/km. Hydrologie Statistique 005-06 6

Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace 3+cf.TD. ANALYSE STATISTIQUE UNIVARIEE : B. VALEURS ETREMES (GUMBEL) & EVENEMENTS RARES (POISSON) Crues auelles et lois des valeurs extrêmes Débits de crues auelles : par prise du maximum des 365 débits jouraliers, chaque aée. 9 8 7 6 5 4 3 0 0 Débits jouraliers Q(t JOUR ) Débits de crues auelles Q(t ANS ) 9 a (365j) Débits 8 7 6 5 4 3 0 770 85 850 876 900 905 96 93 93 94 943 945 947 949 95 953 955 957 959 96 963 965 967 969 97 973 975 977 979 98 983 985 987 989 99 993 Aées Hydrologie Statistique 005-06 7 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace 3+cf.TD. ANALYSE STATISTIQUE UNIVARIEE : B. VALEURS ETREMES (GUMBEL) & EVENEMENTS RARES (POISSON) Crues auelles et lois des valeurs extrêmes (suite) Théorie proba-stat des valeurs extrêmes: Défiitio. Ue V.A. extrême Y résulte d ue prise de maximum : Y = Max { j } j=,..., N Exemple. Le débit de crue auel est défii, chaque aée, par : QCRUE = Max { QJOUR( j) } j=,...,365 Résultat théorique. Lorsque N (ici o a N=365 >> ) la V.A. extrême (Y) e déped que faiblemet de la loi de proba de (j), et o sait que (das des coditios assez géérales) la loi de (Y) ted vers ue des trois lois de probabilité suivates :. Gumbel (double-expoetielle). Fréchet 3. Weibull Hydrologie Statistique 005-06 8

Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace 3+cf.TD. ANALYSE STATISTIQUE UNIVARIEE : B. VALEURS ETREMES (GUMBEL) & EVENEMENTS RARES (POISSON) Crues auelles et lois des valeurs extrêmes (suite) Ue loi des valeurs extrêmes : la loi de Gumbel (double expoetielle). Défiitio de la loi de Gumbel Relatio Paramètres-Momets et ajustemet par les momets Ajustemet graphique de la FdR sur papier spécial Gumbel (-log(-log)) Loi de Gumbel (Foctio de Répartitio) α F( ) = exp exp β Méthode des momets ˆ α = mˆ ˆ 0.45σ ˆ β = ˆ σ /.8 Méthode d ajustemet graphique (papier graphique double log) Hydrologie Statistique 005-06 9 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace 3+cf.TD. ANALYSE STATISTIQUE UNIVARIEE : B. VALEURS ETREMES (GUMBEL) & EVENEMENTS RARES (POISSON) Crues auelles et lois des valeurs extrêmes (exemple :crues de l Oued Mdez) O cosidère à ouveau les débits de crue auelle Q de l'oued Mdez sur 3 aées. Voici certais des momets empiriques qui ot été obteus pour Q (m 3 /s) : Q MIN Q MEDIANE Q MA m Q σ Q CV Q γ Q κ Q Mi:5.7 Med: Max:070 Mea:7.3 Sigm: CV:0.9977 Asym:.699 Apla:.88 O décide d ajuster la FdR empirique de Q (m3/s) à la loi de Gumbel, i.e., la FdR double-expoetielle : F Q ( q) = exp{ exp{ a( q q ) } 0. Obteir d abord «a» et «q 0» e utilisat la relatio paramètres/momets de la loi de Gumbel vue e cours (voir vos otes de cours et/ou le polycopié).. Calculer, à partir de la loi de Gumbel, la valeur de F Q (070 m 3 /s), qui représete la probabilité de odépassemet de la crue auelle de Jui 965. 3. Calculez le débit de crue auelle de temps de retour T R =5 as (o choisit exprès ici u T R du même ordre que la durée d observatio). Exprimer d abord le résultat e foctio des paramètres (a,q 0,T R ) avat de passer à l applicatio umérique. NB: Le débit Q=070 m3/s correspod à la crue de Jui 965, qui est la plus grade crue auelle observée sur 3 as. Hydrologie Statistique 005-06 0

Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace 3+cf.TD. ANALYSE UNIVARIEE : B. VALEURS ETREMES, EVENEMENTS RARES Crues auelles et lois des valeurs extrêmes : crues de l Oued Mdez réposes. Les relatios momets/paramètres de la loi de Gumbel F (x) sot : a π γ EULER x0 = m 0.450σ γ 0.577... = m 6 σ 0.780 σ a E appliquat ceci aux débits de crues Q, avec les momets empiriques m Q 7.3 m3/s et σ Q 70.7 m3/s, o obtiet : a 0.00473606 (m 3 /s) -,. Calculos F Q (070) : ( ) = exp{ exp{ a( q q ) } qo 49.485 m 3 /s. F Q 070 0 = 0.98798 La probabilité de o-dépassemet de Q=070m3/s est doc eviro 0.987. A l iverse, la crue auelle Q=070m3/s avait que 3 chaces sur 000 d être dépassée. 3. Relatio etre le temps de retour (T R ) et la F.d.R (F) : T R = F Q ( q), FQ ( q) = T R EULER (T R exprimé e aées pour des crues auelles) E isérat la F.d.R double-expoetielle (loi de Gumbel) o obtiet : q = q0 l l a T R Applicatio (T R =5as) : q = 49.5 l l 0.00473606 5 (m 3 /s) q = 84.857 85 m3/s. Hydrologie Statistique 005-06 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace 3+cf.TD ANALYSE STATISTIQUE UNIVARIEE : B. VALEURS ETRÊMES (GUMBEL) & ÉVÈNEMENTS RARES (POISSON) Cosidéros das tout ce qui suit la chroique des débits de crues auelles Q CRUE (t i ) e foctio du temps discret t i [aées]. Dépassemets de seuils. Excursios d ue chroique aléatoire Y(t) au-dessus d u seuil doé b Y >> m Y. Emergece du processus de Poisso et de la loi de Poisso Le processus de Poisso est la séquece des temps discrets d occurreces des évèemets (dépassemets du seuil). La loi de Poisso exprime la probabilité d observer u ombre d évèemets (dépassemets du seuil) pedat ue durée doée T D. Suivre le lie vers documet aexe : «CRUES ANNUELLES, TEMPS DE RETOUR, EVENEMENTS RARES & LOI DE POISSON» Ue défiitio «axiomatique» de la loi de Poisso est présetée das la diapo qui suit Hydrologie Statistique 005-06

Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace 3+cf.TD.B. VALEURS ETRÊMES (GUMBEL) & ÉVÈNEMENTS RARES (POISSON) Défiitio axiomatique de la loi de Poisso et du processus discret de Poisso. Let (t) desigate the radom umber of occureces of a discrete evet withi a time iterval [0,t], with (0)=0. The iteger variable (t) is a radom variable for each fixed value of t, ad it describes a radom poit process (or coutig process) as a fuctio of time. A statioary icremet poit process is oe for which the statistical properties of the umber of evets T withi [t,t+t] are the same for all itervals [t,t+t] of legth T ( t). A Poisso poit process ca be defied by three axioms [modified from H.A.Taha, Operatios research, Chap.3: Queueig theory, McMilla Publishig Co., New York, 976] as follows :. The umber of evets (t) occurig i [0,t] is a radom poit process with statioary & idepedet icremets. Statioary icremets: The icremets (t )-(t ) ad (τ+t )-(τ+t ) are idetically distributed for all values of τ. I other words, the icremets deped oly o the size of the iterval (T=t -t ), so we ca write T for the icremet (t )-(t ). Note: t t. Idepedet icremets: No-overlappig icremets are statistically idepedet. I other words, (t )-(t ) is idepedet of (τ+t )-(τ+t ) if τ (t -t ). For istace, the umber of evets i [t,t ] is idepedet of the umber of evets i [t,t 3 ]. Note: t t t 3.. T (0 < T < ) : 0 < Prob{ T = } < I other words, for ay give iterval [t,t+t] of fiite o zero size T, there is a o zero (but less tha 00%) probability of havig exactly oe evet withi that iterval. 3. lim Pr{ T } = 0 0 T + That is, i a sufficietly small/ifiitesimal time iterval, there caot be more tha oe occurrece of the radom evet. NB: Axiom is used i Axiom ad Axiom 3. I particular, we used the fact that Prob{(t+T)-(t)=k} does ot deped o t, ad ca be expressed as Prob{ T = k}, which is is the usual defiitio of Poisso s law (probability of observig k evets i time iterval of size T). Hydrologie Statistique 005-06 3 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace 3+cf.TD ANALYSE STATISTIQUE UNIVARIEE : B. VALEURS ETREMES (GUMBEL) & EVENEMENTS RARES (POISSON) Utilisatio de la loi de Poisso pour l estimatio des probabilités de crues «rares» (T RETOUR 0 as) Ue crue «rare» est ue crue auelle dot le débit atteit ou dépasse u débit «seuil» relativemet élevé, de temps de retour T R >> a (par exemple T R = 0 as au mois).. Exemple (crues de l Oued Mdez) Toujours pour les doées de crues du Mdez, o veut évaluer maiteat la probabilité d observer au mois deux dépassemets de la crue 5-eale (temps de retour T R = 5 as) sur ue durée d eviro 5 as (soit T D 5 as). R Répose : Loi de Poisso des évèemets rares : P { = } D k Pr K k exp P k est la proba d observer exactemet k évèemets (k dépassemets de la crue T R -eale sur ue durée de T D aées). La probabilité d observer au mois dépassemets est égale à la proba de e pas e observer 0 ou (i 0 i ): Pr(au mois ) = - P 0 - P = exp(-) exp(-) = *exp(-) = 0.64 Il y a doc e gros 6% de chaces d observer au mois dépassemets de la crue 5-eale sur ue durée de 5 as. Voir résultats précédets la crue 5-eale du Mdez est de 85 m3/s ; les doées brutes (o motrées ici) idiquet que ce débit a été réellemet dépassé fois sur la durée d observatio de 3 as. T D T k! k T T R Hydrologie Statistique 005-06 4

Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace 3+cf.TD ANALYSE STATISTIQUE UNIVARIEE : B. VALEURS ETRÊMES (GUMBEL) & ÉVÈNEMENTS RARES (POISSON) Estimatio d ue crue de projet «déceale», et fiabilité de l estimatio. Procédure pour l estimatio d ue crue de projet déceale Fiabilité de l estimatio de la crue de projet (déceale) Référece : «Guide Pratique de la Méthode Iodabilité», Ageces de l Eau, 998 (Agece Rhôe-Méditerraée-Corse / CEMAGREF : O.Gilard, P.Givoe, G.Oberli, N.Gedreau et al.). Das cette étude, il est suggéré qu ue estimatio fiable du débit de la crue déceale requiert N >> 5 aées d observatios de crues auelles. De faço plus géérale, N >> T/ aées d observatios seraiet écessaires pour l estimatio d ue crue de temps de retour T aées mais oter que l applicatio de ce critère à l estimatio d ue crue de projet déca-milleale coduirait à requérir plus de ciquate siècles de doées de crues [le cotexte applicatif est alors sas doute très différet, das ce cas, de celui evisagé par les auteurs de l étude pré-citée]. Hydrologie Statistique 005-06 5 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace 3+cf.TD ANALYSE STATISTIQUE UNIVARIEE : B. VALEURS ETRÊMES (GUMBEL) & ÉVÈNEMENTS RARES (POISSON) Etude des crues de l Oued Mdez : aalyse des crues rares sur 3 aées de crues auelles dispoibles (applicatio des lois de Gumbel & de Poisso). Voir aussi le TD : Etude des probabilités d occurreces des crues rares de la Garoe à Toulouse (doées moderes et «historiques», sur plus de deux siècles). FIN DES DIAPOS DU CHAP. (A+B) Hydrologie Statistique 005-06 6

R.Ababou - Aexe Hydro.Stat. (Ch..B) 005/06 A N N E E CRUES ANNUELLES, TEMPS DE RETOUR, EVENEMENTS RARES & LOI DE POISSON Notatios. T R Temps de retour moye (par exemple, T R = 00 as pour ue crue ceteale) T D Durée d observatio (pour le ombre d occurreces sur ue durée doée T D ) Nombre d occurreces, ombre de dépassemets (i.e., ombre d évèemets) µ Desité de la loi de Poisso (ombre moye d évèemets par uité de temps) P Loi de Poisso : probabilité d observer exactemet évèemets sur ue durée T D fixée. Q Débit de crue auelle (variable aléatoire de foctio de répartitio F Q (q)) Q TR Débit de crue de temps de retour T R (par exemple, Q 00 = débit de la crue ceteale) τ Temps de ère arrivée de l évèemet (i.e., du dépassemet d u débit Q TR ). Crues bieales (T R = as), déceales (T R = 0as), ceteales (T R = 00as), milleales (T R = 000as) - -

Formulatio du problème R.Ababou - Aexe Hydro.Stat. (Ch..B) 005/06 O a étudié la loi de probabilité de la variable aléatoire «crue auelle» Q. O coaît sa foctio de répartitio F Q (q) empirique, et o dispose d ue loi théorique ajustée à celle-ci, par exemple la loi de Gumbel ajustée par la méthode des momets. O peut doc utiliser la loi modèle F Q (q) pour obteir la valeur du débit de crue auelle ayat par exemple ue probabilité 0.90 de e pas être dépassée : ( ) ( ) [ 3 q Pr Q q = 0.90 q m s] F Q / 0 = 0 0 Débit de crue déceale Le «débit de crue déceale», q 0, a doc chace sur 0 d être dépassé, car sa probabilité de dépassemet est -F = -0.90 = 0.0. Les évèemets «dépassemets du débit q 0» ot doc e moyee u fréquece de retour d aée sur 0. Comme il s agit de débits auels ( t= a), ces dépassemets ot doc u temps de retour de 0 as, e moyee sur ue très logue période, théoriquemet ifiie. TR = = F q Pr Q q Plus gééralemet Temps de retour: ( ) ( ) Q T R T R Débit «T R -eal» q TR ( ) = = F : Q qt qt F R R Q T R T R - -

R.Ababou - Aexe Hydro.Stat. (Ch..B) 005/06 Dépassemets de seuils de débits (crues rares) Cosidéros maiteat la séquece des débits de crues auelles Q(t i ) avec t i = ère aée, t = ème aée,, t N = N ième et derière aée d observatio. O défiit, pour ce processus temporel, l évèemet «dépassemet» d u seuil de débit élevé tel que le débit de temps de retour 00 as (q 00 ) ou plus gééralemet q TR. Q CRUES L évèemet «dépassemet» se réalise chaque fois que Q(ti) q TR = q 00 q 00 SEUIL NB. Ces dépassemets sot aussi appelé, e théorie des processus aléatoires, les «excursios» du processus aléatoire Q(t) audessus du seuil spécifié. t ANS - 3 -

R.Ababou - Aexe Hydro.Stat. (Ch..B) 005/06 Théorie. Les résultats de la théorie de Rice pour les processus saléatoires tatioaires gaussies idiquet que les excursios d u processus aléatoire Y(t) au-dessus d u seuil doé Y SEUIL, tedet à deveir des évèemets poctuels lorsque le seuil est suffisammet élevé. Les zoes d excursio tedet vers des poits. Les valeurs du processus au-dessus du seuil coïcidet avec des maxima locaux isolés de Y(t), avec u seul maximum par itervalle d excursio. La distributio des poits-excursios (dépassemets) suit u processus temporel de Poisso, ou de faço équivalete, le ombre de dépassemets poctuels sur ue durée d observatio doée (T D ) suit ue loi de Poisso. Efi, la desité de la loi de Poisso est doée par µ = -F(Y SEUIL ), µ état le ombre d évèemets / uité de temps. E appliquat ceci aux débits de crues auelles Q(t i ), o obtiet doc le résultat théorique : La probabilité d avoir dépassemets de la crue T R -eale (crue de temps de retour T R ) pedat ue durée fixée de T D aées, est doée par la loi de Poisso de desité µ = /T R ombre moye d évèemets <> = µ.t D = T D /T R. La loi de Poisso (loi des évèemets rares) permet doc d estimer les probabilités de dépassemet des crues rares (déceales, ceteales, ) - 4 -

R.Ababou - Aexe Hydro.Stat. (Ch..B) 005/06 Loi de Poisso (avec les otatios présetes) : { k = } ( µ T ) D ( T ) P Pr exp µ! Mais, sachat que la desité de la loi de Poisso (ombre moye d évèemets par uité de temps) est doée par µ = /T R, la loi s écrit aussi, P Pr T D T! R { k = } exp D T T D R, ce qui doe la probabilité d avoir dépassemets de la crue T R -eale (de temps de retour T R ) sur ue durée doée T D. Momets de la loi de Poisso (et du processus associé) = µ.t Nombre moye d occurreces (sur la durée T D): D Ecart-type du ombre d occurreces (sur la durée T D ) : σ = Var ( ) = µ. TD µτ Desité de proba du temps t de ère arrivée ( ère occurrece) : f t ( τ ) = µ. e ; c est ue loi expoetielle, de moyee <t> = /µ = T R et d écart-type σ t = <t> = T R. Le temps de retour T R est doc, aussi, le temps moye de ère occurrece (d u dépassemet). - 5 -

R.Ababou - Aexe Hydro.Stat. (Ch..B) 005/06 Exemple. Probabilités de dépassemets du débit de crue déceale sur ue durée de dix as (T R = T D = 0 as) la loi de Poisso s écrit, das ce cas particulier : P Pr{ k = } exp( )! D où les résultats suivats : P 0 Pr 0! { k = 0} e = (.78) 0. 368 P Pr! P Pr k = e! { k = } e 0. 368 { } 0. 84 { } P = 0.368 0. 63 Pr k 0 { k } P P = 0.368 0. 64 Pr 0 Remarque : la probabilité d avoir au mois ue crue déceale e dix as est de 0.63, soit eviro 63% (ce est i 50%, i 00% comme o pourrait peut-être le croire)! Exemple. Quelle est la probabilité d observer au mois ue crue supérieure ou égale à la crue milleale (T R =000 as) sur ue durée d u siècle (T D = 00 as)? O obtiet P = -exp(-0.) = 0.095 0%, ce qui est loi d être égligeable - 6 -

TD Uivar : lois de proba Gumbel+Poisso: crues Garoe (sujet & idicatios)

HYDROLOGIE STATISTIQUE TD: ANANLYSE UNIVARIEE GUMBEL & POISSON : CRUES ANNUELLE & CRUES ETREMES DE LA GARONNE A TOULOUSE SUJET TD + INDICATIONS + SUJET DU PARTIEL HYDROLOGIE STATISTIQUE TD: ANALYSE UNIVARIEE GUMBEL & POISSON : CRUES ANNUELLE & CRUES ETREMES DE LA GARONNE A TOULOUSE ENONCE DU TD : O propose d'étudier la Foctio de Répartitio (FdR) empirique des crues de la Garoe à Toulouse (Pot-Neuf), e termes de hauteurs H, compreat ue série "scietifique" cotemporaie (940-994), et ue série "historique" plus aciee (770-940) qui permet de compléter la FdR empirique vers les valeurs extrêmes. Voir la Figure ci-joite (C.Thirriot 995), où sot représetées la FdR empirique (poit par poit) et ue FdR ajustée (trait cotiu). Des explicatios supplémetaires sur la méthode utilisée pour costruire ces FdR pourrot être fouries e salle. Ue courbe de tarage approchée est fourie. Répodre aux questios suivates (y compris graphiquemet si écessaire). QUESTIONS. (+ VOIR INDICATIONS PLUS LOIN ). Quelle est la variable hydrologique étudiée (expliquez le terme crue)?. Utilisez la FdR proposée pour obteir la crue auelle ceteale (expliquez). Questio subsidiaire: est-ce ue loi de Gumbel? (paramètres=?) 3. Calculez la probabilité d'observer au mois, au mois, et au mois 3 crues supérieures à la crue ceteale pedat ue période d'observatio de 5 aées. 4. A quoi pouvez-vous comparer ces probabilités, et qu'e cocluez-vous? 5. Questio supplémetaire autour de l évaluatio des temps d arrivée (e salle).

HYDROLOGIE STATISTIQUE TD: ANANLYSE UNIVARIEE GUMBEL & POISSON : CRUES ANNUELLE & CRUES ETREMES DE LA GARONNE A TOULOUSE ANNEE : Courbe de tarage Q(H) La courbe de tarage Q=f(H) permettat de passer des hauteurs d'eau H [m] aux débits Q [m 3 /s] au Pot-Neuf 'est pas dispoible pour la période "historique", mais voici quelques ordres de gradeurs "cotemporais" (valeurs idicatives, pour H m) : H m Q 000 m 3 /s H 3 m Q 000 m 3 /s H 5 m Q 4000 m 3 /s (±) H 8 m Q 6500 m 3 /s (±)? 7000 6000 5000 4000 3000 000 000 0 0 3 5 8 Tarage Q=f(H) ANNEE : Foctio de répartitio empirique des crues auelles F(H)

TD Hydrologie Statistique Hydrologie Statistique TD Crues auelles, évèemets rares, et loi de Poisso Ahmad Al-Bitar TD Hydrologie Statistique Mesure de hauteur d eau : la Garoe à Toulouse (Pot-Neuf) Pot-Neuf Garoe

TD Hydrologie Statistique Courbe de tarage Q=f(H) Courbe de tarage récete de la Garoe au iveau du Pot-Neuf pour des hauteur H> m. Cette courbe est pas dispoible pour la période historique (770-94). La courbe est faiblemet quadratique, presque liéaire. Q (m3/s) 7000 6000 5000 4000 3000 000 000 0 0 4 6 8 0 H (m) TD Hydrologie Statistique Foctio de Répartitio FdP(H) Commet obteir la FdR? -Rager les valeur de la plus forte à la plus faible valeurs; -Calculer la fréquece. F, 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, série scietifique série historique 0,,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 hauteur (m)

TD Hydrologie Statistique Ajustemet d ue loi de probabilité théorique Loi de Gumbel (valeurs extrêmes) H α F( H ) = exp exp β Méthode des momets ˆ α = mh 0. 45σ H ˆ β = σ H /.8 Méthode d ajustemet graphique -graphique e double log Évaluatio de l ajustemet -Test du Khi-Deux Χ² TD Hydrologie Statistique Test Khi-Deux Χ² d après Jaque Miquel 004, Hyd.Stat. ENPC

TD Hydrologie Statistique Tableau Χ² TD Hydrologie Statistique Questio Utilisez la FdR proposée pour obteir la crue auelle ceteale

CHAP.

Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace 5: Ch. Hyd.Stat.Multivariée 3Hy 005-06 (ID = HY3ASE303) Titre : Hydrologie Statistique Sous-titre : Traitemets de doées hydrologiques : aalyses uivariées, temps de retour, évèemets extrêmes, évèemets rares, aalyses corrélatoires multivariées et ACP, chroiques hydrologiques et processus aléatoires, doées spatialisées et géostatistique. R. Ababou : ababou@imft.fr Hydrologie Statistique 005-06 Eseigats 005-06 : R.Ababou, A. Al-Bitar. Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace 5: Ch. Hyd.Stat.Multivariée 3Hy 005-06 (ID = HY3ASE303) Documets e lige: http://rachid.ababou.free.fr/ Web local R.A. free ( \\CRI\spi_com\be\hy\... ) Documets polycopiés imprimés: Pour les bases statistiques, voir le polycopié ititulé : «Cours d Hydrologie : Statistique» (R.Gaudu). Hydrologie Statistique 005-06

Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace 5: Ch. Hyd.Stat.Multivariée CHAPÎTRE DU COURS : Aalyse statistique multivariée : régressio liéaire, régressio multiple gééralisée, corrélatio multiple, et aalyse e composates pricipales (ACP). Applicatios à la critique, recostitutio, et/ou cartographie de doées hydrologiques. VOIR AUSSI LE TD : Recostitutio et critique de doées pluviométriques par corrélatio et régressio etre statios ; et/ou (selo les aées) : Corrélatios multiples & Aalyse e Composates Pricipales (ACP) : étude des redodaces etre 6 statios hydrométriques (Pyréées). Hydrologie Statistique 005-06 Eseigats 005-06 : R.Ababou, A. Al-Bitar. 3 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace 5: Ch. Hyd.Stat.Multivariée PLAN DU CHAP. «HYDROLOGIE STATISTIQUE MULTIVARIÉE» (005-06) Itroductio, objectifs, méthodes. [cf. itro géérale du cours]. Lois de probabilités multivariées : FdR et DdP multivariées ; loi multivariée gaussiee (variables cojoitemet gaussiees) ; matrices de covariace et de corrélatio. Rappels de régressio liéaire simple ( variables,y). Utilisatio de la régressio liéaire pour la critique des doées Utilisatio de la régressio liéaire avec résidus gaussies pour la critique de doées «aberrates» et la recostitutio de doées maquates. Exemple/Exo : pluies mesuelles e statios alpies [TD ou exo selo aée]. Test d homogééité : méthode des résidus cumulés et ellipse de cofiace. Exemple : Pluies Gi Gaga (Sri Laka). Test d homogééité : méthode des doubles cumuls. Ex : Pluies Sebou (Maroc). Hydrologie Statistique 005-06 Eseigats 005-06 : R.Ababou, A. Al-Bitar. 4

Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace 5: Ch. Hyd.Stat.Multivariée PLAN DU CHAPÎTRE (SUITE) Gééralisatio : aalyse corrélatoire multi-variée (multi-statios) à K+ variables Corrélatio multiple avec K+ variables Régressio multi-liéaire avec K+ variables : o Formulatio / «variables» (le vecteur [ k ]) o Formulatio / «variables-observatios» (matrice rectagulaire [ (i) k ]) Pricipes de l ACP (Aalyse e Composates Pricipales). voir TD. Estimatio liéaire de vecteurs d états (estimatio optimale Bayesiee) Exemples d applicatios (Bureaux d Etudes, T.D., etc) TD. Corrélatios multiples & Aalyse e Composates Pricipales (ACP) : étude des redodaces etre 6 statios hydrométriques (Pyréées). ETUDE. Corrélatios pluies-débits et «régioalisatio» des débits au Sri Laka. Hydrologie Statistique 005-06 Eseigats 005-06 : R.Ababou, A. Al-Bitar. 5 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace 5: Ch. Hyd.Stat.Multivariée Lois de probabilités multivariées (FdR et DdP joites) Résumé - cas de V.A. s (,Y) : FdR joite F,Y : F, Y ( x, y) = Pr( x, Y y) F f, Y, Y ( x, y) dxdy = df, Y ( x, y) DdP joite f,y : f, Y ( x, y) = x y = Pr( x x + dx, y Y y + dy) DdP margiale f : f ( x) = f ( x, y) dy DdP coditioelle f Y : Théorème / proba coditioelle Bayes IR, Y f Y (y x) est la desité de proba de la V.A. «Y» coditioée ( ) par la coaissace de, i.e., après observatio de («a posteriori»). f Y f ( y x) =, Y f ( x, y) ( x) Théorème bis / proba codit. Bayes f, Y ( x, y) = fy ( y x) f ( x) = f Y ( x y) fy ( y) Notatios. FdR = Foctio de Répartitio ; DdP = Desité de Probabilité ; V.A.=Var.Aléatoire. Hydrologie Statistique 005-06 6

Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace 5: Ch. Hyd.Stat.Multivariée Lois de probabilités multivariées (exemples) Etat doées deux variables aléatoires gaussiees idépedates et idetiquemet distribuées, de même variace et de moyee ulle, la desité de probabilité joite f Y (x,y) est ue «collie gaussiee» de sectio circulaire, représetée Figure. O peut dire aussi que [ Y] T est vecteur aléatoire gaussie isotrope, et que f Y (x,y) est la desité de probabilité bivariée gaussiee qui représete la loi cojoite de toutes les composates de ce vecteur. NB. O sait par ailleurs que la desité de probabilité du module R = ( +Y ) / est ue loi de Rayleigh : voir Chap., courbe et histogramme de la loi de Rayleigh f R (r). Desité de la loi bivariée gaussiee f Y Desité de la loi de Rayleigh ( r) Hydrologie Statistique 005-06 f R r r exp σ σ = 7 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace 5: Ch. Hyd.Stat.Multivariée Loi de probabilité bivariée gaussiee (propriétés) Soiet (,Y) deux v.a. s gaussiees cetrées (de moyees ulles). Si (,Y) sot idépedates (o corrélées) et de variace uité (ormalisées), leur desité joite est : ( ) f = ( + ), Y x, y exp x y π Si l o a : N(0,σ ) et Y : N(0,σ Y ), avec (,Y) idépedates, leur desité joite est : ( ) x y f = +, Y x, y exp πσ σy σ σy Efi, si (,Y) sot plus gééralemet cojoitemet gaussiee mais corrélées, o a : ( ) ( ) x x y y f, Y x, y = exp ρ + πσ σy ρ σ σ σy σy NB. Voir plus loi la loi de probabilité gaussiee multivariée géérale : vecteur multivarié gaussie de taille N : N(m,C xx ), où m est le vecteur «moyee» de taille (N) et C xx la «matrice de covariace» de taille (N N). Matrice de covariace et matrice de corrélatio. Covariace : Cov(, Y ) = ( m )( Y m Y ) Coeff de corrél. : ρ Matrice de covariace σ Cov(, ) C =, Y Cov(, Y ) σ Y Y Hydrologie Statistique 005-06, Y = Cov(, Y ) σ σ Matrice de corrélatio ρ R =, Y ρ Y 8

Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace 5: Ch. Hyd.Stat.Multivariée Commet géérer ue paire de V.A. s gaussiees idetiques et idépedates? Soiet G et G deux variables aléatoires idépedates gaussiees N(0,). Poser G = R.cosθ et G = R.siθ. O motre alors que R et θ sot V.A. s idépedates de desités de probabilité : R : loi de Rayleigh : f R () r = r exp( r / ) θ : loi uiforme das [0,π] : f ( θ ) = U[ 0, π ] Θ. Commet géérer ue paire de V.A. s gaussiees itercorrélées? E partat de G et G, deux V.A. s gaussiees N(0,) o corrélées, o obtiet comme suit ouvelles VA s gaussiees (,Y) corrélées, d écarts-types (σ,σ Y ) et de coeff de corrélatio ρ : = m + σ.g Y = my + σy.{ ρ G + ρ G } Commet diagoaliser la matrice de covariace d ue paire de V.A. s gaussiees? Exécuter le programme MATLAB «Ex_Stat4ACP000.m» (A.C.P. simplifiée à variables!) ou ecore, ouvrir le documet PDF «_Ex_mbook_Stat4ACP000.pdf» (listig+iput/outputs) Hydrologie Statistique 005-06 9 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace 5: Ch. Hyd.Stat.Multivariée Rappels de régressio liéaire simple ( variables,y). Le poit de vue adopté das cet exposé tiet compte du fait que la régressio liéaire est u modèle d estimatio optimale et sas biais d ue v.a. gaussiee (Y) dite variable expliquée («à expliquer»), e foctio d ue autre v.a. gaussiee () cosidérée comme fixée lors de l estimatio, dite variable explicative. Das u modèle de régressio liéaire, la relatio etre les variables aléatoires Y et peut s'écrire : Y = a.+b+e e = Y-a.-b Cette derière équatio défiit du même coup l'erreur "e", qui est aussi ue variable aléatoire. Les coeffs de régressio sot calculés de faço que "e" soit de variace miimale, et de moyee ulle ( <e> = 0 ). L'erreur état sas biais, l'estimatio est doc sas biais. La régressio liéaire classique est doc ue estimatio liéaire (optimale et sas biais) de la variable Y (expliquée), e foctio de la variable explicative, qui est alors cosidérée comme fixée (détermiiste). Hydrologie Statistique 005-06 0

Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace 5: Ch. Hyd.Stat.Multivariée Rappels de régressio liéaire simple ( variables,y) [SUITE] Soit Y* l estimatio liéaire optimale sas biais de Y. O motre que Y* est l'espérace mathématique de Y coditioée par (qui est alors cosidérée comme doée), et que Y* s exprime liéairemet e foctio de : Variable à expliquer : Y = a +b + e Estimatio optimale de Y : Y* = <Y > = a +b Erreur commise sur Y : e = Y - Y* Formules classiques d optimalité & o biais : a = ρ σ Y /σ ; b = <Y> - a <> ; σ e = (-ρ ) σ Y. Remarques et coclusios : La relatio Y = a+b+e est aléatoire, tadis que l estimatio Y* = a+b est détermiiste. Le modèle de régressio liéaire permet o seulemet d'estimer Y, mais aussi de quatifier statistiquemet l'erreur d'estimatio (variace σ E ). L'estimatio Y* calculée par régressio liéaire représete la valeur la plus probable de Y état doées les observatios de (théorie Bayesiee). Tout ceci 'est vrai, e toute rigueur, que si (,Y) sot cojoitemet gaussiees. Hydrologie Statistique 005-06 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace 5: Ch. Hyd.Stat.Multivariée Utilisatio de la régressio liéaire pour la critique des doées Utilisatio de la régressio liéaire avec résidus gaussies pour la critique de doées «aberrates» et/ou la recostitutio de doées maquates. EO/EEMPLE - Recostitutio de doées par régressio liéaire : pluies mesuelles e statios alpies (Mes et Roissard). Questio Recostituer les pluies mesuelles de mars 940 et 946 à Mes (P), à partir des pluies de mars à Roissard (P). Idicatios O utilise la régressio liéaire P P, e racies de pluies mesuelles (mm / ), qui est préférée à ue régressio directe e terme des pluies (mm), car o pese ici que P est «plus» gaussiee que P. Doées voir TABLEAU ci-joit Voici les statistiques suffisates pour traiter le problème (pluviométries du mois de mars) : Momets de P (Mes) e mars : m 6.7 mm / ; σ.9 mm / Momets de P (Roissard) e mars : m 7.7 mm / ; σ.8 mm / Corrélatio croisée ( P, P) e mars: ρ 0.94 Hydrologie Statistique 005-06

Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace 5: Ch. Hyd.Stat.Multivariée TABLEAU DES PLUIES MENSUELLES DE MARS-AVRIL À MENS & ROISSARD (BV DU DRAC, ALPES) Pluies Mesuelles e statios d'u Bassi Versat du Drac (de 98 à 947, et e 976) S - MENS S - ROISSARD Aées Mars Avril Mars Avril 98 6 84 44 3 99 7 65 3 79 930 09 53 35 5 93 90 40 6 57 93 59 67 0 89 933 33 83 44 934 74 35 88 30 935 4 8 9 3 936 56 3 64 3 937 43 56 88 78 938 3 9 3 7 939 53 9 86 9 940 50 94 45 83 55 7 94 9 3 40 4 943 8 5 35 944 9 30 0 30 945 9 7 8 8 946 60 44 947 03 35 34 3 976 57 60 6 65 Hydrologie Statistique 005-06 3 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace 5: Ch. Hyd.Stat.Multivariée Exo/Exemple - Recostitutio de doées par régressio liéaire : pluies mesuelles e statios alpies (Mes et Roissard). Statistiques utiles (cf. tableau de doées) Momets de P (Mes) e mars : m 6.7 mm / ; σ.9 mm / Momets de P (Roissard) e mars : m 7.7 mm / ; σ.8 mm / Corrélatio croisée ( P, P) e mars: ρ 0.94 Elémets de réposes. O utilise la régressio Y avec Y= P et = P. Les doées de l éocé devraiet permettre de calculer (pour les racies de pluies) : a = ρ σ Y /σ = ρ σ /σ = 0.974 ; b = (m Y -a.m ) = (m -a.m ) = -0.80 mm ; σ ε = 0.99 mm Mars 946 : Coaissat P = 60 mm e Mars 946 (à Roissard), o cherche doc à recostituer P e Mars 946 (à Mes). La régressio liéaire de P P (Y ) sert d estimateur de P coaissat P = 60 = 7.746 mm /. La régressio Y = a+b s écrit, ici : P = a P + b fialemet : P 45.5 mm. Mars 940 : Même procédure. Hydrologie Statistique 005-06 4

Utilisatio de la régressio liéaire pour la critique des doées (SUITE) Test d homogééité basé sur la régressio liéaire etre statios : la méthode des résidus cumulés (ellipse de cofiace ; «pot browie»). Pricipe de la méthode. Soit u réseau de N statios (pluviométriques ou autres). O cosidère les statios par, et o effectue pour chaque paire de statios ue régressio liéaire Y. Le test utilise la somme partielle Z(k) des résidus de la régressio, tracée e foctio de l idice k (ombre de résidus cumulés) depuis k= jusqu à k=n (ombre total de poits). Noter que le cumul commece à 0 pour k=0 et se termie à 0 pour k=n à cause de la coditio de o biais (moyee du résidu ulle). O motre théoriquemet (voir théorie ci-dessous) que la courbe aisi tracée, Z(k), doit être comprise das ue certaie ellipse de cofiace. Si la courbe sort de l ellipse, c est que l ue au mois des deux variables (,Y) est pas homogèe : défaillace d istrumet? biais persistat? sabotage des mesures? dérive thermique? chagemet de courbe de tarage à cause de modificatios du lit du cours d eau? etc ). Voir exemple ci-dessous (pluies Sri Laka).

Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace 5: Ch. Hyd.Stat.Multivariée THÉORIE Test d homogééité «résidus cumulés» : démostratio de l ellipse de cofiace Y i = a* i + b* + E i (i=,,n) = i= k i= Z k E i (Ei = résidus de régressio liéaire) (ΣEi = résidus cumulés à aalyser) Les Ei ot tous les mêmes momets uivariés : i ce sot des vars gaussiees de moyee ulle et d'écart-type σ E : <E i > = 0 i et <E i > = σ E i De même les (Ei,Ej) ot des momets croisés tous égaux (i,j) avec (i j), mais l'espérace <Ei.Ej> 'est pas ulle car les (Ei,Ej) e sot pas idépedats à cause de la cotraite: i N Z = = N E i = 0 (la moyee empirique des résidus de régressio est ulle) i= O peut cepedat supposer que <Ei.Ej> est de la forme : σ E si i = j <Ei.Ej> = ou ecore <Ei.Ej> = σ E [R+(-R)δ ij ], Rσ E si i j où R est le coeff. de corrélatio croisé (Ei,Ej) dû à la cotraite Z N =0. O obtiet alors, successivemet : i= k < <Z k > = E i >= 0 = 0 i= i= k i= i = k j= k σ Zk = Var(Z k ) = <Z k > = < EiE j > i= j= i = k j= k = [ ij ] i= j= R + ( R) δ σ E = i= k i= k j= k σ E i= i= j= ( j i) + R σ =.k.σ E + R.k.(k-).σ E Mais o sait par ailleurs que Z N =0 ("cotraite"), d'où σ ZN = 0, ce qui permet de détermier le coefficiet de corrélatio croisé des résidus (R) : σ ZN =.N.σ E + R.N.(N-).σ E = 0 R = - / (N-). D'où fialemet le résultat : σ Zk = k [ - (k-) / (N-) ] σ E Coclusios : l'écart-type σ Zk (k) décrit ue ellipse ; de plus, si les (i,yi) sot gaussies, les résidus Ei aussi; et les résidus cumulés Zk aussi ; o a doc : Z 9 k = N(0,σ Zk ). [d après R.Ababou, 000] Hydrologie Statistique 005-06 σ Zk = E k k N σ E. Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace 5: Ch. Hyd.Stat.Multivariée Gééralisatios : aalyses corrélatoires multi-variées (multi-statios) Matrice de covariace et corrélatio multiple avec K+ variables Exo. Matrice de covariace 3x3 Soit u vecteur aléatoire (,, 3 ) et sa matrice de covariaces C ij = Covar( i, j ). U auteur (aoyme) fourit, das u documet techique, la «matrice de covariace»: 0.5 0.5 C = 0.30 0.0 0.30 Questio. Quelles réflexios ispiret cette «matrice de covariace»? Idicatios. E fait, cette matrice est pas ue matrice de covariace! Rappeler les propriétés d'ue matrice de covariace. Calculer Var( + ) et Var( + + 3 ). Coclusios? Hydrologie Statistique 005-06 0

Hydrologie Statistique 005-06 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace 5: Ch. Hyd.Stat.Multivariée Gééralisatios : aalyses corrélatoires multi-variées (multi-statios) Régressio multi-liéaire avec K+ variables Formulatio / «variables» (le vecteur [ k ]) Formulatio / «variables-observatios» (matrice rectagulaire [ k (i) ]) ORGANISATION DES DONNÉES Soit Y la variable expliquée (ou edogèe). O dispose du vecteur de taille (N,) des N observatios de la variable : = (N) (i) () Y Y Y Y M M Soiet p i,...,,... les p variables explicatives (ou exogèes). O dispose de la matrice rectagle de taille (N,p) des observatios de chaque variable : (N) p (N) () p () K M M K Hydrologie Statistique 005-06 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace 5: Ch. Hyd.Stat.Multivariée CENTRAGE DES VARIABLES (EN UTILISANT LES MOYENNES ESTIMÉES) Y i i Y i j i j m Y Y N m m N m j j = = = = y x ) ( j ) ( FORMULATION DE LA REGRESSION MULTILINÉAIRE O cherche ue relatio multiliéaire etre Y et ],..., [ p = de la forme : = + ε + = p j j j 0 a a Y (p,) (,) (,) (,p) (,) 0.a a Y = + + = p a a a avec M ε (.a) Vars brutes E écrivat ceci pour toutes les observatios dot o dispose cela doe : ε ε + + = + ε + = (N) () p (N) p (N) () p () 0 (N) () 0 a a.. a Y Y a.. a Y M M K M K M M (.b) Variables-Observatios

Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace 5: Ch. Hyd.Stat.Multivariée SOLUTION DU PROBLEME DE REGRESSION MULTIPLE (OPTIMALITÉ & NON BIAIS) O applique d abord la coditio de o-biais à savoir que la moyee estimée du résidu est ulle : m ε = 0. Or, par défiitio, o obtiet aisi : N ( 0 = mε = ε N i= i) T =. ε N T =.{ Y a0.. a} N T a0 T T =. Y... a N N N = m a m. a Y 0 x a 0 = my m a ( ) E isérat cette équatio das l équatio (.a) o obtiet, e variables cetrées : y = x. a + ε (3) variables cetrées Le coefficiet a 0 état maiteat «élimié», il reste à détermier a e miimisat la variace estimée du résidu ε soit : Mi ou bie Mi a a Var( ε ) ε T ε ε = y - x. a ε = y x. a ( ème Hydrologie Statistique 005-06 (ère approche) approche) 3 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace 5: Ch. Hyd.Stat.Multivariée SOLUTION DU PROBLEME DE REGRESSION MULTIPLE ( SUITE ) Première approche : miimisatio de variace probabiliste (esembliste) Mi a Var( ε ) ε = y - x. a (ère approche) Approche probabiliste / calcul d espéraces mathématiques moyees d esemble. T T Var( ε ) = ε = ( y x. a) = y yx. a + ( x. a) = y yx a + a x x σ ε = σ y Cy x. a + a. Cxx. a T Coditio d optimalité du er ordre σ ε Grada ( σ ε ) = L L = 0 a j D où, après calculs : Cxy + Cxx.a = 0 (p,) (p,p) (p,) a = C xx. C T yx (4) Hydrologie Statistique 005-06 4

Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace 5: Ch. Hyd.Stat.Multivariée SOLUTION DU PROBLEME DE REGRESSION MULTIPLE ( SUITE ) Secode approche : Miimisatio de l écart quadratique moye (empirique) Mi a ε T ε ε = y x. a ( ème approche) ε T ε = (y xa) T (y xa) = y T y y T xa a T x T y + a T x T xa La coditio d optimalité du er Grad ordre se traduit par : D où : x T y + x T xa = 0 (p,n)(n,) (p,p) (p,) Equivalece etre les deux approches T Hydrologie Statistique 005-06 a T T ( ε ε ) ( ε ε ) = L L = 0 a j - T a = (x x) x y (5) Petes de la régressio multiple. Les approches sot équivaletes si o estime les covariaces T T Cx x = x. x N et Cy x = y x N (6) C xx & Cy x aisi : 5 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace 5: Ch. Hyd.Stat.Multivariée CALCUL DE LA VARIANCE D ERREUR (MINIMALE) Ue fois choisie ces estimateurs des matrices de covariace, o peut calculer, par importe laquelle des deux approches, la variace de l erreur comme suit : Var( ε ) = N = y N T T T T T T T { ε ε} = { y y y xa a x y + a x xa} T y y N N T x( x T x) T x y y T x( x T T T T T x) T σ ε = { ε ε} = y y y x( x x) x y σ ε σ N N N N T x y + y T T T T T T x(( x x) ) x x( x x) x y 44 43 4 443 a Cette formule doe directemet la variace d erreur (miimale) e foctio des doées empiriques. De faço équivalete o peut écrire : ε = σ = σ y y C y x R y x C R xx C xx T y x R T y x σ ε R = = σ y R ( R y x R ) x x R T y x où le scalaire «R» représete le coefficiet de corrélatio multiple. Hydrologie Statistique 005-06 6

Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace 5: Ch. Hyd.Stat.Multivariée VÉRIFICATION SUR UN CAS PARTICULIER O retrouve e particulier, comme il se doit, les résultats classiques de la régressio simple à ue seule variable explicative «x» (predre le cas p = ) : a = C ε xx y C T yx σ = σ ( ρ ) ρ σ y = cov( x, y) = σ σ x x (4) (7) RÉSUMÉ SYNOPTIQUE (RÉGRESSION MULTI-LINÉAIRE) Ordoée à l origie : Vecteur des petes : Y 0 = a + a + ε a a 0 = m = ( p,) Y m C ( p, p) a Variace d erreur : σ = σ ( R ) ε Y. C Y T ( p,) Coefficiet de corrélatio multiple : R = R Y R (,) (, p) ( p, p) ( p,) Hydrologie Statistique 005-06 R T Y 7 Cours Hydro.Stat. 3Hy : Séace 5: Ch. Hyd.Stat.Multivariée Gééralisatios : aalyses corrélatoires multi-variées (multi-statios) Pricipes de l ACP (Aalyse e Composates Pricipales). TD. Hydrologie Statistique 005-06 8

TD Matrice covar, regressio, ACP (sujet & idicatios)

HYDROLOGIE STATISTIQUE : TD() TD-Exo. : Aalyse Statistique Bivariée Eocé : Pour tester u programme d'aalyse statistique multivariée débouchat sur de l'ac.p, o étudie la structure de corrélatio de vecteurs d'observatios (x, x) représetat variables distictes (o précisées). Les résultats de cette aalyse sot joits à ce documet, et sot décrits ci-dessous. O doe ci-joit les valeurs umériques des matrices/vecteurs représetat les Covariaces des observatios, et les Composates Pricipales (CP), pour N=000 paires d' «observatios» de deux variables (x,x) géérées umériquemet à l aide d u u géérateur de ombres aléatoires gaussie. Plus précisémet : o a gééré 000 répliques d u vecteur aléatoire gaussie bivarié de moyee ulle et comportat ue corrélatio croisée R(x,x) o ulle. O pourra costater que les momets empiriques obteus sot relativemet proches des momets théoriques (e.g., les moyees empiriques sot relativemet proches de zéro, comme il se doit). Ue visualisatio du uage de poits das le pla (x,x), graphique cijoit, illustre les résultats obteus pour u sous-esemble des 000 paires d observatios. Cepedat : les axes (x) et (x) sot-ils représetés à la même échelle sur ce graphique? (!). Les calculs statistiques et algébriques (diagoalisatio) aisi que les graphiques ot été programmés e lagage Matlab. O trouvera e aexe u exemple de miiprogramme Matlab permettat de diagoaliser la matrice de covariace et de calculer les Composates Pricipales das ce cas ultra-simplifié à variables.

Questios (à titre idicatif) : Expliquez, commetez et exploitez brièvemet les résultats présetés, comme suit (questios à 8) :. Retrouver les écarts-types (σ, σ) des variables, aisi que leur coefficiet de corrélatio «ρ».. Commetez la différece etre "variables brutes" et "variables ormalisées" - quelles seraiet les coséqueces d ue ormalisatio? 3. Que représete la matrice de covariace des Composates Pricipales (CP)? Pourquoi est-elle diagoale? Autres propriétés? 4. Quelle est la différece etre CP "brutes" et "ormalisées"? 5. Ecrire explicitemet le système de relatios etre les CP et les variables "brutes" 6. Représeter graphiquemet les axes des CP «brutes» das le pla (x,x). [*] 7. Exprimer les régressios liéaires de x x et de x x, respectivemet. 8. Tracer les deux droites de régressio das le pla (x,x). Sot-elles cofodues? (et pourquoi?). [*] NB : das le cas réel, o aalyse le uage de poits-observatios das le pla des premières CP : (CP,CP) ou (CP,CP3)

Total size of gaussia data vectors [x],[x]:... N= 000 Iput correl coeff of gaussia vectors [x],[x]: rho = -0.5000 Computed correl coefficiet of gaussia vectors: rho = -0.507 Iput meas of gaussia vectors [x],[x]: Mu = 0 Mu = 0 Computed meas of gaussia vectors : mu = -0.038 mu = 0.0037 Iput std.dev. of gaussia vectors: Sigma =.0 sigma =.0 Computed std.dev. of gaussia vectors:.., sigma =.03 sigma =.034 Covariace matrix of raw data [x x] : C =.063 -.058 -.058 4.0943 Covariace matrix of ormalized data [x x] :... CY =.0000-0.507-0.507.0000 Raw data : Rotatio matrix=eigevectors [v v]:.. V = -0.9539-0.300-0.300 0.9539 Norm.data: Rotatio matrix=eigevectors [u u]:.. UY = -0.707-0.707-0.707 0.707 Raw data: Covar matrix of pricipal compo.[z z]: CZ = 0.7303 0.0000 0.0000 4.47 NormData: Covar matrix of pricipal compo.[w w]: CW = 0.498-0.0000-0.0000.507 Petes des régressios liéaires: Pete de régressio x/x :(a) = -0.995 Pete de régressio x/x :(aa=/a)= -3.8694 3

CP CP Nombre total de poits utilisés statistiquemet : Ntotal=000 ; ombre de poits tracés ici (symboles «o») : Nplot=00. 4

DIAGONALISATION (x) EN MATLAB (cf. programme STAT4ACP000.M) % Doées bi-variées e vecteurs coloes =[x x]; % Estimated meas ad stadard deviatios mu=mea(x); sigma=std(x); mu=mea(x); sigma=std(x); % Cxx = x covariace matrix Cxx=cov(); % Estimated correlatio coefficiet rho=(cxx(,)/sigma)/sigma; % Eigevectors & eigevalues of Cxx [Pxx,Dxx]=eig(Cxx); % Extractio & ormalisatio des vecteurs propres :Pxx v=pxx(:,); v=pxx(:,); v=v./orm(v); v=v./orm(v); Pxx=[v v]; % Les valeurs propres «Lambda(i)» sot stockées das la diagoale de la matrice Dxx. % Il reste à ré-ordoer les valeurs propres, et les vecteurs propres associés, par ordre de valeurs propres décroissates 5

HYDROLOGIE STATISTIQUE : TD() TD-Exo. : A.C.P. (Aalyse e Composates Pricipales) Objectifs: L objectif est d utiliser des doées réelles pour s iitier à l Aalyse e Composates Pricipales, et réfléchir aux utilisatios possibles de l ACP. L exercice proposé permet d illustrer la théorie et d apercevoir les possibilités de l ACP mais o e cherche pas ici à faire u développemet exhaustif, i de la théorie de l ACP, i de ses ombreuses modalités d applicatios pratiques. Doées: O dispose de doées hydrométriques e 6 statios Pyrééees : «écoulemet mesuel» (mm), pour le mois de mai, etre les aées 950 à 97. Ces doées sot (judicieusemet) présetées sous la forme d ue matrice rectagulaire, appelée la matrice «observatios-variables» (3 liges 6 coloes). Ici, les observatios sot les aées {i =,, N}, et les variables sot les statios de jaugeage {j =,, P}, avec N = 3 et P = 6.

Questios. Calculs. Questio préalable : quelle est la sigificatio de la variable hydrologique aalysée (débit «Q» -- ou débit spécifique «q»)? A quel type de ormalisatio des débits cela correspod-il?. Momets simples. Calculer la moyee, la variace et l écart-type de chaque variable (e utilisat directemet les doées, ou bie ecore, les sommes Σ doées e aexe)..3 Matrice de corrélatio. Calculer la matrice de corrélatio (i.e., la matrice de covariace des variables réduites). Remarques?.4 Diagoalisatio de la matrice de corrélatio. Afi d alléger les calculs, o doe e aexe la matrice diagoale D et la matrice de passage P. E déduire les valeurs propres, aisi que les vecteurs propres ou «composates pricipales». Note. Par défiitio, la matrice P trasforme le repère iitial e u repère pricipal, das lequel la matrice de corrélatio deviet diagoale. Les variables hydrologiques trasformées, i.e., exprimées das le ouveau repère dit «pricipal», y sot doc o corrélées.. Aalyses et applicatios. Motrer que, das le cas préset, la CP représete les six variables avec u poids à peu prés égal pour toutes. Note. O peut e coclure que la CP a pas doc de caractère discrimiat très marqué. De ce fait, bie que so poids explicatif soit importat, o étudiera plutôt le comportemet et le rôle hydrologique des autres CP à coditio cepedat qu elles aiet u poids suffisat.. Calculer le % de variace expliquée par les K premières CP, e faisat varier K de à 6. E déduire que l o e perd que quelques % d iformatio e élimiat les CP4, CP5 et CP6..3 La figure représete les 6 statios de jaugeage de débits (variables,,6) das le pla des (CP,CP3). Y a-t-il des regroupemets possibles? Que pouvez e déduire?

TABLEAU. Ecoulemet de Mai (mm) e 6 statios des Pyréées pour les aées 950-97 Aée Observatio N (j) Naguilhes (j) Laoux (j) Izourt 3(j) Gioure 4(j) Caillaouas 5(j) Bleu 6(j) 950 3 80 450 450 39 63 95 8 55 355 337 7 0 95 3 46 344 39 376 306 5 953 4 479 370 503 490 387 34 954 5 33 50 358 334 93 6 955 6 379 60 88 69 43 35 956 7 43 35 476 505 380 44 957 8 54 4 5 97 37 37 958 9 53 400 567 590 56 337 959 0 440 340 337 364 38 37 960 478 370 4 44 58 34 96 43 39 365 386 33 4 96 3 359 94 33 358 74 60 963 4 95 7 38 305 08 04 964 5 464 360 38 45 597 406 965 6 366 85 45 48 8 39 966 7 47 353 478 489 377 3 967 8 383 30 396 404 5 66 968 9 370 30 43 449 4 95 969 0 47 359 403 447 37 8 970 334 38 393 400 97 87 97 447 370 47 459 348 70 97 3 73 4 3 335 05 78 3

ANNEE : Résultats statistiques itermédiaires (pour faciliter les calculs de momets le cas échéat) Nombre d observatio N=3 (ombre de variables P=6) Σ = 8686 Σ = 6866 Σ 3= 9066 Σ 4= 98 Σ 5= 755 Σ (-m)²=.93e+005 (mi est la moyee de i) Σ (-m)²=.36e+005 Σ (3-m3)²=.3704e+005 Σ (4-m4)²=.609e+005 Σ (5-m5)²=.903e+005 Σ 6= 4064 Σ (6-m6)²=.05e+005 Soit Yi la variable réduite de i, o doe les sommes suivats : Σ (Y Y)=.795 Σ (Y3 Y4)=.33 Σ (Y Y3)= 3.9988 Σ (Y3 Y5)= 0.409 Σ (Y Y4)= 5.466 Σ (Y3 Y6)= 6.863 Σ (Y Y5)= 4.7579 Σ (Y4 Y5)=.766 Σ (Y Y6)= 4.007 Σ (Y4 Y6)= 7.8448 Σ (Y Y3)= 3.963 Σ (Y5 Y6)= 0.60 Σ (Y Y4)= 4.9980 Σ (Y Y5)=.7056 Σ (Y Y6)=.6087 Soit CY la matrice de covariace de Y. La matrice diagoale de CY est : 0.0 0 0 0 0 0 0 0.05 0 0 0 0 0 0 0.07 0 0 0 0 0 0 0.554 0 0 0 0 0 0.3 0 0 0 0 0 0 4.08 La matrice de passage P est : 0.646-0.37 0.3-0.473 0.03 0.45-0.585 0.67-0.38-0.6-0.066 0.48-0.340-0.49 0.35 0.383-0.489 0.388 0.3 0.648-0.88 0.83-0.443 0.44 0.045-0.33-0.646 0.350 0.447 0.40-0.58 0.335 0.575 0.03 0.60 0.360 4

ACP : ORGANIGRAMME METHODOLOGIQUE (versio prélimiaire) NB : A gauche : variables cetrées réduites (moyee ulle et variace uité) ; et à droite : variables cetrées mais pas réduites (variaces brutes).

CHAP. 3

Cours «Hyd.Stat.» 3Hy 005-06 Idetifiat = HY3ASE303 Hydrologie Statistique Chapître 3 (A): PROCESSUS HYDROLOGIQUES (Chroiques Hydrologiques et Processus Aléatoires Autocorrélés) R. Ababou : ababou@imft.fr Hydrologie Statistique 005-06 (R.Ababou, A. Al-Bitar) PLAN du CHAPITRE 3 (PROCESSUS HYDROLOGIQUES) 3.A. Bases de l aalyse statistique des séries chroologiques cosidérées comme des processus aléatoires temporels autocorrélés ; exemples de chroiques issues de mesures hydrométéorologiques (et hydrogéologiques) ; modélisatio de sries autocorrélées (processus AR, ARMA, ). 3.B. Aalyse corrélatoire croisée, systèmes etrée/sortie, modèle de covolutio statistique, et applicatio à l aalyse et à la recostructio de chroiques pluies-débits ; voir Travaux Dirigés : idetificatio statistique d ue foctio de trasfert pluie-débit (Hydrogramme Uitaire Statistique). [Estimatio géostatistique (x,y) : selo les aées(*)]. NB(*) : Selo les aées, o pourra étudier e «projet» u problème d estimatio géostatistique (variables régioalisées), ou ecore, de modélisatio et recostructio de chroiques hydro(géo)logiques (pluies, débits, ). BIBLIO./DOCS : Bras R. et I.Rodriguez-Iturbe: «Radom Fuctios i Hydrology», Dover, NY. http://rachid.ababou.free.fr Hydro.Stat Proba.Stat. Hydrologie Statistique 005-06 (R.Ababou, A. Al-Bitar)

PLANNING DES TRAVAU DIRIGES (A TITRE INDICATIF) Date N o. TD Chap. Ititulé & coteu du TD TD /4 I.A ; I.B Crues auelles, crues rares, temps de retour (Garoe ; Oued Mdez). TD /4 II. Recostitutio et critique de doées pluviométriques par corrélatio et régressio etre statios ; et/ou : Corrélatios multiples & Aalyse e Composates Pricipales pour l étude des redodaces etre statios hydrologiques. Chap.3 TD 3/4 III. Idetificatio (décovolutio) statistique de la foctio de trasfert pluie-débit e temps discret, durée fiie : formulatio algébrique et applicatio de la théorie... Chap.3 TD 4/4 III. Mii Bureau d Etude. Utilisatio de programmes MATLAB e salle iformatique pour la décovolutio umérique pluie-débit (Hydrogramme Uitaire Statistique) avec des doées réelles. RAPPEL : Ue étude de cas sera traitée e «projet» (selo les aées), soit sur u problème d estimatio géostatistique (variables régioalisées), soit sur la recostructio de chroiques hydrologiques (processus aléatoires, HU statistique ). Hydrologie Statistique 005-06 (R.Ababou, A. Al-Bitar) 3 CHRONOLOGIE COURS/TD POUR 005-06 (m.à.jour : 9 Nov.05 + 9 Ja.06) Séace=«S» ; Cours=«C» ; Travaux Dirigés=«TD», Bureau d Etude=«BE» S : C : Nov.005 : RA : Itro. hydro. stat : doées; modèles stat. S : C : RA : Ch.0 : Bases proba-stat & Ch. : Aalyse Uivar. S3 : C3 : RA : Ch. suite/fi: Aalyse Uivariée + loi Poisso S4 : TD : AA : Crues historiques Garoe (H) : Gumbel, Poisso S5 : C4 : RA : Ch. : Aalyse Multivariée (tout) S6 : TD : AA : Aalyse multivar & ACP / Q mesuels e 6 statios S7 : C5 : Mar0JAN06 0-h : RA : Ch.3 : Bases / Process.Aléat. ; Autorégress. S8 : C6 : Mar7JAN06 0-h : RA :Ch.3 fi : Covar.croisée ; H.U.stat. P(t) Q(t) S9 : TD3 : Mer8JAN06 8h-0h : AA(RA): Idetif HU P(t) Q(t): calculs algébriques S0: TD4+BE (*): Mar4JAN06 8h-0h : RA&AA : Implémetatio umérique e MATLAB : idet. HU stat. P(t) Q(t) & recostitutios de chroiques de débits. (*) Le derier TD du 4 Javier se déroulera e salle machie C06, et fera l objet d u compte-redu de BE, à titre de cotrôle, à remettre au secrétariat Hydraulique au 3 Jav. 006. Hydrologie Statistique 005-06 (R.Ababou, A. Al-Bitar) 4

Cours «Hyd.Stat.» 3Hy 005-06 Idetifiat = HY3ASE303 Hydrologie Statistique Chapître 3 (A): PROCESSUS HYDROLOGIQUES (Chroiques Hydrologiques et Processus Aléatoires Autocorrélés) R. Ababou : ababou@imft.fr Hydrologie Statistique 005-06 (R.Ababou, A. Al-Bitar) CHAPITRE 3 : PROCESSUS HYDROLOGIQUES 3.A. CHRONIQUES HYDROLOGIQUES, PROCESSUS AUTOCORRELES (BASES) Exemples de chroiques hydrologiques, météorologiques, hydrogéologiques : pluies ; débits ; iveaux d eau ; piézométries ; pressio atmosphérique ; température ; Bases statistiques et probabilistes (théorie) : aalyse de processus physiques temporels comme des processus aléatoires autocorrélés (e temps cotiu ; e temps discret) Modélisatio de séries autocorrélées : les processus modèles de type AR, ARMA, etc. Cas particulier : formulatio et idetificatio d u processus AR (Auto-Régressif d Ordre ) e temps discret. Biblio de base : Bras R. et I.Rodriguez-Iturbe: «Radom Fuctios i Hydrology», Dover, NY. http://rachid.ababou.free.fr Hydro.Stat Proba.Stat. Hydrologie Statistique 005-06 (R.Ababou, A. Al-Bitar)

COMPARAISON DE CHRONIQUES PLUIES DEBITS AU SRI LANKA : Précipitatio (mm) et débit spécifique (mm) sur 4 aées (974-77) ; les chroiques jouralières ot été agrégées par quizaie ( t = 5 j)

Exemples de Chroiques Hydrologiques (rappels : revoir itroductio du cours Ch.0) Résumé. Cette sectio. 60 Raifall Rates (Aliou) 40 0 0 0 500 000 500 000 500 3000 3500 4000 time i hours Ruoff Rates (Aliou) 6 4 0 0 500 000 500 000 500 3000 3500 4000 time i hours Pluies & débits semi-horaires (Aliou) Hydrologie Statistique 005-06 (R.Ababou, A. Al-Bitar) 3 Exemples de Chroiques Hydrologiques (rappels : revoir itroductio du cours Ch.0) Hydrologie Statistique 005-06 (R.Ababou, A. Al-Bitar) 4

Exemples de Chroiques Hydrologiques (rappels : revoir itroductio du cours Ch.0) Hydrologie Statistique 005-06 (R.Ababou, A. Al-Bitar) 5 Itroductio aux Processus Aléatoires (t) ou (t) Résumé. Cette sectio comporte des schémas et graphiques illustrat qualitativemet le cocept de Foctio Aléatoire (FA), et les propriétés importates de statioarité et d ergodicité, à travers le cas particulier des processus aléatoires, ou processus stochastiques (t). Toutes ces défiitios et propriétés serot reprises plus précisémet par la suite. Hydrologie Statistique 005-06 (R.Ababou, A. Al-Bitar) 6

Itroductio aux Processus Aléatoires (t) suite Hydrologie Statistique 005-06 (R.Ababou, A. Al-Bitar) 7 Processus aléatoire (t) : défiitio Soit ue foctio (t) (t IR ou IR+) : (t) est ue foctio ou processus aléatoire si pour chaque temps t fixé (t ) est ue variable aléatoire. Le processus (t) est etièremet caractérisée (e probabilité) si l'o coaît la desité de probabilité (d.d.p) joite multivariée de toute collectio fiie (vecteur) = {(t ), (t ),, (t i ),, (t N )}, ceci le choix des {t i } et N fii. Processus gaussie : défiitio U processus aléatoire (t) est dit gaussie si toute collectio fiie = {(t ), (t ),, (t i ),, (t N )} forme u vecteur aléatoire gaussie, ceci le choix des {t i } et N fii. Le vecteur a doc ue d.d.p (PDF) multivariée gaussiee. Das ce cas, le processus est complètemet caractérisé par sa moyee et sa foctio d'autocovariace (voir plus loi). Hydrologie Statistique 005-06 (R.Ababou, A. Al-Bitar) 8

Momets d'u processus (t) Momet d'ordre e poit : Momet d'ordre e poit : Momet d'ordre e poits: Moyee E((t)) = m (t) Variace Var((t)) = σ (t) Auto-Covar C (t',t") = Cov((t'),(t")) Remarques / Rappels: Momets d ordre : Var(x)=E((x-m x ) ), Cov(x,y)=E((x-m x )(y-m y )) C (t,t) = σ (t). Momets d ordre > : Les prochais momets à défiir sot ceux d'ordre 3 [e,, et 3 poits]. Pour u processus gaussie, il suffit de coaître les momets jusqu'à l'ordre. Même si le processus 'est pas gaussie, o se cotete souvet de l ordre. Le momet d'ordre 3 e poit, ormalisé par σ 3, doe le coeff. d'asymétrie γ qui quatifie l'asymétrie de la d.d.p e poit (f ) de (t). Le processus (t) peut être gaussie si γ << (coditio écessaire, o suffisate). Hydrologie Statistique 005-06 (R.Ababou, A. Al-Bitar) 9 Processus statioaire U processus aléatoire (t) est dit "statioaire" ou ecore "homogèe" (statistiquemet) si ses momets sot ivariats par traslatio du temps (ivariace / t t+to) Statioarité stricte Tous les momets d'ordre,,,n ( N fii) sot ivariats Statioarité d'ordre O se cotete souvet de supposer l'ivariace (statioarité) des momets d'ordre et. La statioarité d'ordre implique : Moyee : E((t)) = m costate ( t) Variace : Var((t)) = σ costate ( t) Auto-Covariace : Cov((t'),(t")) = C (t"-t') = C (τ), ( t', t", t"-t'=τ) Aisi, pour u processus statioaire d'ordre : L'autocovariace e istats (t',t") e déped que du délai τ = t"-t'. Au délai ul τ = 0, l autocovariace se réduit à la variace : C (0) = σ costate. Efi, si (t) est gaussie, la statioarité d'ordre implique la statioarité stricte. Hydrologie Statistique 005-06 (R.Ababou, A. Al-Bitar) 0

No-statioarité : exemples de processus o-statioaires Si le processus Y S (t) est statioaire de moyee ulle, les processus (t) cidessous sot o-statioaires : (t) = a 0 + b 0 t + Y S (t) ; dérive liéaire e moyee (t) = m 0 + t Y S (t) ; variace croissat liéairemet (t) = m 0 + e -bt Y S (e at ) ; Cepedat, das l exemple ci-dessus, les processus (t) peuvet être rameés à des processus statioaires par u démoyeage ou u filtrage approprié Hydrologie Statistique 005-06 (R.Ababou, A. Al-Bitar) Hypothèse d'ergodicité Pour u processus statioaire, l'hypothèse d'ergodicité pose l'équivalece etre moyee d'esemble (espérace math.) et moyee temporelle (ou spatiale) sur u domaie ifii, soit : m E( () t ) m = () s T T lim ds T = costate 0 Plus précisémet, l'équivalece doit être postulée pour chaque momet "utile" (selo les applicatios evisagées) : ergodicité pour la moyee m (ci-dessus), mais aussi ergodicité pour la variace σ : ( ) T T T 0 σ ( () ) E t m = lim ( () s m ) σ ds = costate et ergodicité pour l'auto-covariace C (τ) (foctio du délai τ) : C ( ) E( ( ( t) m )( ( t + τ ) m )) C τ T τ ( τ ) = ( () s m )( ( s + τ ) m ) lim ds T T τ = foctio du délai(τ). 0 Hydrologie Statistique 005-06 (R.Ababou, A. Al-Bitar)

Echatilloage d u processus ergodique Si le processus (t) est statioaire et ergodique, les momets peuvet doc être estimés «sas biais» à partir de prises de moyees temporelles sur ue réalisatio uique du processus - à coditio de disposer d'ue plage d'observatio T suffisammet logue (T )! E pratique, c est ce qu o fait souvet e hydrologie (moyee temporelle, variace temporelle, etc) Limitatios de l hypothèse d ergodicité / processus réels Pour pouvoir appliquer l'hypothèse d'ergodicité, il faut que T >> τ 0, où τ 0 est ue échelle caractéristique de fluctuatio telle que la logueur itégrale d'autocorrélatio (ci-dessous...). Efi, pour tester la validité de l'hypothèse d'ergodicité, il faudrait d'abord géérer ou disposer de multiples réalisatios du processus (t) Hydrologie Statistique 005-06 (R.Ababou, A. Al-Bitar) 3 Foctios d'auto-corrélatio Foctio d'autocorrélatio R : défiitio R (τ) = C (τ) / σ Propriétés de R (τ) - R (τ) +, τ IR R (τ) est paire : R (-τ) = R (+τ) R (0)= et R (± ) 0 Exemples de foctios d'autocorrélatio Expoetielle : R (τ) = exp(- τ /τo) [irrégulier, o différetiable] Gaussiee : R (τ) = exp(-(τ/τ 0 ) ) [très régulier & différetiable tat qu o veut] Bruit blac : R (τ) = c 0 δ(τ) [pathologique mais très utile! voir plus loi] Hydrologie Statistique 005-06 (R.Ababou, A. Al-Bitar) 4

Foctios d'auto-corrélatio (suite) Echelle itégrale d'autocorrélatio (τ * ) τ * = R 0 ( τ ) dτ Exemple cas d u processus (t) à autocorrélatio expoetielle Pour la foctio d'autocorrélatio expoetielle R (τ)=exp(-τ/τ 0 ), o obtiet : τ = * τ 0 O voit que le temps caractéristique τ 0 représete das ce cas l échelle itégrale d autocorrélatio du processus (t). Autres échelles de fluctuatio O peut défiir d autres échelles de fluctuatio (voir les processus ati-corrélés : cas de l'autocorrélatio gaussiee à trou) Hydrologie Statistique 005-06 (R.Ababou, A. Al-Bitar) 5 Processus (t) e temps cotiu / Processus (t) e temps discret O a choisi jusqu ici de préseter les caractéristiques des processus autocorrélés e temps cotius, plutôt qu e temps discret Pour u processus aléatoire à temps discret, remplacer toutes les itégrales temporelles par des sommes discrètes. Il est cepedat parfois très commode de cotiuer à raisoer e temps cotiu avat de passer i fie à la formulatio e temps discret ( ). Hydrologie Statistique 005-06 (R.Ababou, A. Al-Bitar) 6

Auto-corrélatios de débits spécifiques jouraliers : statio de Jesmi, Gi Gaga, Sri Laka. Etude : R.Ababou & K.Desos, 000. 50 jours = mois Hydrologie Statistique 005-06 (R.Ababou, A. Al-Bitar) 7 Auto-corrélatios de débits spécifiques bi-mesuels (débits jouraliers agrégés sur des quizaies) : statio de Jesmi, Gi Gaga, Sri Laka. Etude : R.Ababou & K.Desos, 000. 50 quizaies = as Hydrologie Statistique 005-06 (R.Ababou, A. Al-Bitar) 8

Iterprétatio de foctios d autocorrélatio (débits Sri Laka) Les figures ci-dessous représetet les foctios d autocorrélatio des débits jouraliers ( t=j) et des débits bi-mesuels ( t=5 j) e ue même statio, les débits bimesuels état obteus par itégratio des débits jouraliers sur des périodes successives de 5 jours. Cette aalyse statistique a été effectuée das le cadre d ue étude sur la régioalisatio des débits das u bassi versat du Sri Laka (ici la statio de jaugeage de Jesmi).. Commeter et iterpréter la foctio ρ QQ (τ) jouralière. Commeter et iterpréter la foctio ρ QQ (τ) bi-mesuelle 3. Comparer jouralière/bimesuelle ; remarques ; coclusios. NB : Cf. questios de cotrôle 004-05. 50 jours = mois 50 quizaies = as Echelle des délais : -50 à +50 jours Echelle des délais : -50 à +50 quizaies Hydrologie Statistique 005-06 (R.Ababou, A. Al-Bitar) Iterprétatio de foctios d autocorrélatio (débits Sri Laka) Le graphe (xx) motre la foctio d auto-corrélatio des débits agrégés à 5 jours (débits bimesuels ) pour u fleuve du Sri-Laka. Le pas de temps utilisé est égal à la période d agrégatio ( t = 5j = quizaie). O a reproduit ici la foctio d autocorrélatio des débits sur u délai total de ±50 quizaies (eviro deux aées). O ote que les autocorrélatios positives alteret avec les autocorrélatios égatives (aticorrélatio). E fait, la périodicité de la foctio d autocorrélatio reflète les périodicités de la chroique à différetes échelles de temps (seules les échelles de temps comprises etre 5 jours et as sot visibles ici): autocorrélatio périodique itersaiso (semestrielle) et iterauelle (auelle). Ces périodicités sot imparfaites (car ρ oscille pas etre - et +), mais elles sot statistiquemet sigificatives : de l ordre de ±30% auellemet, et de l ordre de ±5% e périodicité semi-auelle (semestrielle). Ces deux périodicités sot dues au régime à deux moussos qui caractérise la régio étudiée. E dehors de ces deux périodicités remarquables, o remarque que la corrélatio etre deux délais successifs (deux quizaies successives) est relativemet forte (ρ +0.5) mais dimiue très ettemet au troisième délai : ρ 0 (ou faible) pour u délai τ 3 5 jours (u mois et demi). Les débits agrégés bimesuels sot doc peu corrélés au pas de temps 5 jours, leur autocorrélatio deveat quasi-ulle pour u délai supérieur ou égal à u mois et / ceci à coditio de séparer l effet périodique des moussos discuté + haut. NB: Cette aalyse a aussi été appliquée aux statios pluviométriques de la même régio; elle permet de tirer des coclusios similaires cocerat les pluies agrégées bimesuelles. Hydrologie Statistique 005-06 (R.Ababou, A. Al-Bitar)

Modèle de processus aléatoire autorégressif du er ordre (AR) t = ε = ρ + sε + 0 : = 0 = 0; ε ε = δ + m m = ( t); ε = ε ( t); t = t ρ = R ( τ) avec τ = t ; R C ( τ ) ( τ ) = = C (0) C σ ( τ ) s = σ ρ σ = Var ) = ( = i= N i N ( ) i Applicatios possibles : prédictios à court terme (alerte crues/iodatios); géératio de chroiques (débits); recostitutios de doées (comblemet de lacues)

Processus aléatoires e temps discret : modèles de processus de type «ARMA» (auto-régressif AR, movig average MA) Itroductio différets modèles de processus aléatoires E costructio. Processus puremet aléatoire e temps discret : le bruit blac e temps discret (rappels - voir bruit blac e temps cotiu) Ue classe de processus e temps discret : les processus ARMA. Applicatio au traitemet du sigal e électroique et télécommuicatios, géophysique du globe, hydro-météorologie, etc. Théorie des systèmes dyamiques liéaires stochastiques : e temps cotiu ; e temps discret. Choix des exemples : le processus AR d ordre, et le processus MA Combiaisos AR-MA et gééralisatios : les processus de classe ARMA, ARIMA, ARMA Approfodissemets : voir référeces (Box & Jekis ; Gelb ; Bras & Rodriguez-Iturbe ; R.A.). Etude du modèle AR : processus Auto-Régressif d ordre Le modèle AR est développé ci-dessous (aalysé plus e détail e classe : Cours ou TD). Hydrologie Statistique 005-06 (R.Ababou, A. Al-Bitar) Etude du modèle AR : processus Auto-Régressif d ordre Le modèle AR est développé ci-dessous (aalysé plus e détail e classe : Cours ou TD). Itroductio. Le modèle auto-régressif d ordre (AR) cosiste à supposer que le processus étudié (par exemple ue chroique de débit ou de hauteur d eau) est régi e temps discret par ue équatio de la forme : + = ρ + sε + ( état le ombre de pas de temps), ou ecore (otatio de Box et Jekis reprise par Bras et Rodriguez-Iturbe) : Z + t = φ Zt at («t» état alors ici le temps discret ). Ce modèle géère u processus Zt qui peut être statioaire ou o. Cepedat, il existe ue coditio iitiale telle que le processus soit statioaire. Das ce ca, la variace du processus est écessairemet costate et égale à : σ σ a Z = φ, et de plus, o motre égalemet que le paramètre φ est égal à l autocorrélatio ρ du processus pour u délai uitaire (τ = t) : φ = ρ où, par défiitio : ( Z( t + t), Z( t) ) C ( t) Cov ZZ = = = ρ σ σ ρ Z Z Noter que ρ est ecore appelée «oe-lag correlatio». ( t) Hydrologie Statistique 005-06 (R.Ababou, A. Al-Bitar) ZZ.

Etude du modèle AR : processus Auto-Régressif d ordre (SUITE) AR : Relatio t-discret (AR) t-cotiu (Lagevi) Rappelos que le modèle auto-régressif d ordre (AR) est e temps discret (t = t). O peut motrer (*) e passat à la limite t 0, que le processus AR est équivalet au modèle de Lagevi, selo lequel le processus (t) est régi e temps cotiu a l équatio différetielle stochastique : d «Lagevi» : + λ ( 0 t) = σ f ( t) dt 0 pour t 0 ; et (0) = 0. Le forçage f(t) est u bruit blac uitaire gaussie d autocovariace : C ff (τ) = δ(τ). Et g(t)=σ 0 f(t) est u bruit blac o-uitaire d itesité c 0 = σ 0 : C gg (τ) = c 0 δ(τ). La coditio iitiale détermiiste (0) = o = 0 fait que (t) est pas statioaire aux temps courts ; mais pour t, (t) ted quad même vers u processus statioaire de moyee ulle et de covariace : C (t,t+τ) (σ 0 / λ 0 ) exp(-λo. τ ) si t >> τo, avec τo =/λo, où τo =/λo est le temps d autocorrélatio du processus de Lagevi (t). Si l o pred comme coditio iitiale ue variable aléatoire o de moyee ulle et de variace (σ 0 / λ 0 ), le processus de Lagevi est alors statioaire ( t). Ceci est tout à fait aalogue au cas du processus AR e temps discret. Hydrologie Statistique 005-06 (R.Ababou, A. Al-Bitar) 3 Etude du modèle AR : processus Auto-Régressif d ordre (SUITE) d «Lagevi» : + λ ( 0 t) = σ f ( t) dt 0 pour t 0 ; et (0) = 0. Hydrologie Statistique 005-06 (R.Ababou, A. Al-Bitar) 4

Etude du modèle AR : processus Auto-Régressif d ordre (SUITE) AR : Relatio t-discret (AR) t-cotiu (Lagevi) (SUITE) Démostratio abrégée de l équivalece AR/Lagevi. Partos d u processus de Lagevi e temps cotiu, et voyos ce qu il deviet après discrétisatio temporelle (itégratio de Lagevi sur des pas de temps t fiis) : d dt + λ t) =σ f ( )? 0 ( 0 t PROCESSUSde LANGEVIN? + = ρ + sε + PROCESSUS << AR>> E itégrat doc l éq. de Lagevi etre t() et t(+), o aboutit à u schéma de type différeces fiies explicites (schéma d Euler «avat») : O peut calculer la variace du d membre de cette équatio discrète (le d membre est le bruit blac itégré etre t() et t(+)) : cette variace est égale co/ t. E remaiat l équatio aux différeces obteue, o voit fialemet qu elle est bie de la forme de l équatio autoregressive AR e temps discret, avec les paramètres : s = 0 c t ρ = + ( λ t ) ( λ ) t Remarques : ( t) le paramètre ρ est toujours compris das l itervalle [-,+]. Aisi, ρ peut être iterprété comme u «lag-oe correlatio» ( t) ; de plus, cette corrélatio ρ peut être positive ou égative, selo le pas de temps t utilisé. A l iverse e faisat maiteat tedre t 0, o voit que le processus AR ted bie vers u processus de Lagevi (C.Q.F.D). Hydrologie Statistique 005-06 (R.Ababou, A. Al-Bitar) 5 Etude du modèle AR : processus Auto-Régressif d ordre (SUITE) Extesios (e costructio) Formulatio AR / Thomas-Fierig. Le modèle de Thomas-Fierig est, simplemet, le modèle AR formulé comme suit (formulatio équivalete aux précédetes, sauf que le processus peut avoir plus gééralemet ue moyee µ o ulle) : t ( t µ ) + σ. Wt µ = ρ.. ρ (t est ici le temps discret) Modèle o-statioaire saisoier de Thomas-Fierig. Cette gééralisatio du modèle AR cosiste à redre la moyee, la variace et la corrélatio lag-oe (ρ ) dépedates de la «saiso» : le modèle est alors o-statioaire de type saisoier. L autocorrélatio du processus déped o seulemet du délai τ (lag-oe : τ = t) mais aussi de la saiso (j-ème saiso de l aée). Ce modèle AR-saisoier s écrit : m = ρ t =. t j =,..., J ( m ) + σ.. W t, j j, j. t, j j j ρ, j t, j Le paramètre (ρ,j ) est l autocorrélatio «lag-oe» etre saisos (j-) et (j). Le processus ( t,j ) représete le débit au temps discret (t) das la saiso (j). Si J est la derière saiso de l aée (J=4), o pose : t,j+ = t+,. Aée (t-) Aée (t) Saiso j= Saiso j= Saiso j=3 Saiso j=4 Saiso j= Saiso j= Saiso j=3 Saiso j=4 Hydrologie Statistique 005-06 (R.Ababou, A. Al-Bitar) 6

Hydrologie Statistique 005-06 (R.Ababou, A. Al-Bitar) 7 Etude du modèle AR : processus Auto-Régressif d ordre (SUITE) Caractérisatio et idetificatio statistique du processus AR O étudie ici les propriétés statistiques du modèle auto-régressif d ordre (AR), ce qui mèe à démotrer ue coditio de statioarité, et à obteir ses propriétés statioaires (variace, autocovariace). Ue fois coue cette caractérisatio théorique, il deviet possible, par comparaiso/ajustemet, d essayer d idetifier ue chroique hydrologique réelle à u processus de type AR. Equatio du processus AR : = = + = + + 0 : 0 t s ε ρ Notatios : ( ) ( ) t t t t = = =. ; ; ε ε Moyee : ( ) 0 0 s + + + + + = + = + = ρ ρ ε ρ = 0 0 ( ) = 0 Hydrologie Statistique 005-06 (R.Ababou, A. Al-Bitar) 8 Etude du modèle AR : processus Auto-Régressif d ordre (SUITE) Caractérisatio et idetificatio statistique du processus AR (SUITE) Covariace :... m = Si m >, posos m = +k avec k = m- > 0 : k m + = Calcul auxiliaire : = = + + + + = k j j j k j k k s. ε ρ ρ = = + + + = = + + + + = + = k j j j k j k k k j j j k j k k s s.. ε ρ ρ ε ρ ρ ) ( 0 + = + + j k j k ε E effet, les e dépedet pas des ε m futurs (m>) = + k k ρ m m = ρ m>

Hydrologie Statistique 005-06 (R.Ababou, A. Al-Bitar) 9 Etude du modèle AR : processus Auto-Régressif d ordre (SUITE) Caractérisatio et idetificatio statistique du processus AR (SUITE) Covariace (suite):... m = Si m <, posos m = -k avec k = -m > 0 : O obtiet de même après calculs. = + k k ρ m m = ρ m< Covariace (fi) : O obtiet doc fialemet : ( ) m< : ( ) ( ) ( ) m m m t t Var, mi = ρ Variace. Il reste à calculer la variace de. Ré-utilisos la formule : = = + + = j j j j k s 0. ε ρ ρ ( ) 0 0 0 0.. = = + = = + + = + = = j j j j j j j j k s s Var ε ρ ρ ρ ε ρ ρ Hydrologie Statistique 005-06 (R.Ababou, A. Al-Bitar) 30 Etude du modèle AR : processus Auto-Régressif d ordre (SUITE) Caractérisatio et idetificatio statistique du processus AR (SUITE) Variace. Il reste fialemet à calculer la variace de. Ré-utilisos la formule : = = + + = j j j j k s 0. ε ρ ρ ( ) 0 0 0 0...... + + = = = = = = + = = + + + = + = = j i j i i j j i j j j j j j j j k s s s Var ε ε ρ ρ ε ρ ρ ρ ε ρ ρ 0 0 o = σ 0 0 = j+ ε car o e déped pas des ε futurs j i j i, δ ε ε = + + par costructio (δ ij = symbole de Kroeker)

Etude du modèle AR : processus Auto-Régressif d ordre (SUITE) Caractérisatio et idetificatio statistique du processus AR (SUITE) Variace (suite). Avec ε i+ ε j+ = δi, j, la double somme se réduit à ue simple somme (série géométrique), et tous les autres termes disparaisset. i ρ i E utilisat alors l idetité ρ = ρ ρ, o obtiet : Var = i= ρ ( ) = ρ σ o + s ρ Coditio de statioarité sur la variace. O voit que la variace du processus AR est e géral o-statioaire sauf si l o chosit la variace iitiale (σ o ) telle que le processus soit statioaire. Ce choix existe ; o peut le voir e cherchat à auler le terme qui déped de (ρ ) : Var ρ ρ ( ) = ρ σ o s + s σ = s ρ o. La variace du processus est alors bie cstate : Var s ρ ( ) = σ o = Hydrologie Statistique 005-06 (R.Ababou, A. Al-Bitar) 3 Exercice de cours : idetificatio d u modèle AR (AutoRégressif d Ordre ) Rappels. Défiitio d u processus AR (cf. cours) : + = ρ + sε +. Ce modèle géère u processus statioaire de moyee ulle, si o pred pour coditio iitiale 0 ue variable aléatoire de moyee ulle et de variace σ o = s /(-ρ ). O obtiet alors u processus ayat ue variace statioaire σ = s /(-ρ m ), 0, et ue autocorrélatio statioaire : ρ (, m) = ( ρ ), où et m représetet des temps discrets (ici exprimés e ombres de pas de temps). O veut utiliser u modèle AR pour géérer des chroiques de débits (Q ) jouraliers, mesuels, ou même auels, e preat par exemple Q -m Q. La ère étape idispesable est l idetificatio des paramètres du modèle AR.. Proposer ue procédure simple pour idetifier «s» et «ρ» à partir des momets empiriques de Q.. Représeter graphiquemet ( m) ρ das cas : ρ positif, ρ égatif, 3. Examier les chroiques de débits du Sri Laka (voir figures plus haut) : peuvet-elles correspodre à u modèle de type AR? Argumeter la répose das les deux cas présetés : (i) débits jouraliers ; (ii) débits bi-mesuels. Hydrologie Statistique 005-06 (R.Ababou, A. Al-Bitar) 3

Suite du CHAPITRE 3 (PROCESSUS HYDROLOGIQUES) 3.A. Bases de l aalyse statistique des séries chroologiques cosidérées comme des processus aléatoires temporels autocorrélés ; exemples de chroiques issues de mesures hydrométéorologiques (et hydrogéologiques) ; modélisatio de sries autocorrélées (processus AR, ARMA, ). 3.B. Aalyse corrélatoire croisée, systèmes etrée/sortie, modèle de covolutio statistique, et applicatio à l aalyse et à la recostructio de chroiques pluies-débits voir : Travaux Dirigés : idetificatio statistique d ue foctio de trasfert pluie-débit («Hydrogramme Uitaire statistique»). [Estimatio géostatistique (x,y) : selo les aées(*)]. NB(*) : Selo les aées, o pourra étudier e «projet» u problème d estimatio géostatistique (variables régioalisées), ou ecore, de modélisatio et recostructio de chroiques hydro(géo)logiques (pluies, débits, ). BIBLIO./DOCS : Bras R. et I.Rodriguez-Iturbe: «Radom Fuctios i Hydrology», Dover, NY. http://rachid.ababou.free.fr Hydro.Stat Proba.Stat. Hydrologie Statistique 005-06 (R.Ababou, A. Al-Bitar) 33 CHAP.3 : TRAVAU DIRIGES SUT L ANALYSE CROISEE PLUIE-DEBIT Date N o. TD Chap. Ititulé & coteu du TD TD /4 I.A ; I.B Crues auelles, crues rares, temps de retour (Garoe ; Oued Mdez). TD /4 II. Recostitutio et critique de doées pluviométriques par corrélatio et régressio etre statios ; et/ou : Corrélatios multiples & Aalyse e Composates Pricipales pour l étude des redodaces etre statios hydrologiques. Chap.3 TD 3/4 III. Idetificatio (décovolutio) statistique de la foctio de trasfert pluie-débit e temps discret, durée fiie : formulatio algébrique et applicatio de la théorie... Chap.3 TD 4/4 III. Mii Bureau d Etude. Utilisatio de programmes MATLAB e salle iformatique pour la décovolutio umérique pluie-débit (Hydrogramme Uitaire Statistique) avec des doées réelles. RAPPEL : Ue étude de cas sera traitée e «projet» (selo les aées), soit sur u problème d estimatio géostatistique (variables régioalisées), soit sur la recostructio de chroiques hydrologiques (processus aléatoires, HU statistique ). Hydrologie Statistique 005-06 (R.Ababou, A. Al-Bitar) 34

MODÈLES PLUIE DÉBIT : Idetificatio de Foctio de Trasfert - Approches Détermiiste et Statistique (A) MODÈLE PLUIE-DÉBIT DÉTERMINISTE Syoptique Abrégé (B) MODÈLE PLUIE-DÉBIT STATISTIQUE HYPOTHÈSES COMMUNES : Itégrale de covolutio causale. Système liéaire, causal, ivariat (statioaire). A0) TYPES DE DONNÉES B0) TYPES DE DONNÉES Evèemet averse-crue Isolé, bie défii. A) MODÈLE CAUSAL, FORMULATION «FORTE» Evèemets averses-crues composites, complexes. B) MODÈLE CAUSAL, FORMULATION «FAIBLE» Covolutio causale P(t) Q(t), 'admettat pas d'erreur (ε = 0) : Q( t) = t h( t s) P( s) ds 0 Solutio: Iverser le système Noyau «exact» h(t) (solutio forte). A)INTERPRÉTATION DÉTERMINISTE P(t),Q(t) processus détermiistes h(t) solutio détermiiste d'u système liéaire exactemet détermié (l erreur est ulle). Covolutio causale P(t) Q(t), admettat ue certaie erreur ε(t) : Q( t) = = t 0 h( t s) P( s) ds + ε( t) Qˆ( t) + ε( t) Solutio : Miimiser l erreur : { } Mi Var( ε ( t)) = E [ Q( t) Qˆ( t) ] Noyau «optimal» h(t) (sol.faible) B) INTERPRÉTATION STATISTIQUE P(t),Q(t) process. aléatoires statioaires h(t) solutio détermiiste d'u problème d'optimisatio statistique : miimisatio de variace d'erreur (qui reste o ulle). Hydrologie Géérale et Hydrologie Statistique / R.Ababou / Ja.998

MODÈLES PLUIE DÉBIT : Idetificatio de Foctio de Trasfert - Approches Détermiiste et Statistique A3) RÉSOLUTION DÉTERMINISTE B3) RÉSOLUTION STATISTIQUE Equatio causale e temps cotiu τ [0,T] (équatio de Wieer-Hopf) : R PQ ( τ ) h( s) R ( τ s) ds = T 0 PP, 0<τ<T, où T durée des observatios de P(t),Q(t). Equatio o-causale e temps cotiu τ [-T,+T] : + T T R ( τ ) = h( s) R ( τ s) ds PQ PP, -T<τ<T, où T durée des observatios de P(t),Q(t). Solutio de l'équatio causale e temps discret (t i ) Discrétisatio de l'équatio de covolutio avec t i =(i-) t (i=,...,n) Problème d'algèbre liéaire: système matriciel carré P H = Q, où la matrice des pluies est triagulaire iférieure (causale) Solutio directe H = P - Q par substitutio (algorithme récursif). AVANTAGES ET INCONVÉNIENTS Solutio très simple à mettre e oeuvre : système triagulaire Méthode peu robuste : mauvais coditioemet, foctios de trasfert divergetes ou égatives. Solutio de l'équatio o-causale e temps discret (τ i ) ) O discrétise l'itégrale de covolutio cidessus par s j =(j-). t, τ i =(i-). t, et T=K. t. O obtiet u système matriciel carré symétrique de taille (K+)x(K+). La matrice du système cotiet les autocovariaces des pluies R PP (τ-s). Résoudre par ue méthode appropriée. AVANTAGES ET INCONVÉNIENTS Solutio assez simple, bie que le système soit o triagulaire et dese. Méthode assez robuste, applicable à des évèemets complexes et à des chroiques logues de pluies-débits. Hydrologie Géérale et Hydrologie Statistique / R.Ababou / Ja.998

MODÈLES PLUIE DÉBIT : Idetificatio de Foctio de Trasfert - Approches Détermiiste et Statistique (A) Modèle Pluie-Débit détermiiste Syoptique Détaillé (B) Modèle Pluie-Débit statistique HYPOTHÈSES COMMUNES AU DEU MODÈLES La relatio pluie-débit est ue itégrale de covolutio causale Le système est liéaire Le système est ivariat ou statioaire Le système est causal A0) TYPES DE DONNÉES B0) TYPES DE DONNÉES Evèemet averse-crue isolé et simple, tel que les causes et les effets sot clairemet discerables. Faible ombre de doées, chroique courte permettat ue résolutio rapide du système liéaire A) MODÈLE CAUSAL, FORMULATION "FORTE": Covolutio causale P(t) Q(t), 'admettat pas d'erreur (ε = 0) : Q( t) = t h( t s) P( s) ds 0 O impose de satisfaire exactemet cette équatio pour le jeu de doées dot o dispose o doit iverser l'opérateur itégral ou la matrice correspodate pour trouver le oyau h(t). A)INTERPRÉTATION DÉTERMINISTE P(t),Q(t) sot sigaux détermiistes correspodat à u évèemet averse-crue uique et bie idetifié. h(t) est ue foctio de trasfert détermiiste, solutio d'u système liéaire (égalité stricte: solutio forte).. Série chroologique comportat u certai ombre d'évèemets averses-crues assez complexes, toute relatio causale deveat idiscerable. Grad ombre de doées et logues séries chroologiques favorisat ue approche statistique B) MODÈLE CAUSAL, FORMULATION "FAIBLE": Covolutio causale P(t) Q(t), admettat ue certaie erreur ε(t) : t Qt () = ht ( spsds ) () + ε() t = Qt $ () + ε () t 0 O cherche à satisfaire "au mieux" l'équatio de covolutio o cherche à miimiser la orme quadratique ou la variace de l'erreur : Var( ε ( t)) = E{ [ Q( t) Qˆ( t) ] }, d'où fialemet le oyau optimal h(t). B) INTERPRÉTATION STOCHASTIQUE P(t) et Q(t) sot deux processus aléatoires corrélés et statioaires (statistiquemet ivariats par traslatio). h(t) est ue foctio de trasfert détermiiste, solutio d'u problème d'optimisatio (mi. erreur: solutio faible) A3) SOLUTION DÉTERMINISTE : B3) SOLUTION STATISTIQUE : Hydrologie Géérale et Hydrologie Statistique / R.Ababou / Ja.998

MODÈLES PLUIE DÉBIT : Idetificatio de Foctio de Trasfert - Approches Détermiiste et Statistique Solutio causale e temps discret (t i ) Discrétisatio de l'équatio de covolutio avec t i =(i-) t (i=,...,n) Problème d'algèbre liéaire: système matriciel carré P H = Q, où la matrice des pluies est triagulaire iférieure (causale) Solutio directe H = P - Q obteue par substitutio (algorithme récursif). i) Solutio causale, temps cotiu τ [0,T] Miimisatio de la variace d'erreur; applicatio du pricipe d'orthogoalité etre iputs (P) et erreur (ε): R PQ ( τ ) h( s) R ( τ s) ds = T 0 PP, 0<τ<T où T durée totale des observatios (P,Q). L'équatio e temps cotiu et sa résolutio par trasformée de Laplace sot coues sous le om de Wieer-Hopf. La solutio est compliquée par la cotraite de causalité. (voir Papoulis 964). ii) Solutio o-causale, τ [-T,+T] Si o relaxe la cotraite de causalité das l'expressio statistique du problème, o obtiet la même équatio mais avec itégrale de s=-t à s=+t, et τ [-T,+T] : + T T R ( τ ) = h( s) R ( τ s) ds PQ PP, -T<τ<+T où T durée totale des observatios (P,Q). ii) Solutio o-causale e temps discret τ i O discrétise l'itégrale de covolutio cidessus par s j =(j-). t, τ i =(i-). t, et T=K. t. O obtiet u système matriciel carré symétrique de taille (K+)x(K+). La matrice du système cotiet les autocovariaces des pluies R PP (τ-s). Résoudre par ue méthode appropriée. iv) Solutio o-causale, τ [-,+ ] O peut simplifier ecore e faisat tedre la taille du domaie d'observatio vers l'ifii, d'où l'équatio équatio R PQ (τ) ci-dessus avec itégrale de s=- à s=+, et τ [-,+ ]. O obtiet alors la solutio h(τ) par Trasformée de Fourier e domaie ifii : Hydrologie Géérale et Hydrologie Statistique / R.Ababou / Ja.998

MODÈLES PLUIE DÉBIT : Idetificatio de Foctio de Trasfert - Approches Détermiiste et Statistique S H( ω) = π S PQ PP ( ω) ( ω) où H(ω) représete la TdF de h(τ), et S(ω) la TdF ou desité spectrale de R(τ). Il e reste plus alors qu'à obteir h(τ) par TdF iverse. AVANTAGES ET INCONVÉNIENTS Solutio simple à mettre e oeuvre : résolutio directe d'u système triagulaire iférieur (causal) par subsitutio avat. Méthode peu robuste. E effet : Mauvais coditioemet du système, d'où impossibilité d'obteir ue solutio umérique das les cas suivats: averse o isolée, o impulsioelle, chroiques de pluies (débits) logues, complexes, multimodales, bruitées, o-causales... Das certais des cas précédets, par exemple averse o-impulsioelle, o peut avoir ue foctio de trasfert covergete mais comportat des fluctuatios égatives o physiques. Efi, la foctio de trasfert obteue est relative à l'averse étudiée, et le procédé doit être itéré afi de predre e compte d'autres averses isolées (la méthode e dit pas commet). AVANTAGES ET INCONVÉNIENTS Solutio assez simple, bie que le système liéaire obteu soit e gééral dese, et o-triagulaire même si le modèle P(t) Q(t) est causal. Méthode relativemet robuste, applicable à des évèemets composites ou complexes et (doc) à des chroiques logues. La foctio de trasfert résulte d'ue sorte de prise de moyee statistique et e red pas compte e gééral des évèemets extrêmes et/ou fortemet o-liéaires (crues-étiages). La foctio de trasfert peut predre e compte la causalité de faço statistique, mais elle 'est pas strictemet causale au ses classique (détermiiste). Hydrologie Géérale et Hydrologie Statistique / R.Ababou / Ja.998

TD 3/4 HU F.d.Trasfert P(t) Q(t)

Doées pluies-débits semi-horaires (source karstique d Aliou)

Aliou semi-horaire w/hu-stat-5_v.m (R.Ababou, Fev.006) «HU5_Aliou93_QobsQsim_M337ZOOM3.emf» (etc.) Aliou semi-horaire w/hu-stat-5_v.m (R.Ababou, Fev.006) Noms des fichiers images : «HU5_Aliou93_QobsQsim_M337ZOOM3.emf» (etc ) 0.03 ALIOU SEMI-HORAIRE 993 (Pluie-Débit) Foctio de trasfert H o-causale (o-causal decovolutio) : delais positifs et egatifs) 0.05 0.0 0.05 0.0 0.005 0-0.005-0.0-00 -80-60 -40-0 0 0 40 60 80 00 Delai discret (discrete lag) Cut-off : M = 00 (demi-heures)

Aliou semi-horaire w/hu-stat-5_v.m (R.Ababou, Fev.006) «HU5_Aliou93_QobsQsim_M337ZOOM3.emf» (etc.) 5 Output Y(t) simulé (trait fi e rouge) et observé (trait gras e oir) -- Y(t) o cetré; temps discret. 4 3 0-5500 5600 5700 5800 5900 6000 600 600 6300 6400 6500 ZOOM 3 8

REFERENCES

.. LISTE DE REFERENCES (e costructio) POLYCOPIES D HYDROLOGIE STATISTIQUE ABABOU R.(004+): Hydrologie Statistique. Polycopié électroique élémets de cours et exercices. Documets électroiques sur le site web : http://rachid.ababou.free.fr GAUDU R.: Cours d'hydrologie : élémets de polycopié pour l «Hydrologie Statistique» (ENSEEIHT, circa 990). DUBAND D., 97: Hydrologie statistique approfodie. Cours polycopié (EDF-DER & ENS d'hydraulique de Greoble). OUVRAGES D HYDROLOGIE STATISTIQUE BO, G.E.P. & G.M. JENKINS. 976. Time Series Aalysis, Forecastig, ad Cotrol. Revised Editio. Sa Fracisco, CA: Holde-Day Publishers. BRAS R., I.RODRIGUEZ-ITURBE : Radom Fuctios i Hydrology, Dover, New York. CHOW V.T., MAIDMENT D.R., MAYS L.W. Applied Hydrology. Mc Graw-Hill Iteratioal Editios, Civil Egieerig Series, 57 pp.,988. DELLEUR: GELHAR L.W. Stochastic Subsurface Hydrology. Pretice Hall, Eglewood Cliffs, New Jersey, 390 pp., 993. REMENIERAS G., 965 & 976 : Hydrologie de l'igéieur. Eyrolles (Collectio EDF-DER), 456pp., 976. YEVJEVICH: OUVRAGES DE GEOSTATISTIQUE ISAAKS, E. H., R. M. SRIVASTAVA. 989. A Itroductio to Applied Geostatistics. Oxford: Oxford Uiversity Press: 56pp. GSLIB : Geostatistical Library (.) JOURNEL, A. G., C. J. HUIJBREGTS. 978. Miig Geostatistics. New York: Academic Press: 600pp. MARSILY, de, G., 986. Quatitative Hydrogeology (Groudwater Hydrology for Egieers). Academic Press. New York. 440 pp.

OUVRAGES PROBABILITÉ-STATISTIQUE BAIN L.J. Statistical Aalysis of Reliability ad Life-Testig Models (Theory ad Methods). Marcel Dekker Ic. New-York ad Basel. 9xx. BASS J.: Elémets de calcul des proba BLANC-LAPIERRE : (Théorie des foctios aléatoires) CHEENEY, R.F. 983. Statistical Methods i Geology. George Alle & Uwi. Lodo. CAUTROT B., et al.: Les méthodes de prévisio. PUF "Que Sais-Je?". FELLER W.: A itroductio to probability theory ad applicatios. GASQUET C., P.WITOMSKI, 990, Aalyse de Fourier et Applicatios (filtrage, calcul umérique, odelettes), Masso, Paris, 354 pp. JENKINS G.M., WATTS D.G., 968. Spectral aalysis at its applicatios. Holde Day. 55 p. KENDALL M.G., A. STUART A., (977), "The Advaced Theory of Statistics", Vol., Distributio Theory, MacMilla, New York, 47 pp. KENDALL M.G. (977), "The Advaced Theory of Statistics", Vol., KENKEL, J.L. Itroductory Statistics for Maagemet ad Ecoomics. d Editio. Bosto, Massachusetts, Duxbury Press. 984. LOÈVE M., (963,978), Probability Theory, Vol. II; Spriger-Verlag, 978. MA J., 980. Méthodes et techiques de traitemet du sigal et applicatios aux mesures physiques, Masso Paris, 379 p. ( vols.) MONIN A.S., YAGLOM A.M., (965), Statistical Fluid Mechaics: Mechaics of Turbulece (Volume ), Ed. J. L. Lumley, The MIT Press, Cambridge, Mass. (874 pp). [Cotiet u exposé détaillé de la théorie des foctios aléatoires ]. PAPOULIS A., 965 : Probability, Radom Variables, ad Stochastic Processes. Mc Graw-Hill Book Compay, New York. 965. PAPOULIS A., et al. (idem - ouvelle éditio augmetée) PRIESTLEY M.B.98. Spectral aalysis ad time series. Acad. Press, 890p. PRIESTLEY M.B., 988. No-liear ad o-statioary time series aalysis. Academic Press, 37 p. TASSI Ph., 989 : Méthodes statistiques, Ecoomica. VANMARCKE, E. 983. Radom Fields: Aalysis ad Sythesis. Cambridge, Mass.: Massachusetts Istitute of Techology Press: 38pp. VENTSEL H., 973 : Théorie des probabilités. Editios Mir, Moscou. [Frech traslatio, from Russia, by A. Sokova, MIR, Moscow, USSR] YAGLOM, A. M. 96. Statioary Radom Fuctios. R. A. Silverma, tras. & ed. New York: Dover: 35pp.

ARTICLES & RECHERCHES ABABOU R., A.C. BAGTZOGLOU, E.F. WOOD, O the Coditio Number of Covariace Matrices Arisig i Krigig, Estimatio, ad Simulatio of Radom Fields. Math. Geol., Vol.6, No., pp. 99-33, 994. ABABOU R., L.W. GELHAR, Self-Similar Radomess ad Spectral Coditioig : Aalysis of Scale Effects i Subsurface Hydrology, Chapter IV i Dyamics of Fluids i Hierarchical Porous Media, J. Cushma editor, Academic Press, New York, pp. 393-48, 990. DELHOMME, J. P. 979. Spatial variability ad ucertaity i groudwater flow parameters: a geostatistical approach. Water Resou.Res. 5():69-80. FREEZE, R.A., A stochastic-coceptual aalysis of oe-dimesioal groudwater flow i ouiform homogeeous media, Water Resour. Res.,, 75-74, 975. GELHAR L. W., (986), "Stochastic Subsurface Hydrology (from Theory to Applicatios)", Water. Res. Res., (99), 35-45 pp. LABAT D., R. ABABOU, A. MANGIN, 999 : Liear ad Noliear Models Accuracy i Karstic Sprigflow Predictio at Differet Time Scales. SERRA - Stochastic Evirometal Research & Risk Assessmet, 3(999):337-364, Spriger-Verlag. LABAT, R. ABABOU, A. MANGIN, 000: Raifall-ruoff relatios for karstic sprigs Part I : Covolutio ad spectral aalyses. Joural of Hydrology, 38, Issues 3-4, 5 Dec.000, pp.3-48. SHINOZUKA M., C. M. JAN, (97), "Digital Simulatio of Radom Processes ad its Applicatios". J. Soud Vib., 5 (), p.. ENCYCLOPEDIES, GUIDES, HANDBOOKS CEMAGREF (O.Gilard, P.Givoe, G.Oberli, N.Gedreau et al.) : Guide pratique de la méthode «iodabilité». Agece de l Eau Rhôe- Méditerraée-Corse, 998. CHOCAT B., Ecyclopédie de l Hydrologie Urbaie. Coordoateur B.Chocat. Ed. Lavoisier, Collectio Tec et Doc. MIQUEL J. : Guide pratique d'estimatio des probabilités de crues. Eyrolles (EDF-DER), 984, 60 pp. OMM : Guide de l OMM ( ) PRESS W.H., B.P. FLANNERY, S.A. TENKOLSKY, W.T. VETTERLONG, 986 (& 990), Numerical Recipes : The Art of Scietific Computig. Cambridge Uiv. Press. [with programs i Fortra, Pascal, or C].

SITES, RESEAU, DONNEES, BASSINS HYDROLOGIQUES SMEPAG Garoe, 989 : «Moographie des crues de la Garoe -- du Pot du Roy au Bec d'ambès». (Schéma de protectio cotre les eaux de la Garoe, Tome ). SMEPAG-Sydicat Mixte d'etude et de Programmatio pour l'améagemet de la Garoe (CACG, CARA, UTM, UB). Fév. 989. HYDROGEOLOGIE STOCHASTIQUE & GEOSTATISTIQUE DAGAN, G., Flow ad Trasport i Porous Formatios, Spriger-Verlag, 465 p., 989. GELHAR, L.W., Stochastic Subsurface Hydrology, Pretice Hall, 390 p., 994. KITANIDIS, P.K., Itroductio to Geostatistics, Cambridge Uiversity Press, 49 p., 997. MARSILY (de) G., Quatitative Hydrogeology. (.) MATHERON, G., Elemets pour ue theorie des milieux poreux, Masso et Cie, Paris, 967. RUBIN, Y., Applied stochastic hydrology, Oxford Uiversity Press. ( 000) SHVIDLER, M.I., Flow i heterogeeous media (i Russia), Izv. Akad. Nauk USSR Mekh. Zhidk. Gaza, 3, 85, 96. ZHANG, D., Stochastic methods for flow i porous media : copig with ucertaities, Academic Press, 350 p., 00.

ANNEES

PdF(V) Stat-iii_pdf.doc Proba_PDF-Momets.doc VUG LOIS DE PROBABILITÉS UNIVARIÉES: Relatios Momets/Paramètres et Méthodes d Idetificatio

PdF(V) Stat-iii_pdf.doc Proba_PDF-Momets.doc VUG. IDENTIFICATION (AJUSTEMENT) D'UNE DENSITÉ DE PROBABILITÉ PAR LA "MÉTHODE DES MOMENTS".. Méthode des momets La "méthode des momets" cosiste à comparer, pour ue loi de probabilité théorique doée, les momets théoriques aux momets empiriques d'ordres élevés, ceci e attribuat aux momets théoriques d'ordre mois élevés leurs valeurs empiriques (rappelos que les momets "empiriques" sot issus du dépouillemet statistique des simulatios umériques). O utilisera ici les quatre premiers momets statistiques, ou certais coefficiets obteus à partir de ces quatre premiers momets : coefficiets de variatio, d'asymétrie, et d'aplatissemet. O peut par exemple, pour ue loi à deux paramètres, fixer les deux premiers momets, ou la moyee et le coefficiet de variatio, pour essayer de prédire/ajuster les momets d'ordre 3 et 4, ou les coefficiets d'asymétrie et d'aplatissemet. O présetera sous forme de tableaux les comparaisos etre les momets empiriques d'ordre 3 et 4 obteus pour certais jeux de doées, et les momets théoriques correspodats prédits par les modèles (les "modèles" état les lois théoriques à tester). Le calcul des momets théoriques (prédits) se fait, si possible, grâce à des formules aalytiques closes, de la forme: th. 3 ou 4 emp. emp. () µ = f ( m, σ ) O peut alors calculer ue erreur relative, ou écart relatif, défii par : ε = µ th. µ () th. µ emp. Ce critère permet d'évaluer l'adéquatio des modèles théoriques à la loi empirique, aisi que la marge de cofiace associée.

PdF(V) Stat-iii_pdf.doc Proba_PDF-Momets.doc VUG.. Défiitios des momets et des coefficiets associés Les momets cetrés d'ordre sot défiis par la relatio : (3) µ=<(x-m)>, où <> représete l'opérateur d'espérace mathématique et m la moyee, qui est aussi le momet o cetré d'ordre. Nous ous itéresseros plus particulièremet ici, outre la moyee, aux momets cetrés d'ordre, 3 et 4, aisi qu'à divers coefficiets adimesioels pouvat être formés à partir de ces momets. Le momet cetré d'ordre (µ) est représete la variace, ecore otée plus courammet σ. O a doc : (4) µ =σ =<(x-m)>. A partir de la moyee (m) et de l'écart-type (σ), o peut défiir u coefficiet de variatio oté "CV" ou simplemet "C". Le coefficiet de variatio est particulièremet utile pour quatifier le degré de variabilité d'ue variable aléatoire positive. Il est défii par la relatio : (5) C = σ/m. Les momets cetrés d'ordre 3 et 4, et. Les momets cetrés d'ordre 3 et 4 sot défiis par : (6) µ3=<(x-m)3>. (7) µ4=<(x-m)4> 3

PdF(V) Stat-iii_pdf.doc Proba_PDF-Momets.doc VUG A partir de ces deux deriers momets cetrés, o défiit les coefficiets d'asymétrie et d'aplatissemet, ou coefficiets de Fisher (Vetsel 973, Tassi 989) : µ 3 γ = : coefficiet d' asymétrie (Skewess). 3 σ (8) µ 4 κ = 3: coefficiet d' aplatissemet (Kurtosis). 4 σ Il est facile de motrer que γ = 0 pour ue distributio symétrique, puisque les momets d'ordre impairs sot alors uls. Le coefficiet γ est u bo idicateur de symétrie de la loi cosidérée. Ce coefficiet est positif pour ue loi asymétrique telle que la loi log-ormale, la loi expoetielle, etc. Il serait égatif, par exemple, pour ue variable aléatoire x < x 0 telle que (x 0 -x) suit ue loi expoetielle ou log-ormale. La défiitio du coefficiet κ fait référece à la forme de la loi ormale N(0,). E effet, o obtiet pour la loi ormale (voir par exemple Tassi 989) : (9) x p Γ( p + ) p = µ 4 Γ( ) 5 Γ( ) = 4 = 3 Γ( ) O e déduit que κ = 0 pour ue loi ormale. Plus gééralemet, κ est positif pour ue desité de probabilité "poitue" (plus poitue que la loi ormale), et égatif pour ue desité de probabilité "aplatie" (plus aplatie que la loi ormale). La loi de Laplace, expoetielle symétrique avec u poit de rebroussemet à l'origie, a u coeff. d'aplatissemet positif (κ = +6). O retiedra que les coefficiets γ et κ sot défiis de telle maière que la loi de probabilité empirique s'approche d'ue loi ormale, du mois e ce qui cocere les momets jusqu'à l'ordre 4, dès lors que γ et κ sot très iférieurs à l'uité. 4

PdF(V) Stat-iii_pdf.doc Proba_PDF-Momets.doc VUG 5.3. Relatios etre paramètres et momets de quelques lois a. Loi ormale: La loi ormale, ou gaussiee, est ue loi à deux paramètres (m,σ). Sa desité de probabilité est doée par : (0) R x ) ( ) ( = pour e x f m x σ π σ Les coefficiets d'asymétrie et d'aplatissemet de la loi ormale sot uls, soit : () = = 0 0 κ γ b. Loi log-ormale : O cosidère ici la loi log-ormale à deux paramètres (m,σ). Il s'agit d'ue loi de probabilité à support positif, dot la desité de probabilité est doée par : () + R pour x ) ( ) ) ( ( = σ π σ m x L e x x f

PdF(V) Stat-iii_pdf.doc Proba_PDF-Momets.doc VUG où m et σ représetet la moyee et la variace du logarithme de x. La loi logormale est directemet liée à la loi ormale. E effet, si la variable y = l(x) suit ue loi ormale N(m,σ), alors la variable x = exp(y) suit ue loi log-ormale doée par l'équatio ci-dessus. Désigos plus précisémet par mx et my les moyees de x et y, et par σx et σy les variaces de x et y. O a alors les relatios suivates, extraites de Ababou et Wood (990), Tassi (989), et Vamarcke (983). La moyee (arithmétique) de la variable logormale x satisfait la relatio : σ (3) x = m x e x = g, où xg est la moyee géométrique de x, défiie par y (4) g l( x) x = e = e m y. D'où la relatio : (5) m x e σ y ( m y + ) =. De plus, la variace de la variable logormale x satisfait la relatio : (6) σ x x g σ ( σ ) y y = e e 6

PdF(V) Stat-iii_pdf.doc Proba_PDF-Momets.doc VUG E combiat ces relatios, o obtiet alors : (7) σ x = m x ( e σ y ) C x = (e σ y ) Cette derière équatio doe la variace, et le coefficiet de variatio, de la variable logormale x e foctio des deux premiers momets de la variable ormale y = l(x). O peut motrer que : (8) γx = 3 Cx + Cx 3 (9) κx = Cx 8 + 6 Cx 6 + 5 Cx 4 + 6 Cx Ces deux derières équatios doet les coefficiets d'asymétrie et d'aplatissemet d'ue variable logormale x e foctio de so coefficiet de variatio. Lorsque σy est faible ou au plus de l'ordre de l'uité, o peut e déduire par développemet de Taylor que Cx ~ σy. E d'autres termes, o obtiet pour ue variable logormale x la relatio approchée: (0) Cx ~ σl(x), Cosidéros le cas des variables hydrologiques K positives, strictemet ou o (débits Q, précipitatios P, mais aussi paramètres physiques tels que perméabilité, etc). Le derier résultat ci-dessus motre que σlk est u bo idicateur adimesioel du degré de variabilité du phéomèe lorsque K est supposée distribuée suivat ue loi logormale. 7

PdF(V) Stat-iii_pdf.doc Proba_PDF-Momets.doc VUG c. Loi expoetielle :. O cosidère ici la loi expoetielle à u seul paramètre (β). Cette loi est à support positif, et sa desité de probabilité est doée par. () f x β ( x) = e pour x R β + Pour cette loi, il y a idetité etre écart-type et moyee, i.e. σ = m, d'où : () C =. O peut égalemet motrer les relatios suivates (Tassi 989) : (3) γ =. (4) κ = 6. Notos que le coefficiet de variatio d'u variable à loi expoetielle est toujours égal à u, ce qui permet de décider rapidemet si ue variable est susceptible ou o de suivre cette loi. Comme cette loi est qu à u seul paramètre, elle est pas très flexible. Elle est cepedat liée à ue loi très itéressate, la loi de Poisso, dite «loi des évèemets rares» (voir la sectio cosacrée à la loi de Poisso). Elle costitue aussi u cas particulier de la loi Gamma Icomplète (voir ci-dessous). 8

PdF(V) Stat-iii_pdf.doc Proba_PDF-Momets.doc VUG d. Loi expoetielle-symétrique (loi de Laplace cetrée à l'origie) O cosidère ici ue loi expoetielle symétrique, cetrée autour de l'origie, et à u seul paramètre (β). Sa desité de probabilité est doée par : β x β (5) f ( x) = e pour x R. Pour cette loi symétrique et cetrée à l'origie, o a évidemmet m = 0 et γ = 0. O peut égalemet motrer que (Abramovitz et Stegu 965; Tassi 989) : (6a) σ = β (6b) κ = 3. E gééral, la loi de Laplace symétrique à u seul paramètre est peu flexible. e. Loi Γ-icomplète (loi gamma icomplète) Il s'agit de la loi gamma icomplète à deux paramètres (λ,ρ) et à support positif. Sa desité de probabilité est doée par : (7) f x λ ρ x + ( x) = e pour x R. Γ( λ) ρ ρ Pour ue telle loi, o obtiet (Tassi 989) : 9

PdF(V) Stat-iii_pdf.doc Proba_PDF-Momets.doc VUG f. Loi de Weibull : O présete égalemet la loi de Weibull à deux paramètres (α,θ), qui sera utilisée plus loi (cf. test du Khi ). La desité de probabilité de la loi de Weibull est doée par : (3) α α θx + f ( x) = αθ x e pour x R. Pour ue telle loi o a (Tassi 989) Γ( + ) Γ( + α (3) m = ; σ = θ ) α Γ α θ α ( + ) α O e déduit la relatio suivate etre le paramètre α et le coefficiet de variatio C: ( ) ( ) σ Γ + Γ + α α (33) C = = = f ( α) m Γ( + ) α Cette relatio permet de calculer α coaissat le coefficiet de variatio (C), e résolvat l'équatio f(α)-c = 0 umériquemet, par ue méthode de dichotomie. O peut esuite obteir le paramètre θ à partir de la relatio sur m, e idetifiat m à la moyee empirique coue, soit : ( ) α Γ + (34) θ = α. m Cette procédure permet doc fialemet de calculer les deux paramètres (α,θ) de la loi de Weibull e foctio des momets empiriques m et σ. Elle peut être utile lors de l'applicatio du test du Khi.

PdF(V) Stat-iii_pdf.doc Proba_PDF-Momets.doc VUG.4. Exemples de résultats d ajustemets par les momets Les résultats de la méthode des momets sot présetés das les TABLEAU (...). Ces tableaux sot directemet utilisables pour ue aalyse de la loi de probabilité uivariée de la variable étudiée. Ils cotieet les valeurs des momets et coefficiets empiriques, aisi que les valeurs théoriques calculées grâce aux relatios ci-dessus, et efi les valeurs des idicateurs d'erreurs défiis plus haut. Les idicateurs d erreur 'état pas toujours applicables, par exemple lorsque le momet testé s'aulle ( µth = 0 ), o applique alors u critère qualitatif du type : " µth <<? " Si la répose à cette questio est positive, o iscrit OUI (admis) das le tableau; si la répose est égative, o iscrit NON (refusé).

PdF(V) Stat-iii_pdf.doc Proba_PDF-Momets.doc VUG. IDENTIFICATION D UNE DENSITÉ P() PAR TEST STATISTIQUE : LE TEST DU χ L'objet de cette sectio est de compléter et de vérifier d'ue faço plus rigoureuse les résultats obteus précédemmet par la méthode des momets. Pour ceci, ous allos calculer à l'aide des formules théoriques doées plus haut les coefficiets etrats das les expressios des diverses desités de probabilités. Ceci fait, ous effectueros u test du χ afi de détermier si les desités de probabilités empiriques peuvet être déduites des modèles avec ue faible probabilité d'erreur. Pour l'applicatio pratique du test du Khi, voir Press et al. 986 ("Numerical Recipes" versio Fortra : subroutie CHSONE). O otera égalemet, comme alterative possible au test du Khi, le test de Kolmogorov-Smirov ou "K-S" (Press et al. 986 : subroutie KSONE). C'est exclusivemet le test du Khi qui sera utilisé ici. Les FIGURES(...) permettet d'appréheder les résultats qu o peut obteir par simple comparaiso graphique des desités de probabilités empiriques (observées) avec les desités de probabilités théoriques (modèles) : Das les pages suivates, o expliquera plus e détail la procédure suivie, et o présetera à la fi les résultats quatitatifs des tests statistiques. Ceux-ci coduiset à décider de l'acceptatio ou le rejet de telle loi de probabilité pour ue marge d'erreur doée (par exemple 5%). Les figures(...) ci-dessus e doet ue vue graphique plus parlate, mais qualitative. 3

PdF(V) Stat-iii_pdf.doc Proba_PDF-Momets.doc VUG.. Calage des paramètres par les momets empiriques O a déjà idetifié plus haut les desités de probabilité théoriques des diverses lois proposées comme modèles (cf. méthode des momets). Le test du χ est utilisé ici pour comparer les lois empiriques aux lois théoriques, les paramètres de ces derières lois état calculés à partir des valeurs des momets empiriques. * Aisi, la loi ormale est ue loi à deux paramètres (m,σ), dot la desité de probabilité a été doée plus haut. Les deux paramètres à utiliser sot doc tout simplemet la moyee empirique (m), et l'écart-type empirique (σ). La loi logormale est ue loi à deux paramètres (m,σ), et à support positif, dot la desité de probabilité a été doée plus haut. Ici, les paramètres (m,σ) sot la moyee et l'écart-type de y=l(x), où x est la variable logormale e questio. Ces paramètres peuvet être calculés e foctio de la moyee empirique m x et du coefficiet de variatio empirique C x de la variable logormale x, par résolutio du système suivat [ voir équatios ()-(0) ]: (35) [ l( C + ) ] σ = x m = l( m x σ ) * Ue procédure plus sophistiquée, mais pas écessairemet plus performate, cosisterait à ajuster automatiquemet les paramètres de la loi modèle de faço à miimiser les écarts avec la loi empirique, avat d'appliquer le test du Khi propremet dit. 4

PdF(V) Stat-iii_pdf.doc Proba_PDF-Momets.doc VUG La loi expoetielle est ue loi à u seul paramètre (β), et à support positif, dot la desité de probabilité a été doée plus haut. Rappelos que le paramètre β est à la fois égal à la moyee et à l'écart-type. O choisit ici de caler β par rapport à la moyee empirique, soit : β = m. La loi de Laplace, ou expoetielle symétrique cetrée à l'origie, est ue loi à u paramètre (β). Sa desité de probabilité a été doée plus haut. O utilise ici la relatio β = σ/ [équatios ()-(6)]. La loi Γ-icomplète est ue loi à deux paramètres (λ,ρ), et à support positif. La desité de probabilité et les relatios etre paramètres et momets ot été doées plus haut [ voir équatios (7)-(30) ]. O examiera égalemet la loi de Weibull à deux paramètres (α,θ), o ecore utilisée. La desité de probabilité de la loi de Weibull a été doée plus haut, et l'o a égalemet décrit ue procédure de calcul des paramètres de cette loi e foctio des momets [ voir équatios (3)-(34) ]. Cette procédure ous permet ici de calculer les deux paramètres (α,θ) de la loi de Weibull e foctio des momets empiriques m et σ, et d'appliquer le test du khi. 5

PdF(V) Stat-iii_pdf.doc Proba_PDF-Momets.doc VUG.. Applicatio du test statistique (le test du khi-) Rappelos que deux tests statistiques ot été cosidérés iitialemet : le test du χ (khi-deux), et le test de Kolmogorov- Smirov (ou test de "K-S"). C'est le test du χ que ous avos reteu das cet exposé. Le test du χ va ous permettre d'évaluer l'importace de l'écart etre les lois modèles (théoriques) et les lois empiriques, ue fois doés les paramètres des lois modèles. Ce test est pratiqué sur les valeurs (discrètes) de la foctio de répartitio empirique et les valeurs (discrétisées) de la foctio de répartitio théorique. Rappelos que les foctios de répartitios sot les desités de probabilités itégrées; ou, e versio discrète, les fréqueces cumulées. La statistique du χ (dite aussi "distace du χ") est ue mesure de la "distace" etre deux foctios de répartitios discrètes (ou discrétisées) que l'o souhaite comparer. Cette statistique du χ ou distace du χ est doée par : (36) = Ntot ( Ni i ) χ, i= i où Ni est le ombre d'évèemets observés das le ième itervalle et i le ombre prévu d'évèemets selo la loi modèle. La foctio de probabilité du χ, otée : χ (37) Q ( ), ν 6

PdF(V) Stat-iii_pdf.doc Proba_PDF-Momets.doc VUG (8a) m = λ ρ ; (8b) σ = λ ρ ; (8c) µ3 = λ ρ3; (8d) µ4 = 3 λ (λ+) ρ4, Nous e avos déduit les idetités suivates : (9a) γ = C, (9b) κ = 6 C. [NB: Correctios de certais symboles spéciaux : revoir les 4 relatios ci-dessous avec le sige : vérifier qu'il s'agit bie de multiplicatio ] Fialemet, e "iversat" les relatios précédetes, ous obteos les paramètres de la loi gamma icomplète e foctio de ses deux premiers momets : (30) λ = ρ = C mc 0

PdF(V) Stat-iii_pdf.doc Proba_PDF-Momets.doc VUG est ue foctio gamma-icomplète (résultat théorique classique e statistique). Le paramètre ν est le degré de liberté de la loi du χ. Pour les cas qui ous itéresset -- soit l'évaluatio de lois dot certais paramètres ot étés préalablemet estimés -- le ombre de degrés de liberté de la loi du χ est doé par: (38) ν = Ntot-k-, si l'o a estimé k paramètres de la loi. Das otre cas (...), le ombre de paramètres estimés est variable mais très iférieur à Ntot (k est faible, égal à u, deux, ou trois au plus). Iterprétatio. A propremet parler, Q(χ/ν) représete la probabilité pour que la somme des carrés de ν variables aléatoires ormales de variace uité soit plus grad que χ. Or, les termes etrats das la somme du χ [équatio (36) cidessus] e sot pas idividuellemet ormaux. Cepedat, si l'o cosidère à la fois u ombre élevé (>>) d'itervalles, et u ombre élevé (>>) d'évèemets observés das chaque itervalle, alors la foctio de probabilité Q(χ/ν) est ue boe approximatio de la vraie distributio de χ. Utilisatio. La foctio Q(χ/ν) peut doc être utilisée pour estimer si le test est sigificatif ou o, puisque cette statistique représete à peu près la probabilité pour que la somme des carrés des écarts etre la loi empirique et la loi modèle ait la valeur χ observée. Implémetatio umérique. Pour l'applicatio pratique, o a utilisé la procédure décrite das l'ouvrage "Numerical Recipes" de PRESS et al. (986), et e particulier la subroutie Fortra CHSONE. R.ABABOU Circa 994 Partiellemet retapé e 004 (eqs.) 7