Fche jamas corrgée... 1 Torseur cnématque Torseur cnématque Sot Σ un solde (de repère d orgne O Σ) et A un pont quelconque de ce solde, alors v A/Σ = 0. Par la lo de composton des vtesses, v A/R = 0 + v e = v e. Or v = v e = v O /R + Ω Σ/R O A, avec Ω Σ/R vecteur nstantané de rotaton du repère défn par Σ par rapport à R est également appelé vecteur nstantané de rotaton du solde Σ par rapport à R. Ans on a v A/R = v O /R + Ω Σ/R O A, qu est la relaton fondamentale des torseurs. On défnt le torseur cnématque du solde Σ, noté [V (Σ)], de résultante Ω Σ/R et de moment en A v A/R : [V (Σ)] A = [ Ω Σ/R, v A/R ] NB : 1. Ic, A dot être un pont du solde pour que v A/R sot défne, mas on peut toujours consdérer que l on étend fctvement Σ dans toutes les drectons à tous les ponts fxes du repère qu lu est assocé. En général, on ne consdérera dans le calcul du torseur cnématque que des ponts appartenant effectvement au solde (sauf excepton notable pour G s le centre d nerte n est pas un pont du système). 2. La relaton fondamentale des torseurs permet ben de défnr un unque torseur, comme c est fat c-dessus avec le torseur cnématque. En effet, on montre qu un champ L est antsymétrque (équvaut à : L est un torseur) s et seulement s l exste un pont A et un vecteur R tels que L(P) = L(A) + R AB pour tout P. 3. S S est un système déformable, on montre que son champ des vtesses n est pas un torseur! De même, la noton de torseur cnématque ne peut s étendre à un système consttué d un ensemble de soldes (cf. cnématque des contacts et des lasons entre soldes). Équprojectvté du champ des vtesses d un solde L équprojectvté des vtesses du solde, qu est une proprété fondamentale des torseurs, peut auss être smplement vue comme la conséquence de la proprété fondamentale des soldes : pour tout (A, B) de Σ, dab 2 = 0, sot 2 d AB AB. = 0, d où v B/R. AB v A/R. AB = 0. Le fat qu on démontre le caractère équprojectf du champ des vtesses ndépendamment permet auss de partr de ce fat pour défnr le torseur cnématque. En effet, on sat que les champs équprojectfs coïncdent avec les champs antsymétrques, et un torseur est défn comme un tel champ. Axe nstantané de rotaton, cas partculer où la vtesse s annule en un pont Supposons qu à l nstant t, l exste un pont I du solde de vtesse nulle : v I (t) = 0. Alors tous les ponts de la drote (I, Ω) ont une vtesse nulle en vertu de la relaton fondamentale du torseur cnématque : J (I, Ω) v J (t) = v I (t) + Ω IJ = 0. La drote (I, Ω) où v I (t) = 0 à l nstant t est appelée axe nstantané de rotaton de Σ à l nstant t. Rotaton autour d un axe fxe S Ω n est pas nul mas garde une drecton fxe, et s l exste un pont O du solde qu est fxe, alors pour tout pont A de Σ, v A = Ω OA : on reconnaît une rotaton autour d un axe fxe. Cet axe est l axe nstantané de rotaton, l est égal à (O, Ω). Mouvement plan sur plan. Centre nstantané de rotaton On parle de mouvement plan dans le plan Π lorsque les vtesses de tous les ponts du solde sont coplanares en permanence, ncluses dans un plan Π. Dans ce cas, la la relaton fondamentale de la cnématque (ou : du torseur cnématque) v A = v B + Ω BA mpose que Ω est perpendculare à Π. S l axe nstantané de rotaton exste, son ntersecton avec Π est appelée centre nstantané de rotaton (CIR). La vtesse de ce centre est nulle pusque à la fos contenue dans Π (mouvement plan sur plan) et colnéare à Ω (pusque I est sur l axe de rotaton). L ensemble des postons successves du CIR est une courbe dans R appelée base du mouvement. L ensemble des ponts de Σ jouant successvement le rôle de CIR est une courbe dans R appelée roulante du mouvement. NB : Dans un mouvement plan sur plan avec roulement sans glssement, le pont de contact I a une vtesse nulle : v I/R = 0, c est donc [????] le CIR. Len entre le vecteur rotaton et l évoluton des vecteurs du repère de Σ Sot ( e 1, e 2, e 3 ) la base de Σ consdérée. En utlsant ( d ) e la formule de dérvaton d un vecteur entre deux repères, on obtent : = Ω e, = 1, 2, 3 R En sommant les tros vecteurs dérvés obtenus, on obtent l expresson de Ω suvante : ( ( 1 Ω = e d ) e 1 1 + ( d ) e 2 e 2 + ( d ) ) e 3 e 3 2 R Ic, les vecteurs e dépendent du temps quand ls sont exprmés par rapport à R. R R Champ des accélératons d un solde : ce n est pas un torseur En dérvant la relaton fondamentale de la cnématque, on montre que le champ des accélératons d un solde n est pas un torseur (l ne vérfe pas la relaton des torseurs).
Champ des déplacements d un solde : ce n est pas un torseur en général Le vecteur déplacement entre deux nstants d un pont P du solde Σ par rapport à un repère R forme un champ de vecteurs qu n est pas un torseur en général. Cependant, pour des petts déplacements, le champ de déplacements d un solde est un torseur. Invarants scalare et vectorel du torseur cnématque deux nvarants : l nvarant scalare : J = Ω. v P/R où P est un pont quelconque du solde. L nvarant vectorel : I = J Ω 2 Ω La théore des torseurs nous apprend que l on peut attacher à tout torseur Axe nstantané hélcoïdal 1 er cas : aucun des éléments du torseur n est nul. L axe nstantané hélcoïdal est alors l axe central du torseur cnématque,.e. l ensemble des ponts dont le vecteur vtesse est colnéare au vecteur rotaton. On montre qu l s agt d une drote drgée par Ω. 2ème cas : Ω = 0 et/ou v P/R = 0 (P pont du solde). a. S le torseur est le torseur nul, tous les ponts sont sur un axe nstantané. b. S pour un pont P, alors l axe nstantané est la drote (P, Ω). On retrouve le cas partculer évoqué plus haut. c. S Ω = 0, l n y a pas d axe nstantané (translaton). Mouvement à nvarant scalare nul : translaton ou rotaton Sot P un pont du solde Σ, J = Ω. v P/R l nvarant scalare de son torseur cnématque. On dstngue 4 cas s J = 0 : 1 er cas : Ω = 0 et v P/R = 0 (le torseur cnématque est le torseur nul). Le système est en équlbre. 2ème cas : Ω 0 et v P/R = 0 (le torseur cnématque est un glsseur). Le système est en rotaton autour de l axe (P, Ω). 3ème cas : Ω et v P/R sont nuls mas orthogonaux (le torseur cnématque est glsseur). Le système est en rotaton autour de l axe (Q, Ω) où Q est tel que PQ = Ω v P/R Ω 2. 4ème cas : Ω = 0 et v P/R 0 (le torseur cnématque est un couple). Le système est en translaton de vtesse v P/R. NB : 1. Σ est en translaton s et seulement s Ω = 0 à chaque nstant (.e. ss le torseur cnématque est un couple à chaque nstant). 2. Σ est en rotaton autour d un axe fxe (O, z) s et seulement s le torseur cnématque est un glsseur d axe (O, z) à chaque nstant. Mouvement à nvarant scalare non nul : mouvement hélcoïdal S J 0, alors pour tout pont M de Σ, sa vtesse se décompose en une composante parallèle à Ω : c est l nvarant vectorel I du torseur cnématque, et une composante orthogonale. I est appelé pour cette rason vtesse de glssement (à l nstant t). Le torseur cnématque se décompose en somme de deux torseurs d nvarant scalare nul dont l un représente un mouvement de rotaton (c est un glsseur) et l autre un mouvement de translaton (c est un couple). Le champ des vtesses d un solde est ans la superposton d un champ de translaton et d un champ de rotaton de même axe. On parle du mouvement hélcoïdal d axe (Q, Ω) où Q est défn par la formule Ω v P/R PQ = (avec P pont quelconque du solde). Ω 2 NB : Σ est en mouvement hélcoïdal non dégénéré d axe fxe (O, z) s et seulement s à tout nstant, le torseur cnématque a pour axe (O, z) et s I (t) = k Ω(t) avec k constante non nulle. Vtesse dans le cas d une rotaton autour d un axe fxe S Σ a un mouvement de rotaton autour d un axe fxe (O, u z ) a la vtesse angulare θ, alors quel que sot P de Σ, on a v P = Ω OP = θ uz OP ( Ω = θ uz ). 2 Centre et moments d nerte Centre d nerte Pour un système dscret rgde ou non : m OG(t) = m OP (t). Pour un système contnu rgde ou non : m OG(t) = OM dm = OM(t)ρ(M, t)dv Moment d nerte par rapport à un pont Pour un pont matérel P, le moment d nerte par rapport à un pont A quelconque vaut I A = mr 2 où r = AP. Pour un système de ponts matérels rgde ou non, le moment d nerte par rapport au pont A quelconque vaut I A = m r 2. Pour un système contnu rgde ou non, le moment d nerte par rapport au pont A quelconque vaut I A = r 2 dm = r 2 ρ(m)dv Σ Σ
Moment d nerte par rapport à un axe Pour un pont matérel P, le moment d nerte par rapport à un axe vaut I = md 2 où d = d(p, ). S = (A, u ), alors d 2 = u AP 2, d où I = m u AP 2. Pour un système de ponts matérels rgde ou non, le moment d nerte par rapport à l axe vaut I = m d 2 = m u AP 2. Pour un système contnu rgde ou non, le moment d nerte par rapport à l axe vaut I = d 2 dm = d 2 ρ(m)dv avec d = d(m, ) On peut auss l exprmer comme dans le cas dscret en utlsant d 2 = d(m, ) = u AM 2 : I = u AM 2 dm. Moment d nerte par rapport à un plan Pour un pont matérel P, le moment d nerte par rapport à un plan π vaut I π = md 2 où d = d(p, π). S π est défn par un pont A et un vecteur normal vn, alors d 2 = ( AP. n ) 2, d où I π = m( AP. n ) 2. Pour un système de ponts matérels rgde ou non, le moment d nerte par rapport au plan π vaut I π = m d 2 = m ( AP. n ) 2. Pour un système contnu rgde ou non, le moment d nerte par rapport à π vaut I π = d 2 dm = d 2 ρ(m)dv avec d = d(m, π) On peut auss l exprmer comme dans le cas dscret en utlsant d 2 = d(m, π) = ( AM. n ) 2 : I π = Théorème d Huyghens ( AM. n ) 2 dm. Sot un axe quelconque et G la drote parallèle à passant par G. Alors quel que sot le système matérel (pont, système de ponts, système contnu), on a I = I G + ma 2 (avec a = d(, G )) NB : 1. (Moyen mnémotechnque pour retenr la formule) Pour deux axes parallèles, le plus fable moment d nerte est obtenu pour l axe qu est le plus proche de G. En partculer, le plus fable moment d nerte pour l ensemble de tous les axes parallèles d une drecton donnée est obtenu pour l axe passant par G. 2. Le théorème d Huyghens est un cas partculer du théorème de Koeng pour l opérateur d nerte (vor c-dessous). Matrce d nerte On consdère un système Σ, rgde ou non. Sot = (A, u ) un axe (A pont quelconque). On a : I = t [ u ][I A ][ u ] où [I A ] est la matrce d nerte de Σ au pont A. Celle-c est symétrque, donc est dagonalsable dans une base orthonormée dans une base e base prncpale d nerte. Un repère construt à partr de cette base prncpale d nerte est un repère prncpal d nerte. Un axe porté par un vecteur propre est un axe prncpal d nerte. Une valeur propre est appelée un moment prncpal d nerte. Éléments prncpaux d nerte On consdère un système Σ, rgde ou non. S deux moments prncpaux d nerte sont égaux, la matrce est e de révoluton : tout axe ssu de A et contenu dans le plan des deux axes prncpaux d nerte des moments d nerte égaux est encore un axe prncpal d nerte et les moments d nerte par rapport à tous ces axes sont égaux. S tous les moments prncpaux d nerte sont égaux, la matrce est e sphérque : tout axe ssu de A est axe prncpal d nerte et les moments d nerte par rapport à tous ces axes sont égaux. Démonstraton : Deux valeurs propres égales entraîne que le sous-espace propre assocé est au mons de dmenson 2 : toute combnason lnéare des vecteurs de base de ce sous-espace est auss vecteur propre assocé à la même valeur propre. Même rasonnement pour tros valeurs propres. Opérateur d nerte On consdère un système Σ, rgde ou non. Sot A un pont quelconque, on appelle opérateur d nerte du système en A l applcaton lnéare J A de l espace qu à u assoce J A ( u ) = AM ( u AM)dm. On montre (après beaucoup de calculs) que la matrce de J A est exactement la matrce d nerte du système en A. Dans le cas général des systèmes quelconques (au sens : déformables), l opérateur d nerte n est pas d une étude asée. Par contre pour un solde, les choses se smplfent grandement. 3
Opérateur d nerte pour un solde (ndéformable) Dans le cas d un solde (ndéformable), la matrce d nerte est relatvement facle à calculer de façon explcte. Les calculs sont valables à tout nstant pusque les éléments d nerte sont nvarants au cours du temps (en partculer, ls ne dépendent pas du mouvement du solde, ce qu n est pas vra a pror pour un système déformable...). Sot A un pont de Σ : ((y ya ) 2 + (z z A ) 2) dm (x x A )(y y A )dm (x x A )(z z A )dm ((x [J A ] = (x x A )(y y A )dm xa ) 2 + (z z A ) 2) dm (y y A )(z z A )dm ((x (x x A )(z z A )dm (y y A )(z z A )dm xa ) 2 + (y y A ) 2) dm NB : Toutes les ntégrales sont calculées sur le système. S l on prend l orgne du repère lé à Σ en A, on obtent : (y 2 + z 2) dm xy dm xz dm (x [J A ] = xy dm 2 + z 2) dm yz dm [J A ] est notée symbolquement : (x xz dm yz dm 2 + y 2) dm A F E F B D E D C 4 Théorème de Koengs pour l opérateur d nerte L opérateur d nerte pour un solde en un pont A est égal à la somme de l opérateur d nerte en A du centre d nerte G affecté de la masse totale et de l opérateur d nerte en G du solde. Avec des notatons évdentes, on peut résumer le théorème par l égalté : J A (Σ) = J A ({G, M}) + J G (Σ). Calcul des éléments d nerte : utlsaton d éléments géométrques orthogonaux On consdère un pont A quelconque, et des éléments géométrques (axes, plans) qu seront toujours supposés orthogonaux entre eux : (Axyz) désgne un repère orthogonal lé au solde. La somme des moments d nerte par rapport à tros axes ssus d un pont A est le double du moment d nerte par rapport à ce pont : I Ax + I Ay + I Az = 2I A. La somme des moments d nerte par rapport à deux plans est égale au moment d nerte par rapport à leur ntersecton : I Axz +I Ayz = I Az. La somme des moments d nerte par rapport à deux axes ssus d un pont A est égal au moment d nerte par rapport au pont A : I Ax + I Ay = I A. Calcul des éléments d nerte : utlsaton des symétre du système S Σ possède un plan de symétre, les produts d nerte comportant une normale à ce plan sont nuls. Par exemple, s le plan (Axy) est un plan de symétre de Σ, la matrce d nerte est de la forme : [J A ] = A F 0 F B 0. 0 0 C S Σ possède deux plans de symétre, tous les produts d nerte sont nuls. La matrce d nerte est de la forme : [J A ] = A 0 0 0 B 0. 0 0 C S Σ possède un axe de révoluton, tous les produts d nerte sont nuls (car Σ admet alors au mons deux plans de symétre), et deux des moments d nerte sont égaux. Par exemple, s le système est de révoluton autour de l axe (Az), la matrce d nerte est de la forme : [J A ] = A 0 0 0 A 0. 0 0 C S Σ est un solde d épasseur néglgeable contenu dans un plan, tous les produts d nerte comportant une normale à ce plan sont nuls, et le moment d nerte par rapport à l axe normal au plan du solde est la somme des deux autres moments d nerte. Par exemple, s le système est plan et contenu dans (Axy), la matrce d nerte est de la forme : [J A ] = A F 0 F B 0. 0 0 A + B Éléments prncpaux d nerte et symétres S Σ admet un plan de symétre, alors c est un plan prncpal d nerte de Σ en chacun de ses ponts. S Σ admet une drote de symétre, alors c est une drote prncpale d nerte en chacun de ses ponts.
Torseur cnétque 5 Quantté de mouvement et moment cnétque en un pont On consdère successvement un système S composé d un pont matérel, d un ensemble de ponts matérels (rgde ou non) et d un système contnu (rgde ou non) dans un repère R. Sot A un pont quelconque de R. On défnt la quantté de mouvement du système S par rapport à R, notée p, et le moment cnétque du système S par rapport à R au pont A, noté L A par (on notera p (M) ou L A (M) s nécessare...) : p = m v M/R et L A = AM m v M/R s S est composé d un unque pont matérel de masse m ; p = m v M/R = p (M ) et L A = AM m v M/R = LA (M ) s S = (M, m ) =1,..,n est un système de ponts matérels de centre de masse G et masse totale m ; p = v M/R dm et L A = AM v M/R dm s S est un système contnu (rgde ou non) de centre de masse G, masse totale m, foncton de répartton de masse ρ (= masse volumque) et qu occupe à l nstant t le volume V (t). NB : On montre que dans le cas où S est un système dscret (calcul smple) ou contnu (calcul complqué dans le cas général où S peut être déformable), on a p = m v G/R Torseur cnétque Le champ des moments cnétques du système S par rapport à R est un torseur appelé torseur cnétque de S par rapport à R et noté [L(Σ)]. Sa résultante est la quantté de mouvement du système S par rapport à R. On a la formule LB = L A + p AB Démonstraton : Smple calcul en décomposant AM = AB + BM. NB : 1. Le torseur cnétque est le torseur assocé au système de vecteurs lés (M, m v M/R ) lorsque M parcourt S. 2. Le calcul des éléments de réducton du torseur cnétque est dffcle dans le cas général où le système S est déformable. Il requert en général des éléments de mécanque des mleux contnus. Torseur cnétque : cas du solde Dans le cas où le système étudé est un solde Σ, on montre tout d abord beaucoup plus faclement la formule p = m v G/R, sot drectement en ntervertssant dérvaton et sgne somme (du fat que le volume occupé par Σ, noté encore Σ, ne vare pas au cours du temps), sot en utlsant le fat que le champ des vtesses du solde est un torseur. NB : On montre que le torseur cnétque d un système de soldes est égal à la somme des torseurs cnétques de chaque solde. Expresson du torseur cnétque d un solde en l un de ses ponts quelconques (éventuellement moble) Sot A un pont de Σ. On note Ω le vecteur rotaton de Σ par rapport à R et J A le moment d nerte de Σ en A. Cas où v A/R quelconque (pont moble) : les éléments de réducton du torseur cnétque en A sont alors sa résultante p = m v G/R et son moment LA = AG m v A/R + J A Ω. Cas où v A/R = 0 (pont fxe) : le moment du torseur devent dans ce cas (la résultante ne change pas) : LA = J A Ω NB : Dans le cas où A est le pont G, on a L G = J G Ω (car A = G dans la premère formule) alors que G peut très ben avor un mouvement dans R et une vtesse v G/R non nulle. Torseur dynamque NB : La structure de ce paragraphe est calquée sur le paragraphe précédent... Quantté d accélératon et moment dynamque en un pont On consdère successvement un système S composé d un pont matérel, d un ensemble de ponts matérels (rgde ou non) et d un système contnu (rgde ou non) dans un repère R. Sot A un pont quelconque de R. On défnt la quantté d accélératon du système S par rapport à R, notée D, et le moment dynamque du système S par rapport à R au pont A, noté A par (on notera D(M) ou A (M) s nécessare...) : D = m a M/R et A = AM m a M/R s S est composé d un unque pont matérel de masse m ; D = m am/r = D(M ) et A = AM m am/r = A (M ) s S = (M, m ) =1,..,n est un système de ponts matérels de centre de masse G et masse totale m ; D = am/r dm et A = AM a M/R dm s S est un système contnu (rgde ou non) de centre de masse G, masse totale m, foncton de répartton de masse ρ (= masse volumque) et qu occupe à l nstant t le volume V (t). NB : On montre que dans le cas où S est un système dscret (calcul smple) ou contnu (calcul complqué dans le cas général où S peut être déformable), on a D = m a G/R
Torseur dynamque Le champ des moments dynamques du système S par rapport à R est un torseur appelé torseur dynamque de S par rapport à R et noté [ (Σ)]. Sa résultante est la quantté d accélératon du système S par rapport à R. On a la formule B = A + D AB Démonstraton : Smple calcul en décomposant AM = AB + BM. NB : 1. Le torseur dynamque est le torseur assocé au système de vecteurs lés (M, m a M/R ) lorsque M parcourt S. 2. Le calcul des éléments de réducton du torseur cnétque est dffcle dans le cas général où le système S est déformable. Il requert en général des éléments de mécanque des mleux contnus. Len entre les torseurs cnétque et dynamque Quel que sot le système consdéré, on a les relatons suvantes entre les torseurs cnétque et dynamque (dont la démonstraton est un smple calcul un peu long dans le cas dscret, et nécesste des résultats plus complqués dans le cas contnu) : D = d p et A = d L A + v A/R m v G/R Torseur dynamque : cas du solde A la dfférence du torseur cnétque qu est relé au champ des vtesses qu est un torseur (torseur cnématque), le torseur dynamque est relé au champ des accélératons qu lu n est pas un torseur! Les résultats obtenus dans le cas général ne sont donc pas smplfables même dans le cas du solde. Par contre, le fat que le volume occupé par le solde Σ, noté encore Σ, ne vare pas au cours du temps permet de fournr des démonstratons smplfées de certans résultats généraux. Enfn, le len qu exste entre les deux torseurs, cnétque et dynamque, donne la démarche à adopter : pour évaluer le second, on calcule le premer pus on utlse les formules démontrées dans le cas général... NB : On montre que le torseur dynamque d un système de soldes est égal à la somme des torseurs dynamques de chaque solde. Expresson du torseur dynamque d un solde en l un de ses ponts quelconques (éventuellement moble) S A est un pont moble de vtesse v A/R quelconque, les éléments de réducton du torseur dynamque en A sont ceux donnés dans les paragraphes précédents et aucune smplfcaton n est possble dans le cas général. Par contre, on constate que s A est le pont G, on a G = d L G alors que G peut très ben avor un mouvement dans R et une vtesse v G/R non nulle. 6 Par contre, s A est un pont fxe dans R,.e. s v A/R = 0, le moment du torseur devent dans ce cas : A = d L A Énerge cnétque Énerge cnétque d un système quelconque L énerge cnétque : d un pont matérel M de masse m vaut E.c. = 1 2 mv2 M/R. D un système de ponts matérels (M, m ) =1,...,n vaut E.c. = 1 2 m vm 2. /R D un système contnu S occupant à l nstant t le volume V (t) vaut E.c. = 1 2 v2 M/R dm. NB : Dans le cas où S est déformable, l expresson de l énerge cnétque ne peut être meux explctée car son champ des vtesses n est pas un torseur, et l faut en général fare appel à la mécanque des mleux contnus. Énerge cnétque d un solde Quel que sot A, pont quelconque du solde Σ (pour pouvor évaluer le torseur cnématque en ce pont), moble ou non, on montre (long calcul) que l énerge cnétque de Σ est égale au comoment des torseurs cnématque et cnétque évalués en A : E.c. = [V (Σ)] A [L(Σ)] A Ans : dans le cas général où v A/R est quelconque, on obtent : E.c. = 1 2 ( v A/R.m v G/R + (m AG v A/R ). Ω + J A Ω 2 ) ; dans le cas où v A/R est nulle, la formule se smplfe en : E.c. = 1 2 J AΩ 2 ; enfn, s l on chost A = G, on obtent E.c. = 1 2 mv2 G/R + 1 2 J GΩ 2 quel que sot le mouvement et la vtesse de G, et en partculer on a E.c. = 1 2 J GΩ 2 s G est fxe par rapport à R. L énerge cnétque d un système de soldes est égale à la somme des énerges cnétques des soldes le consttuant, mas elle ne peut se mettre sous la forme du comoment d un torseur cnématque et d un torseur cnétque pusque le premer n exste pas pour un système de soldes!
Composton des mouvements - Théorèmes de Koeng 7 Torseurs d nerte Sot Σ un solde évoluant dans l espace et deux référentels R et R. On a les formules de composton : v a = v e + v r et a a = a e + a r + a c. On appelle torseur cnétque d entraˆınement (resp. torseur dynamque d entraˆınement) le torseur assocé à l ensemble de ponts (M, dm v e ) (resp. (M, dm a e )) où M parcourt Σ. On défnt de même le torseur dynamque de Corols par rapport à l accélératon de Corols. Les torseurs cnétque ou dynamque relatfs et absolus font référence respectvement aux torseurs correspondant dans le référentel relatf et le référentel absolu. On obtent, avec des notatons évdentes : [L a (Σ)] = [L e (Σ)] + [L r (Σ)] et [ a (Σ)] = [ e (Σ)] + [ r (Σ)] + [ c (Σ)]. Cette relaton n est pas valable pour l énerge cnétque! Mouvement dans le référentel barycentrque On appelle référentel barycentrque le référentel R dont un repère d espace est centré en G et a un mouvement d entraînement de translaton par rapport au référentel de base (consdéré comme absolu). Le mouvement de Σ dans le référentel barycentrque R est appelé mouvement propre. On a la proprété mportante suvante, qu découle du fat que le mouvement d entraînement est un mouvement de translaton (d où ΩR /R = 0, v e = v G/R et a e = a G/R ) : LG/R = L G/R et G/R = G/R On note respectvement L et ces éléments barycentrques, et E.c. l énerge cnétque barycentrque. Théorèmes de Koeng On montre les résultats suvants, appelés respectvement théorème de Koeng pour le moment cnétque, pour le moment dynamque et pour l énerge cnétque : le moment cnétque d un système matérel S en A est égal à la somme du moment cnétque en A de son centre d nerte G affecté de la masse totale de S et de son moment cnétque barycentrque : LA = L + AG m v G/R Le moment dynamque d un système matérel S en A est égal à la somme du moment dynamque en A de son centre d nerte G affecté de la masse totale de S et de son moment dynamque barycentrque : A = + AG m a G/R L énerge cnétque d un système matérel S est égale à la somme de l énerge cnétque de son centre d nerte G affecté de la masse totale de S et de son énerge cnétque barycentrque : E.c. = E.c. + 1 2 mv2 G/R Dynamque I : modélsaton d une acton mécanque sur un système Torseur des actons On consdère deux systèmes S 1 et S 2 en nteracton tels que S 1 exerce une acton mécanque sur S 2 (.e. tels que le mouvement de S 2 est modfé par la présence de S 1 ). Cette acton mécanque est représentée de façon générale par un torseur appelé torseur résultant de l acton mécanque de S 1 sur S 2 : [F 1 2 ] A = [ F 1 2, M A (1 2)]. Les tros catégores d acton On dstngue les tros catégores d acton exstantes selon la nature du torseur qu les représente. Sot Σ exerçant une acton mécanque sur un système S : le torseur est un glsseur,.e. l exste un pont A de l espace tel que M A = 0. On que Σ exerce sur S une force applquée en A. Pour B quelconque, on a [F Σ S ] B = [ F Σ S, M B (Σ S) = F Σ S AB]. le torseur est un couple,.e. la résultante est nulle et le moment est ndépendant du pont chos : pour tous ponts A et B, on a [F Σ S ] B = [ 0, M B (Σ S) = M A (Σ S)]. le torseur est quelconque. Dans ce cas, on peut toujours le décomposer en la somme d un glsseur et d un couple. Torseur et pussance des actons mécanques dans le cas d un système ponctuel Sot S un système consttué d un pont matérel P. Le torseur des actons mécanques exercées par Σ sur S se rédut à un glsseur : [F] P = [ F, 0 ]. La pussance de cette acton dans le repère R à l nstant t est égale au comoment des torseurs des actons mécanques et cnématque : P(Σ S/R) = [V ] P [F] P = F. v P/R Cette pussance dépend du repère car la pussance des forces d entraînement est a pror non nulle, sauf s : 1. v e = 0,.e. les deux repères sont fxes l un par rapport à l autre, ou : 2. F = 0,.e. la résultante des forces agssant sur P est nulle.
Torseur et pussance des actons mécanques dans le cas d un système de ponts matérels Sot S un système consttué d un ensemble de ponts matérels (P ) =1,...,n mobles et non nécessarement rgdes (les ponts peuvent appartenr à un système contnu). Le torseur des actons mécanques exercées par Σ sur S est égal à la somme des glsseurs représentant l acton de Σ sur chaque P : pour A pont quelconque, [F] A = [ [F ] A = F = F, M A = M,A ]. La pussance de cette acton dans le repère R à l nstant t est égale à la somme sur chaque pont M des comoments des torseurs des actons mécanques et cnématque : P(Σ S/R) = [V ] P [F ] P = F. v P/R Cette écrture n est ben sûr pas le comoment 8 de deux torseurs (rappelons qu l est mpossble d assocer au système a pror déformable un torseur cnématque). Cette pussance dépend du repère car la pussance des forces d entraînement est a pror non nulle, sauf s (avec O centre du repère relatf) : 1. v e = 0 et Ω = 0 (.e. les deux repères sont fxes l un par rapport à l autre), ou : 2. F = 0 et M O = 0 (.e. la résultante des forces agssant sur P est nulle), ou : 3. F = 0 et Ω = 0, ou : 4. O = 0 et M O = 0. Torseur et pussance des actons mécanques dans le cas d une dstrbuton contnue Sot S un système contnu non nécessarement rgde et occupant à l nstant t le volume V (t). Le torseur des actons mécanques exercées par Σ sur S est égal à la somme des glsseurs représentant l acton de Σ sur chaque P : pour A pont quelconque, [F] A = [ F = M V (t) F M dτ, ] M A = AM F M dτ. La pussance de cette acton dans le repère R à l nstant t est P(Σ S/R) = FM. v M/R dτ. Cette pussance dépend du repère car la pussance des forces d entraînement est a pror non nulle, et les conons d excepton sont les 4 mêmes conons que pour un système dscret de ponts matérels. Pussance des actons mécanques extéreures dans le cas d un solde Dans le cas où S est un solde, on montre que la pussance des actons mécanques extéreures exercées sur S à l nstant t dans le repère R est égale au comoment des torseurs cnématque et des actons mécanques : quel que sot A pont du solde (ou attaché à son repère, pour pouvor défnr le torseur cnématque), P(Σ S/R) = [V ] A [F] A NB : Ce résultat montre que la pussance d une acton agssant sur un solde ne dépend que du torseur schématsant cette acton, et pas du tout de sa répartton. Pussance des actons mécanques ntéreures dans le cas d un solde On montre dans le cours de MMC que la pussance des efforts ntéreurs régnant dans un solde est nulle dans tous les repères. Ce résultat est nécessare pour l applcaton du théorème de l énerge cnétque. Torseur et pussance des actons mutuelles entre deux soldes Sot Σ 1 et Σ 2 deux soldes en nteracton l un avec l autre. Le théorème de l acton et de la réacton (cf. secton suvante), permet d écrre que la somme des torseurs écrts au même pont des actons mécanques exercées par chaque solde sur l autre, est égale au torseur nul. On a vu que cela mplquat que la pussance développée dans le mouvement est ndépendante du repère (car la pussance des actons des forces d entraînement est nulle). On en dédut que : la pussance des actons mutuelles entre Σ 1 et Σ 2, défne par P(Σ 1 Σ 2 ) = P(Σ 1 Σ 2 ) + P(Σ 2 Σ 1 ), est ndépendante du repère. Dynamque II : prncpe fondamental et théorèmes généraux Prncpe fondamental de la dynamque (énoncé moderne) Dans tout repère galléen R et pour tout système matérel S de mleu extéreur S, le torseur dynamque de S par rapport à R est égal au torseur des actons exercées par S sur S : quel que sot le pont A, [F(S S)] A = [ (S/R)] A NB : On a qualfé de moderne cet énoncé car l ntègre à lu seul les tros prncpes de Newton : cf. paragraphe suvant. Prncpe fondamental de la statque S S est au repos dans R galléen, alors son torseur dynamque est nul et l on a [F(S S)] A = [O] A pour tout pont A. Cec correspond à la premère lo de Newton. Théorème de l acton et de la réacton Énoncé par Newton comme prncpe, le résultat sur l acton et la réacton devent un théorème démontrable à partr de l énoncé moderne du PFD : les torseurs des actons exercées par deux systèmes matérels en nteracton dans un référentel galléen sont opposés : [F(S 1 S 2 )] = [F(S 2 S 1 )] Théorème de la résultante dynamque Par applcaton du PFD aux résultantes des torseurs ms en jeu, on peut énoncer que dans tout référentel galléen R et pour tout système matérel S (rgde), la résultante du torseur dynamque de S par rapport à R est égale à la résultante des efforts extéreurs agssant sur le système : D = dm v G/R = F (S S)
Théorème du moment cnétque Par applcaton du PFD aux moments des torseurs ms en jeu, on peut énoncer que dans tout référentel galléen R et pour tout système matérel S, le moment en un pont quelconque du torseur dynamque de S par rapport à R est égal au moment au même pont des efforts extéreurs agssant sur le système : A = M A Dans le cas de systèmes soldes, on peut écrre s A est un pont fxe dans R : A = d L A/R = M A (la dérvée du moment cnétque en un pont A fxe est égale au moment des forces en A). S A n est pas fxe, l égalté n est plus vrae, l faut tenr compte d un terme supplémentare fasant ntervenr la vtesse de A : 9 d L A/R = M A + m v G/R v A/R. Théorème de l énerge cnétque Dans tout référentel galléen R et pour tout système matérel S composés de soldes lbres, la dérvée par rapport au temps de l énerge cnétque est égale à la pussance des actons mécanques extéreures et ntéreures agssant sur de.c.(s/r) le système : = P( F e /R) + P( F /R) Dans le cas où S est composé d un unque pont ou d un unque solde, on obtent (pusque les forces ntéreures n ntervennent pas) : de.c.(s/r) = P( F e /R)