Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 006/007 Présenttions Cours Sébstien Thibud S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 006/007 Présenttions S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 006/007 Objectis pédgogiques Vous donner les outils nécessires à l résolution de problèmes de physique/chimie et plus générlement scientiique Donner une méthodologie pour résoudre ces problèmes Objectis souhités (un dou rêve?) Rendre l étudint curieu (un scientiique est une personne curieuse) Donner les bses pour une éventuelle poursuite d étude (ce qui est souvent le cs) Dépoussiérer les idées préconçues sur les mthémtiques S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 3
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 006/007 Pour le prochin TD de Mths Que pensez-vous des enseignements de mths jusqu à présent? Que pensez-vous générlement des mths? Qu ttendez-vous des mths lors de votre cursus universitire? Qu ttendez-vous de votre enseignnt? S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 4
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 006/007 Présenttion du progrmme de mths de DUT en onction des enseignements scientiiques Fonctions numériques à une vrible réelle/plusieurs vribles réelles Physique, Chimie, Thermodynmique, mécnique des luides Clcul diérentiel et intégrl Clcul mtriciel Résolutions d équtions Chimiométrie Toutes disciplines scientiiques Physique, Chimie, Thermo, SdM Série de Fourier Physique Probbilités et sttistiques Physique, Chimie, Epérimenttions, Chimiométrie S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r Nombres complees Physique 5
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Fonctions numériques de vrible réelle (Fonctions réelles à vleurs réelles) S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 6
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Les diverses pplictions scientiiques tentent de chercher des reltions entre diérentes vribles considérées. Ces diverses reltions ont intervenir l notion de onction Une onction est une reltion qui à chque élément d un ensemble X ssocie un élément unique y d un ensemble Y. L élément y est ppelé élément imge de pr l onction et on le note () (lire «de»). L ensemble X est ppelé domine de et l ensemble de tous les éléments imges des éléments de X est ppelé imge de l onction. Domine Imge () X Y S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 7
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Domine de déinition Courbe représenttive (prémbule) () Domine de vleurs 0 domine de déinition : D R R () Su indiction contrire, le domine d une onction est l ensemble des nombres réels pour lesquels l onction est déinie Si une onction est indéinie en, cel signiie que n pprtient ps u domine de S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 8
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Nottion des Fonctions On peut représenter les onctions de diverses çons Générlement une ormule mthémtique Il est cournt (mis ps essentiel), de désigner pr l vrible d entrée et pr y l vrible de sortie ssociée On écrit lors l reltion relint et y Dns ce cs, et y sont ppelées vribles (: vrible indépendnte et y: vrible dépendnte) S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 9
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Fonction surjective : Si l imge de comprend tous les éléments de Y (e: onction sinus) Fonction bijective : Si pour un élément du domine, il eiste une unique imge y et réciproquement (onction linéire : y=+b) Fonction bornée : une onction est dite bornée sur [,b] s il eiste un nombre B tel que Pour tout, b (eemple l onction sinus et cosinus sont bornées sur R (M=) Fonction pire : une onction est dite pire sur E si pour tout E : ()=(-) (e: cos ) Fonction impire : une onction est dite impire sur E si pour tout E : ()=-() (e: sin ) B (-) = () () () - - O (-) = - () Fonction périodique : une onction est dite périodique sur E si pour tout (+T)=() (e: cos() et sin(), l période est p) S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r E et T E 0
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Fonction périodique : une onction est dite périodique sur E si pour tout E et T E (+T)=() (le plus petit T est ppelé période, e: cos() et sin(), l période est p) ( + T) = g() T T T T S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Opértions sur les onctions Églité entre deu onctions : D R R () g : D R R g() les onctions et g sont égles, et on écrit = g Églité de onctions et g ont même domine de déinition D et si pour tout D on () = g() Églité de réels S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Opértions sur les onctions : somme de onctions Somme de deu onctions : D R R () g : D R R g() L somme de deu onctions s écrit : (+g)()=()+g() Opértions sur les onctions : Multipliction pr un réel (sclire) Si lr : (l.g)()=l.g() S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 3
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Opértions sur les onctions : Composition de deu onctions Il rrive souvent qu une grndeur soit donnée pr une onction d une vrible qui à son tour peut s écrire comme une onction d une seconde vrible. Prenons, pr eemple, le cs de l société AMAZON : Elle doit epédier pquets (DVD, Livres, CD) à diérentes dresses. Soit, le nombre de pquets à epédier. F le poids de ces objets et g, le coût totl de l envoi. Dns ce cs : Le poids est une onction que l on noter () du nombre d objets Le coût est une onction g[()] du poids Le coût devient lors une onction du nombre de pquets. Ce processus consiste à évluer une onction de onction. On ppelle cette opértion l composition de onctions. S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 4
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Opértions sur les onctions : Composition de deu onctions L onction composée notée o g est déinie pr ( o g)()=[g()] (lire «de [g de ]»). Pour chque pprtennt u domine de g pour lequel g() pprtient u domine de. En générl o g g o Domine de g g Imge de g g() Domine de S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r [g()] Imge () 5
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Continuité Lorsque l on trce le grphe ssocié à une onction, on plce un nombre ini de points et on les joints en supposnt que l onction vrie régulièrement Cette hypothèse n est ps toujours vériiée (même lorsque l onction est déinie pr une ormule) Rien de prticulier Les Fonctions vrient de çon continue Chngement de pente mis vleur unique de l onction à l origine S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r Chngement brutl de l onction à l origine et deu vleurs distinctes de l onction L onction oscille indéiniment u voisinge de l origine sns même que l on sche s vleur en 0 Les Fonctions vrient de çon discontinue 6
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Continuité Une onction numérique, déinie sur un intervlle I de R, est continue en un point 0 de I si : lim 0 eiste et lim 0 0 On dit que l onction est continue à droite si lim 0 0 lim On dit que l onction est continue à guche si 0 0 On dit qu une onction est continue sur le segment [,b], si l onction est continue en tout point de ],b[, à guche en et à droite en b L somme, le produit, le quotient, l composée de deu onctions continues sont des onctions continues S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 7
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Continuité Mise en grde Dns le cs prticulier d un quotient, les points où le dénominteur s nnule ne ont ps prtie du domine de déinition, et le quotient est continu sur des intervlles (ouverts) qui ne contiennent ps ces points. (su cs prticuliers des ormes indéterminées, voir TD sur le prolongement pr continuité de rctions rtionnelles) S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 8
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Clcul des limites S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 9
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Clcul prtique des limites Il est souvent nécessire de connître le comportement d une onction en certins points qui «posent» problème. Le but est de donner ici les outils nécessires u clculs des limites. Il ut svoir que l notion de limite ut une vncée considérble en mthémtiques et donc en physique cr elle mène à l déinition de l dérivée et donc u clcul diérentiel et intégrl.,t L vitesse moyenne d une prticule est donnée pr v t t,t Que vut lors l limite de l vitesse moyenne lorsque les deu instnts sont très proches? lim t t t t? lim lim t t t tt t0 d dt v inst S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 0
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Règle de l onction constnte : Règle de l onction ()= : Règle de l multipliction pr une constnte : Règle de l somme : Règle de l diérence : Règle du produit : Règle du quotient : Règle des puissnces : lim[ c lim[ c Propriétés des limites lim k k c lim c c si k est une constnte lim[ k k c g] lim lim g c c lim[ g] lim lim g c c c g] lim lim g c c ] lim c lim[ / g] lim / lim g si lim g 0 c lim[ c ] n c lim c n c c où n est un nombre rtionnel S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Limite d une onction polynomile Si P est une onction polynomile lors lim P Pc c Limite d une rction rtionnelle P P c Si Q est une onction rtionnelle déinie pr Q lors Q si D c D c D c lim 0 S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r
S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 3 Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Évlutions lgébrique des limites - Formes indéterminées et cs prticuliers Forme indéterminée 0/0 Évlution d une limite pr l réduction de rction Cette simpliiction est vlide seulement si. On peut ici ire l évlution de l limite de l onction réduite cr on cherche l vleur de l onction lorsque l on s pproche de et non ps l vleur de l onction en =. 5 3 lim 3 lim 6 lim Évlution d une limite pr rtionlistion 4 lim 4 4 lim. 4 lim 4 lim 4 4 4 4
S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 4 Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Évlutions lgébrique des limites - Formes indéterminées et cs prticuliers Forme indéterminée 0/0 Évlution d une limite en présence d eponentielles On pose X=e et on n oublie ps de chnger l vleur où l on recherche l limite lim 0 e e e 0 X Évlution d une limite d un polynôme L limite d un polynôme lorsque tend vers 0 est équivlente à l limite lorsque tend vers 0 de son monôme de plus bs degré 3 lim lim lim lim 0 X X X X X X X e e e X X X 0 0 0 0 0 lim ~... lim lim P n n n n 0 lim ~ lim lim 0 3 8 0 0 P
S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 5 Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Évlutions lgébrique des limites - Formes indéterminées et cs prticuliers Forme indéterminée 0/0, /, - Évlution d une limite d une rction rtionnelle L limite d une rction rtionnelle lorsque tend vers 0 est équivlente à l limite lorsque tend vers 0 des rpports des monômes de plus bs degré 0 0 0 0 0 0 lim ~...... lim b b b b b Q m m m m n n n n 0 0 0 0 lim ~ lim lim lim Q
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Évlutions lgébrique des limites - Formes indéterminées et cs prticuliers Forme indéterminée 0/0, /, - Évlution d une limite d une rction rtionnelle n n n n Q... lim 0 m m bm bm... b b0 ~ lim n m n m L limite d une rction rtionnelle lorsque tend vers est équivlente à l limite lorsque tend vers des rpports des monômes de plus hut degré limq 4 lim ~ lim S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 6
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Évlutions lgébrique des limites - Formes indéterminées et cs prticuliers Règle de l compression (ou d encdrement) Si g h sur un intervlle ouvert contennt c et si Alors lim c L limg c limh L c Si une onction peut être comprimée (encdrée) entre deu onctions ynt des limites égles en un point donné, lors cette onction nécessirement l même limite en ce point. S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 7
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Notions sur les dérivées S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 8
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 En prémbule, on présenté le clcul de limite comme étnt un outil pour étudier le comportement prticulier des onctions en certins points. Nous llons ici présenter et introduire plus en détil le concept de dérivée ssocié L dérivée déjà été introduite comme étnt l pente de l tngente à l courbe représenttive d une onction en un point Droite tngente m tn P( 0,( 0 )) Droites sécntes Q( 0 +Δ,( 0 +Δ)) Pente d une tngente à un grphe en un point Si elle eiste m lim 0 0 0 0 0 +Δ S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r Δ est ppelé ccroissement 9
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Déinition de l dérivée L onction donne l pente d une sécnte du grphe d une onction et est ppelée tu de vrition moyen de. L limite de ce tu de vrition moyen lim donne l pente de l tngente u grphe 0 de u point (,()) et est ppelée tu de vrition instntnée ou dérivée de. Déinition de l dérivée d une onction L dérivée de en est donnée pr (en utilisnt les nottions de Leibniz) d d lim 0 A condition que cette limite eiste Dériver une onction en signiie trouver s dérivée u point (,()) Si l limite du tu de vrition moyen eiste, on dit que est dérivble en L dérivée d une onction est elle-même une onction S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 30
d d Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Applictions directes de l déinition d d lim 0 lim lim lim 0 0 0 lim 0 d d sin 0 sin lim sin sin( b) sincosb sinbcos sin( ) sincos sincos d d sincos cossin sin sin cos sin lim lim cos lim sin cos 0 0 0 S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 3
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Eistence des dérivées : cs cournts où elle n eiste ps Point nguleu Tngente verticle Point de discontinuité Si les limites à guche et à droite du tu de vrition moyen ne sont ps égles lorsque tend vers c, l onction n est ps dérivble en c. S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 3
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Continuité et dérivbilité: Théorème Si une onction est dérivble en =c, lors elle est églement continue en =c L réciproque n est ps vri : si une onction est continue en =c, elle peut être ou ne ps être dérivble en ce point. Eemple de l vleur bsolue qui est continue est en 0 mis non dérivble en 0. Nottions de Leibniz d Le symbole est le symbole de dérivtion d une onction pr rpport à. d Cette nottion possède l vntge de déinir l vrible pr rpport à lquelle on dérive Les dérivées successives de y=() sont lors données pr d d dy d d d y Dérivée seconde d y d S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r d d d 3 d y 3 Dérivée 3-ième d n d y n Dérivée n-ième 33
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Règles ondmentles de dérivtion (à connître sur le bout des doigts) Règle de l dérivée d une constnte y=k dy d 0 Règle de l multipliction pr une constnte y=k() dy d k d d Règle de l somme y=(+g)() dy d d d dg d Règle de l diérence y=(-g)() dy d d d dg d Ces 4 règles peuvent être rssemblées en une seule l règle de linérité y=+bg dy d S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r d d b dg d 34
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Règles ondmentles de dérivtion (à connître sur le bout des doigts) Règle du produit y()=()g() Règle du quotient y()=()/g() dy d Règle de dérivtion en chîne y=(og)() dy d dg d g d g d g dy d d d dg d d d g d dg. dg d On peut réécrire u=g() dy d d d u d du. du d Eemple n y og g n dy d S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r d d d dg dg d dg d dg d n. n g ng. n g 35
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Dérivées des onctions trigonométriques d d Dérivées des onctions puissnces d d Dérivées usuelles d d cos sin sin cos n n n Dérivées des onctions eponentielles et logrithmes d d e e d d ln S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 36
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Dérivées usuelles générlisées Utilistion de l dérivtion en chîne Dérivées des onctions trigonométriques d d cosu sinu d Dérivées des onctions puissnces d d u nu n n du d Dérivées des onctions eponentielles et logrithmes du d d u u du sinu cosu d d d u du u e e d d lnu d u du d S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 37
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Eemple Dérivée de l onction 4 cos 3 Utilistion des règles d d 3 4cos 3 4cos 3 4cos 4cos 4 3 d cos 3 d d 3 sin 3 3 d 3 d 3 sin 3 3 3 d 3 3 sin 3 3 3 3 cos 3 sin 3 S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 38
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Applictions de l dérivée Clcul de l droite tngente en un point d une onction y d d y d d S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 39
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Théorème de Rolle et des ccroissements inis Théorème de Rolle : Soit une onction continue sur le segment [,b]. Si ()=(b) et si d d Eiste pour tout dns l intervlle ouvert ],b[, lors il eiste u moins un point c de ],b[ tel que d c 0 d b c b S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 40
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Théorème de Rolle et des ccroissements inis Théorème des ccroissements inis : Soit une onction continue sur le segment [,b], et dérivble prtout dns l intervlle ouvert ],b[. Alors quels que soient les nombres et b dns cet intervlle, il eiste un nombre c compris strictement entre et b tel que d d b cb b L epliction prtique de ce théorème est qu il eiste un point c entre et b tel que l tngente en c est prllèle à l droite pssnt pr et b c b S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 4
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Conséquences du théorème des ccroissements inis Théorème : Soit une onction dérivble sur un intervlle ouvert I : d d. S il eiste une constnte M telle que M pour tout dns cet intervlle, lors b M b, bi d d. S il eiste une constnte m telle que m pour tout dns cet intervlle, lors b mb, bi L epliction prtique de ce théorème trduit l idée qu en n llnt ps vite on ne v ps loin pendnt un lps de temps donné (.) ou u contrire qu en llnt vite on v loin (.). Ce théorème est l bse pour déinir l monotonie des onctions (signe de l dérivée) S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 4
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Vritions des onctions Notions d etremums Mimum locl : Le nombre (c) est un mimum locl de l onction s il eiste un intervlle ouvert contenu dns le domine de déinition de, et contennt c tel que Minimum locl : Le nombre (d) est un minimum locl de l onction s il eiste un intervlle ouvert contenu dns le domine de déinition de, et contennt d tel que d Etremum locl : (c) est un etremum locl de, si (c) est un mimum ou un minimum locl c M m Théorème : Si (c) est un etremum locl et si est dérivble u point c, lors d d c 0 c d c d b S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 43
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Vritions des onctions Vleurs critiques et etremums bsolus Théorème des vleurs critiques : Si une onction continue dmet un etremum relti en c, lors c doit être une vleur critique de. En plus clir : si un point est un mimum relti ou un minimum relti pour une onction, soit l dérivée en ce point est nulle, soit elle n eiste ps (cs pr eemple de l vleur bsolue, =0 est une vleur critique) S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 44
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Vritions des onctions Méthode pour trouver les etremums bsolus Méthode pour trouver les etremums bsolus : Pour trouver les etremums bsolus d une onction continue sur [,b]: d Étpe. Clculer et trouver toutes les vleurs critiques de sur [,b]. d Étpe. Évluer u etrémités et b et pour chque vleur critique c. Étpe 3. Comprer les vleurs obtenues à l étpe. L plus grnde vleur est le mimum bsolu de sur [,b], l plus petite vleur est le minimum bsolu de sur [,b] Mimum - -3 Mimum 3 4 sur 0,3 Minimum S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r Minimum 45
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Vritions des onctions Test de l dérivée première Théorème de l onction monotone Soit, une onction dérivble sur l intervlle ouvert ],b[, d Si 0 sur ],b[, lors est croissnte sur ],b[ d Et d Si 0 sur ],b[, lors est décroissnte sur ],b[ d S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 46
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Test de l dérivée première Intervlles de croissnces et de décroissnces Eemple de tbleu de vrition construction du grphe d une onction Soit 3 3 9 L dérivée de cette onction est donnée pr Le tbleu de vrition est lors donné pr d d 3 3 6 9 3 d d 3 0 0 6 0, 3 6 6 lim lim 6 S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 47
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Test de l dérivée première Chque etremum relti correspond à un point critique Chque point critique n est ps orcément un etremum relti Test de l dérivée première pour identiier les etremums reltis d une onction Méthode pour identiier les etremums reltis Étpe. Déinir le domine de déinition de l onction. Étpe. Trouver toutes les vleurs critiques de, i.e. toutes les vleurs c du domine de telles que d d 0 ou d d n eiste ps Étpe 3. Clsser chque point critique à l ide des indictions suivntes S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 48
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Méthode pour identiier les etremums reltis Indiction. Le point (c,(c)) est un mimum relti si d d 0 (onction croissnte) pour tout d pprtennt à un intervlle ouvert ],c[ à guche de c et d tout pprtennt à un intervlle ouvert ]c,b[ à droite de c 0 (onction décroissnte) pour d d 0 d d 0 d d 0 d d 0 c c S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 49
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Méthode pour identiier les etremums reltis Indiction. Le point (c,(c)) est un minimum relti si d d 0 (onction décroissnte) pour tout X pprtennt à un intervlle ouvert ],c[ à guche de c et tout pprtennt à un intervlle ouvert ]c,b[ à droite de c d d 0 (onction croissnte) pour d d 0 d d 0 d d 0 d d 0 c c S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 50
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Méthode pour identiier les etremums reltis Indiction 3. Le point (c,(c)) n est ps un etremum relti si l dérivée dns les intervlles ouverts ],c[ et ]c,b[ des deu côtés de c d d le même signe d d 0 d d 0 d d 0 d d 0 c c S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 5
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Test de l dérivée première Intervlles de croissnces et de décroissnces Eemple de tbleu de vrition construction du grphe d une onction Soit 3 3 9 L dérivée de cette onction est donnée pr Le tbleu de vrition est lors donné pr d d 3 3 6 9 3 d d 3 0 0 6 6 lim lim S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r Mimum relti 6 6 0, 3 Minimum relti 5
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Représenttion grphique à l ide de l dérivée première RECAPITULATIF Utilistion de l dérivée première pour trcer le grphe d une onction Étpe. Déinir le domine de l onction d Étpe. Clculer l dérivée et trouver les vleurs critiques de, i.e. les vleurs pour lesquelles d ou d d 0 n eiste ps. d d Étpe 3. Remplcer chque vleur critique dns () pour trouver l ordonnée du point critique correspondnt. Étpe 4. Construire le tbleu de vrition de l onction. Déterminer les intervlles de croissnce et de décroissnce en vériint le signe de l dérivée sur les intervlles dont les etrémités sont les vleurs critiques trouvées à l étpe ou les vleurs n pprtennt ps u domine. Étpe 5. Trcer le grphe en utilisnt l inormtion contenue dns le tbleu de vrition de S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 53
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Concvité et test de l dérivée seconde Le it de svoir si une onction est croissnte ou décroissnte sur un intervlle donnée ne donne qu une idée prtielle de l orme de son grphe (0,) (0,) Grphes ynt le même tbleu de vrition S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 54
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Concvité et test de l dérivée seconde Le grphe d une onction peut être concve vers le hut ou concve vers le bs sur un intervlle donné Concve vers le hut (convee) C A B Concve vers le bs (concve) S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 55
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Concvité et test de l dérivée seconde Concve vers le hut (convee) C A B Concve vers le bs (concve) Concvité Le grphe d une onction est concve vers le hut (on dit ussi convee) sur tout intervlle ouvert I où d 0 Le grphe d une onction est concve vers le hut sur tout intervlle ouvert I où d 0 S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r d d 56
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Eemple de l concvité de l onction sinus sin Sur l intervlle L dérivée est nulle en d d cos sin d d [ 0,p], l onction sinus s nnule en 0,p,p p/,3p / On doit donc s ttendre à ce que l onction sinus chnge -c s -s Dérivtion c Intégrtion de concvité sur l intervlle [ 0,p] Or sur [ 0, p] l dérivée seconde est négtive et donc l onction est concve vers le bs sur cet intervlle Sur [ 0, p], l dérivée seconde est positive et donc l onction sinus est concve vers le hut sur cet intervlle S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 57
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Points d inleion Point d inleion Soit le grphe d une onction ynt une tngente (peut être verticle) u point P(c,(c)). Si l Concvité du grphe chnge u point P, lors le point P est ppelé point d inleion du grphe. Mimum relti Mimum bsolu Mimum relti Point d inleion Minimum relti S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r Point d inleion Minimum bsolu 58
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Points d inleion L concvité du grphe chnge seulement u points où d d 0 ou d d n eiste ps Les points d inleion correspondent u vleurs critiques de l dérivée de Une onction continue n ps orcément un point d inleion lorsque Eemple de l onction chnge ps 4 d d 0, l dérivée seconde est nulle mis l concvité ne S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 59
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Utilistion du test de l dérivée seconde pour l construction du grphe 4 4 3 0 d 4 3 d d d Clcul des vleurs critiques Le domine de déinition de est l ensemble des réels L dérivée eiste sur tout ce domine et dmet 0 et 3 comme rcines D près l indiction 3 sur les etremums reltis : Les dérivées à droite et à guche de 0 sont de même signe : 0 n est ps un etremum relti L dérivée à guche est négtive et l dérivée à droite est positive : 3 est un minimum relti Clcul des vleurs critiques de l dérivée seconde (concvité) L dérivée seconde est déinie sur l ensemble de déinition de L dérivée seconde s nnule en 0 et en D près l déinition des points d inleions Les dérivées secondes à guche et à droite de 0 et de chngent de signe : l concvité du grphe chnge en ces points. Les vleurs 0 et sont des points d inleion. S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 60
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Utilistion du test de l dérivée seconde pour l construction du grphe Tbleu de vrition 0 3 d d 0 0 d d 0 0 3 0 6 7 0 Allure du grphe 0,0, 6 3, 7 lim lim d d 4 4 3 0 4 3 S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r d d 6
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Études locles des onctions Notions de développements limités S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 6
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Générlités Une onction dmet un développement limité u voisinge de 0 à l ordre n si est de l orme L onction o n n... o 0 est ppelée O de Lndu et est déinie pr limo 0 n 0 Une onction dmet un développement limité u voisinge de 0 à l ordre n si est de l orme n o 0 0... n 0 0 Une onction dmet un développement limité u voisinge de à l ordre n si est de l orme n 0... o n n n n S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 63
S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 64 Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Générlités Si est de clsse C n (n ois dérivble) u voisinge de 0, lors dmet un développement limité à l ordre n : ormules de Tylor. Formule de Tylor vec reste intégrl n n n n n dt t dt d n d d n d d d d 0.!!... 0 0 0 0 0 0 0 0 On noter que si l on limite le développement à l ordre n=, on retrouve l éqution de l tngente de l onction u point 0 : 0 0 0 0 0 d d d d
S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 65 Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Formule de Tylor-Young n n n n n n o d d n d d n d d d d 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.!!... Eemple u voisinge de 0 sur les onctions usuelles n n n n n n n n n n o n n o n o n o n e!......!... 4! cos!... 5! 3! sin!.. 3! 4 5 3 3 Le premier terme du développement est ppelé équivlent de l onction C n
S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 66 Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Autres ormules n n n n n o o...... Si et g dmettent un développement limité respectivement à l ordre n et m, u voisinge de 0, ini ou non, lors +g dmet un développement limité à l ordre Min(n,m), obtenu en joutnt les deu développements limités de et g. Opértions sur les développements limités Somme 4 4 5 5 3 4! cos 5! 3! sin o o Eemple : Somme des onctions sinus (ordre 5) et cosinus (ordre 4) 4 4 3 4 4 3 4! 3! 4! 3! cos sin o o
S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 67 Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Produit Si et g dmettent un développement limité respectivement à l ordre n et m, u voisinge de 0, ini ou non, lors g dmet un développement limité à l ordre Min(n,m), obtenu en multiplint les deu développements limités de et g. 3 3 3 3 3 3 6 3 o g o g o
S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 68 Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Composition Si dmet un développement limité respectivement à l ordre n u voisinge de 0, ini ou non, si le terme constnt vut 0 et si g dmet un développement limité à l ordre n u voisinge de 0 lors go dmet un développement limité à l ordre n u voisinge de 0, obtenu en développnt l composée des développements limités de et g. 4 4 4 cos X o X X e e e e X o X X Eemple : Développement de l onction ep(cos ) à l ordre 4 u voisinge de 0 X est d ordre en, on ne développe que les termes llnt en X 4 4 4 o X o X X 4 cos 6 o e e
S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 69 Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Quotient Si et g dmettent un développement limité à l ordre n, u voisinge de 0, ini ou non, et si le coeicient constnt de g est non nul lors /g dmet un développement limité à l ordre n. 5 4 5 5 3 4 0 6 cos sin tn o o Eemple de l onction tngente On utilise le développement de 5 o u u u 4 4 u vec 6 5 3 5 4 4 5 5 3 5 3 4 4 0 6 tn o o o
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Intégrtion et dérivtion Si est continue et dérivble u voisinge de 0 R, et si s dérivée dmet un développement limité en 0 à l ordre n, lors dmet un développement limité à l ordre n+ en 0, obtenu en intégrnt celui de s dérivée. Eemple 3 n n n... o ln 3 n n... o ln 3 3 n n Si dmet un développement limité u voisinge de 0 à l ordre n, et si l on sit que s dérivée première dmet un développement limité à l ordre n- (si l onction est n ois dérivble), lors le développement limité de l dérivée s obtient en dérivnt le développement de u voisinge de 0. Eemple S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r d d cos sin 70
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Applictions des développements limités pour l étude des onctions Étude des limites d une onction u voisinge d un point lim 0 sin 3 tn5 0 0 Pr utilistion des développements limités, on donne un équivlent u voisinge de 0 (prtie principle) sin3 ~ 3 tn5 ~ 5 lim 0 sin 3 tn5 ~ lim 0 3 5 3 5 S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 7
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Applictions des développements limités pour l étude des onctions Étude des limites d une onction u voisinge d un point lim lim R ln ln Au voisinge de, on donne l équivlent de l onction ln(+/) soit ln ~ ln lim ln lim e ~ Si =0 lim S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r e 7
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Applictions des développements limités pour l étude des onctions Étude locle d une onction u voisinge d un point : tngente, concvité et point d inleion Si, u voisinge de 0, on Alors o 0 0 0 0 0 0 Est l éqution de l tngente, se prolonge pr continuité en 0 pr ( 0 ) Si 0, l position pr rpport à l tngente est donnée pr le signe de. S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 73
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Applictions des développements limités pour l étude des onctions Étude locle d une onction u voisinge d un point : tngente, concvité et point d inleion Si, u voisinge de 0, on 3 o 0 0 3 0 0 Et si 3 0, lors il y un point d inleion u point d bscisse 0 puisque l courbe trverse s tngente. 3 S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 74
S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 75 Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Applictions des développements limités pour l étude des onctions Études des symptotes o 0 Si u voisinge de, on lors 0 y est l éqution de l symptote oblique Si 0, l position pr rpport à l symptote est donnée pr le signe de o o 3 3 ln 3 3
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Interlude : Les brnches prboliques L notion d symptote vous déjà étit présentée Une utre notion ccompgne celle d symptote : l étude des brnches prboliques Clculer Si lim lim 0 Il y une brnche prbolique de direction O (eemples:,ln ) S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 76
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Si lim Interlude : Les brnches prboliques Il y une brnche prbolique de direction Oy (eemples: ²) S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 77
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Si lim 0 Interlude : Les brnches prboliques Il y direction symptotique y= Si lim b Si lim E : ln Alors y=+b est symptote oblique Alors, il y une brnche prbolique dns l direction y= S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 78
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 L étude des brnches prboliques peuvent être complees L utilistion des développements limités peut simpliier ces études Il est insi possible à l ide des dl d étudier loclement le comportement d une onction Cette notion est très souvent utilisée en physique pour les études locles (u voisinge d un point) : stbilité, utomtique, linéristion des problèmes non-linéires Les développements limités sont des outils puissnts et très utiles : il ut donc svoir les ppliquer et SURTOUT connître les dl usuels et l ormule de Tylor-Young. S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 79
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Démonstrtion cuisnte de l intérêt des développements limités. Résoudre 3 - - 3-5 4 0 - Il eiste en principe 5 rcines On montre qu il eiste 3 rcines réelles données pr 9 3 93 9 3 93 5 0, 68 3 3,465 3 5, 68 3 3 3 Comment pprocher ces rcines lorsqu elles ne sont ps ccessibles directement? S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 80
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Méthode de Newton-Rphson Soit une onction réelle continue et dérivble sur un intervlle I. Après étude de l onction, on montre qu elle dmet une rcine c u voisinge d un point 0 Pr utilistion de l ormule de Tylor-Young u premier ordre (éqution de l tngente), il vient L tngente coupe l e des bscisses en tel que y( )=0 y d d 0 0 0 0 0 0 d d 0 c On réutilise lors ce nouveu point ( ) S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 0 y() en 0 8
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 On réutilise lors ce nouveu point ( ) et on recommence L tngente coupe l e des bscisses en tel que y( )=0 y d d 0 d d On recommence le processus jusqu à obtenir une vleur pprochée de c que l on obtient en regrdnt l diérence entre deu solutions i i Précision Souhitée 0 y() en c C est cette méthode qui est utilisée dns vos clcultrices pour trouver les rcines d une onction (et ce quelque soit l onction, si elle possède des rcines réelles) Cette méthode est ppelée méthode de NEWTON-RAPHSON S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 8
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Fonctions trigonométriques inverses S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 83
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 p Fonctions rcsinus et rccosinus y rcsin p y rccos - dl p n d d rcsin Si et seulement si sin y p et p y d rcsin dl n rcsin p - d rccos d dl n Si et seulement si cos et y 0 y p d rccos dl n rcsin rccos p rcsin S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 84
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Fonctions rctngente et rccotngente y y=rccot p p y=rctn y rctn tn y R p p y d rctn d dlnrctn dln d rctn rctn p y rc cot cot y R 0 y p rccot dlnrccot dlnrctn rccot p rccot d d S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 85
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Quelques propriétés des onctions réciproques trigonométriques p rcsin rccos p rccot rctn( ) rctn p rctn p rctn si 0 si 0 rctn rctn y y rctn y p si y 0 et 0 0 si y p si y et 0 S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 86
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Notions sur les diérentielles S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 87
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Rppels sur les dérivées et notions de diérentielles : onctions diérentibles L notion de onction diérentible est très voisine de celle de onction dérivble, Elle présente sur cette dernière l vntge de pouvoir se générliser u cs de onctions de plusieurs vribles que nous verrons pr l suite, Rppelons l epression du nombre dérivée d une onction u point 0 est donné pr d d lim 0 0 0 L notion de diérentielle permet d évluer quntitvement l vrition d une onction pour un ccroissement (vrition) δ de l vrible L notion de diérentielle consiste donc à évluer l diérence δ déinie pr 0 0 0 S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 88
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Rppels sur les dérivées et notions de diérentielles : onctions diérentibles On ppelle diérentielle de l onction u point pour un ccroissement δ d d d Ici l vrible est l ccroissement δ L reltion ci-dessus correspond donc à l éqution d une droite de coeicient directeur d d S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 89
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Interpréttion géométrique d d d d d d S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 90
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Interpréttion géométrique de l notion de diérentielle et intérêts 0 0 Tngente d d d 0 d 0 S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 0 0 A prtir du concept de diérentielle, il est insi possible d évluer l vrition de pour un ccroissement δ de l vrible Ceci est encore plus vri qund δ devient petit Lorsque cet ccroissement est ussi petit que possible lors δ d et on note d d d d 9
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Méthode pour clculer les diérentielles L première étpe consiste à clculer l dérivée de l onction pr rpport à l vrible d d Ensuite, on clcule l vleur de l dérivée u point considéré 0 d d L diérentielle s obtient lors en multiplint pr l vleur de l ccroissement 0 d d 0 d. d S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 9
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Eemple sur l onction Soit l onction, clculons l ccroissement de cette onction u point 0 =00 pour un ccroissement d=0.0 Clculons l dérivée d d L vleur de cette dérivée en 0 =00 donne d d d 00 00 L diérentielle (l ccroissement de l onction) donne lors d d. d 0 On montrer l utilité des diérentielles et notmment vec les onctions de plusieurs vribles (clculs d erreurs, thermodynmique, physique) S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 93
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 d Reltions ondmentles Soit deu onctions et g et deu réels et l l g ld dg d d g gd dg g gd g d dg d. dg d og d g d dg S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 94
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Introduction brève u onctions de plusieurs vribles - Diérentielle d une onction de plusieurs Clculs d erreurs S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 95
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Soit une onction de plusieurs vribles i Notions essentielles d n,..., n i i d i i Est ppelée dérivée prtielle pr rpport à i en considérnt les utres vribles comme constntes U R, I RI U I U R R I du U R U I R, I dr di IdR RdI S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 96
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Clculs d erreurs Dérivée logrithmique Soit une onction de plusieurs vribles i représenttive d un phénomène physique On prend le logrithme népérien de cette onction On diérencie l onction soit d n i i d. i i On prend l vleur bsolue de chque dérivée prtielle, pour obtenir l erreur reltive n i i. i i S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 97
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Eemple en électricité Clculs d erreurs Dérivée logrithmique U RI lnu ln R ln I du U dr R di I Pssge u erreurs (les erreurs se cumulent) U U R R I I L erreur commise sur l mesure d une tension u bornes d une résistnce est donnée pr l somme de l erreur commise sur l résistnce et l intensité. S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 98
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Recherche de mimums et de minimums Pour des pplictions prtiques - Optimistion S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 99
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Comment utiliser le clcul diérentiel pour trouver des optimums Dns ce qui précède, on démontrer l importnce du clcul diérentiel pour l étude des onctions, Donnons mintennt des pplictions prtiques du clcul diérentiel Un problème d optimistion consiste à chercher le minimum (ou le mimum) d une onction donnée Toute chose dns l nture se rttche à un mimum ou à un minimum Léonrd Euler (707-783) Processus d optimistion (d près l méthode de Póly) Étpe : Comprendre l énoncé du problème. Se demnder si l on peut séprer les quntités données de celles que l on doit trouver. Quelles sont les quntités inconnues? Fire un schém du pour mieu comprendre le problème. S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 00
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Processus d optimistion (d près l méthode de Póly) Étpe : Déinir les vribles. Décider quelle quntité doit être optimisée (i.e. rendue mimle ou minimle) et lui donner un nom, pr eemple Q. Déinir d utres vribles pour les quntités inconnues et légender le schém à l ide des symboles choisis Étpe 3: Eprimer Q en onction des vribles déinies à l étpe. Utiliser les renseignements donnés dns l énoncé pour déinir Q en onction d une seule vrible, pr eemple. En d utres termes Q peut, u début, être représenté pr une ormule isnt intervenir plusieurs vribles. L objecti est lors, en utilisnt les inormtions données et les ormules connues, de l écrire en onction d une seule vrible, de sorte que Q=() Étpe 4: Déterminer le domine de l onction Q=() S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 0
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Processus d optimistion (d près l méthode de Póly) Étpe 5: Utiliser le clcul diérentiel pour trouver le minimum (ou le mimum) bsolu de. En prticulier, si le domine de est un intervlle ermé [,b], l méthode suivnte peut être utilisée :. Clculer d/d et trouver toutes les vleurs critiques de sur [,b]; b. Evluer u bornes et b du domine et pour chque vleur critique c; c. Comprer les vleurs obtenues à l étpe b. pour déterminer quelle est l plus grnde ou l plus petite; Etpe 6: Remettre le résultt obtenu à l étpe 5 dns le contete du problème originl en isnt toutes les interpréttions qui conviennent. Répondre à l question posée. S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 0
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Eemple de l boite L L- Pour quelle huteur de l boite, celle-ci peut-elle contenir un mimum d objets E : Pour quelle(s) vleur(s) de, le volume V est miml? E-E3 : Formultion de l onction V 3 L L 4L 4 4 4L L S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 03
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Eemple de l boite V 3 4 4L L E4-E5: Pour que le volume soit miml, clculons les vleurs critiques du volume pr rpport à l vrible à optimiser soit dv d 8L L 0 64L 48L 6L 0 8L 6L 4 4L 4 L 6 8L 6L 4 L 4 L S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 04
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 E6 : Il eiste donc deu solutions Eemple de l boite Une étude de vrition (vleurs critiques et concvité) donne comme mimum L seconde solution n est ps physique cr dns ce cs l boîte se résume à un volume nul Le volume miml est lors V 6 7 3 Dns certins cs, il est possible de ne ps trouver d optimum S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 05
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Clcul intégrl Technique d intégrtion S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 06
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Introduction générle Le clcul intégrl et diérentiel sont les outils les plus utilisés pr les physiciens L mîtrise de ces deu notions permet lors de résoudre l mjorité des études prtiques et théoriques des sciences modernes en corréltion vec les théories ssociées Jusqu à présent l notion d intégrle été présentée comme l outil permettnt de clculer l ire limitée pr une courbe Ce concept est très utilisé (et nous l utiliserons) pour introduire le clcul intégrl Nénmoins, il est trop réducteur et donne une idée que trop simple de l notion d intégrle Dns ce cours, on donner les outils nécessires pour le clcul intégrl On étendr ces outils pour l physique : intégrles de surce, de volume, curviligne (thermodynmique, électro-(sttisme, mgnétisme, dynmique )) On réutiliser lors ces outils (en plus du clcul diérentiel) pour le grl de l connissnce du er cycle universitire : les équtions diérentielles (DUT ème nnée) S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 07
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Notion de primitives Nous vons étudié jusqu à présent les onctions dmettnt une dérivée Inversement, étnt donné, on se propose (on vous impose) de trouver les onctions dérivbles g dont l dérivée est Une telle onction g est ppelée primitive de Déinition et réciproque Soit une onction déinie sur un intervlle I de R, dmettnt une primitive g. Pour tout nombre réel c, l onction g+c est encore primitive de l onction d d dg d g c Réciproquement, pour toute primitive h de, il eiste un nombre réel c tel que h=g+c. Autrement dit, deu primitives d une même onction dièrent d une constnte. S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 08
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Déinition d une intégrle L introduction d une intégrle est souvent présentée pr le désir de clculer l ire limitée pr une courbe y=(), l e des bscisses et les droites verticles = et =b y y 3 n n b 3 n On décompose l intervlle [,b] en n sous-intervlles d etrémités les point,,, n- choisis rbitrirement Dns chcun des intervlles prenons les points ξ i et ormons l somme suivnte n kn k k S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r k k kn k k k 09
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Déinition d une intégrle Géométriquement, cette somme représente l ire de tout les rectngles ormés rbitrirement Augmentons le nombre n de subdivision de telle çon que chque Δ k >0 Si l somme une limite lorsque n > (qui ne dépend ps du choi de l subdivision) lors cette limite se note lim kn n k b k k Qui s ppelle l intégrle déinie de () entre et b. Le terme ()d est ppelé intégrnde On noter l pprition d un terme introduit en clcul diérentiel : l ininiment petit d (représentnt un petit ccroissement de l vrible, c. diérentielle) Cet ininiment petit permet de connître l vrible d intégrtion [,b] est le domine d intégrtion et, b les limites d intégrtion d S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r 0
Cours de Mthémtiques ère nnée DUT de Chimie 005/006 Déinition d une intégrle L limite de lim kn n k b k k Qund () est continue (ou continue pr morceu) dns [,b]. Lorsque cette limite eiste, on dit que () es t intégrble u sens de Riemnn dns [,b] Géométriquement, l vleur de cette intégrle représente l ire limitée pr l courbe y=(), l e des bscisses et les droites verticles = et =b seulement si () 0. Une intégrle déinie est un nombre Une primitive est une onction d S. Thibud IUT de Chimie ère nnée sebstien.thibud@univ-comte.r