STATISTIQUE INFERENTIELLE TRAVAUX DIRIGES

Pôle Uiversitaire Léoard de Vici Statistique iféretielle STATISTIQUE INFERENTIELLE TRAVAUX DIRIGES C. GUILLOT STATINF_TD.pdf 1

Pôle Uiversitaire Léoard de Vici Statistique iféretielle EXERCICE 1: Ue populatio est composée de 3 salariés A, B et C âgés respectivemet de 3, 37et 45 as. 1. O choisit au hasard u salarié. Défiir,, la probabilité P et la variable aléatoire X étudiée.. Calculer E(X) = et Var(X) =. Que représete E(X)? Que représete la Var(X)? 3. O choisit au hasard u échatillo de salariés. * Défiir, E, la probabilité P et les variables aléatoires X et X. 1 4. Calculer E( X ) et Var( X ). Retrouvez les formules du cours. EXERCICE : Ue populatio est composée de 3 idividus A, B et C dot les résultats de vote pour u certai cadidat sot respectivemet les suivats NON, NON et OUI. 1. O choisit au hasard u idividu. Défiir,, la probabilité P et la variable aléatoire X étudiée.. Calculer E(X) et Var(X). Que représete E(X)? 3. O choisit au hasard u échatillo de idividus. * Défiir, E, la probabilité P et la variable aléatoire P. 4. Calculer E( P ) et Var( P ). Retrouvez les formules du cours. EXERCICE 3 : Le poids de paquets de poudre de lessive, à l issue de l empaquetage, est supposé suivre ue loi ormale N(μ, σ ) dot l écart-type σ est supposé cou et égal à 5 g. σ représete la variabilité du poids due à l imprécisio de la machie. Le poids marqué sur les paquets est de 710g. Toutes les heures, 10 paquets sot prélevés au hasard et pesés. O obtiet pour ue heure doée, pour u échatillo de 10 paquets u poids moye de 707g. 1. Doer u estimateur puis ue estimatio du poids moye des paquets de lessive.. Doer u itervalle de cofiace à 90%, puis à 95% pour le poids moye des paquets de lessive 3. Détermier (à l'uité près) pour qu'au seuil de risque % u itervalle de cofiace du poids moye des paquets de lessive soit [705g;709g] EXERCICE 4 : Ue firme atioale de sodages d opiio a effectué pour le compte d ue compagie d assurace, ue étude sur les besois fiaciers et la satisfactio des cliets. Das la sectio du questioaire cocerat les fods commus de placemet, o demade aux cliets de C. GUILLOT STATINF_TD.pdf

Pôle Uiversitaire Léoard de Vici Statistique iféretielle doer la valeur (e euros) de tous les fods commus de placemet qu ils possèdet. Voici les résultats pour u échatillo aléatoire de 0 cliets : Fod commu de placemet 93850 11500 166675 173000 81580 17450 80515 191000 105630 19100 151975 148000 173400 138330 14500 149660 105 149375 131170 85600 O suppose que la valeur actuelle des fods commus de placemet est distribuée ormalemet. 1. Doer u estimateur puis ue estimatio poctuelle de la valeur moyee des fods commus de placemet des cliets.. Détermiez u itervalle de cofiace à 95% de la valeur moyee des fods commus de placemet des cliets. EXERCICE 5: Das la populatio fraçaise, le pourcetage d idividus dot le sag est de rhésus égatif est de 15%. Das u échatillo représetatif de 00 Basques fraçais o observe que 44 persoes sot de rhésus égatif. Doer u itervalle de cofiace à 99% de la proportio de Basques fraçais ayat u rhésus égatif. EXERCICE 6: Les pigos d ue marque doée pèset e moyee 0.5g avec u écart-type de 0.0g. Quelle est la probabilité pour que deux lots (choisis au hasard avec remise) de 1000 pigos chacu diffèret etre eux, e moyee, de plus de 0.g? EXERCICE 7: Les ampoules électriques d u fabricat A ot ue durée de vie moyee 1 avec u écarttype 1 = 00h et celles d u fabricat B ot ue durée de vie moyee avec u écart-type = 100h. U échatillo de 150 ampoules de A a doé ue durée de vie moyee de 1400h. U échatillo de 100 ampoules B a doé ue durée de vie moyee de 100h. Détermier u itervalle de cofiace à 95% puis à 99 % de la différece des durées de vie moyee des variétés A et B. EXERCICE 8: Das ue populatio, le pourcetage de fumeurs est de 60%. O tire au hasard u échatillo de 100 sujets. Quel risque y a t-il de perdre le pari que la proportio de fumeurs das cet échatillo soit comprise etre 0.5 et 0.7? C. GUILLOT STATINF_TD.pdf 3

Pôle Uiversitaire Léoard de Vici Statistique iféretielle EXERCICE 9: Les parties A et B sot idépedates. A. U atelier s approvisioe avec des pièces produites e grade série. O ote X, la variable aléatoire qui à toute pièce choisie au hasard das la productio associe sa masse e g. O admet que X suit ue loi ormale d espérace 500g et d écart-type. 1. O suppose das cette questio que est égal à 5g. Les pièces présetet le défaut A si leur masse est pas das l itervalle [495 ; 505]. O prélève au hasard ue pièce das la productio. Quelle est la probabilité qu elle présete le défaut A?. Quelle doit-être la valeur de pour qu ue pièce de la productio choisie au hasard présete le défaut A avec ue probabilité iférieure à 0.05? B. Les pièces de la productio peuvet préseter u défaut B. O veut estimer la proportio de pièces de la productio présetat le défaut B par u itervalle de cofiace. Pour cela, o prélève au hasard et avec remise u échatillo de 1000 pièces et o costate que 70 d etre elles présetet le défaut B. Détermier u itervalle de cofiace à 98% de la proportio de pièces de la productio présetat le défaut B. EXERCICE 10: Ue etreprise commercialise des pieds de lit de type boule. Pour ces pieds o utilise ue bague e matière plastique de diamètre itérieur x. O défiit aisi ue variable aléatoire X, qui à chaque bague tirée au hasard das la productio, associe so diamètre itérieur x mesuré e millimètres. O admet que X suit le loi ormale de moyee et d'écart-type 0,04. Le fourisseur affirme que = 1,1. O a u doute sur cette affirmatio. O prélève u échatillo de 64 pièces das la livraiso. Le diamètre itérieur moye sur cet échatillo est de 1,095. Que cocluez-vous au seuil de sigificatio de 10% quat au diamètre itérieur moye des bagues? EXERCICE 11 : Ue usie fabrique des câbles. U câble est cosidéré comme coforme si sa résistace à la rupture est supérieure à 3 toes. L'igéieur resposable de la productio voudrait coaître, e moyee, la résistace à la rupture des câbles fabriqués. Il 'est, bie sûr, pas questio de faire le test de rupture sur toute la productio (l'usie perdrait toute sa productio!). Notos X la variable aléatoire correspodat à la force à exercer sur le câble pour le rompre (e toes). U techicie prélève doc u échatillo de 100 câbles das la productio. Avec les doées de l échatillo, le techicie obtiet les résultats suivats : la résistace moyee à la rupture des 100 câbles de l échatillo est de 3.5 toes avec u écart-type de 0.4 toe. C. GUILLOT STATINF_TD.pdf 4

Pôle Uiversitaire Léoard de Vici Statistique iféretielle 1. Décrire l'expériece aléatoire:. Décrire la populatio étudiée: 3. Quelle probabilité utilisez-vous das votre espace probabilisable? 4. Décrire sur votre espace probabilisé la variable aléatoire étudiée: X 5. Que représete le paramètre? 6. Doer u estimateur puis ue estimatio de. 7. Doer u estimateur puis ue estimatio de var(x) 8. Peut-o dire, avec u risque d erreur de.5% que la résistace moyee à la rupture de l esemble des câbles de la productio est strictemet supérieure à 3 toes? Pour cette questio, o supposera que la variable aléatoire X N(, ) et que la valeur de est ici coue et égale à 0.38. La proportio de câbles dot la résistace est supérieure à 3 toes das cet échatillo est de 0,85. ' 1. Décrire la ouvelle variable aléatoire étudiée: X. Quelle est sa loi? 3. Doer ue estimatio poctuelle de la proportio de câbles coformes das la productio. 4. Peut-o dire, avec u risque d erreur de 5% que la proportio de câbles coformes das la productio est strictemet supérieure à 0.80? EXERCICE 1 : O utilise ue ouvelle variété de pommes de terre das ue exploitatio agricole. Le redemet moye de l aciee variété était de 41.5 toes à l hectare. La ouvelle variété est cultivée sur 100 hectares, avec u redemet moye de 45 toes à l hectare et u écart-type (échatilloal) de 11.5. 1. Faut-il, avec u risque d erreur de =1%, favoriser la culture de la ouvelle variété?. Calculer la puissace du test précédet si le «vrai» redemet moye de la ouvelle variété est supposée égal à 44 toes. Qu e pesez-vous? Calculez alors le risque d erreur de deuxième espèce. EXERCICE 13 : U échatillo de 11 malades atteits d u cacer du colo a été comparé à 185 témois o malades quat à leur cosommatio moyee de caféie. Pour les malades, cette cosommatio moyee est égale à 147. mg/jour (l écart-type échatilloal est de 101.8 mg/j) et pour les témois, elle vaut 13.9 mg/j (l écart-type échatilloal est de 115.7 mg/j). Tester, avec u risque de première espèce = 5%, si la cosommatio moyee de caféie diffère etre les malades et les o malades. Peut-o iférer ue associatio etre la cosommatio de caféie et le cacer du colo? C. GUILLOT STATINF_TD.pdf 5

Pôle Uiversitaire Léoard de Vici Statistique iféretielle EXERCICE 14: Pour u sodage électoral, o costitue deux échatillos d'électeurs de tailles 300 et 00 respectivemet das circoscriptios A et B. Cela met e évidece des itetios de vote de 56% et 48% pour u cadidat doé. Tester, au seuil de 5% les hypothèses suivates: 1. Il y a ue différece etre les circoscriptios. Le cadidat est préféré das la circoscriptio A EXERCICE 15: Ue société de productio d électricité éoliee, cherche à comparer l efficacité de deux types d éoliees : ue éoliee à deux pales (Ep) et ue éoliee à trois pales (E3p). Pour ce faire, elle a istallé sur u même parc éolie ue éoliee de chaque type, et a relevé les puissaces de chaque éoliee (e kw) toutes les 10 miutes. Afi de comparer les productios des éoliees, l igéieur statisticie a prélevé aléatoiremet das la base de doées, et ce de faço idépedate pour chaque éoliee, les 9 puissaces (e kw) suivates : Ep 5 18 19 11 6 19 0 17 E3p 8 1 6 18 9 1 4 1. Défiir clairemet les deux variables aléatoires étudiées : 1 X (puissace de l'éoliee à pales) et X (puissace de l'éoliee à 3 pales). Doer ue estimatio poctuelle et u itervalle de cofiace à 95% de la puissace moyee de chaque éoliee. O otera μ1 la puissace moyee de l éoliee à pales et μ la puissace moyee de l éoliee à 3 pales. O justifiera les hypothèses évetuellemet écessaires. 3. Doer ue estimatio poctuelle de la variabilité de la puissace de chaque éoliee. 1 O otera σ 1 l écart-type de la variable X et σ l écart-type de la variable X. 4. Peut-o supposer que les puissaces des deux éoliees ot la même variabilité? 5. Peut-o affirmer, avec u risque d erreur de 1%, que la puissace moyee de l éoliee à 3 pales est supérieure à la puissace moyee de l éoliee à pales? 6. Pouvez-vous, avec cette étude, coseiller à la société u type particulier d éoliee? EXERCICE 16: Motrer que la statistique Rappel : * S est u estimateur sas biais de σ. C. GUILLOT STATINF_TD.pdf 6

Pôle Uiversitaire Léoard de Vici Statistique iféretielle E * S : * 1 e s 1 EXERCICE 17: i1 x i x Soit u échatillo aléatoire X,., X iid idépedates et idetiquemet distribuées 1 extrait d'ue variable aléatoire X N(μ, σ). Démotrer, grâce au théorème de Fisher (gééralisatio), que: (X μ) RC * S Avec: X 1 1 i=1 X i (1) * S Xi X 1 i=1 t C. GUILLOT STATINF_TD.pdf 7

Pôle Uiversitaire Léoard de Vici Statistique iféretielle COMPLEMENTS SUR LES ESTIMATEURS COURS 1/ INTRODUCTION Nous avos vu que X, S et P sot respectivemet des estimateurs de, et de (paramètres de la populatio). Cepedat u même paramètre peut être estimé à l aide d estimateurs différets : pour ue distributio symétrique, la médiae de l échatillo est égalemet ue estimatio de. Afi de choisir etre plusieurs estimateurs possibles d u même paramètre il faut défiir les qualités exigées d u estimateur. / QUALITES D UN ESTIMATEUR Soit le paramètre de la populatio à estimer et T u estimateur de..1/ Estimateur coverget La première qualité d u estimateur est d être coverget*. O souhaite pouvoir, e augmetat la taille de l'échatillo, dimiuer l'erreur commise e preat la valeur observée de T à la place de. Si c'est le cas, o dit que l'estimateur est coverget (o voit aussi cosistat), c'est-à-dire qu'il coverge vers sa vraie valeur. C est le cas des estimateurs présetés e cours ( X, S et P ). * : Noter qu il existe différets types de covergece des suites de variables aléatoires (covergece e probabilité, covergece presque sûre ou covergece forte, covergece e moyee d ordre p et covergece e loi) Deux estimateurs covergets e coverget cepedat pas à la même vitesse, ceci est lié, pour ue taille d échatillo doée, à la otio de précisio d u estimateur. U estimateur est ue variable aléatoire. L erreur d estimatio T - qui est ue variable aléatoire se décompose de faço élémetaire e : T E(T) E(T) où E(T) est l espérace de l estimateur. T E(T) représete les fluctuatios aléatoires de T autour de sa valeur moyee tadis que E(T) est assimilable à ue erreur systématique due au fait que T varie autour de sa valeur cetrale E(T) et o autour de. La quatité E(T) s appelle le biais. C. GUILLOT STATINF_TD.pdf 8

Pôle Uiversitaire Léoard de Vici Statistique iféretielle./ Estimateur sas biais Il est doc souhaitable d utiliser des estimateurs sas biais. Défiitio : T est u estimateur sas biais de si E( T ) =.3/ Précisio d u estimateur O mesure gééralemet la précisio d u estimateur T par l erreur quadratique moyee : E[ (T ) ] O peut écrire : E[ ] E[ ] (T ) (TE(T) E(T) ) (TE(T)) (TE(T))(E(T) ) (E(T) ) E[ ] E[ ] E[ ] Comme E(T) est ue costate et que E[ TE(T) ] 0, il viet: E[ (T ) ] V(T) (E(T) ) Aisi, de deux estimateurs sas biais, le plus précis est doc celui de variace miimale..4/ Recherche du meilleur estimateur d u paramètre Aisi, la précisio d u estimateur déped de sa variace et celle-ci e peut e gééral se calculer que si l o coaît la loi de T qui dé ped de celle des Xi. Le modèle utilisé e théorie classique de l estimatio est alors le suivat : o observe u échatillo d ue variable X dot o coaît la loi de probabilité à l exceptio de la valeur umérique d u ou de plusieurs paramètres (par exemple : X suit ue loi de Poisso P( ) de paramètre icou). E d autres termes la variable X est défiie par ue famille paramétrée de lois f x, où f a ue expressio aalytique coue. De plus, la théorie de l estimatio e permet pas de résoudre le problème de la recherche d estimateurs d erreur quadratique miimale. O se cotetera de rechercher pour ue famille de loi doée f x, l estimateur sas biais de de variace miimale. Il reste cepedat possible das certai cas particulier de trouver des estimateurs biaisés plus précis que le meilleur estimateur sas biais. C. GUILLOT STATINF_TD.pdf 9

Pôle Uiversitaire Léoard de Vici Statistique iféretielle 3/ METHODES DE CONSTRUCTION D UN ESTIMATEUR 3.1/ Méthode du maximum de vraisemblace (MV) La méthode du maximum de vraisemblace cosiste à choisir comme estimateurs des paramètres icous ( 1,,..., k), les valeurs qui redet maximum la probabilité d avoir obteu l échatillo. Soit X ue variable aléatoire dot la foctio de desité f(x, ) déped du paramètre ( 1,,..., k), et soit ( x1, x,..., x) ue réalisatio de l échatillo aléatoire ( X1, X,..., X ). La foctio Vraisemblace est la foctio : V( ) f (x,...x ) (X 1,...,X ) 1 f ( x )*f ( x )*...*f ( x ) X 1 1 X X = foctio de desité du -uplet de variables aléatoires ( X1, X,..., X) e ( x1, x,..., x) car les (Xi) sot idépedats (doc produit des foctios de desité des (Xi)) Das le cas d ue loi discrète, c est la foctio : V( ) P((X x ) (X x )... (X x )) 1 1 P(X x )*P(X x )*...*P(X x ) 1 1 U estimateur du maximum de vraisemblace (EMV) ˆ vérifie doc :, V V ˆ V( ) : la foctio Vraisemblace de Lorsque f > 0, il est équivalet et gééralemet plus facile de chercher le maximum de la foctio log-vraisemblace de : l[v( )] (attetio : il s agit du logarithme épérie : l). O ote aussi l[v( )] LV( ) LV( ) : la foctio Log-vraisemblace de Théorème : Si f > 0 et si vérifie : f f et sot cotiues, l estimateur ˆ du maximum de vraisemblace 1. Les équatios de vraisemblace : LV i {1,,...k}; ˆ 0 i C. GUILLOT STATINF_TD.pdf 10

Pôle Uiversitaire Léoard de Vici Statistique iféretielle. La coditio suffisate de maximum : La matrice hessiee de LV, LV ˆ ( ) est défiie égative ij 1i, jk Remarque: Soit ue matrice symétrique réelle d'ordre. Elle est dite défiie positive si elle vérifie la propriété suivate : Pour tout vecteur coloe o ul à élémets réels, o a : ' x Mx 0 Noter que : ' x Mx x, x x M M Elle est dite défiie égative si so opposée (-M) est défiie positive! A reteir: V( ) est doc soit la desité de ( X1, X,..., X) si X est absolumet cotiue, soit la probabilité cojoite PX1 x1x x... X xsi X est discrète. V( ) cosidéré comme foctio de seul est appelé la «vraisemblace». O appelle EMV : Estimateur du Maximum de Vraisemblace 3./ Méthode des momets Cette procédure d estimatio est, à première vue, totalemet empirique, mais pleie de bo ses. E fait, elle repose sur la propriété de covergece presque sûre des momets empiriques d u échatillo i.i.d. ( X1, X,..., X) extrait de X, vers les momets théoriques correspodats de X. Soit ( 1,,..., k), ous oteros par mp( ) le momet théorique d ordre p de X, qu il soit cetré ou o, et par mp(e ) le momet empirique d ordre p de X. Défiitio: O appelle estimateur de obteu par la méthode des momets (EMM) la solutio du système : m1( ) m1(e ). m ( ) m (e ) k k C. GUILLOT STATINF_TD.pdf 11

Pôle Uiversitaire Léoard de Vici Statistique iféretielle Remarque : Le choix des momets est guidé par la facilité de résolutio du système. O peut predre des momets tous cetrés e E(X), ou tous o cetrés, ou u mélage de momets cetrés ou o cetrés. E outre, il y a aucue raiso de reteir les k premiers momets, sio la simplicité de calcul. O appelle EMM : Estimateur de la Méthode des Momets Rappel: Soit X ue variable aléatoire, o appelle, s ils existet :: le momet théorique d ordre p de X : p E(X ) le momet cetré théorique d ordre p de X : E X E(X) p Si l o observe réalisatios x,x,...,x de X, o appelle : 1 le momet empirique d ordre p de X 1 x i 1 le momet cetré empirique d ordre p de X p i 1 1 p xi x avec x xi i1 i1 C. GUILLOT STATINF_TD.pdf 1

Pôle Uiversitaire Léoard de Vici Statistique iféretielle EXERCICE 18: EXERCICES Cosidéros u échatillo aléatoire X1, X,..., X issu d ue variable aléatoire parete X N(, ) 1. Doer les estimateurs du maximum de vraisemblace (EMV) de et de. Doer les estimateurs par la méthode des momets (EMM) de et de 3. Que costatez-vous? 4. L estimateur du maximum de vraisemblace (EMV) de est il sas biais? 5. L estimateur du maximum de vraisemblace (EMV) de est il sas biais? EXERCICE 19: Les oiseaux d u certai type preet leur evol après avoir effectué quelques sauts sur le sol. O suppose que ce ombre X de sauts peut être modélisé par ue distributio géométrique : P(X x) p1p x x 0 Pour =130 oiseaux de ce type, o a relevé les doées suivates : Nombre de sauts x Fréquece de x 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 48 31 0 9 6 5 4 1 1 1 1. Quel est l estimateur du maximum de vraisemblace (EMV) de p?. Calculer la valeur de cet estimateur avec les doées de l échatillo EXERCICE 0: p, Soit X loi gamma Trouver les estimateurs de p et de par la méthode des momets EXERCICE 1: Statistique bayésiee C. GUILLOT STATINF_TD.pdf 13

Pôle Uiversitaire Léoard de Vici Statistique iféretielle EXERCICE : Les doées ci-dessous ot été observées sur u échatillo aléatoire de 500 travailleurs. Pour chacu, o a évalué le iveau de stress au travail et mesuré le temps pris pour se redre au travail. Pour établir le tableau de cotigece, o a regroupé les valeurs de la variable «temps»» pour créer 3 catégories. Voici les résultats obteus : Temps pour se redre au travail Mois de 15miutes De 15 à 45 miutes Plus de 45 miutes Total Niveau de stress Elevé 3 73 58 163 Modéré 9 34 36 99 Fort 77 11 40 38 Total 138 8 134 500 Ces doées permettet-elles de coclure qu il existe ue relatio sigificative etre le iveau de stress des travailleurs et le temps qu ils preet pour se redre au travail? O predra u risque d erreur de première espèce de 5 % C. GUILLOT STATINF_TD.pdf 14