Cet article est rédigé par des élèves. Il peut comporter des oublis et imperfectios, autat que possible sigalés par os relecteurs das les otes d'éditio. Les Mosaïques [ Aée 2014-2015 ] Barillot Thomas du lycée Alfred Kastler de Talece Balfouog Floreti, Maguy Aurélie, Marqueto Emma, Lazarus Ies, Ramzac Julie du lycée Vaclav Havel de Bègles Chercheur : Adrie Boussicault au LABRI (Bordeaux) Eseigats : Guillaume Boix, Marie-Josée Deaes, Cathy Racadot et Corie Ribrault. I. Le sujet Voici u carré :D Combie de rectagle(s) comptez-vous? 4 5 9 Trop facile? Et das celui-ci? Vous êtes fatigués de compter? Voici quelques propositios... 99 100 101 /!\ N'oubliez pas que les carrés sot des rectagles particuliers! /!\ C'était otre sujet : compter le ombre de rectagles das u carré de côté. Comme vous, o a d'abord compté. MATh.e.JEANS 2014.-2015. [Lycée Kastler, Talece et Lycée Vaclav Havel, Bègles] page 1
II. Première formule Et o a trouvé, ue formule, u peu par hasard, qui semblait marcher pour tous les carrés : Mais qu'est-ce que c'est que ce symbole bizarre? ------> O appelle ce symbole u sigma. Il permet de représeter ue somme de 1 à. Exemple : 5 k = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 Das otre cas, le k est au cube car pour trouver le ombre de rectagles das u carré, o fait la somme des cubes de 1 à. N ayat pas réussi à prouver cette formule, ous l avos abadoée quelque temps, mais ous y reviedros plus tard. III. Comptage par classificatio A. Cas particulier Pour orgaiser os recherches, ous avos répertorié les différetes formes de rectagles das les carrés. Das le carré rouge, il y a ue forme possible. Das le carré bleu, il y a deux ouvelles formes plus la forme précédete. Et das le carré jaue, il y a trois ouvelles formes plus les trois formes précédetes. MATh.e.JEANS 2014.-2015. [Lycée Kastler, Talece et Lycée Vaclav Havel, Bègles] page 2
A partir du ombre des différetes formes répertoriées, ous avos créé ue pyramide de ombres. 7 5 12 5 3 8 3 10 8 3 1 4 1 6 4 1 8 6 4 1 1x1 2x1 2x2 3x1 3x2 3x3 4x1 4x2 4x3 4x4 Les ombres du bas e oir représetet le format des rectagles. Par exemple, das la première coloe, le 1 rouge correspod au seul rectagle 1x1 rouge das le carré de côté 1. Le 3 vert au-dessus correspod aux trois rectagles de côté 1x1 que l'o ajoute au rectagle précédet pour former le carré de côté 2. Oui, cette phrase est compliquée... Relisez-la, ça va retrer. La somme de tous ces chiffres e couleur correspod au ombre total de rectagles. Nous pouvos costater que cette pyramide suit ue suite logique récurrete. E effet, si vous avez bie observé les liges verticales, lorsque le ombre du bas est u ombre pair x, le ombre du dessus sera x+4, puis celui ecore au-dessus sera x+4+4, etc. Quad le ombre du bas est u impair y, le ombre au-dessus sera y+2, puis y+2+2... Pour savoir quels ombres ajouter à la lige horizotale du bas, il suffit de suivre la suite logique : (1) ; (4;1);(6;4;1);(8;6;4;1);(10;8;6;4;1). Maiteat vous savez commet cotiuer cette pyramide à l'ifii! Bo courage :D Ceci est pour u cas particulier. MATh.e.JEANS 2014.-2015. [Lycée Kastler, Talece et Lycée Vaclav Havel, Bègles] page 3
B. Cas gééral Nous avos fait la même chose pour u carré de côté. Voilà ce qui e a résulté : Chaque case correspod à u format de rectagle. (1) Par exemple, pour u carré de côté 4, o pred les coloes 1, 2, 3 et 4 et les liges 1, 2, 3 et 4 puis o fait les calculs de chaque case : das otre cas, = 4, o a doc : (2x4-1) + (2x4-2)x2 + (2x4-3)x3 + (2x4-4)x4 + (2x4-5)x3 + (2x4-6)x2 + (2x4-7) = 64 Lorsque =3, o a 36 rectagles. 64+36 = 100, o a doc 100 rectagles. Ce tableau permet doc de calculer facilemet le ombre de rectagles, quelle que soit la taille du carré. Mais c est toujours trop log pour ous, qui sommes paresseux! Nous sommes reveus à la petite formule du début, trouvée par hasard. Nous avios peut-être u moye de la démotrer, grâce à la récurrece MATh.e.JEANS 2014.-2015. [Lycée Kastler, Talece et Lycée Vaclav Havel, Bègles] page 4
IV.Récurrece Notre hypothèse de récurrece est la suivate : le ombre de rectagles das u carré de côté est égal à k 3 Si pour le carré suivat, le ombre de rectagles est égal à k 3 + (+1) 3, alors otre hypothèse de récurrece est vérifiée. Le (+1) 3 correspod à ce que l'o rajoute au ombre précédet pour obteir le ombre suivat. Il correspod doc à la somme de tous les ombres de otre tableau. (+1) 3 = (+1)(+1)(+1) = (²+2+1)(+1) = 3 +3²+3+1 Preos otre tableau, et surtout la partie utilisée pour le carré de côté. 2-1 2-2 2-3... 2-2-2 2-3 2-4... 2-(+1) 2-3 2-4 2-5... 2-(+2)............... 2-2-(+1) 2-(+2)... 2-(2-1) Selo otre hypothèse de récurrece, les ombres du tableau additioés fot 3. Mais comme ous sommes das u carré de côté +1, si o remplace tous les par +1, ce qui doe par exemple pour la première case 2(+1)-1=2+2-1 soit 2-1+2 o costate aisi qu'à chaque case o rajoute 2 o doit rajouter (2 x le ombre de cases), soit 2². O obtiet doc : 3 + 2² MATh.e.JEANS 2014.-2015. [Lycée Kastler, Talece et Lycée Vaclav Havel, Bègles] page 5
Itéressos ous maiteat à la partie du tableau que ous ajoutos pour le carré de côté +1. 2(+1)-(+1) 2(+1)-(+2) 2(+1)-(+1) 2(+1)-(+2)... 2(+1)-2(+1-1)... Excluos pour l'istat la case tout e bas à droite. Il ous reste doc : 2(+1) (+1) = 2+2--1 = +1 + 2(+1) (+2) = 2+2--2 = + 2(+1) (+3) = 2+2--3 = -1 etc... O a doc k le tout multiplié par 2 ( car o l'a à la verticale et à l'horizotale), ce qui doe : 2 x k = 2 x (+1)/2 + 2(+1) 2x1 = (+1) + 2-2 = ² + + 2 = ² + 3 O rajoute cela à otre résultat de départ, o obtiet : 3 + 2² + ² + 3 = 3 + 3² + 3 Itéressos-ous à la derière case : 2(+1)-2(+1-1) 2(+1) (2(+1)-1) = 2 + 2 (2+2-1) = 2 + 2 2 2 + 1 = 1 Ce qui ous doe : 3 + 2² + 3 + 1 = (+1) 3 Notre hypothèse de récurrece est doc vérifiée! (2) MATh.e.JEANS 2014.-2015. [Lycée Kastler, Talece et Lycée Vaclav Havel, Bègles] page 6
Les triagles : A préset, ous allos passer aux triagles. Le but reste le même : trouver ue formule permettat de calculer rapidemet le ombre de triagles das u grad triagle de coté. Das cet exemple, ous preos u triagle de côté =3, que ous ommos «BIG T». Nous avos d abord compté à la mai tous les triagles das «BIG T», puis ous avos essayé d appliquer aux triagles, la formule des carrés. Pour commecer, combie comptez vous de triagles? 10 13 15 (BIG T) /!\ ATTENTION, il y a aussi des triagles à l evers!!! /!\ Après avoir appliqué la formule des carrés trouvée précédemmet, ous avos costaté qu'elle e foctioait pas das le cas des triagles. Nous avos doc cherché d'autres méthodes. Nous avos compté les triagles par liges, e comptat séparémet ceux à l'edroit de ceux à l'evers. <= Ceci est ue lige. E s'ispirat des carrés, ous avos créé des coloes de chiffres. Pour ce triagle de coté 3, ous avos compté les triagles à l'edroit e bleu que ous appelleros «te», et les triagles à l'evers e rouge appelés «ti». MATh.e.JEANS 2014.-2015. [Lycée Kastler, Talece et Lycée Vaclav Havel, Bègles] page 7
Aisi, ous avos trouvé ue formule qui permet de compter tous les triagles présets das u grad triagle. *te()= te(-1)+σ k 1-1 *ti()= ti(-2)+σ k 1 Cette formule repose sur le pricipe des triagles à l'edroit et l'evers. Cepedat pour qu'elle foctioe, il faut avoir ue «base», c'est-à-dire qu'il faut avoir compté ou calculé précédemmet les triagles das les deux figures précédetes. E théorie, la formule cosiste à predre u triagle de côté. Pour calculer les triagles à l'edroit, il faut predre le ombre de triagles à l'edroit de la forme précédete, soit «-1» à laquelle ous ajoutos la somme de 1 à. Esuite, pour calculer les triagles à l'evers, il faut predre le ombre de triagles à l'evers de deux figures précédetes et ajouter la somme de 1 à -1. Lorsque ous ajoutos ces deux résultats, ous obteos le ombre de triagles présets das u grad triagle. MATh.e.JEANS 2014.-2015. [Lycée Kastler, Talece et Lycée Vaclav Havel, Bègles] page 8
Afi d'y voir plus clair, voici u exemple : Nous preos u triagle de coté =4. Nous avos compté auparavat, les triagles à l'edroit et à l'evers des figures =2 et =3. 3 *te (4)= te (4-1) + Σ k 1 te ( 4) = 10+1 te (4) =20 te (4) + ti (4) = 27 3 *ti (4)= ti (4-2) + Σ k ti (4) = 1+6 ti (4)= 7 1 Vous pouvez vérifier, il y a bie 27 triagles das u triagle de côté 4. Notes de l'éditio (1) Plus précisémet, la case (a,b) ous doe combie de *ouveaux* rectagles a*b apparaisset das le carré de côté par rapport au carré de côté -1 (2) O aurait pu aussi faire u comptage direct avec ue techique similaire: pour chaque paire d'etiers a,b etre 1 et, il y a (+1-a)(+1-b) rectagles a*b das le carré *. E sommat sur tous les couples (a,b), cela doe ( k )². Il est itéressat de voir que cette expressio est égale à celle apparemmet très différete, k 3, trouvée par les élèves. MATh.e.JEANS 2014.-2015. [Lycée Kastler, Talece et Lycée Vaclav Havel, Bègles] page 9