Nombres complexes B. Aoubiza Départemet GTR 18 septembre 00
Table des matières 3 Nombres complexes 3.1 Défiitiosetotatios... 3. Opératiosalgébriquessurlescomplexes... 3..1 Opératiosalgébriquessurlescomplexes Additio... 3.. Opératiosalgébriquessurlescomplexes Multiplicatio... 3 3.3 Représetatiogéométriquedescomplexe... 4 3.4 Quelquescocepts... 6 3.4.1 Nombrecomplexecojugué... 6 3.4. Iversed ucomplexe... 6 3.4.3 Divisiodeuxcomplexes... 7 3.4.4 Moduled uombrecomplexe... 7 3.5 Nombrecomplexesousformetrigoométrique... 8 3.6 Notatioexpoetielled ucomplexe... 9 3.6.1 Notatioexpoetielle Produitdedeuxcomplexes... 10 3.6. Notatioexpoetielle Puissaced ucomplexe... 10 3.6.3 Notatioexpoetielle FormuledeMoivre... 10 3.6.4 Notatioexpoetielle Formuled Euler... 11 3.7 Résolutio des équatios à coefficietscomplexes... 11 3.7.1 Résolutiodeséquatios Raciesd uombreégatif... 11 3.7. Résolutio des équatios Racies ième del uité... 1 3.7.3 Résolutio des équatios Racies ième d ucomplexe... 14 3.7.4 Résolutiodeséquatios Raciescarrées... 15 3.7.5 Résolutiodeséquatios Equatiodusecoddegré... 17 3.8 Complémets:Coséquecesdelaotatioexpoetielle... 18 3.8.1 Notatio expoetielle Justificatioformelle... 18 3.8. Notatioexpoetielle IdetitésTrigoométriques... 19 3.8.3 Notatio expoetielle Calcul différetiel... 0 3.8.4 Notatio expoetielle Equatios différetielles... 0 1
Cha pitre 3 Nombres complexes Itroductio O e peut pas tout faire das l esemble des réels R. Par exemple, l équatio x 1 a pas de solutios réels. Das ce chapitre, o costruit u esemble plus grad que R et das lequel l équatio e questio et bie d autres aurot des solutios. 3.1 Défiitios et otatios Défiitio 1 U ombre complexe est u ombre de la forme : a + ib où a et b sot des ombres réels. Notatio 1 L esemble de tous les ombres complexes est oté : C. Si z a + ib est u ombre complexe : a est dit partie réelle de z. O ote : Re z a b est dit partie imagiaire de z. O ote : Im z b Si la partie imagiaire est ulle : z a + i0 a z est dit réel pur. Si la partie réelle est ulle c est-à-dire z 0+ib ib z est dit imagiaire pur. E particulier, o a 00+i0 i 0+i1 Remarque 1 Noter qu u réel peut être cosidéré comme u complexe dot la partie imagiaire est 0. Aisi, C cotiet tous les ombres réels et doc R C. Exemple 1 Le ombre 3+4i est u complexe : 3 estsapartieréelleet4 est sa partie imagiaire. Le ombre 1 3 i est u complexe : 1 estsapartieréelleet 3 est sa partie imagiaire. Le ombre 6i est u complexe : 0 estsapartieréelleet6 est sa partie imagiaire. Le ombre 7 est u complexe : 7 estsapartieréelleet0 est sa partie imagiaire. Egalitédedeuxcomplexes Soiet z 1 (a + ib) et z (c + id) deux ombres complexes, o a : z 1 z si et seulemet si a c et b d c est-à-dire Re z 1 Rez et Im z 1 Imz. 3. Opératios algébriques sur les complexes 3..1 Opératios algébriques sur les complexes Additio Soiet z 1 (a+ib) et z (c+id) deux ombres complexes. L additio et la soustractio sot défiies par : (a + ib)+(c + id) (a + c)+i(b + d) (a + ib) (c + id) (a c)+i(b d)
Exemple Calculer la somme (13 i)+(5+i). Solutio : (13 i)+(5+i) (13+5)+( i + i) 18 i µ 5 Exemple 3 Calculer 3 + 11 µ 3 3 i + 5 i + 9 4. Solutio : Etape 1, o écrit le derier complexe sous sa forme stadard c est-à-dire : a + ib. µ 5 3 + 11 µ 3 3 i + 5 i + 9 4 µ 5 3 + 11 µ 3 3 i + 5 i +(9 i) Etape, o itroduit le sige à l itérieur des parethèses (distributivité), o obtiet µ 5 3 + 11 µ 3 3 i + 5 µ 5 i +(9 i) 3 + 11 3 i + µ 3 5 i +(9 i) Fialemet, o a µ 5 3 + 11 3 i + µ 3 5 i +(9 i) µ µ 5 3 + 3 µ µ 10 6 + 9 6 55 6 5 6 i +9 + 54 6 µ 11 + + µ 3 i + 5 i µ µ 6 + 15 6 +( i) + µ 1 6 i Propriétés de l additio Das ce qui suit, z 1, z,etz 3 représetet des ombres complexes arbitraires. 1. z 1 + z z + z 1 Commutativité. z 1 +(z + z 3 )(z 1 + z )+z 3 Associativité 3. 0 + z z (0 0 + 0i) Elémet eutre 3.. Opératios algébriques sur les complexes Multiplicatio Soiet z 1 (a + ib) et z (c + id) deux ombres complexes. La multiplicatio est défiie par (a + ib).(c + id) (ac bd)+i(ad + cb) Cela paraît u peu bizarre, et difficile à reteir. Cepedat il e est rie, si o suit les deux règles simples suivates : sia 0,b1: i (0+i).(0 + i) 1. c est-à-dire i 1 les règles de calcul das C sot les mêmes que ceux das R à coditio de remplacer i par 1 chaque fois qu il apparaît. Aisi (a + ib).(c + id) ac + a(id)+(ib)c +(ib)(id) ac + i(ad)+i(bc)+i (bd) (ac bd)+i(ad + cb) Remarque L itroductio des ombres complexes à quelques côtés ihabituels, par exemple das l esemble C, la somme des carrées de ombres o uls peut être ulle : 1 +(i) 1 10. 3
Exemple 4 Calculer le produit (3 + i)( 4+i). Solutio : O développe les calculs comme das R et o remplace i par 1 chaque fois qu il apparaît : (3 + i)( 4+i) 1 8i +3i +i 1 5i +( 1) 14 5i Exemple 5 Calculer le produit (5 i)(5+i). Solutio : O développe les calculs comme das R et o remplace i par 1 (5 i)(5 + i) 5(5) + 5(i)+( i)(5) + ( i)(i) 5+10i 10i 4i 5 4( 1) 9 Noterlerésultatestuombreréel. Propriétés de la multiplicatio Das ce qui suit, z 1, z,etz 3 représetet des ombres complexes arbitraires. 1. z 1 z z z 1 Commutativité. z 1 (z z 3 )(z 1 z ) z 3 Associativité 3. 1 z z Elémet eutre 4. z (z 1 + z )z z 1 + z z Distributive (z 1 + z ) z z 1 z + z z Remarque 3 Les puissaces du complexe i. Il est facile de voir que i 0 1 i 1 i i 1 i 3 i i 4 1 i 5 i i 6 1 i 7 i i 8 1 i 9 i i 10 1 i 11 i i 1 1 i 13 i i 14 1 i 15 i O costate que les puissaces multiple de 4 doe toujours 1. A partir de cette costatatio, o peut calculer facilemet les puissaces de i. Par exemple, i 5 i 4 i i (car i 4 i 4 6 1). 3.3 Représetatio géométrique des complexe A chaque ombre complexe o veut associer u poit uique pla euclidie Oxy. Pour cela o procède comme suit : Si z a + ib est u ombre complexe sous forme algébrique, alors o associe à z le couple de réel (a, b). Le poit du pla euclidie associé à z a + bi sera doc le poit de coordoée (a, b). Noter que si z a est u ombre réel o peut l écrire sous la forme a +0i. Cequisigifie que le poit du pla associé à a a pour coordoes (a, 0). Aisi, les ombres réels sot associés aux poits de l axe Ox. Sur la figure ci-dessous, o présete les poits 1 i, 3+i, 3 3i, et. ( 3, 1) 3 +i 3 1 1 3 ( 1, ) ( 3, 3 ) -3-3i 1 - i 4
D u poit de vue géométrique, additioer deux complexes reviet à costruire la diagoale du parallélogramme détermié par les deux complexes e questios. C est-à-dire, si z 1 a 1 + ib 1 et z a + ib, alors les poits du pla correspodats aux trois complexes z 1, z,etz 1 + z ot pour coordoées : (a 1,b 1 ), (a,b ),et (a 1 + b 1,a + b ) respectivemet. Et o a doc la figure suivate y ( a 1 + a, b1 + b ) ( a 1, b1 ) ( a, b ) Les côtés de ce parallélogramme sot les liges allat de l origie aux poits (a 1,b 1 ) et (a,b ) respectivemet. La diagoale du parallélogramme état la lige allat de l origie au poit de coordoées (a 1 + b 1,a + b ). Il est facile de visualiser la soustractio. Il suffit deoterquez 1 z z 1 +( z ). O remplace doc le poit (a,b ) par le poit ( a, b ). Exemple 6 Représeter das le pla complexe la somme de 1 i et 3+i. Solutio : o fait l additio (1 i)+(3+i) 4. La figure (a) ci-dessous motre les complexes 1 i et 3+i. Lafigure (b) motre parallélogramme gééré par les deux complexes aisi que sa diagoale. ( 3, 1) ( 3, 1) x 1 3 4 1 3 4 ( 1, 1 ) ( 1, 1 ) (a) Exemple 7 Représeter das le pla complexe la différece de 1+i et 3 i. Solutio : o fait la soustractio (b) (1 + i) (3 i) (1 3) + ( + 1) i +3i. La figure (a) ci-dessous motre les complexes 1+i et (3 i). La figure (b) motre parallélogramme gééré par les deux complexes aisi que sa diagoale. 1 + i 1 + i ( 3 i ( 3 i ( 3 1 ( 3 1 3 i 3 i 5
3.4 Quelques cocepts 3.4.1 Nombre complexe cojugué Soit z a + ib u ombre complexe, so cojugué est le complexe oté z est défii par z a ib b 0 a M1(z) -b M(z) Exemple 8 Calculer les cojugués des complexes suivats : 1 i, 3i, 8, 3 6i et π i 1. le cojugué de 1 i est 1 i 1+i.. le cojugué de 3i est 3i 3i. 3. le cojugué de 8 est 8 8. 4. le cojugué de 3 6i est 3 6i 3+6i. 5. le cojugua de z π i est z π +i Propriété du complexe cojugué Exemple 9 Das ce qui suit, z, z 1,etz représetet des ombres complexes arbitraires. 1. Le produit d u complexe et de so cojugué est u réel positif. E effet : z z (a + bi)(a bi) a + b +0i a + b. Si z est ombre réel, alors z z ; 3. Le cojugué du cojugué de z est égal à z c est-à-dire z z ; 4. Le cojugué de la somme est la somme des cojugués : (z 1 + z )z 1 + z ; 5. Le cojugué du produit est le produit des cojugués : z 1 z z 1 z ; µ z1 6. Le cojugué du rapport est le rapport des cojugués : z 1. z Exercice 1 Motrer que Re(z) 1 (z + z) et Im(z) 1 (z z). i 3.4. Iverse d u complexe Soit z (a + ib) u ombre complexe, so iverse oté z 1 est tel que : zz 1 1. U calcul simple doe z 1 1 a + ib Exemple 10 Calculer l iverse de z +3i. Solutio : O peut obteir l iverse comme suit : z a a + b + i b a + b z 1 1 +3i 1 +3i 3i 3i 3i ( + 3i)( 3i) 13 3 13 i Noter qu o a multiplier e haut et e bas par le cojugué du déomiateur. L idée est basée sur le fait que z z est u réel. 6
3.4.3 Divisio deux complexes La méthode permettat d écrire le rapport de deux complexes sous la forme algébrique est basée sur le fait que (a + bi)(a bi) a + b. Soiet z 1 (a + ib) et z (c + id) deux ombres complexes, o peut effectuer la divisio de z 1 par z comme suit a + bi c + di µ a + bi c + di µ c di (ac + bd)+(bc ad) i (ac + bd) c di c + d c + d + Noter qu o a multiplier les deux termes de la fractio par le cojugué du déomiateur. Exemple 11 Calculer 8+7i. i Solutio : O fait le calcul par étapes : 8+7i i (bc ad) c + d i 8+7i i (O multiplie par le cojugué du déomiateur i) i i 8i 7i i (Distributivité de la multiplicatio) 8i 7( 1) (Rappelez-vous que i 1) ( 1) 7 8i 7 8i 1 Exemple 1 Calculer 1+i 3 i. Solutio : O commece par ratioaliser le déomiateur e utilisat so cojugué. Notos que le cojugué de 3 i est 3+i. E multipliat le umérateur et le déomiateur par le cojugué : 1+i 3 i 1+i 3 i 3+i o multipliat le umérateur et le déomiateur par le cojugué 3+i 3+i (1 + i)(3 + i) o effectue la multiplicatio au umérateur et au déomiateur (3 i)(3 + i) 3+i +3i +i 9+6i 6i 4i rappelez-vous que i 1 3+i +3i +( 1) 9+6i 6i 4( 1) 3+5i 1 9+4 13 + 5 13 i Exemple 13 Calculer 8+0i. 6 Solutio : Comme le déomiateur est u ombre réel, il est pas écessaire de passer par la techique de la multiplicatio par le cojugué. 8+0i 6 3.4.4 Module d u ombre complexe 8 6 + 0 6 i 4 3 + 10 3 i Soit z a + ib, z a ib. Rappelos que pour tout z C o a : z.z a + b qui est u réel positif. O appelle module (ou valeur absolue) de z qu o ote z le réel positif : ρ z z.z b a + b 0 ρ M1(z) a 7
Propriétés Soiet z, z 1 et z des ombres complexes arbitraires. 1. z 0est équivalet à z 0. z 1 z z 1 z et z 1 z z 1 z 3. z 1 + z z 1 + z Exemple 14 Calculer le module des complexes suivats : 5i, 7+3i, 11 4i, et3i. Solutio :il suffit d appliquer la défiitio 5i 4+5 9 7+3i 49 + 9 58 11 4i 11 + 16 137 3i 93 Exemple 15 Motrer que le module du produit de 3 i et 4+i est égal au produit de leurs modules. Solutio :Ofaitlescalculs (3 i)( 4+i) 10 + 11i 100 + 11 1 3 i 4+i 9+4 16 + 1 13 17 13 17 1. Exercice Calculer le module des complexes suivats : z 1 1+i ; z 1+i 3 ; z 3 ( 1+i 3) 3 ; z 4 1+i 3+i 3.5 Nombre complexe sous forme trigoométrique Rappelos qu à chaque complexe z a + ib o peut associer u poit (a, b) du pla euclidie. b 0 ρ θ a M1(z) La représetatio de ce poit e coordoées polaires doe a ρ cos θ et b ρ si θ, oùρ 0. Aisi,tout ombre complexe peut s écrire sous la forme : z a + ib ρ cos θ + iρ si θ ρ (cos θ + i si θ) où ρ z p a + b et ta θ b a L agle θ est appelé argumet de z. Noter l argumet d u complexe est pas uique ; deux argumets d u complexe z diffèret par u multiple etier de π. O ote θ argz (π) D où la forme trigoométrique d u complexe : z ρ(cos θ + i si θ) qu o ote aussi z [ρ, θ] Si z a + ib ρ (cos θ + i si θ), o a les relatios suivates : a ρ cos θ et b ρ si θ 8
Propriétés Soiet z 1 ρ(cos θ+i si θ) et z σ(cos ϕ+i si ϕ) deux ombres complexes. O a les propriétés suivates : 1. Egalité de deux complexes z z 0 si et seulemet si ρ σ et θ ϕ (π). si z ρ(cos θ + i si θ) alors z ρ(cos θ i si θ) ; Par ailleurs, o a ρ a + b cos θ 3. si z (a + ib) ρ(cos θ + i si θ) o a si θ a a + b b a + b Exemple 16 Détermier le module et u argumet du complexe : z 1+i. Solutio : Etape 1 : o calcule d abord so module z 1+i Etape : o met le module e facteur das l expressio de z z ( 1 + 1 i) ( + i)ρ(cos θ + i si θ) o a doc cos θ et si θ par suite θ π 4 (π). Aisi z [, π 4 ] Exemple 17 Détermier le module et u argumet du complexe : z 1+i 3 Solutio : Etape 1 : o calcule d abord so module z 1+i 3 Etape : o met le module e facteur das l expressio de z o a doc cos θ 1 et si θ 3 par suite θ π 4 z ( 1 3 + i)ρ(cos θ + i si θ) (π). Aisi z [, π 3 ] 3.6 Notatio expoetielle d u complexe Défiitio (Euler) Si θ est u réel, o défii e iθ par Plus gééralemet, si z x + iy, alors e iθ cosθ + i si θ e z e x e iy e x (cos y + i si y) 9
3.6.1 Notatio expoetielle Produit de deux complexes Soiet z 1 ρ(cos θ + i si θ) ρe iθ et z σ(cos ϕ + i si ϕ) deux ombres complexes. Le produit de ces deux ombres est doé par z 1 z ρe iθ σe iϕ ρσe iθ e iϕ ρσe iθ+iϕ + ρσe i(θ+ϕ) soit et doc O déduit sas peie que z 1 z ρσe i(θ+ϕ) ρσ [cos(θ + ϕ)+i si(θ + ϕ)] z 1.z [ρσ, (θ + ϕ)] z 1 z z 1 z et doc z z z 1 z z 1 z arg(z 1 z )arg(z 1 )+arg(z )(π) et doc arg(z )arg(z) (π) arg( z 1 )arg(z 1 ) arg(z )(π) z Autremet, le produit de deux complexes est u complexe ayat pour module le produit des modules et pour argumet la sommes des argumets. 3.6. Notatio expoetielle Puissace d u complexe Soiet u etier positif et z 1 ρ(cos θ + i si θ) ρe iθ u ombre complexe. O a z 1 [ρ(cos θ + i si θ)] ρe iθ ρ e iθ ρ (cos θ + i si θ) autremet [ρ(cos θ + i si θ)] ρ (cos θ + i si θ) ρ e iθ 3.6.3 Notatio expoetielle Formule de Moivre A partir des propriétés des puissaces, o a Pour tout Z (e iθ ) e iθ pour tout Z Autremet o a la formuledemoivresuivate : (cos θ + i si θ) cosθ + i si θ Itérêt : la formule de Moivre est très utile pour calculer cos θ et si θ e foctio de cos θ et si θ. Exemple 18 Exprimer cos θ et si θ e foctio de cos θ et si θ. Solutio : d après la formule de Moivre o a : cos θ + i si θ (cosθ + i si θ) cos θ +cosθ i si θ +(i si θ) cos θ +i cos θ si θ si θ soit d où cos θ + i si θ cos θ si θ + i cosθ si θ cos θ cos θ si θ et si θ cosθ si θ 10
3.6.4 Notatio expoetielle Formule d Euler E utilisat la otatio d Euler o a : e iθ cosθ + i si θ et e iθ cosθ isi θ E additioat les deux expressios, o obtiet e iθ + e iθ cosθ E soustryat ces deux expressios, o obtiet e iθ e iθ isi θ D où o déduit les formules d Euler cos θ eiθ + e iθ si θ eiθ e iθ i U des itérêts de la formule d Euler peut être illustrer par l exemple suivat. Exemple 19 Liéariser cos θ et si θ. Solutio : d après les formules d Euler o a cos θ eiθ + e iθ et si θ eiθ e iθ et doc i µ e cos iθ + e iθ µ e θ si iθ e iθ θ i 1 4 (eiθ + e iθ ) 1 4 (eiθ e iθ ) 1 4 (eiθ +e iθ e iθ + e iθ ) 1 4 (eiθ e iθ e iθ + e iθ ) 1 4 (eiθ + e {z iθ +) 1 } 4 (eiθ + e iθ ) {z } cosθ cosθ Soit efi cos θ 1 (cos θ +1) et si θ 1 (cos θ 1) 3.7 Résolutio des équatios à coefficiets complexes 3.7.1 Résolutio des équatios Racies d u ombre égatif Notos d abord que si r est réel positif (r >0), alors o a : i r r et i r r Aisi, les racies carrées de r sot Autremet i r et i r x r équivaut à x i r ou x i r Exemple 0 Détermier les racies de 4 et de 3. Solutio : cela reviet à résoudre les équatios x 4 et x 3. D après ce qui précède, o a x 4 équivaut à x i 4i ou x i 4 i de même x 3 équivaut à x i 3 ou x i 3 11
Dager! Quelques précautios sot à predre quad o fait des calculs coteat des racie des ombres égatifs, car les propriétés habituelles e sot pas valables das ce cas. E particulier, 3i i 3 6i 6 Tadis que p ( ) ( 3) 6 Aisi, la propriété ab a b est pas valable si les ombres a et b sot égatifs. 3.7. Résolutio des équatios Racies ième de l uité Notos que trouver les racies ième de l uité reviet à résoudre l équatio : z 1. Et rappelos que θ ϕ (π) (o lit θ est égale à ϕ modulo π) sigifie queθ ϕ +kπ pour k Z. Exemple 1 Trouver les racies carrées de l uité. Solutio : Trouver les racies carrées de l uité reviet à résoudre l équatio z 1. Pour cela o écrit 1 sous forme trigoométrique et o cherche z sous forme trigoométrique z ρ(cos θ + i si θ) [ρ, θ]. Aisi sous forme trigoométrique l équatio z 1s écrit [ρ, θ] [1, 0] soit [ρ, θ] [1, 0] car aisi ½ ρ 1 θ 0(π) 11(cos0+i si 0) [1, 0] ½ 1 ρ 1 ce qui est équivalet à θ 0+kπ pour k Z et doc ( ρ 1 θ 0 + kπ pour k Z o peut facilemet voir que les seules racies distictes sot k 0 k 1 z 0 cos( 0 π )+isi( 0 π )cos0+isi 0 1 z 1 cos( 1 π )+isi( 1 π )cos π + i si π 1 z1 0 z0 Exemple Trouver les racies troisièmes de l uité. Solutio : Trouver les racies troisièmes de l uité reviet à résoudre l équatio z 3 1. Comme das l exemple précédet o cherche z sous forme trigoométrique z ρ(cos θ + i si θ) [ρ, θ]. Aisi sous forme trigoométrique l équatio z 1s écrit [ρ, θ] 3 [1, 0] soit [ρ 3, 3θ] [1, 0] 1
et doc ½ ρ 3 1 3θ 0(π) par suite o a ½ 1 ρ 1 3 ce qui est équivalet à 3θ 0+kπ pour k Z ( ρ 1 θ 0 3 + kπ 3 o peut facilemet voir que les seules racies distictes sot k 0 k 1 k pour k Z z 0 cos( 0 π )+isi( 0 π )cos0+isi 0 1 3 3 z 1 cos( 1 π )+isi( 1 π )cos π 3 3 3 + i si π 3 z cos( π )+isi( π )cos 4π 3 3 3 + i si 4π 3 1 + 3 i 1 3 i z1 0 z0 z E gééral, la résolutio z 1das C reviet à chercher z ρ(cos θ + i si θ) [ρ, θ] tel que ce qui doe [ρ,θ][1, 0] ½ ρ 1 θ 0(π) ce qui est équivalet à ½ ρ 1 1 θ 0+kπ pour k 0,, 1 soit ( ρ 1 θ 0 + kπ Doc toutes les racies ot le même module. pour k 0,, 1 Coclusio 1 z 1admet racies distictes qui sot doées par z k cos kπ kπ + i si avec k {0,, 1} c est-à-dire k 0 z 0 cos( 0 π )+isi( 0 π )cos0+isi 0 k 1 z 1 cos( 1 π )+isi( 1 π )cos π + i si π k z cos( π )+isi( π )cos 4π + i si 4π k 3 z 3 cos( 3 π )+isi( 3 π )cos 6π + i si 6π.. ( 1) π ( 1) π k 1 z ( 1) cos( )+isi( ) Notos que les poits M i d affixe z i sot sommets d u polygoe régulier iscrit das le cercle uité de cetre O (M 0 A(z 0 )). 13
z3 z z1 z0 3.7.3 Résolutio des équatios Racies ième d u complexe Soit α a + ib u ombre complexe doé. O propose de détermier les racies ième de α. Notos que ceci reviet à résoudre l équatio : z α. Pour cela o écrit α sous forme trigoométrique α σ(cos ϕ + i si ϕ) et o cherche z forme trigoométrique z ρ(cos θ + i si θ) et l équatio deviet ρ (cos θ + i si θ) σ(cos ϕ + i si ϕ) cette équatio et doc possible si et seulemet si ½ ρ σ ρ σ 1 ce qui équivalet à θ ϕ (π) θ k 1 ϕ + kπ Coclusio L équatio z α admet racies distictes : même module k 0,, 1 c est-à-dire k 0 k 1 k k 3. k 1 z k σ 1 (cos( ϕ +kπ ³ z 0 σ 1 cos ϕ + i si ϕ µ z 1 σ 1 cos ϕ +π µ z σ 1 cos ϕ +4π z 3 σ 1. )+isi( ϕ +kπ )) avec k {0,, 1} + i si ϕ +π + i si ϕ +4π µ cos ϕ +6π + i si ϕ +6π µ ϕ + ( 1) π ϕ + ( 1) π z ( 1) σ 1 cos( )+isi( ) Les poits M i d affixe z i sot sommets d u polygoe régulier iscrit das le cercle de rayo r ρ de cetre O (M 0 A(z 0 )). Remarque 4 Les solutios de z a sot appelées les racies carrées de a. Ces deux racies sot opposées. E effet : Sia 1o a z 1 1et z 1 ; Sia ρe iθ 61o a : z 1 ρe i θ et z ρe i( θ + π ) ρe i θ e iπ ρe i θ z 1 14
Exemple 3 Détermier les racies quatrième de α 1+i. Solutio : rappelos que cela reviet à détermier des complexe z ρ(cos θ + i si θ) tel que : z 4 1+i. Tout d abord o met α 1+i sous forme trigoométrique 1+i ( + i. ) (cos π 4 + i si π 4 ) Aisi, e utilisat les otatios expoetielles o a : ceci est possible si et seulemet si : ( ρ 4 4θ π 4 (π) D où les solutios sot z 4 1+i doe ρ 4 (cos 4θ + i si 4θ) (cos π 4 + i si π 4 ) ρ 1 8 θ k π 16 + kπ 4 k 0,, 3 k 0 z 0 8 ³ cos π 16 + i si π 16 k 1 z 1 8 ³ ³ π cos 16 + π ³ π + i si 16 + π ³ ³ π π ³ π π 16 + 16 + k z 8 k 3 z 3 8 cos µ cos µ π 16 + 3π + i si + i si µ π 16 + 3π Exemple 4 Détermier les racies troisième de α i. Solutio : Cela reviet à détermier des complexe z ρ(cos θ + i si θ) tel que : z 3 i. Tout d abord o met α i sous forme trigoométrique Aisi, e utilisat les otatios expoetielles o a : ceci est possible si et seulemet si : ( ρ 3 1 3θ π (π) i 1(0+i.1) 1(cos π + i si π ) z 3 i doe ρ 3 (cos 3θ + i si 3θ) 1(cos π + i si π ) ρ 1 1 3 D où les racies troisième de α i sot ³ k 0 z 0 cos π 6 + i si π µ µ 6 π k 1 z 1 cos 6 + π ³ ³ 3 π π k z cos 6 + + i si θ k π 6 + kπ 3 µ π + i si 6 + π ³ 3 π π 6 + 3.7.4 Résolutio des équatios Racies carrées k 0,, 3 + 1 i 3 + 1 i 3 1 i Soit α a + ib u ombre complexe doé. Détermier les racies carrées de reviet à détermier les complexes z tel que : z a + ib Notos que cette équatio est u cas particulier de ce qu o viet de voir ci-dessus. Pour la résoudre o propose ueouvelleméthodeappeléeméthode algébrique. Cette méthode cosiste à chercher les racies sous forme algébrique : z x + iy. O a doc z a + ib c est-à-dire (x + iy) a + ib 15
Soit ce qui est équivalet à Par ailleurs D où efi x y + ixy a + ib ½ x y a xy b z α x + y p a + b z a + ib est équivalet à E résolvat ce système, o détermie les deux racies de a + ib. x + y a + b x y a sige de xy sige de b Exemple 5 Résoudre das C l équatio : z 3 4 i. Solutio : O cherche ces racies par la méthode algébrique. O a doc Par ailleurs o A partir des deux équatios ci-dessus o a z 3 4 i soit x y + ixy 3 4 i z 1+i x + y s µ3 4 x + y 5 4 (1) x y 3 4 () xy < 0 (3) +( 1) 5 4 Pour résoudre ce système o procède de la maière suivate (c est ue techique très utile) O déduit doc que (1) + () doe (x + y )+(x y ) 5 4 +( 3 4 ) soit x 1 (1) () doe (x + y ) (x y ) 5 4 ( 3 4 ) soit y x 1 4 y 1 par coséquet x ± 1 y ±1 ces solutios ous doe quatre complexes qui sot : 1 + i, 1 + i, 1 i et 1 i. Or la troisième équatio du système xy < 0 permet de déduire les boes solutios qui sot z 1 1 + i et z 1 1 i Remarque 5 Les deux racies de z α sot opposées et s appellet les racies carrées de α. Eeffet : 1. Si α 1,oaz 1 1et z 1 (doc opposée). Si α 6 1α ρe iθ et o motre facilemet que les racies de α sot z 1 ρe i θ et z ρe i( θ + π ) or ρe i( θ + π ) ρe i( θ ).e i(π) ρe i( θ ) (cos π + i si π) ρe i( θ ) et par coséquet les deux racies sot opposées. 16
3.7.5 Résolutio des équatios Equatio du secod degré O s itéresse à la résolutio das C de l équatio où les coefficiets a, b et c sot das C. Cas 1 Si a 0et b 6 0alors x c b Cas Supposos que a 6 0 L équatio peut se mettre sous la forme : ax + bx + c 0 a(x + b a ) + c b b 0soit (x + 4a a ) b 4ac 4a 4a avec b 4ac Aisi résoudre l équatio reviet à chercher les racies carrées de ou de 4a Si 6 0, o sait qu il a toujours deux racies opposées z 0 et z 0. D où les racies de l équatio : x 1 b + z 0 a ; x b z 0 a Si 0, il y a ue racie double : x b a Coclusio 3 Das le cas où est o ulle, résoudre ax + bx + c 0reviet à détermier les racies de. Pour cela o utilise souvet la méthode algébrique. Exemple 6 Résoudre l équatio du secod ordre suivate x +90 Solutio : cette équatio s écrit : x 9 i 9 et la détermiatio des solutios deviet évidete : Et l esemble des solutios S { 3i ; 3i}. x 1 3i et x 3i Exemple 7 Résoudre l équatio Solutio : Etape 1 : O cherche le discrimiat x +4x +50 4 4(1)(5) 4 Etape : O cherche les racies de 4. Ces racies sot doc z 0 i et z 1 i Etape 3 : les racies de l équatio sot x 1 b + z 0 a 4+i Aisi l esemble des solutios S { +i ; i}. +i et x b z 0 a 4 i i 17
Exemple 8 Résoudre l équatio x 3ix +40,Solutiois:{x 4i}, {x i} Solutio : Etape 1 : O cherche le discrimiat ( 3i) 4(1)(4) 5 Etape : O cherche les racies de 5. Ces racies sot doc Etape 3 : les racies de l équatio sot z 0 5i et z 1 5i x 1 b + z 0 a 3i +5i Aisi l esemble des solutios S {4i ; i}. 4i et x b z 0 a 3i 5i i Exemple 9 Résoudre l équatio z +( 3 4i)z 1+5i 0,Solutiois:{z 1+i}, {z +3i}. Solutio : Etape 1 : O cherche le discrimiat b 4ac ( 3 4i) 4( 1+5i) 3+4i Etape : O cherche les racies de 3+4i par la méthode algèbrique. Pour cela o cherche z x + iy tel que z 3+4i. Soit A partir des deux équatios ci-dessus o a x + y 5 (1) x y 3 () xy > 0 (3) x y + ixy 3+4i de plus z 3+4i x + y 5 et doc (1) + () doe (x + y )+(x y )5 3 soit x (1) () doe (x + y ) (x y )5+3 soit y 8 O déduit doc que : x ±1 et y ±. Comme xy > 0 o a Etape 3 : les racies de l équatio sot z 0 1+i et z 1 1 i x 1 b + z 0 a ( 3 4i)+1+i Aisi l esemble des solutios S {+3i ; 1+i}. +3i et x b z 0 a ( 3 4i) 1 i 1+i 3.8 Complémets : Coséqueces de la otatio expoetielle 3.8.1 Notatio expoetielle Justificatio formelle D après Euler, u ombre complexe peut se mettre sous forme expoetielle e it via les foctios trigoométriques cos t et si t comme suit : e it cost + i si t La justificatio de telle otatio est basée sur la dérivatio formelle des deux termes de l expressio ci-dessus. Plus précisémet, d ue part, o a : d dt (eit ) ie it i cos t + i si t i cos t si t si t + i cos t (car d dt (eat )ae at et o pred a i) 18
d autre part, o a : d (cos t + i si t) si t + i cos t dt E plus, pour t 0,oobtiet1 des deux côtés. Ce qui de permet de doer ue justificatio formelle à l idetité ci-dessus. La formulatio e iθ cosθ + i si θ est très importate pour plusieurs résultats e trigoométrie et e calcul différetiel. Elle permet, surtout, de détermier aisémet u certais ombre de formules trigoométriques. 3.8. Notatio expoetielle Idetités Trigoométriques La otatio d Euler permet d avoir qui s écrit, e terme de foctios cos et si : d où o déduit e it.e is e i(t+s) (cos t + i si t)(cos s + i si s) cos(t + s)+i si(t + s) cos(t + s) cost cos s si t si s et cos(t + s) sit cos s +cott si s Ceci vous doe u moye très simple pour retrouver ces formules trigoométriques. O peut aussi exprimer les foctios trigoométriques e terme des ombres complexes e it et e it e se rappelat que cos est paire et que si est impaire. O procède comme suit : e it cost + i si t (1) e it cost isi t () e additioat (1) et () et e divisat par, oobtiet cos t eit + e it e retrachat de (1) le () et e divisat par i, oobtiet si t eit e it i Ue autre maipulatio suggérée par la otatio expoetielle : Ce qui permet d avoir e it.e it e it it e 0 1 1 (cost + i si t)(cos( t)+isi( t)) (cost + i si t)(cos t i si t) cos t i si t cos t +si t Il y a plusieurs autres exemples d utilisatio de cette fabuleuse otatio expoetielle. Comme exemple, oter qu o peut e extraire u très grad ombre d idetités. Rappelez-vous que cos t + i si t e it (e it ) (cost + i si t) 19
3.8.3 Notatio expoetielle Calcul différetiel Les foctios de la forme e at cos bt et e at si bt itervieet souvet das plusieurs applicatios. Pour la détermiatio de leurs dérivées, o peut utiliser la formule d Euler et la lois de la dérivatio du produit : d dt (eat cos bt + ie at si bt) d dt (e(a+ib)t ) (a + ib)e (a+ib)t (a + ib)(e at cos bt + ie at si bt) (ae at cos bt be at si bt) + i(be at cos bt + ae at si bt) {z } {z } (e at cos bt) 0 (e at si bt) 0 ce qui doe simultaémet les dérivées des deux foctios : e at cos bt et e at si bt. Cette procédure est très agréable pour la recherche des dérivées d ordre supérieur. 3.8.4 Notatio expoetielle Equatios différetielles Cette otatio expoetielle iterviet quad o veut résoudre des équatios différetielles à coefficiets costats. Das ce cas, le but état de trouver les réels a et b telles que e at cos bt et e at si bt soiet solutios de telles équatios. Exemple 30 Cosidéros l équatio différetielle : ay +by 0 + cy 0 Celle-ci peut être résolue e cherchat des solutios sous forme y(x) e rx. E substituat das l équatio, o costate qu ue telle foctio est solutio de équatio différetielle si et seulemet si o a : ar + br + c 0 Cette derière équatio algébrique peut admettre des solutios complexes. Das de tels cas, la formule d Euler ous permet d obteir les foctios solutios à valeurs réelles. 0