Chap. 5 : Les itérêts (Les calculs fiaciers) Das u cotrat de prêt, le prêteur met à la dispositio de l empruteur, à u taux d itérêt doé, ue somme d arget (le capital) qu il devra rembourser à ue certaie date (l échéace). Pour le prêteur, les itérêts correspodet à la Pour l empruteur, les itérêts représetet le du prêt (ou du placemet). de l emprut. Les itérêts sot proportioels au capital prêté et à la durée du prêt. O distigue les itérêts simples et les itérêts composés. I- Les itérêts simples A) Défiitio et calcul des itérêts simples Les itérêts simples sot calculés pour chaque période sur le capital iitial (i.e. capital empruté à l origie) et e produiset pas eux-mêmes d itérêts. 1) Formule géérale des itérêts simples (I) Avec : I = C i C : Capital iitial (empruté / prêté ou placé) i : Taux d itérêt par période (exprimé e pourcetage) : durée de l emprut ou du placemet (ombre de périodes) Le taux i et la durée doivet être exprimés das la même uité de temps (si représete u ombre de mois, i doit être u taux mesuel ; si représete u ombre d aées, i doit être u taux auel ; ). Toutefois, les taux d itérêt (i) état gééralemet des taux auels, la formule deviet : I = C i 12 avec exprimé e mois I = C i 360 avec exprimé e jours 1 / 8
Exemple : Calcul des itérêts pour u placemet (ou u emprut) de 1 000 d ue durée de 90 jours au taux auel de 5 %. I =... 2) La otio de valeur acquise (ou valeur future) La valeur acquise par u capital (C) est égale au capital (C) augmeté des itérêts (I) : aleur acquise = C + I = C + (C i ) = C [1 + (i )] (Itérêts simples) Exemple (suite) : aleur acquise =... B) L utilisatio des itérêts simples Les itérêts simples sot gééralemet utilisés pour des opératios fiacières à court terme i.e. pour des placemets ou des crédits d ue durée iférieure à 1 a, otammet : - Escompte des effets de commerce ; - Découverts des comptes courats bacaires ; - Affacturage. Covetio de calcul e Frace : I = C i 360 Les baques retieet au déomiateur 360 jours (aée commerciale) mais la durée du crédit () est calculée e ombre de jours exact (évetuellemet majoré de jours de baque). Les itérêts peuvet être : - Précomptés i.e. payés d avace e début de période (terme à échoir) et doc déduits du motat empruté. C est le cas de l escompte. - Postcomptés i.e. payés e fi de période à l échéace (terme échu) et doc rajoutés au motat remboursé. C est le cas du découvert. Exemple : Le 15/3/N, remise à l escompte d ue LCR. Nomial : 2 500 ; Echéace : 30/4/N Taux d escompte : 12 % Durée du crédit :... Escompte :... aleur ette (hors commissios) :... 2 / 8
II- Les itérêts composés A) Défiitio et calcul des itérêts composés Les itérêts composés sot calculés pour chaque période sur le capital iitial majoré des itérêts des périodes précédetes : les itérêts sot capitalisés (ajoutés au capital) et produiset eux-mêmes des itérêts. E règle géérale, la capitalisatio des itérêts est auelle (les itérêts sot icorporés au capital à la fi de chaque aée). Cotrairemet aux itérêts simples, les itérêts composés de chaque période e sot pas costats. Exemple : C = 1 000 i = 5 % par a = 4 as Périodes Capital e début de période (base) Itérêts simples Itérêts de la période Capital e début de période (base) Itérêts composés Itérêts de la période aleur acquise ou valeur future (F) et total des itérêts (I) : - Itérêts simples : F = C + I = C + (C i ) = C [1 + (i )] =... I = C i (ou = F C) = 1 000 5 % 4 =... - Itérêts composés : F = C + I = C (1 + i) =... I = F C =... Gééralisatio (itérêts composés) : Périodes Capital e début de aleur acquise par le Itérêts de la période période capital e fi de période 1 C C i C (1 + i) 2 C (1 + i) C (1 + i) i C (1 + i) 2 3 C (1 + i) 2 C (1 + i) 2 i C (1 + i) 3 C (1 + i) -1 C (1 + i) -1 i C (1 + i) Le taux i et la durée doivet être exprimés das la même uité de temps (si est u ombre d aées, i doit être u taux auel ; si est u ombre de mois, i doit être u taux mesuel ) 3 / 8
B) L utilisatio des itérêts composés Les itérêts composés sot utilisés pour les opératios fiacières à moye et log terme i.e. pour les placemets et les empruts d ue durée supérieure à 1 a. III- La capitalisatio et l actualisatio A) La capitalisatio La capitalisatio est l opératio (fiacière) qui cosiste à détermier la valeur acquise ou valeur future d u capital 0 placé pedat périodes à u taux d itérêt i (les itérêts état e pricipe composés). La valeur acquise (ou future) état égale au capital augmeté des itérêts dispoibles e fi de période. 0 1 2 0 Durée du placemet = Le taux i et la durée doivet être exprimés das la même uité de temps. Les sommes 0 et sot dites équivaletes au taux de i % par période (disposer de 0 aujourd hui est équivalet à disposer de das périodes du fait de la possibilité de placer 0 pour obteir das périodes). Exemple 1 : ersemet uique aleur acquise ( ) par u capital de 4 000 ( 0 ) placé à itérêts composés au taux de 6 % (i) par a pedat 4 as () : =... Exemple 2 : ersemets successifs (costats de début de période) aleur acquise par u versemet de 1 000 au début de chaque aée placé à itérêts composés au taux de 6 % par a pedat 4 as. 0 1 2 3 4 1 000 1 000 1 000 1 000 4 / 8
Il faut capitaliser les quatre versemets et additioer les résultats obteus : =... =... NB : Formule directe pour obteir la somme des flux capitalisés (somme des termes d ue suite géométrique de raiso 1,06) : =... B) L actualisatio L actualisatio est l opératio qui cosiste à détermier la valeur actuelle ( 0 ) d ue somme future ( ) obteue par u placemet pedat périodes à u taux d itérêt i (les itérêts état composés). O recherche aisi la valeur 0 du capital qu il faut placer aujourd hui pedat périodes à u taux d itérêt i pour obteir la somme doée : c est l opératio iverse de la capitalisatio! 0 1 2 0 Durée du placemet 0 = Le taux d itérêt i qui permet de calculer la valeur actuelle est appelé taux d actualisatio. NB : Seule la capitalisatio correspod à ue opératio fiacière réelle (u placemet sur u marché fiacier), l actualisatio est ue techique de calcul fiacier qui permet de comparer des sommes dispoibles à des périodes différetes. Exemple 1 : ersemet uique aleur actuelle ( 0 ) du capital qu il faut placer aujourd hui pedat 4 as à itérêts composés au taux de 5 % pour obteir (das 4 as) ue valeur acquise ( ) de 20 000 : 0 =... Exemple 2 : ersemets successifs (costats de fi de période) U commerçat propose de payer u bie e 4 mesualités de 1 000 payables e fi de mois. Avec u taux d actualisatio mesuel de 1 %, quel est le prix au comptat équivalet aux 4 mesualités? 5 / 8
0 1 2 3 4 1 000 1 000 1 000 1 000 Il faut actualiser les 4 versemets et additioer les résultats obteus : 0 =... =... NB : Formule directe pour obteir la somme des flux actualisés (somme des termes d ue suite géométrique de raiso 1,01-1 = 1 / 1,01) : 0 =... Pour le commerçat, il est équivalet d ecaisser immédiatemet ou d ecaisser 4 mesualités de 1 000, la valeur acquise e fi de période état la même das les deux cas : Au comptat : 4 =... A crédit : 4 =... C) Calcul du taux d itérêt ou de la durée d u placemet La formule de la valeur acquise permet de calculer le taux d itérêt i (lorsqu o coaît 0, et ) ou la durée du placemet (lorsqu o coaît 0, et i). 1) Calcul du taux d itérêt = 0 (1 + i) => (1 + i) = 0 => (1 + i) = 0 1 => i = 0 1 1 Exemple : Calcul du taux d itérêt qui permet à u capital de 10 000 placé à itérêts composés d obteir au bout de 5 as ue valeur acquise de 16 105,10 : i =... 6 / 8
2) Calcul de la durée d u placemet = 0 (1 + i) => (1 + i) = => l(1 + i) = l 0 0 => l(1 + i) = l 0 => = l 0 l 1 ( + i) Exemple : Calcul de la durée du placemet à itérêts composés au taux de 6 % qui permet à u capital de 10 000 d obteir ue valeur acquise de 11 910,16 : =... I- Les taux d itérêt proportioels et les taux d itérêt équivalets U taux d itérêt peut être exprimé e taux auel, e taux semestriel, trimestriel, mesuel ou jouralier Il existe deux types de relatios etre ces taux périodiques : ils peuvet être, les us par rapport aux autres, proportioels ou équivalets. A) Les taux d itérêt proportioels Les taux périodiques sot proportioels lorsque, appliqués au même capital et sur la même durée globale, ils doet la même valeur acquise (ou le même itérêt) calculée à itérêts simples (les itérêts e sot pas capitalisés et doc e produiset pas d itérêts). E appelat : i a : Taux d itérêt auel i t : Taux d itérêt trimestriel i m : Taux d itérêt mesuel C : Capital placé : Durée du placemet e aées La relatio etre les taux proportioels est la suivate : aleur acquise = C + I = C + (C i a ) = C + (C i t 4 ) = C + (C i m 12 ) Soit, après simplificatio : i a = i t 4 = i m 12 Les taux sot proportioels quad leur rapport est égal au rapport des périodes auxquelles ils s appliquet. 7 / 8
Exemple : Les taux : i a = 12 % ; i t = ; i m = sot des taux proportioels. B) Les taux d itérêt équivalets Les taux périodiques sot équivalets lorsque, appliqués au même capital et sur la même durée globale, ils doet la même valeur acquise (ou le même itérêt) calculée à itérêts composés (les itérêts sot capitalisés et doc produiset des itérêts). La relatio etre les taux équivalets est la suivate : aleur acquise = C + I = C (1 + i a ) = C (1 + i t ) 4 = C (1 + i m ) 12 Soit, après simplificatio : Exemple : (1 + i a ) = (1 + i t ) 4 = (1 + i m ) 12 Les taux : i a = 12 % ; i t = ; i m = sot des taux équivalets. Exemple de sythèse : Taux mesuel (i m ) Taux trimestriel (i t ) Taux auel (i a ) i m = 1 % Taux proportioels i t = 3 % i a = 12 % i m = 1 % Taux équivalets i t = 3 % i a = 12 % Cf. Fiche coseil p.39 Cf. Exos «Outils mathématiques de gestio» p. 43 (Itérêts simples) et p. 44 (Itérêts composés) 8 / 8