G Elémets de statstque Elémets de statstque descrptve. Itroducto.. Défto Statstques, brache des mathématques qu a pour objet la collecte, le tratemet et l aalyse de doées umérques relatves à u esemble d objets, d dvdus ou d élémets. La statstque costtue u outl préceu pour l epérmetato de projets, la gesto des etreprses ou ecore l ade à la décso. Ue recherche statstque se décompose e quatre étapes : la défto et la collecte des doées, leur présetato e tableau, leur aalyse, et ef la comparaso des résultats avec des los statstques coues..2. Hstorque Au IIe mlléare av. J.-C., les Chos étudet déjà les chffres de leurs productos agrcoles, tads que les Égyptes orgaset des recesemets de leur populato. La Bble metoe égalemet das le Lvre des ombres et das le Lvre des Chroques des travau statstques. Das l Atquté, Grecs et Romas recuellet des doées chffrées relatves à la populato. Le gouveremet de Rome procède e partculer au premer recesemet de l hstore à grade échelle, répertorat auss la rchesse de ses terrtores. Le Moye Âge coaît très peu de recesemets. Au VIIIe sècle, Charlemage commade des relevés des proprétés ecclésastques. Quelque tros sècles plus tard, Gullaume Ier le Coquérat ordoe e 86 le recesemet de toutes les terres aglases. Les formatos recuelles à cette occaso sot cosgées das u recuel cadastral, le Domesday Book. Au début du XVIe sècle, o commece à ter e Agleterre u regstre des décès et des assaces. E Frace, les tedats Sully, Colbert et Vauba commadet de ombreu vetares et equêtes. E 662, l Aglas Joh Graut costate ue certae costace das le rapport du ombre de assaces fémes à celu des assaces mascules. Cette observato est le prélude au développemets du XVIIIe sècle qu voet les statstques servr de base à des prévsos. Mas c est seulemet au XIXe sècle qu o découvre que la théore des probabltés costtue ue ade préceuse à la méthode statstque. Ce rapprochemet, déjà perçu par Laplace, est l œuvre d Adolphe Quételet, statstce belge qu est à l tatve du premer cogrès teratoal de statstques e 8. Dès lors, la statstque se développe das la plupart des sceces, doat otammet assace à la mécaque statstque. "statstques" Ecyclopéde Mcrosoft Ecarta e lge http://fr.ecarta.ms.com 7- Mcrosoft Corporato. Tous drots réservés.
G Elémets de statstque Aujourd hu, les statstques sot cosdérées comme des outls fables qu peuvet fourr ue représetato et ue terprétato de doées écoomques, poltques, socales, psychologques, bologques ou physques. Elles permettet de mettre e corrélato de telles doées et de les aalyser. Le traval du statstce e se lmte plus, e effet, à recuellr des doées et à les préseter sous forme de tableau ou de graphques comme autrefos. Désormas, l cosste prcpalemet à terpréter l formato. Par alleurs, l élaborato de la théore des probabltés a cosdérablemet élarg le champ des applcatos statstques. Les probabltés permettet, par eemple, de vérfer la fablté des coclusos statstques, ou ecore d dquer la ature et le ombre de doées écessares à la résoluto d u problème partculer 2. 2. Termologe de base Populato : esemble des sujets à l étude Echatllo représetatf dot o aalyse u ou pluseurs varables (caractères qualtatves (o mesurables (Couleur des yeu, see, état cvl, etc. quattatves (mesurables dscotues ou dscrètes, 2,, cotues [- [ [- 2[ 2 "statstques" Ecyclopéde Mcrosoft Ecarta e lge http://fr.ecarta.ms.com 7- Mcrosoft Corporato. Tous drots réservés. 2
G Elémets de statstque. Les séres statstques O qualfe de la valeur étudée et de le ombre de fos ( = fréquece absolue que l o recotre la valeur... Présetato des résultats par fréquece absolue ( Salare mesuel payé à 2 ouvrers d ue etreprse. Salare ( [8 ; [ [ ; [ [ ; [ [ ; 2[ [2 ; [ [ ; 4[ ombre d ouvrers ( 7 2 4 4 8 2 La somme des effectfs est de 2, ce que l o ote : avec = = = 2 = doc = 2 La otato se lt : la somme de toutes les valeurs de, varat de à..2. Présetato des résultats par fréquece relatve (f = S o dvse par (effectf total ou o obtet la fréquece relatve. f = = Salare ( [8 ; [ [ ; [ [ ; [ [ ; 2[ [2 ; [ [ ; 4[ ombre d ouvrers ( 7 2 4 4 8 Fréq. Relatve ( f,8,7,22,8,7,67 2
G Elémets de statstque 4. Représetato graphque 4.. Dagramme e bâtos 4... Dagramme e bâtos par fréquece absolue Persoel d ue etreprse classé d après le ombre d efats à charge. 2 4 6 22 2 4 6 2 28 24 2 22 2 6 2 8 4 4 2 4 6 7 Iterprétato : Persoel d après le ombre d efats à charge 4
G Elémets de statstque 4..2. Dagramme e bâtos par fréquece relatve ombre d efats par méage des élèves de la classe. Etablr le dagramme e bâtos des fréqueces relatves. Efats b. d élèves f 2 4 6 2,,4,2,, 2 f,,4,4,4,,,2,2,2,,,,,, 2 4 6 Iterprétato : Elèves d après le ombre d efats à charge des parets 4.2. Hstogramme S la varable est cotue et les doées présetées e tervalles (classes, l est plus possble de se servr d u dagramme e bâtos. La représetato se fera alors par ue surface sous forme d hstogramme.
G Elémets de statstque 4.2.. Hstogramme des effectfs Etablr l hstogramme des effectfs représetatf de l âge des ouvrers d ue etreprse. Âge ( [2 ; 2[ [2 ; [ [ ; [ [ ; 4[ [4 ; 4[ [4 ; [ [ ; [ [ ; 6[ bre d ouvrers ( 6 4 8 4 4 4 6 2 2 8 2 2 4 4 6 6 Iterprétato : Persoel de l etreprse e focto de l âge. 6
G Elémets de statstque Atteto au séres à classes d égale ampltude! Supposos que les doées de l applcato précédete soet telles que les effectfs des 2 derères classes soet groupées et que le tableau at dqué : Âge ( [2 ; 2[ [2 ; [ [ ; [ [ ; 4[ [4 ; 4[ [4 ; [ [ ; 6[ bre d ouvrers ( 6 4 8 6 hauteur ( h 6 4 8 Il est facle de vor que l ampltude de la classe [ ; 6] est le double de l ampltude des autres classes. Avat toute représetato graphque l faut alors dvser par 2 l effectf correspodat à cette classe d ampltude double af d e dégager la hauteur correcte. Formule à utlser pour dégager la hauteur correcte : Hauteur ( h = de la classe!"#$%&'(!"!é!é!"#$"!"#$%&'(!"!"!"#$$% Ic : Ampltude de référece : Ampltude de la classe : Hauteur ( h = 6 / = 7
G Elémets de statstque 4 4 4 6 2 2 8 Iterprétato : Persoel de l etreprse e focto de l âge avec ajustemet de la hauteur des classes. E gééral : 2 2 4 4 6 6 à Vérfez be l ampltude des classes ; à S l ampltude est égale, preez comme ampltude de référece sot l ampltude la plus fréquete sot la plus fable ampltude ; (l objectf état de lmter au mamum les calculs à Adaptez la hauteur des autres classes e focto. 8
G Elémets de statstque O dspose de la statstque suvate relatve au eplotatos agrcoles d ue certae régo, classées d après la surface eplotée. Surface e ha ( [ ; [ [ ; 2[ [2 ; [ [ ; [ [ ; [ [ ; 2[ [2 ; 4[ bre d eplotatos ( hauteur ( h 26 2 7 2 44 26 2 26, 2 7,,2 h 4 2 2 26 26, 2 2 7,,2 2 4 6 8 2 4 6 8 2 22 24 26 28 2 4 6 8 4 Iterprétato : Eplotatos agrcoles d après la surface eplotée avec ajustemet de la hauteur des classes. Eercce Classes ( [ ; 7[ [7 ; [ [ ; [ [ ; 4[ 2 2 6 6 26 Présetez l hstogramme des effectfs
G Elémets de statstque Eercce 2 Talle ( [6 ; 7[ [7 ; 7[ [7 ; 8[ [8 ; 8[ [8 ; 2[ 4 Présetez l hstogramme des effectfs 4.2.2. Hstogramme des fréqueces relatves Etablr l hstogramme des fréqueces relatves représetatf de l âge des ouvrers d ue etreprse. Âge ( [2 ; 2[ [2 ; [ [ ; [ [ ; 4[ [4 ; 4[ [4 ; [ [ ; [ [ ; 6[ bre d ouvrers ( 6 4 8 Fréq. rel. ( f,6,8,24,,2,6,2,2 Iterprétato : Persoel de l etreprse e focto de l âge.
G Elémets de statstque O dspose de la statstque suvate relatve au eplotatos agrcoles d ue certae régo, classées d après la surface eplotée. Surface e ha ( bre d eplotatos ( Fréq. rel. ( f hauteur ( h [ ; [ [ ; 2[ [2 ; [ [ ; [ [ ; [ [ ; 2[ [2 ; 4[ 26 2 7 2,76,2,84,4,,26,7 44,76,2,84,77,6,2,4 Iterprétato : Eplotatos agrcoles d après la surface eplotée avec ajustemet de la hauteur des classes. 4.. Polygoe E jogat les mleu des rectagles costtuat l hstogramme o obtet le polygoe des effectfs ou par aaloge, le polygoe des fréqueces relatves. Le polygoe est utle pour motrer la cotuté de la varable à l étude.
G Elémets de statstque 4... Polygoe des effectfs Das ue etreprse les salares mesuels des cadres se répartsset comme sut (e cetaes d euros. Salare ( bre d ouvrers ( [2 ; [ [ ; 4[ [4 ; [ [ ; 6[ [6 ; 7[ [7 ; 8[ 8 24 4 4 4 4 2 24 2 8 4 2 2 4 4 6 6 7 7 8 8 Iterprétato : Ouvrers classés d apèrs leur salare (Hstogramme et polygoe Are polygoe = are hstogramme ; pour respecter cette égalté, le polygoe dot partr du pot d ordoée zéro et d abscsse égale à celle du mleu de la classe d ampltude ormale o utlsée précédat la premère et dot aboutr au pot d ordoée zéro et d abscsse égale à celle du mleu de la classe d ampltude ormale o utlsée suvat la derère. 2
G Elémets de statstque 4 4 4 2 24 2 8 4 2 2 4 4 6 6 7 7 8 8 Eercce Pr ( [4 ; 8[ [8 ; 42[ [42 ; 46[ [46 ; [ [ ; 4[ [4 ; 8[ Artcles ( 6 2 2 Etablssez l hstogramme et le polygoe des effectfs de cette sére. Eercce 2 Talle ( [6 ; 6[ [6 ; 7[ [7 ; 7[ [7 ; 8[ [8 ; 8[ [8 ; [ [ ; [ [ ; 2[ Élèves ( 7 4 2
G Elémets de statstque Etablr l hstogramme et le polygoe des effectfs de cette sére. 4..2. Polygoe des fréqueces relatves Le Statec à observé le pr d u produt das u certa ombre de magass. Les résultats de cette equête sot les suvats. Pr ( [ ; 4[ [4 ; 8[ [8 ; 2[ [2 ; 6[ [6 ; 2[ Magass ( 2 42 Fréq. rel. ( f,4,,6,2,66 f,4,6,,,2,2,2,66,,,,4, 4 6 8 2 4 6 8 2 4 6 8 2 22 24 26 Iterprétato : Magass classés d après le pr d u produt. Remarque : Les questos d eame peuvet uquemet porter sur les polygoes des effectfs et fréqueces à classes égales. 4... Polygoe des effectfs ou fréqueces cumulés crossats et décrossats (varables cotues Le polygoe des effectfs ou fréqueces cumulés permet de lre graphquemet pluseurs dcateurs statstques téressats (médae, quartles, décles 4
G Elémets de statstque 4... Polygoe des effectfs cumulés crossats Etablr le polygoe cumulé crossat de l âge des ouvrers d ue etreprse. âge ( [2 ; 2[ [2 ; [ [ ; [ [ ; 4[ [4 ; 4[ [4 ; [ [ ; [ [ ; 6[ ombre ( Effectfs cumulés ( j 6 4 8 6 72 7 44 47 Coordoées (2 ; (2 ; ( ; 6 ( ; 72 (4 ; 7 (4 ; ( ; 44 ( ; 47 (6 ; Effectfs cumulés à lge 2 : + = 6 j 6 4 44 47 2 7 8 72 6 4 6 2 2 2 4 4 6 Iterprétato : Polygoe cumulé crossat - Persoel d ue etreprse par âge. Das ce graphque o peut par eemple lre que 6 salarés se trouvet das la trache d âge [2 ; [ ; sot dot âgés etre 2 et as. Ou ecore que 7 salarés ot u âge féreur à 4 as.
G Elémets de statstque 4...2. Polygoe des effectfs cumulés décrossats Etablr le polygoe cumulé décrossat de l âge des ouvrers d ue etreprse. âge ( [2 ; 2[ [2 ; [ [ ; [ [ ; 4[ [4 ; 4[ [4 ; [ [ ; [ [ ; 6[ ombre ( Effectfs cumulés ( j 6 4 8 4 4 78 6 Coordoées (2 ; (2 ; 4 ( ; 7 ( ; 78 (4 ; (4 ; ( ; 6 ( ; (6 ; Effectfs cumulés à lge 2 : - = 4 j 6 4 4 2 4 8 78 6 4 2 2 2 4 4 6 Iterprétato : Polygoe cumulé crossat - Persoel d ue etreprse par âge. Das ce graphque o peut par eemple lre que salarés se trouvet das la trache d âge [4 ; 6[ ; sot dot âgés etre 4 et 6 as. Ou ecore que 4 salarés ot u âge supéreur à as. 6
G Elémets de statstque 4... Polygoe des effectfs cumulés crossats et décrossats Etablr le polygoe cumulé crossat et décrossat de l âge des ouvrers d ue etreprse. âge ( [2 ; 2[ [2 ; [ [ ; [ [ ; 4[ [4 ; 4[ [4 ; [ [ ; [ [ ; 6[ ombre ( 6 4 8 Effectfs cumulés ( j 6 72 7 44 47 Coordoées (2 ; (2 ; ( ; 6 ( ; 72 (4 ; 7 (4 ; ( ; 44 ( ; 47 (6 ; Effectfs cumulés ( j 4 4 78 6 Coordoées (2 ; (2 ; 4 ( ; 7 ( ; 78 (4 ; (4 ; ( ; 6 ( ; (6 ; j 6 4 4 44 47 2 4 7 8 78 72 6 4 6 2 6 2 2 4 4 6 Iterprétato : Polygoe des effectfs cumulés crossats et décrossats - Persoel d ue etreprse par âge. 7
G Elémets de statstque 4...4. Polygoe des fréqueces relatves cumulées crossates et décrossates Das ue etreprse, les salares auels se répartsset as (e mllers d euros Salares ( bre ( [2 ; [ [ ; 4[ [4 ; [ [ ; 6[ [6 ; 7[ [7 ; 8[ 8 24 4 4 Fréq. relat. ( f,,8,24,4,,4 f j f j Coord. Coord.,,2,4,8,6,7,7,,,4 (2 ; ( ;, (4 ;,2 ( ;,4 (6 ;,8 (7 ;,6 (8 ; (2 ; ( ;,7 (4 ;,7 ( ;, (6 ;, (7 ;,4 (8 ; fj,,,7,6,,,8,8,7,7,6,,,4,4,,2,2,,,,4 2 4 6 7 8 Iterprétato : Polygoe des fréqueces relatves cumulées crossates et décrossates - Salarés d après leurs salares mesuels. Das ce graphque o peut par eemple lre que 2% des salarés gaget etre 2. et 4. par a (se stuat das la trache [2 ; 4[. Ou ecore que 7% des salarés ot u salare auel supéreur à 4.. Remarque : Les séres à classe d égale ampltude affectet e re la représetato graphque du polygoe des effectfs (fréqueces relatves cumulés crossats et décrossats. 8
G Elémets de statstque Eercce Talle e cm [8 ; 26[ [26 ; 4[ [4 ; 42[ [42 ; [ [ ; 8[ [8 ; 7[ Efats 2 6 4 Etablssez :. L hstogramme des effectfs 2. L hstogramme des fréqueces relatves. Polygoe des effectfs cumulés crossats et décrossats 4. Polygoe des fréqueces relatves cumulées crossates et décrossates Eercce 2 Pods [46 ; 4[ [4 ; 6[ [6 ; 7[ [7 ; 74[ [74 ; 8[ [8 ; [ ombre d œufs 8 2 2 2 2 8 Etablssez :. L hstogramme des effectfs 2. L hstogramme des fréqueces relatves. Polygoe des effectfs cumulés crossats et décrossats 4. Polygoe des fréqueces relatves cumulées crossates et décrossates 4..4. Dagramme e bâtos cumulés (varables dscrètes Das le cas d ue varable statstque dscrète, o e peut pas tracer le polygoe des effectfs ou fréqueces cumulés de la même faço pusque la varable passe d ue valeur à la suvate brusquemet et o progressvemet comme das le cas d ue varable cotue. La représetato graphque devet ue courbe e escaler et o parle d u dagramme e bâtos cumulés.
G Elémets de statstque Persoel d ue etreprse classé d après le ombre d efats à charge. 2 4 6 22 2 4 j 64 84 j 84 8 64 6 4 2 2 4 6 7 Iterprétato : Dagramme e bâtos cumulés (Courbe e escaler O peut par eemple lre que 64 salarés ot au plus 2 efats. Remarques : à La hauteur de chaque marche d escaler représete l effectf de la valeur correspodate du caractère ; à Le dagramme e bâtos des fréqueces relatves cumulées se représete de faço aalogue. 2
G Elémets de statstque. Les valeurs cetrales Ue valeur cetrale est u résumé, par ue seule valeur, de l esemble des valeurs d ue dstrbuto statstque... La moyee... La moyee arthmétque smple = + +... + = k 2 k k k = Sot les otes : 4, 6, 28,, 4, 24, 4, 7. Calculer la moyee Moyee : /8 = 8,87..2. La moyee arthmétque podérée = k = = k = k = où = k = Doées relatves à l âge des ouvrers d ue etreprse. Calculer l âge moye. Âge [2 ; 2[ [2 ; [ [ ; [ [ ; 4[ [4 ; 4[ [4 ; [ [ ; [ [ ; 6[ Cetre ( 22,, 2, 7, 42, 47, 2, 7, ombre ( 22, 742, 6 7 4 687, 8 76 4, 7, 72, 2 Moyee arthmétque : 2/ =, Remarque : Calcul de la moyee par fréquece relatve k = f = où f = 2
G Elémets de statstque Âge [2 ; 2[ [2 ; [ [ ; [ [ ; 4[ [4 ; 4[ [4 ; [ [ ; [ [ ; 6[ Cetre ( 22,, 2, 7, 42, 47, 2, 7, ombre ( Fréq. relat. ( f f,6,,8 4, 6,24 7,8 4,,2 8,2,,6 2,8,2,,2,, Moyee arthmétque par fréquece relatve :,.2. La médae La médae est la valeur du caractère qu partage l effectf total d ue sére statstque e deu partes égales..2.. Détermato graphque de la médae La médae peut être détermée sur le polygoe des effectfs ou fréqueces cumulés crossats ou décrossats e partageat l effectf total (c : e deu partes égales (/2 = 7. j 6 4 44 47 2 7 8 7 72 6 4 6 2 2 2 4 4 6 E l occurrece, grâce à la médae o peut détermer l âge de la 7 e persoe (, as c.-à.-d. l âge où % des persoes sot plus âgées que la 7 e persoe et où % des persoes sot mos âgées que la 7 e persoe. 22
G Elémets de statstque j 6 4 4 2 4 8 7 78 6 4 2 2 2 4 4 6 Ue deuème méthode de détermato graphque de la médae est de cosdérer l tersecto etre le polygoe des effectfs ou fréqueces cumulés crossats et décrossats: j 6 4 4 44 47 2 4 7 8 7 72 78 6 4 6 2 2 2 4 4 6 Iterprétato : Détermato graphque de l âge méda. % des ouvrers de l etreprse sot plus âgés que la 7 e persoe (, as et % des ouvrers de l etreprse sot mos âgés que la 7 e persoe. 2
G Elémets de statstque.2.2. Détermato de la médae par terpolato léare.2.2.. Sére dscrète, 2, 4,, 8,, Médae :, 2, 4,, 8, Médae : 4,.2.2.2. Sére cotue Calculer l âge méda des ouvrers d ue etreprse. Âge ( [2 ; 2[ [2 ; [ [ ; [ [ ; 4[ [4 ; 4[ [4 ; [ [ ; [ [ ; 6[ ombre ( Effectfs cumulés ( j 6 4 8 6 72 7 44 47 Pour le calcul de la médae ous calculos l âge de la /2 = 7 e persoe (c.-à.-d. l âge où % des persoes sot plus âgées que la 7 e persoe et où % des persoes sot mos âgées que la 7 e persoe. Sur base des effectfs cumulés crosats ous pouvos affrmer das ue premère approche que l âge méda se stue etre et 4 as. 24
G Elémets de statstque Âge ( [2 ; 2[ [2 ; [ [ ; [ [ ; 4[ [4 ; 4[ [4 ; [ [ ; [ [ ; 6[ ombre ( Effectfs cumulés ( j 6 4 8 6 72 7 44 47 " 2 y % $ ' # & Me = + a = lmte féreure de la classe cocerée y = effectf cumulé de la classe précédat de la classe cocerée a = ampltude de la classe cocerée = effectf de la classe cocerée " 2 72 % $ ' # & Me = + 4 Me =, % des ouvrers de l etreprse sot plus âgés que, as et % des ouvrers de l etreprse sot mos âgés que, as. Eercce Détermez le reveu méda. Iterprétez le résultat obteu. Reveus mesuels [ ; [ [ ; 2[ [2 ; 2[ [2 ; [ [ ; 4[ Salarés 7 6 4 2
G Elémets de statstque 6. Les caractérstques de dsperso Il arrve souvet que deu séres statstques, be qu ayat des caractérstques de tedace cetrale detques (moyee et/ou médae, soet fort dfféretes. Supposos que deu élèves ayat obteu les otes suvates : Moyees Elève 4 47 4 47 Elève 2 6 47 Il faut doc, pour dfférecer statstquemet ces deu séres, défr des caractérstques de dsperso qu serot destées à : - mettre e relef l écart estat etre deu valeurs (étedue, écart terquartle ou décle ou etre les valeurs du caractère et ue valeur caractérstque cetrale (écart-type ; - sythétser la plus ou mos grade homogéété des valeurs observées. 6.. L étedue (tervalle de varato O appelle étedue la dfférece etre la valeur la plus élevée et la valeur la plus fable des. Âge des ouvrers d ue etreprse. Calculer l étedue. Âge ( ombre ( [2 ; 2[ [ ; [ [ ; [ [ ; 6[ Etedue : 6 2 = 4 Commetares: Ce calcul est smple mas la smplcté de ce calcul e dot pas ous fare oubler que «l étedue» est très sesble au fluctuatos des valeurs «etrêmes» qu sot souvet peu représetatves. Cette valeur caractérstque, qu correspod à u cocept fort utlsé das la pratque (écart etre le premer et le derer coureur, écart etre la melleur et la plus fable ote, etc. est suffsate pour ue étude séreuse de la dsperso. 26
G Elémets de statstque 6.2. Les quartles et l tervalle (écart terquartle Les quartles partaget les séres statstques e 4 sous-esembles de même effectf. % Q Q2 Q 2% 2% 2% 2% % % As, la sére statstque peut être caractérsée par quartles : - le premer quartle (Q ou quartle féreur ; - le deuème quartle (Q2 = la médae ; - le trosème quartle (Q ou le quartle supéreur. à Itervalle terquartle : Q Q (% à Itervalle sem-terquartle:!!!!!! (2% " 4 y % $ ' # & Q= + a Iterprétato : U quart (2% des valeurs sot féreures à Q et tros quarts (7% sot supéreures à Q. " 2 y % $ ' # & Me = Q2 = + a # 4 y & % ( $ ' Q = + a Iterprétato : Tros quarts (7% des valeurs sot féreures à Q et u quart (2% sot supéreurs à Q. L tervalle ou l écart terquartle d ue sére statstque est égal à la dfférece : Q Q Iterprétato : Evro la moté des valeurs se trouvet das l tervalle terquartle.
G Elémets de statstque Calculez l écart terquartle de l âge des ouvrers d ue etreprse. Reportez l écart terquartle sur le polygoe des effectfs cumulés crossats et terprétez vos résultats. âge ( ombre ( Effectfs cumulés ( j Coordoées [2 ; 2[ [2 ; [ [ ; [ [ ; 4[ [4 ; 4[ [4 ; [ [ ; [ [ ; 6[ 6 4 8 6 72 7 44 47 (2 ; (2 ; ( ; 6 ( ; 72 (4 ; 7 (4 ; ( ; 44 ( ; 47 (6 ; Q : /4 = /4 = 7, à classe [ ; [ " 4 y % $ ' # & Q= + a " 4 6 % $ ' # & Q= + 6 Q=, 2 Iterprétato : U quart (2% des ouvrers a mos de,2 as et tros quarts (7% ot plus que,2 as. Q : /4 =. /4 = 2,à classe [ ;4[ # 4 y & % ( $ ' Q = + a # & % 72( $ 4 ' Q = + 4 Q =, Iterprétato : Tros quarts (7% des ouvrers a mos de, as et u quart à plus de, as (2%. Ecart terquartle : Q-Q =,,2 =,2 28
G Elémets de statstque j 6 4 44 47 2 7 8 % 72 6 4 6 2 Das l tervalle Q Q o trouve % des observatos cetrées autour de la médae. Plus l tervalle est rédut, plus la cocetrato autour des valeurs cetrales est forte. 7(2, 7, ouvrers (% de l effectf se trouvet das la classe d âge [,2 ;,[ O peut mathématquemet démotrer que l effectf comprs das l écart terquartle est de %. [,2-[ + [-,], 2, = 6 + 4 4 = 6, 8+ 4, = 74, 88 = ( 74, 88 / = % Itervalle terquartle Q 2 2 4 4 6 Q 2
G Elémets de statstque 6.. Les décles et le rapport terdécle Les décles partaget les séres statstques e sous-esembles de même effectf : D D2 D D4 D D6 D7 D8 D % % % % % % % % % % Les décles se calculet de maère aalogue au quartles. # y & % ( $ ' D= + a Iterprétato : U dème (% des valeurs sot féreurs à D et euf dème sot supéreurs (% à D # 2 y & % ( $ ' D2 = + a Iterprétato : Deu dème (2% des valeurs sot féreurs à D2 et hut dème (8% sot supéreurs à D2. Pour mesurer l égalté de la dstrbuto d ue varable, o peut calculer le rapport etre le D et le D (rapport terdécle : D/D Ce rapport est souvet utlsé pour mesurer des égaltés de reveu. Le rapport terdécle est alors le rapport etre la somme des veau de ve des % de persoes ayat les veau de ve les plus élevés et celle des % de persoes ayat les veau de ve les plus fables. Eemple sur les salares aules das u pays quelcoque : D/D = 7./2. =,26 c.-à-d. que les % des salarés les meu payés perçovet u salare auel,26 fos plus élevé que les % des salarés les mos be payés. Remarque : Selo le même prcpes peuvet être détermées les otos de qutles (répartto de l effectf total e partes ; 2 %, 4 %, 6 %, 8 % et % ou de (percetles (répartto de l effectf total e partes.
G Elémets de statstque otos ecore que D8 est l équvalet du 4e qutle et du 8e (percetle. De même, D2 est l équvalet du er qutle et du 2e (percetle. Eercce Talle e cm [8 ; 26[ [26 ; 4[ [4 ; 42[ [42 ; [ [ ; 8[ [8 ; 7[ Efats 2 6 4 Traval à fare :. Calculez le premer et le trosème quartle. (Q + Q. Iterprétez vos résultats obteus. 2. Démotrez par u calcul mathématque que l effectf comprs das l écart terquartle est de %.. Calculez le rapport terdécle et terprétez vos résultats. 6.4. La varace Cotraremet à l étedue et au quartles vore décles, la varace permet de comber toutes les valeurs à l téreur d u esemble de doées af d obter la mesure de dsperso. O la calcule e preat la moyee de l'écart au carré de chaque ombre par rapport à la moyee d'u esemble de doées. Pour les ombres, 2 et, par eemple, la moyee est 2 et la varace,,667. [( - 2 2 + (2-2 2 + ( - 2 2 ] / =,667 [Somme de l'écart au carré] / ombre d'observatos = Varace Varace par formule géérale : 6.. L écart-type 2 = ( 2 σ = ou σ 2 = L écart-type est la race carrée de la varace. L écart-type est la mesure de dsperso la plus courammet utlsée e statstque lorsqu o emploe la moyee pour calculer ue tedace cetrale. = 2 2
G Elémets de statstque ( 2 2 2 σ = ou σ = = = σ = varace Ue fable valeur de l écart-type est sgfcatf d ue forte accumulato des doées autour de la moyee arthmétque et versemet. Af d eprmer la cocetrato des doées autour de la moyee arthmétque o demade souvet de calculer le pourcetage des observatos se stuat das l tervalle : [ σ ; + σ ] Recettes jouralers (e cetaes d euros d u magas pedat 8 jours d ouverture. Calculer la recette moyee, la varace, l écart type. Détermer le pourcetage des observatos se stuat das l tervalle : [ σ ; + σ ] Recettes [ ; [ [ ; [ [ ; 2[ [2 ; [ [ ; 4[ [4 ; [ [ ; 6[ [6 ; 7[ Cetre ( 2 4 6 6 2 7 2 47 4 84 2 7 46 2 42 22 26 62 262 477 7 44 8 2 Moyee : k k = = = k = = = 8 = 24,7 2
G Elémets de statstque Varace : σ σ σ 2 2 2 = 2 2 = 24,7 8 = 24,8 2 2 Ecart-type: σ = varace σ = 24,8 σ =,68 Pourcetage tervalle : [ σ ; + σ ] [24,7,68 ;,68 + 24,7] [8,6 ; 4,] 6 2 7 2 4 pr,2 jours 8,6 4, 8,6 4, 4 + 6 + 2 + + 7 4,74 + 6 + 2 + +,8,2 E % : = 6,6% 8 Iterprétato : Pedat,2 jours d ouverture o réalse des recettes comprses etre 8.6 et 4.. [8,6 ; 4,] Eercce Das u lycée la médece scolare a regroupé les élèves e dfféretes groupes e focto de leur pods. Détermer le pods moye, la varace et l écart-type. Détermer le pourcetage des observatos se stuat das l tervalle : [ σ ; + σ ]
G Elémets de statstque Iterprétez vos résultats obteus. Pods (e kg [4 ; [ [ ; [ [ ; 6[ [6 ; 6[ [6 ; 7[ [7 ; 8[ [8 ; [ 6 6 8 26 6 8 4