Masse d inetie et asse gavitationnelle Deux définitions difféentes de la asse: asse d inetie, appaaissant dans la 2èe loi de Newton: F = i a asse gavitationnelle, appaaissant dans la loi de la gavitation: F = g g bsevations expéientales conduisant à l hypothèse i = g : Galilée (1590?) 10 1 accéléation des cops en chute libe indép. de Newton (1686) 10 3 péiode d un pendule indép. de Bessel (1832) 10 4 péiode d un pendule indép. de Eötvös (1922) 10 8 pendule de tosion (test paallélise poids de deux cops) Dicke (1961) 10 11 Baginskii+Paov (1972) 10 12 pécision elative Pincipe d équivalence d Einstein (1911): i g n ne peut pas distingue un chap de pesanteu d une accéléation déos: ail à ai Poids appaent = foce gavitationnelle + foce d inetie due à la otation de la Tee Expéience d Eötvös: Pendule de tosion avec deux boules de êes poids, ais de substances difféentes L expéience est épétée tounée de 180 degés 1 2 2 1 Si on esue une tosion difféente, alos i / g n est pas le êe pou les deux boules S, 20 décebe 2005 113
Au tableau Point atéiel souis à une foce centale en 1/ 2 y ˆ e Constantes du ouveent de Képle e ˆ z = e ˆ e ˆ e ˆ x Coodonnées polaies (, ) L = v = ˆ F = K e ˆ 2 = a + 2 = e ˆ v = e ˆ + e ˆ a = ( 2 ) e ˆ + + 2 e e ˆ + ˆ ( ) ( e ) = 2 L 2 = K 3 L 2 2 + K 3 = 0 d 2 dt 2 2 + L 2 2 K 2 14 42 444 3 = constante E ( ) K = 1 2 v 2 E { = 1 2 2 + 2 2 Enegie écanique = ( ) = 0 d L ( 2 ) = K 2 { K { = cte + E pot E cin S, 20 décebe 2005 114 ˆ e z e ˆ dt = 0 L = 2 = cte L 2 = K 3 2 Deux constantes: L et E = 0
Enegie potentielle gavifique Enegie potentielle: V() = GM h g = R+h Appoxiation à la suface de la Tee (h«r): 1 = 1 R+h = 1 R V() = GM ( 1 ) 1+h/R R 1 1h R ( ) = 1 R h R 2 GM 12 R3 + GM R h 2 constante 124 3 g h R Tee M La foce déive de l énegie potentielle: F x = V x = dv d x = GM ( x 2 +y 2 +z 2 ) = GM x 2 x 2 et de êe pou F F = GM y et F z 2 S, 20 décebe 2005 115
Systèe de deux asses en inteaction F 12 + F 21 = 0 (3èe loi) 1 F F 12 = F 21 = G 1 2 21 ( 1 2 ) 2 2èe loi: 1 (t) 2 F appliquée à 1 : (1) appliquée à 2 : F 12 = z 12 F 21 = 1 1 2 (t) 2 2 (2) 6 fonctions de t à touve: x y 1 (t), 2 (t) «Changeent de fonctions»: ( 1 (t), 2 (t)) ( R (t), (t)) R (t) = 1 1 (t) + 2 2 (t) = cood. du cente de asse 1 + 2 (t) = 1 (t) 2 (t) = cood. elatives F 21 + F 12 =( 1 + 2 ) R (1)+(2) = 0 2 F 21 1 F 12 = 1 2 F 21 = 1 2 (1) 2 (2) 1 Equation du ouveent F 21 = G 1 2 2 = µ 1 2 + 3 2 de la «paticule elative» Masse éduite µ S, 20 décebe 2005 116
Au tableau Mouveent de Képle F 21 = K 2 = µ avec K = G 1 2, µ = 1 2 1 + 2 ouveent cental! on passe aux cood. polaies (, ) dans le plan du ouveent Moent cinétique (elatif) constant: L = µ 2 Equation du ouveent adiale: µ L2 µ = K 3 2 F 21 (t) (t) n pose = 1 q : = d 1 dt q = dq d 1 q dq d d dt = q 1 dq 2 d = 2 dq d = L µ = L d 2 q = µ d L d 2 q 2 µ d L 2 µ = L 2 d2 q 2 µ 2 q2 d 2 Equ. du vt d2 q d + q = Kµ q() = 2 L 1 2 = Kµ L ( 1 + e cos( 0) ) 2 S, 20 décebe 2005 117 1 NB: on a passé de 6 à 2 coodonnées! x z e, 0 = constantes d intégation 2 y dq d
Coniques Conique: lieu géoétique des points P du plan dont le appot des distances à un point fixe (foye) et une doite fixe (diectice) est une constante e (excenticité): b a e< 1: ellipse P e>1: hypebole Q d ae ae a P d b a Q P PQ = e = 1 = 1 p d cos, = cood. polaies pa appot à d = distance foye-diectice (1 + e cos) avec p = ed Equation conique en coodonnées polaies définie pa les paaètes e et p dei-gand axe: a = dei-petit axe: b = p 1 e 2 p 1 e 2 ed = ( 1+ e cos) S, 20 décebe 2005 118
Au tableau 1 = Kµ L 2 1 + e cos( 0) ( ) bites de Képle Conique d excenticité e bite: 1 = Kµ L ( 1 + e cos( 0) ) 1 = Kµ 2 in L (1+e) 2 Enegie totale: E = µ 2 2 + L 2 2µ K 2 = L 2 2µ in in 2 K 1 = Kµ in L 1 + 1 + 2L 2 2 K 2 µ E e = 0: cecle 0 < e < 1: ellipse e = 1: paabole e > 1: hypebole e = 1 + 2L 2 K 2 µ E si énegie E < 0: obite elliptique, donc bonée systèe lié (pa exeple Soleil+planète) si énegie E > 0: obite hypebolique, donc non bonée systèe non lié (la paticule peut alle à l infini où E pot =0 et avoi E cin >0) S, 20 décebe 2005 119
z x Théoèe du oent cinétique Résultante (soe) des foces appliquées au point atéiel P: F = F i Quantité de ouveent du point atéiel de asse : y p = v F P Deuxièe loi de Newton p (pou un point atéiel P) Moent de la foce ésultante F pa appot à un point du éféentiel: M = F = Moent cinétique du point atéiel pa appot au point : L = p = F v Théoèe du oent cinétique S, 20 décebe 2005 = 0 120 dp dt = F d L = M dt L ( p ) = v p équivalente à F=a, si constante d dt = d dt z x M L y F P p i = P = 0 si foce centale = 0 si foce centale { + d p dt = F = M