Termiale S DS de Mathématiques 3 le 4/02/2016 Durée : 4 heures Termiale S3 Les calculatrices sot autorisées Le sujet est composé de quatre exercices idépedats La qualité et la précisio de la rédactio serot prises e compte das l appréciatio des copies Pae 1 sur 6
Exercice 1 (5 poits) Les parties A et B peuvet être traitées de aço idépedate Partie A O rappelle que la partie réelle d u ombre complexe z est otée z 1 Détermier l écriture expoetielle du ombre complexe u 1 i 2 Détermier, pour tout réel, la orme alébrique et l écriture expoetielle du ombre complexe i e (1 i) 3 Déduire des questios précédetes que, pour tout réel, cos( ) si( ) 2 cos 4 Partie B Das cette partie, o admet que, pour tout réel, cos( ) si( ) 2 cos 4 O cosidère les octios et déiies sur l itervalle [0 ; [ par : x ( x) e cos( x) et x ( ) e x O déiit la octio h sur 0; par h( x) ( x) ( x) Les représetatios raphiques, et h des octios, et h sot doées ci-dessous das u repère orthooal 1 Cojecturer a les limites des octios et e ; b la positio relative de par rapport à ; c la valeur de l abscisse x pour laquelle l écart etre les deux courbes et est maximal 2 Justiier que est située au-dessus de sur l itervalle 0; 3 Démotrer que la droite d équatio y = 0 est asymptote horizotale aux courbes et 4 a O ote h ' la octio dérivée de la octio h sur l itervalle 0; x Démotrer que, pour tout x de l itervalle 0;, h ( x) e 2 cosx 1 4 b Justiier que, sur l itervalle 0 ; 2, 2 cos x 4 1 0 et que, sur l itervalle ; 2 2, 2 cosx 1 0 4 c E déduire le tableau de variatio de la octio h sur l itervalle [0 ; 2 ] Pae 2 sur 6
Exercice 2 (5 poits) Das u pays de populatio costate éale à 120 millios, les habitats vivet soit e zoe rurale, soit e ville Les mouvemets de populatio peuvet être modélisés de la aço suivate : e 2010, la populatio compte 90 millios de ruraux et 30 millios de citadis ; chaque aée, 10 % des ruraux émiret à la ville ; chaque aée, 5 % des citadis émiret e zoe rurale Pour tout etier aturel, o ote : u la populatio e zoe rurale, e l aée 2010, exprimée e millios d habitats ; v la populatio e ville, e l aée 2010, exprimée e millios d habitats O a doc u = 90 et v = 30 0 0 Partie A 1 Traduire le ait que la populatio totale est costate par ue relatio liat u et v v 2 O utilise u tableur pour visualiser l évolutio des suites u et Quelles ormules peut-o saisir das les cellules B3 et C3 qui, recopiées vers le bas, permettet d obteir la euille de calcul ci-dessous : A B C 1 Populatio e zoe rurale Populatio e ville 2 0 90 30 3 1 82,5 37,5 4 2 76,125 43,875 5 3 70,706 49,294 6 4 66,100 53,900 7 5 62,185 57815 8 6 58,857 61,143 9 7 56,029 63,971 10 8 53,625 66,375 11 9 51,581 68,419 12 10 49,844 70,156 13 11 48,367 71,633 14 12 47,112 72,888 15 13 46,045 73,955 16 14 45,138 74,862 17 15 44,368 75,632 18 16 43,713 76,287 19 17 43,156 76,844 20 18 42,682 77,318 21 19 42,280 77,720 22 20 41,938 78,062 59 57 40,005 79,995 60 58 40,004 79,996 61 59 40,003 79,997 62 60 40,003 79,997 63 61 40,002 79,998 3 Quelles cojectures peut-o aire cocerat l évolutio à lo terme de cette populatio? Pae 3 sur 6
Partie B O admet das cette partie que, pour tout etier aturel, u 1 = 0,85u 6 1 (a) Démotrer par récurrece que la suite u est décroissate (b) O admet que u est positi pour tout etier aturel Que peut-o e déduire quat à la suite u? w, déiie par : w = u 40, pour tout 0 (a) Démotrer que w est ue suite éométrique de raiso 0,85 2 O cosidère la suite (b) E déduire l expressio de w puis de u e octio de (c) Détermier l expressio de v e octio de 3 Valider ou ivalider les cojectures eectuées à la questio 3 de la partie A 4 O cosidère l alorithme suivat : (a) Que ait cet alorithme? (b) Quelle valeur aiche-t-il? Pae 4 sur 6
Exercice 3 (5 poits) Le directeur d u zoo souhaite aire costruire u toboa pour les padas Il réalise le schéma suivat de ce toboa e perspective cavalière Voici ce schéma : Partie A : Modélisatio Le proil de ce toboa est modélisé par la courbe C représetat la octio déiie sur l itervalle 1; 8 par x x ax be où a et b sot deux etiers aturels La courbe C est tracée ci-cotre das u repère orthoormé dot l uité est le mètre 1 O souhaite que la taete à la courbe C e so poit d abscisse 1 soit horizotale Détermier la valeur de l etier b 2 O souhaite que le haut du toboa soit situé etre 3,5 et 4 mètres de haut Détermier la valeur de l etier a Partie B : Ue cotraite à vériier O admet das la suite que la octio itroduite das la x 1; 8 par partie A est déiie pour tout réel x 10xe x Des raisos de sécurité imposet de limiter la pete maximale du toboa O cosidère u poit M de la courbe C, d abscisse diérete de 1 O appelle l ale aiu ormé par la taete e M à C et l axe des abscisses La iure suivate illustre la situatio Les cotraites imposet que l ale soit iérieur à 55 derés 1 O ote la octio dérivée de la octio sur l itervalle 1; 8 O admet que, pour tout x de l itervalle 1; 8, ' x 101 xe x Étudier les variatios de la octio sur l itervalle 1; 8 2 Soit b u réel de l itervalle 1; 8 et soit M le poit d abscisse b de la courbe C Justiier que ta ' b 3 Le toboa est-il coorme aux cotraites imposées? Pae 5 sur 6
Exercice 4 (5 poits) 1 Résoudre das l esemble des ombres complexes l équatio (E) d icoue z : z Le pla complexe est mui d u repère orthoormé direct O ; u, v 2 O cosidère les poits A, B et C d aixes respectives a4 4i 3, b4 4i 3 et c 8i 2 8z 64 0 a Calculer le module et u arumet du ombre a b Doer la orme expoetielle des ombres a et b c Motrer que les poits A, B et C sot sur u même cercle de cetre O dot o détermiera le rayo d Placer les poits A, B et C das le repère O ; u, v Pour la suite de l exercice, o pourra s aider de la iure de la questio 2 d complétée au ur et à mesure de l avacemet des questios 3 3 3 3 O cosidère les poits A, B et C d aixes respectives a' ae, b' be et b' be a Motrer que b = 8 b Calculer le module et u arumet du ombre a i i i Pour la suite o admet que a' 4 4i 3 et c' 4 3 4i 4 O admet que si M et N sot deux poits du pla d aixes respectives m et alors le milieu I du m semet [MN] a pour aixe et la loueur MN est éale à m 2 a O ote r, s et t les aixes des milieux respectis R, S et T des semets [A B], [B C] et [C A] Calculer r et s O admet que t 2 2 3 i2 2 3 b Quelle cojecture peut-o aire quat à la ature du triale RST? Justiier ce résultat Pae 6 sur 6