Chaptre III : Les caractérstques de dsperso Les caractérstques de tedace cetrale e sot pas toujours suffsates pour caractérser ue sére statstque, car séres peuvet avor Mo= Me = x alors qu elles sot dstrbuées de faço dfférete comme le motre l exemple suvat : Exemple : o a séres relatves au ombre de pèces mauvases produtes par maches A et B par semae Mache A : 9, 40, 40, 4, 4, 4, 4, 4,4 Mache B :,,, 4, 4, 4, 6, 6,8 O costate que ces séres ot : Me = Mo = x = 4 pèces mauvases, cepedat les séres sot dfféretes par la dsperso de leurs valeurs Pour la sére A : les valeurs se cocetret autour de la valeur cetrale tads que Pour la sére B : les valeurs sot plus dspersées par rapport à la valeur cetrale Pour mesurer le degré de dsperso de ces valeurs par la valeur cetrale o fat appel a quelques caractérstques de dsperso telles : l etedue (E) ; les quatles ; la varace et l écart type I - L étedue (E) ou l tervalle de varato : L étedue otée (E) ou l tervalle de varato d ue sére statstque est la dfférece etre la plus grade valeur et la plus pette valeur de la varable statstque E = Lmte fale lmte tale Exemple précèdet : Mache A : E = 4 9 = 4 Mache B : E = 8 = 80 Remarques : - l étedue est facle à calculer et cotet 00% des observatos - cette caractérstque est pas très fable car elle déped des valeurs extrêmes du caractère, valeurs souvet aberrates ou accdetelles II- Les quatles : Ce sot des paramètres qu ous reseget sur la dsperso des valeurs de la varable par rapport à la médae A- Les quartles - Défto : les quartles Q sot des valeurs de varables qu partaget la sére e 4 partes égales ; o a quartles otés Q, Q, Q * Le prr quartle Q est la valeur du caractère tel que 5% des observatos de la sére ot ue valeur féreure à Q et 75% des observatos ot ue valeur supéreure à Q * Q c est le éme quartle qu correspod à la médae Q =Me
* Le quartle Q : c est la valeur du caractère tel que 75% des observatos de la sére ot ue valeur féreure à Q et 5% des observatos ot ue valeur supéreure à Q E 0 Q Q Q 5% 5% Me 5% 5% 00% - L tervalle terquartle : c est la dfférece etre Q et Q oté : Iq = Q - Q cet tervalle cotet 50% des observatos cetrales, o peut le comparer à l étedue pour mesurer so mportace par rapport à la sére - Détermato des quartles Q et Q Comme la médae Me, les quartles se détermet à partr des cum ou f cum et ce graphqut ou par le calcul a/ calcul de Q, Q, Me Exemple : répartto de 00 salarés d ue etreprse se selo le salare mesuel e (000 DH) Salares cumulé crossat 8 0 0 0 4 4 6 6-8 8 0 5 5 50 80 95 00 00 - *Q : le rag de Q : = 00 = 5 => Q є [0 [ Calcul : 4 4 Q = L + /4 x (L L ) = 0 + 5 x = 0, sot 50 00 DH: terprétato: 5% des salarés touchet mos de 00 DH 75% des salarés touchet plus de 00 DH *La médae Me : le rag : / = 00/ = 50 => Me є [0 [ Calcul de Me : Me = sot 000 DH, car le rag apparaît das le cumul crossat des, la médae correspod à la lmte supéreure de la classe médae (même costatato pour les autres quatles) *Le ème quartles Q : le rag : = 00 x = 75 => Q є [ 4[ Calcul : Q = L + (L L ) x /4 = + x 75 50 =,667 sot 667 DH 80 50 75% des salarés perçovet u salare < à 667 DH et 5% des salarés ot u salare à 667 DH
4- L tervalle terquartle I q = Q Q = 457 DH L étedue des 50% des observatos cetrales est de 457 DH B- les décles (D) et les cetles (C) - les décles : o dvse la populato e 0 partes égales o obtet 9 décles D, D D 9 * Le prr décle D est la valeur du caractère telle que 0% des observatos de la sére ot ue valeur féreure à D et 90% des observatos ot ue valeur supéreure à D * Le 9 décle D 9 : c est la valeur du caractère tel que 90% des observatos de la sére ot ue valeur féreure à D 9 et 0% des observatos ot ue valeur supéreure à D 9 Remarque : l tervalle terdécle D 9 - D cotet 80% des observatos détermato des décles graphqut ou par calcul O utlse les cumulatf * Calcul de D et D 9 : - L tervalle terdécle : I D = D 9 D ; l cotet 80% des observatos cetrales I D = 5 8909 = 644 DH 80% des observatos cetrales ot des salares occupat ue étedue de 644 DH Celle-c représete 64,4% = 6,44 x 00 de l étedue totale (E = 8 8 = 0) 0 - Les cetles C O dvset les observatos d ue sére statstque e 00 partes égales o obtet 99 cetles * Le prr cetle C est la valeur du caractère telle que % des observatos de la sére ot ue valeur féreure à C et 99% des observatos ot ue valeur supéreure à C
* Le 99 cetle C 99 : c est la valeur du caractère tel que 99% des observatos de la sére ot ue valeur féreure à C 99 et % des observatos ot ue valeur supéreure à C 99 Remarque : l tervalle tercetle C 99 - C cotet 98% des observatos a- Détermato des cetles C et C 99 O utlse les cumulatfs
III - La varace V(x) et l écart type (σx) A- La varace V(x) : - Défto : la varace est la moyee arthmétque des carrés des écarts de la varable x à sa moyee arthmétque x Elle se déft par la quatté suvate : xx s : V ( x) s : V ( x) ( xx) formule de défto E développat la formule de défto o obtet ue formule développée : ( x x) x f % V(x) = = - x = f x - x x = - x = Q - x 00 - l écart type (σx) : l écart type est la race carrée de la varace V(x) σx = V (x) = ( x x) L écart type motre de combe e moyee, la varable x s écarte de sa moyee x - Le coeffcet de varato CV Le CV est le rapport de l écart type à la moyee qu s exprme e % CV = x 00 x O utlse le CV pour apprécer l mportace de la dsperso d ue sére ou pour comparer deux séres etre elles B/ Calcul de V(x), σx et CV O repred l exemple précèdet : le salare mesuel (0 DH)