SESSION 9 CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE ENSI FILIERE PSI MATHEMATIQUES 1 I1/ Éude des foncions d e δ Parie I : Éude de la foncion ϕ I11/ La foncion d es dérivable sur, + e pour, +, d = 1 sin La foncion d es posiive sur, + e donc la foncion d es croissane sur, + On en dédui que pour >, d d = puis que 1 cos e enfin que 1 cos 1 D aure par, pour >, on a 1 cos >, 1 cos e finalemen I1/ La foncion δ es dérivable sur, + e pour, +, δ = sin Il es connu que pour, sin On en dédui que la foncion δ es posiive sur, + puis que la foncion δ es croissane sur, + Par suie, pour >, δ δ = e donc 1 cos 1 1 1 cos D aure par, pour >, on a e finalemen >, 1 cos 1 I/ Éisence de la foncion ϕ sur, + La foncion 1 cos es coninue sur, +, prolongeable par coninuié en par 1 e dominée en + par la foncion 1 1 cos qui es inégrable sur un voisinage de + On en dédui que la foncion es inégrable sur, + Soi alors, + La foncion 1 cos e es coninue sur, + De plus, pour >, 1 cos e 1 cos Comme la foncion 1 cos es inégrable sur, +, il en es de même de la foncion 1 cos e Finalemen Pour ou réel posiif, ϕ eise I3/ Limie de la foncion ϕ en + I31/ Soien 1 e deu réels els que 1 Pour ou réel >, e 1 e e donc 1 cos e 1 e Par posiivié de l inégrale, on en dédui que ϕ 1 ϕ On a monré que la foncion ϕ es décroissane sur, + D aure par, la foncion ϕ es posiive sur, + Ainsi, la foncion ϕ es décroissane e minorée par sur, + On en dédui que la foncion ϕ a une limie réelle quand end vers + e que cee limie es posiive I3/ Soi > D après la quesion I1/, pour ou >, on a 1 cos l inégrale ϕ e d = 1 Comme 1 end vers quand end vers +, le héorème des gendarmes monre que lim ϕ = + e e e donc, par croissance de hp ://wwwmahs-francefr 1 c Jean-Louis Rouge, 9 Tous drois réservés
I4/ Caracère C k de la foncion ϕ I41/ Soi Φ :, +, + R, 1 cos e Pour chaque, +, la foncion Φ, es coninue par morceau sur, + Pour chaque, +, la foncion Φ, es coninue sur, + Pour chaque,, +, +, Φ, = 1 cos e 1 cos = ϕ où la foncion ϕ es coninue e inégrable sur, + d après la quesion I/ D après le héorème de coninuié des inégrales à paramères, ϕ es coninue sur, + I4/ Soi a > Pour chaque, +, la foncion Φ, es coninue par morceau e inégrable sur, + La foncion Φ adme une dérivée parielle par rappor à sa première variable sur a, +, + e, cos, = 1 e De plus, a, +, +, Φ - pour chaque a, +, la foncion Φ, es coninue par morceau sur, + - pour chaque, +, la foncion Φ, es coninue sur a, + - pour chaque, a, +, +, d après la quesion I11/, Φ, = 1 cos e e a = ϕ 1 où la foncion ϕ 1 es coninue par morceau e inégrable sur, + D après le héorème de dérivaion des inégrales à paramères héorème de Leibniz, ϕ es de classe C 1 sur a, + e la dérivée de ϕ s obien par dérivaion sous le signe somme Ceci éan vrai pour ou réel sricemen posiif a, ϕ es de classe C 1 sur, + e >, ϕ = 1 cos e d I43/ Soi > ϕ = 1 cos + e d e d = 1 1 e comme lim =, on a monré que + lim ϕ = + I44/ Soi a > En plus des résulas de la quesion I4/, la foncion Φ adme une dérivée parielle seconde par rappor à sa première variable sur a, +, + e, a, +, +, Φ, = 1cos e De plus, - pour chaque a, +, la foncion Φ, es coninue par morceau sur, + - pour chaque, +, la foncion Φ, es coninue par morceau sur a, + - pour chaque, a, +, +, Φ, = 1 cos e e a = ϕ D après le héorème de dérivaion des inégrales à paramères, ϕ es de classe C sur a, + pour ou a > e donc sur, + e sa dérivée seconde s obien par dérivaion sous le signe somme ϕ es de classe C sur, + e >, ϕ = 1 cose d I45/ Soi > La foncion e es inégrable sur, + car coninue sur, + e négligeable en + devan 1 Mais alors, la foncion cose es inégrable sur, + en an que différence de deu foncions inégrables sur, + On a déjà e d = 1 D aure par, hp ://wwwmahs-francefr c Jean-Louis Rouge, 9 Tous drois réservés
Finalemen, cose d = Re 1 = Re i + i = Re + 1 e +i d = Re car e +i + i = + 1 e +i = + i e + 1 >, ϕ = 1 + + + 1 = Re lim + I46/ Donc, il eise C R el que >, ϕ = ln 1 ln + 1 + C = 1 ln quesion I43/, lim + ϕ = ce qui fourni C = + 1 e +i + i 1 + i + C De plus, d après la >, ϕ = ln 1 ln + 1 En pariculier, lim ϕ = Ainsi, ϕ es coninue sur, +, de classe C 1 sur, + e lim ϕ = On sai alors que ϕ n es pas dérivable en I5/ Epression eplicie de la foncion ϕ I51/ ln = ln 1 + 1 + 1 1 + = 1 Donc lim ln + = + 1 I5/ ln +1 d = ln +1 + 1 d = + 1 1 ln +1 + 1 I53/ D après les quesions I46/ e I5/, il eise C R el que >, ϕ = ln 1 ln + 1 + Arcan + C = ln d = ln +1 +Arcan+C + 1 Arcan + C D après la quesion I/, lim ϕ = e donc, d après la quesion I51/, = + + C Par suie, C = >, ϕ = ln 1 ln + 1 Arcan + = ln 1 1 ln + 1 + Arcan >, ϕ = 1 cos e d = ln 1 1 ln + 1 + Arcan puis pour I54/ Puisque la foncion ϕ es coninue en, quand end vers on obien ϕ = ϕ = 1 cos d = Parie II : Eude de l eisence de J m II1/ Éude de sin m d Soi m N La foncion sin m es coninue sur, hp ://wwwmahs-francefr 3 c Jean-Louis Rouge, 9 Tous drois réservés
De plus foncion sin m m 1 e on en dédui que la foncion sinm sin m es inégrable sur se prolonge par coninuié en puis que la, Ainsi, pour ou enier naurel non nul m, J m eise II/ Éude de J 1 Soien a e A deu réels els que < a < A Les deu foncions 1 cos e 1 son de classe C1 sur le segmen a, A On peu donc effecuer une inégraion par paries e on obien Or 1 cosa a a a 1 cos d = 1 cos A sin + d = 1 cosa 1 cosa sin + d a a a A a a / a = a 1 cosa e donc lim a a Quand a end vers e A end vers +, on obien convergene e que = D aure par, 1 cosa A e donc A lim sin + 1 cos d = 1 cosa A + A = d On a monré que J 1 es une inégrale J 1 = sin d = 1 cos d = ϕ = II3/ Éude de l eisence de I k + 1 Si k =, I k = d = + Soi k un enier relaif non nul Soi A > Une inégraion par paries fourni e ik e ik d = ik A + 1 ik e ika e ik d = 1 e ika ik A eik/ / + e ik Mainenan, e ika A = 1 e donc A lim 1 A + ik A eik/ = eik/ /,, + es dominée par 1 en + e donc es inégrable sur, + Finalemen, d eik Ensuie, la foncion ik/ En pariculier, lim A + e ik lim d eise dans C ou encore I k es une inégrale convergene A + I k es une inégrale convergene si e seulemen si k Z es coninue sur e ik d eise dans C II4/ Éude de la naure de J m II41/ Soien m N e, + sin m d = 1 i m = 1 m i m = 1 i m k= m k= e i e i m d m e ik e im k k m I k m k d II4/ Soi p N k, p + 1, k p + 1 e donc chaque inégrale I k p+1 es une inégrale convergene sin p+1 sin p+1 d après la quesion II3/ Il en es de même de l inégrale d D aure par, d es une sin p+1 inégrale convergene d après la quesion II1/ Finalemen J p+1 = d es une inégrale convergene p N, l inégrale J p+1 eise hp ://wwwmahs-francefr 4 c Jean-Louis Rouge, 9 Tous drois réservés
p m II43/ Soi p N Dans la somme I k p, un e un seul erme diverge quand end vers +, le erme k k= obenu pour k = p La somme es donc divergene quand end vers + On en dédui que l inégrale J p diverge De sin p plus, comme la foncion es posiive, J p = + p N, J p = + III1/ Un développemen de Fourier Parie III : Calcul de J p+1 III11/ Soi R \ Z La foncion h es -périodique, coninue par morceau sur R On peu donc calculer ses coefficiens de Fourier Pour,, h = cos = cos = h De plus, h = h par -périodicié Toujours par -périodicié, la foncion h es paire On en dédui que n N, b n h = e que a n h = h cosn d = = 1 sin + n sin + + n = sin + n + n + sin n n cos cosn d = 1 n n = 1n sin n car / Z n N, a n h = 1n sin n e n N, b n h cos + n + cos n d III1/ Monrons que la foncion h es coninue sur R h es déjà coninue sur chaque + k, + k, k Z De plus, h + = h = h = h e donc h es coninue en puis sur R par -périodicié Ainsi, la foncion h es -périodique, coninue sur R, de classe C 1 par morceau D après le héorème de Dirichle, la série de Fourier de h converge vers h sur R En pariculier, pour =, 1 = h = a h + En pariculier, la série considérée converge a n h cosn + b n h sinn = sin + + R \ Z, sin + + 1 n sin n = 1 1 n sin n III/ Eude d un procédé de calcul III1/ La foncion f es coninue sur le segmen 1, 1 e donc es bornée sur 1, 1 Soi M un majoran de l a foncion f sur 1, 1 Soi n N γ n que +n f sin +n 1 d M 1 = + n 1 lim γ n = n + M n 1 Comme lim n + M =, on a monré n 1 III/ Soi n N En posan = n, on obien γ n = f sin + n + n d = 1 n f sin + n d car f es impaire hp ://wwwmahs-francefr 5 c Jean-Louis Rouge, 9 Tous drois réservés
En posan y =, on a aussi Par suie, γ n = 1 n f sin y y + n dy = 1n f siny y n dy car f es impaire γ n = 1 γ n + γ n = 1 = 1 n f sin n 1 n f sin + n d + 1 n f sin n d car la foncion 1n f sin n d = es paire 1 n f sin n d n N, γ n = u n III3/ Si, n sin, la série de erme général 1 n converge d après la quesion III1/ Il en es de même de la série de erme général u n D aure par, la série de erme général u n = converge Finalemen, pour ou réel,, la série de erme général u n converge,, n < e en pariculier, n Donc chaque foncion III4/ Pour n N e u n es coninue sur, en an que quoien de foncions coninues sur sur, Monrons que la série de foncions de erme général u n converge normalemen sur majoran de la foncion f sur 1, 1 Soi n N Pour ou,, u n = fsin n M n 4, don le dénominaeur ne s annule pas, M désigne oujours un Comme la série numérique de erme général M converge, on a monré que la série de foncions de erme général u n converge normalemen e donc uniformémen sur, n 4 Mais alors, S es coninue sur, en an que limie uniforme sur, d une suie de foncions coninues sur, S es coninue sur, III5/ Puisque la foncion S es coninue sur le segmen,, l inégrale S d eise Puisque la série de foncions de erme général u n converge uniformémen sur le segmen,, un héorème d inégraion erme à erme perme d affirmer que la série de erme général γ n = u n d converge e que S d = III6/ Soien A + puis n A le plus grand des eniers k els que + k A c es-à-dire n A = E γ n A N Or fsin d = n A k=1 +k fsin +k 1 fsin d + d = +n A n A k=1 fsin γ k + d +n +n A fsin d +n A fsin d A + n A M + n A M = M + n A n A + 1 M A 1 + 1 = M A 1 hp ://wwwmahs-francefr 6 c Jean-Louis Rouge, 9 Tous drois réservés
Puisque lim A + M =, on en dédui que A 1 lim fsin d = Comme A + +n A A vers + dans l égalié, on obien la convergence de l inégrale converge d après la quesion III5/ e f sin lim n A = +, en faisan endre A + d car la série de erme général γ k f sin d = γ n = S d III7/ Puisque f es dérivable en e impaire, on a fu = f + f u + ou = f u + ou e donc fsin = u f sin +osin = f +o On en dédui que les deu foncions g : fsin fsin e h : se prolongen sin par coninuié en en posan respecivemen g = f e h = f Les foncions g e h éan d aure par coninues sur,, ces foncions son inégrables sur, fsin fsin En pariculier, les inégrales d e d son des sin inégrales convergenes III8/ D après les quesions III6/ e III7/, l inégrale fsin d fsin sin d = = Pour, 1, posons Σ = fsin 1 sin Quand end vers, 1 1 sin = sin 3 /6 sin S es coninue sur, 1 fsin fsin + S d après la quesion II4/, lim donc par coninuié en en posan Σ = fsin En résumé, d La foncion Σ es coninue sur fsin sin, d = 1 sin 1 1 sin fsin = Par suie, lim 6 Σ d où d es convergene De plus, fsin d + + S d d d après la quesion III6/ 1 1 = D aure par, puisque la foncion sin S = S puis lim Σ = S = La foncion Σ se prolonge,, Σ = 1 fsin 1 + S si, sin si = Plus précisémen, d après la quesion III1/,,, sin + fsin des deu membres par, sin, fsin, + fsin sin + 1 n sin n = 1 e donc après muliplicaion puis, fsin, Σ = fsin fsin n = sin fsin n = Ceci rese vrai pour = par coninuié de Σ en Finalemen, fsin d = fsin sin d III3/ Applicaion au calcul de J p+1 III31/ On applique les résulas précédens à la foncion f = Id / 1,1 f es bien définie e coninue sur 1, 1 à valeurs fsin + sin fsin réelles, impaire e dérivable en Avec ce choi de f, d = d = J 1 e d = d = sin D après la quesion III8/, on a J 1 = hp ://wwwmahs-francefr 7 c Jean-Louis Rouge, 9 Tous drois réservés
III3/ On applique cee fois-ci les résulas précédens à la foncion f définie par 1, 1, f = 3 f es bien définie e coninue sur 1, 1 à valeurs réelles, impaire e dérivable en fsin d = sin 3 d = J 3 e d aure par, On en dédui que fsin sin d = sin d = 1 1 cos d = 4 J 1 = 4 III33/ Soi p N On applique mainenan les résulas précédens à la foncion f définie par 1, 1, f = p+1 f es bien définie e coninue sur 1, 1 à valeurs réelles, impaire e dérivable en Toujours d après la quesion II8/, on a J p+1 = fsin d = fsin sin d = sin p d inégrales de Wallis Pour p N, posons I p = sin p d On a I = puis pour p N, une inégraion par paries fourni e donc I p+1 = = p + 1 sin sin p+1 d = cossin p+1 + p + 1 1 sin sin p d = p + 1I p I p+1, p N, I p+1 = p + 1 p + I p cos sin p d On en dédui que pour p N, I p = p 1 p ce qui rese vrai pour p = p 3 p 1 I p p 1 1 = p p = p! p p!, N, J p+1 = p! p p! hp ://wwwmahs-francefr 8 c Jean-Louis Rouge, 9 Tous drois réservés