TD E 4 orrecion PSI 7 8 Exercice : irci L parallèle Soi le circi représené ci-conre Monrer qe () vérifie l éqaion : TAVAUX DIIGÉS DE E 4 d () + ω d() + ω Q () = On donnera l expression de ω e Q en foncion de, L e i +q i L Déerminer c, l expression résisance por laqelle on observe n régime criiqe Exprimer Q en foncion de e c Qe pe-on dire de Q si c comparer avec le cas d circi L série 3 En spposan qe es iniialemen chargé sos ne ension U, calcler l expression approchée de () si Q (régime harmoniqe) Soi le circi représené ci-conre Une loi des mailles en A perme d écrire i + i + i L = avec i = d () = d(), i = () = d() e L = L di L() = car les rois dipôles son monés en parallèle Por évier de faire apparaîre i L sos la forme L (), on va dériver la première éqaion par rappor a emps : di () + di () d () + d() + di L() + () L i L i A +q i i L L = d () + d() + () = soi L = On obien ainsi ne éqaion différenielle d second ordre (circi d ordre dex), sans second membre (régime libre) à cœfficiens consans e os de même signe On me ensie cee éqaion sos la forme canoniqe d () + ω d() +ω Q () = avec ω = L (comme por le circi L série) e Q = ω = c es à dire l expression inverse de celle obene por ne L série (Q série = Lω = ω = L L ) Le régime permanen es aein qand Q = = L = c = L On a ainsi L = c d où Q = = L c Si c, Q e le circi es en régime harmoniqe Dans le cas d n circi L série, il fa faire endre vers por obenir n régime harmoniqe (circi L série, Q série ) alors q ici, il fa c (si end vers l infini, on a Q e n circi L série) 3 Dans le cas où c Q, on pe considérer qe le circi es en régime harmoniqe, l éqaion différenielle devien d () + d d() + ω () = d () = ω () La solion es d ype () = A cos ω + B sin ω omme l éqaion es d second ordre, il fa dex condiions iniiales por déerminer les consanes A e B On a déjà, par coninié de la ension ax bornes d condensaer ( ) = U = ( + ) = A On cherche ensie [ d() [ d() = i ( + ) + + On ilise por cela i () = d() e en pariclier à = +,
TD E 4 orrecion PSI 7 8 On représene alors le circi à = + avec par coninié de () = (), ( + ) = ( ) = U e par coninié i L (), i L ( + ) = i L ( ) = Sr la figre, on li i ( + ) = i ( + ) = U On en dédi [ d() = i ( + ) = U e comme () = U + cos ω + B sin ω, d() = ω U sin ω + ω B cos ω e à =, [ d() ω B = U B = U ω = U Q Finalemen, on obien () = U cos ω Exercice : irci L parallèle Dans le circi représené ci-dessos, à l insan =, on ovre l inerrper K, le condensaer éan déchargé Déerminer les inensiés i() e i () ainsi qe la réponse d circi () + = i A +q i U L à = + η i K i L» eprésenons le circi à =, à = + pis à n insan > qelconqe η η K L» η η η i() K» L η i()» L à = à = + à > Por <, le condensaer es déchargé (par hypohèse) d où = consan On a donc i = (le condensaer se compore comme n inerrper over) i es consane e comme l inerrper K fermé cor circie la bobine on pe esimer qe i = égalemen La coninié de i (l inensié qi raverse L) e de (la ension ax bornes de ) perme de déerminer i à = + (imporan por la déerminaion des consanes d inégraion) irci ci-desss a cenre Por >, K rese over, on ne représene pls cee branche d circi À o insan, i () = η i() ce qi perme de diminer le nombre d inconnes On éabli alors l éqaion différenielle (en i() o ()) qi décri l évolion d circi Les relaions consiives s écriven i() = d() e () = L di () = L d(η i()) = L di() En les combinan de façon à faire disparaîre (), on obien immédiaemen i() = d() = d [ L di() = L d i() d i() + ω i() = avec ω = L On obien ainsi ne éqaion différenielle d second degré, sans second membre, à coefficiens consans, os de même signe La solion de cee éqaion es de la forme i() = A cos ω + B sin ω où A e B son des consanes à déerminer à l aide des condiions iniiales : En se reporan à la figre ci desss, on a i( + ) = η = A cos + B sin A = η i L ()
TD E 4 orrecion PSI 7 8 De même, ( + ) = = L [ di() = ω A sin + ω B cos B = e finalemen, + i() = η cos ω i () = η( cos ω ) = L di () = ω Lη sin ω Exercice 3 : irci d dexième ordre Dans le circi représené ci-dessos, à l insan =, on ferme l inerrper K e le condensaer de droie es chargé sos ne ension U andis qe celi de gache es non chargé Trover l éqaion différenielle de ce résea relaive à la ension ax bornes d condensaer de gache Démonrer qe cee éqaion différenielle a por solion ne foncion de la forme () = Ae τ + Be τ où A, B, τ > e τ > son des consanes K 3 ombien de condiions iniiales es-il nécessaire d écrire por résodre ce exercice? Les déerminer 4 eprésener l allre de () Avan o calcl, on pe commencer par simplifier le circi en associan les dex résisors en parallèle (por, K es fermé) i /N i i Une loi des mailles donne i = avec i = d () d où l éqaion () () = d () + dans laqelle on doi éliminer () En appliqan la loi des nœds en N, on pe écrire : i / + i + i = () / + d() + () () (éqaion ) e par dérivaion emporelle, d () = () = d() = d () + [ + d() + [ + () emarqe : comme on ravaille sr n circi d second ordre, il ne fa pas hésier à dériver les relaions consiives (er ordre) si nécessaire En remplaçan () e sa dérivées à l aide de l éqaion () dans l éqaion (), on a donc () = [ d () + [ + d() + d() + [ + () d () + ( + ) d() + () = éqaion différenielle linéaire, sans second membre (pas de généraer), à cœfficiens consans, os de même signe 3
TD E 4 orrecion PSI 7 8 Por déerminer le ype de solion de cee éqaion différenielle (régime), soi on l écri sos forme canoniqe e on compare le facer de qalié à, soi on déermine le signe d discriminan de l éqaion caracérisiqe L énoncé sggère ici la dexième méhode z + ( + ) z + = On calcle alors = 4( + ) > ce qi confirme bien qe la solion de l éqaion es d ype () = Ae z + Be z = Ae τ + Be τ où τ e τ son des consanes posiives N i 3 On a affaire à n circi d second ordre d où ne éqaion différenielle d second ordre qi nécessie la donnée de dex condiions iniiales : ( U + ) e [ d + L énoncé indiqe qe le condensaer es iniialemen déchargé d où ( ) = e par coninié de (), on a ( + ) = Por déerminer [ d, on représene le circi à = + en enan compe de la coninié = i ( + ) + de () e () (f ci-desss) Une loi des mailles perme d écrire ( + ) i ( + ) ( + ) = i ( + ) U = i ( + ) = U [ d + = U À parir de ces dex expressions e connaissan la forme de (), on porrai déerminer son expression liérale (f cors) 4 Allre de () : on sai qe () =, le régime permanen correspond à la solion pariclière de l éqaion différenielle, c es à dire à ( ) = ce qi donne l asympoe La angene à l origine [ d es posiive + e on es dans le cas d n régime apériodiqe On en dédi l allre représenée ci-desss () τ τ 4
TD E 4 orrecion PSI 7 8 Exercice 4 : éponse d n circi L à n échelon de coran Soi le circi représené ci-conre por leqel, I = 5 ma, L =,5 H, r = Ω e = µf Por <, K es fermé depis longemps K es over à = Éablir l éqaion différenielle vérifiée par () En dédire le facer de qalié d circi 3 Déerminer () e racer son allre 4 eprésener l allre de i() 5 ommener le cas idéal où L i i º I K Por <, K fermé cor circie o le rese d circi : acn coran ne raverse la bobine réelle (L,r) ni le condensaer e la ension ax bornes de ces derniers, en parallèle avec K es nlle : ( < ) =, i( < ) =, i ( < ) = Éqaion différenielle en () por c es à dire qand K es over (circi ci-dessos à gache) L I i i º I K ( + ) = i L i( º I ( + ) + ) K On commence par rédire le nombre d inconnes en écrivan i () = I i() On a ensie i() = d() () = L d () e () = L di () + ri () = L di() + r(i i()) + r[i d() L d () + r d() + = ri On obien bien ne éqaion différenielle linéaire d second ordre à cœfficien consans, os d même signe, e avec second membre Por déerminer le facer de qalié d circi, on me l éqaion précédene sos forme canoniqe : d () + r L d() d () + ω Q d() avec ω = L 447 rads e Q = Lω r = r + L () = ri L L + ω () = ri L,3 d où n régime psedo périodiqe 3 La solion de cee éqaion différenielle es d ype sol = sol H +sol P avec sol P = ri = 5 V la solion pariclière e comme Q > (le circi évole en régime psedo périodiqe), sol H = (A cos ω + B sin ω)e τ avec ω = ω 436 rads e τ = Q 4Q ω s e sos forme liérale, () = ri + (A cos ω + B sin ω)e τ 5
TD E 4 orrecion PSI 7 8 On déermine les consanes d inégraion A e B en ilisan les condiions iniiales Por cela, on représene le circi à = + en enan compe de la coninié de la ension ax bornes de e de I i l inensié d coran qi raverse L (figre ci-desss à droie) de () = () :( ) = = ( + ) = ri + A A = ri = 5 V; de i L () = i () : i ( ) = = i ( + ) avec i(+) = [ d() = I + i () = I [ d() = I + Bω cos ωe τ [A cos ω + B sin τ ωe τ, à = on a [ d() I ω [ r τ,3 V Finalemen, () = 5 + exp( )( 5 cos 436 +,3 sin 436) On race la corbe () en précisan la valer iniiale e l asympoe () i() e comme d() = + [ Aω sin ω + = Bω A = I + τ B = I ri 4 omme i() = d(), cee foncion es proporionnelle à la pene de la corbe () 5 Si r, Q e on end vers n régime harmoniqe, pas de pere par effe Jole, () de la forme A cos ω + B sin ω Exercice 5 : éponse d n circi L à n échelon de ension Soi le circi représené ci-dessos avec L =,5 H, = kω e = 4 µf À =, on ferme K e le condensaer es déchargé Déerminer la valer liérale de, la ension ax bornes d condensaer à = + pis a bo d n emps infini Même qesion en ce qi concerne L, la ension ax bornes de la bobine Déerminer l éqaion différenielle vérifiée par q, la charge d condensaer 3 Dans qel régime le circi évole--il? E K L +q i ¹ 4 Préciser les condiions iniiales qi permeen de résodre l éqaion différenielle 5 Tracer l allre des graphes q() e i() On ferme K à = Por déerminer la valer de e L à = + e a bo d n emps infini, on représene le circi à = + (figre ci-dessos a cenre) sachan qe par coninié de () e i L (), on a ( + ) = ( ) = (le condensaer es éqivalen à n inerrper fermé) e i L ( + ) = i L ( ) = (la bobine es éqivalene à n inerrper over) 6
TD E 4 orrecion PSI 7 8 E K i L L +q i ¹ à > : K fermé E L i E L ¹ ¹ à = + por On li alors ( + ) = Par aillers, comme les dex résisors son raversés par le même coran, on reconnaî n pon diviser de ension e L ( + ) = E = E + De même, en régime permanen, on remplace le condensaer par n inerrper over e la bobine par n inerrper over (figre ci-desss à droie) On li alors direcemen L ( ) = omme acn coran ne circle pls dans le circi, la ension ax bornes des résisors es nlle donc ne loi des mailles donne E ( ) = soi ( ) = E Por éablir l éqaion différenielle en q(), on commence par écrire ne loi des mailles : E i() () (i() i L ()) = avec i() = dq() e () = q() d où (éqaion ()), E dq() q() dq() + i L () = Il fa faire disparaîre la variable i L () On ilise por cela le fai qe la bobine es monée en parallèle avec le résisor de droie d où (éqaion ()) (i() i L ()) = L di L() omme il es pls difficile d exraire i L () de () qe de (), on va plô isoler i L () à parir de (), en dédire di L() e injecer dans () Ainsi, () i L () = E + dq() on en dédi : dq() + q() di L() + E dq() d q() + [ = d q() + dq() e en remplaçan dans (), q() = q() Ld dq() + L dq() + q() L = E L + L 3 Le ype de régime dépend de la valer d facer de qalié Q d circi On me l éqaion précédene sos la forme canoniqe d q() + ω dq() + ω Q q() = E L por en dédire par idenificaion, ω = L = 5 rads e ω = + = 5 rads Q L d où Q = 5,44 < Le circi évole donc en régime apériodiqe 5 4 Il s agi d n circi d second ordre, on a donc oben ne éqaion différenielle d second ordre e il fa dex condiions iniiales por déerminer les consanes d inégraion On a déjà q( + ) = q( ) = par coninié de la charge d condensaer On déermine ensie [ dq() = i(+ ) = E en se reporan a circi éqivalen à = + + 5 onnaissan le ype de régime, la valer iniiale, la angene à l origine [ dq() régime permanen (asympoe), on pe racer l allre de q() > e le + On en dédi ensie l allre de i() qi correspond à la pene de la corbe q() car i = dq() 7
TD E 4 orrecion PSI 7 8 E q() i() E Exercice 6 : oplage capaciif de circis L Dex circis L son branchés en parallèle sr n condensaer de capacié Les dex capaciés e son égales : = À l insan = on ferme les dex inérpers Le condensaer de coplage () es iniialemen déchargé ) Éablir les éqaions différenielles axqelles obéissen les inensiés i () e i () ) On pose i + = i +i e i = i i À parir de la qesion ), dédire les éqaions différenielles axqelles obéissen i + e i 3) ésodre les éqaions : on porra définir dex plsaions ω e ω (On ne cherchera pas encore à déerminer les consanes d inégraion) 4) On s inéresse a cas où les condensaers e son iniialemen chargés avec ne charge Q sos ne ension = Q Donner l expression de i e de i ainsi qe le lien enre les dex 5) On s inéresse a cas où le condensaer es iniialemen chargé avec ne charge Q e le avec ne charge Q Donner l expression de i e de i ainsi qe le lien enre les dex ) Loi des mailles à gache : + + L = On a assi L = L di par rappor a emps : d + d + L d i e on dérive la loi des mailles = On se rappelle qe d = i ce qi nos donne : (i + i ) + i + L d i = L (i + i ) + L i + d i = On a donc bien enend de l are coé la même éqaion en remplaçan i par i : L (i + i ) + L i + d i = ) Por obenir l éqaion sr i + on somme les dex éqaions précédenes L (i + i ) + (i + i ) + d (i + i ) = ( L L + )i + + d i + L = On pe donc poser ω = L + L 8
TD E 4 orrecion PSI 7 8 De même si on sosrai les dex éqaions : + L (i i ) + d (i i ) = L i + d i = E on pose alors ω = L 3) Les solions son alors de la forme i + = I sin (ω + ϕ ) e i = I sin (ω + ϕ ) On rove i = i ++i = I sin (ω + ϕ ) + I sin (ω + ϕ ) e i = i ++i = I sin (ω + ϕ ) + I sin (ω + ϕ ) 4) (Par symérie i = ) Por le démonrer, c es n pe embêan : on a 4 relaions de coninié On va essayer d êre n pe malin On a coninié d corran dans les dex bobines, donc i + e i son conins assi e valen donc à = Les consanes ϕ son donc nlles Il rese le cas de I e I La ension ax bornes des condensaers es conine, donc à =, avec la loi des mailles on a L = L = L di = L(I ω cos ω + I ω cos ω) e L = L di = L(I ω cos ω I ω cos ω) Donc à =, L ( = ) = LI ω + LI ω e L ( = ) = LI ω LI ω Dans le cas symériqe (même ension ax bornes des dex condensaers à l insan iniial) L = L = e qi donne I = e I = Lω omme I =, on a bien i = Il s agi d mode d oscillaion symériqe (à o insan i = i ) 5) (Par symérie i + = ) Dans le cas symériqe (ension oposée ax bornes des dex condensaers à l insan iniial) L = L = e qi donne I = e I = Lω omme I =, on a bien i + = Il s agi d mode d oscillaion ani-symériqe (à o insan i = i ) 9