MPSI 2 : DL 5 Pour le 3 janver 23 Nombres de Bernoull On note E le R-e.v. des polynômes à coeffcents réels, et pour n N, E n le R-e.v. des polynômes de degré nféreur ou égal à n. On notera ndfféremment P pour désgner le polynôme ou la foncton polynômale assocée. Q On consdère un polynôme A E de degré p, et de coeffcent domnant a p. Montrer qu l exste un unque polynôme B E vérfant :. B A ; 2. Bt dt. On précsera le degré et le coeffcent domnant de B en foncton de p et de a p. On peut donc défnr par récurrence la sute de polynômes B n n N par :. B ; 2. n N, B n nb n ; 3. n N, B nt dt. Q 2 Détermner pour n N, le degré et le coeffcent domnant du polynôme B n. Les polynômes B n s appellent les polynômes de Bernoull. On défnt ensute les nombres de Bernoull : n N, b n B n Q 3 Montrer que n N, B n n b n X Q 4 Explcter les polynômes B, B 2 et B 3, ans que les nombres b, b 2 et b 3. Q 5 Montrer par récurrence que n N, B n X n B n X 2 On pourra calculer la dérvée du polynôme Q n+ B n+ X et calculer Qt dt. Q 6 Montrer que n N, B n X 2 n [ B n X/2 + B n X + /2 ] 3 Q 7 Montrer que p N, b 2p+ et que p 2, B p B p b p.
MPSI 2 2 DL 5 Q 8 Montrer successvement que p 2, b 2p+2 2p+2 b 2p p + 2p + 2p 2 b b 4 Q 9 Calculer b 4 en utlsant la formule 4. Q Montrer que pour tout enter n, on a B n X + B n X nx n 2 Calcul de ζ2 Q Sot un réel a R tel que a πz, et un enter n N. Exprmer en cotan a. sn2n + a sn 2n+ a sous la forme d un polynôme Q 2 Pour n N, trouver à l ade de la queston précédente les racnes réelles du polynôme P X 2n + 2 + X n Q 3 Calculer la somme des racnes du polynôme P X. Q 4 Sot θ ], π 2 [. On rappelle que sn θ < θ < tan θ. En dédure que cotan2 θ < θ 2 < + cotan2 θ. On défnt la sute de terme général S n 2 Q 5 En utlsant l négalté précédente avec les racnes de P, montrer que la sute S n converge vers π2 6.
MPSI 2 3 DL 5 Q Corrgé.. Uncté : consdérons deux polynômes B et B 2 vérfant ces deux relatons. Pusque B B 2, l exste une constante C R telle que x R, B x B 2 x + C. En ntégrant entre et, on trouve que C et donc que B B 2. 2. Exstence : s A est le polynôme nul, l sufft de poser B. S le polynôme A n est pas nul, l s écrt A a p X p + +a p a X. Posons alors B p + X+ +C où C est une constante. Le polynôme B vérfe B A. Pour qu en plus, on aît Bt dt, l sufft de chosr C p a ++2. On a p trouve donc que le polynôme B est de degré p +, et que son coeffcent domnant vaut p +. Q 2 On démontre par récurrence sur n que le degré du polynôme B n vaut n et qu l est untare, en utlsant la queston. Q 3 Par récurrence sur n. P : B b b B. Pn Pn + : d après Pn, En prmtvant, Pn : B n B n+ n + B n+ n + n+ p p n + p a n b n X n b n X n bn + X + + C n p n+ n + X p + C p b n+ p X p + C n + où l on a fat le changement d ndce p + et utlsé la relaton n + n pour p n+. p p p Comme B n C b n+, on peut ntégrer la constante à la somme et l on obtent l expresson de B n+ : n+ n + B n+ b n+ p X p p p Q 4 Pusque B, B X+b et comme B t dt, on trouve que b /2, pus que B X /2. Pusque B 2 2B, B 2 X 2 X+b 2 et pusque B 2t dt, on trouve que b 2 /6 et B 2 X 2 X + /6. Pusque B 3 3B 2, B 3 X 3 3 2 X 2 + 2 X + b 3 et la condton B 3t dt donne b 3 et B 3 X 3 3 2 X2 + 2 X. Q 5 Montrons ce résultat par récurrence sur n. Pn : B n X n B n X
MPSI 2 4 DL 5 P est vérfée clarement. Pn Pn + : Posons Q n+ B n+ X. Alors Q X n+ B n+ X n + n B n X n + B n X B n+ X Par conséquent, l exste une constante C R telle que Q B n + C. Mas par le changement de varables u t, Qt dt n+ B n+ t dt n+ B n+ u du d où C, et donc Q B n+. Q 6 Par récurrence : P est vérfée. Pn : B n 2 n [ B n X/2 + B n X + /2 ] Pn Pn + : posons Q 2 n [B n+ X/2 + B n+ X + /2 ]. Calculons Q 2 n[ 2 B n+x/2 + 2 B ] n X + /2 n + 2 n [ ] B n X/2 + B n X + /2 n + B n X B n+ Par conséquent, l exste une constante C R telle que Q B n+ + C. Mas en effectuant les changement de varables u t/2 et v t + /2, Qt dt 2 n[ B n+ t/2 dt + 2 n [/2 B n+ u du + 2 n B n+ t dt Par conséquent, C et donc Q B n+. B n+ t + /2 dt ] /2 ] B n+ v dv Q 7 Sot p. D après la relaton 3, avec n 2p + et en fasant x, on trouve que D après la relaton 2, en fasant x /2, on trouve que B 2p+ 2 2p [B 2p+ + B 2p+ /2] B 2p+ /2 B 2p+ /2 donc B 2p+ /2 et donc B 2p+ b 2p+. En utlsant la relaton 2, avec p 2, on obtent mmédatement que b 2 B 2 B 2, et lorsque p 2+, on trouve d après la relaton 2 que B 2+ B 2+ b 2+. Dans tous les cas, B p B p. Q 8 D après la queston précédente, B 2p+2 2p+2 B 2p+2 b 2p+2. En utlsant ensute la relaton avec x, et la symétre des coeffcents bnômaux : B 2p+2 2p+2 2p+2 b 2p+2 b 2p + 2
MPSI 2 5 DL 5 En sortant de la somme les termes correspondant aux ndces 2p, 2p, 2p +, 2p + 2, on trouve que b 2p+2 2p 2 2p 2 b + b + 2p + 2 b 2p + 2p 2p b 2p + b 2p+2 2p b 2p + 2p + 2 b 2p+ + 2p + 2p + 2 b 2p+2 2p + 2 En effet, les nombres b 2p et b 2p+ sont nuls d après la queston précédente. Les nombres b 2p+2 s élmnent et 2p + 2 2p + 2 pusque p + 2p +, on en tre le résultat de l énoncé. 2p 2 Q 9 De la formule précédente, on tre b 4 3. Q Par récurrence sur n : Pn : B n X + B n X nx n P : Pusque B X X /2, B X + B X. Pn Pn + : D après Pn, t R, B n t + B n t nt n Sot x R. Intégrons la relaton précédente entre et x : + B n t + dt B n u du + x [ n + B n+t B n t dt n t n dt B n u du x n u t + B n t dt x n ] x+ B n+ x + B n+ x n + x n x Chasles x n B n+ n + B n et pusque cette relaton est vrae pour tout réel x, on en dédut l égalté entre polynômes. Q Écrvons : sn [ 2n + a ] e2n+a e 2n+a 2 [cos a + sn a 2n+ cos a sn a 2n+] 2 [2n+ 2n + ] sn a cos 2n+ a 2 2n+ 2n + sn a cos 2n+ a p mpar 2n + 2p+ sn 2p+ a cos 2n p a 2p + p 2n + p sn 2p+ a cos 2n p a 2p +
MPSI 2 6 DL 5 Donc Il sufft donc de poser sn2n + a sn 2n+ a QX 2n + cos2n a 2 + sn 2n a 2n + cotan 2n a 2 + 2n + X 2n 2 + et on a ben Q 2 S a πz, S l on pose sn2n + a sn 2n+ a sn2n + a sn 2n+ a Q cotana. 2n + a π Z a π, Z 2n + α cotan 2 π 2n +, [[,n]] D après la queston, P α. On a donc trouvé n racnes dstnctes du polynôme P qu est de degré n. Par conséquent, les racnes de P sont les réels α, pour [[,n]]. Ce polynôme est scndé à racnes smples. Q 3 En utlsant les relatons coeffcents-racnes d un polynôme, α a n a n 2n + 2n + où a n 2n + et a n. Par conséquent, 3 a n a n n2n 3 Q 4 Il sufft de remarquer que + cotan 2 θ sn 2 θ > θ 2. Q 5 Avec θ π, [[,n]], On trouve que 2n + α < 2n + 2 2 π 2 < n + α d où l on tre 2 n2n n π 32n + 2 < 2 < π2 n n2n + π2 n + 2 32n 2 Comme les deux sutes encadrantes convergent vers π2 6, d après le théorème des gendarmes, on en dédut que la sute S n converge vers π2 6.