DUT Techniques de commercialisation Mathématiques et statistiques appliquées

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1 DUT Techniques de commercialisation Mathématiques et statistiques appliquées Université de Caen Basse-Normandie 15 septembre 2015 UCBN MathStat 15 septembre / 20

2 Première partie I Mathématiques financières Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 15 septembre / 20

3 Chapitre UCBN MathStat 15 septembre / 20

4 Paragraphe UCBN MathStat 15 septembre / 20

5 On désigne par annuité une suite de règlements à intervalles de temps constants. Ces annuités peuvent servir à constituer une épargne, à rembourser un prêt. La périodicité de ces annuités est généralement mensuelle ou annuelle. UCBN MathStat 15 septembre / 20

6 Paragraphe UCBN MathStat 15 septembre / 20

7 Intérêts composés Une personne verse une annuité a epar an en fin de période à un taux de x% avec des intérêts composés. Quel est le capital acquis après t versements. versement durée Annuité Valeur acquise à la fin de période 1 t 1 a a(1 + x) t 1 2 t 2 a a(1 + x) t t 0 a a(1 + x) 0 Le valeur acquise au bout de t versements (si x 0) est de A t = a+a(1+x)+a(1+x) 2 + +a(1+x) t 1 = a (1 + x)t 1 x Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 15 septembre / 20

8 Versement d un capital fixe chaque période en fin de période. a Annuité : capital versé chaque période t nombre d annuités ou l on a versé le capital x taux d intérêts composés par période Valeur acquise à la fin des t annuités a (1 + x)t 1 x Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 15 septembre / 20

9 Une personne verse une annuité de 1000 epar an en fin de période pendant 5 ans à un taux de 8% avec des intérêts composés. Quelle est la valeur acquise au bout de 5 ans. versement durée annuité V(5) a a(1 +.08) 4 2 t 2 a a(1 +.08) a a(1 +.08) 0 Le capital acquis au bout de 5 années est de A t = a ( 1 + (1 +.08) + (1 +.08) 2 + ( ) 3 + ( ) 4) = = a (1 +.08) = 1000 ( ) e 0.08 Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 15 septembre / 20

10 Paragraphe UCBN MathStat 15 septembre / 20

11 Une personne a emprunté un capital C de ependant 10 ans à un taux de 10% avec des intérêts composés. Elle rembourse son prêt par des annuités annuelles. Pour chaque période, ces annuités sont composées d amortissements c est à dire d une partie du remboursement du capital. d intérêts c est à dire du paiement du coût du prêt. Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 15 septembre / 20

12 constantes Emprunt : capital de C esur n annuités à x % par période, des intérêts composés. A chaque période, il rembourse une annuité a. On note C i le capital emprunté à la fin de la i-ème période. 1. fin de la première période, C 1 = C(1 + x) a. 2. fin de la seconde période, C 2 = C 1 (1 + x) a = C(1 + x) 2 a((1 + x) + 1). 3. fin de la n-ème période, le capital emprunté sera C n C n = C n 1 (1 + x) a = C(1 + x) n a (1 + x)n 1 x A la fin du prêt le capital emprunté doit être nul C n = 0 a = Cx 1 (1 + x) n Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 15 septembre / 20

13 constantes C capital emprunté a annuité constante versée en fin de période x taux d intérêts composés par période n nombre de périodes Le capital est remboursé avec des annuités constantes en choisissant comme annuité par période : a = Cx 1 (1 + x) n Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 15 septembre / 20

14 Annuité constante On emprunte C 0 = euros sur n = 5 ans avec des intérêts composés annuel de x = 5% a = Cx = (1 + x) n n durée annuité C C 0 = a C 1 = C 0 (1 + x) a Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 15 septembre / 20

15 Annuité constante On emprunte C 0 = euros sur n = 5 ans avec des intérêts composés annuel de x = 5% a = Cx = (1 + x) n n durée annuité C C 0 = a C 1 = C 0 (1 + x) a 2 3 a C 2 = C 1 (1 + x) a Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 15 septembre / 20

16 Annuité constante On emprunte C 0 = euros sur n = 5 ans avec des intérêts composés annuel de x = 5% a = Cx = (1 + x) n n durée annuité C C 0 = a C 1 = C 0 (1 + x) a 2 3 a C 2 = C 1 (1 + x) a 3 2 a C 3 = C 2 (1 + x) a Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 15 septembre / 20

17 Annuité constante On emprunte C 0 = euros sur n = 5 ans avec des intérêts composés annuel de x = 5% a = Cx = (1 + x) n n durée annuité C C 0 = a C 1 = C 0 (1 + x) a 2 3 a C 2 = C 1 (1 + x) a 3 2 a C 3 = C 2 (1 + x) a 4 1 a C 4 = C 3 (1 + x) a Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 15 septembre / 20

18 Annuité constante On emprunte C 0 = euros sur n = 5 ans avec des intérêts composés annuel de x = 5% a = Cx = (1 + x) n n durée annuité C C 0 = a C 1 = C 0 (1 + x) a 2 3 a C 2 = C 1 (1 + x) a 3 2 a C 3 = C 2 (1 + x) a 4 1 a C 4 = C 3 (1 + x) a 5 0 a C 5 = C 4 (1 + x) a = 0 Table : Annuité constante Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 15 septembre / 20

19 Amortissement constant On emprunte un capital de C e sur n périodes avec des intérêts composés de x % par période. A chaque période l emprunteur rembourse C n les intérêts de la période. période 1 A la fin de la première période l emprunteur rembourse C n du capital les intérêts de Cx de la première période L emprunteur rembourse au total A 1 = C n + Cx. A la fin de cette période l emprunteur doit C 1 = C(1 + x) A 1 = C n 1 n. Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 15 septembre / 20

20 période 2 A la fin de la deuxième période l emprunteur rembourse C n 1 n du capital et les intérêts C n x soit au total A 2 = C n + C n 1 n x. A la fin de la deuxième période, l emprunteur doit C 2 = C 1 A 2 = C n 2 n période n A la fin de la n-ème période. Le capital restant du est de C n 1 = C n. Il rembourse C n du capital du. Il rembourse les intérêts de la période C n x Au total il rembourse A n = C n + C 1 nx. A la fin de cette période il devra C n = C n 1 (1 + x) A n = 0 Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 15 septembre / 20

21 Amortissement constant n durée amorti int A i C i 0 n 0 0 A 0 = 0 C 0 = C C 1 n 1 n Cx A 1 = C 1 n + Cx C 1 = C n 1 n 2 n 2 C n C n 1 n x A 2 = C 1 n + C n 1 n x C 2 = C n 2 n Le capital restant du est une suite arithmétique de terme initial le capital emprunté C et de raison C 1 n. Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 15 septembre / 20

22 Amortissement constant Tableau d amortissement On emprunte C 0 = euros sur 10 ans, à un taux x = 10% annuel avec des intérêts composés. Construire le tableau des annuités. L amortissement annuel est de = n durée A I annuité C C 0 = C Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 15 septembre / 20

23 Amortissement constant Tableau d amortissement On emprunte C 0 = euros sur 10 ans, à un taux x = 10% annuel avec des intérêts composés. Construire le tableau des annuités. L amortissement annuel est de = n durée A I annuité C C 0 = C Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 15 septembre / 20

24 Amortissement constant Tableau d amortissement On emprunte C 0 = euros sur 10 ans, à un taux x = 10% annuel avec des intérêts composés. Construire le tableau des annuités. L amortissement annuel est de = n durée A I annuité C C 0 = C C 0 x = 2000 Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 15 septembre / 20

25 Amortissement constant Tableau d amortissement On emprunte C 0 = euros sur 10 ans, à un taux x = 10% annuel avec des intérêts composés. Construire le tableau des annuités. L amortissement annuel est de = n durée A I annuité C C 0 = C C 0 x = Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 15 septembre / 20

26 Amortissement constant Tableau d amortissement On emprunte C 0 = euros sur 10 ans, à un taux x = 10% annuel avec des intérêts composés. Construire le tableau des annuités. L amortissement annuel est de = n durée A I annuité C C 0 = C C 0 x = C 1 = = C Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 15 septembre / 20

27 Amortissement constant Tableau d amortissement On emprunte C 0 = euros sur 10 ans, à un taux x = 10% annuel avec des intérêts composés. Construire le tableau des annuités. L amortissement annuel est de = n durée A I annuité C C 0 = C C 0 x = C 1 = = C C 1 x = C 2 = Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 15 septembre / 20

28 Amortissement constant Tableau d amortissement On emprunte C 0 = euros sur 10 ans, à un taux x = 10% annuel avec des intérêts composés. Construire le tableau des annuités. L amortissement annuel est de = n durée A I annuité C C 0 = C C 0 x = C 1 = = C C 1 x = C 2 = Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 15 septembre / 20

29 Amortissement constant Tableau d amortissement On emprunte C 0 = euros sur 10 ans, à un taux x = 10% annuel avec des intérêts composés. Construire le tableau des annuités. L amortissement annuel est de = n durée A I annuité C C 0 = C C 0 x = C 1 = = C C 1 x = C 2 = C 8 x = C Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 15 septembre / 20

30 Amortissement constant Tableau d amortissement On emprunte C 0 = euros sur 10 ans, à un taux x = 10% annuel avec des intérêts composés. Construire le tableau des annuités. L amortissement annuel est de = n durée A I annuité C C 0 = C C 0 x = C 1 = = C C 1 x = C 2 = C 8 x = C C 9 x = C 10 = 0 Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 15 septembre / 20

31 Table : Amortissement constant Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 15 septembre / 20 MathStat Amortissement constant Tableau d amortissement On emprunte C 0 = euros sur 10 ans, à un taux x = 10% annuel avec des intérêts composés. Construire le tableau des annuités. L amortissement annuel est de = n durée A I annuité C C 0 = C C 0 x = C 1 = = C C 1 x = C 2 = C 8 x = C C 9 x = C 10 = 0

32 Deuxième partie II Index UCBN MathStat 15 septembre / 20

33 Intérêt composé épargne constante, 5 amortissement constant, 13 annuité constante, 9 annuités, 5 Index I Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 15 septembre / 20