Échelonnement de systèmes linéaires

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1 NOTES DE COURS Chap SYS02 Échelonnement de systèmes linéaires ALGORITHME DE GAUSS-JORDAN MATRICE ÉCHELONNÉE EN LIGNES ET ÉCHELONNÉE RÉDUITE EN LIGNES MATRICE ÉCHELONNÉE EN LIGNES Def Une matrice est dite échelonnée en lignes lorsque les deux conditions suivantes sont réalisées : Si une ligne est entièrement nulle, alors toutes les lignes suivantes le sont aussi Coefficients NON tous nuls 0 0 Coefficients TOUS nuls Dans toute ligne non entièrement nulle à partir de la deuxième, le premier coefficient non nul à partir de la gauche est situé à droite du premier coefficient non nul de la ligne précédente 0 0 a i,j 0 0 a i+,k Premier coefficient non nul de la ligne i Premier coefficient non nul de la ligne i + De tels coefficients sont appelés des pivots App APPLICATION Quelles sont les matrices ci-dessous qui sont échelonnées en lignes? MATRICES ÉCHELONNÉES EN LIGNES MATRICE ÉCHELONNÉE RÉDUITE EN LIGNES Def2 On dira qu une matrice est échelonnée réduite en lignes lorsqu elle est échelonnée en lignes et que la condition supplémentaire suivante est réalisée : Tous les pivots sont égaux à et sont les seuls éléments non nuls de leur colonne Cpge Tsi2 208/9 Mathématiques ÉCHELONNEMENT DE SYSTÈMES LINÉAIRES Chap SYS02

2 Coefficients TOUS nuls Le pivot de la ligne i vaut et c est le seul coefficient non nul de sa colonne Le pivot de la ligne i + vaut et c est le seul coefficient non nul de sa colonne App2 APPLICATION Quelles sont les matrices ci-dessous qui sont échelonnées réduites en ligne? MATRICES ÉCHELONNÉES RÉDUITES EN LIGNE SYSTÈME ÉCHELONNÉ EN LIGNES OU ÉCHELONNÉ RÉDUIT EN LIGNES Def3 Un système est alors dit échelonné en lignes quand sa matrice, et non sa matrice augmentée, est échelonnée en lignes Un système est dit échelonné réduit en lignes quand sa matrice, et non sa matrice augmentée, est échelonnée réduite en lignes Ex Matrice augmentée d un système échelonné en lignes Matrice augmentée d un système échelonné réduit en lignes ILLUSTRATION 2 ALGORITHME DU PIVOT DE GAUSS ET ÉCHELONNEMENT EN LIGNES Th ALGORITHME DIT DU «PIVOT DE GAUSS» L algorithme du pivot de Gauss consiste en construire une suite d opérations élémentaires sur les lignes, de sorte à transformer la matrice initialement donnée en une matrice échelonnée en lignes ou encore échelonnée réduite en ligne Toute matrice non nulle est donc équivalente en lignes à une matrice échelonnée réduite en lignes On admettra que cette dernière est unique Cpge Tsi2 208/9 Mathématiques 2 ÉCHELONNEMENT DE SYSTÈMES LINÉAIRES Chap SYS02

3 Ex2 «Éxécuter» l algorithme de Gauss sur la matrice augmentée d un système S ci-dessous : L 3 L L 2 L 4 L L 2 L 5 L 5 9 L 2 L 5 L L 4 L 2 L 2 + 3L L 3 L 3 L L 4 L 4 2L L 5 L 5 L L 2 L 2 + 5L 3 L L + 2L Matrice augmentée d un système échelonné en lignes L 4 L 4 L 3 L 5 L L 3 L 3 L 3 3 L 4 L 2 L 2 + L 4 L L + L 4 L L 2 9 L L 2 L L 2 9 L 2 L 3 3L 3 ÉCHELONNEMENT EN LIGNE PUIS RÉDUIT EN LIGNE Matrice augmentée d un système échelonné réduit en lignes 2 SOLUTIONS D UN SYSTÈME LINÉAIRE Cadre de travail et/ou notations utilisées a x + a 2 x 2 + a p x p = b a 2 x + a 22 x 2 + a 2p x p = b 2 Dans ce paragraphe, on considèrera le système linéaire S : de taille n p, et on note S H le système a n x + a n2 x 2 + a np x p = b n homogène associé, A sa matrice et A B sa matrice augmentée Ce système a donc n équations et p inconnues, notées x,,x p On suppose que l on effectué un échelonnement en lignes du système S pour obtenir une matrice A équivalente en lignes à la matrice A du système a a p b a n a np b n Matrice augmentée A B du système S α? α 2 α 3 Coefficients TOUS nuls Matrice augmentée échelonnée en lignes A B où α, α 2, désignent les pivots? Cpge Tsi2 208/9 Mathématiques 3 ÉCHELONNEMENT DE SYSTÈMES LINÉAIRES Chap SYS02

4 2 INCONNUES PRINCIPALES, SECONDAIRES ET RANG D UN SYSTÈME INCONNUES SECONDAIRES ET PRINCIPALES ILLUSTRATION Def4 Les inconnues correspondant aux pivots de A, matrice échelonnée en lignes de A, s appelent les inconnues principales du système, les autres, s appellent inconnues secondaires ou paramètres RANG D UN SYSTÈME Ex3 Pour la matrice augmentée d un système échelonné réduit suivante : Def5 Le rang d un système linéaire S, noté souvent rg S est le nombre de pivots de la matrice A, autrement dit, le nombre d inconnues principales de S le rang du système vaut donc 4, et les inconnues principales sont x, x 3, x 4 et x 5, alors que x 2 est une inconnue secondaire INDÉPENDANCE DU RANG ET LIEN AVEC LE NOMBRE D INCONNUES Th2 Le rang d un système linéaire ne dépend que de sa matrice et donc du système homogène associé, et non de son second membre Le rang d un système linéaire ajouté au nombre de paramètres donne le nombre d inconnues du système, que l on peut retenir sous la forme : Rang du système +Nombre de paramètres = Nombre d inconnues }{{}}{{} Nombre de pivots Nombre d inconnues ou inconnues principales secondaires 22 SYSTÈME INCOMPATIBLE/COMPATIBLE COMPATIBILITÉ D UN SYSTÈME Def6 Les lignes nulles de A correspondent à des équations de la forme «0=0» ou à «0=a avec a 0», que l on appelle équations de compatibilité Ex ILLUSTRATION La matrice augmentée de ce système échelonné en ligne conduit à deux équations de compatibilité : Sur L 5 à «0=0» Sur L 4 à «0=» EXISTENCE DE SOLUTIONS Th3 Un système linéaire dont toutes les équations de compatibilité sont de la forme «0=0» ou qui n a pas d équation de compatibilité, est dit compatible et il admet alors au moins une solution Un système dont au moins une équation de compatibilité est de la forme «0=a où a 0» est alors dit incompatible et n admet donc aucune solution Cpge Tsi2 208/9 Mathématiques 4 ÉCHELONNEMENT DE SYSTÈMES LINÉAIRES Chap SYS02

5 COMPATIBILITÉ D UN SYSTÈME HOMOGÈNE n p Th4 Tout système linéaire homogène de taille n p a x + a 2 x 2 + a p x p = 0 a 2 x + a 22 x 2 + a 2p x p = 0 S H : a n x + a n2 x 2 + a np x p = 0 est compatible puisqu il possède au moins la solution triviale x = 0, x 2 = 0,, x p = 0 comme solution COMPATIBILITÉ D UN SYSTÈME n n Th5 Tout système linéaire de taille n n qui est de rang n est compatible et admet une unique solution On parle dans ce cas de système de Cramer SOLUTIONS D UN SYSTÈME LINÉAIRE Th6 Tout système linéaire à n équations et p inconnues admet : soit une unique solution ; soit aucune solution ; soit une infinité de solutions Échelonnement en lignes de la matrice Rang Inconnues principales et secondaires Équations de compatibilité Présence d une équation de compatibilité «0 = a» avec a 0 Incompatible Aucune solution Compatible Échelonnement réduit en lignes On explicite les solutions Cpge Tsi2 208/9 Mathématiques 5 ÉCHELONNEMENT DE SYSTÈMES LINÉAIRES Chap SYS02

6 Notes personnelles Encart n o App3 APPLICATION ÉTUDE DE LA COMPATIBILITÉ D UN SYSTÈME Pour chacun des systèmes dont on donne les matrices augmentées, déterminer le rang, les inconnues principales et secondaires, et son éventuelle compatibilité S : S 3 : S 5 : S 2 : S 4 : 2 3 S 6 : Cpge Tsi2 208/9 Mathématiques 6 ÉCHELONNEMENT DE SYSTÈMES LINÉAIRES Chap SYS02

7 23 STRUCTURE VECTORIELLE DES SOLUTIONS D UN SYSTÈME LINÉAIRE HOMOGÈNE Th7 Soit S H un système linéaire homogène S H : h,, h p sont deux p uplets solutions de SH COMBINAISON LINÉAIRE DE SOLUTIONS D UN SYSTÈME LINÉAIRE HOMOGÈNE a x + a 2 x 2 + a p x p = 0 a 2 x + a 22 x 2 + a 2p x p = 0 a n x + a n2 x 2 + a np x p = 0 et suppose que g,, g p et Le p uplet k,, k p obtenu par les relations : est aussi solution de S H k = λ g k 2 = λ g 2 k p = λ g p Le p uplet k,, k p obtenu par les relations : est aussi solution de S H k = g + h k 2 = g 2 + h 2 k p = g p + h p En d autres termes : Toute combinaison linéaire de solutions d un système linéaire homogène est aussi solution de ce système linéaire homogène 24 ENSEMBLE DES SOLUTIONS D UN SYSTÈME COMPATIBLE Th8 On suppose que le système S : a x + a 2 x 2 + a p x p = b a 2 x + a 22 x 2 + a 2p x p = b 2 OBTENTION DES SOLUTIONS D UN SYSTÈME COMPATIBLE est compatible et dont on note S H le système a n x + a n2 x 2 + a np x p = b n homogène associé Les équations associées aux inconnues principales permettent d exprimer toutes les inconnues principales en fonctions des seconds membres et des inconnues secondaires Soit forme : α,, α p R p un p uplet solution particulière de S Tout p uplet x,, x p solution de S peut s écrire sous la x = α + h x 2 = α 2 + h 2 x p = α p + h p Solution de S p uplet solution particulière de S p uplet combinaison linéaire de p uplets solutions de S H que l on peut aussi écrire x,, x p } {{ } Solution de S = α,, α p }{{} p uplet solution particulière de S + h,, h p }{{} p uplet combinaison linéaire de p uplets solutions de S H Cpge Tsi2 208/9 Mathématiques 7 ÉCHELONNEMENT DE SYSTÈMES LINÉAIRES Chap SYS02

8 Ex5 Pour déterminer l ensemble des solutions du système S par sa matrice augmentée RÉSOLUTION COMPLÈTE D UN SYSTÈME LINÉAIRE , on commence par échelonner, par l algorithme de Gauss, la matrice augmentée afin de déterminer le rang du système et son éventuelle compatibilité : Il y a 3 pivots non nuls Le rang du système est donc 3 et le système présente une équation de compatibilité : { 0 = 0 Relation vérifiée On remarque notamment que x, x 2 et x 3 sont les inconnues principales, x 4 et x 5 sont quant à elles les inconnues secondaires Le système est compatible et on poursuit l échelonnement : En notant x,, x 5 les inconnues du système, on en déduit que les solutions de S sont les 5-uplets x,, x 5 où : x = x x 5 x 2 = x x 5 où x 4, x 5 R 2 x 3 = x x x = 25 5 x x 5 3 x 2 = 5 2 x x 5 On peut écrire ces relations ainsi : x 3 = x x 5 où x 4, x 5 R 2 x 4 = 0 + x x 5 = x 5 59 et qui permettront de voir que 25, 3 5, 39 25,0,0 est une solution particulière de S, alors que 25, 2, 90,,0 et sont deux solutions de S H, où l on verra plus tard, qu elles forment une base des solutions du système S H 25, 3 5, 44 25,0, RÉSOLUTION DE SYSTÈMES LINÉAIRES App4 APPLICATION Terminer, lorsque le système est compatible, la résolution des systèmes de l application n o 5 en explicitant toutes les solutions Cpge Tsi2 208/9 Mathématiques 8 ÉCHELONNEMENT DE SYSTÈMES LINÉAIRES Chap SYS02