Programme du Math1. Chapitre 1. 22/09/2013 بالتوفيق. Math1 L1 Semestre 1 SM ST. Bibliographie: 1. Notions de Logique. 2. Ensembles

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1 /09/013 Programme du Math1 Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediene Faculté de Mathématiques Math1 L1 Semestre 1 SM ST Dr M ZIDANI-BOUMEDIEN 1 Ensembles, Relations, Applications Structures Algébriques fondamentales 3 Suites numériques 4 Fonctions d une variable réelle: Calcul différentiel et intégral 5 Algèbre Linéaire Bibliographie: 1) Nikolaï Piskounov «CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL», Tome 1 et Editions Mir, MOSCOU 1980 ou Ed Ellipses 1993 ) B Démidovitch «RECUEIL D EXERCICES ET DE PROBLÈMES D ANALYSE MATHÉMATIQUE» Editions Mir, MOSCOU ) James STEWART «Analyse : concepts et contextes ol 1 Fonctions d'une variable» Editeur DE BOECK, 011 4) exo7emathfr 5) 6) 4) et 5) pour vous exercer mais ne vous dispersez pas avec trop de lectures sur le web! 3 Avant-propos Le programme de ce cours est bien chargé, n est-ce pas? Oui, et c est pour cette raison qu un support de cours adapté à ce programme est absolument indispensable et c est aussi pour cette raison que nous insisterons sur la compréhension des concepts nouveaux de ce cours en tenant compte de ce que vous avez déjà appris au lycée Nous traiterons chaque concept, autant que possible, selon différentes représentations: symbolique, numérique, visuel et verbal Une fois ces concepts de base bien assimilés, vous n aurez aucun mal dans la suite de votre cursus, à vous approprier les techniques associées à chaque concept selon votre spécialité u que les filières SM et ST s intéressent essentiellement aux mathématiques appliquées, dans ce cours, les démonstrations purement formelles ne seront pas prioritaires 4 Avant-propos Évidemment, pour réussir ce cours de base, il faut au moins: Lire et Relire le cours, Faire les exercices proposés, Poser des questions et Persévérer! Les chapitres 1 et sont particulièrement nouveaux pour vous mais le cours sera mis sur la page web de la faculté de mathématiques, par chapitre Certains chapitres sont déjà prêts, d autres restent à faire Comme nul n est infaillible, des erreurs pourraient se glisser dans cette première contribution malgré mes multiples vérifications Les remarques et/ou questions, sont les bienvenues de la part de mes collègues ou même des étudiants à qui nous disons: بالتوفيق Chapitre 1 4 Application, injection, surjection, bijection 5 6 1

2 /09/013 Considérons la situation suivante: Deux étudiants Salim et Rachid veulent travailler ensemble à la bibliothèque le lendemain de leur rencontre Rachid dit à Salim: «s il pleut, je ne viendrai pas» Salim lui répond: «Ok» Il n a pas plu mais Rachid n est pas venu, donc Salim s est fâché, considérant que Rachid a manqué à sa parole Rachid, a-t-il vraiment manqué à sa parole? Cette situation est une des ambiguïtés du langage courant (qui crée d énormes problèmes entre les gens!) que la logique par son langage rigoureux permet d éviter D autre part, si une question se pose, donner une réponse, n avance à rien si celle-ci n est pas justifiée C est par une démarche logique, un raisonnement ou une démonstration, que la réponse est jugée vraie (juste) ou fausse C est donc par les moyens que donne la logique, qu il est possible de construire un raisonnement mathématique rigoureux 7 1) Mots Mathématiques En plus des termes primitifs, ou mots du langage courant avec le sens courant, il existe des mots spécifiques aux mathématiques: Une assertion est un énoncé qui prend une seule des valeurs logiques: soit vrai, soit faux «1=0» est une assertion fausse; " e x 0, pour tout x réel " est une assertion vraie; " x " n est pas une assertion Un axiome est un énoncé qu on ne peut pas démontrer parce qu ils sont les premiers, ils sont vrais par convention Exemple, les axiomes d Euclide Les énoncés qui se démontrent, sont classés selon leur importance: un théorème est une assertion vraie déduite d autres assertions déjà connus en utilisant les seules règles de la logique au moyen d une démonstration Il s agit en général d un résultat important à retenir ; un lemme est un résultat préalable utile pour démontrer un théorème; un corollaire est une conséquence importante d un théorème ; une proposition est une assertion jugée vraie ou fausse sans ambiguïté, par une démonstration facile Une proposition est moins importante qu un théorème 8 ) Symboles mathématiques de base A Le quantificateur universel et le quantificateur existentiel : Si, pour toute valeur de la variable x d un ensemble E, la proposition P est vraie (vérifiée), on écrira: x, P vraie S il existe au moins une valeur de la variable telle que la proposition P soit vérifiée, on écrira: x, P vraie Soit les propositions suivantes contenant la variable x réelle: A(x): x 1 0; B(x): x x x(x 1); C(x): x 1 x Pour dire si ces propositions sont vraies ou fausse en utilisant les quantificateurs, on écrira: x -1, 1 tel que A(x) ou x -1, 1 A(x) vraie x, B(x) vraie ou simplement x,b(x); x, C(x) fausse B Égalité «=»: «a = b» veut dire «a désigne le même élément que b» Par abus de langage, on dit «a égal b» vraie 9 3) Connecteurs (ou opérateurs) logiques Connecteurs logiques opérations entre propositions formalisme mathématique A Négation: La négation de P, notée P ou «non P» ou P, est la proposition qui est vraie si P est fausse et fausse si P est vraie P: «x est pair», P: «x impair»; Q: «a = b», non Q: «a b» H: «x, P vraie», non H: «x, P non vraie» B Conjonction «et»: «P et Q» veut dire P est vraie et Q est vraie en même temps Notation de «et» : C Disjonction «ou»: «P ou Q» indique que l une au moins, des deux propositions est vraie, (mais, P et Q faux en même temps: impossible) donc le sens cumulatif du «ou»se traduit par l une des expressions: 1) P vraie, Q faux; ) Q vraie, P faux; 3) P et Q vraies On peut aussi résumer avec un tableau de vérité: valeurs de «P ou Q» en vert P/Q F F F 10 3) Connecteurs (ou opérateurs) logiques (suite) D Implication: une relation entre deux propositions (ou entre deux ensembles de propositions): «P et Q», qui veut dire «si P est vraie, alors Q est vraie» On note P Q; on dit: P implique Q ou P entraine Q L énoncé verbal d une implication constitue un théorème: P hypothèse et Q conclusion; on peut aussi énoncer: Pour que P soit vraie, il faut que Q soit vraie; Q est une condition nécessaire de P Pour que Q soit vraie, il suffit que P soit vraie; P est une condition suffisante de Q L implication est transitive ie Si P, Q et A sont trois propositions, les hypothèses P Q et Q A entrainent P A L implication n est pas tjs symétrique ie P Q n entraine pas tjs Q P 11 3) Connecteurs (ou opérateurs) logiques (suite) E Équivalence: Si P Q et Q P, on a une équivalence logique On note: et on énonce : P est équivalente à Q On peut aussi énoncer: Pour que P soit vraie, il faut et il suffit que Q soit vraie; P est vraie si et seulement si Q soit vraie; Le symbole s utilise aussi dans le cas d une définition, on note cette def équivalence verbale: 4) Méthodes de raisonnement ou de démonstration opérations logiques méthodes de raisonnement ou de démonstration But: Montrer l implication H C A Démonstration directe: déduire logiquement C de H, en se basant sur la transitivité de l implication (raisonnement déductif) B Substitution par une ou des propositions équivalentes C Cas par cas Exemple: Montrez que x 1, 3, x 1 1

3 /09/013 4) Méthodes de raisonnement ou de démonstration (suite) C Démonstration par l absurde: H C équivalente à H C, donc on suppose que H C vraie et on montre qu on aboutit alors à une impossibilité (absurdité) Ce qui entraine que H Cest fausse d où H C est vraie Exemple: Montrez que est irrationnel D Démonstration par la contraposée: montrer C H (car H C équivalente à C H) Exemple: Montrez que n² est pair n pair E Démonstration par contre-exemple: on trouve une ou des valeurs de x pour lesquels H (x) est vraie et C (x) est fausse F Démonstration par récurrence: pour montrer une proposition P portant sur un sous-ensemble F de l ensemble des entiers naturels N On vérifie la proposition pour le premier élément (le plus petit) de F, ensuite on suppose que la proposition est vraie jusqu au rang n, et on démontre que la proposition P est vraie pour le rang suivant n+1 on conclut alors que la proposition est vraie pour tout n dans F 13 Un ensemble est un objet mathématique représentant une collection d'objets, appelés éléments de l'ensemble Ensembles déjà connus: ensembles de nombres (entiers, relatifs, réels, complexes) 1) Notations et vocabulaire A Appartenance: Symbole d'appartenance On écrit: a A, on lit «l'élément a appartient à l'ensemble A» ou «a est un élément de l'ensemble A» Pour indiquer qu'un élément a n'appartient pas à un ensemble A, on écrit a A B Cardinal: Card A ou A Le cardinal (ou taille) d'un ensemble A: nombre d'éléments dans l'ensemble A 14 1) Notations et vocabulaire (suite) C Représentations d un ensemble: a) Graphique: Les éléments de l'ensemble sont placés dans une zone délimitée par une courbe fermée(ellipse sur l exemple): Exemple: Cet ensemble A Diagramme de enn contient trois éléments a, b et c b) En extension: tous les éléments que l ensemble fini contient, sont énumérés entre accolades { } Exemple: A= a,b,c c) En compréhension: l ensemble est défini à partir des éléments d'un autre ensemble E qui satisfont une certaine propriété P Forme générale: A x E P x, ie A contient tous les éléments x de E, qui vérifient la propriété P d) Autre notation: symbole pour les ensembles infinis en extension Exemple: 01,,, 3, e) Ensemble vide: noté, ensemble unique, ne contient aucun élément f) Singleton: noté, un ensemble qui ne contient qu un seul élément 15 ) Comparaison d ensembles A Égalité: Définition : Deux ensembles A et B sont égaux si et seulement si ils sont composés des mêmes éléments En d autres mots, si tous les éléments de A se trouvent également dans B et réciproquement On écrit: A B ssi x, x A x B Exemple: Si A 01,,, 3, 4, 5, 6, 7 ; B x N 0 x 7 alors A B B Inclusion; Sous-ensemble ou partie d un ensemble Définition L ensemble A est inclus dans l'ensemble B si et seulement si tous les éléments de A sont des éléments de B mais tous les éléments de B ne sont pas nécessairement dans A On note A B ssi x A x B ; on lit: «A est inclus ou égal à B» On dit aussi que A est un sous-ensemble ou une partie de B Inclusion stricte: A B ssi A B et A B Autre définition de l égalité de deux ensembles A et B: A B ssi A B et B A 16 3) Opérations sur les ensembles Opérations sur des ensembles un nouvel ensemble A Intersection: Symbole Définition: L'intersection de deux ensembles A et B, notée A B, est un ensemble contenant les éléments appartenant à A et à B : A B = { x x A et x B } Exemple: A={a, b, c} et B={c, d, e} A B ={c} Définition: Deux ensembles A et B sont dits disjoints lorsque leur intersection est vide On note : A B Propriétés L'opération d'intersection est commutative et associative et on a donc : A B = B A et A (B C) = (A B) C L'intersection de deux ensembles est toujours un sous-ensemble des deux ensembles originaux: A B A et A B B 17 3) Opérations sur les ensembles (suite) B Union: Symbole Définition: L union de deux ensembles A et B est un ensemble contenant les éléments appartenant à A ou à B : A B = { x x A ou x B } Exemple: A={a, b, c} et B={c, d, e} A B={a, b, c, d, e} Propriétés L'opération d union est commutative et associative: A B B A et A B C A B C L'intersection de deux ensembles est toujours un sous-ensemble des deux ensembles originaux: A A B et B A B C Ensemble des parties: P() Définition: L'ensemble des parties d'un ensemble E, noté P(E), est un ensemble qui contient tous les parties (ou sous-ensembles) de E : P ( E ) = { S S Card E E } et Card P (E) = Exemple: A={a, b, c}, P(A)={{a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}, } (Card P(A)= ³ = 8) 18 3

4 /09/013 3) Opérations sur les ensembles (suite) D Différence Complémentarité: Symbole / Définition La différence de deux ensembles A et B, notée A / B, est un ensemble contenant les éléments appartenant à A, mais n'appartenant pas à B : A / B = { x x A et x B } La différence A/B est appelée complémentaire de B par rapport à A On note alors A/B = C A B (ou B) Exemple: A={a, b, c} et B={c, d, e} A/B= C A B a,b Propriétés En général, cette opération n est ni commutative, ni associative On a toujours: A/B A E Opérations sur les complémentaires: Le complémentaire de l'union de deux ensembles est l'intersection de leurs complémentaires : A B A B Le complémentaire de l'intersection de deux ensembles est l'union de leurs complémentaires : A B A B 19 3) Opérations sur les ensembles (suite) F Produit Cartésien: Symbole Définition: Le produit cartésien de deux ensembles A et B, noté A B, est un ensemble contenant des paires (ou couples) d'éléments provenant des ensembles A et B : A B = { (x,y) x A, y B } Si Card A= m et Card B=n, alors Card A B=mn Exemple: A={a, b, c} et B={c, d, e} A B= { (a,c), (a,d), (a,e), (b,c), (b,d), (b,e) } Les deux ensembles A et B sont représentés par des segments de droite, les points en rouge sont les éléments du produit cartésien, ils sont entourés par le rectangle qui représente l ensemble produit cartésien 0 1) Qu est-ce qu une Relation? Terme primitif: relation ou correspondance Compare entre les éléments de deux ensembles E et F Représentée par un ensemble de paires ordonnées 1) considérons les sections de L1 (USTHB) et les enseignants de math L1 On a par exemple: B et H sont l enseignant de la section ST11 (math1 et math), Z est l enseignant de la section ST31, A est l enseignant de la section ST1, C est l enseignant de la section SM1, ; on a donc des paires ordonnées (enseignant, section) Notons L l ensemble de ces paires: L = { (B, ST11), (Z, ST31), (A, ST1), (C, SM4), (C, ST5), (H, ST11), } Cet ensemble définit la relation est l enseignant de entre ensembles: l ensemble des enseignants et l ensemble des sections du L1(USTHB) ) Considérons les ensembles A={ -,0,1,, 3,4} et B={ -1, 0, 1, 6, 8, 9} La relation D «est le double de» est représentée par { (-,-1),(0,0),(,1)} 1 ) Représentation visuelle d une Relation Reprenons l exemple précédent sur les nombres Considérons les ensembles A={ -,0,1,, 3,4} et B={ -1, 0, 1, 6, 8, 9} La relation T: «est le double de» est représentée par: { (-,-1),(0,0),(,1)} A B Trois représentations visuelles d une relation binaire: Diagramme à flèches Tableau Graphe x 1 A B A: ensemble de départ ou Domaine de T; B: ensemble d arrivée ou image y ) Image, antécédent d un élément Image d un élément: - A, B, H, Z ont chacun une seule image - C a deux images - D, N, T n ont pas d image Antécédent d un élément: - 1, 4, 5, 31 ont chacun un seul antécédent - 11 a deux antécédents A B - 3, n ont pas d antécédent Maintenant, formalisons! En fait, on a définit la relation par trois ensembles: 1) L ensemble de départ (des flèches) ) L ensemble d arrivée (des flèches) 3) L ensemble des flèches chaque flèche montre les éléments liés par la relation donc un couple Exemple: (B, 11), (Z, 31),etc 3 3) Définitions formelles A Relation binaire Définition: Soient E et F deux ensembles, on appelle relation binaire R de E vers F toute proposition définie sur le produit cartésien E F Le graphe G de la relation est l ensemble des couples pour lesquels la proposition est vraie Si (x, y) G, on note par exemple xr y G E F Exemple: La relation d égalité x = y est une relation binaire B Domaine et Image: Domaine: DR x E y F, xr y Image: ImR y F x E, xr y Exemple: Donnez la relation représentée par le diagramme suivant en mots, puis en ensemble de paires ordonnées Quel est son domaine et son Image?

5 /09/013 4) Propriétés des relations Définition: Soit une relation R sur E On dit que R est : Réflexive si x E, x R x ; symétrique si (x, y), x R y y R x ; antisymétrique si (x, y) E, x R y et y R x x = y ; transitive si (x, y, z) E 3, x R y et y R z x R z Exemple: Soit l ensemble A= { -1, 1,,3,4} et R la relation R Réflexive: oui car x E, x R x ; R symétrique: non car si (x, y), x R y y R x ; R antisymétrique: oui car si (x, y) E, x R y et y R x x = y ; R transitive: oui car si (x, y, z) E 3, x R y et y R z x R z Qu en est-il alors de la relation C définie par < dans A? Exercice: Étudiez ces propriétés pour les exemples des sections 31 et 3 5 5) Relations particulières A Relation d ordre: Définition: Soit une relation R sur E On dit que R est une relation d ordre si R est une relation réflexive, antisymétrique et transitive La relation d ordre la plus commune: la relation supérieure ou égale (resp inférieur ou égal ) sur l ensemble R des nombres réels Cette relation se note (resp ) Soit E un ensemble La relation A B est une relation d ordre sur les parties d un ensemble E (ou P(E)) La relation A B n est pas une relation d ordre sur les parties d un ensemble E (ou P(E)) (pas réflexive) La relation n divise m est une relation d ordre sur N La relation < sur N n est pas d ordre (pas réflexive) 6 5) Relations particulières (suite) B Relation d équivalence: Définition: Soit une relation R sur E On dit que R est une relation d équivalence, si R est réflexive, symétrique et transitive Deux éléments sont équivalents s ils sont liés par une relation d équivalence L'égalité sur tout ensemble quelconque de nombres est une relation d'équivalence Le parallélisme sur un ensemble de droites (dans un plan) est une relation d'équivalence La relation sur N n est pas d équivalence (réflexive et transitive mais pas symétrique) La relation xy 0 sur N, n est pas d équivalence sur N (symétrique et transitive mais pas réflexive) 7 4 Applications 1) Fonction A Relation versus Fonction: Une relation met en couples les éléments de deux ensembles E et F si ces deux éléments sont liés par une loi donnée, sans conditions Définition: Une fonction de E vers F est un cas particulier de relation, telle que chaque élément de E possède au plus une image La relation de l exemple de la section 31 précédente est une fonction La relation de l exemple 1 n en est pas une car l élément C de E a deux images dans F Notations: f : E F veut dire que f est une fonction, E est son ensemble de départ et F son ensemble d arrivée y= f(x) veut dire que y est l image de x par f, x E (ensemble de départ de f ) et y F (ensemble d arrivée de f ) 8 4 Applications B Domaine de définition d une fonction Le domaine de définition d une fonction f : E F est le sous-ensemble D f de E ne contenant que les éléments qui ont une image ) Application Définitions: Une application est une relation, telle que: chaque élément de E possède exactement une image Une application est un cas particulier de fonctions Pour une fonction f : E F, si E =, alors f est une application D f La relation de l exemple de la section précédente n est pas une application car par exemple, l élément 1 de E n a pas d image La relation de l exemple 1 n en est pas une car l élément C de E a deux images dans F: sections 4 et 5 f : R R, x x est une application 9 4 Applications Exercice: Dire si les relations suivantes sont une relation, fonction ou application: f: R R, x x ; g: R R, x x ; h: R R, x Log(x), y: R R telle que x y 1, (y=y(x)); u: R [-1, 1] tq u(x)= cos x 3) Propriétés des Applications Mise en situation: Prenons l exemple classique d'une station de vacances où un groupe de touristes doit être logé dans un hôtel Chaque façon de répartir ces touristes dans les chambres de l'hôtel peut être représentée par une application de l'ensemble des touristes, X, vers l'ensemble des chambres, Y (à chaque touriste est associée une chambre): R: X Y t c 30 5

6 /09/013 4 Applications On définit en mots, A Injectivité Une fonction f de E vers F est injective si et seulement si tout élément de F possède au plus un antécédent dans E B Surjectivité Une fonction f de E vers F est surjective si et seulement si tout élément de F possède au moins un antécédent dans E C Bijectivité Une fonction f de E vers F est bijective si et seulement si tout élément de F possède exactement un antécédent dans E (ce qui équivaut à dire que f est à la fois injective et surjective) 4 Applications On visualise: Applications On formalise: A Injectivité Une fonction f de E vers F est injective si et seulement si: x,x E E, f ( x ) f ( x x x 1 1 ) 1 B Surjectivité Une fonction f de E vers F est surjective si et seulement si: y F, x E tq y f ( x) C Bijectivité Une fonction f de E vers F est bijective si et seulement si: y F,! x E tq y f ( x) 33 On s exerce: Trouvez si les fonctions ou applications suivantes sont injectives, surjectives ou bijectives Faites les corrections nécessaires pour que la fonction ait l une des propriétés: f : R R, f(x) = x - 1, g : R R, g(x) = x, h : R R, h(x)= Log x, u : R R, u(x)= 3x, x 1 v : R R, v(x)= x ~~~ Fin du Chapitre 1 ~~~ 34 6