Jouons binaire : je devine ce que tu penses!

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1 Jouons binaire : je devine ce que tu penses! Aziz El Kacimi Université de Valenciennes Cité des Géométries - Gare numérique de Jeumont Atelier mathématique Collège Pablo Neruda - Wattrelos le 21 mai 2012 Rallye mathématique des Collèges, IREM - Lille le 16 juin 2012 Collge Jacques Brel - Louvroil le 18 mars 2013 Collge Vauban - Maubeuge le 20 mars 2013 Stage Maths (élèves de Seconde) - UVHC le 18 juin 2013

2 0. Je devine ce que tu penses Pense à un nombre entre 1 et 100! Parmi les listes qui suivent, indique-moi celles où il figure! Je devine alors le nombre auquel tu as pensé!

3 0. Je devine ce que tu penses Pense à un nombre entre 1 et 100! Parmi les listes qui suivent, indique-moi celles où il figure! Je devine alors le nombre auquel tu as pensé!

4 0. Je devine ce que tu penses Pense à un nombre entre 1 et 100! Parmi les listes qui suivent, indique-moi celles où il figure! Je devine alors le nombre auquel tu as pensé!

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12 Question naturelle : Comment j ai fait pour deviner le nombre auquel tu as pensé? Nous allons tenter de comprendre cela!

13 Question naturelle : Comment j ai fait pour deviner le nombre auquel tu as pensé? Nous allons tenter de comprendre cela!

14 Question naturelle : Comment j ai fait pour deviner le nombre auquel tu as pensé? Nous allons tenter de comprendre cela!

15 1. Le système décimal 1.1. Quelques opérations arithmétiques Quotient et reste Soient u et b deux nombres entiers strictement positifs. On sait alors qu il existe deux entiers q et r tels que : u = qb + r avec 0 r b 1. Ces deux entiers sont uniques. On dira que q est le quotient de la division de u par b et que r en est le reste. Par exemple : 47 = (u = 47, b = 5, q = 9 et r = 2) 258 = (u = 258, b = 23, q = 11 et r = 5)

16 1. Le système décimal 1.1. Quelques opérations arithmétiques Quotient et reste Soient u et b deux nombres entiers strictement positifs. On sait alors qu il existe deux entiers q et r tels que : u = qb + r avec 0 r b 1. Ces deux entiers sont uniques. On dira que q est le quotient de la division de u par b et que r en est le reste. Par exemple : 47 = (u = 47, b = 5, q = 9 et r = 2) 258 = (u = 258, b = 23, q = 11 et r = 5)

17 1. Le système décimal 1.1. Quelques opérations arithmétiques Quotient et reste Soient u et b deux nombres entiers strictement positifs. On sait alors qu il existe deux entiers q et r tels que : u = qb + r avec 0 r b 1. Ces deux entiers sont uniques. On dira que q est le quotient de la division de u par b et que r en est le reste. Par exemple : 47 = (u = 47, b = 5, q = 9 et r = 2) 258 = (u = 258, b = 23, q = 11 et r = 5)

18 1. Le système décimal 1.1. Quelques opérations arithmétiques Quotient et reste Soient u et b deux nombres entiers strictement positifs. On sait alors qu il existe deux entiers q et r tels que : u = qb + r avec 0 r b 1. Ces deux entiers sont uniques. On dira que q est le quotient de la division de u par b et que r en est le reste. Par exemple : 47 = (u = 47, b = 5, q = 9 et r = 2) 258 = (u = 258, b = 23, q = 11 et r = 5)

19 1. Le système décimal 1.1. Quelques opérations arithmétiques Quotient et reste Soient u et b deux nombres entiers strictement positifs. On sait alors qu il existe deux entiers q et r tels que : u = qb + r avec 0 r b 1. Ces deux entiers sont uniques. On dira que q est le quotient de la division de u par b et que r en est le reste. Par exemple : 47 = (u = 47, b = 5, q = 9 et r = 2) 258 = (u = 258, b = 23, q = 11 et r = 5)

20 1. Le système décimal 1.1. Quelques opérations arithmétiques Quotient et reste Soient u et b deux nombres entiers strictement positifs. On sait alors qu il existe deux entiers q et r tels que : u = qb + r avec 0 r b 1. Ces deux entiers sont uniques. On dira que q est le quotient de la division de u par b et que r en est le reste. Par exemple : 47 = (u = 47, b = 5, q = 9 et r = 2) 258 = (u = 258, b = 23, q = 11 et r = 5)

21 1. Le système décimal 1.1. Quelques opérations arithmétiques Quotient et reste Soient u et b deux nombres entiers strictement positifs. On sait alors qu il existe deux entiers q et r tels que : u = qb + r avec 0 r b 1. Ces deux entiers sont uniques. On dira que q est le quotient de la division de u par b et que r en est le reste. Par exemple : 47 = (u = 47, b = 5, q = 9 et r = 2) 258 = (u = 258, b = 23, q = 11 et r = 5)

22 1. Le système décimal 1.1. Quelques opérations arithmétiques Quotient et reste Soient u et b deux nombres entiers strictement positifs. On sait alors qu il existe deux entiers q et r tels que : u = qb + r avec 0 r b 1. Ces deux entiers sont uniques. On dira que q est le quotient de la division de u par b et que r en est le reste. Par exemple : 47 = (u = 47, b = 5, q = 9 et r = 2) 258 = (u = 258, b = 23, q = 11 et r = 5)

23 Puissance Soient u et n deux nombres entiers strictement positifs. On rappelle : que la puissance nème de u est le nombre entier noté u n et défini par : n fois u n { }} { = u u. Par convention : u 0 = 1. On a les règles de calcul suivantes : (u v) n = u n v n et u n+m = u n u m. Par contre, on n a pas : (u + v) n = u n + v n.

24 Puissance Soient u et n deux nombres entiers strictement positifs. On rappelle : que la puissance nème de u est le nombre entier noté u n et défini par : n fois u n { }} { = u u. Par convention : u 0 = 1. On a les règles de calcul suivantes : (u v) n = u n v n et u n+m = u n u m. Par contre, on n a pas : (u + v) n = u n + v n.

25 Puissance Soient u et n deux nombres entiers strictement positifs. On rappelle : que la puissance nème de u est le nombre entier noté u n et défini par : n fois u n { }} { = u u. Par convention : u 0 = 1. On a les règles de calcul suivantes : (u v) n = u n v n et u n+m = u n u m. Par contre, on n a pas : (u + v) n = u n + v n.

26 Puissance Soient u et n deux nombres entiers strictement positifs. On rappelle : que la puissance nème de u est le nombre entier noté u n et défini par : n fois u n { }} { = u u. Par convention : u 0 = 1. On a les règles de calcul suivantes : (u v) n = u n v n et u n+m = u n u m. Par contre, on n a pas : (u + v) n = u n + v n.

27 Puissance Soient u et n deux nombres entiers strictement positifs. On rappelle : que la puissance nème de u est le nombre entier noté u n et défini par : n fois u n { }} { = u u. Par convention : u 0 = 1. On a les règles de calcul suivantes : (u v) n = u n v n et u n+m = u n u m. Par contre, on n a pas : (u + v) n = u n + v n.

28 Puissance Soient u et n deux nombres entiers strictement positifs. On rappelle : que la puissance nème de u est le nombre entier noté u n et défini par : n fois u n { }} { = u u. Par convention : u 0 = 1. On a les règles de calcul suivantes : (u v) n = u n v n et u n+m = u n u m. Par contre, on n a pas : (u + v) n = u n + v n.

29 Puissance Soient u et n deux nombres entiers strictement positifs. On rappelle : que la puissance nème de u est le nombre entier noté u n et défini par : n fois u n { }} { = u u. Par convention : u 0 = 1. On a les règles de calcul suivantes : (u v) n = u n v n et u n+m = u n u m. Par contre, on n a pas : (u + v) n = u n + v n.

30 Puissance Soient u et n deux nombres entiers strictement positifs. On rappelle : que la puissance nème de u est le nombre entier noté u n et défini par : n fois u n { }} { = u u. Par convention : u 0 = 1. On a les règles de calcul suivantes : (u v) n = u n v n et u n+m = u n u m. Par contre, on n a pas : (u + v) n = u n + v n.

31 Puissance Soient u et n deux nombres entiers strictement positifs. On rappelle : que la puissance nème de u est le nombre entier noté u n et défini par : n fois u n { }} { = u u. Par convention : u 0 = 1. On a les règles de calcul suivantes : (u v) n = u n v n et u n+m = u n u m. Par contre, on n a pas : (u + v) n = u n + v n.

32 Exemples Prenons u = 10. On a : 10 0 = = = = = = = = = = = =

33 Prenons u = 2. On a : 2 0 = = = = = = = = = = = = =

34 1.2. L écriture d un nombre Pour représenter un nombre entier naturel, on utilise un système de numération. Celui que l on connaît le plus est le système décimal composé des 10 chiffres : Par exemple :

35 1.2. L écriture d un nombre Pour représenter un nombre entier naturel, on utilise un système de numération. Celui que l on connaît le plus est le système décimal composé des 10 chiffres : Par exemple :

36 1.2. L écriture d un nombre Pour représenter un nombre entier naturel, on utilise un système de numération. Celui que l on connaît le plus est le système décimal composé des 10 chiffres : Par exemple :

37 1.2. L écriture d un nombre Pour représenter un nombre entier naturel, on utilise un système de numération. Celui que l on connaît le plus est le système décimal composé des 10 chiffres : Par exemple :

38 1.2. L écriture d un nombre Pour représenter un nombre entier naturel, on utilise un système de numération. Celui que l on connaît le plus est le système décimal composé des 10 chiffres : Par exemple :

39 Le nombre de chiffres qui forment un nombre est le premier élément qui permet de donner une indication sur sa taille : plus il y en a, plus ce nombre paraît grand! Les chiffres peuvent se répéter, par exemple On demande à ce que le premier (en partant de la gauche) soit toujours différent de 0. Tout nombre inférieur à 10 utilise exactement 1 chiffre. Tout nombre inférieur à 100 utilise au plus 2 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 3 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 4 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 5 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 6 chiffres....

40 Le nombre de chiffres qui forment un nombre est le premier élément qui permet de donner une indication sur sa taille : plus il y en a, plus ce nombre paraît grand! Les chiffres peuvent se répéter, par exemple On demande à ce que le premier (en partant de la gauche) soit toujours différent de 0. Tout nombre inférieur à 10 utilise exactement 1 chiffre. Tout nombre inférieur à 100 utilise au plus 2 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 3 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 4 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 5 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 6 chiffres....

41 Le nombre de chiffres qui forment un nombre est le premier élément qui permet de donner une indication sur sa taille : plus il y en a, plus ce nombre paraît grand! Les chiffres peuvent se répéter, par exemple On demande à ce que le premier (en partant de la gauche) soit toujours différent de 0. Tout nombre inférieur à 10 utilise exactement 1 chiffre. Tout nombre inférieur à 100 utilise au plus 2 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 3 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 4 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 5 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 6 chiffres....

42 Le nombre de chiffres qui forment un nombre est le premier élément qui permet de donner une indication sur sa taille : plus il y en a, plus ce nombre paraît grand! Les chiffres peuvent se répéter, par exemple On demande à ce que le premier (en partant de la gauche) soit toujours différent de 0. Tout nombre inférieur à 10 utilise exactement 1 chiffre. Tout nombre inférieur à 100 utilise au plus 2 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 3 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 4 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 5 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 6 chiffres....

43 Le nombre de chiffres qui forment un nombre est le premier élément qui permet de donner une indication sur sa taille : plus il y en a, plus ce nombre paraît grand! Les chiffres peuvent se répéter, par exemple On demande à ce que le premier (en partant de la gauche) soit toujours différent de 0. Tout nombre inférieur à 10 utilise exactement 1 chiffre. Tout nombre inférieur à 100 utilise au plus 2 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 3 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 4 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 5 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 6 chiffres....

44 Le nombre de chiffres qui forment un nombre est le premier élément qui permet de donner une indication sur sa taille : plus il y en a, plus ce nombre paraît grand! Les chiffres peuvent se répéter, par exemple On demande à ce que le premier (en partant de la gauche) soit toujours différent de 0. Tout nombre inférieur à 10 utilise exactement 1 chiffre. Tout nombre inférieur à 100 utilise au plus 2 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 3 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 4 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 5 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 6 chiffres....

45 Le nombre de chiffres qui forment un nombre est le premier élément qui permet de donner une indication sur sa taille : plus il y en a, plus ce nombre paraît grand! Les chiffres peuvent se répéter, par exemple On demande à ce que le premier (en partant de la gauche) soit toujours différent de 0. Tout nombre inférieur à 10 utilise exactement 1 chiffre. Tout nombre inférieur à 100 utilise au plus 2 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 3 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 4 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 5 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 6 chiffres....

46 Le nombre de chiffres qui forment un nombre est le premier élément qui permet de donner une indication sur sa taille : plus il y en a, plus ce nombre paraît grand! Les chiffres peuvent se répéter, par exemple On demande à ce que le premier (en partant de la gauche) soit toujours différent de 0. Tout nombre inférieur à 10 utilise exactement 1 chiffre. Tout nombre inférieur à 100 utilise au plus 2 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 3 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 4 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 5 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 6 chiffres....

47 Le nombre de chiffres qui forment un nombre est le premier élément qui permet de donner une indication sur sa taille : plus il y en a, plus ce nombre paraît grand! Les chiffres peuvent se répéter, par exemple On demande à ce que le premier (en partant de la gauche) soit toujours différent de 0. Tout nombre inférieur à 10 utilise exactement 1 chiffre. Tout nombre inférieur à 100 utilise au plus 2 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 3 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 4 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 5 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 6 chiffres....

48 Prenons le nombre u = On peut le décomposer comme suit : = = = Prenons un autre nombre v = On peut aussi le décomposer comme suit : = = = Que constate-t-on alors?

49 Prenons le nombre u = On peut le décomposer comme suit : = = = Prenons un autre nombre v = On peut aussi le décomposer comme suit : = = = Que constate-t-on alors?

50 Prenons le nombre u = On peut le décomposer comme suit : = = = Prenons un autre nombre v = On peut aussi le décomposer comme suit : = = = Que constate-t-on alors?

51 Prenons le nombre u = On peut le décomposer comme suit : = = = Prenons un autre nombre v = On peut aussi le décomposer comme suit : = = = Que constate-t-on alors?

52 Prenons le nombre u = On peut le décomposer comme suit : = = = Prenons un autre nombre v = On peut aussi le décomposer comme suit : = = = Que constate-t-on alors?

53 Prenons le nombre u = On peut le décomposer comme suit : = = = Prenons un autre nombre v = On peut aussi le décomposer comme suit : = = = Que constate-t-on alors?

54 Prenons le nombre u = On peut le décomposer comme suit : = = = Prenons un autre nombre v = On peut aussi le décomposer comme suit : = = = Que constate-t-on alors?

55 Prenons le nombre u = On peut le décomposer comme suit : = = = Prenons un autre nombre v = On peut aussi le décomposer comme suit : = = = Que constate-t-on alors?

56 Prenons le nombre u = On peut le décomposer comme suit : = = = Prenons un autre nombre v = On peut aussi le décomposer comme suit : = = = Que constate-t-on alors?

57 De façon générale, tout entier u à k + 1 chiffres, s écrit : u = u k u k 1 u 1 u 0 avec u k 0. Si on pose d = 10, u se décompose en la somme : u = u k d k + u k 1 d k u 1 d 1 + u 0 d 0. Tout nombre entier naturel u s écrit sous cette forme, et de façon unique, c est-à-dire, si : et : alors : u = u k d k + u k 1 d k u 1 d 1 + u 0 d 0 v = v l d l + v l 1 d l v 1 d 1 + v 0 d 0 u = v k = l et u k = v k =. u 0 = v 0

58 De façon générale, tout entier u à k + 1 chiffres, s écrit : u = u k u k 1 u 1 u 0 avec u k 0. Si on pose d = 10, u se décompose en la somme : u = u k d k + u k 1 d k u 1 d 1 + u 0 d 0. Tout nombre entier naturel u s écrit sous cette forme, et de façon unique, c est-à-dire, si : et : alors : u = u k d k + u k 1 d k u 1 d 1 + u 0 d 0 v = v l d l + v l 1 d l v 1 d 1 + v 0 d 0 u = v k = l et u k = v k =. u 0 = v 0

59 De façon générale, tout entier u à k + 1 chiffres, s écrit : u = u k u k 1 u 1 u 0 avec u k 0. Si on pose d = 10, u se décompose en la somme : u = u k d k + u k 1 d k u 1 d 1 + u 0 d 0. Tout nombre entier naturel u s écrit sous cette forme, et de façon unique, c est-à-dire, si : et : alors : u = u k d k + u k 1 d k u 1 d 1 + u 0 d 0 v = v l d l + v l 1 d l v 1 d 1 + v 0 d 0 u = v k = l et u k = v k =. u 0 = v 0

60 De façon générale, tout entier u à k + 1 chiffres, s écrit : u = u k u k 1 u 1 u 0 avec u k 0. Si on pose d = 10, u se décompose en la somme : u = u k d k + u k 1 d k u 1 d 1 + u 0 d 0. Tout nombre entier naturel u s écrit sous cette forme, et de façon unique, c est-à-dire, si : et : alors : u = u k d k + u k 1 d k u 1 d 1 + u 0 d 0 v = v l d l + v l 1 d l v 1 d 1 + v 0 d 0 u = v k = l et u k = v k =. u 0 = v 0

61 De façon générale, tout entier u à k + 1 chiffres, s écrit : u = u k u k 1 u 1 u 0 avec u k 0. Si on pose d = 10, u se décompose en la somme : u = u k d k + u k 1 d k u 1 d 1 + u 0 d 0. Tout nombre entier naturel u s écrit sous cette forme, et de façon unique, c est-à-dire, si : et : alors : u = u k d k + u k 1 d k u 1 d 1 + u 0 d 0 v = v l d l + v l 1 d l v 1 d 1 + v 0 d 0 u = v k = l et u k = v k =. u 0 = v 0

62 De façon générale, tout entier u à k + 1 chiffres, s écrit : u = u k u k 1 u 1 u 0 avec u k 0. Si on pose d = 10, u se décompose en la somme : u = u k d k + u k 1 d k u 1 d 1 + u 0 d 0. Tout nombre entier naturel u s écrit sous cette forme, et de façon unique, c est-à-dire, si : et : alors : u = u k d k + u k 1 d k u 1 d 1 + u 0 d 0 v = v l d l + v l 1 d l v 1 d 1 + v 0 d 0 u = v k = l et u k = v k =. u 0 = v 0

63 De façon générale, tout entier u à k + 1 chiffres, s écrit : u = u k u k 1 u 1 u 0 avec u k 0. Si on pose d = 10, u se décompose en la somme : u = u k d k + u k 1 d k u 1 d 1 + u 0 d 0. Tout nombre entier naturel u s écrit sous cette forme, et de façon unique, c est-à-dire, si : et : alors : u = u k d k + u k 1 d k u 1 d 1 + u 0 d 0 v = v l d l + v l 1 d l v 1 d 1 + v 0 d 0 u = v k = l et u k = v k =. u 0 = v 0

64 De façon générale, tout entier u à k + 1 chiffres, s écrit : u = u k u k 1 u 1 u 0 avec u k 0. Si on pose d = 10, u se décompose en la somme : u = u k d k + u k 1 d k u 1 d 1 + u 0 d 0. Tout nombre entier naturel u s écrit sous cette forme, et de façon unique, c est-à-dire, si : et : alors : u = u k d k + u k 1 d k u 1 d 1 + u 0 d 0 v = v l d l + v l 1 d l v 1 d 1 + v 0 d 0 u = v k = l et u k = v k =. u 0 = v 0

65 De façon générale, tout entier u à k + 1 chiffres, s écrit : u = u k u k 1 u 1 u 0 avec u k 0. Si on pose d = 10, u se décompose en la somme : u = u k d k + u k 1 d k u 1 d 1 + u 0 d 0. Tout nombre entier naturel u s écrit sous cette forme, et de façon unique, c est-à-dire, si : et : alors : u = u k d k + u k 1 d k u 1 d 1 + u 0 d 0 v = v l d l + v l 1 d l v 1 d 1 + v 0 d 0 u = v k = l et u k = v k =. u 0 = v 0

66 De façon générale, tout entier u à k + 1 chiffres, s écrit : u = u k u k 1 u 1 u 0 avec u k 0. Si on pose d = 10, u se décompose en la somme : u = u k d k + u k 1 d k u 1 d 1 + u 0 d 0. Tout nombre entier naturel u s écrit sous cette forme, et de façon unique, c est-à-dire, si : et : alors : u = u k d k + u k 1 d k u 1 d 1 + u 0 d 0 v = v l d l + v l 1 d l v 1 d 1 + v 0 d 0 u = v k = l et u k = v k =. u 0 = v 0

67 De façon générale, tout entier u à k + 1 chiffres, s écrit : u = u k u k 1 u 1 u 0 avec u k 0. Si on pose d = 10, u se décompose en la somme : u = u k d k + u k 1 d k u 1 d 1 + u 0 d 0. Tout nombre entier naturel u s écrit sous cette forme, et de façon unique, c est-à-dire, si : et : alors : u = u k d k + u k 1 d k u 1 d 1 + u 0 d 0 v = v l d l + v l 1 d l v 1 d 1 + v 0 d 0 u = v k = l et u k = v k =. u 0 = v 0

68 paquet de 10 { }} { 10 = = 100 = 10 2 = = paquet de 10 { }} { =

69 paquet de 10 { }} { 10 = = 100 = 10 2 = = paquet de 10 { }} { =

70 paquet de 10 { }} { 10 = = 100 = 10 2 = = paquet de 10 { }} { =

71 paquet de 10 { }} { 10 = = 100 = 10 2 = = paquet de 10 { }} { =

72 paquet de 10 { }} { 10 = = 100 = 10 2 = = paquet de 10 { }} { =

73 paquet de 10 { }} { 10 = = 100 = 10 2 = = paquet de 10 { }} { =

74 paquet de 10 { }} { 1000 = 10 3 = = 10 4 = = paquet de 10 { }} { =

75 paquet de 10 { }} { 1000 = 10 3 = = 10 4 = = paquet de 10 { }} { =

76 paquet de 10 { }} { 1000 = 10 3 = = 10 4 = = paquet de 10 { }} { =

77 paquet de 10 { }} { 1000 = 10 3 = = 10 4 = = paquet de 10 { }} { =

78 paquet de 10 { }} { 1000 = 10 3 = = 10 4 = = paquet de 10 { }} { =

79 paquet de 10 { }} { 1000 = 10 3 = = 10 4 = = paquet de 10 { }} { =

80 1.3. Questions naturelles Existe-t-il des systèmes de numération autres que le sytème décimal? La réponse est évidemment OUI! Tout entier naturel non nul b peut jouer le même rôle que la base d = 10. Problème : si b 11, par exemple b = 12, il faut trouver des symboles pour compléter l ensemble des chiffres : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} afin de représenter 10 et 11. On peut bien entendu faire cela mais on risque de s y perdre : nous sommes trop habitués aux chiffres 0,1,2,3,4,5,6,7, 8,9! Supposons b 9 et posons-nous la question : sachant qu on sait écrire n importe quel entier dans le système décimal, quelle serait la base minimale b permettant d en donner une représentation?

81 1.3. Questions naturelles Existe-t-il des systèmes de numération autres que le sytème décimal? La réponse est évidemment OUI! Tout entier naturel non nul b peut jouer le même rôle que la base d = 10. Problème : si b 11, par exemple b = 12, il faut trouver des symboles pour compléter l ensemble des chiffres : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} afin de représenter 10 et 11. On peut bien entendu faire cela mais on risque de s y perdre : nous sommes trop habitués aux chiffres 0,1,2,3,4,5,6,7, 8,9! Supposons b 9 et posons-nous la question : sachant qu on sait écrire n importe quel entier dans le système décimal, quelle serait la base minimale b permettant d en donner une représentation?

82 1.3. Questions naturelles Existe-t-il des systèmes de numération autres que le sytème décimal? La réponse est évidemment OUI! Tout entier naturel non nul b peut jouer le même rôle que la base d = 10. Problème : si b 11, par exemple b = 12, il faut trouver des symboles pour compléter l ensemble des chiffres : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} afin de représenter 10 et 11. On peut bien entendu faire cela mais on risque de s y perdre : nous sommes trop habitués aux chiffres 0,1,2,3,4,5,6,7, 8,9! Supposons b 9 et posons-nous la question : sachant qu on sait écrire n importe quel entier dans le système décimal, quelle serait la base minimale b permettant d en donner une représentation?

83 1.3. Questions naturelles Existe-t-il des systèmes de numération autres que le sytème décimal? La réponse est évidemment OUI! Tout entier naturel non nul b peut jouer le même rôle que la base d = 10. Problème : si b 11, par exemple b = 12, il faut trouver des symboles pour compléter l ensemble des chiffres : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} afin de représenter 10 et 11. On peut bien entendu faire cela mais on risque de s y perdre : nous sommes trop habitués aux chiffres 0,1,2,3,4,5,6,7, 8,9! Supposons b 9 et posons-nous la question : sachant qu on sait écrire n importe quel entier dans le système décimal, quelle serait la base minimale b permettant d en donner une représentation?

84 1.3. Questions naturelles Existe-t-il des systèmes de numération autres que le sytème décimal? La réponse est évidemment OUI! Tout entier naturel non nul b peut jouer le même rôle que la base d = 10. Problème : si b 11, par exemple b = 12, il faut trouver des symboles pour compléter l ensemble des chiffres : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} afin de représenter 10 et 11. On peut bien entendu faire cela mais on risque de s y perdre : nous sommes trop habitués aux chiffres 0,1,2,3,4,5,6,7, 8,9! Supposons b 9 et posons-nous la question : sachant qu on sait écrire n importe quel entier dans le système décimal, quelle serait la base minimale b permettant d en donner une représentation?

85 1.3. Questions naturelles Existe-t-il des systèmes de numération autres que le sytème décimal? La réponse est évidemment OUI! Tout entier naturel non nul b peut jouer le même rôle que la base d = 10. Problème : si b 11, par exemple b = 12, il faut trouver des symboles pour compléter l ensemble des chiffres : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} afin de représenter 10 et 11. On peut bien entendu faire cela mais on risque de s y perdre : nous sommes trop habitués aux chiffres 0,1,2,3,4,5,6,7, 8,9! Supposons b 9 et posons-nous la question : sachant qu on sait écrire n importe quel entier dans le système décimal, quelle serait la base minimale b permettant d en donner une représentation?

86 1.3. Questions naturelles Existe-t-il des systèmes de numération autres que le sytème décimal? La réponse est évidemment OUI! Tout entier naturel non nul b peut jouer le même rôle que la base d = 10. Problème : si b 11, par exemple b = 12, il faut trouver des symboles pour compléter l ensemble des chiffres : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} afin de représenter 10 et 11. On peut bien entendu faire cela mais on risque de s y perdre : nous sommes trop habitués aux chiffres 0,1,2,3,4,5,6,7, 8,9! Supposons b 9 et posons-nous la question : sachant qu on sait écrire n importe quel entier dans le système décimal, quelle serait la base minimale b permettant d en donner une représentation?

87 Si b = 1, on a b k = 1 pour tout entier k ; on n aura donc pas une base. Au minimum on doit prendre b = 2. Dans ce cas on choisira les deux chiffres 0 et 1 pour la numération. On obtient alors un système dont le principe consiste à compter par paquet de 2. paquet de 2 {}}{ 2 = = 4 = 2 2 = 8 = 2 3 = { = = { paquet de 2 {}}{ = = paquet de 2 {}}{ =

88 Si b = 1, on a b k = 1 pour tout entier k ; on n aura donc pas une base. Au minimum on doit prendre b = 2. Dans ce cas on choisira les deux chiffres 0 et 1 pour la numération. On obtient alors un système dont le principe consiste à compter par paquet de 2. paquet de 2 {}}{ 2 = = 4 = 2 2 = 8 = 2 3 = { = = { paquet de 2 {}}{ = = paquet de 2 {}}{ =

89 Si b = 1, on a b k = 1 pour tout entier k ; on n aura donc pas une base. Au minimum on doit prendre b = 2. Dans ce cas on choisira les deux chiffres 0 et 1 pour la numération. On obtient alors un système dont le principe consiste à compter par paquet de 2. paquet de 2 {}}{ 2 = = 4 = 2 2 = 8 = 2 3 = { = = { paquet de 2 {}}{ = = paquet de 2 {}}{ =

90 Si b = 1, on a b k = 1 pour tout entier k ; on n aura donc pas une base. Au minimum on doit prendre b = 2. Dans ce cas on choisira les deux chiffres 0 et 1 pour la numération. On obtient alors un système dont le principe consiste à compter par paquet de 2. paquet de 2 {}}{ 2 = = 4 = 2 2 = 8 = 2 3 = { = = { paquet de 2 {}}{ = = paquet de 2 {}}{ =

91 Si b = 1, on a b k = 1 pour tout entier k ; on n aura donc pas une base. Au minimum on doit prendre b = 2. Dans ce cas on choisira les deux chiffres 0 et 1 pour la numération. On obtient alors un système dont le principe consiste à compter par paquet de 2. paquet de 2 {}}{ 2 = = 4 = 2 2 = 8 = 2 3 = { = = { paquet de 2 {}}{ = = paquet de 2 {}}{ =

92 Si b = 1, on a b k = 1 pour tout entier k ; on n aura donc pas une base. Au minimum on doit prendre b = 2. Dans ce cas on choisira les deux chiffres 0 et 1 pour la numération. On obtient alors un système dont le principe consiste à compter par paquet de 2. paquet de 2 {}}{ 2 = = 4 = 2 2 = 8 = 2 3 = { = = { paquet de 2 {}}{ = = paquet de 2 {}}{ =

93 Si b = 1, on a b k = 1 pour tout entier k ; on n aura donc pas une base. Au minimum on doit prendre b = 2. Dans ce cas on choisira les deux chiffres 0 et 1 pour la numération. On obtient alors un système dont le principe consiste à compter par paquet de 2. paquet de 2 {}}{ 2 = = 4 = 2 2 = 8 = 2 3 = { = = { paquet de 2 {}}{ = = paquet de 2 {}}{ =

94 Si b = 1, on a b k = 1 pour tout entier k ; on n aura donc pas une base. Au minimum on doit prendre b = 2. Dans ce cas on choisira les deux chiffres 0 et 1 pour la numération. On obtient alors un système dont le principe consiste à compter par paquet de 2. paquet de 2 {}}{ 2 = = 4 = 2 2 = 8 = 2 3 = { = = { paquet de 2 {}}{ = = paquet de 2 {}}{ =

95 Si b = 1, on a b k = 1 pour tout entier k ; on n aura donc pas une base. Au minimum on doit prendre b = 2. Dans ce cas on choisira les deux chiffres 0 et 1 pour la numération. On obtient alors un système dont le principe consiste à compter par paquet de 2. paquet de 2 {}}{ 2 = = 4 = 2 2 = 8 = 2 3 = { = = { paquet de 2 {}}{ = = paquet de 2 {}}{ =

96 Si b = 1, on a b k = 1 pour tout entier k ; on n aura donc pas une base. Au minimum on doit prendre b = 2. Dans ce cas on choisira les deux chiffres 0 et 1 pour la numération. On obtient alors un système dont le principe consiste à compter par paquet de 2. paquet de 2 {}}{ 2 = = 4 = 2 2 = 8 = 2 3 = { = = { paquet de 2 {}}{ = = paquet de 2 {}}{ =

97 Si b = 1, on a b k = 1 pour tout entier k ; on n aura donc pas une base. Au minimum on doit prendre b = 2. Dans ce cas on choisira les deux chiffres 0 et 1 pour la numération. On obtient alors un système dont le principe consiste à compter par paquet de 2. paquet de 2 {}}{ 2 = = 4 = 2 2 = 8 = 2 3 = { = = { paquet de 2 {}}{ = = paquet de 2 {}}{ =

98 Si b = 1, on a b k = 1 pour tout entier k ; on n aura donc pas une base. Au minimum on doit prendre b = 2. Dans ce cas on choisira les deux chiffres 0 et 1 pour la numération. On obtient alors un système dont le principe consiste à compter par paquet de 2. paquet de 2 {}}{ 2 = = 4 = 2 2 = 8 = 2 3 = { = = { paquet de 2 {}}{ = = paquet de 2 {}}{ =

99 Si b = 1, on a b k = 1 pour tout entier k ; on n aura donc pas une base. Au minimum on doit prendre b = 2. Dans ce cas on choisira les deux chiffres 0 et 1 pour la numération. On obtient alors un système dont le principe consiste à compter par paquet de 2. paquet de 2 {}}{ 2 = = 4 = 2 2 = 8 = 2 3 = { = = { paquet de 2 {}}{ = = paquet de 2 {}}{ =

100 Si b = 1, on a b k = 1 pour tout entier k ; on n aura donc pas une base. Au minimum on doit prendre b = 2. Dans ce cas on choisira les deux chiffres 0 et 1 pour la numération. On obtient alors un système dont le principe consiste à compter par paquet de 2. paquet de 2 {}}{ 2 = = 4 = 2 2 = 8 = 2 3 = { = = { paquet de 2 {}}{ = = paquet de 2 {}}{ =

101 Si b = 1, on a b k = 1 pour tout entier k ; on n aura donc pas une base. Au minimum on doit prendre b = 2. Dans ce cas on choisira les deux chiffres 0 et 1 pour la numération. On obtient alors un système dont le principe consiste à compter par paquet de 2. paquet de 2 {}}{ 2 = = 4 = 2 2 = 8 = 2 3 = { = = { paquet de 2 {}}{ = = paquet de 2 {}}{ =

102 Si b = 1, on a b k = 1 pour tout entier k ; on n aura donc pas une base. Au minimum on doit prendre b = 2. Dans ce cas on choisira les deux chiffres 0 et 1 pour la numération. On obtient alors un système dont le principe consiste à compter par paquet de 2. paquet de 2 {}}{ 2 = = 4 = 2 2 = 8 = 2 3 = { = = { paquet de 2 {}}{ = = paquet de 2 {}}{ =

103 2. Le système binaire 2.1. Quelques exemples d abord Prenons le nombre u = 221. On peut le décomposer en une somme : 221 = = = De même, pour v = 78, on peut écrire : 78 = = = Que remarque-t-on?

104 2. Le système binaire 2.1. Quelques exemples d abord Prenons le nombre u = 221. On peut le décomposer en une somme : 221 = = = De même, pour v = 78, on peut écrire : 78 = = = Que remarque-t-on?

105 2. Le système binaire 2.1. Quelques exemples d abord Prenons le nombre u = 221. On peut le décomposer en une somme : 221 = = = De même, pour v = 78, on peut écrire : 78 = = = Que remarque-t-on?

106 2. Le système binaire 2.1. Quelques exemples d abord Prenons le nombre u = 221. On peut le décomposer en une somme : 221 = = = De même, pour v = 78, on peut écrire : 78 = = = Que remarque-t-on?

107 2. Le système binaire 2.1. Quelques exemples d abord Prenons le nombre u = 221. On peut le décomposer en une somme : 221 = = = De même, pour v = 78, on peut écrire : 78 = = = Que remarque-t-on?

108 2. Le système binaire 2.1. Quelques exemples d abord Prenons le nombre u = 221. On peut le décomposer en une somme : 221 = = = De même, pour v = 78, on peut écrire : 78 = = = Que remarque-t-on?

109 2. Le système binaire 2.1. Quelques exemples d abord Prenons le nombre u = 221. On peut le décomposer en une somme : 221 = = = De même, pour v = 78, on peut écrire : 78 = = = Que remarque-t-on?

110 2. Le système binaire 2.1. Quelques exemples d abord Prenons le nombre u = 221. On peut le décomposer en une somme : 221 = = = De même, pour v = 78, on peut écrire : 78 = = = Que remarque-t-on?

111 2. Le système binaire 2.1. Quelques exemples d abord Prenons le nombre u = 221. On peut le décomposer en une somme : 221 = = = De même, pour v = 78, on peut écrire : 78 = = = Que remarque-t-on?

112 2. Le système binaire 2.1. Quelques exemples d abord Prenons le nombre u = 221. On peut le décomposer en une somme : 221 = = = De même, pour v = 78, on peut écrire : 78 = = = Que remarque-t-on?

113 2. Le système binaire 2.1. Quelques exemples d abord Prenons le nombre u = 221. On peut le décomposer en une somme : 221 = = = De même, pour v = 78, on peut écrire : 78 = = = Que remarque-t-on?

114 2. Le système binaire 2.1. Quelques exemples d abord Prenons le nombre u = 221. On peut le décomposer en une somme : 221 = = = De même, pour v = 78, on peut écrire : 78 = = = Que remarque-t-on?

115 2. Le système binaire 2.1. Quelques exemples d abord Prenons le nombre u = 221. On peut le décomposer en une somme : 221 = = = De même, pour v = 78, on peut écrire : 78 = = = Que remarque-t-on?

116 Les nombres que nous avons considérés s écrivent sous forme d une somme de puissances du nombre b = 2! Pour u = 221, on a utilisé 1 = 2 0, 2 = 2 1, 2 3, 2 4, 2 6 et 2 7. Il manque les deux puissances 2 2 et 2 5! En réalité elles sont là aussi mais affectées du coefficient 0. On peut faire le même constat pour v = 78 : on a utilisé 2 = 2 1, 2 2, 2 3 et 2 6. Il manque les trois puissances 2 0, 2 4 et 2 5! En réalité, comme pour le nombre précédent, elles sont là aussi mais affectées du coefficient 0. Que se passe-t-il alors de façon générale? Nous allons le voir tout de suite!

117 Les nombres que nous avons considérés s écrivent sous forme d une somme de puissances du nombre b = 2! Pour u = 221, on a utilisé 1 = 2 0, 2 = 2 1, 2 3, 2 4, 2 6 et 2 7. Il manque les deux puissances 2 2 et 2 5! En réalité elles sont là aussi mais affectées du coefficient 0. On peut faire le même constat pour v = 78 : on a utilisé 2 = 2 1, 2 2, 2 3 et 2 6. Il manque les trois puissances 2 0, 2 4 et 2 5! En réalité, comme pour le nombre précédent, elles sont là aussi mais affectées du coefficient 0. Que se passe-t-il alors de façon générale? Nous allons le voir tout de suite!

118 Les nombres que nous avons considérés s écrivent sous forme d une somme de puissances du nombre b = 2! Pour u = 221, on a utilisé 1 = 2 0, 2 = 2 1, 2 3, 2 4, 2 6 et 2 7. Il manque les deux puissances 2 2 et 2 5! En réalité elles sont là aussi mais affectées du coefficient 0. On peut faire le même constat pour v = 78 : on a utilisé 2 = 2 1, 2 2, 2 3 et 2 6. Il manque les trois puissances 2 0, 2 4 et 2 5! En réalité, comme pour le nombre précédent, elles sont là aussi mais affectées du coefficient 0. Que se passe-t-il alors de façon générale? Nous allons le voir tout de suite!

119 Les nombres que nous avons considérés s écrivent sous forme d une somme de puissances du nombre b = 2! Pour u = 221, on a utilisé 1 = 2 0, 2 = 2 1, 2 3, 2 4, 2 6 et 2 7. Il manque les deux puissances 2 2 et 2 5! En réalité elles sont là aussi mais affectées du coefficient 0. On peut faire le même constat pour v = 78 : on a utilisé 2 = 2 1, 2 2, 2 3 et 2 6. Il manque les trois puissances 2 0, 2 4 et 2 5! En réalité, comme pour le nombre précédent, elles sont là aussi mais affectées du coefficient 0. Que se passe-t-il alors de façon générale? Nous allons le voir tout de suite!

120 Les nombres que nous avons considérés s écrivent sous forme d une somme de puissances du nombre b = 2! Pour u = 221, on a utilisé 1 = 2 0, 2 = 2 1, 2 3, 2 4, 2 6 et 2 7. Il manque les deux puissances 2 2 et 2 5! En réalité elles sont là aussi mais affectées du coefficient 0. On peut faire le même constat pour v = 78 : on a utilisé 2 = 2 1, 2 2, 2 3 et 2 6. Il manque les trois puissances 2 0, 2 4 et 2 5! En réalité, comme pour le nombre précédent, elles sont là aussi mais affectées du coefficient 0. Que se passe-t-il alors de façon générale? Nous allons le voir tout de suite!

121 Les nombres que nous avons considérés s écrivent sous forme d une somme de puissances du nombre b = 2! Pour u = 221, on a utilisé 1 = 2 0, 2 = 2 1, 2 3, 2 4, 2 6 et 2 7. Il manque les deux puissances 2 2 et 2 5! En réalité elles sont là aussi mais affectées du coefficient 0. On peut faire le même constat pour v = 78 : on a utilisé 2 = 2 1, 2 2, 2 3 et 2 6. Il manque les trois puissances 2 0, 2 4 et 2 5! En réalité, comme pour le nombre précédent, elles sont là aussi mais affectées du coefficient 0. Que se passe-t-il alors de façon générale? Nous allons le voir tout de suite!

122 Les nombres que nous avons considérés s écrivent sous forme d une somme de puissances du nombre b = 2! Pour u = 221, on a utilisé 1 = 2 0, 2 = 2 1, 2 3, 2 4, 2 6 et 2 7. Il manque les deux puissances 2 2 et 2 5! En réalité elles sont là aussi mais affectées du coefficient 0. On peut faire le même constat pour v = 78 : on a utilisé 2 = 2 1, 2 2, 2 3 et 2 6. Il manque les trois puissances 2 0, 2 4 et 2 5! En réalité, comme pour le nombre précédent, elles sont là aussi mais affectées du coefficient 0. Que se passe-t-il alors de façon générale? Nous allons le voir tout de suite!

123 Les nombres que nous avons considérés s écrivent sous forme d une somme de puissances du nombre b = 2! Pour u = 221, on a utilisé 1 = 2 0, 2 = 2 1, 2 3, 2 4, 2 6 et 2 7. Il manque les deux puissances 2 2 et 2 5! En réalité elles sont là aussi mais affectées du coefficient 0. On peut faire le même constat pour v = 78 : on a utilisé 2 = 2 1, 2 2, 2 3 et 2 6. Il manque les trois puissances 2 0, 2 4 et 2 5! En réalité, comme pour le nombre précédent, elles sont là aussi mais affectées du coefficient 0. Que se passe-t-il alors de façon générale? Nous allons le voir tout de suite!

124 Les nombres que nous avons considérés s écrivent sous forme d une somme de puissances du nombre b = 2! Pour u = 221, on a utilisé 1 = 2 0, 2 = 2 1, 2 3, 2 4, 2 6 et 2 7. Il manque les deux puissances 2 2 et 2 5! En réalité elles sont là aussi mais affectées du coefficient 0. On peut faire le même constat pour v = 78 : on a utilisé 2 = 2 1, 2 2, 2 3 et 2 6. Il manque les trois puissances 2 0, 2 4 et 2 5! En réalité, comme pour le nombre précédent, elles sont là aussi mais affectées du coefficient 0. Que se passe-t-il alors de façon générale? Nous allons le voir tout de suite!

125 2.2. Écriture générale Soit u un entier naturel (il peut être égal à 0) écrit dans le système décimal. On souhaite l écrire dans le système binaire b = {0,1}, c est-à-dire le représenter sous la forme : u = ε k ε k 1 ε 1 ε 0 où chacun des ε k,,ε 0 est soit 0 soit 1. Cela signifie que : u = ε k 2 k + ε k 1 2 k ε ε = 2 k ε k + 2 k 1 ε k ε 1 + ε 0 Les nombres ε k,ε k 1,ε 1,ε 0 sont les coefficients binaires de l entier u. Comment trouver les coefficients ε k,ε k 1,ε 1,ε 0? La réponse est assez simple!

126 2.2. Écriture générale Soit u un entier naturel (il peut être égal à 0) écrit dans le système décimal. On souhaite l écrire dans le système binaire b = {0,1}, c est-à-dire le représenter sous la forme : u = ε k ε k 1 ε 1 ε 0 où chacun des ε k,,ε 0 est soit 0 soit 1. Cela signifie que : u = ε k 2 k + ε k 1 2 k ε ε = 2 k ε k + 2 k 1 ε k ε 1 + ε 0 Les nombres ε k,ε k 1,ε 1,ε 0 sont les coefficients binaires de l entier u. Comment trouver les coefficients ε k,ε k 1,ε 1,ε 0? La réponse est assez simple!

127 2.2. Écriture générale Soit u un entier naturel (il peut être égal à 0) écrit dans le système décimal. On souhaite l écrire dans le système binaire b = {0,1}, c est-à-dire le représenter sous la forme : u = ε k ε k 1 ε 1 ε 0 où chacun des ε k,,ε 0 est soit 0 soit 1. Cela signifie que : u = ε k 2 k + ε k 1 2 k ε ε = 2 k ε k + 2 k 1 ε k ε 1 + ε 0 Les nombres ε k,ε k 1,ε 1,ε 0 sont les coefficients binaires de l entier u. Comment trouver les coefficients ε k,ε k 1,ε 1,ε 0? La réponse est assez simple!

128 2.2. Écriture générale Soit u un entier naturel (il peut être égal à 0) écrit dans le système décimal. On souhaite l écrire dans le système binaire b = {0,1}, c est-à-dire le représenter sous la forme : u = ε k ε k 1 ε 1 ε 0 où chacun des ε k,,ε 0 est soit 0 soit 1. Cela signifie que : u = ε k 2 k + ε k 1 2 k ε ε = 2 k ε k + 2 k 1 ε k ε 1 + ε 0 Les nombres ε k,ε k 1,ε 1,ε 0 sont les coefficients binaires de l entier u. Comment trouver les coefficients ε k,ε k 1,ε 1,ε 0? La réponse est assez simple!

129 2.2. Écriture générale Soit u un entier naturel (il peut être égal à 0) écrit dans le système décimal. On souhaite l écrire dans le système binaire b = {0,1}, c est-à-dire le représenter sous la forme : u = ε k ε k 1 ε 1 ε 0 où chacun des ε k,,ε 0 est soit 0 soit 1. Cela signifie que : u = ε k 2 k + ε k 1 2 k ε ε = 2 k ε k + 2 k 1 ε k ε 1 + ε 0 Les nombres ε k,ε k 1,ε 1,ε 0 sont les coefficients binaires de l entier u. Comment trouver les coefficients ε k,ε k 1,ε 1,ε 0? La réponse est assez simple!

130 2.2. Écriture générale Soit u un entier naturel (il peut être égal à 0) écrit dans le système décimal. On souhaite l écrire dans le système binaire b = {0,1}, c est-à-dire le représenter sous la forme : u = ε k ε k 1 ε 1 ε 0 où chacun des ε k,,ε 0 est soit 0 soit 1. Cela signifie que : u = ε k 2 k + ε k 1 2 k ε ε = 2 k ε k + 2 k 1 ε k ε 1 + ε 0 Les nombres ε k,ε k 1,ε 1,ε 0 sont les coefficients binaires de l entier u. Comment trouver les coefficients ε k,ε k 1,ε 1,ε 0? La réponse est assez simple!

131 2.2. Écriture générale Soit u un entier naturel (il peut être égal à 0) écrit dans le système décimal. On souhaite l écrire dans le système binaire b = {0,1}, c est-à-dire le représenter sous la forme : u = ε k ε k 1 ε 1 ε 0 où chacun des ε k,,ε 0 est soit 0 soit 1. Cela signifie que : u = ε k 2 k + ε k 1 2 k ε ε = 2 k ε k + 2 k 1 ε k ε 1 + ε 0 Les nombres ε k,ε k 1,ε 1,ε 0 sont les coefficients binaires de l entier u. Comment trouver les coefficients ε k,ε k 1,ε 1,ε 0? La réponse est assez simple!

132 2.2. Écriture générale Soit u un entier naturel (il peut être égal à 0) écrit dans le système décimal. On souhaite l écrire dans le système binaire b = {0,1}, c est-à-dire le représenter sous la forme : u = ε k ε k 1 ε 1 ε 0 où chacun des ε k,,ε 0 est soit 0 soit 1. Cela signifie que : u = ε k 2 k + ε k 1 2 k ε ε = 2 k ε k + 2 k 1 ε k ε 1 + ε 0 Les nombres ε k,ε k 1,ε 1,ε 0 sont les coefficients binaires de l entier u. Comment trouver les coefficients ε k,ε k 1,ε 1,ε 0? La réponse est assez simple!

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