Jouons binaire : je devine ce que tu penses!
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- Gaspard Bilodeau
- il y a 8 ans
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1 Jouons binaire : je devine ce que tu penses! Aziz El Kacimi Université de Valenciennes Cité des Géométries - Gare numérique de Jeumont Atelier mathématique Collège Pablo Neruda - Wattrelos le 21 mai 2012 Rallye mathématique des Collèges, IREM - Lille le 16 juin 2012 Collge Jacques Brel - Louvroil le 18 mars 2013 Collge Vauban - Maubeuge le 20 mars 2013 Stage Maths (élèves de Seconde) - UVHC le 18 juin 2013
2 0. Je devine ce que tu penses Pense à un nombre entre 1 et 100! Parmi les listes qui suivent, indique-moi celles où il figure! Je devine alors le nombre auquel tu as pensé!
3 0. Je devine ce que tu penses Pense à un nombre entre 1 et 100! Parmi les listes qui suivent, indique-moi celles où il figure! Je devine alors le nombre auquel tu as pensé!
4 0. Je devine ce que tu penses Pense à un nombre entre 1 et 100! Parmi les listes qui suivent, indique-moi celles où il figure! Je devine alors le nombre auquel tu as pensé!
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12 Question naturelle : Comment j ai fait pour deviner le nombre auquel tu as pensé? Nous allons tenter de comprendre cela!
13 Question naturelle : Comment j ai fait pour deviner le nombre auquel tu as pensé? Nous allons tenter de comprendre cela!
14 Question naturelle : Comment j ai fait pour deviner le nombre auquel tu as pensé? Nous allons tenter de comprendre cela!
15 1. Le système décimal 1.1. Quelques opérations arithmétiques Quotient et reste Soient u et b deux nombres entiers strictement positifs. On sait alors qu il existe deux entiers q et r tels que : u = qb + r avec 0 r b 1. Ces deux entiers sont uniques. On dira que q est le quotient de la division de u par b et que r en est le reste. Par exemple : 47 = (u = 47, b = 5, q = 9 et r = 2) 258 = (u = 258, b = 23, q = 11 et r = 5)
16 1. Le système décimal 1.1. Quelques opérations arithmétiques Quotient et reste Soient u et b deux nombres entiers strictement positifs. On sait alors qu il existe deux entiers q et r tels que : u = qb + r avec 0 r b 1. Ces deux entiers sont uniques. On dira que q est le quotient de la division de u par b et que r en est le reste. Par exemple : 47 = (u = 47, b = 5, q = 9 et r = 2) 258 = (u = 258, b = 23, q = 11 et r = 5)
17 1. Le système décimal 1.1. Quelques opérations arithmétiques Quotient et reste Soient u et b deux nombres entiers strictement positifs. On sait alors qu il existe deux entiers q et r tels que : u = qb + r avec 0 r b 1. Ces deux entiers sont uniques. On dira que q est le quotient de la division de u par b et que r en est le reste. Par exemple : 47 = (u = 47, b = 5, q = 9 et r = 2) 258 = (u = 258, b = 23, q = 11 et r = 5)
18 1. Le système décimal 1.1. Quelques opérations arithmétiques Quotient et reste Soient u et b deux nombres entiers strictement positifs. On sait alors qu il existe deux entiers q et r tels que : u = qb + r avec 0 r b 1. Ces deux entiers sont uniques. On dira que q est le quotient de la division de u par b et que r en est le reste. Par exemple : 47 = (u = 47, b = 5, q = 9 et r = 2) 258 = (u = 258, b = 23, q = 11 et r = 5)
19 1. Le système décimal 1.1. Quelques opérations arithmétiques Quotient et reste Soient u et b deux nombres entiers strictement positifs. On sait alors qu il existe deux entiers q et r tels que : u = qb + r avec 0 r b 1. Ces deux entiers sont uniques. On dira que q est le quotient de la division de u par b et que r en est le reste. Par exemple : 47 = (u = 47, b = 5, q = 9 et r = 2) 258 = (u = 258, b = 23, q = 11 et r = 5)
20 1. Le système décimal 1.1. Quelques opérations arithmétiques Quotient et reste Soient u et b deux nombres entiers strictement positifs. On sait alors qu il existe deux entiers q et r tels que : u = qb + r avec 0 r b 1. Ces deux entiers sont uniques. On dira que q est le quotient de la division de u par b et que r en est le reste. Par exemple : 47 = (u = 47, b = 5, q = 9 et r = 2) 258 = (u = 258, b = 23, q = 11 et r = 5)
21 1. Le système décimal 1.1. Quelques opérations arithmétiques Quotient et reste Soient u et b deux nombres entiers strictement positifs. On sait alors qu il existe deux entiers q et r tels que : u = qb + r avec 0 r b 1. Ces deux entiers sont uniques. On dira que q est le quotient de la division de u par b et que r en est le reste. Par exemple : 47 = (u = 47, b = 5, q = 9 et r = 2) 258 = (u = 258, b = 23, q = 11 et r = 5)
22 1. Le système décimal 1.1. Quelques opérations arithmétiques Quotient et reste Soient u et b deux nombres entiers strictement positifs. On sait alors qu il existe deux entiers q et r tels que : u = qb + r avec 0 r b 1. Ces deux entiers sont uniques. On dira que q est le quotient de la division de u par b et que r en est le reste. Par exemple : 47 = (u = 47, b = 5, q = 9 et r = 2) 258 = (u = 258, b = 23, q = 11 et r = 5)
23 Puissance Soient u et n deux nombres entiers strictement positifs. On rappelle : que la puissance nème de u est le nombre entier noté u n et défini par : n fois u n { }} { = u u. Par convention : u 0 = 1. On a les règles de calcul suivantes : (u v) n = u n v n et u n+m = u n u m. Par contre, on n a pas : (u + v) n = u n + v n.
24 Puissance Soient u et n deux nombres entiers strictement positifs. On rappelle : que la puissance nème de u est le nombre entier noté u n et défini par : n fois u n { }} { = u u. Par convention : u 0 = 1. On a les règles de calcul suivantes : (u v) n = u n v n et u n+m = u n u m. Par contre, on n a pas : (u + v) n = u n + v n.
25 Puissance Soient u et n deux nombres entiers strictement positifs. On rappelle : que la puissance nème de u est le nombre entier noté u n et défini par : n fois u n { }} { = u u. Par convention : u 0 = 1. On a les règles de calcul suivantes : (u v) n = u n v n et u n+m = u n u m. Par contre, on n a pas : (u + v) n = u n + v n.
26 Puissance Soient u et n deux nombres entiers strictement positifs. On rappelle : que la puissance nème de u est le nombre entier noté u n et défini par : n fois u n { }} { = u u. Par convention : u 0 = 1. On a les règles de calcul suivantes : (u v) n = u n v n et u n+m = u n u m. Par contre, on n a pas : (u + v) n = u n + v n.
27 Puissance Soient u et n deux nombres entiers strictement positifs. On rappelle : que la puissance nème de u est le nombre entier noté u n et défini par : n fois u n { }} { = u u. Par convention : u 0 = 1. On a les règles de calcul suivantes : (u v) n = u n v n et u n+m = u n u m. Par contre, on n a pas : (u + v) n = u n + v n.
28 Puissance Soient u et n deux nombres entiers strictement positifs. On rappelle : que la puissance nème de u est le nombre entier noté u n et défini par : n fois u n { }} { = u u. Par convention : u 0 = 1. On a les règles de calcul suivantes : (u v) n = u n v n et u n+m = u n u m. Par contre, on n a pas : (u + v) n = u n + v n.
29 Puissance Soient u et n deux nombres entiers strictement positifs. On rappelle : que la puissance nème de u est le nombre entier noté u n et défini par : n fois u n { }} { = u u. Par convention : u 0 = 1. On a les règles de calcul suivantes : (u v) n = u n v n et u n+m = u n u m. Par contre, on n a pas : (u + v) n = u n + v n.
30 Puissance Soient u et n deux nombres entiers strictement positifs. On rappelle : que la puissance nème de u est le nombre entier noté u n et défini par : n fois u n { }} { = u u. Par convention : u 0 = 1. On a les règles de calcul suivantes : (u v) n = u n v n et u n+m = u n u m. Par contre, on n a pas : (u + v) n = u n + v n.
31 Puissance Soient u et n deux nombres entiers strictement positifs. On rappelle : que la puissance nème de u est le nombre entier noté u n et défini par : n fois u n { }} { = u u. Par convention : u 0 = 1. On a les règles de calcul suivantes : (u v) n = u n v n et u n+m = u n u m. Par contre, on n a pas : (u + v) n = u n + v n.
32 Exemples Prenons u = 10. On a : 10 0 = = = = = = = = = = = =
33 Prenons u = 2. On a : 2 0 = = = = = = = = = = = = =
34 1.2. L écriture d un nombre Pour représenter un nombre entier naturel, on utilise un système de numération. Celui que l on connaît le plus est le système décimal composé des 10 chiffres : Par exemple :
35 1.2. L écriture d un nombre Pour représenter un nombre entier naturel, on utilise un système de numération. Celui que l on connaît le plus est le système décimal composé des 10 chiffres : Par exemple :
36 1.2. L écriture d un nombre Pour représenter un nombre entier naturel, on utilise un système de numération. Celui que l on connaît le plus est le système décimal composé des 10 chiffres : Par exemple :
37 1.2. L écriture d un nombre Pour représenter un nombre entier naturel, on utilise un système de numération. Celui que l on connaît le plus est le système décimal composé des 10 chiffres : Par exemple :
38 1.2. L écriture d un nombre Pour représenter un nombre entier naturel, on utilise un système de numération. Celui que l on connaît le plus est le système décimal composé des 10 chiffres : Par exemple :
39 Le nombre de chiffres qui forment un nombre est le premier élément qui permet de donner une indication sur sa taille : plus il y en a, plus ce nombre paraît grand! Les chiffres peuvent se répéter, par exemple On demande à ce que le premier (en partant de la gauche) soit toujours différent de 0. Tout nombre inférieur à 10 utilise exactement 1 chiffre. Tout nombre inférieur à 100 utilise au plus 2 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 3 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 4 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 5 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 6 chiffres....
40 Le nombre de chiffres qui forment un nombre est le premier élément qui permet de donner une indication sur sa taille : plus il y en a, plus ce nombre paraît grand! Les chiffres peuvent se répéter, par exemple On demande à ce que le premier (en partant de la gauche) soit toujours différent de 0. Tout nombre inférieur à 10 utilise exactement 1 chiffre. Tout nombre inférieur à 100 utilise au plus 2 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 3 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 4 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 5 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 6 chiffres....
41 Le nombre de chiffres qui forment un nombre est le premier élément qui permet de donner une indication sur sa taille : plus il y en a, plus ce nombre paraît grand! Les chiffres peuvent se répéter, par exemple On demande à ce que le premier (en partant de la gauche) soit toujours différent de 0. Tout nombre inférieur à 10 utilise exactement 1 chiffre. Tout nombre inférieur à 100 utilise au plus 2 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 3 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 4 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 5 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 6 chiffres....
42 Le nombre de chiffres qui forment un nombre est le premier élément qui permet de donner une indication sur sa taille : plus il y en a, plus ce nombre paraît grand! Les chiffres peuvent se répéter, par exemple On demande à ce que le premier (en partant de la gauche) soit toujours différent de 0. Tout nombre inférieur à 10 utilise exactement 1 chiffre. Tout nombre inférieur à 100 utilise au plus 2 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 3 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 4 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 5 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 6 chiffres....
43 Le nombre de chiffres qui forment un nombre est le premier élément qui permet de donner une indication sur sa taille : plus il y en a, plus ce nombre paraît grand! Les chiffres peuvent se répéter, par exemple On demande à ce que le premier (en partant de la gauche) soit toujours différent de 0. Tout nombre inférieur à 10 utilise exactement 1 chiffre. Tout nombre inférieur à 100 utilise au plus 2 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 3 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 4 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 5 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 6 chiffres....
44 Le nombre de chiffres qui forment un nombre est le premier élément qui permet de donner une indication sur sa taille : plus il y en a, plus ce nombre paraît grand! Les chiffres peuvent se répéter, par exemple On demande à ce que le premier (en partant de la gauche) soit toujours différent de 0. Tout nombre inférieur à 10 utilise exactement 1 chiffre. Tout nombre inférieur à 100 utilise au plus 2 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 3 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 4 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 5 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 6 chiffres....
45 Le nombre de chiffres qui forment un nombre est le premier élément qui permet de donner une indication sur sa taille : plus il y en a, plus ce nombre paraît grand! Les chiffres peuvent se répéter, par exemple On demande à ce que le premier (en partant de la gauche) soit toujours différent de 0. Tout nombre inférieur à 10 utilise exactement 1 chiffre. Tout nombre inférieur à 100 utilise au plus 2 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 3 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 4 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 5 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 6 chiffres....
46 Le nombre de chiffres qui forment un nombre est le premier élément qui permet de donner une indication sur sa taille : plus il y en a, plus ce nombre paraît grand! Les chiffres peuvent se répéter, par exemple On demande à ce que le premier (en partant de la gauche) soit toujours différent de 0. Tout nombre inférieur à 10 utilise exactement 1 chiffre. Tout nombre inférieur à 100 utilise au plus 2 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 3 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 4 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 5 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 6 chiffres....
47 Le nombre de chiffres qui forment un nombre est le premier élément qui permet de donner une indication sur sa taille : plus il y en a, plus ce nombre paraît grand! Les chiffres peuvent se répéter, par exemple On demande à ce que le premier (en partant de la gauche) soit toujours différent de 0. Tout nombre inférieur à 10 utilise exactement 1 chiffre. Tout nombre inférieur à 100 utilise au plus 2 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 3 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 4 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 5 chiffres. Tout nombre inférieur à utilise au plus 6 chiffres....
48 Prenons le nombre u = On peut le décomposer comme suit : = = = Prenons un autre nombre v = On peut aussi le décomposer comme suit : = = = Que constate-t-on alors?
49 Prenons le nombre u = On peut le décomposer comme suit : = = = Prenons un autre nombre v = On peut aussi le décomposer comme suit : = = = Que constate-t-on alors?
50 Prenons le nombre u = On peut le décomposer comme suit : = = = Prenons un autre nombre v = On peut aussi le décomposer comme suit : = = = Que constate-t-on alors?
51 Prenons le nombre u = On peut le décomposer comme suit : = = = Prenons un autre nombre v = On peut aussi le décomposer comme suit : = = = Que constate-t-on alors?
52 Prenons le nombre u = On peut le décomposer comme suit : = = = Prenons un autre nombre v = On peut aussi le décomposer comme suit : = = = Que constate-t-on alors?
53 Prenons le nombre u = On peut le décomposer comme suit : = = = Prenons un autre nombre v = On peut aussi le décomposer comme suit : = = = Que constate-t-on alors?
54 Prenons le nombre u = On peut le décomposer comme suit : = = = Prenons un autre nombre v = On peut aussi le décomposer comme suit : = = = Que constate-t-on alors?
55 Prenons le nombre u = On peut le décomposer comme suit : = = = Prenons un autre nombre v = On peut aussi le décomposer comme suit : = = = Que constate-t-on alors?
56 Prenons le nombre u = On peut le décomposer comme suit : = = = Prenons un autre nombre v = On peut aussi le décomposer comme suit : = = = Que constate-t-on alors?
57 De façon générale, tout entier u à k + 1 chiffres, s écrit : u = u k u k 1 u 1 u 0 avec u k 0. Si on pose d = 10, u se décompose en la somme : u = u k d k + u k 1 d k u 1 d 1 + u 0 d 0. Tout nombre entier naturel u s écrit sous cette forme, et de façon unique, c est-à-dire, si : et : alors : u = u k d k + u k 1 d k u 1 d 1 + u 0 d 0 v = v l d l + v l 1 d l v 1 d 1 + v 0 d 0 u = v k = l et u k = v k =. u 0 = v 0
58 De façon générale, tout entier u à k + 1 chiffres, s écrit : u = u k u k 1 u 1 u 0 avec u k 0. Si on pose d = 10, u se décompose en la somme : u = u k d k + u k 1 d k u 1 d 1 + u 0 d 0. Tout nombre entier naturel u s écrit sous cette forme, et de façon unique, c est-à-dire, si : et : alors : u = u k d k + u k 1 d k u 1 d 1 + u 0 d 0 v = v l d l + v l 1 d l v 1 d 1 + v 0 d 0 u = v k = l et u k = v k =. u 0 = v 0
59 De façon générale, tout entier u à k + 1 chiffres, s écrit : u = u k u k 1 u 1 u 0 avec u k 0. Si on pose d = 10, u se décompose en la somme : u = u k d k + u k 1 d k u 1 d 1 + u 0 d 0. Tout nombre entier naturel u s écrit sous cette forme, et de façon unique, c est-à-dire, si : et : alors : u = u k d k + u k 1 d k u 1 d 1 + u 0 d 0 v = v l d l + v l 1 d l v 1 d 1 + v 0 d 0 u = v k = l et u k = v k =. u 0 = v 0
60 De façon générale, tout entier u à k + 1 chiffres, s écrit : u = u k u k 1 u 1 u 0 avec u k 0. Si on pose d = 10, u se décompose en la somme : u = u k d k + u k 1 d k u 1 d 1 + u 0 d 0. Tout nombre entier naturel u s écrit sous cette forme, et de façon unique, c est-à-dire, si : et : alors : u = u k d k + u k 1 d k u 1 d 1 + u 0 d 0 v = v l d l + v l 1 d l v 1 d 1 + v 0 d 0 u = v k = l et u k = v k =. u 0 = v 0
61 De façon générale, tout entier u à k + 1 chiffres, s écrit : u = u k u k 1 u 1 u 0 avec u k 0. Si on pose d = 10, u se décompose en la somme : u = u k d k + u k 1 d k u 1 d 1 + u 0 d 0. Tout nombre entier naturel u s écrit sous cette forme, et de façon unique, c est-à-dire, si : et : alors : u = u k d k + u k 1 d k u 1 d 1 + u 0 d 0 v = v l d l + v l 1 d l v 1 d 1 + v 0 d 0 u = v k = l et u k = v k =. u 0 = v 0
62 De façon générale, tout entier u à k + 1 chiffres, s écrit : u = u k u k 1 u 1 u 0 avec u k 0. Si on pose d = 10, u se décompose en la somme : u = u k d k + u k 1 d k u 1 d 1 + u 0 d 0. Tout nombre entier naturel u s écrit sous cette forme, et de façon unique, c est-à-dire, si : et : alors : u = u k d k + u k 1 d k u 1 d 1 + u 0 d 0 v = v l d l + v l 1 d l v 1 d 1 + v 0 d 0 u = v k = l et u k = v k =. u 0 = v 0
63 De façon générale, tout entier u à k + 1 chiffres, s écrit : u = u k u k 1 u 1 u 0 avec u k 0. Si on pose d = 10, u se décompose en la somme : u = u k d k + u k 1 d k u 1 d 1 + u 0 d 0. Tout nombre entier naturel u s écrit sous cette forme, et de façon unique, c est-à-dire, si : et : alors : u = u k d k + u k 1 d k u 1 d 1 + u 0 d 0 v = v l d l + v l 1 d l v 1 d 1 + v 0 d 0 u = v k = l et u k = v k =. u 0 = v 0
64 De façon générale, tout entier u à k + 1 chiffres, s écrit : u = u k u k 1 u 1 u 0 avec u k 0. Si on pose d = 10, u se décompose en la somme : u = u k d k + u k 1 d k u 1 d 1 + u 0 d 0. Tout nombre entier naturel u s écrit sous cette forme, et de façon unique, c est-à-dire, si : et : alors : u = u k d k + u k 1 d k u 1 d 1 + u 0 d 0 v = v l d l + v l 1 d l v 1 d 1 + v 0 d 0 u = v k = l et u k = v k =. u 0 = v 0
65 De façon générale, tout entier u à k + 1 chiffres, s écrit : u = u k u k 1 u 1 u 0 avec u k 0. Si on pose d = 10, u se décompose en la somme : u = u k d k + u k 1 d k u 1 d 1 + u 0 d 0. Tout nombre entier naturel u s écrit sous cette forme, et de façon unique, c est-à-dire, si : et : alors : u = u k d k + u k 1 d k u 1 d 1 + u 0 d 0 v = v l d l + v l 1 d l v 1 d 1 + v 0 d 0 u = v k = l et u k = v k =. u 0 = v 0
66 De façon générale, tout entier u à k + 1 chiffres, s écrit : u = u k u k 1 u 1 u 0 avec u k 0. Si on pose d = 10, u se décompose en la somme : u = u k d k + u k 1 d k u 1 d 1 + u 0 d 0. Tout nombre entier naturel u s écrit sous cette forme, et de façon unique, c est-à-dire, si : et : alors : u = u k d k + u k 1 d k u 1 d 1 + u 0 d 0 v = v l d l + v l 1 d l v 1 d 1 + v 0 d 0 u = v k = l et u k = v k =. u 0 = v 0
67 De façon générale, tout entier u à k + 1 chiffres, s écrit : u = u k u k 1 u 1 u 0 avec u k 0. Si on pose d = 10, u se décompose en la somme : u = u k d k + u k 1 d k u 1 d 1 + u 0 d 0. Tout nombre entier naturel u s écrit sous cette forme, et de façon unique, c est-à-dire, si : et : alors : u = u k d k + u k 1 d k u 1 d 1 + u 0 d 0 v = v l d l + v l 1 d l v 1 d 1 + v 0 d 0 u = v k = l et u k = v k =. u 0 = v 0
68 paquet de 10 { }} { 10 = = 100 = 10 2 = = paquet de 10 { }} { =
69 paquet de 10 { }} { 10 = = 100 = 10 2 = = paquet de 10 { }} { =
70 paquet de 10 { }} { 10 = = 100 = 10 2 = = paquet de 10 { }} { =
71 paquet de 10 { }} { 10 = = 100 = 10 2 = = paquet de 10 { }} { =
72 paquet de 10 { }} { 10 = = 100 = 10 2 = = paquet de 10 { }} { =
73 paquet de 10 { }} { 10 = = 100 = 10 2 = = paquet de 10 { }} { =
74 paquet de 10 { }} { 1000 = 10 3 = = 10 4 = = paquet de 10 { }} { =
75 paquet de 10 { }} { 1000 = 10 3 = = 10 4 = = paquet de 10 { }} { =
76 paquet de 10 { }} { 1000 = 10 3 = = 10 4 = = paquet de 10 { }} { =
77 paquet de 10 { }} { 1000 = 10 3 = = 10 4 = = paquet de 10 { }} { =
78 paquet de 10 { }} { 1000 = 10 3 = = 10 4 = = paquet de 10 { }} { =
79 paquet de 10 { }} { 1000 = 10 3 = = 10 4 = = paquet de 10 { }} { =
80 1.3. Questions naturelles Existe-t-il des systèmes de numération autres que le sytème décimal? La réponse est évidemment OUI! Tout entier naturel non nul b peut jouer le même rôle que la base d = 10. Problème : si b 11, par exemple b = 12, il faut trouver des symboles pour compléter l ensemble des chiffres : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} afin de représenter 10 et 11. On peut bien entendu faire cela mais on risque de s y perdre : nous sommes trop habitués aux chiffres 0,1,2,3,4,5,6,7, 8,9! Supposons b 9 et posons-nous la question : sachant qu on sait écrire n importe quel entier dans le système décimal, quelle serait la base minimale b permettant d en donner une représentation?
81 1.3. Questions naturelles Existe-t-il des systèmes de numération autres que le sytème décimal? La réponse est évidemment OUI! Tout entier naturel non nul b peut jouer le même rôle que la base d = 10. Problème : si b 11, par exemple b = 12, il faut trouver des symboles pour compléter l ensemble des chiffres : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} afin de représenter 10 et 11. On peut bien entendu faire cela mais on risque de s y perdre : nous sommes trop habitués aux chiffres 0,1,2,3,4,5,6,7, 8,9! Supposons b 9 et posons-nous la question : sachant qu on sait écrire n importe quel entier dans le système décimal, quelle serait la base minimale b permettant d en donner une représentation?
82 1.3. Questions naturelles Existe-t-il des systèmes de numération autres que le sytème décimal? La réponse est évidemment OUI! Tout entier naturel non nul b peut jouer le même rôle que la base d = 10. Problème : si b 11, par exemple b = 12, il faut trouver des symboles pour compléter l ensemble des chiffres : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} afin de représenter 10 et 11. On peut bien entendu faire cela mais on risque de s y perdre : nous sommes trop habitués aux chiffres 0,1,2,3,4,5,6,7, 8,9! Supposons b 9 et posons-nous la question : sachant qu on sait écrire n importe quel entier dans le système décimal, quelle serait la base minimale b permettant d en donner une représentation?
83 1.3. Questions naturelles Existe-t-il des systèmes de numération autres que le sytème décimal? La réponse est évidemment OUI! Tout entier naturel non nul b peut jouer le même rôle que la base d = 10. Problème : si b 11, par exemple b = 12, il faut trouver des symboles pour compléter l ensemble des chiffres : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} afin de représenter 10 et 11. On peut bien entendu faire cela mais on risque de s y perdre : nous sommes trop habitués aux chiffres 0,1,2,3,4,5,6,7, 8,9! Supposons b 9 et posons-nous la question : sachant qu on sait écrire n importe quel entier dans le système décimal, quelle serait la base minimale b permettant d en donner une représentation?
84 1.3. Questions naturelles Existe-t-il des systèmes de numération autres que le sytème décimal? La réponse est évidemment OUI! Tout entier naturel non nul b peut jouer le même rôle que la base d = 10. Problème : si b 11, par exemple b = 12, il faut trouver des symboles pour compléter l ensemble des chiffres : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} afin de représenter 10 et 11. On peut bien entendu faire cela mais on risque de s y perdre : nous sommes trop habitués aux chiffres 0,1,2,3,4,5,6,7, 8,9! Supposons b 9 et posons-nous la question : sachant qu on sait écrire n importe quel entier dans le système décimal, quelle serait la base minimale b permettant d en donner une représentation?
85 1.3. Questions naturelles Existe-t-il des systèmes de numération autres que le sytème décimal? La réponse est évidemment OUI! Tout entier naturel non nul b peut jouer le même rôle que la base d = 10. Problème : si b 11, par exemple b = 12, il faut trouver des symboles pour compléter l ensemble des chiffres : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} afin de représenter 10 et 11. On peut bien entendu faire cela mais on risque de s y perdre : nous sommes trop habitués aux chiffres 0,1,2,3,4,5,6,7, 8,9! Supposons b 9 et posons-nous la question : sachant qu on sait écrire n importe quel entier dans le système décimal, quelle serait la base minimale b permettant d en donner une représentation?
86 1.3. Questions naturelles Existe-t-il des systèmes de numération autres que le sytème décimal? La réponse est évidemment OUI! Tout entier naturel non nul b peut jouer le même rôle que la base d = 10. Problème : si b 11, par exemple b = 12, il faut trouver des symboles pour compléter l ensemble des chiffres : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} afin de représenter 10 et 11. On peut bien entendu faire cela mais on risque de s y perdre : nous sommes trop habitués aux chiffres 0,1,2,3,4,5,6,7, 8,9! Supposons b 9 et posons-nous la question : sachant qu on sait écrire n importe quel entier dans le système décimal, quelle serait la base minimale b permettant d en donner une représentation?
87 Si b = 1, on a b k = 1 pour tout entier k ; on n aura donc pas une base. Au minimum on doit prendre b = 2. Dans ce cas on choisira les deux chiffres 0 et 1 pour la numération. On obtient alors un système dont le principe consiste à compter par paquet de 2. paquet de 2 {}}{ 2 = = 4 = 2 2 = 8 = 2 3 = { = = { paquet de 2 {}}{ = = paquet de 2 {}}{ =
88 Si b = 1, on a b k = 1 pour tout entier k ; on n aura donc pas une base. Au minimum on doit prendre b = 2. Dans ce cas on choisira les deux chiffres 0 et 1 pour la numération. On obtient alors un système dont le principe consiste à compter par paquet de 2. paquet de 2 {}}{ 2 = = 4 = 2 2 = 8 = 2 3 = { = = { paquet de 2 {}}{ = = paquet de 2 {}}{ =
89 Si b = 1, on a b k = 1 pour tout entier k ; on n aura donc pas une base. Au minimum on doit prendre b = 2. Dans ce cas on choisira les deux chiffres 0 et 1 pour la numération. On obtient alors un système dont le principe consiste à compter par paquet de 2. paquet de 2 {}}{ 2 = = 4 = 2 2 = 8 = 2 3 = { = = { paquet de 2 {}}{ = = paquet de 2 {}}{ =
90 Si b = 1, on a b k = 1 pour tout entier k ; on n aura donc pas une base. Au minimum on doit prendre b = 2. Dans ce cas on choisira les deux chiffres 0 et 1 pour la numération. On obtient alors un système dont le principe consiste à compter par paquet de 2. paquet de 2 {}}{ 2 = = 4 = 2 2 = 8 = 2 3 = { = = { paquet de 2 {}}{ = = paquet de 2 {}}{ =
91 Si b = 1, on a b k = 1 pour tout entier k ; on n aura donc pas une base. Au minimum on doit prendre b = 2. Dans ce cas on choisira les deux chiffres 0 et 1 pour la numération. On obtient alors un système dont le principe consiste à compter par paquet de 2. paquet de 2 {}}{ 2 = = 4 = 2 2 = 8 = 2 3 = { = = { paquet de 2 {}}{ = = paquet de 2 {}}{ =
92 Si b = 1, on a b k = 1 pour tout entier k ; on n aura donc pas une base. Au minimum on doit prendre b = 2. Dans ce cas on choisira les deux chiffres 0 et 1 pour la numération. On obtient alors un système dont le principe consiste à compter par paquet de 2. paquet de 2 {}}{ 2 = = 4 = 2 2 = 8 = 2 3 = { = = { paquet de 2 {}}{ = = paquet de 2 {}}{ =
93 Si b = 1, on a b k = 1 pour tout entier k ; on n aura donc pas une base. Au minimum on doit prendre b = 2. Dans ce cas on choisira les deux chiffres 0 et 1 pour la numération. On obtient alors un système dont le principe consiste à compter par paquet de 2. paquet de 2 {}}{ 2 = = 4 = 2 2 = 8 = 2 3 = { = = { paquet de 2 {}}{ = = paquet de 2 {}}{ =
94 Si b = 1, on a b k = 1 pour tout entier k ; on n aura donc pas une base. Au minimum on doit prendre b = 2. Dans ce cas on choisira les deux chiffres 0 et 1 pour la numération. On obtient alors un système dont le principe consiste à compter par paquet de 2. paquet de 2 {}}{ 2 = = 4 = 2 2 = 8 = 2 3 = { = = { paquet de 2 {}}{ = = paquet de 2 {}}{ =
95 Si b = 1, on a b k = 1 pour tout entier k ; on n aura donc pas une base. Au minimum on doit prendre b = 2. Dans ce cas on choisira les deux chiffres 0 et 1 pour la numération. On obtient alors un système dont le principe consiste à compter par paquet de 2. paquet de 2 {}}{ 2 = = 4 = 2 2 = 8 = 2 3 = { = = { paquet de 2 {}}{ = = paquet de 2 {}}{ =
96 Si b = 1, on a b k = 1 pour tout entier k ; on n aura donc pas une base. Au minimum on doit prendre b = 2. Dans ce cas on choisira les deux chiffres 0 et 1 pour la numération. On obtient alors un système dont le principe consiste à compter par paquet de 2. paquet de 2 {}}{ 2 = = 4 = 2 2 = 8 = 2 3 = { = = { paquet de 2 {}}{ = = paquet de 2 {}}{ =
97 Si b = 1, on a b k = 1 pour tout entier k ; on n aura donc pas une base. Au minimum on doit prendre b = 2. Dans ce cas on choisira les deux chiffres 0 et 1 pour la numération. On obtient alors un système dont le principe consiste à compter par paquet de 2. paquet de 2 {}}{ 2 = = 4 = 2 2 = 8 = 2 3 = { = = { paquet de 2 {}}{ = = paquet de 2 {}}{ =
98 Si b = 1, on a b k = 1 pour tout entier k ; on n aura donc pas une base. Au minimum on doit prendre b = 2. Dans ce cas on choisira les deux chiffres 0 et 1 pour la numération. On obtient alors un système dont le principe consiste à compter par paquet de 2. paquet de 2 {}}{ 2 = = 4 = 2 2 = 8 = 2 3 = { = = { paquet de 2 {}}{ = = paquet de 2 {}}{ =
99 Si b = 1, on a b k = 1 pour tout entier k ; on n aura donc pas une base. Au minimum on doit prendre b = 2. Dans ce cas on choisira les deux chiffres 0 et 1 pour la numération. On obtient alors un système dont le principe consiste à compter par paquet de 2. paquet de 2 {}}{ 2 = = 4 = 2 2 = 8 = 2 3 = { = = { paquet de 2 {}}{ = = paquet de 2 {}}{ =
100 Si b = 1, on a b k = 1 pour tout entier k ; on n aura donc pas une base. Au minimum on doit prendre b = 2. Dans ce cas on choisira les deux chiffres 0 et 1 pour la numération. On obtient alors un système dont le principe consiste à compter par paquet de 2. paquet de 2 {}}{ 2 = = 4 = 2 2 = 8 = 2 3 = { = = { paquet de 2 {}}{ = = paquet de 2 {}}{ =
101 Si b = 1, on a b k = 1 pour tout entier k ; on n aura donc pas une base. Au minimum on doit prendre b = 2. Dans ce cas on choisira les deux chiffres 0 et 1 pour la numération. On obtient alors un système dont le principe consiste à compter par paquet de 2. paquet de 2 {}}{ 2 = = 4 = 2 2 = 8 = 2 3 = { = = { paquet de 2 {}}{ = = paquet de 2 {}}{ =
102 Si b = 1, on a b k = 1 pour tout entier k ; on n aura donc pas une base. Au minimum on doit prendre b = 2. Dans ce cas on choisira les deux chiffres 0 et 1 pour la numération. On obtient alors un système dont le principe consiste à compter par paquet de 2. paquet de 2 {}}{ 2 = = 4 = 2 2 = 8 = 2 3 = { = = { paquet de 2 {}}{ = = paquet de 2 {}}{ =
103 2. Le système binaire 2.1. Quelques exemples d abord Prenons le nombre u = 221. On peut le décomposer en une somme : 221 = = = De même, pour v = 78, on peut écrire : 78 = = = Que remarque-t-on?
104 2. Le système binaire 2.1. Quelques exemples d abord Prenons le nombre u = 221. On peut le décomposer en une somme : 221 = = = De même, pour v = 78, on peut écrire : 78 = = = Que remarque-t-on?
105 2. Le système binaire 2.1. Quelques exemples d abord Prenons le nombre u = 221. On peut le décomposer en une somme : 221 = = = De même, pour v = 78, on peut écrire : 78 = = = Que remarque-t-on?
106 2. Le système binaire 2.1. Quelques exemples d abord Prenons le nombre u = 221. On peut le décomposer en une somme : 221 = = = De même, pour v = 78, on peut écrire : 78 = = = Que remarque-t-on?
107 2. Le système binaire 2.1. Quelques exemples d abord Prenons le nombre u = 221. On peut le décomposer en une somme : 221 = = = De même, pour v = 78, on peut écrire : 78 = = = Que remarque-t-on?
108 2. Le système binaire 2.1. Quelques exemples d abord Prenons le nombre u = 221. On peut le décomposer en une somme : 221 = = = De même, pour v = 78, on peut écrire : 78 = = = Que remarque-t-on?
109 2. Le système binaire 2.1. Quelques exemples d abord Prenons le nombre u = 221. On peut le décomposer en une somme : 221 = = = De même, pour v = 78, on peut écrire : 78 = = = Que remarque-t-on?
110 2. Le système binaire 2.1. Quelques exemples d abord Prenons le nombre u = 221. On peut le décomposer en une somme : 221 = = = De même, pour v = 78, on peut écrire : 78 = = = Que remarque-t-on?
111 2. Le système binaire 2.1. Quelques exemples d abord Prenons le nombre u = 221. On peut le décomposer en une somme : 221 = = = De même, pour v = 78, on peut écrire : 78 = = = Que remarque-t-on?
112 2. Le système binaire 2.1. Quelques exemples d abord Prenons le nombre u = 221. On peut le décomposer en une somme : 221 = = = De même, pour v = 78, on peut écrire : 78 = = = Que remarque-t-on?
113 2. Le système binaire 2.1. Quelques exemples d abord Prenons le nombre u = 221. On peut le décomposer en une somme : 221 = = = De même, pour v = 78, on peut écrire : 78 = = = Que remarque-t-on?
114 2. Le système binaire 2.1. Quelques exemples d abord Prenons le nombre u = 221. On peut le décomposer en une somme : 221 = = = De même, pour v = 78, on peut écrire : 78 = = = Que remarque-t-on?
115 2. Le système binaire 2.1. Quelques exemples d abord Prenons le nombre u = 221. On peut le décomposer en une somme : 221 = = = De même, pour v = 78, on peut écrire : 78 = = = Que remarque-t-on?
116 Les nombres que nous avons considérés s écrivent sous forme d une somme de puissances du nombre b = 2! Pour u = 221, on a utilisé 1 = 2 0, 2 = 2 1, 2 3, 2 4, 2 6 et 2 7. Il manque les deux puissances 2 2 et 2 5! En réalité elles sont là aussi mais affectées du coefficient 0. On peut faire le même constat pour v = 78 : on a utilisé 2 = 2 1, 2 2, 2 3 et 2 6. Il manque les trois puissances 2 0, 2 4 et 2 5! En réalité, comme pour le nombre précédent, elles sont là aussi mais affectées du coefficient 0. Que se passe-t-il alors de façon générale? Nous allons le voir tout de suite!
117 Les nombres que nous avons considérés s écrivent sous forme d une somme de puissances du nombre b = 2! Pour u = 221, on a utilisé 1 = 2 0, 2 = 2 1, 2 3, 2 4, 2 6 et 2 7. Il manque les deux puissances 2 2 et 2 5! En réalité elles sont là aussi mais affectées du coefficient 0. On peut faire le même constat pour v = 78 : on a utilisé 2 = 2 1, 2 2, 2 3 et 2 6. Il manque les trois puissances 2 0, 2 4 et 2 5! En réalité, comme pour le nombre précédent, elles sont là aussi mais affectées du coefficient 0. Que se passe-t-il alors de façon générale? Nous allons le voir tout de suite!
118 Les nombres que nous avons considérés s écrivent sous forme d une somme de puissances du nombre b = 2! Pour u = 221, on a utilisé 1 = 2 0, 2 = 2 1, 2 3, 2 4, 2 6 et 2 7. Il manque les deux puissances 2 2 et 2 5! En réalité elles sont là aussi mais affectées du coefficient 0. On peut faire le même constat pour v = 78 : on a utilisé 2 = 2 1, 2 2, 2 3 et 2 6. Il manque les trois puissances 2 0, 2 4 et 2 5! En réalité, comme pour le nombre précédent, elles sont là aussi mais affectées du coefficient 0. Que se passe-t-il alors de façon générale? Nous allons le voir tout de suite!
119 Les nombres que nous avons considérés s écrivent sous forme d une somme de puissances du nombre b = 2! Pour u = 221, on a utilisé 1 = 2 0, 2 = 2 1, 2 3, 2 4, 2 6 et 2 7. Il manque les deux puissances 2 2 et 2 5! En réalité elles sont là aussi mais affectées du coefficient 0. On peut faire le même constat pour v = 78 : on a utilisé 2 = 2 1, 2 2, 2 3 et 2 6. Il manque les trois puissances 2 0, 2 4 et 2 5! En réalité, comme pour le nombre précédent, elles sont là aussi mais affectées du coefficient 0. Que se passe-t-il alors de façon générale? Nous allons le voir tout de suite!
120 Les nombres que nous avons considérés s écrivent sous forme d une somme de puissances du nombre b = 2! Pour u = 221, on a utilisé 1 = 2 0, 2 = 2 1, 2 3, 2 4, 2 6 et 2 7. Il manque les deux puissances 2 2 et 2 5! En réalité elles sont là aussi mais affectées du coefficient 0. On peut faire le même constat pour v = 78 : on a utilisé 2 = 2 1, 2 2, 2 3 et 2 6. Il manque les trois puissances 2 0, 2 4 et 2 5! En réalité, comme pour le nombre précédent, elles sont là aussi mais affectées du coefficient 0. Que se passe-t-il alors de façon générale? Nous allons le voir tout de suite!
121 Les nombres que nous avons considérés s écrivent sous forme d une somme de puissances du nombre b = 2! Pour u = 221, on a utilisé 1 = 2 0, 2 = 2 1, 2 3, 2 4, 2 6 et 2 7. Il manque les deux puissances 2 2 et 2 5! En réalité elles sont là aussi mais affectées du coefficient 0. On peut faire le même constat pour v = 78 : on a utilisé 2 = 2 1, 2 2, 2 3 et 2 6. Il manque les trois puissances 2 0, 2 4 et 2 5! En réalité, comme pour le nombre précédent, elles sont là aussi mais affectées du coefficient 0. Que se passe-t-il alors de façon générale? Nous allons le voir tout de suite!
122 Les nombres que nous avons considérés s écrivent sous forme d une somme de puissances du nombre b = 2! Pour u = 221, on a utilisé 1 = 2 0, 2 = 2 1, 2 3, 2 4, 2 6 et 2 7. Il manque les deux puissances 2 2 et 2 5! En réalité elles sont là aussi mais affectées du coefficient 0. On peut faire le même constat pour v = 78 : on a utilisé 2 = 2 1, 2 2, 2 3 et 2 6. Il manque les trois puissances 2 0, 2 4 et 2 5! En réalité, comme pour le nombre précédent, elles sont là aussi mais affectées du coefficient 0. Que se passe-t-il alors de façon générale? Nous allons le voir tout de suite!
123 Les nombres que nous avons considérés s écrivent sous forme d une somme de puissances du nombre b = 2! Pour u = 221, on a utilisé 1 = 2 0, 2 = 2 1, 2 3, 2 4, 2 6 et 2 7. Il manque les deux puissances 2 2 et 2 5! En réalité elles sont là aussi mais affectées du coefficient 0. On peut faire le même constat pour v = 78 : on a utilisé 2 = 2 1, 2 2, 2 3 et 2 6. Il manque les trois puissances 2 0, 2 4 et 2 5! En réalité, comme pour le nombre précédent, elles sont là aussi mais affectées du coefficient 0. Que se passe-t-il alors de façon générale? Nous allons le voir tout de suite!
124 Les nombres que nous avons considérés s écrivent sous forme d une somme de puissances du nombre b = 2! Pour u = 221, on a utilisé 1 = 2 0, 2 = 2 1, 2 3, 2 4, 2 6 et 2 7. Il manque les deux puissances 2 2 et 2 5! En réalité elles sont là aussi mais affectées du coefficient 0. On peut faire le même constat pour v = 78 : on a utilisé 2 = 2 1, 2 2, 2 3 et 2 6. Il manque les trois puissances 2 0, 2 4 et 2 5! En réalité, comme pour le nombre précédent, elles sont là aussi mais affectées du coefficient 0. Que se passe-t-il alors de façon générale? Nous allons le voir tout de suite!
125 2.2. Écriture générale Soit u un entier naturel (il peut être égal à 0) écrit dans le système décimal. On souhaite l écrire dans le système binaire b = {0,1}, c est-à-dire le représenter sous la forme : u = ε k ε k 1 ε 1 ε 0 où chacun des ε k,,ε 0 est soit 0 soit 1. Cela signifie que : u = ε k 2 k + ε k 1 2 k ε ε = 2 k ε k + 2 k 1 ε k ε 1 + ε 0 Les nombres ε k,ε k 1,ε 1,ε 0 sont les coefficients binaires de l entier u. Comment trouver les coefficients ε k,ε k 1,ε 1,ε 0? La réponse est assez simple!
126 2.2. Écriture générale Soit u un entier naturel (il peut être égal à 0) écrit dans le système décimal. On souhaite l écrire dans le système binaire b = {0,1}, c est-à-dire le représenter sous la forme : u = ε k ε k 1 ε 1 ε 0 où chacun des ε k,,ε 0 est soit 0 soit 1. Cela signifie que : u = ε k 2 k + ε k 1 2 k ε ε = 2 k ε k + 2 k 1 ε k ε 1 + ε 0 Les nombres ε k,ε k 1,ε 1,ε 0 sont les coefficients binaires de l entier u. Comment trouver les coefficients ε k,ε k 1,ε 1,ε 0? La réponse est assez simple!
127 2.2. Écriture générale Soit u un entier naturel (il peut être égal à 0) écrit dans le système décimal. On souhaite l écrire dans le système binaire b = {0,1}, c est-à-dire le représenter sous la forme : u = ε k ε k 1 ε 1 ε 0 où chacun des ε k,,ε 0 est soit 0 soit 1. Cela signifie que : u = ε k 2 k + ε k 1 2 k ε ε = 2 k ε k + 2 k 1 ε k ε 1 + ε 0 Les nombres ε k,ε k 1,ε 1,ε 0 sont les coefficients binaires de l entier u. Comment trouver les coefficients ε k,ε k 1,ε 1,ε 0? La réponse est assez simple!
128 2.2. Écriture générale Soit u un entier naturel (il peut être égal à 0) écrit dans le système décimal. On souhaite l écrire dans le système binaire b = {0,1}, c est-à-dire le représenter sous la forme : u = ε k ε k 1 ε 1 ε 0 où chacun des ε k,,ε 0 est soit 0 soit 1. Cela signifie que : u = ε k 2 k + ε k 1 2 k ε ε = 2 k ε k + 2 k 1 ε k ε 1 + ε 0 Les nombres ε k,ε k 1,ε 1,ε 0 sont les coefficients binaires de l entier u. Comment trouver les coefficients ε k,ε k 1,ε 1,ε 0? La réponse est assez simple!
129 2.2. Écriture générale Soit u un entier naturel (il peut être égal à 0) écrit dans le système décimal. On souhaite l écrire dans le système binaire b = {0,1}, c est-à-dire le représenter sous la forme : u = ε k ε k 1 ε 1 ε 0 où chacun des ε k,,ε 0 est soit 0 soit 1. Cela signifie que : u = ε k 2 k + ε k 1 2 k ε ε = 2 k ε k + 2 k 1 ε k ε 1 + ε 0 Les nombres ε k,ε k 1,ε 1,ε 0 sont les coefficients binaires de l entier u. Comment trouver les coefficients ε k,ε k 1,ε 1,ε 0? La réponse est assez simple!
130 2.2. Écriture générale Soit u un entier naturel (il peut être égal à 0) écrit dans le système décimal. On souhaite l écrire dans le système binaire b = {0,1}, c est-à-dire le représenter sous la forme : u = ε k ε k 1 ε 1 ε 0 où chacun des ε k,,ε 0 est soit 0 soit 1. Cela signifie que : u = ε k 2 k + ε k 1 2 k ε ε = 2 k ε k + 2 k 1 ε k ε 1 + ε 0 Les nombres ε k,ε k 1,ε 1,ε 0 sont les coefficients binaires de l entier u. Comment trouver les coefficients ε k,ε k 1,ε 1,ε 0? La réponse est assez simple!
131 2.2. Écriture générale Soit u un entier naturel (il peut être égal à 0) écrit dans le système décimal. On souhaite l écrire dans le système binaire b = {0,1}, c est-à-dire le représenter sous la forme : u = ε k ε k 1 ε 1 ε 0 où chacun des ε k,,ε 0 est soit 0 soit 1. Cela signifie que : u = ε k 2 k + ε k 1 2 k ε ε = 2 k ε k + 2 k 1 ε k ε 1 + ε 0 Les nombres ε k,ε k 1,ε 1,ε 0 sont les coefficients binaires de l entier u. Comment trouver les coefficients ε k,ε k 1,ε 1,ε 0? La réponse est assez simple!
132 2.2. Écriture générale Soit u un entier naturel (il peut être égal à 0) écrit dans le système décimal. On souhaite l écrire dans le système binaire b = {0,1}, c est-à-dire le représenter sous la forme : u = ε k ε k 1 ε 1 ε 0 où chacun des ε k,,ε 0 est soit 0 soit 1. Cela signifie que : u = ε k 2 k + ε k 1 2 k ε ε = 2 k ε k + 2 k 1 ε k ε 1 + ε 0 Les nombres ε k,ε k 1,ε 1,ε 0 sont les coefficients binaires de l entier u. Comment trouver les coefficients ε k,ε k 1,ε 1,ε 0? La réponse est assez simple!
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