Déterminants. () Déterminants 1 / 23

Transcription

1 Déterminants () Déterminants 1 / 23

2 1 Déterminant d une matrice carrée 2 Propriétés des déterminants () Déterminants 2 / 23

3 Plan 1 Déterminant d une matrice carrée 2 Propriétés des déterminants () Déterminants 3 / 23

4 Déterminant d une matrice carrée de taille 1 Soit a K. Le déterminant de la matrice A = (a) est le scalaire a. () Déterminants 4 / 23

5 Déterminant d une matrice carrée de taille 2 ( ) a b Le déterminant de la matrice A = à coefficients dans K est le c d scalaire det(a) = a b c d = ad bc. () Déterminants 5 / 23

6 Déterminant d une matrice carrée de taille 3 a b c Le déterminant de la matrice A = d e f à coefficients dans K est le g h k scalaire a b c det(a) = d e f g h k (Règle de Sarrus) () Déterminants 6 / 23

7 Technique de calcul. le développement en ligne ou en colonne (+) a ( ) b (+) c det(a) = ( ) d (+) e ( ) f (+) g ( ) h (+) k = a e f h k d b c h k + g b c e f (développement par rapport à la première colonne) b d f g k + e a c g k h a c d f (développement par rapport à la deuxième colonne) c d e g h f a b g h + k a b d e (développement par rapport à la troisième colonne) () Déterminants 7 / 23

8 et de la même façon (+) a ( ) b (+) c det(a) = ( ) d (+) e ( ) f (+) g ( ) h (+) k = a e f h k b d f g k + c d e g h (développement par rapport à la première ligne) d b c h k + e a c g k f a b g h (développement par rapport à la deuxième ligne) g b c e f h a c d f + k a b d e (développement par rapport à la troisième ligne) () Déterminants 8 / 23

9 Déterminant d une matrice carrée de taille n On ne verra pas la formule exacte définissant un déterminant pour une matrice carré de taille n quelconque. On va admettre qu on peut calculer les déterminants et voir des méthodes de calcul et les propriétés. a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 1,4 Si n = 4 : Soit A = a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 2,4 a 3,1 a 3,2 a 3,3 a 3,4 une matrice carrée d ordre 4 a 4,1 a 4,2 a 4,3 a 4,4 à coefficients dans K. () Déterminants 9 / 23

10 Le déterminant de A est par définition le scalaire obtenu en développant suivant n importe laquelle des 4 colonnes de A ou n importe laquelle des 4 lignes de A, le résultat obtenu étant le même (admis). On a : (+) a ( ) 1,1 a (+) 1,2 a ( ) 1,3 a 1,4 det(a) = ( ) a (+) 2,1 a ( ) 2,2 a (+) 2,3 a 2,4 (+) a ( ) 3,1 a (+) 3,2 a ( ) = 3,3 a 3,4 ( ) a (+) 4,1 a ( ) 4,2 a (+) 4,3 a 4,4 a 1,1 +a 3,1 a 2,2 a 2,3 a 2,4 a 3,2 a 3,3 a 3,4 a 4,2 a 4,3 a 4,4 a a 1,2 a 1,3 a 1,4 2,1 a 3,2 a 3,3 a 3,4 a 4,2 a 4,3 a 4,4 a 1,2 a 1,3 a 1,4 a 2,2 a 2,3 a 2,4 a 4,2 a 4,3 a 4,4 a a 1,2 a 1,3 a 1,4 4,1 a 2,2 a 2,3 a 2,4 a 3,2 a 3,3 a 3,4 () Déterminants 10 / 23

11 Remarquons qu on peut calculer ce déterminant car le calcul fait apparaître des déterminants de matrices d ordre 3, que l on sait calculer. On a ainsi défini le déterminant des matrices d ordre 4 et l on a une méthode pour les calculer. En procédant de la même façon (développement suivant une ligne ou une colonne), on peut définir le déterminant d une matrice d ordre 5 en faisant intervenir des déterminants de matrices d ordre 4 qu on calcule suivant la méthode précédente. Il est clair qu en itérant le procédé, on peut définir par récurrence le déterminant d une matrice d ordre n à partir des déterminants de matrices d ordre n 1. () Déterminants 11 / 23

12 Exemple: Calculer le déterminant de la matrice A = () Déterminants 12 / 23

13 Déterminant d une famille de vecteurs En début d année dans le cadre géométrique, on a déjà parlé de déterminants. Dans le plan (R 2 ) : pour tous vecteurs U et V de coordonnées (x, y) et (x, y ) dans une base B, le déterminant dans la base B de la famille de vecteurs (u, v) est le scalaire det B (U, V ) = xy x y = x x y y Dans l espace (R 3 ) Pour tous vecteurs U, V et W de coordonnées (x, y, z), (x, y, z ) et (x, y, z ) dans la base B, le déterminant dans la base B de la famille de vecteurs (u, v, w) est le scalaire det B (U, B, W ) = xy z +yz x +zx y x y z y z x z x x x x y = y y y z z z () Déterminants 13 / 23

14 Dans les deux cas, on constate que le déterminant d une famille de vecteurs dans une base B est le déterminant de la matrice formée en plaçant les vecteurs côte à côte. Dans un espace vectoriel de dimension n 1 quelconque, nous allons conserver ce lien en donnant la définition suivante. Définition Soit n 1 un entier et B une base de R n. Le déterminant d une famille (V 1, V 2,..., V n ) de vecteurs de E dans la base B, noté det B (V 1, V 2,..., V n ), est le déterminant de la matrice M(V 1, V 2,..., V n ) de ces vecteurs dans la base B, autrement dit : det B (V 1, V 2,..., V n ) = det ( M(V 1, V 2,..., V n ) ). () Déterminants 14 / 23

15 Plan 1 Déterminant d une matrice carrée 2 Propriétés des déterminants () Déterminants 15 / 23

16 Propriété fondamentale Théorème Le déterminant vérifie les propriétés suivantes : 1 Si A M(n, n), A est inversible si et seulement si det A 0 2 A, B M(n, n), det AB = det A det B En application du premier point de ce théorème, nous avons les résultats suivants Une famille de vecteurs est libre si et seulement si son déterminant est non nul. Une matrice contenant une colonne de zéros (ou une ligne) a un déterminant nul. Une application linéaire de R n dans R n est bijective si et seulement si le déterminant de sa matrice est non nul () Déterminants 16 / 23

17 Proposition Le déterminant vérifie les propriétés supplémentaires suivantes : 1 Si A M(n, n) et α R, alors det(αa) = α n det(a). 2 Le déterminant d une matrice carré est égal au déterminant de sa transposée. 3 det(a 1 ) = 1/ det(a) () Déterminants 17 / 23

18 Par la méthode de développement en ligne et en colonne, nous avons déjà une première méthode de calcul effective. Une application de cette méthode permet d avoir le résultat suivant : Proposition Le déterminant d une matrice triangulaire est le produit de ses coefficients diagonaux. En utilisant les opérations sur les lignes et colonnes d une matrice, on peut simplifier les calculs de déterminant, soit en se ramenant à une matrice triangulaire, soit en faisant apparaître des 0 pour faire un développement en ligne ou colonne. () Déterminants 18 / 23

19 lignes et colonnes Considérons une opération sur les lignes d une matrice, transformant une matrice A en une nouvelle matrice A. Alors, selon l opération, le déterminant va changer aussi. Précisément, L opération d échange de ligne L i L j change le signe du déterminant : det A = det A L opération d échange de multiplication d une ligne L i αl i multiplie le déterminant : det A = α det A. L opération L i L i + αl j avec L j une déterminant : det A = det A autre ligne ne change pas le () Déterminants 19 / 23

20 Et pareil pour les opérations sur les colonnes. L opération d échange de colonne C i C j change le signe du déterminant : det A = det A L opération d échange de multiplication d une colonne C i αc i multiplie le déterminant : det A = α det A. L opération C i C i + αc j avec C j une pas le déterminant : det A = det A autre colonne ne change () Déterminants 20 / 23

21 Quand on modifie la matrice A pour calculer son déterminant, on peut faire sans aucun risque les opérations C i C i + αc j et L i L i + αl j. Mais pour les échanges et la multiplication par un nombre, il faudra alors corriger la modification du déterminant en rajoutant un - ou en divisant par le nombre. En application de cette méthode, on peut remarquer que : 1 Une matrice dans laquelle deux colonnes sont identiques a un déterminant nul. 2 Si une colonne d une matrice peut s exprimer à l aide d une combinaison linéaire des autres colonnes de cette matrice, alors le déterminant de cette matrice est nul. 3 Idem pour les lignes () Déterminants 21 / 23

22 Déterminant par bloc Proposition Soit (n, p) N 2, A M n (K), B M p (K) et C M n,p (K). On a : A C 0 B = det(a) det(b) et B 0 C A = det(b) det(a). () Déterminants 22 / 23

23 Exemple: Factoriser le polynôme λ λ P : λ P(λ) = λ λ λ () Déterminants 23 / 23