ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. Risque de crédit. Vente de protection d'une rme sur elle-même. Sébastien LEROUX Antony Mc BRIDE Rémi PARIS

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1 ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES Risque de crédit Vente de protection d'une rme sur elle-même Sébastien LEROUX Antony Mc BRIDE Rémi PARIS March 7, 2007

2 Introduction Généralement, la vente ou l'achat de CDS est un contrat passé entre deux contreparties lié au risque de défaut d'une troisième. Ici, nous allons nous intéresser au problème peu courant d'une entreprise qui vendrait ou achèterait de la protection sur elle-même. Nous verrons dans un premier temps un rappel sur le modèle de Merton pour modéliser les actifs d'une rme, puis nous proposerons une nouvelle modélisation des actifs ainsi que des résultats numériques dans le cas où la rme vend de la protection sur elle-même puis lorsqu'elle en achète. 1 Rappels sur le modèle de Merton L'apport des travaux de Black & Scholes à la théorie des options est bien connu de tous, mais ce qui l'est moins, c'est que leur travaux portaient non seulement sur les produits dérivés d'action, mais aussi sur l'évaluation de la dette d'une entreprise. L'article fondateur de Black & Scholes, publié en 1973, s'intitule précisément "The Pricing of Options and Corporate Liabilities", et présente déjà le point de vue selon lequel la dette d'une entreprise peut être analysée et évaluée comme une option sur la valeur de celle-ci. Ce point de vue, développé ensuite par Merton (1975) et d'autres, considère que le défaut est un évènement qui peut être caractérisé par la structure du capital de la rme, d'où le nom de modèles structurels. Le premier d'entre eux est le modèle de Merton, que nous allons décrire. Ce modèle constitue l'exemple le plus simple de l'approche structurelle et peut être vu comme une transposition du modèle de Black et Scholes au domaine du risque de défaut. On s'intéresse à une entreprise dont la structure du capital est représentée comme étant composée de capitaux propres (actions) et d'une seule émission de dette obligataire, sous la forme d'une obligation zéro-coupon de valeur faciale S T arrivant à maturité en T = 1 an. La valeur totale des actifs A t est alors égale à la somme de la valeur des actions et de la dette. L'évolution de la valeur A t des actifs est alors modélisée par un mouvement brownien géométrique : da t A t = µdt + σdw t. 2

3 Les créanciers de la rme ne peuvent la forcer à déposer le bilan avant T : le défaut ne survient qu'en cas de non remboursement du nominal du zérocoupon à l'échéance. A la date T, si la valeur de la rme est supérieure à la valeur de remboursement de la dette, cette dernière est remboursée et il n'y a pas défaut. Dans le cas contraire, l'entreprise est en défaut et les créanciers reçoivent la valeur de marché de la rme, inférieure à la valeur de remboursement de la dette. La valeur à maturité de la dette émise par la rme s'exprime comme : min(a T, S T ) = S T max(s T A T, 0), c'est à dire la valeur d'une obligation zéro-coupon sans risque de défaut, moins la valeur d'un put sur le sous-jacent A T de strike S T. Comme les actionnaires récupèrent soit zéro (en cas de défaut) soit la valeur des actifs moins la dette, la valeur des actions de la rme à la maturité est équivalente au payo d'un call sur A T de strike S T : max(a T S T, 0). On peut résumer les ux nanciers à la date T par le tableau suivant : Valeur des actifs Flux reçus par les actionnaires Flux reçus par les créanciers A T S T A T S T S T A T < S T 0 A T On évalue ensuite la valeur de ces ux à t = 0 en appliquant les formules de Black Scholes que l'on rappelle : Pour un Call de payo max(x K, 0) à maturité T, le prix initial est donné par : xφ(d 1 ) Ke rt φ(d 2 ), avec φ la fonction de répartition d'une loi normale centrée réduite : φ(d) = 1 2π d d 1 = d 1 (x, K) = log ( x K e y2 2 dy, ) + (r + σ2 2 σ T d 2 = d 2 (x, K) = d 1 σ T. 3 ) T,

4 Et pour un Put de payo max(k x, 0) à maturité T, le prix initial est donné par : Ke rt φ( d 2 ) xφ( d 1 ). On obtient donc pour la valeur de marché initiale de la dette : D 0 = e rt S T (1 φ( d 2 )) + A 0 φ( d 1 ) = e rt S T φ(d 2 ) + A 0 φ( d 1 ). Et pour l'equity : ceci avec : et E 0 = A 0 φ(d 1 ) e rt S T φ(d 2 ), d 1 = d 1 (A 0, S T ), d 2 = d 2 (A 0, S T ). 2 Cas où l'entreprise vend de la protection sur elle-même 2.1 Description du modèle Partant de la description du modèle structurel de Merton, on ajoute les deux éléments suivants dans la dynamique des actifs : la variation du Mark to Market de la position vendeuse de protection, la réception (supposée en temps continu) de la prime du CDS, assimilable à un la réception d'un dividende. Si l'on se contentait d'ajouter le deuxième élément et que l'on considérait une durée de vie de l'entreprise et du CDS innies, il surait d'appliquer une variante du modèle de Merton disponible dans son papier. Mais on veut ici une dynamique plus compliquée, et en un temps T ni. On obtient la dynamique suivante : da t = radt + σa t dw t + dmtm + c 0 dt, où c 0 représente le spread de la patte xe (et donc reçu par l'entreprise vendeuse de protection). Pour dm tm, c'est plus délicat. Pour des raisons 4

5 de simplicité pour le calcul du Mark to Market, on s'inspire ici des modèles à intensité et on obtient : dmtm = DV (t, T )ds, où DV (t, T ) = 1 r+λ t (1 e (r+λt)(t t) ) est la DV de l'entreprise. On introduit ensuite λ t qui représente l'intensité de défaut vue depuis le temps t. On peut alors écrire : ln(1 P D(t, T )) λ t =, T t où P D(t, T ) représente la probabilité de défaut en T de l'entreprise, vue de t, telle qu'elle s'exprime dans le modèle de Merton. Elle s'écrit donc P D(t, T ) = P(A T D) = 1 Φ(d 2 ), où [ 1 d 2 = σ ln( A ] t ) + (r σ2 )(T t), T t S T 2 où A t représente l'actif que l'on essaye justement de valoriser et S T la dette à rembourser en T. C'est plus compliqué dans le cas présent, car selon la valeur de A T, S T vaut soit sa valeur prévue à l'origine, soit cette valeur incrémentée du paiement de la prime correspondant au cas de défaut de l'entreprise, heureusement xée à l'avance par le contrat, que l'on notera LGD 0 : S T = S T + LGD 0 I {AT <S T }. Reste à déterminer ds. On sait que s t = λ t LGD(t, T ), où LGD représente la perte sachant qu'il y a eu défaut. D'où ds = λdlgd + LGDdλ. Pour évaluer cela, il faut calculer LGD = E(D A T A T D). 2.2 Algorithme Première étape : on xe les paramètres comme dans Merton. Ensuite, deux choses sont compliquées : la multitude d'éléments à évaluer, et la gestion de la variation du temps de deux manières en parallèle. En eet, à chaque pas de temps, il faudra parcourir le temps T t pour évaluer la valeur A t à Mark to Market constant. On peut alors évaluer la variation du Mark to Market, l'ajouter à A t, et passer au pas de temps suivant. A t = 0 on évalue A t classiquement par la formule fermée de Merton, étant 5

6 donné que le premier calcul ne prendra pas en compte les nouveaux termes dans la dynamique : l'objet de ce premier calcul est de calculer c 0 et LGD 0 paramétrant le CDS. On calcule alors, pour tout pas de temps entre t = 0 et t = T, A t, en ajoutant néanmoins le terme c 0 dt dans la dynamique. Pendant que l'on évalue les différentes trajectoires de A t, on retient celles qui donnent A T D pour calculer LGD(t, T ) (qui est quand même une espérance conditionnelle). On évalue également P D(t, T ), en utilisant le fait que S T peut prendre deux valeurs diérentes. Ceci nous donne λ t, ds et DV (t, T ), donc dmtm, que l'on peut ajouter à A t avant de calculer A t+dt. Notons qu'il faut se souvenir de presque tous les paramètres au pas de temps précèdent pour mesurer l'évolution (par exemple dlgd). On obtient donc la valeur de A t, pour t = jdt avec j [0, T/N], où N représente le nombre de pas de temps. On peut également observer les variations des autres paramètres, ainsi que celles de D t et E t. On obtient alors l'évolution des valeurs caractérisant l'entreprise, nous permettant de savoir si la vente de protection de la rme sur elle-même est bénéque ou pas. 2.3 Résultats numériques Nous avons ici cherché à mesurer les conséquences pour la rme lorsque qu'elle est vendeuse de protection sur elle même. Pour cela, on regarde l'évolution des actifs de la rme pour des valeurs croissantes du nominal du CDS dans notre modèle. Les simulations dont nous rendons compte cidessous ont été faites avec pour valeurs : un taux sans risque de 5%, une maturité d'un an, une valeur initiale des actifs de la rme de 1000, une dette de 800, et une volatilité des actifs de la rme de 30%. On va voir que pour des valeurs importantes du nominal du CDS, il semble que l'opération soit protable. Nous regardons à la fois l'eet à court terme (premier pas de temps) et à long terme (dernier pas de temps) sur la valeur des actifs de la rme. 6

7 nominal t=0.1 t= Figure 1: Valeur des actifs en fonction du nominal du CDS vendu Il faut noter que si la tendance ne semble pas claire pour des petites valeurs du nominal, c'est sans doute lié à la précision relativement limitée des simulations. En eet, d'une simulation sur l'autre, on constate une variance susamment importante pour rendre invisible les eets d'une petite variation du nominal. D'autre part, on constate de manière fort logique que l'eet d'une volatilité plus forte des actifs amplie l'impact positif de la vente de CDS montré ci-dessus. 7

8 volatilité valeur des actifs à maturité 25% % % % % Cas où l'entreprise achète de la protection sur elle-même 3.1 Description du modèle On se place à nouveau dans le modèle de Merton. Mais dans le cas présent, la rme n'a plus de position à tenir, donc MtM = 0. Néanmoins, pendant toute la durée de vie du CDS, elle doit payer le spread pour acheter sa couverture, ce qui revient au paiement d'un dividende continu. On a donc : da t = ra t dt + σa t dw t c 0 dt, où c 0 est déterminé à t = 0 pour le CDS. On détermine également LGD 0. Alors, si en T l'entreprise fait défaut, elle va toucher le recovery et pourra rembourser d'autant sa dette, voire éventuellement garder un reste pour la partie Equity. On obtient donc la nouvelle expression de D 0 et E 0 : D 0 = e rt E ( S T I {ST <A T } + min(s T, A T + LGD 0 )I {AT S T }), E 0 = e rt E ( (A T S T ) + + (A T S T + LGD 0 ) + I {AT S T }). 3.2 Algorithme Cette fois-ci, le calcul est beaucoup plus immédiat. En eet, il sut d'utiliser un Monte-Carlo classique, et d'appliquer les formules d'espérance vues dans la section précédente. De plus, en généralisant les formules précédentes, on peut même évaluer D t et E t. On obtient alors l'évolution des valeurs caractérisant l'entreprise, nous permettant de savoir si l'achat de protection de la rme sur elle-même est bénéque ou pas. 8

9 3.3 Résultats numériques Dans le cas de l'achat de protection de la rme par elle même, la tendance semble moins claire, mais là encore il est fort possible que le mécanisme intrinsèque soit perturbé par un défaut de précision. Néanmoins, les résultats suivants, issues de simulations faites dans les mêmes conditions que dans la première partie, montrent assez clairement qu'il n'est pas avantageux pour la rme d'acheter de la protection sur elle même, car on constate une dérivée négative de la valorisation de l'equity de la rme en fonction du montant du nominal du CDS : Conclusion nominal valeur de l'equity à maturité On a ici essayé ici de modéliser l'évolution des actifs d'une rme vendeuse ou acheteuse de protection sur elle-même. Deux dicultés ressortent particulièrement : trouver un modèle adapté donnant la dynamique des paramètres représentant la rme et la simulation dont la diculté est due à la complexité du modèle. On a ici utilisé un mélange de modèle structurel et à intensité, ce qui peut paraître hasardeux, mais conduit néanmoins à des résultats satisfaisants. En eet, la vente de protection sur elle-même d'une rme semble avoir un eet positif, ce qui traduit le fait que la rme est mieux nancée, touchant le spread comme un dividende, et par conséquent risquant moins le défaut ; à l'inverse, l'achat de protection est coûteuse, et ne permet pas de sauver la rme en cas de défaut. On notera néanmoins que nous avons retenu l'hypothèse du modèle structurel qui indique que la rme fait défaut 9

10 uniquement si en T la valeur des actifs tombe au-dessous de celle de la dette, ce qui peut biaiser le modèle. 10